第一篇：放縮法典型例題

放縮法典型例題

數列與不等式的綜合問題常常出現在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點，這類問題能有效地考查學生綜合運用數列與不等式知識解決問題的能力．本文介紹一類與數列和有關的不等式問題，解決這類問題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和．

一．先求和后放縮

例1．正數數列（1）數列的前項的和的通項公式；，滿足，試求：

（2）設解：（1）由已知得，數列的前項的和為，所以時，求證：，作差得：，又因為，得為正數數，所列，所以以，即是公差為2的等差數列，由（2），所以

注：一般先分析數列的通項公式．如果此數列的前項和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比數列（這里所謂的差比數列，即指數列倒序相加等方法來求和．

二．先放縮再求和

1．放縮后成等差數列，再求和

例2．已知各項均為正數的數列的前項和為,且.滿足條件）求和或者利用分組、裂項、(1)求證：；

(2)求證：

解：（1）在條件中，令有，得，上述兩式相減，注意到

∴，又由條件得

所以，所以

（2）因為，所以，所以；

2．放縮后成等比數列，再求和

例3．（1）設a，n∈N*，a≥2，證明：；

（2）等比數列{an}中，前n項的和為An，且A7，A9，A8成等差數列．設，數列{bn}前n項的和為Bn，證明：Bn＜．

解：（1）當n為奇數時，an≥a，于是，當n為偶數時，a－1≥1，且an≥a2，于是

． ．

（2）∵，，∴公比． ∴．

．

∴

3．放縮后為差比數列，再求和 ．

例4．已知數列滿足：，．求證：

證明：因為，所以與同號，又因為，所以，即，即．所以數列為遞增數列，所以，即，累加得：． 令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得．

4．放縮后為裂項相消，再求和

例5．在m（m≥2）個不同數的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時Pi＞P（即前面某數大于后面某數），則稱Pi與Pj構成一個逆序.一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數.記排列

．j

（1）求a4、a5，并寫出an的表達式； 的逆序數為an，如排列21的逆序數，排列

321的逆序數

（2）令，證明，n=1,2,….（2）因為，所以.又因為，所以

=

綜上，..注：常用放縮的結論：（1）

（2）．

在解題時朝著什么方向進行放縮，是解題的關鍵，一般要看證明的結果是什么形式．如例２要證明的結論、為等差數列求和結果的類型，則把通項放縮為等差數列，再求和即可；如例3要證明的結論為等比數列求和結果的類型，則把通項放縮為等比數列，再求和即可；如例4要證明的結論為差比數列求和結果的類型，則把通項放縮為差比數列，再求和即可；如例5要證明的結論

相消求和結果的類型，則把通項放縮為相鄰兩項或相隔一項的差，再求和即可．為裂項

第二篇：放縮法證明數列不等式經典例題

放縮法證明數列不等式

主要放縮技能： 1.1111111???2??? nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n

114411????2(?)

22n4n?1(2n?1)(2n?1)2n?12n?1n2?4

2.???? ????2)

? ??

??

??

?

? 4.2n2n2n?1115.n ????(2?1)2(2n?1)(2n?2)(2n?1)(2n?1?1)2n?1?12n?16.n?22(n?1)?n11??? n(n?1)?2n?1n(n?1)?2n?1n?2n(n?1)?2n?1

x2?x?n*c?(n?N)例1.設函數y?的最小值為，最大值為，且abnnn2x?1

（1）求cn；（2）證明：

例2.證明：16?1?

例3.已知正項數列?an?的前n項的和為sn，且an?

2（1）求證：數列sn是等差數列； 11117?????? 444c14c2c3cn4????17 1?2sn，n?N*； an??

（2）解關于數列n的不等式：an?1?(sn?1?sn)?4n?8

（3）記bn?2sn,Tn?331111?Tn??????

?，證明：1 2b1b2b3bn

例4.已知數列?an?滿足：?n?2?an?an?1； ?是公差為1的等差數列，且an?1?nn??

