第一篇：2018年全國高中數學聯合競賽加a試試題(A卷)

2018年全國高中數學聯合競賽加試試題(A卷)

一.(本題滿分40分)設n是正整數，a1,a2,?,an,b1,b2,?,bn,A,B均為正實數，滿足ai?bi,ai?A,i?1,2,?,n，且

b1b2?bnB?.a1a2?anA證明：(b1?1)(b2?1)?(bn?1)B?1.?(a1?1)(a2?1)?(an?1)A?1二.(本題滿分40分)如圖，△ABC為銳角三角形，AB?AC,M為BC邊的中點，點D和E分別為△ABC的外接圓上弧BAC和弧BC的中點，F為△ABC內切圓在AB邊上的切點，G為AE與BC的交點，N在線段EF上，滿足NB?AB.證明：若BN?EM,則DF?FG.(答題時請將圖畫在答卷紙上)

三.(本題滿分50分)設n,k,m是正整數，滿足k?2，且n?m?2k?1n.設A是?1,2,?,m?的kn??n元子集.證明：區間?0,?中的每個整數均可表示為a?a?，其中a,a??A.?k?1?

四.(本題滿分50分)數列?an?定義如下：a1是任意正整數，對整數n?1，an?1是與且不等于a1,a2,?,an的最小正整數.證明：每個正整數均在數列?an?中出現.?ai?1ni互素，

第二篇：全國高中數學聯合競賽1996年試題

一九九六年全國高中數學聯合競賽

一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）

1.把圓x2+(y –1)2 =1與橢圓9x2+(y + 1)2 = 9的公共點, 用線段連接起來的圖形是_________.(A)線段(B)不等邊三角形(C)等邊三角形(D)四邊形

12.等比數列{an}的首項a1=1536, 公比是q= –.用Tn表示它的前n項之積, 則Tn(n?N)最大的是．2

____________

(A)T9(B)T11(C)T12(D)T1

33.存在整數np?n?n是整數的質數p________

(A)不存在(B)只有一個(C)多于一個,但為有限個(D)有無窮多個

14設x?(– , 0),以下三個數: ?1=cos(sinx?), ?2=sin(cosx?), ?3=cos(x+1)?的大小關系是2

__________.(A)?3 < ?2 < ?1(B)?1 < ?3 < ?2(C)?3 < ?1 < ?2(D)?2 < ?3 < ?1

15.如果在區間[1, 2 ]上, 函數f(x)= x2 + px + q與)2在同一點取相同的最小值, x

那么f(x)在該區間上的最大值是__________.1151(A)4?2?4(B)4?2?4(C)1?2?4(D)以上答案都不對 4226.高為8的圓臺內有一個半徑為2的球O1, 球心O1在圓臺的軸上.球O1與圓臺上底面、側面都相切.圓臺內可再放入一個半徑為3的球O2, 使得球O2與球O1、圓臺的下底面及側面都只有一個公共點, 除球O2, 圓臺內最多還能放入半徑為3的球的個數是_____________.(A)1(B)2(C)3(D)

4二、填空題(本題滿分54分,每小題9分)

11.集合{x| –1? log(1)10 <– , x?N}的真子集的個數是_____________________ 2x

2.復平面上非零復數z1,z2在以i為圓心1為半徑的圓上z1,z2的實部

1為零,z1的輻角主值為? , 則z 2 = ____________.6

3.曲線C的極坐標方程是? = 1 + cos?, 點A的極坐標是(2, 0).曲線C在它所在的平面內

繞A 旋轉一周, 則它掃過的圖形的面積是______________.4.已知將給定的兩個全等的三棱錐的底面粘在一起, 恰得到一個所有二面角都相等的六

面體, 并且該六面體的最短棱的長為2, 則最遠的兩個基本點頂點的距離是__________.5.從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色.將一個正方體的六個面染色, 每面恰染一種

顏色, 每兩個具有公共棱的面染成不同顏色.則不同的染色方案共有_____________種.(注:如果我們對兩個相同的正方體染色后,可以通過適當的翻轉,使得兩個正方體的上、下、左、右、前、后六個對應面的染色都相同,那么,我們就說這兩個正方體的染色方案相同).6.在直角坐標平面上，以（199，0）為圓心，以199為半徑的圓周上，整點（即橫、縱坐標皆為整數的點）的個數為_______________.

第三篇：全國1995年初中數學聯合競賽試題(含解析)

全國1995年初中數學聯合競賽試題（含解析）

一、選擇題

5544331．已知a＝3,b＝4,c＝5,則有（）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a.C．c＜a＜b D．a＜c＜b

?xy?yz?632.方程組?的正整數解的組數是（）

xz?yz?23?A．1 B．2.C．3 D．4

23．如果方程(x－1)(x－2x－m)＝0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數m的取值范圍是（）A.0?m?1 B.m?333 C.?m?1 D.?m?1 444

4．如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內接于一圓，那么此圓的周長為（）A．62π B．63π C．64π D．65π

5．設AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的直徑，且與弦AB相交，記M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N=2S△OAB，則（）

A．M＞N B．M=N C．M＜N D．M、N的大小關系不確定

6．設實數a、b滿足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，則（）A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0

二、填空題

22227.在1，2，3…，95這95個數中，十位數字為奇數的數共有______個.a3?18.已知a是方程x+x-=0的根,則5的值為___________.4a?a4?a3?a2219.設x為正實數,則函數y=x-x+

21的最小值是__________.x210.以線段AB為直徑作一個半圓，圓心為O，C是半圓周上的點，且OC=AC·BC，則∠CAB=______．

第二試

一、已知∠ACE=∠CDE=90°，點B在CE上，CA=CB=CD，經A、C、D三點的圓交AB于F（如圖）.求證：F為△CDE的內心.二、在坐標平面上，縱坐標與橫坐標都是整數的點稱為整點,試在二次函數y?的圖象上找出滿足y?x的所有整點(x,y)并說明理由.三、試證：每個大于6的自然數n，都可以表示為兩個大于1且互質的自然數之和.x2?x10?9510

一、選擇題

5544331．已知a＝3,b＝4,c＝5,則有（）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a.C．c＜a＜b D．a＜c＜b

2.方程組?A．1 ?xy?yz?63的正整數解的組數是（）

?xz?yz?23 B．2.C．3 D．4

3．如果方程(x－1)(x－2x－m)＝0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數m的取值范圍是（）

A.0?m?1 B.m?

