第一篇：概率論與數理統計B教學大綱

“概率論與數理統計（B）”教學大綱

The Theory of Probability and Mathematical Statistics(B)

預修課程: 高等數學 總學時: 54 學分：3

一、教學目標及要求

本課程是高校理工類各專業的基礎課，通過本課程的學習，使學生能系統正確地掌握概率論與數理統計學的基礎知識和應用方法，為學習專業課程打下基礎。

二、教學重點和難點

教學重點：概率統計思想方法的應用。教學難點：概率統計概念的直觀理解。

三、教材及主要參考書

教材：《概率論與數理統計》陳希孺編，中國科技大學出版社，1992年。

主要參考書:《基本統計方法教程》傅權、胡蓓華編，華東師范大學出版社，1986年。

四、課程章節與課時分配

第一章 事件的概率（9學時）§1.1概率是什么? §1.2古典概率計算

§1.3事件的運算,條件概率與獨立性

第二章 隨機變量及其概率分布（9學時）§2.1一維隨機變量 §2.2多維隨機變量

§2.3條件概率分布與隨機變量的獨立性 §2.4隨機變量的函數的概率分布

第三章 隨機變量的數字特征（9學時）§3.1數學期望與中位數 §3.2方差與矩

§3.3協方差與相關系數

§3.4大數定理和中心極限定理

第四章 參數估計（12學時）§4.1數理統計的基本概念 §4.2矩估計,極大似然估計 §4.3點估計的優良性準則 §4.4區間估計(置信區間)

第五章 假設檢驗（15學時）§5.1問題的提法和基本概念 §5.2重要參數的檢驗 §5.3擬合優度檢驗

第二篇：概率論與數理統計A,教學大綱

概率論與數理統計A

Probability & Statistics A

課程編碼：09A00210 學分：3.5 課程類別：專業基礎課 計劃學時：56

其中講課：56 實驗或實踐：0 上機：0 適用專業：部分理工類、經濟、管理類學院各專業，主要有信息學院、機械學院、電氣自動化、土建學院、資環學院、商學院、物理學院等。

推薦教材：楊殿武 苗麗安主編，《概率論與數理統計》，科學出版社，2014年;參考書目：浙江大學盛驟主編，《概率論與數理統計》，高等教育出版社，2009年;吳贛昌主編，《概率論與數理統計》，中國人民大學出版社，2006年。

課程的教學目的與任務

本課程是大部分理工科、管理、經濟類各專業的專業基礎課程，課程內容側重于講解概率論與數理統計的基本理論與方法，同時在教學中結合各專業的特點介紹性地給出在各領域中的具體應用。課程的任務在于通過本課程的學習，要使學生獲得：隨機事件與概率、一元與多元隨機變量及其分布、隨機變量的數字特征；、數理統計的基本概念、參數估計與假設檢驗等方面的基本概念、基本理論和基本運算技能，培養學生抽象思維能力、邏輯推理能力以及運用數學知識分析問題和解決隨機問題的能力，提高學生的數學素質和解決實際問題的能力。

課程的基本要求

（一）概率論基礎

掌握古典概型、幾何概型的計算；掌握全概率公式及貝葉斯公式的運用及獨立性。

（二）隨機變量及其分布

掌握一維離散型和連續型隨機變量的概率分布的計算及一維隨機變量的函數的分布。

（三）多維隨機變量及其分布

1、掌握二維離散型隨機變量的概率分布及二維連續型隨機變量的概率密度的性質。

2、掌握二維離散和連續型隨機變量的邊緣分布和隨機變量的獨立性及二維隨機變量的函數的分布。

（四）隨機變量的數字特征

1、掌握數學期望、方差的性質及運算;掌握六種常見分布的數學期望和方差。

2、掌握協方差及相關系數的性質及相關性。

（五）大數定律與中心極限定理

了解切比雪夫不等式，了解獨立同分布中心極限定理和棣莫佛--拉普拉斯定理。

（六）參數估計

掌握三大分布χ2 分布、t分布及F分布及正態總體的常用的統計量分布；掌握矩估計法、最大似然估計法和區間估計的方法。

（七）假設檢驗

理解假設檢驗的基本思想，掌握單個正態總體的均值與方差的假設檢驗，了解兩個正態總體均值與方差相等的假設檢驗。

各章節授課內容、教學方法及學時分配建議

第1章 概率論基礎 建議學時：10學時

[教學目的與要求] 理解隨機事件的概念，掌握事件之間的關系與運算；理解概率、條件概率的定義，掌握概率的基本性質，會計算古典概型和幾何概型的概率；掌握概率的加法公式，乘法公式，會應用全概率公式和貝葉斯公式；理解事件獨立性的概念，掌握應用事件獨立性進行概率計算的方法.[教學重點與難點] 重點：事件之間的關系與運算、概率的基本性質與計算；難點：全概率公式和貝葉斯公式的應用。

[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學為主，結合課堂練習與討論，課后練習及答疑為輔。[授 課 內 容] 1.1 概率論的基本概念 1.2 概率的定義 1.3 條件概率 1.4 事件的獨立性

第2章 隨機變量及其分布

建議學時：10學時

[教學目的與要求] 理解隨機變量、分布函數的概念及性質，會計算與隨機變量有關的事件的概率；理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二項分布、泊松分布及其應用；理解連續型隨機變量及其概率密度的概念，掌握概率密度與分布函數之間的關系；掌握正態分布，均勻分布和指數分布及其應用；會求簡單隨機變量函數的概率分布。

[教學重點與難點] 重點：離散型、連續型隨機變量的概率計算，六種常見隨機變量的分布；難點：連續型隨機變量的概率計算。[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學為主，結合課堂練習與討論，課后練習及答疑為輔。[授 課 內 容] 2.1 隨機變量

