第一篇：【課標(biāo)解讀】核心概念二-符號(hào)意識(shí)

【課標(biāo)解讀】核心概念二－符號(hào)意識(shí)

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符號(hào)對(duì)于數(shù)學(xué)來說是特有的。它既是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，也是數(shù)學(xué)的工具，更是數(shù)學(xué)的方法。數(shù)學(xué)符號(hào)的功能特性是多方面的：它具有抽象性，這使得數(shù)學(xué)能夠超越于數(shù)學(xué)對(duì)象的具體屬性，而從形式化的角度進(jìn)行邏輯推演，并一步步把數(shù)學(xué)引向深入；它具有明確性，某一數(shù)學(xué)符號(hào)的意義一旦被賦予，它就在這確定的意義下被運(yùn)用，不會(huì)含糊，不會(huì)產(chǎn)生歧義，從而帶來數(shù)學(xué)極大的嚴(yán)謹(jǐn)性；它具有可操作性，數(shù)學(xué)過程往往體現(xiàn)于數(shù)學(xué)符號(hào)之間的“運(yùn)算”。針對(duì)這種“運(yùn)算”的算法是形式化的，“幾乎是自動(dòng)化的，不需要每次都從頭做起”。此外數(shù)學(xué)符號(hào)還具有簡(jiǎn)略性和通用性等特點(diǎn)。正因?yàn)槿绱耍瑪?shù)學(xué)符號(hào)在數(shù)學(xué)發(fā)展中起著舉足輕重的作用。法國(guó)數(shù)學(xué)家讓·迪多內(nèi)在《論數(shù)學(xué)的進(jìn)展》一文中將“引進(jìn)好的符號(hào)”作為促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要原因之一。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，將無(wú)時(shí)無(wú)刻不與符號(hào)打交道，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的語(yǔ)言、工具、方法的功能和上述特性的認(rèn)識(shí)事實(shí)上構(gòu)成了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)符號(hào)、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)能力的培養(yǎng)也成為重要的教學(xué)目標(biāo)。

一、《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中符號(hào)意識(shí)所包含的內(nèi)容

此次修訂，將原來的“符號(hào)感”改為了“符號(hào)意識(shí)”，這兩個(gè)稱謂就其英文表述來看沒有變化，而中文表述將“感”改為“意識(shí)”應(yīng)該說其意義與課程目標(biāo)的價(jià)值取向和數(shù)學(xué)符號(hào)的本質(zhì)意義要求更加吻合。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無(wú)論是概念、命題學(xué)習(xí)還是問題解決，都涉及用符號(hào)去表征數(shù)學(xué)對(duì)象，并用符號(hào)去進(jìn)行運(yùn)算、推理，得到一般性的結(jié)論。在這個(gè)過程中，數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)于學(xué)習(xí)者來說主要的還不是潛意識(shí)、直覺或感覺，而是一種主動(dòng)的使用符號(hào)的心理傾向。所以用“意識(shí)”更準(zhǔn)確些。

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)符號(hào)意識(shí)的表述有這樣幾層意思值得我們體會(huì)：

1．能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的這個(gè)要求針對(duì)的是符號(hào)表示，它有兩層意思：一是能夠理解符號(hào)所表示的意義；二是能夠運(yùn)用符號(hào)去表示數(shù)學(xué)對(duì)象（數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律等）。

每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)都有它特定的含義，如“+，-，×，÷”分別表示特定的運(yùn)算意義，“=，≈，>”則表示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的某種關(guān)系。使學(xué)生理解符號(hào)的意義是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的最基本的要求，也是符號(hào)意識(shí)的最基本要求。由于數(shù)學(xué)符號(hào)是一種特殊的語(yǔ)言，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的理解也有其固有的特點(diǎn)和要求：因?yàn)榉?hào)具有一定抽象度，對(duì)符號(hào)的認(rèn)識(shí)和理解就不應(yīng)是形式上的，而應(yīng)是實(shí)質(zhì)上的，即應(yīng)從抽象的符號(hào)本身看到其所表征的準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)意義；由于符號(hào)具有壓縮信息的功能，所以對(duì)符號(hào)的意義的理解就不應(yīng)是片面的，而應(yīng)是全面的、完整的。特別是將符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為我們所熟悉的生活語(yǔ)言時(shí)，應(yīng)該抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)予以解讀和表征；由于數(shù)學(xué)符號(hào)具有概括性和一般性特征，所以對(duì)它的認(rèn)識(shí)和理解又不應(yīng)是孤立的、僵化的，比如應(yīng)注意符號(hào)與符號(hào)之間的關(guān)聯(lián)（如“+”與“×”之間的關(guān)系），也應(yīng)注意同一符號(hào)的多重意義的理解（如y=ax既可表示矩形面積與長(zhǎng)、寬關(guān)系，也可表示平行四邊形面積與底、高的關(guān)系，也可表示路程與時(shí)間、速度的關(guān)系，也可表示總價(jià)與單價(jià)、數(shù)量之間的關(guān)系，還可表示半圓周長(zhǎng)與圓周率、半徑的關(guān)系……）。

