第一篇：概率論與數理統計（共）

大數定律與中心極限定理的應用

馬吟濤（1.江西師范大學 科學與技術學院，江西 南昌 330027）

摘要：大數定律以嚴格的數學形式表達了隨機現象最根本的性質—平均結果的穩定性，它是概率論中一個非常重要的定律，應用很廣泛。本文介紹了幾種常用的大數定律，并分析了它們在理論與實際中的應用。關鍵詞：大數定律，概率分布，保險業

中圖分類號：O 413.1

文獻標識碼：A 引

言

概率與統計是研究隨機現象的統計規律的學科，而隨機現象的統計規律性只有在相同條件下進行大量重復試驗或觀察才呈現出來。然而，在大量重復試驗或觀察中，我們會發現，一個事件發生的頻率具有穩定性，它的穩定性會隨著試驗次數的增多表現得越來越明顯。這種穩定性與它在在實驗進行中的個別特征無關，且不再是隨機的。大數定律給出了穩定性的確切含義，并且給出了什么條件下才具有穩定性。那么，這對于我們解決理論與實際問題有哪些實際意義呢？這就是我們在下面將要了解到的，大數定律的某些應用。即，大數定律及其在理論與實際生活中的一些應用。

一方面，在理論上，大數定律可以看作是求解極限、重積分以及級數的一種新思路，另一方面，在實際生活中，保險動機的產生、保險公司財政穩定和保費的確定，我們都將看到大數定律的重要作用。常見大數定律

由于隨機變量序列向常數的收斂有多種不同的形式，按其收斂為依概率收斂，以概率 1 收斂或均方收斂，分別有弱大數定律、強大數定律和均方大數定律。

常用的大數定律有：伯努利大數定律、辛欽大數定律、柯爾莫哥洛夫強大數定律和重對數定律。

設有一隨機變量序列，假如它具有形如（1）的性質，則稱該隨機變量服從大數定律（見左上方圖片）。

伯努利大數定律:設μ_n為n重伯努利實驗中事件A發生的次數，p為每次實驗中A出現的概率，則對任意的ε>0，有（2）成立。

切比雪夫大數定律：設{X_n}為一列兩兩不相關的隨機變量序列，若每個X_i的方差存在，且有共同的上界，即Var(X_i)小于或等于c,則{X_n}服從大數定律，即對任意的ε>0，（1）式成立。

馬爾可夫大數定律：對隨機變量序列{X_n}，若（3）成立，則{X_n}服從大數定律，即對任意的ε>0，（1）式成立。

辛欽大數定律：設{X_n}為獨立同分布的隨機變量序列，若X_i的數學期望存在，則{X_n}服從大數定律，即對任意的ε>0，（1）成立。

3相關定義定理以及應用

定義：設X1,X2,?,Xn,?是一個隨機變量序列，a是一個常數，若對于任意正數?，有limP?Xn?a????1，n??P則稱序列X1,X2,?,Xn,?依概率收斂于a.記為Xn???a.切比雪夫不等式

設隨機變量?具有有限的期望與方差，則對???0，有

P(??E(?)??)?D(?)?2或P(??E(?)??)?1?D(?)?2

證明：我們就連續性隨機變量的情況來證明。設?~p(x)，則有

P(??E(?)??)?x?E()????p(x)dx?x?E()????(x?E(?))2?2D(?)

p(x)dx

?1?2?????(x?E(?))2p(x)dx??2該不等式表明：當D(?)很小時，P(??E(?)??)也很小，即?的取值偏離E(?)的可能性很小。這再次說明方差是描述?取值分散程度的一個量。

切比雪夫不等式常用來求在隨機變量分布未知，只知其期望和方差的情況下，事件{??E???}概率的下限估計；同時，在理論上切比雪夫不等式常作為其它定理證明的工具。

定理1（切比雪夫大數定律）

設{?n}是相互獨立的隨機變量序列，每一隨機變量都有有限的方差，且一致有界，即存在常數C，使D(?i)?Ci?1,2,?，則對任意的??0，有

1n1n1n1nplimP{??i??E(?i)??}?0[即??i???E(??i)(n??)] n??ni?1ni?1ni?1ni?1證明：由切比雪夫不等式知：???0,有： 1111nCC0?P{??i??E(?i)??}?2D(??i)?i?122?22?2?0(n??)

ni?1ni?1ni?1?n?n?n?1n該定理表明：當n很大時，隨機變量?1,?,?n的算術平均值??i接近于其

ni?11n數學期望E(??i)，這種接近是在概率意義下的接近。通俗的說，在定理的條ni?1nnn?D?ni件下，n個相互獨立的隨機變量算術平均值，在n無限增加時將幾乎變成一個常數。

推論：設?1,?,?n是相互獨立的隨機變量，由相同的數學期望和方差E(?i)??,D(?i)??2i?1,2,?，則???0,有

1n1n limP{??i????}?0（即??i以概率收斂于?）

n??ni?1ni?1這個結論有很實際的意義：人們在進行精密測量時，為了減少隨機誤差，往

1n往重復測量多次，測得若干實測值?1,?,?n，然后用其平均值??i來代替?。

ni?1定理2（De Moivre-Laplace極限定理）(定理1的特殊情形)設?n(n?1,2,)是n重Bernoulli試驗中成功的次數，已知每次試驗成功的概率為

p?0?p?1?，則對?x?R,有

limP{n???n?npnpq?x}?12??e??x?t22dt???x?。

該定理也可改寫為：?a?b，有limP{a?n???n?npnpq?b}???b????a?

?1第i次試驗出現成功證明： 令?i?? 則

?0第i次試驗不出現成功{?i}為獨立同分布的隨機變量序列,且E?i?p,D?i?p(1?p)均存在 顯然：?n???i，此時?n?i?1n?n?npnpq 該定理為上定理的一個特殊情形，故由上定理該定理得證。

4.大數定律在數學分析中的一些應用 4.1大數定律在極限、重積分上的應用

大數定律本身便是概率論中非常重要的定理之一，而它與其他數學理論也有密不可分的聯系，而且對這些數學理論分支有不可或缺的作用。

大數定律本身便是頻率靠近概率的極限理論，是大量隨機現象的平均結果穩定于平均值的極限理論。可以說大數定律是利用極限才得出的，同時利用大數定律可以來求解極限，這當然只是眾多求極限方法之一，但也有它獨特的簡潔和巧妙。就以大數定律和極限這個概念的關系為例子，用它來對我們要求的重積分和極限相關的問題進行另一種方式的求解。極限伴隨重積分出現的類型在高數中是常見的，在利用大數定律來求解這類重積分的極限的題目前，先介紹一個相關定理。

勒貝格控制收斂定理

設（1）?fn?是可測集E上的可測函數列；

（2）fn?x??F?x?a.e于E（n=1，2，…..，）且F?x?在E上可積分（稱

； ?fn? 為F?x?所控制，而F?x?叫控制函數）（3）fn?x??f?x?；

則f?x?在E上可積分且lim?fn?x?dx??f?x?dx；

nEEaax1a?x2?......?xn例1：已知a?b?0，求lim?......?bdx1......dxn的值。bbn??x?x2?......?xn00111解：設x1，……xn，為獨立同分布的隨機變量序列，xn(n?1)服從（0，1）aabbb上的均勻分布，x1a,x2為獨立同分布，x1為獨立同分布。且 ,......,xn,x2,......,xnEx??xiadxi?E?xia?2ai1,i?1