2.2 離散型隨機變量及其概率分布 2.3 隨機變量的分布函數 2.4 連續型隨機變量及其概率分布 2.5 隨機變量函數的分布

第3章 多維隨機變量及其分布 建議學時：10學時

[教學目的與要求] 理解二維隨機變量、聯合分布的概念、性質及兩種基本形式：離散型聯合概率分布，邊緣分布和條件分布；連續型聯合概率密度、邊緣密度和條件密度，會利用二維概率分布求有關事件的概率；理解隨機變量的獨立性的概念，掌握離散型和連續型隨機變量獨立的條件；掌握二維均勻分布，了解二維正態分布的概率密度；會求兩個獨立隨機變量的簡單函數的分布。

[教學重點與難點] 重點：二維離散型、連續型隨機變量的概率計算，獨立性的概念；難點：二維連續型隨機變量的概率計算，隨機變量函數的分布。

[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學為主，結合課堂練習與討論，課后練習及答疑為輔。[授 課 內 容] 3.1 多維隨機變量及其分布函數 3.2 二維隨機變量及其分布 3.3 隨機變量的獨立性與條件分布 3.4 多維隨機變量函數的分布

第4章

隨機變量的數字特征 建議學時：8學時

[教學目的與要求] 理解隨機變量數字特征（數學期望、方差、標準差、協方差，相關系數）的概念；并會運用數字特征的基本性質計算具體分布的數字特征；掌握常用分布的數字特征的概念意義和實際背景；會根據隨機變量的概率分布求其函數的數學期望；會根據隨機變量的聯合概率分布求其函數的數學期望；掌握隨機變量獨立性與相關系數的相互關系。

[教學重點與難點] 重點：常用六種隨機變量的數字特征的概念意義及計算，邊緣分布的求法；難點：隨機變量函數的數字特征，相關系數。[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學為主，結合課堂練習與討論，課后練習及答疑為輔。[授 課 內 容]

4.1 數學期望

4.2 方差

4.3 協方差與相關系數

第5章 大數定律與中心極限定理 建議學時：2學時

[教學目的與要求] 了解大數定律與中心極限定理的中心思想與意義。[教學重點與難點] 辛欽大數定律、棣莫佛--拉普拉斯定理。[授 課 方 法] 以課堂講授為主，課堂討論和課下自學為輔。[授 課 內 容]

5.1 大數定律

5.2 中心極限定理

第6章 參數估計

建議學時：8學時

[教學目的與要求] 理解樣本和統計量等基本概念;掌握樣本均值、樣本方差的計算;熟悉χ2 分布、t分布及F分布及正態總體的常用的統計量的分布。理解參數的點估計、估計量與估計值的概念；掌握矩估計法和最大似然估計法；了解估計量的無偏性，有效性和一致性的概念，并會驗證估計量的無偏性；了解區間估計的概念，會求單正態總體的均值與方差的置信區間。

[教學重點與難點] χ2 分布、t分布及F分布及正態總體的常用統計量的分布，矩估計法、最大似然估計法，正態總體的均值與方差的置信區間。

[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學為主，結合課堂練習與討論，課后練習及答疑為輔。[授 課 內 容]

6.1 數理統計的基本概念 6.2 點估計

6.3 區間估計

第7章 假設檢驗

建議學時：8學時

[教學目的與要求] 理解顯著性檢驗的基本思想，掌握假設檢驗的基本步驟，了解假設檢驗可能產生的兩類錯誤；了解單正態總體均值與方差的假設檢驗方法及雙正態總體均值與方差的假設檢驗方法。

[教學重點與難點] 單正態總體均值與方差的假設檢驗；雙正態總體均值與方差的假設檢驗。[授 課 方 法] 以課堂多媒體教學為主，結合課堂練習與討論，課后練習及答疑為輔。[授 課 內 容] 7.1 假設檢驗概述 7.2 單個正態總體的假設檢驗 7.3 兩個正態總體的假設檢驗

撰稿人：王金梅

審核人：楊殿武

第三篇：概率論與數理統計課程教學大綱

《概率論與數理統計》課程教學大綱

（2002年制定 2004年修訂）

課程編號：

英 文 名：Probability Theory and Mathematical Statistics 課程類別：學科基礎課 前 置 課：高等數學

后 置 課：計量經濟學、抽樣調查、試驗設計、貝葉斯統計、非參數估計、統計分析軟件、時間序列分析、統計預測與決策、多元統計分析、風險理論

學 分：5學分 課

時：85課時 修讀對象：統計學專業學生 主講教師：楊益民等

選定教材：盛驟等，概率論與數理統計，北京：高等教育出版社，2001年（第三版）

課程概述：

本課程是統計學專業的學科基礎課，是研究隨機現象統計規律性的一門數學課程，其理論及方法與數學其它分支、相互交叉、滲透，已經成為許多自然科學學科、社會與經濟科學學科、管理學科重要的理論工具。由于其具有很強的應用性，特別是隨著統計應用軟件的普及和完善，使其應用面幾乎涵蓋了自然科學和社會科學的所有領域。本課程是統計專業學生打開統計之門的一把金鑰匙，也是經濟類各專業研究生招生考試的重要專業基礎課。本課程由概率論與數理統計兩部分組成。概率論部分側重于理論探討，介紹概率論的基本概念，建立一系列定理和公式，尋求解決統計和隨機過程問題的方法。其中包括隨機事件和概率、隨機變量及其分布、隨機變量的數字特征、大數定律和中心極限定理等內容；數理統計部分則是以概率論作為理論基礎，研究如何對試驗結果進行統計推斷。包括數理統計的基本概念、參數統計、假設檢驗、非參數檢驗、方差分析和回歸分析等。教學目的：

通過本課程的學習，要求能夠理解隨機事件、樣本空間與隨機變量的基本概念，掌握概率的運算公式，常見的各種隨機變量（如0－1分布、二項分布、泊松（Poisson）分布、均勻分布、正態分布、指數分布等）的表述、性質、數字特征及其應用，一維隨機變量函數的分布、二維隨機變量的和分布、順序統計量的分布。理解數學期望、方差、協方差與相關系數的本質涵義，掌握數學期望、方差、協方差與相關系數的性質，熟練運用各種計算公式。了解大數定律和中心極限定量的內容及應用，熟悉數據處理、數據分析、數據推斷的各種基本方法，能用所掌握的方法具體解決所遇到的各種社會經濟問題，為學生進一步學習統計專業課打下堅實的基礎。教學方法：