對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)不僅要“懂”，還要會(huì)“用”。運(yùn)用符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象就是“用”符號(hào)的重要方面。這里的數(shù)學(xué)對(duì)象主要指數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，它們?cè)诟鱾€(gè)學(xué)段都有自己特定的要求。關(guān)于用符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象這里著重指出兩點(diǎn)：一是要注意義務(wù)教育階段整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生用符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象是一個(gè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由相對(duì)具體到相對(duì)抽象的過程。比如用數(shù)字符號(hào)表示現(xiàn)實(shí)中的多少，用單一的運(yùn)算符號(hào)表汞數(shù)字運(yùn)算關(guān)系，其抽象度顯然不及用字母代替數(shù)及用字母表示數(shù)量關(guān)系，后者對(duì)前者來說是一個(gè)階段性的變化。而用符號(hào)關(guān)系式或一定的數(shù)學(xué)模式語(yǔ)言去表示特定的數(shù)學(xué)變化規(guī)律則又更為抽象和復(fù)雜。這表明關(guān)于數(shù)學(xué)表達(dá)的符號(hào)意識(shí)的發(fā)展是一個(gè)逐漸積累變化的過程。二是數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)是多樣化的，比如關(guān)系式、表格、圖象等都是表達(dá)數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的符號(hào)工具，有時(shí)，即使是同一數(shù)學(xué)對(duì)象也可采用多種符號(hào)予以表達(dá)。而多種符號(hào)表達(dá)方式之間也是可以轉(zhuǎn)換的。符號(hào)表達(dá)上的這些特點(diǎn)值得我們?cè)诮虒W(xué)中關(guān)注。

例1（《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》例9）在下列橫線上：填上合適適的數(shù)字、字母或圖形，并說明理由。

通過觀察規(guī)律，使第一學(xué)段學(xué)生能夠感悟到：對(duì)于有規(guī)律的事物，無(wú)論是用數(shù)字還是字母或圖形都可以反映相同的規(guī)律，只是表達(dá)形式不同而已。

2．知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性

這一點(diǎn)很重要。從某種意義上說這正是符號(hào)意識(shí)作為一種“意識(shí)”需要強(qiáng)化的。這一要求的核心是基于運(yùn)算和推理的符號(hào)“操作”意識(shí)。由于運(yùn)算和推理是數(shù)學(xué)活動(dòng)最重要的基本形式，所以《課程標(biāo)準(zhǔn)2011年版）》的這一要求是希望在各學(xué)段學(xué)習(xí)中，都加強(qiáng)學(xué)生在邏輯法則下使用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算、推理的訓(xùn)練，這涉及的類型較多，如對(duì)具體問題的符號(hào)表示、變量替換、關(guān)系轉(zhuǎn)換、等價(jià)推演、模型抽象及模型解決等。

3．使學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式

數(shù)學(xué)表達(dá)是學(xué)生在解決具體問題時(shí)必須采用的方式，數(shù)學(xué)表達(dá)實(shí)質(zhì)上就是以數(shù)學(xué)符號(hào)作為媒介的一種語(yǔ)言表達(dá)。通過培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力成為當(dāng)今課堂關(guān)注的目標(biāo)。

比如這樣一個(gè)問題：“某書定價(jià)8元，如果一次購(gòu)買10本以上，超過10本部分打八折。分析并表示購(gòu)書數(shù)量與付款金額之間的關(guān)系。”顯然，購(gòu)書數(shù)量與付款金額之間呈函數(shù)關(guān)系（分段函數(shù)），為了解決問題的方便，我們可以分別采用函數(shù)關(guān)系式、列表、作出圖象等多種符號(hào)表達(dá)方式來表示這一具體問題。

發(fā)展符號(hào)意識(shí)最重要的是運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，我們不妨把這種思考稱為“符號(hào)思考”，這種思考是數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)模型等基本數(shù)學(xué)思想的集中反映，是最具數(shù)學(xué)特色的思維方式。

舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：“房間里有4條腿的椅子和3條腿的凳子共16個(gè)，如果椅子腿數(shù)和凳子腿數(shù)加起來共有60條，那么有幾把椅子和幾個(gè)凳子？”如果學(xué)生沒有經(jīng)過專門的“雞兔同籠”解題模式的思維訓(xùn)練，他完全可以使用恰當(dāng)?shù)姆?hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，找到解題思路。如可以用表格分析椅子數(shù)的變化引起凳子數(shù)和腿總數(shù)的變化規(guī)律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或二元一次方程組的、關(guān)于字母的思考方式來加以解決。

三、關(guān)于學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)

１.在各學(xué)段緊密結(jié)合概念、命題、公式的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)