0a?1121???xia?dxi?,i?1 02a?11D?xia??E?x?a2i???Ex?a2i1a2?1????,i?1 ??2a?1?a?1??2a?1??a?1?21?? ?2nn?1?2a?Dxn1a2a2?又 D?2??222nnn?1n?1?2a?1??a?1??2a?1??a?1?由契貝曉夫大數定律可知：當?xn?是獨立的同分布的隨機變量序列，且

??1n?1nDxn?，由前面知道是強大數定律可知，limPx?Ex?0??????k??1； ?k?2n??nnnn?1k?1???k?1???1na1na?由此可知 lim??xk??Exk?0 ?n??nnk?1?k?1?1na1即 lim?xk?

n??na?1k?1b又因為0?xn?1,k?1,且a?b故有x?x,k?1，因此?x??xk。

akbknaknk?1k?1由此?n，有??????0110aaaaa11x?x?......?xx1a?x2?......?xn12ndx1......dxn???????bdx1......dxndx1......dxn?1 bb00x?xb?......?xbx1b?x2?......?xn12n根據勒貝格控制收斂定理可知：

baax1a????......?xn???Pd?x1a?x2?......?xnlim?????bdx......dx?lim??= 1n0x?xb?......?xbn??0n???xb????......?xb???12nn?111bx1a????......?xn???Pd?=b?1Pd??b?1Pd? lim?????????n??xb????......?xb???a?1a?11n???aax1a?x2?......?xnb?1即lim?????b。dx......dx?1n0x?xb?......?xbn??0a?112n11可以看出，利用大數定律求解數學分析中的重積分和極限收斂問題有它簡潔的一面，也體現了大數定律等概率論等知識的廣泛聯系和應用。[7]

4.2在生產生活中的應用

例2: 一生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的,假設每箱的平均重50千克,標準差5千克.若用最大載重量為5噸的汽車承運,試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱,才能保證不超載的概率大于0.977.解答：設n為第i箱的重量(), 由列維-林德伯格中心極限定理,有 Yn??Xi，i?1近似地~?5000?50n?所以n必須滿足N(50n,25n)，P{Yn?5000}?Φ???0.977?Φ(2)，?5n?1000?10n?2，也就是最多可以裝98箱.? n?98.0199，n(供電問題)某車間有200臺車床,在生產期間由于需要檢修、調換刀具、變換位置及調換零件等常需停車.設開工率為0.6, 并設每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力1千瓦.問應供應多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產? 解：某一時刻開動的車床數，X~B(200, 0.6),要求最小的k,使P{0?X?k}?0.999.由D-L定理，近似地X~N(np,npq)，? P{0?X?k}?Φ(k?np0?np)?Φ()npqnpqP{0?X?k}?Φ(k?np0?np)?Φ()npqnpq?Φ(k?120?120k?120)?Φ()?Φ()?0.999 484848所以若供電141.5千瓦，那么由于供電不足而影響生產的可能性不到0.001，相當于8小時內約有半分鐘受影響，這一般是允許的。

某產品次品率p = 0.05,試估計在1000件產品中次品數的概率.次品數X~B(1000,0.05),E(X)?np?1000?0.05?50，D(X)?np(1?p)?50?0.95?47.5，由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理,有：P{40?X?60}?Φ(?2Φ(1.45)?1?0.853.60?5040?50)?Φ()47.547.5次品數：X~B(1000,0.05),E(X)?np?1000?0.05?50,D(X)?np(1?p)?50?0.95?47.5，P{40?X?60}?Φ(60?5040?50)?Φ()?2Φ(1.45)?1?0.853.47.547.5若是使用切比雪夫的不等式來進行計算，P{40?X?60}?P{X?50?10}47.5?0.525.但是這樣的計算并不完整，有點過于保守。102 中心極限定理對保險業更是具有指導性的意義,一個保險公司的虧盈,是否破產,我們通過學習中心極限定理的知識都可以做到估算和預測.大數定律是近代保險業賴以建立的基礎.根據大數定律中心極限定理,我們知道承保的危險單位越多,損失概率的偏差越小,反之,承保的危險單位越少,損失概率的偏差越大.因此,保險人運用大數法則就可以比較精確的預測危險,合理的擬定保險費率.下面我們以一道具體的有關保險業的實例來闡述一下大數定律和中心極限定理在保險業中的重要作用和具體應用.?1?4.3在保險中的運用

例 3 ：已知在某人壽保險公司里有10000個同一年齡段的人參加保險,在同一年里這些人死亡率為0.1% ,參加保險的人在一年的頭一天交付保險費10元,死亡是家屬可以從保險公司領取2000元的撫恤金.求保險公司一年中獲利不少于40000 元的概率;保險公司虧本的概率是多少? 解 設一年中死亡的人數為x人.死亡概率為P?0.001 ,把考慮10000人在一年里是否死亡看成10000重貝努里試驗, 保險公司每年收入為10000*10?100000 元,付出2000x元.(1)P(保險公司獲利不少于40000 元)P(0?x?30)?10000*0.001?10

?P?(100000?2000x)?40000??

D(x)?np*(1?p)?10*0.999?3.161

?10x?1030?10??}??(6.3271)??(?3.1631)?0.99933.1613.1613.161

即保險公司一年中以99.93% 的概率獲利400000元以上.(2)保險公司虧本的概率:

0?10x?1050?10P?2000x?10000??P?x?50??1?P?x?50??1?P{??}3.1613.1613.161P?0?x?30??P{?1??(1.6542)??(?3.1641)?0.0008

由此可見,我們應用大數定律和中心極限定理的知識可以準確算出保險公司的破產幾率.如何降低保險公司的風險以及影響保險公司盈虧的因素是我們需要進一步討論的.本文僅給出了大數定律和中心極限定理在彩票和保險業的應用, 而在現實生活中大數定律和中心極限定理的應用是非常廣泛的,學會使用大數定律和中心極限定理將對我們的學習和生活帶來很多幫助.5．結論

隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率逐漸穩定于某個常數，這一事實顯示了可以用一個數來表征事件發生的可能性大小，這使人們認識到概率是客觀存在的，進而由頻率的三條性質的啟發和抽象給出了概率的定義，而頻率的穩定性是概率定義的客觀基礎。在實踐中人們還認識到大量測量值的算術平均值也具有穩定性，而這種穩定性就是本節所要討論的大數定律的客觀背景，而這些理論正是概率論的理論基礎。

參考文獻：

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Law of large numbers and central limit theorem

Abstract:The law of large numbers describles the most fundamental of the random nature in rigorous mathematical formation—the stability of the average results.It is a very important law, and its applications are very wide.This article describes several common law of large numbers, and analyzes their theoretical and practical applications.Key words: law of large numbers, probability distribution, insurance