本課程具有很強的應用性，在教學過程中要注意理論聯系實際，從實際問題出發，通過抽象、概括，引出新的概念。由于本課程是研究隨機現象的科學，學生之前從未接觸過，學習起來會感到難度較大，授課時應突出重點，講清難點。要使學生明白，本課程主要研究哪些方面的問題，從何角度、用何原理和方法進行研究的，是怎樣研究的，得到哪些結論，如何用這些方法和結論處理今后遇到的社會經濟問題。在教育中要堅持以人為本，全面體現學生的主體地位，教師應充分發揮引導作用，注意隨時根據學生的理解狀況調整教學進度。授課要體現兩方面的作用：一是為學生自學準備必要的理論知識和方法，二是激發學生學習興趣，引導學生自學。在教學中要體現計算機輔助教學的作用，采用多媒體技術，提高課堂教學的信息量。通過課堂計算機演示實驗，幫助學生加深對概念的理解。每次課后必須布置較大數量的思考題和作業，并加強課外輔導和答疑。

各章教學要求及教學要點

第一章 概率論的基本概念

課時分配：13課時 教學要求：

1、了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件的關系與運算。

2、理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質，會計算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、乘法公式、減法公式、全概率公式，以及貝葉斯公式。

3、理解事件的獨立性的概念，掌握用事件獨立性進行概率計算；理解獨立重復試驗的概念，掌握計算有關事件概率的方法。教學內容：1、2、3、4、5、6、隨機試驗、隨機事件與樣本空間。

事件的關系與運算、完全事件組。

概率的概念、概率的基本性質、概率的基本公式。等可能概型（古典概型）、幾何型概率。條件概率、全概率公式、貝葉斯公式。

事件的獨立性、獨立重復試驗。

思考題：

1、事件A表示三個人對某問題的回答中至少有一人說“否”，B表示三個人對某問題的回答都說“是”。試問：事件A?B、AB各表示什么涵義？

2、社會經濟現象是否只分成確定性現象和隨機現象？“某天的天氣狀況”是否屬于這兩類現象？試舉出至少三種不屬于這兩類現象的社會經濟現象。

3、隨機事件與集合的對應關系是怎樣的？

4、對立事件和不相容事件有何區別？

5、全概率公式和貝葉斯公式有何區別，各自能解決什么問題？

6、“小概率事件”是否不會發生？

7、“概率為零的事件”是否必然是不可能事件？

第二章 隨機變量及其分布

課時分配：10課時 教學要求：

1、理解隨機變量及其概率分布的概念；理解分布函數的概念及性質；會計算與隨機變量相聯系的事件的概率。

2、理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二項分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布及其應用。

3、了解泊松定理的結論和應用條件，會用泊松分布近似表示二項分布。

4、理解連續型隨機變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布、正態分布N(μ，?)、指數分布及其應用。

5、根據自變量的概率分布求其簡單函數的概率分布。

2教學內容：1、2、3、4、5、隨機變量及其分布函數的概念及其性質。離散型隨機變量及其分布律。連續型隨機變量及其概率密度。常見隨機變量的概率分布。

隨機變量的函數分布。

思考題：

1、引入隨機變量的意義何在？如何用微積分的工具來研究隨機試驗？

2、分布函數有哪些性質？

n3、離散型隨機變量的分布律有哪些性質？若有一組數pi?0，且?i?1它們是不是某pi?1.2，個離散型隨機變量的概率分布？

4、二項分布何時取得極大值？其極大值是什么？

5、什么類型的實際問題可以用二項分布來研究？如何解決二項分布的計算問題？

6、什么類型的實際問題可以用泊松（Poisson）分布來研究？

7、指數分布的密度函數在不同的教材上有不同的定義，它們的區別何在？

8、連續型隨機變量的概率密度有哪些性質？

9、正態分布N(μ，?)與標準正態分布的分布函數之間有何聯系？如何利用標準正態分布來計算正態分布N(μ，?)落在某個區間的概率？

10、什么是正態分布的“3?法則”？如何利用“3?法則”來研究實際問題？

11、若隨機變量X的密度函數不單調，如何求Y?f(X)密度函數？

第三章 多維隨機變量及其概率分布

課時分配：12課時 教學要求：

1、理解二維隨機變量的概念、理解二維隨機變量的聯合分布的概念、性質及兩種基本形式：離散型聯合概率分布，邊緣分布和條件分布；連續型聯合概率密度、邊緣密度和條件密度。會利用二維概率分布求有關事件的概率。

2、理解隨機變量的獨立性概念，掌握離散型和連續型隨機變量獨立的條件。

3、掌握二維均勻分布，了解二維正態分布的聯合概率密度，理解其中參數的概率意義。

4、會求兩個隨機變量的簡單函數（和、順序統計量）的分布。教學內容：

1、二維隨機變量及其概率分布。

2、二維離散型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布。

3、二維連續型隨機變量的概率密度、邊緣密度和條件密度，常用二維隨機變量的概率分布。

4、隨機變量的獨立性和相關性。

5、兩個隨機變量函數的分布。思考題： 221、二維隨機變量概率分布和相應的兩個一維隨機變量的概率分布間有何聯系？

2、如何用一張概率分布表同時表示二維隨機變量的聯合分布律、邊緣分布律？能否同時表示兩個條件分布律？

3、二維均勻分布的聯合概率密度與一維均勻分布的概率密度有何共性？如何由此推出三維及n維隨機變量的聯合概率密度？

4、二維正態分布的聯合概率密度和相應的兩個一維正態分布的概率密度間有何聯系？

5、二維正態分布的聯合概率密度各參數的涵義是什么？何時相應的兩個一維正態分布是相互獨立的？

6、如何確定條件密度表達式的函數定義域？

7、設某離散型隨機變量與某連續型隨機變量是相互獨立的，如何求它們的和分布？

8、哪些獨立隨機變量具有可加性？

9、隨機變量的獨立性與事件的獨立性有何區別？

第四章 隨機變量的數字特征

課時分配：12課時 教學要求：

1、理解隨機變量數字特征（數學期望、方差、標準差、矩、協方差、相關系數）的概念，并會運用數字特征基本性質計算具體分布的數字特征，掌握常用分布（如0－1分布、二項分布、泊松（Poisson）分布、均勻分布、正態分布、指數分布等）的數字特征。