（1）求an；（2

????2 例5.在數列?an?中，已知a1?2,an?1an?2an?an?1；

（1）求an；（2）證明：a1(a1?1)?a2(a2?1)?a3(a3?1)???an(an?1)?3

2n?1an例6.數列?an?滿足：a1?2,an?1?； n(n?)an?22

5112n

（1）設bn?，求bn；（2）記cn?，求證：?c1?c2?c3???cn? 162n(n?1)an?1an

例7.已知正項數列?an?的前n項的和為sn滿足：sn?1,6sn?(an?1)(an?2)；

（1）求an；

（2）設數列?bn?滿足an(2n?1)?1,并記Tn?b1?b2?b3???bn，b

求證：3Tn?1?log2n

(a?3)（函數的單調性，貝努力不等式，構造，數學歸納法）

例8.已知正項數列?an?滿足：a1?1,nan?1(n?1)an??1，anan?1

記b1?a1,bn?n[a1?

（1）求an；

（2）證明：(1?

2111????](n?2)。222a2a3an?11111)(1?)(1?)?(1?)?4 b1b2b3bn4

第三篇：數學放縮法

放縮法的常見技巧（1）舍掉（或加進）一些項

（2）在分式中放大或縮小分子或分母。（3）應用基本不等式放縮(例如均值不等式）。（4）應用函數的單調性進行放縮（5）根據題目條件進行放縮。（6）構造等比數列進行放縮。（7）構造裂項條件進行放縮。

（8）利用函數切線、割線逼近進行放縮。

使用放縮法的注意事項（1）放縮的方向要一致。（2）放與縮要適度。

（3）很多時候只對數列的一部分進行放縮法，保留一些項不變（多為前幾項或后幾項）。（4）用放縮法證明極其簡單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強，稍有不慎，則會出現放縮失當的現象。所以對放縮法，只需要了解，不宜深入。

先介紹工具

柯西不等式（可以通過向量表示形式記住即摸摸大于向量乘積）

均值不等式

調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數≤平方平均數

絕對值三角不等式

定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推論1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性質可推廣為|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推論2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是實數，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當(a－b)(b－c)≥0時，等號成立．

常用放縮思想

這幾個務必牢記

不常見不常用的不等式

這幾個一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了

下面就是常用思路了，主要就是裂項部分

當年apucng與V_First研究的題

二項平方和

f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0

第四篇：放縮法討論

不等式的證明——放縮法

學習目標：

1、感受在什么情況下，需要用放縮法證明不等式。

2、探索用放縮法證明不等式的理論依據和技巧。

放縮法：證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的。

若是自然數，求證

1111?2?2???2?2.2123n

2k 111???,k?2,3,4,?,n.k(k?1)k?1k

常見方法：

1、分式放縮；

2、利用已知結論放縮；

3、裂項放縮；

4、先放縮后求和。

放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小,尋找一個

中間量,如將A放大成C,即A?C,后證C?B.常用的放縮技巧有:

(1)舍掉(或加進)一些項;

(2)在分式中放大或縮小分子或分母;

(3)應用基本不等式進行放縮.如

12312①(a?)??(a?);242 111112,2?,?, ②2?kk(k?1)kk(k?1)kk?k?1 2 1?(以上k?2且k?N?)kk?k?1

歸納延伸

1.放縮法證明不等式的理論依據主要有：

(1)不等式的傳遞性；

(2)等量加不等量為不等量；

(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較．

2.常用的放縮技巧：

（1）對于分子分母均取正值的分式，（Ⅰ）如果分子不變，分母縮?。ǚ帜溉詾檎龜担瑒t分式的值放大；

（Ⅱ）如果分子不變，分母放大，則分式的值縮小。

（2）①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮．

第五篇：放縮法證明不等式

放縮法證明不等式

在學習不等式時，放縮法是證明不等式的重要方法之一，在證明的過程如何合理放縮，是證明的關鍵所在?，F例析如下，供大家討論。例1：設a、b、c是三角形的邊長，求證

abc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c證明：由不等式的對稱性，不妨設a≥b≥c，則b?c?a≤c?a?b≤a?b?c

且2c?a?b≤0，2a?b?c≥0

∴

? ∴abcabc???3??1??1??1

b?c?ac?a?ba?b?cb?c?ac?a?ba?b?c2a?b?c2b?a?c2c?a?b2a?b?c2b?c?a2c?a?b≥?????0

b?c?ac?a?ba?b?cc?a?bc?a?bc?a?babc≥3 ??b?c?ac?a?ba?b?c2b?a?c無法放縮。所以在運用放

c?a?b[評析]：本題中為什么要將b?c?a與a?b?c都放縮為c?a?b呢？這是因為2c?a?b≤0，2a?b?c≥0，而2b?a?c無法判斷符號，因此縮法時要注意放縮能否實現及放縮的跨度。