第二篇：概率論與數理統計

概率論與數理統計，運籌學，計算數學，統計學，還有新增的應用數學，每個學校情況不太一樣，每個導師研究的方向也不太一樣。看你報的哪個學校了~~ 贊同

數學的方向還是比較多的，比如金融，計算機，理科的方向 贊同

參看08年該校碩士招生簡章中的專業目錄及參考書目，先做到心里有數 09年的在08年7、8月份才能出 每年新的招生簡章都是在上一年的研究生招生錄取工作結束之后才能公布的 所以不要急 最早也要等到7月份 現在不要急 先按照08的看 一般兩三年之內不會有什么變化 即使有 也是在原有基礎上 增加或改動一兩本參考書的版本 不會有實質性的變動 而且 你如果現在就開始準備考研復習那就算比較早的了 一般從暑假開始復習就可以的 所以這個時期是基礎段復習可把精力主要放在英語上 強化英語考研詞匯是非常必要的 至于專業課 可以先按08的指定參考書初步復習等新的招生簡章出來 再進行有針對性地復習不用擔心萬一改動了我會不會白白看了 以一個過來人的經驗 知識儲備的越多越好 名校的試題往往不局限于指定參考書的范圍（樓主既然這么問了，這要好好慢慢的回答）

建議樓主考清華的經濟學研究生，清華的工科類要強于北大（個人意見）；2，清華現在要考考A版的數學對你的有點好處，但影響不大，復試對你有利。3，清華的專業課考的難都因人而異，初試復試考一樣的專業課,包括金融學（含國際金融、證券投資、投資市場、保險精算等，本專業所招人數最多）、國際經貿（研究生階段叫做世界經濟）、西方經濟學、財政學、政治經濟學專業;報考時可以隨意報考自己喜歡的專業，錄取時先全院統一錄取（按分數高低），再按分數與志愿選擇；專業課考的不是很難；（建議樓主去看下金融學基礎，復旦大學出版社簡稱白皮書，或許對你有幫助）4，清華經濟就業形勢就目前環境下就業非常棒，中國才處于開始階段，每年畢業生到各大銀行、金融機構、保險機構、證券公司、財政貨幣機關、國家機關及高校任職，待遇非常之高！

網站，你可以試試去這里看看。在頁面中部的對話框輸入學校或專業就可以任意查。在這里，你還可以查到任意學校的招生簡章，復習指導，網上報名及其它重要信息。全國各校公布分數線的時間也在這里最早發布。你可以試試，相信不會讓你失望。。

因你是轉專業，再給你一點個人建議吧

一、慎重選擇：不要輕易下決定

不斷地學習不同領域的知識，是所有有求知欲的人們的美好愿望，然而，這同樣會成為朝三暮四的借口。

其實，很多考研人本來就存有逃避現實社會的壓力，而選擇繼續呆在學校的心理;而在跨專業考研的人中，更有許多人根本就沒有好好學過原來的專業，甚至從沒認真考慮過是否自己適合它，只為了逃避，才選個看起來容易的專業去考。

如果是這樣，請先停下來想想自己到底想要什么再說。因為一顆對待生活從不認真的心，是不會因為換了個專業就能有起色的。

如果不是這樣，那么，也請三思。就因為一直認真，這次更要謹慎。

首先，考研復習將是艱巨的歷程。隔行如隔山——這句古諺將貫穿之后的整個求學過程。自己原來的專業，再不濟也學了三四年，耳濡目染，基礎知識一定比沒學過的扎實，細節也許沒鉆研，但大的格局和概念、思維方式是存在于腦海中的，即使是每次考前一個月的突擊，突擊了四年，也不是沒有用的。這就是本專業對于外專業的一大優勢。反過來，即是跨專業者相對于本專業者的劣勢。

復習的時候，要花更多的時間在專業課上，使得基礎課很容易就被擱置了，而任何一科的掉隊，都會影響整個復習過程的心態和考試結果。

其次，備考中可能出現意想不到的困難。

不熟悉專業試題的答題慣例，會莫名其妙丟掉不該丟的分。而且，筆試通過了，復試中存在的不確定性因素，使跨專業者總是難以擁有“盡在掌握”的自信，而它確實也是難以“盡在掌握”的。

最后，也是最重要的，考上之后三年的研究生生活。

不管是面對基本功扎實的同學們，還是面對有一定要求和標準的導師，還是面對也許讓自己一時找不到坐標點的新求學生涯——如何給自己定位，如何重拾自信，如何建立對新專業的“新感情”，如何規劃以后的職業和人生，這都是需要付出比別人更多心力去克服的問題。所以，是否要轉變方向，換一個專業，需要尖銳嚴格地審視自身，而不是盲目跟風，可以考慮以下幾點：

是否真正熱愛將要為之付出心血的新專業?

長遠來看，這個新領域是否有自己的天賦和性格發揮的空間?

是否可以肯定學習三年之后真能豐富完善自己的知識結構，而不是剃頭擔子兩頭塌?最后也是最基本最當前的問題：基礎課是否有自身優勢?沒有優勢怎么撥得出更多的時間給專業課的復習?

二、審時度勢：了解自己，踏實去做

經過了自我的拷問，還堅定地要跨專業考研的朋友——相信你一定是個頭腦清醒、夢想堅定的人。

在此，我們不得不再次強調跨專業考研的理由和標準：第一，熱愛;第二，基于對自身才智和優勢短處進行全面評估而做出的決定;第三，要自信，更要不怕苦不怕累。

可以舉個例子。一個在學校并非不認真對待自己學業的考研人，在經過四年的學習之后，發現仍然不喜歡自己所學的數學專業，而愛好文史哲。如果基礎課英語政治還不錯，那么他就具備了考慮跨專業考研的最低要求。那么，接下來怎么確定專業呢?首先，看愛好。對新聞傳播、考古、文學皆有興趣，怎么辦?一個一個排除。對于新聞，多搜集資料，看作為一個新聞工作者需要什么樣的素質，比如，敏銳的新聞感、強烈的爭取和參與意識、健康的身體。直面自己的優缺點，如果有敏銳的新聞感，卻沒有強烈的爭取和參與意識，甚至都無法面對需要長時間的工作強度，那么放棄。對于考古，作同樣評估;另外，如果這時你的父母親反對你的考古夢想，請把他們的憂慮考慮進去，一意孤行并不可取，要考慮到家庭的實際情況;并且，父母也是了解你的人，他們對你的性格、天分其實很了解。那么如果你認為父母意見的可接受性大過你對于考古的熱忱，考古這一項，也被劃去。最后剩下文學，如果經過一系列評估，覺得可行，那么它之下還有很多專業細分，是中國文學還是世界、比較文學，是古代文學還是現當代文學?要根據自己平時看書的偏好、積累的多少、考試試題能否應付等等內在和外在的因素來決定。這些將和下一部分聯系起來談。

