第一篇：數(shù)學歸納法經(jīng)典例題詳解

例1．用數(shù)學歸納法證明：

1111n． ???????2n?1??2n?1?2n?11?33?55?7請讀者分析下面的證法： 證明：①n=1時，左邊?1111?，右邊??，左邊=右邊，等式成立． 1?332?13②假設(shè)n=k時，等式成立，即：

1111k??????．

?2k?1??2k?1?2k?11?33?55?7那么當n=k+1時，有：

11111??????

?2k?1??2k?1??2k?1??2k?3?1?33?55?7?1??1??11??11?1??11???11?????????????????????? 2?335572k?12k?12k?12k?3????????????1?1?12k?2 1?????2?2k?3?22k?3k?1k?1?

2k?32?k?1??1??這就是說，當n=k+1時，等式亦成立． 由①、②可知，對一切自然數(shù)n等式成立．

評述：上面用數(shù)學歸納法進行證明的方法是錯誤的，這是一種假證，假就假在沒有利用歸納假設(shè)n=k這一步，當n=k+1時，而是用拆項法推出來的，這樣歸納假設(shè)起到作用，不符合數(shù)學歸納法的要求．

正確方法是：當n=k+1時．

11111??????

?2k?1??2k?1??2k?1??2k?3?1?33?55?7?k1?

2k?1?2k?1??2k?3??2k?1??k?1? 2k2?3k?1???2k?1??2k?3??2k?1??2k?3?

?k?1k?1 ?2k?32?k?1??1這就說明，當n=k+1時，等式亦成立，例2．是否存在一個等差數(shù)列{an}，使得對任何自然數(shù)n，等式：

a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立，并證明你的結(jié)論．

分析：采用由特殊到一般的思維方法，先令n=1，2，3時找出來{an}，然后再證明一般性．

解：將n=1，2，3分別代入等式得方程組．

?a1?6?，?a1?2a2?24?a?2a?3a?6023?1解得a1=6，a2=9，a3=12，則d=3．

故存在一個等差數(shù)列an=3n+3，當n=1，2，3時，已知等式成立．

下面用數(shù)學歸納法證明存在一個等差數(shù)列an=3n+3，對大于3的自然數(shù)，等式 a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立． 因為起始值已證，可證第二步驟．

假設(shè)n=k時，等式成立，即 a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)那么當n=k+1時，a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1 = k(k+1)(k+2)+(k+1)[3(k+1)+3] =(k+1)(k2+2k+3k+6)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2] 這就是說，當n=k+1時，也存在一個等差數(shù)列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立． 綜合上述，可知存在一個等差數(shù)列an=3n+3，對任何自然數(shù)n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立．

例3．證明不等式1?12?13???1n?2n(n∈N)．

證明：①當n=1時，左邊=1，右邊=2．

左邊<右邊，不等式成立．

②假設(shè)n=k時，不等式成立，即1?12?13???1k?2k．

那么當n=k+1時，1?12?13???1k?1k?1

?2k?1k?1?2kk?1?1k?12?k?1?k?1

?k??k?1??1k?1??2k?1

這就是說，當n=k+1時，不等式成立．

由①、②可知，原不等式對任意自然數(shù)n都成立． 說明：這里要注意，當n=k+1時，要證的目標是

1?12?131???1k?1k?1?2k?1，當代入歸納假設(shè)后，就是要證明：

2k?k?1?2k?1．

認識了這個目標，于是就可朝這個目標證下去，并進行有關(guān)的變形，達到這個目標． 例4．已知數(shù)列{an}滿足a1=0，a2=1，當n∈N時，an+2=an+1+an． 求證：數(shù)列{an}的第4m+1項(m∈N)能被3整除．

分析：本題由an+1=an+1+an求出通項公式是比較困難的，因此可考慮用數(shù)學歸納法． ①當m=1時，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除． ②當m=k時，a4k+1能被3整除，那么當n=k+1時，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3 =a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1 =3a4k+2+2a4k+1