概念、命題、公式是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的重要組成部分，它們常常是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，而它們又和數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)和使用密切相關(guān)。正因?yàn)槿绱耍墩n程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在學(xué)段目標(biāo)和各學(xué)段課程內(nèi)容中都提出了具體要求。如：“理解符號(hào),=,>的含義，能用符號(hào)和詞語(yǔ)描述萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的大小”，“認(rèn)識(shí)小括號(hào)”（第一學(xué)段）；“認(rèn)識(shí)中括號(hào)”“在具體情境中能用字母表示數(shù)”“結(jié)合簡(jiǎn)單的實(shí)際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示”“能用方程表示簡(jiǎn)單情境中的等量關(guān)系”（第二學(xué)段）；“能分析具體問題中的簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示”“通過用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會(huì)模型的思想，建立符號(hào)意識(shí)”（第三學(xué)段）。

2．結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)

一方面，盡可能通過實(shí)際問題或現(xiàn)實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)、幫助學(xué)生理解符號(hào)以及表達(dá)式、關(guān)系式的意義，或引導(dǎo)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)情境問題進(jìn)行符號(hào)的抽象和表達(dá)；另一方面，對(duì)某一特定的符號(hào)表達(dá)式啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行多樣化的現(xiàn)實(shí)意義的填充和解讀。這種建立在現(xiàn)實(shí)情境與符號(hào)化之間的雙向過程，有利于增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)符號(hào)思維的變通性、遷移性和靈活性。3．在數(shù)學(xué)問題解決過程中發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)

符號(hào)意識(shí)更多地表現(xiàn)為以學(xué)生為主體的一種主動(dòng)用符號(hào)的意識(shí)，因此，符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)僅靠一些單純的符號(hào)推演訓(xùn)練和模仿記憶是難以達(dá)到應(yīng)有的效果的。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，提出問題（這實(shí)際上需要運(yùn)用符號(hào)抽象和表達(dá)問題）、分析問題、解決問題（這實(shí)際上是使用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算、推理和數(shù)學(xué)思考）的全過程，在這一過程中積累運(yùn)用符號(hào)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更好地感悟符號(hào)所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想本質(zhì)。逐步促進(jìn)學(xué)生符號(hào)意識(shí)得到提高。

（本文節(jié)選自《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)解讀》 教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì) 組織編寫）更多教育資訊請(qǐng)點(diǎn)擊“閱讀原文”

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第二篇：《課標(biāo)解讀》第六章 關(guān)于《標(biāo)準(zhǔn)》中的10個(gè)核心概念

《課標(biāo)解讀》第六章 關(guān)于《標(biāo)準(zhǔn)》中的10個(gè)核心概念

稿源：2011版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》

作者：2011版課標(biāo)解讀專家組

第六章

關(guān)于《標(biāo)準(zhǔn)》中的10個(gè)核心概念

在總結(jié)前期實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過廣泛聽取各方意見和建議，此次《標(biāo)準(zhǔn)》提出了10個(gè)核心概念。這就是：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。

核心概念有何意義呢？首先應(yīng)該注意到，這些核心概念的內(nèi)涵在性質(zhì)上是體現(xiàn)的學(xué)習(xí)主體——學(xué)生的特征，它們涉及的是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)該建立和培養(yǎng)的關(guān)于數(shù)學(xué)的感悟、觀念、意識(shí)、思想、能力等，因此，可以認(rèn)為，它們是學(xué)生在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中最應(yīng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的重要方面。

第二，《標(biāo)準(zhǔn)》將這些核心概念放在課程內(nèi)容設(shè)計(jì)欄目下提出，是想表明，這些概念不是設(shè)計(jì)者超乎于數(shù)學(xué)課程內(nèi)容之上外加的，而是實(shí)實(shí)在在蘊(yùn)涵于具體的課程內(nèi)容之中，或者與課程內(nèi)容緊密結(jié)合的。從這一意義上看，核心概念往往是一類課程內(nèi)容的核心或聚焦點(diǎn)，它有利于我們把握課程內(nèi)容的線索和層次，抓住教學(xué)中的關(guān)鍵。并在數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)中有機(jī)地去發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

第三，深入一步講，核心概念本質(zhì)上體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的基本思想。數(shù)學(xué)的基本思想指對(duì)數(shù)學(xué)及其對(duì)象、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)基本思想集中反映為數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)模型思想。這些思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要目標(biāo)。不難看出，核心概念對(duì)數(shù)學(xué)基本思想的體現(xiàn)是鮮明的。比如，與“數(shù)與代數(shù)”部分內(nèi)容直接關(guān)聯(lián)的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度的直接體現(xiàn)了抽象、推理和模型的基本思想要求。這啟示我們，核心概念的教學(xué)要更關(guān)注其數(shù)學(xué)思想本質(zhì)。