這只是一個例子，跨專業的方向轉變五花八門，幾頁紙不可能描述詳盡，我們只能通過這個例子，了解一下需要考慮和平衡的各方面因素。

當然，請牢記，內心的熱愛和對自己學習能力的自信在選擇中最為重要。有了這兩點，相

信你的選擇會是對你而言最好的選擇。這將是一個美麗的決定，決定之后，一定有云開見日的感覺。方向確定了，就朝著那兒毫不回頭地走吧。

三、報考準備：眼觀六路，耳聽八方

讓我們直接進入主題。

第一，細分專業和學校，確定報考目標。一定要看自己喜歡哪個城市，既然想借助這次的考研改變現狀開始一段新的求學歷程，一直想去哪個(或哪些)城市念書就不要將就。圈出大致范圍，再找到那里學校的招生簡章、專業招生表——網上查找或動用一切關系。特別要注意的是，你有意向的專業是否拒絕跨專業考生。在進行認真細致的對比之下確定兩到三個你想去的名校和你喜歡的專業。這一步可以和前面確定城市同時進行，每個人情況不同，自行制定每一步適合自己的計劃是必要的，而且能從中得到極大的充實感，總之，它讓我們感到：一切都在自己的控制之下。

然后，盡可能地多找一些這幾個可選學校可選專業的歷年試題，仔細研究，看看哪一類的試題自己更有把握。這一步至關重要，這一步不可省略也不可推后，它將直接影響到以后的考試發揮。經過這一步，學校和細分專業幾乎都能定下來了。

這一階段什么時候進行呢?越早越好。我們不提倡把戰線拉得太長，真正有效的復習從4月到次年1月足矣;然而跨專業不同，需要“醞釀”。可以不用過早開始真正的復習，但至少要比別人早兩個月到半年開始尋找學校、涉獵與新專業相關的期刊、書籍、尋找對于新專業的親近感和對于新學校新未來的向往感——這是真正復習開始的前站，用這段時間彌補跨專業的不足，在真正的戰役打響時，我們將更加堅定更有信心。

第二，專業課教材到位。前面把工作真正做到細致，4月份到5月份一定要定下最終要考的學校和專業。定下之后，就要相信自己的判斷，不要猶疑，快去買專業課教材!按照學校列出的書目買全專業課教材，還要找出一兩個能幫上忙師兄師姐、找同學、找親戚，甚至找網友去打聽沒有列出的那些。

這里有兩個問題：買書和找師兄師姐——自己能買到的書，盡量自己去買，有學校可以郵購，有書店可以搜尋，再不行，去圖書館系統或網上找出這本書的出版社，找到出版社電話，打電話、匯款去郵購。不要一開始就事事麻煩別人，自己能解決的自己找渠道解決。后面有更重要的事去麻煩他們。實在不行了，去找師兄師姐，最重要的是問題要明確。隨便說：“我要考你們學校某專業，請幫助我”是沒用的。要明確說出你的具體問題，要考哪些書，重點看哪些泛讀看哪些，打聽到哪里能買到自己卻沒辦法，請他們幫忙——聽到這么明確的問題，人人都會樂意幫忙。6月底之前，主要的專業課教材一定要到位。

第三，復習時要注意的問題。

首先，基礎課不能偏廢。前面說了，基礎課要有一定把握，才可能跨專業考研，否則到關鍵時刻就會感到分身乏術。在主攻專業課時，基礎課一天都不能停。可以用早晨、吃午飯前、吃晚飯前以及睡覺前的時間去復習英語：閱讀、單詞、聽力，一個都不能少。如果每天堅持，就是這些邊邊角角的時間都足夠英語的復習準備。政治也一樣，最好報一個秋季班，幾個月上下來，有老師領著復習，比自己摸索更有效率，大致的知識脈絡也會清晰起來了。請相信自己，從初中就開始學的這門課，不會差到哪里去，但也要在心里培養對它的興趣，一討厭它、擱置一段日子，一切都晚了;反過來，每天花兩個小時，只要堅持，就會既輕松又有成就感。

跨專業考生往往把一腔熱情放在專業課上，有意無意地就偏廢了基礎課，等發覺時間緊迫的時候，回頭一看基礎課落下一大截，這會大大影響后面沖刺和考試的信心。

其次，專業課復習。11月份報名之前一定要把專業書踏踏實實至少細讀一遍。這一遍不要欺騙自己，質量至上，一定要全部弄通弄懂。這樣在后面的兩個月才會更有底。

筆記一定要做。當11月報名時間來臨時，你會發現越來越多的人們討論起復習進度。那時候本專業考生和別的跨專業考生所做的準備和進度會讓你大驚失色——有那么多人準備得那么好!本來就對不熟悉的專業容易產生的“心虛”這個時候會更加強烈，那么回過頭總結一下自己的成果，只有實實在在密密麻麻的幾本筆記會成為自己的強心劑，數數看，幾本筆記，七八萬字是少不了的。加上政治英語，你會為自己所做的上10萬字的筆記而驚訝的。這是積聚信心、抬頭挺胸的重要來源。

四、全力復習：堅持到底，毫不畏懼

首先，研究歷年試題，自己劃重點。歷年試題非常非常重要，報名之前即11月初，一定要把學校相關專業的歷年試題弄到手。這需要積極調動網絡資源，自己能下載的下載，能買到的去買，最后一招：求助師兄師姐。這時提出的請求也一樣要盡可能明確。有一個女生，考某大學某專業，通過同學的同學的姐姐，找到一位師姐，打電話給她：“我知道你們學校圖書館五樓的閱覽室有歷年試題的專柜，可以借出來復印。請幫忙復印某年到某年某專業的??”該師姐大驚：“我都不知道有這樣一個地方，你怎么知道的?”這個女生慢慢說來，怎么從網上找到該學校專欄討論、怎么了解到的，師姐大開眼界，興趣高漲，幫她把相關專業能找到的試題全都復印一通寄去。

接下來就是更仔細地研究試題。只需要一個晚上時間，把歷年試題全都擺在桌面，總結規律和重點難點，老師出題的習慣等等。借此可以劃出下一步復習的重點(甚至是考試的重點)，不再一律通讀，而是有頭腦的、有目標的復習。不要怕系內老師改朝換代，再改也有一脈相承的科研風格，掌握了大體，以不變應萬變。

劃完重點，一股“運籌帷幄”的氣勢油然而生，趁著這股氣勢，投入到更深入的復習中去，一定事半功倍。

其次，為考試做準備，掌握專業答題習慣。在剩下的兩個月當中，一定要找點時間去學校的自己要考的專業宿舍混混，目的是了解專業答題有什么慣例、有什么特殊要求和需要注意的地方。隨便哪個學校都行，自己方便找的、正規的大學就可以;當然，方便的話，最佳選擇就是所考學校研一同專業學生宿舍，這樣就不僅了解試題情況，還可以挖掘更多這兩個月應該注意的問題。

考試的時候，和復習中所強調的一樣——一定要自信。要相信自己經過了周密的計劃、萬全的準備。拿到試卷的時候，要像熱愛專業書籍一樣熱愛它們，冷靜的頭腦，熱情的心靈，一定戰無不勝。

最后，就是復試了。關于導師是否要找，各有各的說法，能找到最好，沒找過的也不用惴惴不安。相信自己最重要。

其實接到復試通知書的時候，一般都沒有更多時間去擴展知識面了，這些是最初就應該做的。這時候跨專業考生常常擔心自己的基礎不夠，再次心虛。那么與其瞎抓一把，不如把以前看過的書拿出來再翻一遍，總有用得上的，做生不如做熟。對于某些領域的熟悉或精通，比泛泛而談更能顯出自己的特色。用真誠的微笑和哪怕是使勁鼓才能鼓起的信心和勇氣，去直面導師。好歹經過這一年的學習，我們也算復合型人才了，怕什么!