由假設(shè)a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除． 因此，當m=k+1時，a4(k+1)+1也能被3整除．

由①、②可知，對一切自然數(shù)m∈N，數(shù)列{an}中的第4m+1項都能被3整除．

例5．n個半圓的圓心在同一條直線l上，這n個半圓每兩個都相交，且都在直線l的同側(cè)，問這些半圓被所有的交點最多分成多少段圓弧？

分析：設(shè)這些半圓最多互相分成f(n)段圓弧，采用由特殊到一般的方法，進行猜想和論證．

當n=2時，由圖(1)．兩個半圓交于一點，則分成4段圓弧，故f(2)=4=22． 當n=3時，由圖(2)．三個半徑交于三點，則分成9段圓弧，故f(3)=9=32． 由n=4時，由圖(3)．三個半圓交于6點，則分成16段圓弧，故f(4)=16=42． 由此猜想滿足條件的n個半圓互相分成圓弧段有f(n)=n2． 用數(shù)學歸納法證明如下： ①當n=2時，上面已證．

②設(shè)n=k時，f(k)=k2，那么當n=k+1時，第k+1個半圓與原k個半圓均相交，為獲得最多圓弧，任意三個半圓不能交于一點，所以第k+1個半圓把原k個半圓中的每一個半圓中的一段弧分成兩段弧，這樣就多出k條圓弧；另外原k個半圓把第k+1個半圓分成k+1段，這樣又多出了k+1段圓弧．

∴ f(k+1)=k2+k+(k+1)

=k2+2k+1=(k+1)2 ∴ 滿足條件的k+1個半圓被所有的交點最多分成(k+1)2段圓弧． 由①、②可知，滿足條件的n個半圓被所有的交點最多分成n2段圓弧．

說明：這里要注意；增加一個半圓時，圓弧段增加了多少條？可以從f(2)=4，f(3)=f(2)+2+3，f(4)=f(3)+3+4中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：f(k+1)=f(k)+k+(k+1)．

第二篇：數(shù)學證明法例題

例1 已知，p，q∈R’且p+q＝2，求證：p+q≤

2證明用反證法

設(shè)

p+q＞

2，則q＞2-p，∴q＞8-12p+6p-p

p+q＞8-12p+6p＝2+6(p-1)≥2

與題p+q＝2，矛盾。

所以p+q＞2不成立，只能是p+q≤2。

說明當用直接證法證明比較困難時可以用反證法。反證法的步驟首先是否定結(jié)論，要找準結(jié)論的反面，然后根據(jù)題設(shè)或定理公理推出矛盾，即結(jié)論的反面不成立。

例2 已知x+y＝1，x，y∈R 223333223233

3證明∵x+y＝1 22

由三角函數(shù)的有界性可得

換元法中應(yīng)用三角函數(shù)，將代數(shù)式化成了三角式再結(jié)合三角公式以及三角函數(shù)中正、余弦函數(shù)的有界性，可以使證明簡練。例2的證法四

例3 已知a，b，m∈R，且a＜b，+

分析本題可以用比較法，綜合法，分析法來證明，而且都比較容易，這里再介紹幾種構(gòu)造法證題。

證法一利用函數(shù)的性質(zhì)來說明

證法二設(shè)點A(b，a)，點B(-m，-m)，其中m＞0∵0＜a＜b，則(如圖5-2)直線OA

∵B在第三象限角的平分線上，所以AB必與x軸的正半軸相交，

第三篇：《人民警察法》例題

《人民警察法》例題

一、填充：

1、人民警察依法執(zhí)行職務(wù)，受________保護。

2、人民警察依法實行________制度。

3、錄用人民警察，必須按照國家規(guī)定公開________、嚴格_______擇優(yōu)選用。

4、人民警察必須執(zhí)行上級的決定和命令。人民警察認為決定和命令有錯誤時，可以按照規(guī)定提出意見，但___________或者__________決定和命令的執(zhí)行。