2、會根據隨機變量的概率分布求其函數的數學期望；會根據二維隨機變量的概率分布求其函數的數學期望。

3、了解切比雪夫不等式及其應用。教學內容：

1、隨機變量的數學期望（均值）、隨機變量函數的數學期望。

2、方差、標準差及其性質，切比雪夫（Chebyshev）不等式。

3、協方差、相關系數及其性質。

4、矩、協方差矩陣。思考題：

1、數學期望和方差的統計意義是什么？

2、如何求一維與二維隨機變量函數的期望？

3、寫出0－1分布、二項分布、泊松（Poisson）分布、均勻分布、正態分布、指數分布的數學期望和方差。

4、數學期望和方差有哪些重要性質？其中哪些性質需要“相互獨立”這一前提條件？

5、切比雪夫不等式的表達式是什么？它的證明過程中關鍵步驟是什么？它在處理實際問題中有何作用？

6、方差與協方差的實用計算公式是什么？

7、不相關與相互獨立之間的關系是怎樣的？若隨機變量X與Y不相關，它們是否必然相互獨立？若隨機變量X與Y是正態分布，結論怎樣？

8、若隨機變量X與Y的相關系數r=0，是否說明X與Y之間沒有關系？舉例說明之。

9、事件A與B的相關系數是如何定義的？寫出其定義式。

10、n維正態分布有哪些重要性質？

第五章 大數定律和中心極限定理

課時分配：4課時 教學要求：

1、了解切比雪夫大數定律、伯努利大數定律和辛欽大數定律（獨立同分布隨機變量的大數定律）。

2、了解棣莫弗－拉普拉斯定理（二項分布以正態分布為極限分布）和列維－林德伯格定理（獨立同分布的中心極限定理）。教學內容：

1、幾乎處處收斂、依概率收斂、依分布收斂。

2、切比雪夫大數定律、伯努利大數定律、辛欽（Khinchine）大數定律。

3、棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理、列維－林德伯格（Levy－Lindberg）定理。思考題：

1、幾乎處處收斂、依概率收斂、依分布收斂之間的關系是怎樣的？

2、切比雪夫大數定律、伯努利大數定律、辛欽（Khinchine）大數定律成立的條件是什么，它們之間的差別是什么？

3、哪個大數定律可以用來說明頻率的穩定性？試說明之。

4、棣莫弗－拉普拉斯定理和列維－林德伯格定理之間的關系是怎樣的？

5、如何用列維－林德伯格定理來近似求獨立同分布隨機變量的和分布？

第六章 樣本及抽樣分布

課時分配：6課時 教學要求：

1、理解總體、簡單隨機樣本、統計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念。

2、了解? 分布、t分布和F分布的概念及性質，了解分位數的概念并會查表計算。

3、了解正態總體的某些常用抽樣分布。教學內容：

1、總體、個體、簡單隨機樣本、統計量、樣本均值、樣本方差和樣本矩。

2、? 分布、t分布和F分布，分位數，正態總體的常用抽樣分布。思考題：

1、總體和隨機變量之間有何關系？

2、什么是簡單隨機樣本？

3、數理統計中所說樣本空間和隨機變量X的樣本空間是否同一概念？

4、為何能用樣本觀察值推斷總體的狀況？它依據的原理是什么？

5、什么叫統計量？常用的統計量有哪些？

6、? 分布是怎樣定義的？它有哪些重要的性質？它的主要作用是什么？寫出它的數學期望和方差。

7、t分布是怎樣定義的？它有哪些重要的性質？它的主要作用是什么？寫出它的數學期望和方差。

8、F分布是怎樣定義的？它有哪些重要的性質？它的主要作用是什么？寫出它的數學期望和方差。2229、隨機變量的上側?分位數和雙側?分位數是怎樣定義的？如何通過查表求標準正態分布、? 分布、t分布和F分布的?分位數？