2333 C.?m?1 D.?m?1 444

4．如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內接于一圓，那么此圓的周長為（）

A．62π B．63π C．64π D．65π

5．設AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的直徑，且與弦AB相交，記M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N=2S△OAB，則（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．M、N的大小關系不確定

6.設實數a、b滿足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，則（）A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0

二、填空題

22227.在1，2，3…，95這95個數中，十位數字為奇數的數共有______個.a3?18.已知a是方程x+x-=0的根,則5的值為___________.4324a?a?a?a21

9．設x為正實數,則函數y=x-x+

21的最小值是__________.x2【解析】：這個題目是將二次函數y＝x－x與反比例函數

10.以線段AB為直徑作一個半圓，圓心為O，C是半圓周上的點，且OC=AC·BC，則∠CAB=______．

2第二試

一、已知∠ACE=∠CDE=90°，點B在CE上，CA=CB=CD，經A、C、D三點的圓交AB于F（如圖）.求證：F為△CDE的內心.,試在二次函數y?的圖

象上找出滿足y?x的所有整點(x,y)并說明理由.x2?x1010?95

6的自然數n，都可以表示為兩個大于1且互質的自然數之和.

第四篇：2021全國高中數學競賽專題-三角函數

全國高中數學競賽專題-三角函數

三角恒等式與三角不等式

一、基礎知識

定義1

角：一條射線繞著它的端點旋轉得到的圖形叫做角。角的大小是任意的。

若旋轉方向為逆時針方向，則角為正角，若旋轉方向為順時針方向，則角為負角，若不旋轉則為零角。

定義2

角度制：把一周角360等分，每一等分為一度。

弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度=2π弧度。

若圓心角的弧長為L，則其弧度數的絕對值|α|=

r

L,其中r

是圓的半徑。

定義3

三角函數：在直角坐標平面內，把角α的頂點放在原點，始邊與x

軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取

一個不同于原點的點P，設它的坐標為（x,y），到原點的距離為r,則正弦函數s

in

α=r

y,余弦函數co

s

α=r

x,正切函數tan

α=

x

y，余切函數cot

α=y

x，正割函數se

c

α=x

r,余割函數c

s

c

α=.y

r

定理1

同角三角函數的基本關系式，倒數關系：tan

α=αcot

1,s

in

α=αcsc

1，co

s

α=αsec

1；

商數關系：tan

α=α

α

αααsin

cos

cot,cos

sin

=；

乘積關系：tan

α×co

s

α=s

in

α,cot

α×s

in

α=co

s

α；

平方關系：s

in

2α+co

s

2α=1,tan

2α+1=se

c

2α,cot

2α+1=c

s

c

2α.定理2

誘導公式（Ⅰ）s

in

(α+π)=-s

in

α,co

s(π+α)=-co

s

α,tan

(π+α)=tan

α,cot

(π+α)=cot

α;

（Ⅱ）s

in

(-α)=-s

in

α,co

s(-α)=co

s

α,tan

(-α)=-tan

α,cot

(-α)=cot

α;

（Ⅲ）s

in

(π-α)=s

in

α,co

s(π-α)=-co

s

α,tan

=(π-α)=-tan

α,cot

(π-α)=-cot

α;

（Ⅳ）s

in

???

??-απ2=co

s

α,co

s

???

??-απ2=s

in

α,tan

???

??-απ2=cot

α（奇變偶不變，符號看象限）。

定理3

正弦函數的性質，根據圖象可得y

=s

inx

（x

∈R）的性質如下。

單調區間：在區間??

?

??

?+

22,2

2πππ

πk

k

上為增函數，在區間??

?

??

?++

πππ

π232,22k

k

上為減函數，最小正周期：2π.奇偶性：奇函數

有界性：當且僅當x

=2kx

+2π時，y

取最大值1，當且僅當x

=3k

π-2

π

時,y

取最小值-1，值域為[-1，1]。

對稱性：直線x

=k

π+

π

均為其對稱軸，點（k

π,0）均為其對稱中心。這里k

∈Z

.定理4

余弦函數的性質，根據圖象可得y

=co

s

x

(x

∈R)的性質。

單調區間：在區間[2k

π,2k

π+π]上單調遞減，在區間[2k

π-π,2k

π]上單調遞增。

最小正周期：2π。

奇偶性：偶函數。

有界性：當且僅當x

=2k

π時，y

取最大值1；當且僅當x

=2k

π-π時，y

取最小值-1。值域為[-1，1]。

對稱性：直線x

=k

π均為其對稱軸，點??

?

?

?+

0,2π

πk

均為其對稱中心。這里k

∈Z

.定理5

正切函數的性質：由圖象知奇函數y

=tanx

(x

≠k

π+

2π)在開區間(k

π-2π,k

π+2

π)上為增函數,最小正周期為π，值域為（-∞，+∞），點（k

π，0），（k

π+2

π，0）均為其對稱中心。

定理6

兩角和與差的基本關系式：co

s(α±β)=co

s

αco

s

β

s

in

αs

in

β,s

in

(α±β)=s

in

αco

s

β±co

s

αs

in

β;

tan

(α±β)=

.)

tan

tan

1()

tan

(tan

βαβα

±

兩角和與差的變式：2222

sin

sin

cos

cos

sin()sin()αββααβαβ-=-=+-

2222

cos

sin

cos

sin

cos()cos()αββααβαβ-=-=+-

三角和的正切公式：tan

tan

tan

tan

tan

tan

tan()1tan

tan

tan

tan

tan

tan

αβγαβγ

αβγαββγγα

++-++=

---

定理7

和差化積與積化和差公式:

s

in

α+s

in

β=2s

in

???

??+2βαco

s

???

??-2βα,s

in

α-s

in

β=2s

in

???

??+2βαco

s

???

??-2βα,co

s

α+co

s

β=2co

s

???

??+2βαco

s

???

??-2βα,co

s

α-co

s

β=-2s

in

???

??+2βαs

in

???

??-2βα,s

in

αco

s

β=21[s

in

(α+β)+s

in

(α-β)],co

s

αs

in

β=21

[s

in

(α+β)-s

in

(α-β)],co

s

αco

s

β=21[co

s(α+β)+co

s(α-β)],s

in

αs

in

β=-2

[co

s(α+β)-co

s(α-β)].定理8

二倍角公式：s

in

2α=2s

in

αco

s

α,co

s2α=co

s

2α-s

in

2α=2co

s

2α-1=1-2s

in

2α,tan

2α=

.)

tan

1(tan

22αα

三倍角公式及變式：3

sin

33sin

4sin

ααα=-，3

cos34cos

3cos

ααα=-

1s

i

n

(60)s

i

n

s

i

n

(60)s

i

n

34α

ααα-+=，1

cos(60)cos

cos(60)cos34

αααα-+=

定理9

半角公式:

s

in

2α=2)cos

1(α-±,co

s

α

=2)cos

1(α+±,tan

2α=)cos

1()

cos

1(αα+-±=

.sin)cos

1()

cos

1(sin

αααα-=+

定理10

萬能公式:

?

?

?

??+?

??

??=

2tan

12tan

2sin

2ααα,???

??+???

??-=2tan

12tan

1cos

22ααα,.2tan

12tan

2tan

2???

??-???

