第一篇：高等數學(上冊)教案10 隱函數的導數和由參數方程確定的函數導數

第2章 導數與微分

隱函數的導數、由參數方程所確定的函數的導數

【教學目的】：

1.掌握隱函數的求導方法； 2.掌握取對數求導方法；

3.掌握由參數方程所確定的函數的導數的求法；

【教學重點】：

1.隱函數的求導方法； 2.對數求導法；

3.由參數方程所確定的函數的導數的求法。

【教學難點】：

1.隱函數的求導方法； 2.對數求導法。

【教學時數】：2學時 【教學過程】：

2.3.1 隱函數的求導法則

1．顯函數與隱函數

定義 顯函數：函數的因變量y用自變量x的表達式f(x)直接表示的函數稱為顯函數．

隱函數：用二元方程F(x,y)?0表示的函數，稱為隱函數．

例如：y?sin(x?y)就是一個隱函數．

有些隱函數可以化為顯函數，但有些隱函數如ex?y?xy,卻很難、甚至根本不可能化為顯函數,因此我們有必要介紹一下隱函數的求導方法．

2．隱函數的求導法

（1）將方程F(x,y)?0兩邊分別同時對x求導，并在求導過程中視y為x的函數，y的函數為x的復合函數；（2）解出含有y?的方程，即為所求．

例1 求由方程xy?ex?ey?0所確定的隱函數y?y(x)的導數解 將方程兩邊分別對x求導，注意y是x的函數，得

y?xy??ex?ey?y??0

dy． dx由上式解出y?，便得隱函數的導數為

dyex?y?(x?ey?0)． ydxx?e2.3.2 對數求導法

對數求導法的一般步驟：

（1）對函數y?f(x)的兩邊同時取自然對數，得到一個隱函數；

（2）利用隱函數求導法對上述隱含數求導．

注意 對數求導法適用于由幾個因子通過乘、除、乘方、開方所構成的比較復雜的函數的求導，及冪指函數的求導．

例4 已知y?xsinx(x?0),求y'． 解 將y?xsinx兩邊同時取對數，得

lny?sinxlnx將上式兩邊分別對x求導，注意到y是x的函數，得

1'1?y?cosx?lnx?sinx? yxsinx?sixn??sinx?于是 y'?y?cosx?lnx??xcosx?lnx????．

x?x???例5 求y?x(x?2)(x?1)的導數．

(x?1)解 將方程兩邊同時取對數，得

1?2)?lnx(?1)?，lny??lnx?lnx(2將上式兩邊分別對x求導，得

1'1?111??y?????，y2?xx?2x?1?

所以 y'?y?111?1x(x?2)?111??????????．

2?xx?2x?1?2(x?1)?xx?2x?1?2.3.3 由參數方程所確定函數的導數

1．由參數方程所確定的函數的概念 2．由參數方程所確定的函數的求導法

定理1 若函數x??(t)，y??(t)都可導，而且?'(t)?0，則參數方程（1）所確定的函數的導數存在，且

dydydtdy?'(t)．(2)??' 或

dxdxdx?(t)dtdy例6 求由下列參數方程所確定的函數的導數：

dx?x?1?sin?（2）?．

y??cos??解（2）dxdy?cos?,?cos???sin?，所以 dtdtdydy/d?cos???sin???=1??tan?． dxdx/d?cos?

【教學小節】：

通過本節的學習，掌握隱函數、含參數方程函數的求導方法，尤其是要熟練掌握對數求導法。

【課后作業】：

能力訓練 P56 2（1、4）、4（2）、5（2、4）；P61 4（1）

第二篇：函數的和差積商的導數教案

函數的和差積商的導數教案

教學目的

1．使學生學會根據函數的導數的定義推導出函數導數的四則運算法則；

2．使學生掌握函數導數的四則運算法則，并能熟練地運用這些法則去求由基本初等函數的和、差、積、商構成的較復雜的函數的導數．

教學重點和難點

本節課的重點是求函數的和、差、積、商的導數的運算法則．難點是求函數的積和商的導數的運算公式及其推導方法．

教學過程

一、復習提問

1．求導數的三個步驟是什么？

(先讓全體學生回憶，再請一名學生單獨回答．若答錯或不完善則請另外學生糾正或補充．)

(1)求函數的增量：Δy=f(x＋Δx)－f(x)；

2．試用導數的定義求函數y＝x＋x2的導數．

(要求全體學生在課堂練習本上做，同時找一至兩名學生板演．)

解：設y=f(x)＝x＋x2，則Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝[(x＋Δx)＋(x＋Δx)2]－(x＋x2)