210、關于正態總體的樣本均值、樣本方差有何重要結論？

第七章 參數估計

課時分配：8課時 教學要求：

1、理解參數的點估計、估計量與估計值的概念。

2、掌握矩估計法（一階、二階矩）和最大似然估計法。

3、了解估計量的無偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會驗證估計量的無偏性。

4、了解區間估計的概念，會求單個正態總體的均值和方差的置信區間，會求兩個正態總體的均值差和方差比的置信區間。教學內容：

1、點估計的概念、估計量與估計值。

2、矩估計法、最大似然估計法。

3、估計量的評選標準。

4、區間估計的概念。

5、單個正態總體的均值和方差的區間估計。

6、兩個正態總體的均值差和方差比的區間估計。

7、（0-1）分布參數的區間估計。

8、單側置信區間。思考題：

1、參數估計主要處理在社會經濟中遇到的什么類型的問題？

2、矩估計法的優點和缺陷各是什么？

3、最大似然估計法依據的原理是什么？

4、寫出一般情況下最大似然估計法的解題步驟。這個步驟對服從均勻分布的總體是否適用？如何用最大似然估計法對服從均勻分布的總體進行點估計？

5、估計量有哪幾個評選標準？其中最基本的標準是什么？

6、為何要進行參數的區間估計？它與點估計相比有何優越性？

7、寫出確定參數的置信區間的一般步驟。

8、單個正態總體均值的區間估計用到哪幾種抽樣分布？

9、單個正態總體方差的區間估計用到哪種抽樣分布？

10、兩個正態總體的均值差的區間估計用到哪幾種抽樣分布？

11、兩個正態總體方差比的區間估計用到哪種抽樣分布？

第八章 假設檢驗

課時分配：7課時 教學要求：

1、理解顯著性檢驗的基本思想，掌握假設檢驗的基本步驟，了解假設檢驗可能產生的兩類錯誤。

2、了解單個及兩個正態總體的均值和方差的假設檢驗，會用公式進行單邊及雙邊假設檢驗。

3、了解分布擬合檢驗和秩和檢驗概念與步驟。教學內容：

1、顯著性檢驗。

2、單個及兩個正態總體的均值和方差的假設檢驗。

3、假設檢驗的兩類錯誤，樣本容量的選取。

4、區間估計與假設檢驗之間的關系。

5、分布擬合檢驗。

6、秩和檢驗。思考題：

1、假設檢驗分為哪兩種類型？

2、假設檢驗主要處理在社會經濟中遇到的什么類型的問題？

3、假設檢驗依據的原理是什么？

4、確定雙邊假設檢驗與單邊假設檢驗的原則是什么？

5、對單邊假設檢驗如何確定備擇假設？

6、寫出顯著性檢驗的一般步驟。

7、單個正態總體均值的假設檢驗用到哪幾種抽樣分布？它和區間估計有何異同？

8、單個正態總體方差的假設檢驗用到哪種抽樣分布？它和區間估計有何異同？

9、兩個正態總體均值差的假設檢驗用到哪幾種抽樣分布？它和區間估計有何異同？

10、兩個正態總體方差比的假設檢驗用到哪幾種抽樣分布？它和區間估計有何異同？

11、什么叫施行特征函數？如何用它來描述犯“取偽”錯誤的概率？

12、對單邊及雙邊假設檢驗，為同時控制犯兩類錯誤的概率，其必要樣本容量應取多大？分別寫出其表達式。

13、假設檢驗和區間估計之間的差別何在？

14、? 擬合檢驗法、偏度、嶧度檢驗法、秩和檢驗法各自適用于檢驗什么問題？如何提出原假設？

第九章

方差分析和回歸分析

課時分配：9課時 教學要求：

1、了解方差分析的基本思想，試驗因素和水平的意義。

2、掌握平方和的分解，會作出方差分析表。

3、了解回歸分析的基本思想。

4、掌握一元線性回歸，了解可化為線性回歸的一元非線性回歸和多元線性回歸。

5、了解線性相關性檢驗和利用回歸方程進行預測和控制。教學內容：

1、單因素和雙因素試驗的方差分析。

2、一元線性回歸、非線性回歸、多元線性回歸。思考題：

1、方差分析主要處理在社會經濟中遇到的什么類型的問題？

2、寫出方差分析的一般步驟。

23、如何進行平方和的分解？總偏差平方和、誤差平方和、效應平方和的統計特性怎樣？它們的自由度之間有何關系？

4、回歸分析主要處理在社會經濟中遇到的什么類型的問題？

5、如何用最小二乘法求一元線性回歸方程的系數？

6、相關系數與回歸系數間有何關系？

7、如何將特殊的非線性回歸轉化為線性回歸？

8、如何用回歸方程進行預測與控制？

復習、機動：4課時

附錄：參考書目

1、茆詩松等，《概率論與數理統計》，中國統計出版社，2000

2、蘇均和，《概率論與數理統計》，上海財經大學出版社，1999

3、華東師范大學數學系編，《概率論與數理統計》，中國科學技術大學出版社，1992

4、復旦大學數學系編，《概率論》（第一、二冊），人民教育出版社，1979

5、唐象能、戴儉華，《數理統計》，機械工業出版社，1994

6、[俄]A.A.史威斯尼科夫等，《概率論解題指南》，上海科學技術大學出版社，1981

7、周復恭等，《應用數理統計學》，中國人民大學出版社，1989

8、[印度]C.R.勞，《線性統計推斷及其應用》，科學出版社，1987

9、鄭德如，《相關分析和回歸分析》，上海人民出版社，1984

10、吳喜之，《非參數統計》，中國統計出版社，1999

11、Vendables, W.N.& Ripley.B.D.，《Modern Applied Statistics with S-plus》，Springer-Verlag，New York，1997

12、張堯庭，《定性資料的統計分析》，廣西師范大學出版社，1991

13、[美]戴維.R.安德森等，《商務與經濟統計》，機械工業出版社，2000

執筆人： 楊益民 2004年5月 審定人： 管于華 2004年5月 院（系、部）負責人： 錢書法 2004年5月

第四篇：概率論與數理統計第一章教學大綱

概率論與數理統計第一章教學大綱

第一章隨機事件與概率（10學時）

理論教學內容

1、了解隨機實驗、樣本空間的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件之間的關系與運算。

2．了解概率的各種定義，掌握概率的基本性質，概率的加法公式、減法公式，并能應用這些公式進行概率計算．

3．掌握古典概型及其計算，能將實際問題歸結為古典概型并計算。掌握幾何概型及其計算，能將實際問題歸結為幾何概型并計算.4．理解條件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式，并能應用這些公式進行概率計算。

5．理解事件的獨立性概念，掌握運用事件獨立性進行概率計算．掌握貝努里概型及其計算，能夠將實際問題歸結為貝努里概型，然后用二項概率計算有關事件的概率．

重點內容：事件間的關系與運算，概率的加法公式，古典概型，乘法公式，全概率公式及貝葉斯公式，事件的獨立性。

難點內容：古典概型的求解，乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式的應用。

第五篇：概率論與數理統計B教案第二章

第二章

隨機變量及其分布

在隨機試驗中，人們除對某些特定事件發生的概率感興趣外，往往還關心某個與隨機試驗的結果相聯系的變量.由于這一變量的取值依賴于隨機試驗結果，因而被稱為隨機變量.與普通的變量不同，對于隨機變量，人們無法事先預知其確切取值，但可以研究其取值的統計規律性.本章將介紹兩類隨機變量及描述隨機變量統計規律性的分布.第一節 隨機變量的概念

內容要點:

一、隨機變量概念的引入

為全面研究隨機試驗的結果, 揭示隨機現象的統計規律性, 需將隨機試驗的結果數量化，即把隨機試驗的結果與實數對應起來.1.在有些隨機試驗中, 試驗的結果本身就由數量來表示.2.在另一些隨機試驗中, 試驗結果看起來與數量無關,但可以指定一個數量來表示之.二、隨機變量的定義

