第一篇：高等數學偏導數第三節題庫

【090301】【計算題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】求函數z?arctan【試題答案及評分標準】

x?y的全微分。1?xyz?arctanx?y?arctanx?arctany??

1?xy?z1?,?x1?x2dz??z1 ??y1?y2

（8分）

11dx?dy

221?x1?y

（10分）

或dz?1?x?y?1????x?y?

2?(1?xy)(dx?dy)?(x?y)(?ydx?xdy)2(1?xy)

（8分）（10分）

?11dx?dy

221?x1?y【090302】【計算題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】求函數z?ln(x?y?e)的全微分。【試題答案及評分標準】

22xy?z2x?yexy?,?xx2?y2?exydz??z2y?xexy ??yx2?y2?exy

（8分）

1(2x?yexy)dx?(2y?xexy)dy 22xyx?y?e??（10分）

【090303】【計算題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】求函數u?x【試題答案及評分標準】

yz的全微分。

lnu?yzlnx

z?u1?u?yz??yzxy?1

?xx

（2分）（5分）z?u?z?yz?1?xy?lnx ?y ?uzyz?y?x?lnx?lny

?z

z

z（8分）

du?yzxy z?1dx?z?yz?1?xy?lnxdy?yz?xy?lnx?lnydz

（10分）

【090304】【計算題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設u?arccosx，求du。

x2?y2【試題答案及評分標準】

u?x2?y2?1x2??yx?y??????x2?y2?(x2?y2)3/2??x2?y2u??x2?y2?y???xy?xsgnyy(x2?y2)3/2???x2?y2

du?sgnyx2?y2(?ydx?xdy)

【090305】【計算題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設u?arcsinxu。

x2?y2，求d【試題答案及評分標準】

2ux2?yy???1??x2???yx??x2?y2(x2?y2)3/2??x2?y2 ux2?y2?y????xy??xsgnyy(x2?y2)3/2???x2?y2

du?sgnyx2?y2(ydx?xdy)

【090306】【計算題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】求函數u?xyyzzx的全微分。【試題答案及評分標準】

?u?x?yxy?1yzzx?xyyzzxlnz?xyyzzx(yx?lnz)

?u?xyyzzxlnx?xyz?yzyz?1zx?xyyzzx(y?lnx)

4分）8分）10分）4分）8分）10分）3分）6分）（（

（

（（

（

（（?ux?xyyzzxlny?xyyzxzx?1?xyyzzx(?lny)

?zz（9分）

?y?zx du?xyyzzx?(?lnz)dx?(?lnx)dy?(?lny)dz?（10分）

yz?x?【090307】【計算題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設u?arccos【試題答案及評分標準】

yz，求du。x?u??x1?yz?1????x??1?yz?1????x?22?yzyz ?222x2xx?yzxzz??

222xxx?yz

（3分）

?u??y?

（6分）

?xy?u?

222?zxx?yz

（9分）

du??yzxzxy?dy?dz?

?dx?222xx?x?yz?x1（10分）

【090308】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設f(x,y)?【試題答案及評分標準】

x2?y2，則df= ———。

（10分）

xdx?ydyx?y22【090309】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設z?xy?x?e，則dz= ———。

【試題答案及評分標準】(3xy?2x)dx?(2xy?e)dy

10分 【090310】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設z?(1?x)，則dz= ———。【試題答案及評分標準】y(1?x)y?1y223y322ydx?(1?x)yln(1?x)dy 10分

【090311】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】

?x?【試題內容】設u(x,y,z)???，則du(1,2,3)= ———。

?y?z【試題答案及評分標準】

331dx?dy?ln2dz（10分）8168【090312】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設f(x,y,z)?ln(xy?z)，則df(1,2,0)= ———。【試題答案及評分標準】dx?11dy?dz（10分）22x2?y2)，則du= ———。【090313】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設u(x,y)?ln(x?【試題答案及評分標準】

1x?y22(dx?yx?x?y22dy)10分

【090314】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設z?xyex?y，則dz= ———。

x?y【試題答案及評分標準】e?y(1?x)dx?x(1?y)dy?