＝Δx(1＋2x＋Δx)，二、引入新課

讓學生觀察復習提問2的結果： y′=1＋2x．

從這個結果可以得到以下兩點啟示：

1．函數y＝x＋x2是兩個函數(y＝x和y＝x2)的和，它的導數可以用導數的定義直接求得；

2．函數y＝x＋x2的導數y′=1＋2x，恰好是函數y＝x和y＝x2導數的和．那么，任意兩個函數的和的導數是否都是這兩個函數導數的和呢？

結論是肯定的．

三、講解新課

1．和(差)的導數．

法則1 兩個函數的和(差)的導數，等于這兩個函數的導數的和(差)．即

其中u和v都是x的可導函數．

證明：(可讓學生自己完成．)

設y=f(x)＝u(x)＋v(x)，則Δy=[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)]

=[u(x＋Δx)－u(x)]±[v(x＋Δx)－v(x)]

=Δu±Δv，即y'=(u±v)'=u'±v'．

追問：條件“u和v都是可導函數”有沒有必要？它在證明法則的過程中用于何處？

說明：這個法則可以推廣到任意有限個函數，即

例1 求函數y＝x3＋sinx的導數．

解：y'＝(x3)'＋(sinx)'＝3x2＋cosx．

設問(繼續引入新課)：既然有(u±v)'＝u'±v'，那么是否也有

呢？

就上述“設問”給出兩個反例，以防止極限運算中，積和商的法則在此處的負遷移：

①把函數y＝x3看作函數u(x)=x和函數v(x)=x2的乘積，即 y=x·x2．

按(1)求導有：

y'＝(x·x2)'＝(x)'·(x2)'=2x．

顯然與y'＝(x3)'＝3x2的正確結果不符．可見該(1)為謬．

那么，正確的法則是什么呢？我們可以由導數的定義直接推導出來．

2．積的導數．

法則2 兩個函數的積的導數，等于第一個函數的導數乘以第二個函數，加上第一個函數乘以第二個函數的導數．即

其中u和v都是x的可導函數．

證明：設y＝f(x)＝u(x)·v(x)，則

Δy=u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)

＝u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x＋Δx)＋u(x)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)，因為v(x)在點x處可導，所以它在點x處連續，于是當Δx→0時，v(x＋Δx)→v(x)，從而

即 y'=(uv)'=u'v＋uv'．

若c為常數，則從[法則2]立即可以推出：(cu)'=c'u＋cu'=0＋cu'=cu'．

就是說，常數與函數的積的導數，等于常數積以函數的導數．即

例2 求函數y＝(2x2＋3)(3x－2)的導數．

＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3

＝18x2－8x＋9．

3．商的導數．

法則3 兩個函數的商的導數，等于分子的導數與分母的積，減去分母的導數與分子的積，再除以分母的平方．即

因為v(x)在點x處可導，所以它在點x處連續，于是 當Δx→0時，v(x＋Δx)→v(x)，從而

即

解：

例4 求證當n是負整數時，公式(xn)'=nxn-1

仍然成立．

證明：設 n=－m(m為正整數)

說明：

當n＝0時，(xn)'＝nxn-1也成立，所以對于一切整數n，公式(xn)'＝nxn-1成立．

四、小結

1．通過用導數的定義求導數的方法，可直接推導得函數和(或差)、積、商的導數公式：

(1)(u±v)'=u'±v'；

(2)(uv)'＝u'v＋uv'；(cu)'＝cu'(c為常數)；

其中u和v是x的可導函數．

2．公式(2)對于u和v是對稱的，而公式(3)對于u和v卻不是對稱的，這一點要特別注意．

3．和(或差)的導數法則可以推廣到任意有限個函數的情況

那么，對于任意有限個函數的積的導數又怎樣呢？(此問題要求學生在課后思考，下一節課將給予回答．)

五、布置作業

1．閱讀課本中“函數的和、差、積、商的導數”這一節的課文；

2．求下列函數的導數：

(1)y＝5x5－3x3＋x－25；

(2)y=ax4－bx2＋c；

(3)y＝sinx－x＋1；

(4)y=x2＋2cosx；

(5)y=(3x2＋1)(2－x)；

(6)y=(1－2x3)(x－3x2)；

(7)y＝sinx(1－x2)；

(8)y=(1＋2x)(1－cosx)；

第三篇：幾種常見函數的導數教案

幾種常見函數的導數教案

教學目的

使學生應用由定義求導數的三個步驟推導四種常見函數的導數公式，掌握并能運用這四個公式正確求函數的導數．

教學重點和難點

掌握并熟記四種常見函數的求導公式是本節的重點．正整數冪函數及正、余弦函數的導數公式的推導是本節難點．

教學過程

一、復習提問

1．按定義求導數有哪幾個步驟？

2．用導數的定義求下列各函數的導數：

(1)y＝x5；(2)y＝c．

幾點說明：練習(1)為推導正整數冪函數導數公式作準備，在求Δy值時啟發學生應用二項式定理展開(x＋Δx)5；練習(2)推導前，首先指出這里y＝c稱為常數函數，可設y=f(x)=c說明不論自變量取何值，對應的函數值均為c，以避免出如下錯誤，Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝c＋Δx－c＝Δx．