5、人民警察執(zhí)行職務(wù)，依法接受人民檢察院和_______________的監(jiān)督。

6、人民警察包括公安機關(guān)_____________、_____________勞動教養(yǎng)管理機關(guān)的人民警察和人民法院、人民檢察院的司法警察。

7、公安機關(guān)人民警察對嚴重危害社會治安秩序或者威脅公共安全的人員，可以強行____________、依法予以拘留或者采取法律規(guī)定的其他措施。

8、對被盤問人的留臵時間自帶至公安機關(guān)之時起不超過____________小時。

9、為制止________________活動的需要，公安機關(guān)的人民警察依照國家有關(guān)規(guī)定可以使用警械。

10、違反紀律的人民警察，必要時可以對其采取停止執(zhí)行職務(wù)、___________的措施。

11、為制止嚴重違法犯罪活動的需要，公安機關(guān)的人民警察依照國家有關(guān)規(guī)定可以使用_______________。

12、公安機關(guān)的人民警察因履行職責的緊急需要，經(jīng)出示相應(yīng)證件，可以_______乘坐公共交通工具，遇交通阻礙時，___________通行。

13、人民警察在非工作時間，遇有其職責范圍內(nèi)的緊急情況，應(yīng)當________。

14、人民警察個人或者集體在工作中表現(xiàn)突出，有顯著成績和特殊貢獻的，給予獎勵。獎勵分為：嘉獎、________、_______、一等功、授予________。

15、人民警察必須以___________和____________為活動準則，忠于職守，清正廉潔，紀律嚴明，服從命令，嚴格執(zhí)法。

16、人民警察遇到公民人身、財產(chǎn)安全受到侵犯或者處于其他危難情形，應(yīng)當_____________。

17、人民警察對超越法律、法規(guī)規(guī)定的人民警察職責范圍的指令，有權(quán)___________，并同時向______________報告。

18、人民警察的警用標志、___________、___________證件為人民警察專用，其他個人和組織不得持有和使用。

19、人民警察執(zhí)行職務(wù)，依法接受人民檢察院和_______________的監(jiān)督。

20、人民警察在非工作時間，遇有其職責范圍內(nèi)的緊急情況，應(yīng)當_________。

21、對受獎勵的人民警察，按照國家有關(guān)規(guī)定，可以_________，并給予一定的物質(zhì)獎勵。

22、人民警察的警用標志、制式服裝、__________、___________為人民警察專用，其他個人和組織不得持有和使用。

23、人民警察執(zhí)行職務(wù)，必須自覺地接受社會和公民的監(jiān)督。人民警察機關(guān)作出的與公眾利益直接有關(guān)的規(guī)定，應(yīng)當向__________公布。

二、單項選擇：

1、人民警察對超越法律、法規(guī)規(guī)定的人民警察職責范圍的指令，在向上級機關(guān)報告的同時()。

a、不得拒絕執(zhí)行b、不得中止執(zhí)行c、可以改變執(zhí)行d、有權(quán)拒絕執(zhí)行

2、對違反紀律的人民警察停止執(zhí)行職務(wù)的期限為15天至()。

a、1個月b、2個月c、3個月d、4個月

3、人民警察必須按照規(guī)定著裝，佩戴人民警察標志或者持有人民警察證件，保持

()，舉止端莊。

a、服裝整齊b、語言文明c、警容嚴整d、文明禮貌

4、人民警察法的立法依據(jù)是()。

a、法律b、法規(guī)c、憲法d、刑法和刑事訴訟法

5、對違反紀律的人民警察，采取禁閉的天數(shù)為1至()

a、3天b、5天c、7天d、15天

6、對有違法犯罪嫌疑的人，需要繼續(xù)盤問的，在特殊情況下，經(jīng)縣級以上公安機關(guān)批準，可以將留臵時間延長至()小時

a、12b、24c、48d、727、人民警察執(zhí)行職務(wù)，依法接受人民檢察院和()的監(jiān)督。

a、人民法院b、上級公安機關(guān)c、行政監(jiān)察機關(guān)d、當事人

8、縣級以上人民政府公安機關(guān)，為預(yù)防和制止嚴重危害社會治安秩序的行為，可以在一定的區(qū)域和時間，限制人員、車輛的通行或者停留，必要時可以實行()

