第一篇：數學放縮法
放縮法的常見技巧（1）舍掉（或加進）一些項
（2）在分式中放大或縮小分子或分母。（3）應用基本不等式放縮(例如均值不等式）。（4）應用函數的單調性進行放縮（5）根據題目條件進行放縮。（6）構造等比數列進行放縮。（7）構造裂項條件進行放縮。
（8）利用函數切線、割線逼近進行放縮。
使用放縮法的注意事項（1）放縮的方向要一致。（2）放與縮要適度。
（3）很多時候只對數列的一部分進行放縮法，保留一些項不變（多為前幾項或后幾項）。（4）用放縮法證明極其簡單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強，稍有不慎，則會出現放縮失當的現象。所以對放縮法，只需要了解，不宜深入。
先介紹工具
柯西不等式（可以通過向量表示形式記住即摸摸大于向量乘積）
均值不等式
調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數≤平方平均數
絕對值三角不等式
定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推論1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性質可推廣為|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推論2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是實數，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當(a－b)(b－c)≥0時，等號成立．
常用放縮思想
這幾個務必牢記
不常見不常用的不等式
這幾個一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了
下面就是常用思路了，主要就是裂項部分
當年apucng與V_First研究的題
二項平方和
f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0
第二篇：高三數學數列放縮法
數列與不等式的綜合問題常常出現在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點，這類問題能有效地考查學生綜合運用數列與不等式知識解決問題的能力．本文介紹一類與數列和有關的不等式問題，解決這類問題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和． 一．先求和后放縮 例1．正數數列（1）數列的前項的和，滿足，試求： 的通項公式；
（2）設解：（1）由已知得，數列的前項的和為，所以
時，求證：，作差得：，又因為，得
為正數數，所列，所以以，即是公差為2的等差數列，由（2），所以
注：一般先分析數列的通項公式．如果此數列的前項和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比數列（這里所謂的差比數列，即指數列倒序相加等方法來求和． 二．先放縮再求和
1．放縮后成等差數列，再求和 例2．已知各項均為正數的數列的前項和為,且
.滿足條件）求和或者利用分組、裂項、(1)求證：；
(2)求證： 解：（1）在條件中，令有，得，上述兩式相減，注意到
∴
，又由條件得
所以，所以
（2）因為，所以，所以
；2．放縮后成等比數列，再求和 例3．（1）設a，n∈N*，a≥2，證明：（2）等比數列{an}中，；，前n項的和為An，且A7，A9，A8成等差數列．設，數列{bn}前n項的和為Bn，證明：Bn＜．
解：（1）當n為奇數時，an≥a，于是，當n為偶數時，a－1≥1，且an≥a2，于是
． ．
（2）∵，，∴公比．
∴． ． ∴3．放縮后為差比數列，再求和
．
例4．已知數列滿足：，．求證：
證明：因為，所以
與
同號，又因為，所以，即，即．所以數列為遞增數列，所以，即，累加得：．
令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得．
4．放縮后為裂項相消，再求和
例5．在m（m≥2）個不同數的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時Pi＞P（即前面某數大于后面某數），則稱Pi與Pj構成一個逆序.一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數.記排列．j
（1）求a4、a5，并寫出an的表達式； 的逆序數為an，如排列21的逆序數，排列321的逆序數（2）令，證明，n=1,2,….（2）因為，所以.又因為，所以
=綜上，..注：常用放縮的結論：（1）
（2）．
在解題時朝著什么方向進行放縮，是解題的關鍵，一般要看證明的結果是什么形式．如例２要證明的結論、為等差數列求和結果的類型，則把通項放縮為等差數列，再求和即可；如例3要證明的結論為等比數列求和結果的類型，則把通項放縮為等比數列，再求和即可；如例4要證明的結論為差比數列求和結果的類型，則把通項放縮為差比數列，再求和即可；如例5要證明的結論裂項相消求和結果的類型，則把通項放縮為相鄰兩項或相隔一項的差，再求和即可．