（10分）

【090315】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設u(x,y)?x?y，則du= ———。x?y2(?ydx?xdy)（10分）

(x?y)2【試題答案及評分標準】【090316】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設u?cosh(xy)?cos(xy)，則du= ———。【試題答案及評分標準】?sinh(xy)?sin(xy)?(ydx?xdy)【090317】【填空題】【較易0.3】全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設u?ln(xy)?tanh(x?y)，則du= ———。

（10分）

【試題答案及評分標準】??1??1?11?dx?????dy（10分）22?xcosh(x?y)??ycosh(x?y)?【090318】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】設z?exy?cosexy，則dz= ———。

xyxy【試題答案及評分標準】e(1?sine)(ydx?xdy)

（10分）

【090319】【討論題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】

?x2y?【試題內容】研究函數z(x,y)??x4?y2?0?是否存在？

【試題答案及評分標準】

x4?y2?0x4?y2?0在點（0，0）處的全微分

?z?x(0,0)?lim?x?0f(?x,0)?f(0,0)?0

?x

（3分）?z?y(0,0)?lim?y?0f(0,?y)?f(0,0)?0

?y??z?z????x?zdx?(0,0)?y?(?x)2?y(0,0)dy??42?(?x)?(?y)(?x)2?(?y)2

（5分）

?(?x)2?y?lim?x?0?(?x)4?(?y)2????y?0取?x??y，上式=lim?x?0?(?x)(?x)34?(?x)2?2?x??1?0 2

故函數z(x,y)在點（0，0）處不可微。

函數在（0，0）點全微分不存在。

（10分）【090320】【討論題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】 【試題內容】討論：函數f(x,y)?x2?y2在點（0，0）處是否可微？

?xf(?x,0)?f(0,0)?lim【試題答案及評分標準】lim不存在

?x?0?x?0?x?x（5分）

fx(0,0)不存在，故函數f(x,y)?x2?y2在點（0，0）處不可微。

（10分）

【090321】【討論題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】

【試題內容】設f(x,y)?x?sinxy，試研究（0，0）處的全微分是否存在？

【試題答案及評分標準】因lim

x?0

xx

不存在，即fx(0,0)不存在

10分

8分

故f(x,y)在（0，0）全微分不存在。

【090322】【討論題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】

1?22x?ysin,?22【試題內容】討論函數f(x,y)??x?y??0處的連續性，可導性和可微性。

【試題答案及評分標準】

x2?y2?0x2?y2?0在點（0，0）limf(x,y)?limx2?y2sinx?0y?0x?0y?01?0?f(0,0)

x2?y2

（3分）f(x,y)在點（0，0）連續

?x?0lim?xf(0??x,0)?f(0,0)1 ?limsin2?x?0?x?x?x()

（7分）極限不存在，f(x,y)在（0，0）處不可導

從而在（0，0）處不可微。

（10分）

【090323】【討論題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】

xy?,?2【試題內容】函數f(x,y)??x?y2??0否存在？在點（0，0）是否可微？為什么？

【試題答案及評分標準】

x2?y2?0x2?y2?0在點（0，0）的兩個偏導數是fx(0,0)?limx?0f(x,0)?f(0,0)0?0?lim?0 x?0xx（5分）fy(0,0)?0，故f在（0，0）的兩個偏導數存在。

因limf(x,y)?y?xx?01?f(0,0)，故f在（0，0）點不連續，從而不可2微。

（10分）【090324】【討論題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】 【試題內容】已知?(x)可微，求A(x)使d?{sin[x?(x)]}?A(x)dx。【試題答案及評分標準】記u?x?(x),t?sinu?sin(x?(x))