第四，這些核心概念都是數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)點(diǎn)，也應(yīng)該成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目標(biāo)，并通過教師的教學(xué)予以落實(shí)。僅以“數(shù)學(xué)思考”和“問題解決”部分的目標(biāo)設(shè)定來看，《標(biāo)準(zhǔn)》就提出了：“建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力”；“發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機(jī)現(xiàn)象”；“發(fā)展合情推理和演繹推理能力”；“增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力”；“體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)”。這些目標(biāo)表述幾乎涵蓋了所有的核心概念。綜上所述，把握好這些核心概念無(wú)論對(duì)于教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)都是極為重要的。

第一節(jié)

數(shù)感

一般人提起數(shù)感，總感到它是比較玄乎的。也有人質(zhì)疑，像數(shù)感這種因人的感覺而異的、較“虛”的東西有必要作為核心概念提出來嗎？一些老師也感到數(shù)感作為課堂教學(xué)目標(biāo)不好把握。這些情況說明，我們有加強(qiáng)對(duì)數(shù)感認(rèn)識(shí)的必要。

一、兩個(gè)實(shí)例給人的啟示

實(shí)例一： 2010年2月25日，國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的《2009年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示：我國(guó)70個(gè)大中城市房屋銷售價(jià)格同比上漲1.5%，其中新建住宅價(jià)格上漲1.3%。此報(bào)告一出立刻引起全國(guó)一片嘩然。公眾普遍反映此數(shù)據(jù)與實(shí)際狀況嚴(yán)重不符。面對(duì)公眾質(zhì)疑，國(guó)家統(tǒng)計(jì)局召開緊急會(huì)議，討論統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來源是否真實(shí)可靠？統(tǒng)計(jì)方法是否科學(xué)？輿論提出的一個(gè)問題是：不論統(tǒng)計(jì)部門統(tǒng)計(jì)方式是否科學(xué)，為何公眾對(duì)房?jī)r(jià)的感覺與統(tǒng)計(jì)結(jié)果是大相徑庭的呢？此例說明數(shù)感的確是存在的，它與公眾的社會(huì)生活息息相關(guān)，并已成為現(xiàn)代社會(huì)公民所具有的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一部分。

實(shí)例二：一老師在教學(xué)指數(shù)冪的意義時(shí)，拋出一個(gè)現(xiàn)實(shí)情境問題：將一張紙對(duì)折32次，它的厚度有多大呢？老師給出的結(jié)論使學(xué)生在感到驚訝之余，更表示出強(qiáng)烈的質(zhì)疑。該問題的結(jié)論是：其厚度可以超過世界最高峰珠穆朗瑪峰的高度。毫無(wú)疑問，這樣的問題會(huì)像磁石一樣，緊緊吸引學(xué)生的注意力，使學(xué)生產(chǎn)生一種“不見結(jié)果不信服”的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力。此例就其實(shí)質(zhì)看，教師在這里利用的是，學(xué)生基于實(shí)際操作（將紙對(duì)折若干次）所建立起來的對(duì)

的直觀感覺與數(shù)學(xué)科學(xué)計(jì)算得出的結(jié)果之間的巨大反差，由此創(chuàng)設(shè)出一個(gè)生動(dòng)的極富吸引力的學(xué)習(xí)環(huán)境。這一實(shí)例說明，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，其固有的數(shù)感不僅在起作用，而且老師若能適時(shí)地利用學(xué)生原有數(shù)感的特點(diǎn)，使其形成課堂教學(xué)中的認(rèn)知沖突，則能大大提高課堂教學(xué)的效率。

二、對(duì)數(shù)感的基本認(rèn)識(shí) “數(shù)感”一詞的英文表述為“Number Sense”，可翻譯為多種意思，如感覺、感官、理念、意識(shí)、領(lǐng)悟等等。那么，反映在數(shù)學(xué)課程中的數(shù)感基本內(nèi)涵究竟應(yīng)該如何理解呢？事實(shí)上，在這一點(diǎn)上人們的認(rèn)識(shí)仍然是多元的。

1.一些關(guān)于數(shù)感內(nèi)涵的說法。

因篇幅所限，這里不一一詳述國(guó)內(nèi)外關(guān)于數(shù)感的種種說法，只將其做大致的梳理。歸納成這樣幾類：其一，認(rèn)為數(shù)感是“關(guān)于數(shù)字（量）的一種直覺”；其二，認(rèn)為數(shù)感與語(yǔ)感、方向感、美感等類似，都會(huì)有一種“直感”的涵義，具有對(duì)特定對(duì)象的一種敏感性及相關(guān)的鑒別（鑒賞）能力；其三，認(rèn)為數(shù)感是一種主動(dòng)地、自覺地或自動(dòng)化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度和意識(shí)，是一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；其四，認(rèn)為數(shù)感包含感覺、知覺、觀念、能力，可以用“知識(shí)”來統(tǒng)一指稱，這一知識(shí)是程序性的、內(nèi)隱的、非結(jié)構(gòu)性的。