定義

設隨機試驗的樣本空間為S, 稱定義在樣本空間S上的實值單值函數X?X(e)為隨機變量.隨機變量與高等數學中函數的比較:(1)它們都是實值函數,但前者在試驗前只知道它可能取值的范圍,而不能預先肯定它將取哪個值;(2)因試驗結果的出現具有一定的概率,故前者取每個值和每個確定范圍內的值也有一定的概率.三、引入隨機變量的意義

隨機變量的引入,使得隨機試驗中的各種事件可通過隨機變量的關系式表達出來.由此可見,隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變量這個更廣的概念內.也可以說,隨機事件是從靜態的觀點來研究隨機現象,而隨機變量則以動態的觀點來研究之.其關系類似高等數學中常量與變量的關系.隨機變量概念的產生是概率論發展史上的重大事件.引入隨機變量后,對隨機現象統計規律的研究,就由對事件及事件概率的研究轉化為隨機變量及其取值規律的研究,使人們可利用數學分析的方法對隨機試驗的結果進行廣泛而深入的研究.隨機變量因其取值方式不同, 通常分為離散型和非離散型兩類.而非非離散型隨機變量中最重要的是連續型隨機變量.今后，我們主要討論離散型隨機變量和連續型隨機變量.例題選講：

例1(講義例1)在拋擲一枚硬幣進行打賭時, 若規定出現正面時拋擲者贏1元錢, 出現反面時輸1元錢, 則其樣本空間為

S?{正面, 反面}, 記贏錢數為隨機變量X, 則X作為樣本空間S的實值函數定義為

?1,e?正面,X(e)????1,e?反面.例2(講義例2)在將一枚硬幣拋擲三次, 觀察正面H、反面T出現情況的試驗中, 其樣本空間

S?{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};記每次試驗出現正面H的總次數為隨機變量X, 則X作為樣本空間S上的函數定義為

eHHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTT

X32221110易見, 使X取值為2({X?2})的樣本點構成的子集為

A?{HHT,HTH,THH}, 故 P{X?2}?P(A)?3/8, 類似地，有

P{X?1}?P{HTT,THT,TTH,TTT}?4/8.例3(講義例3)在測試燈泡壽命的試驗中, 每一個燈泡的實際使用壽命可能是[0,??)中任何一個實數, 若用X表示燈泡的壽命（小時），則X是定義在樣本空間S?{t|t?0}上的函數，即X?X(t)?t，是隨機變量.課堂練習

1.一報童賣報, 每份0.15元,其成本為0.10元.報館每天給報童1000份報, 并規定他不得把賣不出的報紙退回.設X為報童每天賣出的報紙份數, 試將報童賠錢這一事件用隨機變量的表達式表示.第二節 離散型隨機變量及其分布函數

內容要點:

一、離散型隨機變量及其概率分布

定義

設離散型隨機變量X的所有可能取值為xi(i?1,2,?), 稱

P{X?xi}?pi,i?1,2,?

為X的概率分布或分布律, 也稱概率函數.常用表格形式來表示X的概率分布:

Xx1x2?xn?

pip1p2?pn?

二、常用離散分布

退化分布

兩點分布

n個點上的均勻分布

二項分布

幾何分布

超幾何分布

泊松分布：泊松分布是概率論中最重要的幾個分布之一.實際問題中許多隨機現象都服從或近似服從泊松分布.三、二項分布的泊松近似

定理1(泊松定理)在n重伯努利試驗中, 事件A在每次試驗中發生的概率為pn(注意這與試驗的次數n有關), 如果n??時, npn??(??0為常數), 則對任意給定的k, 有

limb(k,n,pn)??kk!n??e??.例題選講：

離散型隨機變量及其概率分布

例1(講義例1)某籃球運動員投中籃圈的概率是0.9, 求他兩次獨立投籃投中次數X的概率分布.例2(講義例2)設隨機變量X的概率分布為:

?kP{X?K}?a,k?0,1,2,?,??0.k!試確定常數a.二項分布

例3(講義例3)已知100個產品中有5個次品, 現從中有放回地取3次, 每次任取1個, 求在所取的3個中恰有2個次品的概率.例4(講義例4)某人進行射擊, 設每次射擊的命中率為0.02, 獨立射擊400次, 試求至少擊中兩次的概率.例5(講義例5)設有80臺同類型設備, 各臺工作是相互獨立的,發生故障的概率都是0.01, 且一臺設備的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法, 其一是由4人維護, 每人負責20臺;其二是由3人共同維護80臺.試比較這兩種方法在設備發生故障時不能及時維修的概率的大小.幾何分布

例6(講義例6)某射手連續向一目標射擊, 直到命中為止, 已知他每發命中的概率是p, 求所需射擊發數X的概率分布.泊松分布

例7(講義例7)某一城市每天發生火災的次數X服從參數??0.8的泊松分布, 求該城市一天內發生3次或3次以上火災的概率.二項分布的泊松近似

例8(講義例8)某公司生產的一種產品300件.根據歷史生產記錄知廢品率為0.01.問現在這300件產品經檢驗廢品數大于5的概率是多少? 例9(講義例9)一家商店采用科學管理,由該商店過去的銷售記錄知道, 某種商品每月的銷售數可以用參數??5的泊松分布來描述, 為了以95%以上的把握保證不脫銷, 問商店在月底至少應進某種商品多少件? 例10(講義例10)

自1875年至1955年中的某63年間, 上海市夏季(5—9月)共發生大暴雨180次, 試建立上海市夏季暴雨發生次數的概率分布模型.課堂練習

1.某類燈泡使用時數在1000小時以上的概率是0.2, 求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率.2.一汽車沿一街道行駛, 需要通過三個均設有紅綠信號燈的路口, 每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨立, 且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等.以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數, 求X的概率分布.第三節 隨機變量的分布函數

當我們要描述一個隨機變量時，不僅要說明它能夠取哪些值，而且還要指出它取這些值的概率.只有這樣，才能真正完整地刻畫一個隨機變量, 為此，我們引入隨機變量的分布函數的概念.內容要點：

一.隨機變量的分布函數

定義 設X是一個隨機變量, 稱

F(x)?P(X?x)為X的分布函數.有時記作X~F(x)或FX(x).分布函數的性質

1.單調非減.若x1?x2, 則F(x1)?F(x2)； 2.F(??)?limF(x)?0,F(??)?limF(x)?1;

x???x???(???x???)