a、現(xiàn)場封鎖b、現(xiàn)場管制c、交通封鎖d、交通管制

9、縣級以上人民政府公安機關(guān)，經(jīng)上級公安機關(guān)和同級人民政府批準，對嚴重危害社會治安秩序的突發(fā)事件，可以根據(jù)情況實行()。

a、交通封閉b、交通管制c、現(xiàn)場管制d、現(xiàn)場封閉

10、錄用人民警察，必須按照國家規(guī)定，()，嚴格考核、擇優(yōu)選用。

三、多項選擇：

1、人民警察在辦案過程中，如果()，應(yīng)當回避。

a、是本案的當事人b、是當事人的近親屬c、本人與本案有利害關(guān)系d、其近親屬與本案有利害關(guān)系

2、公民或者組織對人民警察的違法、違紀行為，有權(quán)向()檢舉、控告。a、公安機關(guān)b、人民檢察院c、人民法院d、行政監(jiān)察機關(guān)

3、人民警察的任務(wù)有()等。

a、維護國家安全b、維護社會治安秩序c、保護公民人身安全、人身自由和合法財產(chǎn)d、保護公共財產(chǎn)

4、公安機關(guān)的人民警察有()等權(quán)限。

a、實施行政強制措施b、實施行政處罰c、按照規(guī)定使用武器d、執(zhí)行刑事強制措施和搜查

5、人民警察義務(wù)和紀律的基本要求是()

a、秉公執(zhí)法、辦事公道b、模范遵守社會公德c、尊重人民群眾的風俗習

慣d、禮貌待人、文明執(zhí)勤

6、對人民警察的外部執(zhí)法監(jiān)督包括()監(jiān)督。

a、檢察b、行政c、公民和社會組織d、新聞媒介

7、公安機關(guān)的人民警察對違反治安管理或者其他公安行政管理法律、法規(guī)的個人或者組織，依法可以實施()

a、行政強制措施b、行政處分c、行政處罰d、刑事處罰

8、人民警察不得()。

a、參加罷工b、接受當事人請客c、從事營利性的經(jīng)營活動d、受雇于某組織

9、人民警察義務(wù)和紀律的基本要求是()

a、秉公執(zhí)法、辦事公道b、模范遵守社會公德c、尊重人民群眾的風俗習慣d、禮貌待人、文明值勤

4、對違反紀律的人民警察的行政處分包括()。

a、警告b、記過c、記大過d、禁閉

10、公安機關(guān)因偵查犯罪的緊急需要，可以優(yōu)先使用有關(guān)組織和個人的()。a、交通工具b、通信工具c、現(xiàn)金d、建筑物

四、判斷改錯：

1、人民警察必須以人民警察法為活動準則，忠于職守，清正廉潔，紀律嚴明，服從命令，嚴格執(zhí)法。

2、對被盤問人的留臵時間，在特殊情況下，經(jīng)縣級以上公安機關(guān)批準，可以延長四十八小時。

3、人民警察遇到公民人身財產(chǎn)安全受到侵犯或者處于其他危難情形的，可以參加救助。

4、縣級以上人民政府公安機關(guān)，為預(yù)防和制止嚴重危害社會治安秩序的行為，可以在一定的區(qū)域和時間，限制人員車輛的通行或者停留，必要時可以實行現(xiàn)場管制。