二、新課

1．引言：由導數定義本身，給出了求導數的最基本的方法，但由于導數是用極限來定義的，所以求導數總是歸結到求極限這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數的導數，這一單元我們將研究比較簡捷的求導數的方法，本節課根據導數定義先來證明幾個常見函數的導數公式．

2．幾個常見函數的導數公式．

(1)設y=c(常數)，則y'=0．

此公式前面已證．下面我們還可以用幾何圖象對公式加以說明(圖2－6)．因為y=c的圖象是平行于x軸的直線，其上任一點的切線即為直線本身，所以切線的斜率都是0．此公式可敘述成“常數函數的導數為零”．

(2)(xn)'＝nxn-1(n為正整數)．

此公式的證明在教師指導下，由學生獨立完成．

證明：設y=f(x)=xn，此公式可敘述成“正整數冪函數的導數等于冪指數n與自變量的(n－1)次冪的乘積”．

(3)(sinx)'=cosx．

證明：y＝f(x)=sinx，在學生推導過程中，教師要步步追問根據及思路．如：

此公式可敘述成“正弦函數的導數等于余弦函數”．

(4)(cosx)'=－sinx．

此公式證明由學生仿照公式(3)獨立證明．

此公式可敘述成“余弦函數的導數等于正弦函數前面添一個負號”．

三、練習

1．默寫四種常見函數的求導公式．

2．求下列函數的導數：

四、小結

四種常見函數的導數公式

1．(c)'＝0(c為常數)，2．(xn)'＝nxn-1，3．(sinx)'＝cosx，4．(cosx)'=－sinx．

五、布置作業

1．求下列函數的導數：

(1)u=t4；(2)y=xa(a為正整數)；sup 2．用導數定義證明：

(5)x=cost．

兩個函數的和(或差)的導數，等于這兩個函數的導數的和(或差)．

即，已知：兩個函數u(x)和v(x)，且u(x)，v(x)的導數存在，求證：[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)．

第四篇：幾種常見函數的導數教案

幾種常見函數的導數教案

目的要求

1．能應用由定義求導數的三個步驟推導幾種常見函數的導數公式，熟記正弦余弦函數的導數．

2．掌握并能運用四個函數導數公式求函數的導數． 3．在公式(2)的指導過程中，培養學生的創新能力． 內容分析

本節依次講述了函數C，xn(n為有理數)、sinx、cosx等四種函數的導數公式，這些公式都是由導數定義導出的．其中，前兩個導數公式要求學生能熟練地證明，后兩個導數公式要求學生能熟練掌握和應用．

2．對于函數y＝C的導數公式：y＝C(C為常數)，則y′＝0．此公式不僅要求學生用前面已學的求導的三個步驟進行證明，還要求學生運用幾何圖象對公式加以說明．如圖35－1，因為y＝C的圖象是平行于x軸的直線，其上任意一點的切線即為直線本身，所以切線的斜率都是0．為了讓學生記得更牢，此公式可敘述為：常數函數的導數為零．

3．關于公式(xn)′＝n·xn-1(n∈Q)，這個公式的證明比較復雜，教科書只就n∈N*的情況作了證明．因此，這節課的難點就是如何引導學生利用二項式定理對這個公式進行證明，教學時，可采用從特殊到一般的教學方法．實際上，這個公式對于n∈R仍然成立．

4．對于正弦余弦函數的導數公式，由于在證明過程中，要使用三角函數的和差化積公式，以及重要的極限公式．因此，對公式(sinx)′＝cosx、(cosx)′＝－sinx，只要求學生牢記公式并能靈活應用即可，而不要求學生對上述兩個公式進行證明．