為雖然證明與數列和有關的不等式問題是高中數學中比較困難的問題，但是我們通過仔細分析它的條件與要證明的結論之間的內在關系，先確定能不能直接求和，若不能直接求和則要考慮把通項朝什么方向進行放縮．如果我們平時能多觀測要證明結論的特征與數列求和之間的關系，則仍然容易找到解決這類問題的突破口．
第三篇：放縮法討論
不等式的證明——放縮法
學習目標：
1、感受在什么情況下，需要用放縮法證明不等式。
2、探索用放縮法證明不等式的理論依據和技巧。
放縮法：證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的。
若是自然數，求證
1111?2?2???2?2.2123n
2k 111???,k?2,3,4,?,n.k(k?1)k?1k
常見方法：
1、分式放縮；
2、利用已知結論放縮；
3、裂項放縮；
4、先放縮后求和。
放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小,尋找一個
中間量,如將A放大成C,即A?C,后證C?B.常用的放縮技巧有:
(1)舍掉(或加進)一些項;
(2)在分式中放大或縮小分子或分母;
(3)應用基本不等式進行放縮.如
12312①(a?)??(a?);242 111112,2?,?, ②2?kk(k?1)kk(k?1)kk?k?1 2 1?(以上k?2且k?N?)kk?k?1
歸納延伸
1.放縮法證明不等式的理論依據主要有：
(1)不等式的傳遞性；
(2)等量加不等量為不等量；
(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較．
2.常用的放縮技巧：
（1）對于分子分母均取正值的分式，（Ⅰ）如果分子不變，分母縮?。ǚ帜溉詾檎龜担?，則分式的值放大；
（Ⅱ）如果分子不變，分母放大，則分式的值縮小。
（2）①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮．
第四篇：放縮法證明不等式
放縮法證明不等式
不等式是數學的基本內容之一，它是研究許多數學分支的重要工具，在數學中有重要的地位，也是高中數學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。
一、不等式的初等證明方法
1.綜合法：由因導果。
2.分析法：執果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。
(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。
3.反證法：正難則反。
4.放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。放縮法的方法有：
(1)添加或舍去一些項，如
(2)利用基本不等式，如：
(3)將分子或分母放大(或縮小)：
5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題
化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。
二、部分方法的例題
1.換元法
換元法是數學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結構，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。
2.放縮法
欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。
注意：用放縮法證明數列不等式，關鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當的數學思維能力和一定的解題智慧。
數學題目是無限的，但數學的思想和方法卻是有限的。我們只要學好了有關的基礎知識，掌握了必要的數學思想和方法，就能順利地應對那無限的題目。題目并不是做得越多越好，題海無邊，總也做不完。關鍵是你有沒有培養起良好的數學思維習慣，有沒有掌握正確的數學解題方法。當然，題目做得多也有若干好處：一是“熟能生巧”，加快速度，節省時間，這一點在考試時間有限時顯得很重要;二是利用做題來鞏固、記憶所學的定義、定理、法則、公式，形成良性循環。
解題需要豐富的知識，更需要自信心。沒有自信就會畏難，就會放棄;有了自信，才能勇往直前，才不會輕言放棄，才會加倍努力地學習，才有希望攻克難關，迎來屬于自己的春天。
第五篇：高中數學放縮法公式
“放縮法”證明不等式的基本策略
1、添加或舍棄一些正項（或負項）
例
1、已知an?2n?1(n?N*).求證：
k
n
2?
3?
a1a2
?
a2a3
?...?
anan?1?
(n?N).*
證明： ?
akak?
1?
2?12
k?1
?1
?
?
12(2
k?1
?1)
?
?
13.2?2?2
k
k
?
1211
.k,k?1,2,...,n, 32
?
a1a2n2
?
a2a3?