（3分）（5分）（8分）d?[sin(x?(x))]???(t)dt ???(t)cosudu

???(t)cos[x?(x)][?(x)?x??(x)]dx

所以 A(x)???(t)[?(x)?x??(x)]cos[x?(x)]

（10分）

【090325】【證明題】【較難0.7】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】

xy??【試題內容】試證：f(x,y)??x2?y2?0?在，但是不可微。

【試題答案及評分標準】lim同理，fy(0,0)?0

?x?0(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在點（0，0）處偏導數存

f(?x,0)?f(0,0)?0?fx(0,0)

?x

（4分）

記???z?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y??z 則

lim??z?x??y?lim?lim不存在（8分）?x?0?x?0(?x)2?(?y)222??0?(?x)?(?y)?y?0?y?0f(x,y)在（0，0）處不可微。

（10分）

【090326】【證明題】【較難0.7】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】

1?22(x?y)sin?【試題內容】試證：函數f(x,y)??x2?y2??0處可微。

【試題答案及評分標準】

x2?y2?0x2?y2?0在點（0，0）fx(0,0)?lim?x?0f(?x,0)?f(0,0)1?lim?xsin?0（2分）2?x?0?x(?x)fy(0,0)?lim?y?0f(0,?y)?f(0,0)1?lim?ysin?0（4分）?y?0?y(?y)2?f?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y(?x)?(?y)22??(?x)2?(?y)2sin?1(?x)2?(?y)2(?x)2?(?y)2?(?x)2?(?y)2????0

?x?0?y?0

（8分）

f(x,y)在點（0，0）處可微。

（10分）

【090327】【證明題】【較難0.7】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】

?x3?y3?【試題內容】試證：f(x,y)??x2?y2??0在，但不可微。

【試題答案及評分標準】

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在原點（0，0）處偏導數存f(?x,0)?f(0,0)(?x)3lim?lim?1?fx(0,0)3?x?0?x?0?x(?x)同理，fy(0,0)??1

分）

（4f(x,y)在（0，0）偏導數存在。

lim?x?0?y?0?f?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y2??(?x)?(?y)21/2???lim?x??y(?x??y)?x?0?y?0?(?x)2?(?y)23/2?（6分）

(?x)3k(1?k)k(1?k)?lim?，故二重極限不存在 23/2?x?0(?x)3(1?k2)3/2(1?k)?y?k?x（8分）

f(x,y)在（0，0）處不可微。

（10分）

【090328】【證明題】【較難0.7】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】

1?22x?ysin?【試題內容】試證：f(x,y)??x2?y2??0??x2?y2?0x2?y2?0的偏導數fx(x,y)及fy(x,y)在點（0，0）的鄰域內存在，但它們在（0，0）處均不連續。【試題答案及評分標準】

?x?0limf(?x,0)?f(0,0)1?lim(?x)sin?0?fx(0,0)2?x?0?x(?x)當(x,y)?(0,0)時，（3分）

fx(x,y)?2xsin12x1?cos 222222x?yx?yx?y（5分）

又

121??lim2xsin?cos??不存在(x,y)?(0,0)?x2xx2?y?0故fx(x,y)在（0，0）處不連續

（8分）（10分）同理可證：fy(x,y)在（0，0）處不連續

【090329】【證明題】【較難0.7】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】 【試題內容】證明：z?xy在（0，0）處連續，偏導數存在，但不可微。

【試題答案及評分標準】由0?xy?x2?y2，得 2limf(x,y)?limxy?0?f(0,0),f(x,y)在（0，0）處連續。

x?0x?0y?0y?0

?x?0

（3分）

limf(?x,0)?f(0,0)?0?fx(0,0)

?x（5分）同理，fy(0,0)?0,f(x,y)在（0，0）處偏導數存在

lim?x?0?y?0?z?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y(?x)?(?y)

22???lim

?x?y(?x)?(?y)