5．這節課的重點是利用前面已學的求導數的三個步驟對公式(1)、(2)進行證明，同時能運用這四個公式解決一些初等數學不能解決的曲線的切線問題．

教學過程(一)復習提問

1．按定義求導數有哪幾個步驟？

2．用導數的定義求下列各函數的導數．(1)y＝x5；(2)y＝C．

目的，練習(1)為推導公式(2)作準備．在求Δy值時，啟發學生應用二項式定理展開(x＋Δx)5．練習(2)推導前，首先指出這里y＝C稱為常數函數，可設y＝f(x)＝C，說明不論自變量取何值，對應的函數值均為C，以避免如下錯誤：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝x＋Δx－C＝Δx．

略解：1．Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)5－x5＝x5＋5x4(Δx)＋10x3(Δx)2＋10x2(Δx)3＋5x(Δx)4＋(Δx)5－x5，∴Δy＝5x4(Δx)＋10x3(Δx)2＋10x2(Δx)3＋5x(Δx)4＋(Δx)5． ∴y′＝5x4．(二)新課

1．引言：由導數定義本身，給出了求導數的最基本的方法，但由于導數是用極限來定義的，所以求導數總是歸結到求極限．這在運算上很麻煩，有時甚至很困難．為了能夠較快地求出某些函數的導數．這一節我們將研究比較簡捷的求導數的方法，本節課根據導數定義先來證明幾個常見函數的導數公式．

2．幾個常見函數的導數公式 公式1 C′＝0(C為常數)．

此公式前面已證，見教科書第116頁．下面，我們還可以用幾何圖象，對公式加以說明：因為y＝C的圖象是平行于x軸的直線，其上任一點的切線即為直線本身，所以切線的斜率都是0．

公式1可敘述為：常數函數的導數為零． 公式2(xn)′＝n·xn-1(n∈Q)這個公式的證明可在教師的指導下進行．由于前面已有y＝x5這道題的基礎，可由學生只就n∈N*的情況進行獨立證明．詳細證明過程見教科書第117頁．

注意：教學時要引導學生認真觀察此公式的特點：函數的導數等于指數n與自變量的(n－1)次方的乘積．

公式3(sinx)′＝cosx． 公式4(cosx)′＝－sinx．

公式3、4可敘述為：正弦函數的導數等于余弦函數，余弦函數的導數等于正弦函數前面添一個負號．

3．例題精講

例1 求下列函數的導數：

(1)解：y′＝(x5)′＝5x5-1＝5x4．

注意：與前面的復習提問銜接起來，說明牢記和應用導數公式解題的重要性．

目的：通過這一組題的詳細講解，使學生對公式(2)記得更牢固．要求學生今后能熟練地掌握它．

分析：先要利用公式3求出函數y＝sinx的導函數，然后利用導函 略解：∵y＝sinx ∴y′＝(sinx)′＝cosx 4．課堂練習

(1)默寫四種常見的求導公式．

(2)教科書第117頁練習1和練習2． 5．課堂小結

四種常見函數的導數公式．(1)(C)′＝0(C為常數)

(2)(xn)′＝n·xn-1

(3)(sinx)′＝cosx

(4)(cosx)′＝－sinx．

布置作業

1．求下列函數的導數：

(1)u＝t4(2)y＝xa(a為正整數)(3)y＝a(a為常數)2．教科書習題3．2第2題和第5題．

第五篇：函數單調性與導數教案

3.3.1函數的單調性與導數

【三維目標】

知識與技能：1.探索函數的單調性與導數的關系

2.會利用導數判斷函數的單調性并求函數的單調區間

過程與方法：1.通過本節的學習，掌握用導數研究單調性的方法

2.在探索過程中培養學生的觀察、分析、概括的能力滲透數形結合思想、轉化思想。

情感態度與價值觀：通過在教學過程中讓學生多動手、多觀察、勤思考、善總結，培養學生的探索精神，引導學生養成自主學習的學習習慣?！窘虒W重點難點】

教學重點：探索并應用函數的單調性與導數的關系求單調區間。教學難點：探索函數的單調性與導數的關系?！窘?/p>

具】多媒體 【教學方法】問題啟發式 【教學過程】 一．復習回顧

復習1：導數的幾何意義

復習2：函數單調性的定義，判斷單調性的方法，（圖像法，定義法）

問題提出：判斷y=x的單調性，如何進行？（分別用圖像法，定義法完成）2那么如何判斷f(x)?sinx?x,x??0,??;的單調性呢？引導學生圖像法，定義去嘗試發覺有困難，引出課題：板書課題：函數的單調性與導數

二．新知探究

探究任務一：函數單調性與其導數的關系：

問題1:如圖（1）表示高臺跳水運動員的高度h隨時間t變化的函數h(t)??4.9t?6.5t?10的圖像，圖(2）表示高臺跳水運動員的速度V(t)?h'(t)??9.8t?6.5h的圖像.通過觀察圖像, 運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態有什么區別？此時你能發現h(t)和h'(t)這兩個函數圖像有什么聯系嗎?