??=ααα

定理11

輔助角公式：如果a,b

是實數且a

2+b

2≠0，則取始邊在x

軸正半軸，終邊經過點(a,b)的一個角為β，則s

in

β=22b

a

b

+,co

s

β=2

2b

a

a

+，對任意的角α.a

s

in

α+bco

s

α=)(22b

a

+s

in

(α+β).定理12

正弦定理：在任意△ABC

中有R

C

c

B

b

A

a

2sin

sin

sin

===，其中a,b,c

分別是角A，B，C的對邊，R

為△ABC

外接圓半徑。

定理13

余弦定理：在任意△ABC

中有a

2=b

2+c

2-2bco

s

A，其中a,b,c

分別是角A，B，C的對邊。

定理14

射影定理：在任意△ABC

中有cos

cos

a

b

C

c

B

=+，cos

cos

b

a

C

c

A

=+，cos

cos

c

a

B

b

A

=+

定理15

歐拉定理：在任意△ABC

中，2

2OI

R

Rr

=-，其中O,I

分別為△ABC的外心和內心。

定理16

面積公式：在任意△ABC

中，外接圓半徑為R,內切圓半徑為r，半周長2

a

b

c

p

++=

則211sin

2sin

sin

sin

(sin

sin

sin)224a

abc

S

ah

ab

C

rp

R

A

B

C

rR

A

B

C

R

=

=====++

222

1)(c

o

t

c

o

t

c

o

t)4

c

a

A

b

B

c

C

==++

定理17

與△ABC

三個內角有關的公式：

（1）sin

sin

sin

4cos

cos

cos

;222

A

B

C

A

B

C

++=

（2）cos

cos

cos

14sin

sin

sin

;222

A

B

C

A

B

C

++=+

（3）tan

tan

tan

tan

tan

tan

;A

B

C

A

B

C

++=

（4）tan

tan

tan

tan

tan

tan

1;222222

A

B

B

C

C

A

++=

（5）cot

cot

cot

cot

cot

cot

1;A

B

B

C

C

A

++=

（6）sin

2sin

2sin

24sin

sin

sin

.A

B

C

A

B

C

++=

定理18

圖象之間的關系：y

=s

inx的圖象經上下平移得y

=s

inx

+k的圖象；經左右平移得y

=s

in

(x

+?)的圖象（相位

變換）；縱坐標不變，橫坐標變為原來的ω

1，得到y

=s

in

x

ω(0>ω)的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變為原來的A

倍，得到y

=A

s

inx的圖象（振幅變換）；y

=A

s

in

(ωx

+?)(ω>0)的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變為原來的A

倍，得到y

=A

s

inx的圖象（振幅變換）；y

=A

s

in

(ωx

+?)(ω,?>0)(|A

|

叫作振幅)的圖象向右平移ω

?

個單位得到y

=A

s

in

ωx的圖象。

定義4

函數y

=s

inx

?

?

???-∈2,2ππx的反函數叫反正弦函數，記作y

=a

r

c

s

inx

(x

∈[-1,1])，函數y

=co

s

x

(x

∈[0,π])的反函數叫反余弦函數，記作y

=a

r

cco

s

x

(x

∈[-1,1]).函數y

=tanx

?

??

?

?-

∈2,2ππx的反函數叫反正切函數。記作y

=a

r

ctanx

(x

∈[-∞,+∞]).函數y

=co

t

x

(x

∈[0,π])的反函數稱為反余切函數，記作y

=a

r

ccotx

(x

∈[-∞,+∞]).定理19

三角方程的解集，如果a

∈(-1,1)，方程s

inx

=a的解集是{x

|x

=n

π+(-1)n

a

r

c

s

ina,n

∈Z

}。

方程co

s

x

=a的解集是{x

|x

=2kx

±a

r

cco

s

a,k

∈Z

}.如果a

∈R，方程tanx

=a的解集是{x

|x

=k

π+a

r

ctana,k

∈Z

}。

恒等式：a

r

c

s

ina

+a

r

cco

s

a

=

2π；a

r

ctana

+a

r

ccota

=2

π.定理20

若干有用的不等式：

（1）若???

?

?∈2,0πx，則s

inx

（2）函數sin

x

y

x

=在(0,)π上為減函數；函數tan

x

y

x

=在(0,)2

π

上為增函數。

（3）嵌入不等式：設A+B+C=π，則對任意的x,y,z

∈R，有2

2cos

2cos

2cos

x

y

z

yz

A

xz

B

xy

C

++≥++

等號成立當且僅當yzsinA=zxsinB=xysinC.二、方法與例題

1．結合圖象解題。

例1

求方程s

inx

=lg

|x

|的解的個數。

【解】在同一坐標系內畫出函數y

=s

inx

與y

=lg

|x

|的圖象，由圖象可知兩者有6個交點，故方程有6個解。

2．三角函數性質的應用。

例2

設x

∈(0,π),試比較co

s(s

inx)與s

in

(co

s

x)的大小。

【解】

若??

?

?

??∈ππ,2x，則-1所以s

in

(co

s

x)

≤0,又02x

π?

?

∈

??

?，則因為s

inx

+co

s

x

=2s

in

(x

+

4π)≤2π，所以co

s(s

inx)>co

s（2

π

-co

s

x)=s

in

(co

s

x).綜上，當x

∈(0,π)時，總有co

s(s

inx)3．最小正周期的確定。

例3

求函數y

=s

in

(2co

s|x

|)的最小正周期。

【解】

因為co

s(-x)=co

s

x，所以cos

|x

|=co

s

x,所以T

=2π是函數的周期；

4．三角最值問題。

例4

已知函數y

=s

inx

+x

2cos

1+，求函數的最大值與最小值。

【解法一】

令s

inx

=???

??≤≤=

+ππ

θθ4304

sin

2cos

1,cos

x,則有y

=).4

sin(2sin

2cos

2π

θθθ+

=+

因為

ππ

4304≤≤，所以ππθπ≤+≤42，所以)4

sin(0π

θ+≤≤1，所以當πθ43=，即x

=2k

π-2π(k

∈Z)時，y

m

in

=0，當4πθ=，即x

=2k

π+2

π

(k

∈Z)時，y

m

ax

=2.【解法二】

因為y

=s

inx

+)cos

1(sin

2cos

1222

x

x

x

++≤

+=2（因為(a

+b)2≤2(a

2+b

2)），且|s

inx|≤1≤x

2cos

1+，所以0≤s

inx

+x

2cos

1+≤2，所以當x

2cos

1+=s

inx，即x

=2k

π+2

π

(k

∈Z)時,y

m

ax

=2，當x

2cos

1+=-s

inx，即x

=2k

π-2

π

(k

∈Z)時,y

m

in

=0。

5．換元法的使用。

例5

求x

x

x

x

y

cos

sin

1cos

sin

++=的值域。

【解】

設t

=s

inx

+co

s

x

=).4sin(2cos

22sin

222π+=???