22?x?0?y?0，不存在

（8分）

f(x,y)在（0，0）處不可微。

（10分）

【090330】【證明題】【較難0.7】【全微分】【全微分的定義】【偏導數】

y??xsin(4arctan)【試題內容】證明：f(x,y)??x??0但不可微。

x?0x?0在點（0，0）處偏導數存在，f(?x,0)?f(0,0)?0?fx(0,0)?x?0?x【試題答案及評分標準】

f(0,?y)?f(0,0)lim?0?fy(0,0)?y?0?ylimf(x,y)在（0，0）處偏導數存在。

（4分）

（6分）?f?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y??xsin(4arctan?y)

?x?x?sin(4arctan?x?0?y?0lim?y)?x?lim?x?sin(4arctank)

?x?02(?x)2?(?y)2?x1?k?y?k?x，故二重極限不存在

（8分）??sin(4arctank)1?k2f(x,y)在（0，0）處不可微。

（10分）

【090331】【證明題】【較難0.7】【全微分】【全微分的定義】【多元函數的連續性】 【試題內容】證明：若z?f(x,y)在點P0(x0,y0)處可微分，則它在該點處必連續。【試題答案及評分標準】由z?f(x,y)在點P0(x0,y0)可微，則有

?z??z?z?x??y?o(?)?x?y

（5分）

其中 ??(?x)2?(?y)2

?x?0?y?0當?x?0,?y?0時，??0，從而lim?z?0

（8分）

即z?f(x,y)在點P0(x0,y0)處連續。

（10分）

【090332】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】【隱函數的求導公式】 【試題內容】設函數z?z(x,y)由方程x?y?z?3xyz?1所確定，則全微分dz= ———。

【試題答案及評分標準】

3331(yz?x2)dx?(xz?y2)dy

10分 2z?xy??【090333】【填空題】【較易0.3】【全微分】【全微分的定義】【隱函數的求導公式】 【試題內容】由方程xyz?處的全微分dz= ———。

【試題答案及評分標準】dx?2dy

10分

x2?y2?z2?2所確定的函數z?z(x,y)在點（1，0，－1）

第二篇：高等數學教案ch 8.2 偏導數

§8?2

偏導數

一、偏導數的定義及其計算法

對于二元函數z?f(x? y)? 如果只有自變量x 變化? 而自變量y固定? 這時它就是x的一元函數? 這函數對x的導數? 就稱為二元函數z?f(x? y)對于x的偏導數?

定義

設函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的某一鄰域內有定義? 當y固定在y0而x在x0處有增量?x時? 相應地函數有增量

f(x0??x? y0)?f(x0? y0)?

如果極限

lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x

存在? 則稱此極限為函數z?f(x? y)在點(x0? y0)處對x的偏導數? 記作

?z?xx?x0y?y0?

?f?xx?x0y?y0? zxx?x0y?y0? 或fx(x0,y0)?

例如：

fx(x0,y0)?limf(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x?x?0?

類似地? 函數z?f(x? y)在點(x0? y0)處對y 的偏導數定義為

lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y?

記作 ?z?yx?x0y?y0? ?f?yx?x0y?y0? zyx?x0y?y0? 或fy(x0? y0)?

偏導函數?

如果函數z?f(x? y)在區域D內每一點(x? y)處對x的偏導數都存在? 那么這個偏導數就是x、y的函數? 它就稱為函數z?f(x? y)對自變量x的偏導函數? 記作

?z?x?

?f?x? zx? 或fx(x,y)?

偏導函數的定義式? fx(x,y)?lim?x?0f(x??x,y)?f(x,y)?

?x

類似地? 可定義函數z?f(x? y)對y的偏導函數? 記為

?z?y? ?f?y? zy ? 或fy(x,y)?

偏導函數的定義式? fy(x,y)?lim求?f?x?y?0f(x,y??y)?f(x,y)?y?

?f?y時? 只要把y暫時看作常量而對x求導數? 求時? 只要把x暫時看作常量而對y求導數?