2．《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)感的表述

課標(biāo)實(shí)驗(yàn)稿首次明確提出了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感，但未對(duì)數(shù)感內(nèi)涵做解釋，而是采用外延描述的方式，提出“數(shù)感主要表現(xiàn)在：理解數(shù)的意義；能用多種方法來表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系；能用數(shù)來表達(dá)和交流信息；能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ荒芄烙?jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性作出解釋。”

在新課程實(shí)驗(yàn)中，廣大第一線教師在課堂教學(xué)實(shí)踐中對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感做了許多有益的探討，也形成了不少研究成果。此次修訂，認(rèn)真聽取了各方意見，吸納了前期實(shí)驗(yàn)研究的一些成果，重新對(duì)數(shù)感的內(nèi)涵及功能作了表述。《標(biāo)準(zhǔn)》的提法是：“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。”

將數(shù)感表述為感悟不僅使這一概念有了較大的包容性，也使得這一概念有了更實(shí)在的意義，有利于一線教師的理解和把握。在前期課程實(shí)施中，人們對(duì)數(shù)感內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)較多強(qiáng)調(diào)其直覺、感知、潛意識(shí)、經(jīng)驗(yàn)等方面，在教學(xué)中教師也常常有“虛無(wú)縹緲”之感，找不到教學(xué)支點(diǎn)。將數(shù)感表述為感悟，揭示了這一概念的兩重屬性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、領(lǐng)悟。“‘感’是外界刺激作用于主體而產(chǎn)生的，是通過肢體（如感官等）而不是通過大腦思維，它含有原始的、經(jīng)驗(yàn)性的成分。‘悟’是主體自身的，是通過大腦思維而產(chǎn)生的。‘感悟’是既通過肢體又通過大腦，因此，既有感知的成分又有思維的成分。”（史寧中，呂世虎，《對(duì)數(shù)感及其教學(xué)的思考》數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006年2期）

《標(biāo)準(zhǔn)》將這種對(duì)數(shù)的感悟歸納為三個(gè)方面：數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)，這主要是基于義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的范圍并根據(jù)學(xué)生的實(shí)際所作出的要求，這有利于教師在教學(xué)中更好地把握數(shù)感培養(yǎng)的幾條主線。

關(guān)于數(shù)與數(shù)量。在小學(xué)低段，兒童對(duì)數(shù)的感悟是從數(shù)數(shù)學(xué)習(xí)辨認(rèn)各組實(shí)物對(duì)象的多少開始建立的。這是一個(gè)逐漸展開的過程。兒童對(duì)多少的感悟離不開具體的情境，這樣他就需經(jīng)歷一個(gè)察覺實(shí)物集合中所包含的物體數(shù)量多少的過程，從而積累并形成對(duì)量的多少的感知。學(xué)習(xí)用數(shù)表示多少的第一步就是數(shù)數(shù)，即用自然數(shù)表示多少。在數(shù)數(shù)的過程中，他們能把數(shù)量詞與其代表的少量物體聯(lián)系起來，逐漸過渡到數(shù)大量的物體；與此同時(shí)他們會(huì)形成這樣的經(jīng)驗(yàn)：數(shù)數(shù)的順序不會(huì)改變數(shù)的結(jié)果；數(shù)的過程中下一個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)多一；數(shù)數(shù)中的最后一個(gè)數(shù)不但代表這個(gè)數(shù)，也代表了這組物體的總數(shù)（事實(shí)上就是序數(shù)與基數(shù)相等）。隨著學(xué)習(xí)年級(jí)的增高，學(xué)生還會(huì)經(jīng)歷更多的對(duì)數(shù)意義的感悟，如對(duì)分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)??，并形成對(duì)數(shù)的各種表征方式，比如，他們會(huì)知道1/4，25%，0.25是同一個(gè)數(shù)的不同表示。對(duì)數(shù)與數(shù)量建立起來的數(shù)感常常與實(shí)際情境關(guān)聯(lián)，比如對(duì)數(shù)量單位的認(rèn)識(shí)，提起教室的長(zhǎng)度，應(yīng)該想到米，提到兩個(gè)城市的距離則應(yīng)該想到公里（千米），同樣，一個(gè)小學(xué)生會(huì)質(zhì)疑一個(gè)宣傳牌中所說“7000平方米森林中生活著兩只東北虎”是否成立？結(jié)合實(shí)際情境，學(xué)生的數(shù)感起到了判斷的作用（本文開始的實(shí)例一也說明了這一點(diǎn)）。