3.右連續性.即limF(x)?F(x0).?x?x0

二、離散型隨機變量的分布函數

設離散型隨機變量X的概率分布為

Xx1x2?xn?

pip1p2?pn?則X的分布函數為

F(x)?P(X?x)??P(X?xi)??pi.xi?xxi?x

例題選講：

隨機變量的分布函數

例1（講義例1）等可能地在數軸上的有界區間[a,b]上投點, 記X為落點的位置(數軸上的坐標), 求隨機變量X的分布函數.例2（講義例2）判別下列函數是否為某隨機變量的分布函數? ?0,x??2,?(1)F(x)??1/2,?2?x?0,?1,x?0;??0,x?0,?(2)F(x)??sinx,0?x??,?1,x??;??0,x?0,?(3)F(x)??x?1/2,0?x?1/2,?1,x?1/2.?

離散型隨機變量的分布函數 例3（講義例3）設

X012pi1/31/61/2, 求F(x).例

4X具有離散均勻分布, 即

P(X?xi)?1/n,i?1,2,?,n，求X的分布函數.例5（講義例4）設隨機變量X的分布函數為

x?1,?0,?9/19,1?x?2,?F(x)??

15/19,2?x?3,??x?3.?1,求X的概率分布.課堂練習

1．設隨機變量X的概率分布為

X?124

，pi1/41/21/4求X的的分布函數，并求

P?X?1/2?, P?3/2?X?5/2?, P?2?X?3?.第四節 連續型隨機變量及其概率密度

內容要點：

一、連續型隨機變量及其概率密度

定義

如果對隨機變量X的分布函數F(x),存在非負可積函數f(x),使得對于任意實數x有

F(x)?P{X?x}??x??f(t)dt.則稱X為連續型隨機變量, 稱f(x)為X的概率密度函數,簡稱為概率密度或密度函數.關于概率密度的說明

1.對一個連續型隨機變量X,若已知其密度函數f(x),則根據定義,可求得其分布函數F(x), 同時, 還可求得X的取值落在任意區間(a,b]上的概率:

P{a?X?b}?F(b)?F(a)??f(x)dx

ab2.連續型隨機變量X取任一指定值a(a?R)的概率為0.3.若f(x)在點x處連續, 則

F?(x)?f(x)

(1)

二、常用連續型分布

均勻分布

定義

若連續型隨機變量X的概率密度為

?1,a?x?b? f(x)??b?a?0,其它?則稱X在區間(a,b)上服從均勻分布, 記為X~U(a,b).指數分布

定義

若隨機變量X的概率密度為

??e??x,x?0,f(x)????0

其它.?0,則稱X服從參數為?的指數分布.簡記為X~e(?).正態分布

定義

若隨機變量X的概率密度為

f(x)?1e2???(x??)22?2,???x??.其中?和?(??0)都是常數, 則稱X服從參數為?和?2的正態分布.記為X~N(?,?2).注: 正態分布是概率論中最重要的連續型分布, 在十九世紀前葉由高斯加以推廣, 故又常稱為高斯分布.一般來說，一個隨機變量如果受到許多隨機因素的影響，而其中每一個因素都不起主導作用（作用微小），則它服從正態分布.這是正態分布在實踐中得以廣泛應用的原因.例如, 產品的質量指標, 元件的尺寸, 某地區成年男子的身高、體重, 測量誤差, 射擊目標的水平或垂直偏差, 信號噪聲、農作物的產量等等, 都服從或近似服從正態分布.標準正態分布

正態分布當??0,??1時稱為標準正態分布, 此時, 其密度函數和分布函數常用?(x)和?(x)表示: ?(x)?1?21e, ?(x)?2?2?x2?e??x?t22dt

標準正態分布的重要性在于, 任何一個一般的正態分布都可以通過線性變換轉化為標準正態分布.定理

設X~N(?,?2),則Y?X???~N(0,1).標準正態分布表的使用：

（1）表中給出了x?0時?(x)的數值, 當x?0時, 利用正態分布的對稱性, 易見有

?(?x)?1??(x);

（2）若X~N(0,1),則

P{a?X?b}??(b)??(a);（3）若X~N(?,?2), 則Y?X???~N(0,1), 故X的分布函數

?X??x????x???F(x)?P{X?x}?P???;???????????b????a???b????a???P{a?X?b}?P??Y??????.??????????????

例題選講：

連續型隨機變量及其概率密度

例1 設隨機變量X的密度函數為

?21?x2,?1?x?1?f(x)???

?0,其它?求其分布函數F(x).例2（講義例1）設隨機變量X具有概率密度

0?x?3,?kx,?x?f(x)??2?,3?x?4，2??其它.?0,(1)確定常數k;(2)求X的分布函數F(x);(3)求P{1?X?7/2}.例3（講義例2）設隨機變量X的分布函數為

x?0?0,?F(x)??x2,0?x?1

?1,1?x?求(1)概率P{0.3?X?0.7};

(2)X的密度函數.常用連續型分布

均勻分布

例4（講義例3）某公共汽車站從上午7時起, 每15分鐘來一班車, 即7:00, 7:15, 7:30, 7:45等時刻有汽車到達此站, 如果乘客到達此站時間X是7:00到7:30之間的均勻隨機變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.指數分布

例5（講義例4）某元件的壽命X服從指數分布, 已知其平均壽命為1000小時，求3個這樣的元件使用1000小時, 至少已有一個損壞的概率.正態分布

例6（講義例5）設X~N(1,4), 求 F(5),P{0?X?1.6},P{|X?1|?2}.例7 設某項競賽成績X~N（65, 100），若按參賽人數的10%發獎，問獲獎分數線應 定為多少？

例8（講義例6）將一溫度調節器放置在貯存著某種液體的容器內，調節器整定在d℃，液體的溫度X（以℃計）是一個隨機變量，且 X~N(d,0.52)

(1)若 d?90℃，求X小于89℃ 的概率；

(2)若要求保持液體的溫度至少為80℃的概率不低于0.99，問d至少為多少？

例9（講義例7）某企業準備通過招聘考試招收300名職工,其中正式工280人, 臨時工20人;報考的人數是1657人, 考試滿分是400分.考試后得知, 考試總平均成績, 即??166分, 360分以上的高分考生31人.某考生B得256分, 問他能否被錄取? 能否被聘為正式工?