討論? 下列求偏導數的方法是否正確？?

fx(x0,y0)?fx(x,y)x?x0? fy(x0,y0)?fy(x,y)x?x0? ?y?y0y?y0

fx(x0,y0)?[df(x,y0)]x?x? fy(x0,y0)?[df(x0,y)]y?y?

dx0dy0

偏導數的概念還可推廣到二元以上的函數??例如三元函數u?f(x? y? z)在點(x? y? z)處對x的偏導數定義為

fx(x,y,z)?lim?x?0f(x??x,y,z)?f(x,y,z)?

?x其中(x? y? z)是函數u?f(x? y? z)的定義域的內點? 它們的求法也仍舊是一元函數的微分法問題?

例1 求z?x2?3xy?y2在點(1? 2)處的偏導數?

?z?z?3x?2y?

解 ?z?2x?3y?

?x?y?xx?1?2?1?3?2?8? y?2?z?yx?1y?2?3?1?2?2?7?

例2 求z?x2sin 2y的偏導數?

?z?2x2cos2y?

解 ?z?2xsin2y?

?x?y 例3 設z?xy(x?0,x?1)? 求證?

?z?xylnx??

證 ?z?yxy?1?

x?z1?z??2zy?xlnx?y?

?x?y

x?z1?zx??yxy?xlnx?yyy?1?1xylnx?xy?xy?2zlnx?

例4 求r?x2?y2?z2的偏導數?

解 ?r??xxx?y?z222?xr? ?r??yyx?y?z222?yr?

例5 已知理想氣體的狀態方程為pV=RT(R為常數)? ?

求證? ?p?V?T????1?

?V?T?p?pRT 證 因為p?RT? ??2? ?V?VV

V?RT? ?V?R?

p?Tp

T?所以pV? ?T?V?

?pRR?p?V?TRTRVRT????2??????1?

?V?T?ppRpVV

例5 說明的問題? 偏導數的記號是一個整體記號? 不能看作分子分母之商?

二元函數z?f(x? y)在點(x0? y0)的偏導數的幾何意義? ?

fx(x0? y0)?[f(x? y0)]x?是截線z?f(x? y0)在點M0處切線Tx對x軸的斜率?

fy(x0? y0)?[f(x0? y)]y?是截線z?f(x0? y)在點M0處切線Ty對y軸的斜率?

偏導數與連續性? 對于多元函數來說? 即使各偏導數在某點都存在? 也不能保證函數在該點連續? 例如

?xy22 x ?y?0? f(x,y)??x?y2

2? 2?0?0 x ? y在點(0? 0)有? fx(0? 0)?0? fy(0? 0)?0? 但函數在點(0? 0)并不連續?

提示?

f(x, 0)?0? f(0, y)?0?

d

fx(0, 0)?d[f(x, 0)]?0? fy(0, 0)?[f(0, y)]?0?

dxdy

當點P(x? y)沿x軸趨于點(0? 0)時? 有

lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?

x?0x?0

當點P(x? y)沿直線y?kx趨于點(0? 0)時? 有

lim(x,y)?(0,0)y?kxkx2k?lim2?2222x?0x?kxx?y1?k2xy? ?

因此? lim(x,y)?(0,0)f(x,y)不存在? 故函數f(x? y)在(0? 0)處不連續?

類似地? 可定義函數z?f(x? y)對y的偏導函數? 記為

?f

?z? ? zy ? 或fy(x,y)?

?y?y偏導函數的定義式? fy(x,y)?lim

二?

高階偏導數

?y?0f(x,y??y)?f(x,y)?y?

設函數z?f(x? y)在區域D內具有偏導數

?z?fx(x,y)? ?x

?z?fy(x,y)? ?y

那么在D內fx(x? y)、fy(x? y)都是x? y 的函數? 如果這兩個函數的偏導數也存在? 則稱它們是函數z?f(x? y)的二偏導數? 按照對變量求導次序的為同有下列四個二階偏導數

如果函數z?f(x? y)在區域D內的偏導數fx(x? y)、fy(x? y)也具有偏導數?