?...?
anan?1
?
n2
?
1111n11n1(?2?...?n)??(1?n)??, 322223223
n2
*
??
a1a2
?
a2a3
?...?
anan?1
?(n?N).若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負的值，多項式的值變小。由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達到證明的目的。本題在放縮時就舍去了2k?2，從而是使和式得到化簡.2、先放縮再求和（或先求和再放縮）
例
2、函數f（x）=
4xx，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+
2n?
11?
4nn
?
2(n?N)
*
.證明：由f(n)=
1?4
=1-
11?4
n
?1?
12?2
12?2
?1?12
n
12?2
n
得f（1）+f（2）+…+f（n）>1?
?n?
14(1?
12?14???
n?1
2?2
???1?)?n?
n?1
?(n?N)
*
.此題不等式左邊不易求和,此時根據不等式右邊特征, 先將分子變為常數，再對分母進行放縮，從而對左邊可以進行求和.若分子, 分母如果同時存在變量時, 要設法使其中之一變為常量，分式的放縮對于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。
3、逐項放大或縮小
例
3、設an?證明：∵∴ n?
?2?2?3?
n
3?4???
?n
n(n?1)(n?1)
?an?n(n?1)求證2
2(n?
12)
n(n?1)?n(n?1)?
n(n?1)??
2n?12
2n?12，∴
n(n?1)2
?an?
(n?1)
∴ 1?2?3???n?an?
本題利用n?
?
1?3???(2n?1)
2n?
1，對an中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數列，達到化簡的目的。
4、固定一部分項，放縮另外的項；
例
4、求證：
1n
1?
2?
3???
1n
?
4證明：?
?
1n(n?1)
???
?
1n?1
?1?
?
1n
1n?1
1n
1n
??
?
n
?(?????)??(?)?.此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根
據具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。
5、函數放縮
ln
2例5.求證：
?
ln3
3?
ln4
4???
ln33
n
n
?3?
1x
n
5n?66
ln2
(n?N)
ln33
*
.???
ln33
nn
解析:先構造函數有
lnx?x?1?
lnxx
?1?,從而
??
ln44
?3?1?（n
?
???
n)
因為2
?
???
n
11??11??111111??
1????????????????n?n???n?
2?13? ?23??456789??2
n?1
?3n?19?3?33??9
??????????????2?3n?1?3n
6?69??1827???5n
???6?
n
5n?66
ln2
所以
?
ln33
?
ln44
???
ln33
n
n
?3?1?
n
5n6
?3?
6、裂項放縮
n
例6求證:k?1k
?
?
53.1n
?
1n?
4?
1??
1?2???
4n?1?2n?12n?1?
n
解析:因為,所以
?k
k?1
11?25?11
?1?2?????????1?
2n?12n?1?33?357、均值不等式放縮
例7.設
Sn?
?2?
2?3???
k
n(n?1).求證
n(n?1)
2?Sn?
(n?1)2
.解析: 此數列的通項為a
?k?
k(k?1)?
k?k?
1n(n?1)2
?k(k?1),k?1,2,?,n.n
n
?k?
12，??k?Sn?
k?1
?(k?
k?1
12)，n(n?1)
即
?Sn?
?
n2
?
(n?1)2
.ab?
a?b2
注：①應注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式
n，若放成k(k?1)?k?1
則得
Sn?
?
k?1
(k?1)?
(n?1)(n?3)
?
(n?1)2，就放過“度”了！
②根據所證不等式的結構特征來選取所需要的重要不等式，這里
n1
1an
?
n
1?an?
a1???an
n
?
a1???an
n
a1
???
其中，n?2,3等的各式及其變式公式均可供選用。
8、二項放縮
n
?(1?1)
n
?Cn?Cn???Cn2n?Cn0?Cn?n?1
01n，2?C
n
n
?C
1n
?C
2n
?
n
?n?22
n
?n(n?1)(n?2)
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