5、對違反紀律的人民警察，必要時可以對其采取停止執(zhí)行職務(wù)，責令具結(jié)悔過的措施。

6、公安機關(guān)在報紙上刊登通緝令，并附有被通緝?nèi)说恼掌矙C關(guān)因此侵犯了被通緝?nèi)说男は駲?quán)。

7、人民警察所有執(zhí)行職務(wù)的行為都受法律保護。

8、基層公安機關(guān)認為上級的決定和命令有錯誤時，可以按照規(guī)定提出意見，也可以中止決定和命令的執(zhí)行。

9、對人民警察采取禁閉措施的期限為1至3天。

10、人民警察遇到公民人身財產(chǎn)安全受到侵犯或者處于其他危難情形的，可以參加救助。

11、人民警察執(zhí)行職務(wù)，必須自覺地接受社會和公民的監(jiān)督。人民警察機關(guān)作出的與公眾利益直接有關(guān)的規(guī)定，不必向公眾公布。

12、錄用人民警察，必須按照國家規(guī)定，開卷考試，嚴格考核，擇優(yōu)選用。

13、人民警察對超越法律、法規(guī)規(guī)定的人民警察職責范圍的指令，不得拒絕執(zhí)行，向上級機關(guān)報告。

14、縣級以上人民政府公安機關(guān)，經(jīng)上級公安機關(guān)和同級人民政府批準，對嚴重危害社會治安秩序的突發(fā)事件，可以根據(jù)情況實行交通管制。

15、人民警察執(zhí)行職務(wù)，受法律保護。

16、人民警察認為上級的決定和命令有錯誤時，可以按照規(guī)定提出意見，也可以中止決定和命令的執(zhí)行。

17、對人民警察采取禁閉措施的期限為1至3天。

18、人民警察在非工作時間，遇到其職責范圍內(nèi)的緊急情況，可以不履行職責。

五、簡答：

1、簡述繼續(xù)盤問的條件。

2、何為交通管制

六、案例簡釋：(回答問題，并說明理由)

1、公安民警柏某下班后著便裝乘公共汽車回家。在車上恰遇兩名歹徒持刀對乘客恐嚇搶劫，柏某見狀與歹徒展開搏斗。后在乘客協(xié)助下將歹徒制服，柏某左臂受傷住院，柏

某的行為得到當?shù)厝罕姷馁潛P。

問：柏某的行為是見義勇為，還是履行職責？為什么？

2、偵察員張某、李某駕車追緝一逃犯過程中，因車輛發(fā)生故障，不能繼續(xù)行駛。這時，一輛出租車路過，民警將其攔下，要求使用該車追逃犯，司機以其要做生意為由拒絕，民警張某當機立斷將車開走，在追緝返回途中致車輛外殼被碰壞。

問：民警這種做法是否合法？對使用的車輛及造成的損壞公安機關(guān)應(yīng)如何處理？

3、某青年明知是贓物而替人窩藏，被公安民警盤問，后又被帶至公安機關(guān)繼續(xù)盤問。經(jīng)過1天的盤問，認為需要拘留，經(jīng)縣公安局領(lǐng)導批準，依法予以拘留。

問：公安民警的執(zhí)法行為是否符合程序？為什么？

4、某日晚，派出所民警王某、張某執(zhí)勤時發(fā)現(xiàn)一男青年神色慌張，形跡可疑，上前盤問檢查，發(fā)現(xiàn)該青年提包內(nèi)裝有2萬元現(xiàn)金和幾件首飾。問其姓名、地址、錢物來源、欲往何處，均不作回答。在此情況下，民警將該青年帶至派出所。

問：根據(jù)人民警察法，下一步該怎么辦？如案情復(fù)雜，1天內(nèi)仍盤查不清又該怎么辦？

5、某車站派出所民警在候車室發(fā)現(xiàn)旅客張某手提密碼箱，形跡可疑，遂將其帶至派出所進行盤問，并對其密碼箱進行檢查，發(fā)現(xiàn)里面裝1支雷管和1把自制手槍。由于張某拒不講明自己的真實身份、住址，盤問近24小時仍無進展，經(jīng)派出所長批準繼續(xù)盤問。問：派出所長的行為是否適當？為什么？