則它們的偏導數稱為函數z?f(x? y)的二階偏導數? 按照對變量求導次序的 不同有下列四個二階偏導數

??z?2z??z?2z()??fxy(x,y)()?2?fxx(x,y)?

?y?x?x?y?x?x?x?

??z?2z??z?2z()??fyx(x,y)?

()?2?fyy(x,y)?

?x?y?y?x?y?y?y

??z?2z??z?2z?fxy(x,y)?()??fyx(x,y)稱為混合偏導數? ?其中()??y?x?x?y?x?y?y?x??z?2z()?2?x?x?x2??z?2z??z?2z()?()?? ? ? ?(?z)??z?

?2?y?x?x?y?x?y?y?x?y?y?y 同樣可得三階、四階、以及n 階偏導數? ? 二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數?

例6 設z?xy?3xy?xy?1? 32

3?2z求2?x?3z、3?x?2z?2z、和?

?y?x?x?y

解 ?z?3x2y2?3y3?y? ?z?2x3y?9xy2?x?

?x?y2?3z2

?z? ?6xy?6y2?

32?x?x?2z?2z22

?6xy?9y?1? ?6x2y?9y2?1? ??x?y?y?x

?2z?2z?由例6觀察到的問題?

?y?x?x?y?2z?2z

定理 如果函數z?f(x? y)的兩個二階混合偏導數及在區域D內連續?

?y?x?x?y那么在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等?

類似地可定義二元以上函數的高階偏導數?

2?2z 例7 驗證函數z?lnx2?y2滿足方程?z??0?

22?x?y 證 因為z?lnx2?y2?1ln(x2?y2)? 所以

?z??xxx2?y2? ?z??yyx?y22?

22y2?x2?2z(x?y)?x?2x??2?x2(x2?y2)2(x?y2)2?

22x2?y2?2z(x?y)?y?2y??2?y2(x2?y2)2(x?y2)2?

x2?y2y2?x2?2z?2z因此 2?2?222?222?0?

?x?y(x?y)(x?y)

例8．證明函數u?1r?2u?2u?2u滿足方程2?2?2?0?

?x?y?z 其中r?x2?y2?z2?

證? ?u??12??r??12?x??x3?

?xr?xrrr

同理

?2u13x?r13x2??3?4???3?5?x2rr?xrr?

?2u13y???523?yrr2213z2? ?u???5?

23?zrr2?2u?2u?2u13x213y13z2因此2?2?2?(?3?5)?(?3?5)?(?3?5)?x?y?zrrrrrr22233(x?y?z)33r2??3???3?5?0rr5rr

?

2?x提示? ?u?(?)??23?x?xrr3?x??3?r(r)r3?x?3r2?x?x?

??66rr

第三篇：求偏導數的方法小結

求偏導數的方法小結

（應化2，聞庚辰，學號：130911225）

一，一般函數：

計算多元函數的偏導數時，由于變元多，往往計算量較大． 在求某一點的偏導數時，一般的計算方法是，先求出偏 導函數，再代人這一點的值而得到這一點的偏導數． 我們發 現，把部分變元的值先代人函數中，減少變元的數量，再計 算偏導數，可以減少運算量。

求函數f(x,y)在點（a,b）處的偏導數f’x(a,b)及f’y(a,b)的方法是： 1)先求出偏導數的函數式，然后將（a,b）代入計算即可.2)先求出g(x)=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g’(b),h’(a)便得到f’x(a,b)和f’y(a,b).3)若函數f(x,y)是分段函數則一般采用定義來做.復合具體函數的導數求解:

?z?zx=?u 基本法則：??u?z?x+?v?u?y?v?x

?v?y ?z?y?zu=??zv+?