?

??+x

x

x

因為,1)4

sin(1≤+

≤-π

x

所以.22≤≤-t

又因為t

=1+2s

inxco

s

x,所以s

inxco

s

x

=212-t，所以2

1121

2-=+-=t

t

x

y，所以

.212212-≤≤--y

因為t

≠-1，所以121-≠-t，所以y

≠-1.所以函數值域為.212,11,212??

?

??--???-+-∈

y

6．圖象變換：y

=s

inx

(x

∈R)與y

=A

s

in

(ωx

+?)(A,ω,?>0).例6

已知f

(x)=s

in

(ωx

+?)(ω>0,0≤?≤π)是R

上的偶函數，其圖象關于點???

??0,43πM

對稱，且在區間??

?

???2,0π上是單調函數，求?和ω的值。

【解】

由f

(x)是偶函數，所以f

(-x)=f

(x)，所以s

in

(ωx+?)=s

in

(-ωx

+?)，所以co

s

?s

inx

=0，對任意x

∈R

成立。又0≤?≤π，解得?=2

π，因為f

(x)圖象關于??

?

??0,43πM

對稱，所以)43()43(x

f

x

f

++-ππ=0。

取x

=0，得)4

3(πf

=0，所以sin

.024

3=???

??+πωπ

所以243ππωπ+=k

(k

∈Z)，即ω=32(2k

+1)

(k

∈Z).又ω>0，取k

=0時，此時f

(x)=sin

(2x

+

2π)在[0，2

π

]上是減函數；

取k

=1時，ω=2，此時f

(x)=sin

(2x

+2π)在[0，2

π

]上是減函數；

取k

=2時，ω≥310，此時f

(x)=sin

(ωx

+2π)在[0，2

π

]上不是單調函數，綜上，ω=3

或2。

7．三角公式的應用。

例7

已知sin

(α-β)=

135，sin

(α+β)=-

135，且α-β∈???

??ππ,2，α+β∈??

?

??ππ2,23，求sin

2α,cos

2β的值。

【解】

因為α-β∈??

?

??ππ,2，所以cos

(α-β)=-.1312)(sin

-=--βα

又因為α+β∈??

?

??ππ2,23，所以cos

(α+β)=.1312)(sin

12=+-βα

所以sin

2α=sin

[(α+β)+(α-β)]=sin

(α+β)cos

(α-β)+cos

(α+β)sin

(α-β)=169

120,cos

2β=cos

[(α+β)-(α-β)]=cos

(α+β)cos

(α-β)+sin

(α+β)sin

(α-β)=-1.例8

已知△ABC的三個內角A，B，C

成等差數列，且B

C

A

cos

2cos

1cos

1-=+，試求2

cos

C

A

-的值。

【解】

因為A

=1200-C，所以cos

C

A

-=cos

(600-C)，又由于)

120cos(cos

cos)120cos(cos

1)120cos(1cos

1cos

00C

C

C

C

C

C

C

A

-+-=+-=+

=

222

1)2120cos()

60cos(2)]2120cos(120[cos

21)60cos(60cos

2000000-=---=-+-C

C

C

C，所以232

cos

22cos

242--+-C

A

C

A

=0。解得222cos

=-C

A

或8232cos

-=-C

A。

又2

cos

C

A

->0，所以222cos

=-C

A。

例9

求證：tan

20?+4cos

70?

【解】

tan

20?+4cos

70?=??20cos

20sin

+4sin

20?

?

??+=+=20cos

40sin

220sin

20cos

20cos

20sin

420sin

?

???+=++=20

cos

40sin

10cos

30sin

220cos

40sin

40sin

20sin

.320cos

20cos

60sin

220cos

40sin

80sin

==+=?

?

例10

證明：7

cos77cos521cos335cos

64cos

x

x

x

x

x

+++=

分析：等號左邊涉及角7x、5x、3x、x

右邊僅涉及角x，可將左邊各項逐步轉化為x

sin、x

cos的表達式，但相對較繁.觀察到右邊的次數較高，可嘗試降次.證明：因為,cos

33cos

cos

4,cos

3cos

43cos

x

x

x

x

x

x

+=-=所以

從而有x

x

x

x

x

226cos

9cos

3cos

63cos

cos

16++=

=)2cos

1(2

9)2cos

4(cos

326cos

1x

x

x

x

+++++

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

cos

20cos

2cos

30cos

4cos

12cos

6cos

2cos

64,2cos

992cos

64cos

66cos

1cos

327

6+++=+++++=

.cos

353cos

215cos

77cos

cos

20cos

153cos

153cos

65cos

65cos

7cos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+++=++++++=

評述：本題看似“化簡為繁”，實質上抓住了降次這一關鍵，很是簡捷.另本題也可利用復數求解.令

77)1

(cos

128，1cos

2,sin

cos

z

z

z

z

i

z

+=+=+=αααα從而則，展開即可.例11

已知.20012tan

2sec

:,2001tan

1tan

1=+=-+αααα求證

證明：)4tan()22

sin()22cos(12cos

2sin

12tan

2sec

απαπαπ

αααα+=++-=+=+.2001tan

1tan

1=-+=αα.2001tan

1tan

1=-+=

αα

例12

證明：對任一自然數n

及任意實數m

n

k

m

x

k，,2,1,0(2

=≠

π為任一整數），有

.2cot

cot

2sin

14sin

12sin

1x

x

x

x

x

n

n

-=+++

思路分析：本題左邊為n

項的和，右邊為2項之差，故嘗試將左邊各項“裂”成兩項之差，并希冀能消去其中許多

中間項.證明：,2cot

cot

2sin

2cos

cos

sin

2cos

22sin

2cos

cos

22sin

122x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

-=-=-=

同理

x

x

x

4cot

2cot

4sin

1-=

……

x

x

x

n

n

n

2cot

2cot

2sin

11-=-

評述：①本題裂項技巧也可通過數學歸納法獲得.②“裂項相消”在解題中具有一定的普遍性，類似可證下列各題：

n

n

n

n

-=

-+++α

α

ααααααtan

tan

tan)1tan(3tan

2tan

2tan

tan

.1cot

1cos

cos

88cos

12cos

1cos

11cos

0cos

1.2cot

2cot

2tan

22tan

22tan

2tan

1122=+++-=++++++ααααααn

n

n

n

例13

設ABC

?的內角A

B

C，所對的邊，a

b

c

成等比數列，則

sin

cot

cos

sin

cot

cos

A

C

A

B

C

B

++的取值范圍是（）

A.(0,)+∞

B.C.D.)+∞

[解]