啟發:函數h'(t)在(0,a)上是大于0，函數h(t)在(0,a)上有何特點呢？函數h'(t)在(a，b)上是小于0，那么函數h(t)在(a,b)上有何特點呢？

問題2：觀察圖（1）～圖（4），探討函數與其導函數是否也存在問題（1）的關系呢？

問題3：通過對問題1和問題2的觀察，你能得到原函數的單調性與其導函數的正負號有何關系？你能得到怎樣的結論？（形成初步結論，板書結論：函數的單調性與導數的關系：在某個區間(a,b)內，如果f'(x)?0，那么函數y?f(x)在這個區間內單調遞增；如果f'(x)?0，那么函數y?f(x)在這個區間內單調遞減．）

問題4：上述結論主要是通過觀察得到的，你能結合導數的幾何意義為切線的斜率，你能從這個角度給予說明嗎？

探究任務二：f'?x??0與函數單調性的關系：

問題5：若函數f?x?的導數f'?x??0，那么f?x?會是一個什么函數呢？（板書：特別的，如果）f'(x)?0，那么函數y?f(x)在這個區間內是常值函數．問題6：平時我們遇到很多需要數形結合的題目，那么現在我們知道了導數的正負能幫助我們判斷函數的單調性，那么我們能否利用導數信息畫出函數的大致圖像呢？

例1:已知某函數的導函數的下列信息:

時，f'(x)?0;當1?x?4時，f'(x)?0;當x?4,或x?1時，f'(x)?0.試畫出函數f?x?圖像的大致形狀.當x?4,或x?

1跟蹤練習

1、設y?f?(x)是函數y?f(x)的導數, y?f?(x)的 圖象如圖所示, 則y?f(x)的圖象最有可能是()

問題7：根據我們得到的導數與單調性之間關系的結論，你能否利用此結論來求函數的單調區間呢？

例3：判斷下列函數的單調性,并求出單調區間:（1）f(x)?sinx?x,x??0,??;（2）f(x)?2x3?3x2?24x?1;（3）f(x)?x3?3x;（4）f(x)?x2?2x?3;（5）f(x)＝x＋ln x

（對于（2）讓學生課后探究嘗試單調性的定義法和圖象法）

問:你對利用導數去研究函數的單調性有什么看法?你能總結出利用導數求單調區間的步驟嗎？（簡單易行）

（板書“求解函數y?f(x)單調區間的步驟：

（1）確定函數y?f(x)的定義域；（2）求導數y'?f'(x)；（3）解不等式f'(x)?0，解集在定義域內的部分為增區間；（4）解不等式f'(x)?0，解集在定義域內的部分為減區間．

問題8：導數能幫助我們簡潔的求出單調區間，畫出大致圖象，但我們知道就是遞增（遞減）也有快與慢的區別，在導數上如何體現呢？下面我們就來看一下下面這個問題

例3．如圖3.3-6，水以常速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應的水的高度h與時間t的函數關系圖像．

分析：

在導數幾何意義那節我們就感受了增加與減少也由快慢之分，那么我們以容器（2）為例，由于容器上細下粗，所以水以常速注入時，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況．

解：?1???B?,?2???A?,?3???D?,?4???C?

思考：例3表明，通過函數圖像，不僅可以看出函數的增減，還可以看出其變化的快慢．結合圖像，你能從導數的角度解釋變化快慢的情況嗎？

一般的，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么函數在這個范圍內變化的快，這時，函數的圖像就比較“陡峭”；反之，函數的圖像就“平緩”一些．

如右圖, 函數y?f(x)的圖象，在(0,b)或(a,0)內的圖象“陡峭”, 在(b,??)或(??,a)內的圖象平緩.（跟蹤練習）已知f′(x)是f(x)的導函數，f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象只可能是()

三，課堂練習

1．確定下列函數的單調區間

(1)y=e?x

(2)y=3x－x3

(3)f(x)?3x2?2lnx x

四，課堂小結

1.函數導數與單調性的關系:若函數y=f(x)在某個區間內可導, ′如果f(x)>0, 則f(x)為增函數;如果f′(x)<0, 則f(x)為減函數.2.本節課中,用導數去研究函數的單調性是中心,能靈活應用導數解題是目的,另外應注意數形結合在解題中的應用.3.掌握研究數學問題的一般方法:從特殊到一般,從簡單到復雜.五，作業設計 課本98頁，A組1，2