6、某夜，一輛長途客車正在行駛，旅客們大都睡意朦朧。突然，一名歹徒持槍對準乘客，聲稱誰不交出錢和首飾就打死誰。看到這種情況，車上的公安民警孫某暗暗掏出手槍，選擇有利時機將其擊斃。

問：民警孫某的行為有無不當？為什么？

7、民警王某休假期間著便裝乘公共汽車回故鄉(xiāng)，在車上恰遇兩名歹徒對乘客恐嚇搶劫，王某見狀與歹徒搏斗。后在乘客協(xié)助下將歹徒制服，王某負傷，受到群眾贊揚。王某是履行人民警察職責，還是見義勇為？

8、民警張某在夜巡中，發(fā)現(xiàn)一男青年推著一輛摩托車行為鬼祟。遂上前出示警官證，對其當場盤問檢查，因前言不搭后語，回答自相矛盾，張某遂將其帶至派出所決定繼續(xù)盤問。經(jīng)盤問，該稱摩托車是其鄰居朱某委托其開回家，因發(fā)動不著而推行。民警張某認為其態(tài)度不老實，經(jīng)派出所長批準，決定對其延長留臵盤問至48小時。期間經(jīng)調(diào)查核實，該青年無違法犯罪嫌疑。48小時后該離開派出所留臵室。本案，公安機關(guān)執(zhí)法中有哪些問題？

9、陶某參加其同事婚禮，酒席間喝得爛醉如泥，又拒絕同事送其回家，在回家的大馬路上，陶某對過往行人尋釁滋事，民警接報后，迅速趕赴現(xiàn)場。

問：該民警下一步應(yīng)如何處臵？還應(yīng)注意哪些事項？

10、民警小孔在辦理一起治安案件時，私自接受了一方當事人（系小孔的同學）王某的兩條香煙，另一方當事人李某知悉此情后，要求小孔逥避。小孔說：我與王某是同學關(guān)系，收他兩條香煙又沒有違反什么規(guī)定，再說我與王某又不是親戚關(guān)系，不符合迴避的條件。

問：你對此事有何認識？為什么？

11、某縣政府決定召開一次萬人大會，根據(jù)縣領(lǐng)導的指示，為了維護好會場的交通秩序，保證安全，縣公安交巡大隊決定在某日7時30至10時30分，縣體育場南側(cè)主要街道實行交通管制。

問：交巡大隊決定實行交通管制對不對？為什么？

第四篇：放縮法典型例題

放縮法典型例題

數(shù)列與不等式的綜合問題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年高考命題的熱點，這類問題能有效地考查學生綜合運用數(shù)列與不等式知識解決問題的能力．本文介紹一類與數(shù)列和有關(guān)的不等式問題，解決這類問題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條：一是先求和再放縮，二是先放縮再求和．

一．先求和后放縮

例1．正數(shù)數(shù)列（1）數(shù)列的前項的和的通項公式；，滿足，試求：

（2）設(shè)解：（1）由已知得，數(shù)列的前項的和為，所以時，求證：，作差得：，又因為，得為正數(shù)數(shù)，所列，所以以，即是公差為2的等差數(shù)列，由（2），所以

注：一般先分析數(shù)列的通項公式．如果此數(shù)列的前項和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比數(shù)列（這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列倒序相加等方法來求和．

二．先放縮再求和

1．放縮后成等差數(shù)列，再求和

例2．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且.滿足條件）求和或者利用分組、裂項、(1)求證：；

(2)求證：

解：（1）在條件中，令有，得，上述兩式相減，注意到

∴，又由條件得

所以，所以

（2）因為，所以，所以；

2．放縮后成等比數(shù)列，再求和

例3．（1）設(shè)a，n∈N*，a≥2，證明：；

（2）等比數(shù)列{an}中，前n項的和為An，且A7，A9，A8成等差數(shù)列．設(shè)，數(shù)列{bn}前n項的和為Bn，證明：Bn＜．