設，a

b

c的公比為q，則2,b

aq

c

aq

==，而sin

cot

cos

sin

cos

cos

sin

sin

cot

cos

sin

cos

cos

sin

A

C

A

A

C

A

C

B

C

B

B

C

B

C

++=

++

sin()sin()sin

sin()sin()sin

A

C

B

B

b

q

B

C

A

A

a

ππ+-=

====+-．

因此，只需求q的取值范圍．

因，a

b

c

成等比數列，最大邊只能是a

或c，因此，a

b

c

要構成三角形的三邊，必需且只需a

b

c

+>且

b

c

a

+>．即有不等式組

22,a

aq

aq

aq

aq

a

?+>??+>??即22

10,10.q

q

q

q

?--解得q

q

q

q，因此所求的取值范圍是．故選C

例14

△ABC

內接于單位圓，三個內角A、B、C的平分線延長后分別交此圓于A1、B1、C

1，則C

B

A

C

CC

B

BB

A

AA

sin

sin

sin

2cos

2cos

2cos

111++?+?+?的值為（）

A

．2

B

．4

C

．6

D

．8

解：如圖，連BA

1，則AA

1=2sin(B+)2

2cos(2)222sin(2)2C

B

C

B

C

B

A

A

-=-+++=)2

cos(2cos

2cos

2cos)22cos(22cos

1C

B

C

A

C

B

A

A

C

B

A

AA

-=-++-+=-=∴π,sin

sin)2cos(B

C

B

+=-+π

同理,sin

sin

2cos

1C

A

B

BB

+=,sin

sin

cos

1B

A

C

CC

+=),sin

sin

(sin

22cos

2cos

2cos

111C

B

A

C

CC

B

BB

A

AA

++=++∴原式=.2sin

sin

sin)

sin

sin

(sin

2=++++C

B

A

C

B

A

選A.例15

若對所有實數x，均有sin

sin

cos

cos

cos

2k

k

k

x

kx

x

kx

x

?+?=，則k

=（）.A、6；

B、5；

C、4；

D、3．

解：記()s

i

n

s

i

n

c

o

s

c

o

s

c

o

s

k

k

k

f

x

x

k

x

x

k

x

x

=?+?

-，則由條件，()f

x

恒為0，取2

x

π

=，得

()s

i

n

12k

k

π=-，則k

為奇數，設21k

n

=-，上式成為sin

12n

ππ?

?-=-

???，因此n

為偶數，令2n

m

=，則

41k

m

=-，故選擇支中只有3k

=滿足題意．故選D

例16

已知()()

2222212f

x

x

a

b

x

a

ab

b

=++-++-是偶函數，則函數圖象與y

軸交點的縱坐標的最大值是

A

B.2

C.解：由已知條件可知，2

10a

b

+-=，函數圖象與y

軸交點的縱坐標為2

2a

ab

b

+-。令,s

cos

in

b

a

θθ==，則2222

2sin

cos

sin

cos

2sin

2c

s

2o

a

ab

b

θθθθθθ+=+=--+≤

選

A。

例17

已知,R

αβ∈，直線

1sin

sin

sin

cos

x

y

αβαβ+=++與1cos

sin

cos

cos

x

y

αβαβ

+=++的交點在直線y

x

=-上，則cos

sin

c

in

s

s

o

ααββ+++=。

解：由已知可知，可設兩直線的交點為00(,)x

x

-，且,in

s

s

co

αα為方程

00

1sin

cos

x

x

t

t

ββ

-+=++，的兩個根，即為方程2

0sin

c

(cos)sin

os

(cos)i

0s

n

t

t

x

ββββββ-++-=+的兩個根。

因此cos

(sin

sin

cos)ααββ+=-+，即cos

sin

c

in

s

s

o

ααββ+++=0。

1、＝。

2、已知函數)45

41(2)cos()sin()(≤≤+-=

x

x

πx

πx

x

f，則f

(x)的最小值為_____。

3、已知

3sin)2sin(=+αβα，且),(2,21Z

k

n

n

k

∈+≠+≠π

πβαπβ。則

ββαtan)tan(+的值是_

__.4、設函數f

(x)=3sin

x

+2cos

x

+1。若實數a、b、c

使得af

(x)+bf

(x

?c)=1對任意實數x

恒成立，則a

c

b

cos

=

5、設0)cos

1(2

θθ

+的最大值。

6、求證：.112tan

312tan

18tan

18tan

3=++

7、已知a

0=1,a

n

n

-(n

∈N

+)，求證：a

n

2+n

π

.8、已知.cos

sin)tan(:,1||),sin(sin

A

A

A

-=+>+=ββ

βαβαα求證

9、若A，B，C

為△ABC

三個內角，試求s

inA

+s

inB

+s

inC的最大值。

10、證明：.2

sin

21sin)2sin()sin()2sin()sin(sin

β

ββαβαβαβαα++

=

+++++++n

n

n11、已知α，β為銳角，且x

·（α+β-2π）>0，求證：.2sin

cos

sin

cos

?

??+?

??x

x

αββα

12、求證：①16

78cos

66cos

42cos

6cos

=

②sin1°sin2°sin3°…sin89°=.10641(45?

全國高中數學競賽專題-三角恒等式與三角不等式

實戰演練答案

1、解：根據題意要求，2

605x

x

+≥+，2

0571x

x

+≤+≤。于是有2

715x

x

+=+。因此

cos01==。因此答案為

1。

2、解：實際上)4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x

x

π

πx

x

f，設)4541)(4sin(2)(≤≤-=x

ππx

x

g，則g

(x)≥0，g

(x)在]43,41[上是增函數，在]4

5,43[上是減函數，且y

=g

(x)的圖像關于直線43=x

對稱，則對任意]43,41[1∈x，存在]45,43[2∈x，使g

(x

2)=g

(x

1)。于是)(2)(2)(2)()(22

212111x

f

x

x

g

x

x

g

x

x

g

x

f

=+≥+=+=，而f

(x)在]45,43[上是減

函數，所以554)4

()(=

≥f

x

f，即f

(x)在]4

5,41[上的最小值是554。

3、解：

.213131sin)2sin(1sin)2sin(]sin)2[sin(21]

sin)2[sin(21

sin)cos(cos)sin(tan)tan(=-+=-+++=-+++=?+?+=+α

βααβααβααβαβββαββαb

a4、解：令c=π，則對任意的x

∈R，都有f

(x)+f

(x

?c)=2，于是取2

==b

a，c=π，則對任意的x

∈R，af

(x)+bf

(x

?c)=1，由此得1cos

-=a

c

b。

一般地，由題設可得1)sin(13)(++=?x

x

f，1)sin(13)(+-+=-c

x

c

x

f

?，其中20π2

tan

=?，于是af

(x)+bf

(x

?c)=1可化為1)sin(13)sin(13=++-+++b

a

c

x

b

x

a

??，即

0)1()cos(sin

13cos)sin(13)sin(13=-+++-+++b

a

x

c

b

c

x

b

x

a

???，所以0)1()cos(sin

13)sin()cos

(13=-+++-++b

a

x

c

b

x

c

b

a

??。

由已知條件，上式對任意x

∈R

恒成立，故必有??