例2：設a、b、c是三角形的邊長，求證

abc(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2≥ b?cc?aa?b1 [(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]

3證明：由不等式的對稱性，不防設a≥b≥c，則3a?b?c?0,3b?c?a≥b?c?c?c?a?

b?c?a?0

左式－右式?3a?b?c3b?c?a3c?a?b(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2 b?ca?ca?b3b?c?a3c?a?b(c?a)2?(a?b)2 a?ba?b2(b?c?a)3b?c?a3c?a?b(a?b)2?(a?b)2?(a?b)2≥0 a?ba?ba?b ≥ ≥[評析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個式了，有了一定的難度。由例

1、例2也可知運用放縮法前先要觀察目標式子的符號。

例3：設a、b、c?R?且abc?1求證

111≤1 ??1?a?b1?b?c1?c?a證明：設a?x3,b?y3,c?z3.且 x、y、z?R?.由題意得：xyz?1。

∴1?a?b?xyz?x3?y3

∴x3?y3?(x2y?xy2)?x2(x?y)?y2(y?x)?(x?y)2(x?y)≥0 ∴x3?y3≥x2y?xy2

∴1?a?b?xyz?x3?y3≥xyz?xy(x?y)?xy(x?y?z)

∴

1z1?≤

xy(x?y?z)x?y?z1?a?byx11≤，≤ ∴命題得證.x?y?zx?y?z1?b?c1?c?a同理：由對稱性可得[評析]：本題運用了排序不等式進行放縮，后用對稱性。

39例4：設a、b、c≥0，且a?b?c?3，求證a2?b2?c2?abc≥

22證明：不妨設a≤b≤c，則a≤1?又∵(44?！郺??0。33a?b23?a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a?)≥(3?a)2(a?)。2223833∴左邊?(a?b?c)2?2(ab?bc?ca)?abc

23434 ?9?2a(b?c)?bc(a?)≥9?2a(3?a)?(3?a)2(a?)

2383

341633?9?(3?a)[(3?a)(a?)?a]?9?(3?a)[a2?a?4]?9?(?a3?2a2?a?12)83388?99393?a(a2?2a?1)??a(a?1)2≥

2282893 ∴a2?b2?c2?abc≥

22[評析]：本題運用對稱性確定符號，在使用基本不等式可以避開討論。

例5：設a、b、c?R?，p?R，求證：

abc(ap?bp?cp)≥ap?2(?a?b?c)?bp?2(a?b?c)?cp?2(a?b?c)

證明：不妨設a≥b≥c＞0，于是

左邊－右邊?ap?1(bc?a2?ab?ca)?bp?1(ca?b2?bc?ab)?cp?1(ab?c2?ca?bc)

?ap?1(a?b)[(a?b)?(b?c)]?bp?1(a?b)(b?c)?cp?1[(a?b)?(b?c)](b?c)?ap?1(a?b)2?(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1(b?c)2

≥(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)如果p?1≥0，那么ap?1?bp?1≥0；如果p?1＜0，那么cp?1?bp?1≥0，故有(a?b)(b?c)(ap?1?bp?1?cp?1)≥0，從而原不等式得證.例6：設0≤a≤b≤c≤1，求證：

abc???(1?a)(1?b)(1?c)≤1

b?c?1c?a?1a?b?1abca?b?c≤，再證明以 ??b?c?1c?a?1a?b?1a?b?1證明：設0≤a≤b≤c≤1，于是有下簡單不等式

a?b?ca?b?1c?1?(1?a)(1?b)(1?c)≤1，因為左邊???(1?a)(1?b)(1?c)

a?b?1a?b?1a?b?1

?1?1?c[1?(1?a?b)(1?a)(1?b)]，再注意(1?a?b)(1?a)(1?b)≤(1?a?b?ab)

a?b?1(1?a)(1?b)?(1?a)(1?b)(1?a)(1?b)?(1?a2)(1?b2)≤1得證.在用放縮法證明不等式A≤B，我們找一個(或多個)中間量C作比較，即若能斷定A ≤C與C≤B同時成立，那么A≤B顯然正確。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A。同時在放縮時必須時刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及。