解：（1）當n為奇數(shù)時，an≥a，于是，當n為偶數(shù)時，a－1≥1，且an≥a2，于是

． ．

（2）∵，，∴公比． ∴．

．

∴

3．放縮后為差比數(shù)列，再求和 ．

例4．已知數(shù)列滿足：，．求證：

證明：因為，所以與同號，又因為，所以，即，即．所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，累加得：． 令，所以，兩式相減得：，所以，所以，故得．

4．放縮后為裂項相消，再求和

例5．在m（m≥2）個不同數(shù)的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時Pi＞P（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個逆序.一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).記排列

．j

（1）求a4、a5，并寫出an的表達式； 的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列

321的逆序數(shù)

（2）令，證明，n=1,2,….（2）因為，所以.又因為，所以

=

綜上，..注：常用放縮的結(jié)論：（1）

（2）．

在解題時朝著什么方向進行放縮，是解題的關(guān)鍵，一般要看證明的結(jié)果是什么形式．如例２要證明的結(jié)論、為等差數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項放縮為等差數(shù)列，再求和即可；如例3要證明的結(jié)論為等比數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項放縮為等比數(shù)列，再求和即可；如例4要證明的結(jié)論為差比數(shù)列求和結(jié)果的類型，則把通項放縮為差比數(shù)列，再求和即可；如例5要證明的結(jié)論

相消求和結(jié)果的類型，則把通項放縮為相鄰兩項或相隔一項的差，再求和即可．為裂項

第五篇：數(shù)學歸納法基礎(chǔ)例題

典型例題

用數(shù)學歸納法證明等式

例１用數(shù)學歸納法證明

分析：用數(shù)學歸納法證明一個與整數(shù)有關(guān)的命題，關(guān)鍵是第二步，要注意當 時，等式兩邊的式子與 時等式兩邊的式子的聯(lián)系，增加了哪些項，減少了哪些項，問題就會順利解決．

證明：（1）當

（2）假設(shè)當 時，左邊 時，等式成立，即，右邊，贊美式成立．

則當 時，即當時，等式成立．，等式成立．根據(jù)（1）、（2）可知，對一切

說明：解題過程中容易將 時，等式右邊錯寫為，從而導致證明錯誤或無法進行．特別要注意等式右邊的每一個式子都在隨 的變化而變化．

猜想數(shù)列通項、利用歸納法證明不等式

例2 設(shè)數(shù)列

（1）當

（2）當 滿足 時，求，并由此猜想出的一個通項公式；時，證明對所有的，有（ⅰ）

（ⅱ）

分析：本小題主要考查數(shù)列和不等式等知識，考查猜想、歸納、推理以及分析問題和解決問題的能力．

解：（1）由

由

由 得，得的一個通項公式： 得由此猜想

（2）（ⅰ）用數(shù)學歸納法證明：

①當

②假設(shè)當，不等式成立．時不等式成立，即

也就是說，當

根據(jù)①和②，對于所有

（ⅱ）由，有 及（ⅰ），對

……，有，那么，時，于是

說明：證明不等式的題型多種多樣，所以不等式證明是一個難點，在由n=k成立，推導n=k+1不等式也成立時，過去講的證明不等式的方法再次都可以使用，如比較法、放縮法、分析法、反證法等，有時還要考證與原不等式的等價的命題． 例3.用數(shù)學歸納法證明:

an?1.求證:Sn介于2(?1?1)與2n之間.n

證明：當n=1時

有Sn=S1=a1=1/1=1,2（√（n+1）-1）=2√2-2<1,2√n=2√1=2>1

即2（√（n+1）-1）

當n=2時

有Sn=S2=a1+a2=3/2,2（√（n+1）-1）=2√3-2<3/2,2√n=2√2>3/2

即2（√（n+1）-1）

假設(shè)當n=k時2（√（k+1）-1）

則當n=k+1時有

Sk+1= Sk+a1+k= Sk+1/（k+1）

2（√（n+1）-1）=2（√（k+2）-1）< Sk+1/（k+1）

而2√n=2√（k+1）> Sk+1/（k+1）即2（√（k+2）-1）