關(guān)于數(shù)量關(guān)系。這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的另一個(gè)層次。不同年齡段的學(xué)生在理解了所學(xué)數(shù)的意義及表征后，他就具備了理解一定數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)。比如學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念后，會(huì)建立起整體與部分之間關(guān)系的感悟，依賴于具體情境或圖形，會(huì)分辨兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，“隨著他們數(shù)感的增強(qiáng)，學(xué)生應(yīng)該能夠用數(shù)進(jìn)行推理。例如‘1/2+3/8’一定小于1，因?yàn)槊總€(gè)加數(shù)都小于或等于1/2。”（《美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標(biāo)準(zhǔn)》，蔡金發(fā)等譯，人民教育出版社，2004年12月，第33頁(yè)）。隨著年級(jí)的升高和數(shù)系的擴(kuò)展，學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的感悟會(huì)逐步提升，比如對(duì)有理數(shù)的大小，以至于一些函數(shù)所表示的數(shù)量關(guān)系的感悟。學(xué)生對(duì)一些相對(duì)綜合，而顯得復(fù)雜一點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系的感悟是常常伴隨著具體的問題情境而展開的。比如，具有一定數(shù)感的學(xué)生坐上出租車，他不會(huì)對(duì)車上的計(jì)程器熟視無(wú)睹，他會(huì)關(guān)注跳動(dòng)的數(shù)碼，并對(duì)數(shù)碼變動(dòng)的間隔時(shí)間、出租車已行路程、起步價(jià)以及每公里價(jià)、到達(dá)目的地的路程等等數(shù)量及相互關(guān)系在頭腦中作出反應(yīng)，并形成判斷。這里的數(shù)感是對(duì)具體問題所涉及的數(shù)量關(guān)系的整體把握。

關(guān)于運(yùn)算結(jié)果估計(jì)。這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感很重要的一個(gè)方面。數(shù)的運(yùn)算是數(shù)學(xué)課程中所占學(xué)時(shí)較多的內(nèi)容，過去，這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)我們更多的是關(guān)注運(yùn)算法則的掌握和運(yùn)算技能的訓(xùn)練，其實(shí)通過運(yùn)算培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)和能力，以此發(fā)展學(xué)生的數(shù)感也應(yīng)該成為課程教學(xué)的目標(biāo)。所以，《標(biāo)準(zhǔn)》在課程內(nèi)容中特別是“數(shù)與代數(shù)”部分多處提到估計(jì)及估算的要求。如，“在生活情境中感受大數(shù)的意義并能進(jìn)行估計(jì)”，“能結(jié)合具體情境，選擇恰當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單估算，體會(huì)估算在生活中的作用”（一學(xué)段）；“在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進(jìn)行估算”，“會(huì)根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格子上畫圖，會(huì)根據(jù)其中一個(gè)量的值估計(jì)另一個(gè)量的值”（二學(xué)段）；“能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍”（三學(xué)段）。其實(shí)，對(duì)運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)涉及的因素很多：對(duì)參與運(yùn)算的數(shù)與量意義及關(guān)系的理解、對(duì)運(yùn)算方法的選擇與判斷、對(duì)運(yùn)算方式角度的把握、對(duì)具體情境的數(shù)量化的處理等等，所以，對(duì)運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)反映的是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象更為綜合的數(shù)感。

三、關(guān)于學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)

數(shù)感既然是對(duì)數(shù)的一種感悟，它就不會(huì)象知識(shí)、技能的習(xí)得那樣立竿見影，它需要在教學(xué)中潛移默化，積累經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷一個(gè)逐步建立、發(fā)展的過程。

1、重視低段學(xué)生對(duì)數(shù)的感覺的建立，并在數(shù)感培養(yǎng)上處理好階段性和發(fā)展性的關(guān)系

在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感在第一學(xué)段是重點(diǎn)。《標(biāo)準(zhǔn)》在第一學(xué)段目標(biāo)中明確指出：“在運(yùn)用數(shù)及適當(dāng)?shù)亩攘繂挝幻枋霈F(xiàn)實(shí)生活中的簡(jiǎn)單現(xiàn)象，以及對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行估計(jì)的過程中，發(fā)展數(shù)感。”這一學(xué)段教學(xué)要選擇適合學(xué)生年齡特征的方式，提供實(shí)物，聯(lián)系身邊具體事物，觀察操作、游戲等都是較好的方式。比如剛?cè)雽W(xué)的兒童在認(rèn)識(shí)10以內(nèi)數(shù)的時(shí)候，應(yīng)該通過實(shí)數(shù)、圖片等，將數(shù)與物對(duì)應(yīng)起來；以后在認(rèn)識(shí)20以內(nèi)、100以內(nèi)的數(shù)時(shí)，可以對(duì)具體實(shí)物通過估一估、數(shù)一數(shù)等活動(dòng)幫助學(xué)生形成對(duì)

十、百等數(shù)量大小的感覺，如數(shù)100粒黃豆、100根小棒，估計(jì)教室里的學(xué)生人數(shù)，估計(jì)一堆水果的數(shù)量等。我們還可以就同一個(gè)數(shù)在實(shí)際生活中的多種意義所表現(xiàn)的數(shù)量來加強(qiáng)對(duì)數(shù)的感知。比如1200張紙大約有多厚？你的1200步大約有多長(zhǎng)？1200名學(xué)生站成做廣播操的隊(duì)形需要多大的場(chǎng)地？類似這樣的問題可讓學(xué)生舉一反三。