其本質與一元函數的求導法則是一樣的，只不過是將暫時不求的變量看成常量而已。

例1 ：z=f(x,y)=(x+y)xy,求f’x（1，1），f’y（1，0）；

法一：設u=x+y,v=xy,則z=uv函數的復合關系為：z是u,v的函數，u,v分別是x,y的函數.?z?zx=?u 則：??u?z?x+?v?v?x

=xy(x+y)xy-1+y(x+y)xyln(x+y)=y(x+y)[xy

x(x?y)+ln(x+y)] f(x,y)= y(x+y)[’xxy

x(x?y)+ln(x+y)] 所以：f’x(1,1)=1+2ln2 由于f(x,y)的表達式中的 x,y依次輪換，即x換y成，同時將換y成x，表達式不變，這叫做函數f(x,y)對自變量x,y交換具有輪換對稱性。具有輪換對稱性的函數，只要在f’x的表達式中將x,y調換即得到f’y。即：f’y（x,y）= y(x+y)[xyx(x?y)+ln(x+y)] 所以f’y（1，0）=0 法二：由于和一元函數的求導的實質是一樣的。我們可以不引入中間變量，對某一自變量求導時，只要把其他自變量看成常數即可。如： Lnz=xyln(x+y)上式兩邊求導得： z?zx?x=y[ln(x+y)+(x?y)] ?zxx=z y[ln(x+y)+(x?y)] 從而：?所以：f’x(1,1)=1+2ln2 有函數的對稱輪換性得：f’y（1，0）=0 例三：我們也可以利用全微分的不變性來解題。

?z?zyx+? 設z=eusin(v),而u=xy,v=x+y。求?在（1，1）處的值。dz=d(eusin(v))= eusin(v)du+eucos(v)dv du=d(xy)=ydx+xdy dv=d(x+y)=dx+dy 代入后合并同類項得：