?

??=-+==+)3(01)2(0

sin)1(0cos

b

a

c

b

c

b

a，若b

=0，則由(1)知a

=0，顯然不滿足(3)式，故b

≠0。所以，由(2)知sin

c

=0，故c=2k

π+π或c=2k

π(k

∈Z)。當

c=2k

π時，cos

c

=1，則(1)、(3)兩式矛盾。故c=2k

π+π(k

∈Z)，cos

c

=?1。由(1)、(3)知21

=

=b

a，所以1cos

-=a

c

b。

5、【解】因為020π

θ，所以s

in

2θ>0,co

s

θ>0.所以s

in

2θ（1+co

s

θ）=2s

in

2θ·co

s

θ

=2cos

2cos

2sin

22222θθ

θ???

≤3

22232cos

2cos

2sin

22??

???

?

?θθθ=.9342716=

當且僅當2s

in

2θ=co

s

22θ,即tan

2θ=22,θ=2a

r

ctan

22時，s

in

θ

(1+co

s

θ)取得最大值934。

6、思路分析：等式左邊同時出現

12tan

18tan、12tan

18tan

+，聯想到公式β

αβ

αβαtan

tan

1tan

tan)tan(-+=+.證明：

12tan

312tan

18tan

18tan

3++

112tan

18tan)12tan

18tan

1)(1218tan(312tan

18tan)12tan

18(tan

3=+-+?=++=

112tan

18tan)12tan

18tan

1)(1218tan(312tan

18tan)12tan

18(tan

3=+-+?=++=

18tan(3

t

18(tan

3=+?=+=

評述：本題方法具有一定的普遍性.仿此可證)43tan

1()2tan

1)(1tan

1（+++22

2)44tan

1(=+

等.7、【證明】

由題設知a

n

>0，令a

n

=tana

n,a

n

∈??

?

??2,0π，則a

n

=

.tan

2tan

sin

cos

1tan

1sec

tan

1tan

1111

12n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

==-=-=

-+-------

因為21-n

a，a

n

∈???

??2,0π，所以a

n

=121-n

a，所以a

n

=.210a

n

??

?

??

又因為a

0=tana

1=1，所以a

0=4π，所以n

n

a

??

?

??=21·4π。

又因為當0時，tanx

>x，所以.2

2tan

22++>=n

n

n

a

ππ

注：換元法的關鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另外當x

∈??

?

??2,0π時，有tanx

>x

>s

inx，這是個熟知的結論，暫時不證明，學完導數后，證明是很容易的。

8、分析：條件涉及到角α、βα+，而結論涉及到角βα+，β.故可利用αβαβββαα-+=-+=)()(或消除條件與結論間角的差異，當然亦可從式中的“A

”入手.證法1：),sin(sin

βαα+=A),sin()sin(βαββα+=-+∴A),cos(sin))(cos

sin(),sin(sin)cos(cos)sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A

A

cos

sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A

A

A

-=+≠+≠-∴>βββαβαβ從而

cos

sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A

A

A

-=+≠+≠-∴>βββαβαβ從而

cos

sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A

A

A

-=+≠+≠-∴>βββαβαβ從而

.cos

sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A

A

A

-=+≠+≠-∴>βββαβαβ從而

證法2：αβαβββαβααββββsin)sin(cos

sin)sin()sin(sin

cos

sin

sin

sin

-++=+-=-A).tan(sin)cos(sin)sin(])sin[()sin(cos

sin)sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin)cos(sin)sin(])sin[()sin(cos

sin)sin(βαββαβ

βαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin)cos(sin)sin(])sin[()sin(cos

sin)sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=

9、【解】

因為s

inA

+s

inB

=2s

in

2B

A

+co

s

2sin

22B

A

B

A

+≤-,①

s

inC

+s

in

3sin

3cos

3sin

π

π

π

π

+≤-+=C

C

C,②

又因為3

sin

3cos

43sin

3sin

sin

ππ

π

π

≤-

-++

++=+++C

B

A

C

B

A

C

B

A，③

由①，②，③得s

inA

+s

inB

+s

inC

+s

in

3π≤4s

in

π,所以s

inA

+s

inB

+s

inC

≤3s

in

3π=233,當A

=B

=C

=3

π

時，（s

inA

+s

inB

+s

inC）m

ax

=233.注：三角函數的有界性、|s

inx

|≤1、|co

s

x

|≤1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數的單調

性等是解三角最值的常用手段。

10、證明：)],2

cos()2[cos(212sin

sin

βαβαβ

α--+-=)]sin()2sin()sin([sin

sin，)]2

2cos()212[cos(212sin)sin(,)]2

cos()25[cos(212sin)2sin()],2cos()23[cos(212sin)sin(βαβαβααβ

βαβαββαβαβαββαβ

αβαβ

βαn

n

n

n

+++++++-+-++-=++-+-=++-+-=+

各項相加得類似地

.2

sin)2sin()]2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--++-=n

n

n

.2

1sin)2sin()]

2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--+

+-=n

n

n

所以，.2

sin

sin)2sin()sin()sin(sin

βββαβαβαα++=+++++n

n

n

評述：①類似地，有.2

sin)2cos(21sin)cos()cos(cos

β

βαββαβααn

n

n

++=

+++++

②利用上述公式可快速證明下列各式：2sin

cos

2sin

cos

3cos

2cos

cos

θ

θθθθθθ+=++++n

n

n

.21

97cos

95cos

93cos

9cos

.2

75cos

73cos

9cos

等=+++=++ππ

πππππ.2197cos

95cos

93cos

9cos

.2

175cos

73cos

cos

等=+++=++πππππππ

11、【證明】

若α+β>2π，則x

>0，由α>2π-β>0得co

s

απ-β)=s

in

β,所以0又s

in

α>s

in

(2π-β)=co

s

β,所以0β

sin

cos

0,所以βαsin

cos

>1。

又0β

sin

cos

>1，所以2sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

0

=???

?

?+?

??x，得證。

注：以上兩例用到了三角函數的單調性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。

12、證明：①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°

54cos

78cos

42cos

?

.16154cos

4)183cos(4154cos

478cos

42cos

18cos

=?==

.16154cos

4)183cos(4154cos

478cos

42cos

18cos

=?==

.16

154cos

4)

183cos(4154cos

478cos

42cos

18cos

=?=

=

②sin1°sin2°sin3°…sin89°

=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°

=4

387sin

6sin

3sin)41(29?