說到這里，整個過程看起來完了——其實沒有!拿到錄取通知書的時候，是一個開始。

進入研究生階段的學習，是一個更自主、更專業的學習過程，跨專業學生一踏入這片天地，肯定會受到沖擊。不熟悉的領域，老師覺得應該是常識自己卻聞所未聞的知識，難以找到的新生活定位??這些都要有心理準備。建議在5月到8月這段天堂般的生活中也不要忘記看看與專業相關的書籍(并非專業課本)，繼續打基礎，進入研究生生活根本沒有時間給你去打基礎。

總之，對于勇敢的考研人，繼續用韌性和信心，在開學前調養好身心，并不放棄不斷學習的好習慣，為進入一個新的求學生涯做好準備，都是必要的。相信這樣貫穿始終的準備，一定會迎來新的局面，實現挑戰人生充實自己的夢想。對生活認真，生活也會認真地回報你。要相信，要堅持。

第三篇：概率論與數理統計

《概率論與數理統計》公共基礎課教學實踐

1012502-31 湯建波

概率與數理統計在現實的牛產和生活中有著廣泛的應用，因此，《概率論與數理統計》作為公共課是很多專業所必修的。但是，由于這門課的學習方法與《微積分》《線性代數》等其他課程有著極大的差異，很多學生在學習過程中感到難以把握概念與理論，在遇到問題時不知如何人手。因此，筆者在總結這幾年教學實踐的基礎上，提出以下思考。

一、適度引入案例。形成生動教學及啟發性教學

概率論源于博弈，是賭博中的很多問題催生了概率論這門數學學科。在開課伊始，教師就適度引入觸發概率論的一些問題，如“De．mere”問題，“分賭金問題”等等，使學生在故事中不僅得到r課本里所沒有的歷史知識，而且無形中可以提高學習興趣，消弭一部分同學的畏難情緒。另外，再在隨后的教學過程中引入“彩票中獎問題”“蒙特卡羅法求訂法”“保險付賠問題”等等，引導學生了解、探索這門學科在現實中的應用，使學乍實現由知識向能力的轉化，從而增強學，F利用概率統計解決實際問題的“欲望”，促使他們更好地認識現實世界。

概念是概率課程中最基本的內容，對概念的理解程度直接影響學生對這門課程的學習與掌握程度。在教學中，應盡量從實際問題入手，先提出問題，接著在問題的分析和解決中抽象出概念，讓學生清楚概念的來龍去脈，而不是硬性給出定義，讓學生死記硬背。例如，在講述“事件”這個定義時，引入“衛瞿嫦娥二號將于2010年10月1日發射”這一現實中的“事件”在概率論中應該是“實驗”，而其結果“發射成功”才能算是概率論所定義的“事件”，這樣，在區別現實的“事件”與概率論所研究的“事件”基礎上，學生加深了對“事件”這一定義的理解。在闡明相互獨立和互不相容之間的區別有P(A)>0，P(B)>0時，A、B相瓦獨屯與互不相容是不能同時成立的，直觀上可以這樣解釋：相互獨立意味這

4、B其中一方發生與否并不影響另一方的發生，而互不相容意味著A、B只要其中一方發生了，另一方就一定不發生，所以這兩個關系不能同時存在。從公式上解釋是：P(A)>0，P(B)>0且A、B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)>0，而如果A、B互不相容，則P(AB)=P(西)=0。但是只要有一方的概率為0，如，如果A=西，則A與B既相互獨立又互不相容，因為此時P(AB)=P(A)P(B)=0。綜上所述，相互獨立與互不相容并沒有必然的聯系。

而在區別“不相關”與“相互獨立”的區別時，可以通過舉例得知J]|f、y不相關不一定就獨立，因為X、l，之間有可能存在其他的函數關系，但是存在函數關系的隨機變量是否就不獨立了呢？答案是未必，例子如下：

考察隨機變量X、l，和Z：假定x與l，獨立月．都服從參數為P的(0—1)分布，令z為x與y的函數：

可以得到當P=1／2時，Z與X相互獨立。轉載于 無憂論文網 http://www.tmdps.cn

通過這些舉例，避免了學生將“獨立”和“互不相容”等同起來，又說明了“獨立”與“函數關系”之間的聯系。

二、課堂教學中注重數學思想的教育。培養學生建模能力

概率統計中的很多問題都可以歸結為同一類問題，數學模型就是這類事物共同本質的抽象。“數學建模”是指對于現實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到一個數學結構。數學模型在概率統計中的應用隨處可見，模型化方法貫穿本課程全過程，因此，在教學過程中應該注意培養學生抽象出問題的本質以建立起一般的數學模型的能力。

如“將n只球隨機地放入Ⅳ(N大于等于n)個盒子中去，求每個盒子至多有一只球的概率”與“班級同學生日各不相同”具有相同的數學模型。另外，還有古典概型、貝努利概型、正態分布等等這些都是生產生活中抽象出來的，在很多問題中都可以歸結為以上的模型。如以下兩個

：

例1，設有80臺同類型設備，各臺工作是相互獨立的，發生故障的概率都是0．01，且一臺設備的故障能由一個人處理。考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護，每人負責20臺；其二是由3人共同維護80臺。試比較這兩種方法在設備發生故障時不能及時維修的概率的大小。

例2，保險公司在一天內承保了5000張相同年齡、為期1年的壽險保單，每人一份。在合同有效期內若投保人死亡，則公司賠付3萬元。設在一年內，該年齡段的死亡率為0．0015，且各個投保人是否死亡相互獨立。求該公司對于這批投保人的賠付總額不超過30萬元的概率。

以上兩個例子雖然不同，但都可以歸結為伯努利概型，利用二項分布解決。對這類模型，不應簡單地給出它的結果，而應注秀模型的建立、模型的應用范圍以及如何把實際問題轉化為有關的數學模型去解決。

三、適度引入多媒體教學及數據處理軟件。促進課堂教學手段多樣化

在概率統計教學中，實際題目信息及文字很多，“一支粉筆、一塊黑板，以講授為主”的傳統教學方法顯然已經跟不上現代化的教學要求，不利于培養學生的綜合素質和創新能力。因此，有必要借助于現代化媒體技術和統計軟件，制作內容、圖形、聲音、圖像等結合起來的多媒體課件。～方面，采用多媒體教學手段進行輔助教學，能夠將教師從很多重復性的勞動中解脫出來，教師可以將更多的精力和時間投入到如何分析和解釋問題，以提高課堂效率，與學生有效地進行課堂交流。另一方面，用圖形動畫和模擬實驗等多媒體作為輔助教學手段，便于學生對概念、圖形等的理解。如投幣試驗、高爾頓板釘實驗等小動畫在不占用太多課堂時間的同時，又增添了課堂的趣味性。又如在利用Mathematica軟件演示大數定律和中心極限定理時，就能將抽象的定理化為形象的直觀認識，達到一定的教學效果。在處理概率統計問題中，教師也會面對大量的數據，另外，集數學計算、處理與分析為一身的數據處理軟件如：Excel，Matlab，Mathematic，SAS，SPSS等，在計算一些冗長數據時可以簡化計算，降低理論難度。而且，在教師的演示過程中，能讓學生初步了解如何應用計算機及軟件，將所學的知識用于解決生產生活中的實際問題，從而激發他們學習概率知識的熱情，提高他們利用計算機解決問題的能力。