例10（講義例8）在電源電壓不超過200伏，在200~240伏和超過240伏三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2.假設電源電壓X服從正態分布N(220，25)，試求：

(1)該電子元件損壞的概率?;(2)該電子元件損壞時，電源電壓在200~240伏的概率?.2

課堂練習

1.已知X~N(8,0.52)，求(1)F(9),F(7);

(3)P{|X?8|?1};

(2)P{7.5?X?10};

(4)P{|X?9|?0.5}.2.某種型號電池的壽命X近似服從正態分布N(?,?2), 已知其壽命在250小時以上的概率和壽命不超過350小時的概率均為92.36%, 為使其壽命在??x和??x之間的概率不小于0.9, x至少為多少?

第五節 隨機變量函數的分布

講解注意：

一、隨機變量的函數

定義 如果存在一個函數g(X), 使得隨機變量X,Y滿足: Y?g(X), 則稱隨機變量Y是隨機變量X的函數.注: 在微積分中,我們討論變量間的函數關系時, 主要研究函數關系的確定性特征, 例如:導數、積分等.而在概率論中, 我們主要研究是隨機變量函數的隨機性特征, 即由自變量X的統計規律性出發研究因變量Y的統計性規律.一般地, 對任意區間I, 令C?{x|g(x)?I}, 則

{Y?I}?{g(x)?I}?{X?C}, P{Y?I}?P{g(x)?I}?P{X?C}.注: 隨機變量Y與X的函數關系確定,為從X的分布出發導出Y的分布提供了可能.二、離散型隨機變量函數的分布 設離散型隨機變量X的概率分布為

P{X?xi}?pi,i?1,2,?

易見, X的函數Y?g(X)顯然還是離散型隨機變量.如何由X的概率分布出發導出Y的概率分布? 其一般方法是：先根據自變量X的可能取值確定因變量Y的所有可能取值, 然后對Y的每一個可能取值yi,i?1,2,?,確定相應的Ci?{xj|g(xj)?yi},于是

{Y?yi}?{g(xi)?yi}?{X?Ci}，P{Y?yi}?P{X?Ci}?xj?Ci?P{X?x}.j從而求得Y的概率分布.三、連續型隨機變量函數的分布

一般地, 連續型隨機變量的函數不一定是連續型隨機變量, 但我們主要討論連續型隨機變量的函數還是連續型隨機變量的情形, 此時我們不僅希望求出隨機變量函數的分布函數, 而且還希望求出其概率密度函數.設已知X的分布函數FX(x)或概率密度函數fX(x), 則隨機變量函數Y?g(X)的分布函數可按如下方法求得: FY(y)?P{Y?y}?P{g(X)?y}?P{X?Cy}.其中Cy?{x|g(x)?y}.而P{X?Cy}常常可由X的分布函數FX(x)來表達或用其概率密度函數fX(x)的積分來表達:

P{X?Cy}??CyfX(x)dx

進而可通過Y的分布函數FY(x), 求出Y的密度函數.定理1

設隨機變量X具有概率密度fX(x),x?(??,??),又設y?g(x)處處可導且恒有g?(x)?0(或恒有g?(x)?0), 則Y?g(X)是一個連續型隨機變量,其概率密度為

?f[h(y)|h?(y)|,??y??fY(y)??

0,其它?其中x?h(y)是y?g(x)的反函數, 且

??min(g(??),g(??)),??max(g(??),g(??)).例題選講：

離散型隨機變量函數的分布

例1（講義例1）設隨機變量X具有以下的分布律, 試求Y?(X?1)2的分布律.X?1012

pi0.20.30.10.4

連續型隨機變量函數的分布

例2（講義例2）對一圓片直徑進行測量, 其值在[5, 6]上均勻分布, 求圓片面積的概率分布密度.?x/8,0?x?4例3（講義例3）設X~fX(x)??, 求Y?2X?8的概率密度.0,其它?例4 設X~N(0,1), 求Y?X2的密度函數.例5（講義例4）已知隨機變量X的分布函數F(x)是嚴格單調的連續函數, 證明Y?F(X)服從[0,1]上的均勻分布.例6（講義例5）設隨機變量X~N(?,?2).試證明X的線性函數Y?aX?b(a?0)也服從正態分布.例7（講義例6）設隨機變量X在(0,1)上服從均勻分布, 求Y??2lnX的概率密度.例8（講義例8）(對數正態分布)隨機變量X稱為服從參數為?,?2的對數正態分布, 如果Y?lnX服從正態分布N(?,?2).試求對數正態分布的密度函數.注： 在實際中, 通常用對數正態分布來描述價格的分布, 特別是在金融市場的理論研究中, 如著名的期權定價公式（Black—Scholes公式）, 以及許多實證研究都用對數正態分布來描述金融資產的價格.設某種資產當前價格為P0, 考慮單期投資問題, 到期時該資產的價格為一個隨機變量, 記作P1, 設投資于該資產的連續復合收益率為r, 則有

rP1?P0e

從而

r?lnP1?lnP1?lnP0 P0注意到P0為當前價格, 是已知常數,因而假設價格P1服從對數正態分布實際上等價于假設連續復合收益率r服從正態分布.例9（講義例7）設隨機變量X服從參數為?的指數分布, 求Y?min{X,2}的分布函數.課堂練習

1.設X的分布列為

X?10125/2

pi1/51/101/101/103/10試求:(1)2X的分布列;

(2)X2的分布列.2.設隨機變量X的概率密度為

?2x/?2,0?x??,f(x)??

其它.?0,求Y?sinX的概率密度.