60sin

30sin)87sin

33sin

27(sin)66sin

54sin

6)(sin

63sin

57sin

3(sin

3)4

(30=

45)54sin

36)(sin

63sin

27)(sin

72sin

18)(sin

18sin

9(sin

3)41(81sin

18sin

9sin

3)41(4040???=??=

45sin)54sin

36)(sin

63sin

27)(sin

72sin

18)(sin

18sin

9(sin

3)41(81

sin

18sin

9sin

3)41(4040???=??=

又)72cos

1)(36cos

1(41)36sin

18(cos

-+=

165)72cos

36cos

1(4

1)72cos

36cos

72cos

36cos

1(41=+=--+=

165)72cos

36cos

1(4

1)72cos

36cos

72cos

36cos

1(41=+=--+=

165)72cos

36cos

1(4136cos

72cos

36cos

1(41=+=--+=

即

.45

36sin

18cos

=

所以

.106)4

(89sin

2sin

1sin

45?=

36sin

18cos

3)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)4(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

3)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

第五篇：知識競賽試題卷

知識競賽

選擇題

1、標志著中國新民主主義革命開端的歷史事件是(B)。

A、新文化運動B、五四運動

C、中國共產黨成立D、五卅運動

2、我們要構建的社會主義和諧社會的總要求是：民主法治、___D____、誠信友愛、充滿活力、安定有序、人與自然和諧相處。

A．自由平等

B．實現公平

C．崇尚正義

D．公平正義

3、黨的（B）上誕生了我們黨歷史上的第一部黨章。

A、中共一大B、中共二大C、中共三大 D、中共四大

4、我國現任人大常務委員會會長是(A)

A吳邦國B李長春C習近平D賈慶林

5、黨的基本路線可以總結為？(B)

A、“一個中心，一個基本點”B、“一個中心，兩個基本點”

C、“兩個中心，一個基本點”D、”兩個中心，兩個基本點”

6、兩會中代表建議房產權滿幾年應無償續期？(C)

A 60年B 65年C 70年D 80年7、1921年7月23日至31日，中國共產黨第一次全國代表大會順利召開。請問這次會議是在哪里召開的?（D）

A.北京B.武漢C.天津D.上海

8、中共六大是黨史上唯一一次在境外召開的黨代會。召開會議的地點是(C)。

A.墨爾本B．圣彼得堡C．莫斯科D．東京

9、黨中央，國務院為加強農業及糧食生產采取，在2004年“一號文件”中提出

實行的一項重大措施是（C）

Ａ．切實加強對糧食生產區的支持Ｂ．建立穩定增長的支農資金渠道

Ｃ．兩減免，三補貼Ｄ．認真落實農村土地承包政策

10、下面關于我國人民代表大會制度的性質的表述正確的是（B）A共和制B議行合一制

C民主集中制D委員會制

11.黨的建設的四項基本要求是：堅持黨的基本路線；堅持解放思想，實事求是；堅持＿＿C＿＿；堅持民主集中制。

A、廉政建設B、群眾路線

C、全心全意為人民服務D、以人為本

12、繼續實施更加積極的就業政策.今年中央財政擬投入（A）億元,用于扶助和

促進就業。

A、423B、523C、623D、72313、中華人民共和國的最高權力機關是（B）。

A、國務院

B、全國人民代表大會

C、全國政治協商會議

D、全國人民代表大會常務委員會

14、抗日戰爭時期，被中共中央譽為“敵后模范的抗日根據地及統一戰線的模范

區”的是(C)。

A、晉冀豫抗日根據地B、晉西南抗日根據地

C、晉察冀抗日根據地D、山東抗日根據地

15、全國人大常委員會是全國人大的常設機關，根據憲法規定，全國人大常委員

會行使多項職權，但下列哪一職權不由全國人大常委員會行使？(B)

A解釋憲法，監督憲法的實施

B批準省?自治區?直轄市的設置

C廢除同外國締結的條約和重要協定

D審批國民經濟和社會發展計劃及國家預算部分調整方案

16、《為人民服務》是毛澤東同志在紀念______追悼會上的講話。(B)