應(yīng)結(jié)合每一學(xué)段的具體教學(xué)內(nèi)容，逐步提升和發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。比如在二學(xué)段應(yīng)結(jié)合學(xué)生所熟悉的現(xiàn)實(shí)素材感受大數(shù)的意義，并能對(duì)一些問題進(jìn)行估算；能了解負(fù)數(shù)的意義，用負(fù)數(shù)表示日常生活的問題，建立起對(duì)負(fù)數(shù)的數(shù)感。在第三學(xué)段，隨著對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)領(lǐng)域的擴(kuò)大以及數(shù)的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累，可以引導(dǎo)學(xué)生在較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系和運(yùn)算問題中提升數(shù)感，發(fā)展更為良好的數(shù)感品質(zhì)。

2、緊密結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活情境和實(shí)例，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感

現(xiàn)實(shí)生活情境和實(shí)例，與學(xué)生的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)密切相連，不僅能夠?yàn)閷W(xué)生提供真實(shí)自然的數(shù)的感悟環(huán)境，也能讓學(xué)生在數(shù)的認(rèn)知上經(jīng)歷由具體到抽象的過程，逐步發(fā)展學(xué)生關(guān)于數(shù)的思維。反之，學(xué)生數(shù)感的提升也使得他們能用數(shù)字的眼光看周圍世界，正如《標(biāo)準(zhǔn)》所說：“建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。”

比如，讓學(xué)生通過調(diào)查、討論，弄清楚自己的學(xué)號(hào)、地區(qū)郵編號(hào)、汽車牌照號(hào)、身份證編號(hào)的規(guī)律和意義。如下的一個(gè)問題更是能讓學(xué)生感到，建立良好的數(shù)感，對(duì)數(shù)字信息作出合理解釋與推斷的重要：火車票上車次號(hào)有兩個(gè)含義，一是數(shù)字越小表示車速越快，1~98次為特快車，101~198次為直快車，301~398次為普快車，401~598次為普客車；二是單數(shù)表示從北京開出，雙數(shù)表示開往北京，現(xiàn)在有一張車票的車次號(hào)為122，它能給你什么信息？

3、讓學(xué)生多經(jīng)歷有關(guān)數(shù)的活動(dòng)過程，逐步積累數(shù)感經(jīng)驗(yàn)

在具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生能動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口，多種感官協(xié)調(diào)活動(dòng)，加之能相互交流，這對(duì)強(qiáng)化感知和思維，積累數(shù)感經(jīng)驗(yàn)非常有益。比如，組織學(xué)生參加調(diào)查活動(dòng)，讓學(xué)生調(diào)查：從你家到學(xué)校的路程大約有多遠(yuǎn)？你上學(xué)大約要多少時(shí)間？教室面積有多大？學(xué)校食堂有多大？你家住房多少平方米？你所在城市有多少人口？如何測(cè)量一張紙的厚度？還可組織學(xué)生針對(duì)一周出版的某種報(bào)紙討論中間出現(xiàn)了哪些與數(shù)、數(shù)量、運(yùn)算有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，分別表述這些問題中關(guān)于數(shù)的意義作用，如何用數(shù)來解決這些具體問題等等。這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)有利于學(xué)生在相互交流中從多角度去感悟數(shù)，豐富自己的數(shù)感經(jīng)驗(yàn)。

第二節(jié) 符號(hào)意識(shí)

符號(hào)對(duì)于數(shù)學(xué)來說是特有的。它既是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，也是數(shù)學(xué)的工具，更是數(shù)學(xué)的方法。數(shù)學(xué)符號(hào)的功能特性是多方面的：它具有抽象性，這使得數(shù)學(xué)能夠超越于數(shù)學(xué)對(duì)象的具體屬性，而從形式化的角度進(jìn)行邏輯推演，并一步步把數(shù)學(xué)引向深入；它具有明確性，某一數(shù)學(xué)符號(hào)的意義一旦被賦予，它就在這確定的意義下被運(yùn)用，不會(huì)含糊，不會(huì)產(chǎn)生歧義，從而帶來數(shù)學(xué)極大的嚴(yán)謹(jǐn)性；它具有可操作性，數(shù)學(xué)過程往往體現(xiàn)于數(shù)學(xué)符號(hào)之間的“運(yùn)算”。針對(duì)這種“運(yùn)算”的算法是形式化的，“幾乎是自動(dòng)化的，不需要每次都從頭做起”。（迪多內(nèi)《論數(shù)學(xué)的進(jìn)展》，載《數(shù)學(xué)史譯文集》上海科技出版社，1980年版，126頁(yè)）；此外數(shù)學(xué)符號(hào)還具有簡(jiǎn)略性和通用性等特點(diǎn)。正因?yàn)槿绱耍瑪?shù)學(xué)符號(hào)在數(shù)學(xué)發(fā)展中起著舉足輕重的作用。法國(guó)數(shù)學(xué)家讓﹒迪內(nèi)多在《論數(shù)學(xué)的進(jìn)展》一文中將“引進(jìn)好的符號(hào)”作為促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要原因之一。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，將無(wú)時(shí)無(wú)刻不與符號(hào)打交道，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的語(yǔ)言、工具、方法的功能和上述特性的認(rèn)識(shí)事實(shí)上構(gòu)成了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)符號(hào)、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)能力的培養(yǎng)也成為重要的教學(xué)目標(biāo)。