最后，在教學過程中，教師應該考慮到各個專業的學生今后學習與發展的需要，在滿足教學大綱的要求下，選擇與其專業關系緊密的知識點進行重點講授。同時，在講授過程中，本著以人為本的教學理念，注意多種方法靈活應用，建立積極的互動教學模式，盡量避免教師在課堂上滿堂灌、填鴨式地教學，充分調動學生學習的主動性，挖掘學生的學習潛能，最大限度地發揮和發展學生的聰明才智，使學生能理解概率統計這一學科領域思想方法的精髓。

論文參考文獻：

[1]盛驟，謝式千。潘承毅．概率論與數理統計[M]．北京：高等教育出版社，2009．

[2] 姜啟源．數學模型[M]．北京：高等教育出版社。2003：4—7．

[3] 徐鐘濟．蒙特卡羅方法[M]．上海：上海科學技術出版社，1985：171—188．

[4] 郝曉斌，董西廣．數學建模思想在概率論與數理統計課程教學中的應用[J]．經濟研究導刊，2010，90(16)：244—245．

[5]徐榮聰，游華．(概率論與數理統計)課程案例教學法[J]．寧德師專學報(自然科學版)，2008(2)：145—147．

第四篇：概率論與數理統計

概率論與數理統計

一、隨機事件和概率

考試內容

隨機事件與樣本空間 事件的關系與運算 完備事件組 概率的概念 概率的基本性質 古典型概率 幾何型概率 條件概率 概率的基本公式 事件的獨立性 獨立重復試驗

考試要求

1．了解樣本空間(基本事件空間)的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件的關系及運算．

2．理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質，會計算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式，以及貝葉斯(Bayes)公式．

3．理解事件獨立性的概念，掌握用事件獨立性進行概率計算；理解獨立重復試驗的概念，掌握計算有關事件概率的方法.二、隨機變量及其分布

考試內容

隨機變量 隨機變量分布函數的概念及其性質 離散型隨機變量的概率分布 連續型隨機變量的概率密度 常見隨機變量的分布 隨機變量函數的分布

考試要求

1．理解隨機變量的概念，理解分布函數的概念及性質，會計算與隨機變量相聯系的事件的概率．

2．理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二項分布、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布 及其應用．

3.了解泊松定理的結論和應用條件，會用泊松分布近似表示二項分布.4．理解連續型隨機變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態分布、指數分布及其應用，其中參數為 的指數分布 的概率密度為

5．會求隨機變量函數的分布．

三、多維隨機變量及其分布

考試內容

多維隨機變量及其分布 二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布 二維連續型隨機變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度隨機變量的獨立性和不相關性 常用二維隨機變量的分布 兩個及兩個以上隨機變量簡單函數的分布

考試要求

1．理解多維隨機變量的概念，理解多維隨機變量的分布的概念和性質.理解二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布，理解二維連續型隨機變量的概率密度、邊緣密度和條件密度，會求與二維隨機變量相關事件的概率．

2．理解隨機變量的獨立性及不相關性的概念，掌握隨機變量相互獨立的條件.3．掌握二維均勻分布，了解二維正態分布的概率密度，理解其中參數的概率意義．

4．會求兩個隨機變量簡單函數的分布，會求多個相互獨立隨機變量簡單函數的分布.四、隨機變量的數字特征

考試內容

隨機變量的數學期望（均值）、方差、標準差及其性質 隨機變量函數的數學期望 矩、協方差、相關系數及其性質

考試要求

1．理解隨機變量數字特征（數學期望、方差、標準差、矩、協方差、相關系數）的概念，會

運用數字特征的基本性質，并掌握常用分布的數字特征．

2.會求隨機變量函數的數學期望.五、大數定律和中心極限定理

考試內容

切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大數定律 伯努利（Bernoulli)大數定律 辛欽（Khinchine）大數定律 棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－laplace）定理 列維－林德伯格（Levy-Lindberg）定理

考試要求

1．了解切比雪夫不等式．

2．了解切比雪夫大數定律、伯努利大數定律和辛欽大數定律(獨立同分布隨機變量序列的大數定律)．

3．了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二項分布以正態分布為極限分布)和列維-林德伯格定理(獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理)．

六、數理統計的基本概念

考試內容

總體 個體 簡單隨機樣本 統計量 樣本均值 樣本方差和樣本矩分布分布分布 分位數 正態總體的常用抽樣分布

考試要求

1．理解總體、簡單隨機樣本、統計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念，其中樣本方差定義為：

2．了解 分布、分布和 分布的概念及性質，了解上側 分位數的概念并會查表計算．

3．了解正態總體的常用抽樣分布．

七、參數估計

考試內容

點估計的概念 估計量與估計值 矩估計法 最大似然估計法 估計量的評選標準 區間估計的概念 單個正態總體的均值和方差的區間估計 兩個正態總體的均值差和方差比的區間估計

考試要求

1．理解參數的點估計、估計量與估計值的概念．

2．掌握矩估計法（一階矩、二階矩）和最大似然估計法．

3．了解估計量的無偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會驗證估計量的無偏性．

4、理解區間估計的概念，會求單個正態總體的均值和方差的置信區間，會求兩個正態總體的均值差和方差比的置信區間.八、假設檢驗

考試內容

顯著性檢驗 假設檢驗的兩類錯誤 單個及兩個正態總體的均值和方差的假設檢驗

考試要求

1．理解顯著性檢驗的基本思想，掌握假設檢驗的基本步驟，了解假設檢驗可能產生的兩類錯誤．

2．掌握單個及兩個正態總體的均值和方差的假設檢驗．

數學大綱和去年相比變化之處

從拿到大綱的情況來說，今年的大綱和往年是沒有什么變化，這一點和我前面所預測的是基本上一致的。當然大綱沒有變化，對大家也有一個好處，也就是大家可以按照原先的計劃，按步就班的走，不用考慮有一些計劃

調整等等這樣一類的東西。

2011年考試的難度是有一個怎樣的趨勢

至于難度，咱們要說2011年的難度，可以看一下這幾年的難度水平。數一2008，2009年的難度水平基本上是一致的，2010年的考試難度有一定的上升，我認為2011年難度水平應該有所下降。大綱沒有變，而考研是一個選拔性的考試，要求有一定的穩定性。所以，數一的同學，2011年的考試試題難度可能有所下降，水平和2008，2009是一致的。對數二和數三來說，水平應該和往年基本上是一致的。