dz=(eusin(v)y+eucos(v))dx+(eusin(v)x+ eucos(v))dy將點（1，1）代入得：

?z?zyx+? ?=2e(sin2+cos2).二，隱函數的求偏導。求隱函數的偏導時，我們一般有兩種方法選擇：

1)公式法

2)對函數兩邊直接求導。（但必須明確誰是誰的函數）。然后按復合函數求導法則來求。

例一：方程組{x?y?z?ox2?y2?z2?a2（注：x2為x的平方）

法一：題中有3個自變量，明確了x=x(z),y=x(z),既z是自變量。我們可以利用公式求但比較繁。我們可以采用下面的方法： 法二：對方程組兩邊對求z導得：

{ dx?dy?1?0dzdzdyzxdx?2y?2z?0dzdz

求得此解得： dxdzy?zdyz?x=x?y，dz=x?y

第四篇：大學課件-高等數學課件導數、微分及其應用

第二講

導數、微分及其應用

一、導數、偏導數和微分的定義

對于一元函數

對于多元函數

對于函數微分

注：注意左、右導數的定義和記號。

二、導數、偏導數和微分的計算：

1）能熟練運用求導公式、運算法則計算導數、偏導數和微分；

2）隱函數、參數方程的導數

3）高階導數：特別要注意萊布尼茨公式的運用。

例1：求函數在處的階導數。

解：，所以有

（1）

利用萊布尼茨公式對（1）兩邊求階導數得

當時，由此可得

例2：求的階導數。

解：

設

其中，則有

注：計算時注意一階微分不變性的應用。

4）方向導數與梯度

三、導數、偏導數及微分的應用

1）達布定理：設在上可導，若則對介于的一切值，必有，使得。

證明：在上可導，則在上一定有最大值和最小值。

1、如果異號，無妨設，由于，由極

限的保號性，當充分接近時有；當充分接近時有，這就說明不可能是在上的最大值，所以一定存在，使得是在上的最大值，由費馬

定理可得。

2、對于一般的的情形，設是介于的值，考慮函

數，則有異號，由前

面的證明可得，存在有，即。

2）羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理

其中，這里在與之間的某個值。

3）一元函數的單調性及極值、最值

4）一元函數的凹凸性：

在區間上凹：和，若，則；

在區間上凸：和，若，則；

性質：1、如果在區間上是凹的，則和，若，一定有；

2、如果在區間上是凸的，則和，若，一定有

證明：因為

其中，所以用數學歸納法可證明以上結論。

例3：證明：若，則有

證明：考慮函數，因為

所以時，是凹函數。因此對于由性質有

5）多元函數幾何應用

6）多元函數的極值：拉格朗日乘數法。

例4：設在上連續，在上可導。又在上連續，證明：至少存在一點使得。

證明：因為在上連續，所以在上存在原函數，即有。

考慮函數，則有，由羅爾中值定理可得至少存在一點使得

因此至少存在一點使得。

例5：設函數在上連續，在上可導，（1）如果，證明：至少存在一點，使得。

（2）如果，且對一切有，證明：至少存在一點，使得。

證明：（1）如果函數在上是常數，則對于任意的都有。下面設不是常數，此種情形下存在使得，無妨設，取，因為，所以存在，當時有

因此我們有，由此我們可得在上的最大值不在端點取得，由最大值和最小值定理和費馬定理至少存在一點使得

(2)因為，由夾逼準則得

考慮函數，則有在上連續，在上可導，并且，由（1）的結論可得至少存在一點，使得。

例6：設函數在區間上可微，是個正數，且，證明：存在使得

證明：利用介值定理，存在使得，無妨我們設，對函數分別在以為端點區間上運用拉格朗日中值定理可得，至少存在在之間使得

因此我們有

例7：設在上可導，證明：。

證明：1）設在內的最大值為，則有

這就得到在上有，特別是；

2）設在上有，設設在內的最大值為，則有

這就得到在上有，由數學歸納法可得在上有。同理可得在上有。

例8：設在上有二階導數，證明：存在，使得

證明：設，將在點處展成三階泰勒公式

當時，（1）

當時，(2)

得

因為在可導，且在之間，由達布定理可得，存在使得，此時即有

例9：設在上二階可導，證明：對于，存在使得

證明：構造函數，則有，利用羅爾中值定理，存在有，再利用一次羅爾中值定，存在使得，又因為

由此可得

即有

例10：設函數在連續，在內可微，且。證明：（1）存在使得；

（2）存在使得。

證明：（1）考慮函數，因為，由零點定理，存在使得；

（2）考慮函數，因為，由羅爾中值定理，存在使得，即有。

例11：設在上無窮次可微，并且滿足：存在，使得，；且，求證：在上。

四、練習題

1）求函數的階導數。

2）設在上有階導數，且，證明：存在，使得。

3）設在上有二階導數，且存在使得證明：存在，使得。

4）設在區間上三次可微，證明：存在，使得

5）設函數在上是導數連續的有界函數，證明：

五、

第五篇：偏導數求二元函數最值

偏導數求二元函數最值

用偏導數可以求多元函數的極值及最值，不過要比一元函數復雜很多。

這個在高等數學教材里都有，極值求法與一元函數類似。不過極值點的判斷要比一元函數復雜很多。

求閉區域上的最值要更麻煩一些。為什么呢？你可以回憶一下閉區間上一元函數的最值，我們做法是先求極值，再與端點的函數值比大小。但多元函數就麻煩了，因為一元函數的區間端點只有兩個值，可以全求出來比就行了。但多元函數閉區域的邊界是無窮多個值，不可能全求出來了，因此邊界上我們還需要再求最大最小值，這個叫做條件最值。

如果能代入的話，就是代入求（將條件最值轉化為無條件最值）。如果有些函數很復雜不能代入，有另一個方法，叫做拉格朗日乘數法，就是解決條件最值的問題的。