A．張思德

B．白求恩

C．劉胡蘭

D．雷鋒

17、黨的十七屆四中全會提出的“四個大興”是：大興密切聯系群眾之風，大興

（D）之風，大興艱苦奮斗之風，大興批評與自我批評之風。

A、開拓創新B、解放思想 C、理論聯系實際D、求真務實

18、如果全國人民代表大會常務委員會認為必要，或者有多少以上的全國人民代

表大會代表提議，可以臨時召集全國人民代表大會會議？（D）

A、二分之一B、三分之一

C、四分之一D、五分之一

19、紅軍長征是哪年哪月勝利結束的？。

A ． 1934年10月B．1936年10月

C．1935年10月D、1937年10月

20、入黨誓詞如下：我志愿加入中國共產黨，擁護黨的綱領，遵守黨的章程，履

行黨員義務，（），嚴守黨的紀律，保守黨的秘密，對黨忠誠，積極工作，為

共產主義奮斗終身，隨時準備為黨和人民犧牲一切，永不叛黨。

A、執行黨的決定B、執行黨的路線C、執行黨的政策 D、執行黨的方陣

21、發展黨員的“十六字”方針是（C）。

A、堅持原則、保證數量、改善結構、嚴格發展

B、堅持標準、保證質量、調整結構、慎重發展

C、堅持標準、保證質量、改善結構、慎重發展

D、堅持標準、保證質量、調整結構、嚴格考察

22、五年來，政府不斷深化行政管理體制改革，加快轉變政府職能，全面完成了

新一輪政府機構改革，深入推進依法行政，建設(C)和()。

A、法治政府，建設型政府B、民主政府，服務型政府

C、法治政府，服務型政府D、法治政府，民主型政府

23、馬克思列寧主義揭示了（C）,它的基本原理是正確的,具有強大的生命

力。

A、人類改造客觀世界的規律B、社會主義和共產主義運動規律

C、人類社會歷史發展的規律D、人類改造自然界的規律

24、以下沒有參加中國共產黨第一次全國代表大會的是__A__。

A.陳獨秀

B.毛澤東

C.馬林

D.李達

25.黨的(A)，把毛澤東思想確立為黨的指導思想。

A、七大B、八大C、九大D、十大26、2011年更要堅持優先發展教育。推動教育事業科學發展，為人們提供更加

多樣、更加公平、更高質量的教育。2012年財政性教育經費支出占國內生

產總值比重達到（A）

A、4%B、4.3%C、4.8%D、5%

27．中國共產黨領導的多黨合作和政治協商制度是中國的一項（D）制度。

A、基本經濟B、根本政治C、根本經濟D、基本政治

28．黨以全面建設小康社會，開創中國特色社會主義事業新局面的全局出發提出的一項重大任務是（A）

Ａ．構建社會主義和諧社會Ｂ．加強黨的執政能力建設

Ｃ．大力開展反腐倡廉工作Ｄ．增強社會主義綜合國力

29、據不完全統計，北京市人大代表在人代會期間共提出議案5500多條，其中

立案560多件；提出建議3800多條，充分發揮了人大代表的作用。這體現了

人民代表具有（D）

A、質詢權B、監督權C、發言、表決免責權D提案權

30、（B）是發展中國特色社會主義的強大動力。

A.解放思想B.改革開放C.科學發展D.社會和諧

31．一名黨員（C）

A、可以參加多個黨組織的活動；

B、可以隸屬于多個黨支部但只參加其中一個黨支部的活動；

C、只能參加組織關系所在支部的活動并接受監督；

D、只服從組織關系所在支部的領導；

32、安倍熱烈歡迎溫家寶正式訪問日本,表示希望年內再次訪華.日方將在今年兩

國實現邦交正常化(C)周年之際組織2萬人的代表團訪華,也歡迎中方代表團

訪日.A.25B.30C.35D.4033、從（C）起，我國開始執行國家建設的第一個五年計劃。

A 1949年B 1952年C 1953年D、1954年

34、新華網、新浪網等聯合組織的2011年“兩會調查”結果顯示，網民最為關

注的“五大熱點話題”，分別是：懲治腐敗、收入分配、穩定物價、(C)和

就業公平。

A、環境保護B、教育改革C、保障住房D、生育調整

35、請問被國際友人稱為資格最老的“國會議員”申紀蘭連任多少屆人大代

表？（C）

A.9B.10C.11D.1

236.我們黨處理黨內矛盾和斗爭的最基本的方法是(C)

A民主與集中B批評與自我批評

C團結—批評—團結D理論聯系實際

37.中國共產黨在建國初期所面臨的主要任務是B__。

A.對資本主義工商業進行社會主義改造

B．恢復國民經濟

C.進行現代化建設

D.鎮壓反革命

改錯題

1．地方每年召開的人大會議和政協會議也稱為兩會，通常召開的時間比全國“兩

會”時間要早。（）

對。

2.在2010年的兩會中以高票通過《物權法》，這部法律是對共有和私有財產進行

保護。（）

錯。在2007年。

3.中國共產黨第十七次全國代表大會報告指出：新時期最鮮明的特點是改革開

放。（）

對。

4.社會主義的本質是發展社會主義市場經濟。（）

錯。本質是解放和發展生產力

5.發展中國特色社會主義的基本要求是科學發展、社會和諧、人民富裕。（）

錯。科學發展，社會和諧

6.黨的中央軍事委員會組成人員由中央政治局決定。（）

錯。由中央委員會決定。

7.“十二五”規劃綱要把推進素質教育提高作為中國教育改革和發展的戰略主

線。（）

對。

8.中國共產黨領導的第一次工人運動高潮中，出現了三次大罷工，即香港海員大

罷工、長沙泥木工人大罷工和京漢鐵路工人大罷工。（）

錯。香港海員大罷工、安源路礦工人罷工和京漢鐵路工人大罷工。

9.黨的十七大報告指出，深入貫徹落實科學發展觀，要求我們切實加強和改進

組織建設。（）

錯。黨的建設。

10.在關于“三農”問題上，黨的十七大中指出，我們要以促進農民增收為核心，發展農村經濟，壯大縣域經濟，多渠道轉移農民就業。

答案：錯誤。發展鄉鎮企業。

11.黨的全國代表會議調整和增選中央委員會及候補中央委員的數額，不得超過

黨的全國代表大會選舉的中央委員及候補中央委員各自總數的五分之一。（）

對。

12.流動黨員管理的三條主要原則是雙向管理、共同教育的原則，分類指導、動

態管理的原則，以人為本、強化服務的原則。（）

對。

13.十一屆三中全會以來，實現了全黨工作重心向民主建設的轉移。（）

錯。移向經濟建設。

14.貫徹“三個代表”重要思想，關鍵在于堅持與時俱進、堅持黨的領導。（）

錯。關鍵在于堅持與時俱進，核心在于保持黨的先進性，本質在于堅持執政為民。

15.“三個代表”是我們黨加強新時期黨的建設的基本方針。（）

對。

16.在對外關系上，我國主張樹立互信、互利、平等和協作的新安全觀，通過對

話和合作解決爭端，而不應訴諸武力或以武力相威脅.（）

對。

17.堅持人民利益高于一切是被實踐證明了的關于中國

革命和建設的正確的理論原則和經驗總結。（）

錯。毛澤東思想。

18.中國共產黨和各民主黨派之間實行的是“獨立自主、完全平等、互相尊重、互不干涉內部事務”的方針。（）

錯。十六字方針“長期共存、互相監督、肝膽相照、榮辱與共”。

19.堅持民主集中制是我們的立國之本。（）

錯。四項基本原則。

20.中國共產黨對黨員的紀律處分有五種，即警告、嚴重警告、撤銷黨內職務、留黨察看、開除黨籍。（）對。

21.加快健全覆蓋城鄉居民的社會保障體系，將新型農村社會養老保險試點范圍

擴大到全國60%的縣。（）

錯。40%。

22.中國共產黨的三大作風是艱苦樸素、理論聯系實際、密切聯系群眾。（）

錯。理論和實踐相結合的作風、密切聯系群眾的作風、批評和自我批評的作風。

23.中國共產黨的最大政治優勢是密切聯系群眾（）

對。

24.1927年10月，毛澤東率領秋收起義部隊到達湘贛邊界山區，開辟了湘贛革

命根據地。（）

錯。井岡山革命根據地。

25.2011年5月4日，我校為紀念“五四”運動90周年，弘揚毅行精神，舉行

了壯觀的和山毅行活動。（）

錯。紀念“五四”運動92周年。

填空題

1．黨內監督的專門機關是 __________。

2．2001年5月20日，小張同學被支部大會吸收為中共預備黨員，并報上級黨

委批準。那么小張同學的預備期從 2001 年 5 月 20 日算起，到 2004年 5 月日止。截止到2010年5月20日，小張的黨齡是年。

3．黨的建設包括政治建設、、組織建設、、制度建設、紀律

建設等。

4．發展社會主義民主政治的根本，在于把堅持黨的領導、人民當家作主和有機統一起來

5．“中部崛起”是兩會熱點議題，所謂中部包括：山西、、江西、河南、＿＿＿和＿＿＿六省。

答案：

1、黨的各級紀律檢查委員會2、6年

3、思想建設，作風建設

4、依法治國

5、安徽,湖南，湖北

簡答題

1、我們黨的三大歷史任務是什么？

參考答案：繼續推進現代化建設，完成祖國統一，維護世界和平與促進共同發展。

2.中國共產黨的性質和最終目標是什么？

參考答案：中國共產黨是中國工人階級的先鋒隊，同時是中國人民和中華民族的先鋒隊，是中國特色社會主義事業的領導核心，代表中國先進生產力的發展要求，代表中國先進文化的前進方向，代表中國最廣大人民的根本利益。黨的最高理想和最終目標是實現共產主義。