2011年的考察重點會在哪個方面

由于今年考研大綱沒有變化，我們可以根據考試的一些要求，還有歷年考試真題的情況，咱們可以看一下歷

年考試的重難點。

咱們看高等數學部分，高等數學部分第一部分函數、極限連續這一塊，重點要求掌握兩個重要極限，未定式的極限、等價無窮小代換，這樣一些東西，還有一些極限存在性問題，間斷點的類型，這些東西在歷年的考察中都比較高，而我上課的時候一直給大家強調，考極限的話，主要考的是洛必達法則加等價無窮小代換，特別針對

數三的同學，這兒可能出大題。

第二部分是一元函數微分學，這塊大家主要處理這幾個關系，連續性，可導性和可微性的關系，掌握各種函數的求導方法。比如隱函數求導，參數方程求導等等這一類的，還有注意一元函數的應用問題，這也是歷年考試的一個重點。數三的同學這兒結合經濟類的一些試題進行考察。

一元函數微分學涉及面非常廣，題型比較多，而且這一部分還有一個比較重點的內容，就是出證明題。咱們知道中值定理是歷年經常考的一個考點，所用的主要方式就是構造輔助函數的方法進行證明。當然，這里還包含

一部分等式和不等式的證明，零點問題，以及極值和凹凸性。

多元函數微分學，這一塊內容實際上也是按照一元函數微分學的形式進行考察的，比如咱們求偏導數，先固定一個變量，給另一個變量求導數，歸根到底還是考察一元函數微分學。對多元函數微分學，大家還有一個內容

要掌握，連續性、偏導性和可微性，特別是抽象函數求二階導數和二階混合偏導這一類的題。

當然，還有一個問題，多元函數微分學的應用，主要牽扯兩方面，一個是條件極值，一個是最值問題。這兩

塊。

積分學包含兩塊，也就是一元函數積分學和多元函數積分學，對于一元函數積分學一個是不定積分和定積分的計算，對不定積分一定要非常熟練掌握基本運算，對于定積分除了掌握用不定積分計算的方式，還要注意用定

積分的性質，比如定積分的奇偶性，周期性，單調性等等。

還有一塊，定積分應用，主要考察面積問題，體積問題，或者說這塊和微積分的結合等等。對于數一的同學來說，咱們還牽扯到一塊，三重積分，曲線和曲面積分這兩塊，對于三重積分來說，大家主要掌握一些基本的，比如對球體、錐體、圓柱的積分，對于曲線和曲面積分主要掌握格林公式和高斯公式，利用格林公式把第二類曲線積分轉化成二重積分，利用高斯公式把曲面積分轉化成三重積分進行運算，這里有一個比較常考的知識點，曲

線積分與路徑無關，這個要作為一個主要的知識點進行掌握。

第四部分，就是微分方程，微分方程有兩個重點，一個是一元線性微分方程，第二個是二階常系數齊次/非齊次線性微分方程，對第一部分，大家掌握九種小類型，針對每一種小類型有不同的解題方式，針對每個不同的方程，套用不同的公式就行了。對于二階常系數線性微分方程大家一定要理解解的結構。另一塊對于非齊次的方程來說，大家要注意它和特征方程的聯系，有齊次為方程可以求它的通解，當然給出的通解大家也要寫出它的特征

方程，這個變化是咱們這幾年的一個趨勢。這一類問題就是逆問題。

對于二階常系數非齊次的線性方程大家要分類掌握。當然，這一塊對于數三的同學來說，還有一個差分方程的問題，差分方程不作為咱們的一個重點，而且提醒大家一下，學習的時候要注意，差分方程的解題方式和微方

程是相似的，學習的時候要注意這一點。

第五個，級數問題，主要針對數一和數三，有兩個重點，一個是常數項級數的性質，包括斂散性。

第二塊，牽扯到冪級數，大家要熟練掌握冪級數的收斂區間的計算，收斂半徑與和函數，冪級數展開的問題，要掌握一個熟練的方法來進行計算。對于冪級數求和函數它可能直接給咱們一個冪級數求它的和函數或者給出一

個常數項級數讓咱們求它的和，要轉化成適當的冪級數來進行求和。

關于線性代數這一塊，有這樣幾個重點的內容，一個是逆矩陣和矩陣的秩。第二個，向量的線性相關性和向量的線性表示。向量組合的相關性，這一塊極有可能考的類似于計算的證明題。比如讓咱們證明幾個向量線性無關。第三塊是方程組的解的討論，其中還包括有待定參數的解的討論，這塊的問題，往年也考得比較多。

第四塊特征值和特征向量的性質，以及矩陣的對角化。

第五塊，正定二次型的判斷。大家在學線代的時候，還要注意一個方向，就是線性代數各個章節的連貫性是比較強的，我們在復習總結的時候，特別是后期，對于這一塊內容要自己有一個總結，然后還可以看一看比如咱

們的復習全書或者復習指南這之類的書，在腦海中對線性參數的知識點要形成一個知識性框架。

概率統計這塊（數二不考），概率統計要注重這幾塊內容，一個是概率的性質與概率的公式，這一塊要求咱們非常熟練的掌握，比方說加法公式，減法公式，乘法公式，全概率公式和Bayes公式，這塊要非常熟悉的掌握。

還有一部分，古典概率和幾何概率，這塊大家掌握中等難度的題就可以了。

第二塊，一維隨機變量函數的分布，這個要重點掌握連續性變量的這一塊。這里面有個難點，一維隨機變量函數這是一個難點，求一元隨機變量函數的分布有兩種方式，一個是分布函數法，這是最基本要掌握的。另外是

公式法，公式法相對比較便捷，但是應用范圍有一定的局限性。

第三塊，多維隨機變量的聯合分布和邊緣分布還有條件分布，多維隨機變量的獨立性，這塊是考試的重點，當然也是一個難點。這塊還有一個問題要求大家掌握的，隨機變量的和函數和最值函數的分布。

第四塊，隨機變量的數字特征，這塊很重要，要記住一維隨機變量的數字特征都要記熟，數字特征很少單獨性考察，往往和前面的一維隨機變量函數和多維隨機變量函數和第六章的數理統計結合進行考察。特別針對數一的同學來說，考察矩估計和最大似然估計的時候會考察無偏性。

第五塊，參數估計這一點是咱們經常出大題的地方，這一塊對咱們數一，數二，數三的同學，包含兩塊知識點，一個是矩估計，一個是最大似然估計，這兩個集中出大題。數一的同學，咱們特別強調一點，考這個矩估計

或者最大似然估計，極有可能結合無偏性或者有效性進行考察。

第五篇：概率論與數理統計A,教學大綱

概率論與數理統計A

Probability & Statistics A

課程編碼：09A00210 學分：3.5 課程類別：專業基礎課 計劃學時：56

其中講課：56 實驗或實踐：0 上機：0 適用專業：部分理工類、經濟、管理類學院各專業，主要有信息學院、機械學院、電氣自動化、土建學院、資環學院、商學院、物理學院等。

推薦教材：楊殿武 苗麗安主編，《概率論與數理統計》，科學出版社，2014年;參考書目：浙江大學盛驟主編，《概率論與數理統計》，高等教育出版社，2009年;吳贛昌主編，《概率論與數理統計》，中國人民大學出版社，2006年。

課程的教學目的與任務

本課程是大部分理工科、管理、經濟類各專業的專業基礎課程，課程內容側重于講解概率論與數理統計的基本理論與方法，同時在教學中結合各專業的特點介紹性地給出在各領域中的具體應用。課程的任務在于通過本課程的學習，要使學生獲得：隨機事件與概率、一元與多元隨機變量及其分布、隨機變量的數字特征；、數理統計的基本概念、參數估計與假設檢驗等方面的基本概念、基本理論和基本運算技能，培養學生抽象思維能力、邏輯推理能力以及運用數學知識分析問題和解決隨機問題的能力，提高學生的數學素質和解決實際問題的能力。

課程的基本要求

（一）概率論基礎

掌握古典概型、幾何概型的計算；掌握全概率公式及貝葉斯公式的運用及獨立性。

（二）隨機變量及其分布

掌握一維離散型和連續型隨機變量的概率分布的計算及一維隨機變量的函數的分布。

（三）多維隨機變量及其分布

1、掌握二維離散型隨機變量的概率分布及二維連續型隨機變量的概率密度的性質。

2、掌握二維離散和連續型隨機變量的邊緣分布和隨機變量的獨立性及二維隨機變量的函數的分布。

（四）隨機變量的數字特征

1、掌握數學期望、方差的性質及運算;掌握六種常見分布的數學期望和方差。

2、掌握協方差及相關系數的性質及相關性。

（五）大數定律與中心極限定理

了解切比雪夫不等式，了解獨立同分布中心極限定理和棣莫佛--拉普拉斯定理。

（六）參數估計

掌握三大分布χ2 分布、t分布及F分布及正態總體的常用的統計量分布；掌握矩估計法、最大似然估計法和區間估計的方法。

（七）假設檢驗

理解假設檢驗的基本思想，掌握單個正態總體的均值與方差的假設檢驗，了解兩個正態總體均值與方差相等的假設檢驗。

各章節授課內容、教學方法及學時分配建議

第1章 概率論基礎 建議學時：10學時

[教學目的與要求] 理解隨機事件的概念，掌握事件之間的關系與運算；理解概率、條件概率的定義，掌握概率的基本性質，會計算古典概型和幾何概型的概率；掌握概率的加法公式，乘法公式，會應用全概率公式和貝葉斯公式；理解事件獨立性的概念，掌握應用事件獨立性進行概率計算的方法.[教學重點與難點] 重點：事件之間的關系與運算、概率的基本性質與計算；難點：全概率公式和貝葉斯公式的應用。

[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學為主，結合課堂練習與討論，課后練習及答疑為輔。[授 課 內 容] 1.1 概率論的基本概念 1.2 概率的定義 1.3 條件概率 1.4 事件的獨立性

第2章 隨機變量及其分布

建議學時：10學時

[教學目的與要求] 理解隨機變量、分布函數的概念及性質，會計算與隨機變量有關的事件的概率；理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二項分布、泊松分布及其應用；理解連續型隨機變量及其概率密度的概念，掌握概率密度與分布函數之間的關系；掌握正態分布，均勻分布和指數分布及其應用；會求簡單隨機變量函數的概率分布。

[教學重點與難點] 重點：離散型、連續型隨機變量的概率計算，六種常見隨機變量的分布；難點：連續型隨機變量的概率計算。[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學為主，結合課堂練習與討論，課后練習及答疑為輔。[授 課 內 容] 2.1 隨機變量

2.2 離散型隨機變量及其概率分布 2.3 隨機變量的分布函數 2.4 連續型隨機變量及其概率分布 2.5 隨機變量函數的分布

第3章 多維隨機變量及其分布 建議學時：10學時

[教學目的與要求] 理解二維隨機變量、聯合分布的概念、性質及兩種基本形式：離散型聯合概率分布，邊緣分布和條件分布；連續型聯合概率密度、邊緣密度和條件密度，會利用二維概率分布求有關事件的概率；理解隨機變量的獨立性的概念，掌握離散型和連續型隨機變量獨立的條件；掌握二維均勻分布，了解二維正態分布的概率密度；會求兩個獨立隨機變量的簡單函數的分布。

[教學重點與難點] 重點：二維離散型、連續型隨機變量的概率計算，獨立性的概念；難點：二維連續型隨機變量的概率計算，隨機變量函數的分布。

[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學為主，結合課堂練習與討論，課后練習及答疑為輔。[授 課 內 容] 3.1 多維隨機變量及其分布函數 3.2 二維隨機變量及其分布 3.3 隨機變量的獨立性與條件分布 3.4 多維隨機變量函數的分布

第4章

隨機變量的數字特征 建議學時：8學時

[教學目的與要求] 理解隨機變量數字特征（數學期望、方差、標準差、協方差，相關系數）的概念；并會運用數字特征的基本性質計算具體分布的數字特征；掌握常用分布的數字特征的概念意義和實際背景；會根據隨機變量的概率分布求其函數的數學期望；會根據隨機變量的聯合概率分布求其函數的數學期望；掌握隨機變量獨立性與相關系數的相互關系。

[教學重點與難點] 重點：常用六種隨機變量的數字特征的概念意義及計算，邊緣分布的求法；難點：隨機變量函數的數字特征，相關系數。[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學為主，結合課堂練習與討論，課后練習及答疑為輔。[授 課 內 容]

4.1 數學期望

4.2 方差

4.3 協方差與相關系數

第5章 大數定律與中心極限定理 建議學時：2學時

[教學目的與要求] 了解大數定律與中心極限定理的中心思想與意義。[教學重點與難點] 辛欽大數定律、棣莫佛--拉普拉斯定理。[授 課 方 法] 以課堂講授為主，課堂討論和課下自學為輔。[授 課 內 容]

5.1 大數定律

5.2 中心極限定理

第6章 參數估計

建議學時：8學時

[教學目的與要求] 理解樣本和統計量等基本概念;掌握樣本均值、樣本方差的計算;熟悉χ2 分布、t分布及F分布及正態總體的常用的統計量的分布。理解參數的點估計、估計量與估計值的概念；掌握矩估計法和最大似然估計法；了解估計量的無偏性，有效性和一致性的概念，并會驗證估計量的無偏性；了解區間估計的概念，會求單正態總體的均值與方差的置信區間。

[教學重點與難點] χ2 分布、t分布及F分布及正態總體的常用統計量的分布，矩估計法、最大似然估計法，正態總體的均值與方差的置信區間。

[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學為主，結合課堂練習與討論，課后練習及答疑為輔。[授 課 內 容]

6.1 數理統計的基本概念 6.2 點估計

6.3 區間估計

第7章 假設檢驗

建議學時：8學時

[教學目的與要求] 理解顯著性檢驗的基本思想，掌握假設檢驗的基本步驟，了解假設檢驗可能產生的兩類錯誤；了解單正態總體均值與方差的假設檢驗方法及雙正態總體均值與方差的假設檢驗方法。

[教學重點與難點] 單正態總體均值與方差的假設檢驗；雙正態總體均值與方差的假設檢驗。[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學為主，結合課堂練習與討論，課后練習及答疑為輔。[授 課 內 容] 7.1 假設檢驗概述 7.2 單個正態總體的假設檢驗 7.3 兩個正態總體的假設檢驗

撰稿人：王金梅

審核人：楊殿武