一、對(duì)符號(hào)意識(shí)的認(rèn)識(shí)

從一般意義上說，所謂符號(hào)就是針對(duì)具體事物對(duì)象而抽象概括出來的一種簡(jiǎn)略的記號(hào)或代號(hào)。數(shù)字、字母、圖形、關(guān)系式等等構(gòu)成了數(shù)學(xué)的符號(hào)系統(tǒng)。符號(hào)意識(shí)（Symbol sense）是學(xué)習(xí)者在感知、認(rèn)識(shí)、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)方面所作出的一種主動(dòng)性反應(yīng)，它也是一種積極的心理傾向。

數(shù)學(xué)符號(hào)最本質(zhì)的意義就在于它是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果。比如，在數(shù)與代數(shù)中，數(shù)來源于對(duì)數(shù)量本質(zhì)（多與少）的抽象，而數(shù)字就成為能夠以大小排序的符號(hào)。與數(shù)的符號(hào)表示一樣，關(guān)于數(shù)的運(yùn)算知識(shí)也是從生活實(shí)踐中加以抽象，逐漸形成法則。這一過程中很重要的一步是使用字母這一符號(hào)來表示抽象運(yùn)算，這使得“可以像對(duì)‘?dāng)?shù)’那樣對(duì)‘符號(hào)’進(jìn)行運(yùn)算，并且，通過符號(hào)運(yùn)算得到的結(jié)果是具有一般性的”（史寧中《數(shù)學(xué)思想概論》，第一輯，地34頁(yè)）。這表明，數(shù)學(xué)符號(hào)不僅是一種表示方式，更是與數(shù)學(xué)概念、命題等具體內(nèi)容相關(guān)的、體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思想的核心概念，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。

二、《標(biāo)準(zhǔn)》中符號(hào)意識(shí)所包含的內(nèi)容

此次標(biāo)準(zhǔn)修訂，將原來的“符號(hào)感”改為了“符號(hào)意識(shí)”，這兩個(gè)稱謂就其英文表述來看沒有變化，而中文表述將“感”改為“意識(shí)”應(yīng)該說其意義與課程目標(biāo)的價(jià)值取向和數(shù)學(xué)符號(hào)的本質(zhì)意義要求更加吻合。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無(wú)論是概念、命題學(xué)習(xí)還是問題解決，都涉及用符號(hào)去表征數(shù)學(xué)對(duì)象，并用符號(hào)去進(jìn)行運(yùn)算、推理，得到一般性的結(jié)論。在這個(gè)過程中，數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)于學(xué)習(xí)者來說主要的還不是潛意識(shí)、直覺或感覺，而是一種主動(dòng)的使用符號(hào)的心理傾向。所以用“意識(shí)”更準(zhǔn)確些。

《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)符號(hào)意識(shí)的表述有這樣幾層意思值得我們體會(huì)： 1.能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律

《標(biāo)準(zhǔn)》中的這個(gè)要求針對(duì)的是符號(hào)表示，它有兩層意思：一是能夠理解符號(hào)所表示的意義；二是能夠運(yùn)用符號(hào)去表示數(shù)學(xué)對(duì)象（數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律等）。

每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)都有它特定的含義，如、、、分別表示特定的運(yùn)算意義，、、﹤、﹥則表示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的某種關(guān)系。使學(xué)生理解符號(hào)的意義是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的最基本的要求，也是符號(hào)意識(shí)的最基本要求。由于數(shù)學(xué)符號(hào)是一種特殊的語(yǔ)言，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的理解也有其固有的特點(diǎn)和要求：因?yàn)榉?hào)具有一定抽象度，對(duì)符號(hào)的認(rèn)識(shí)和理解就不應(yīng)是形式上的，而應(yīng)是實(shí)質(zhì)上的，即應(yīng)從抽象的符號(hào)本身看到其所表征的準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)意義；由于符號(hào)具有壓縮信息的功能，所以對(duì)符號(hào)的意義的理解就不應(yīng)是片面的，而應(yīng)是全面的、完整的、特別將符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為我們所熟悉的生活語(yǔ)言時(shí)，應(yīng)該抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)予以解讀和表征；由于數(shù)學(xué)符號(hào)具有概括性和一般性特征，所以對(duì)它的認(rèn)識(shí)和理解又不應(yīng)是孤立的、僵化的，比如應(yīng)注意符號(hào)與符號(hào)之間的關(guān)聯(lián)（如“ ”與“ ”之間的關(guān)系），也應(yīng)注意同一符號(hào)的多重意義的理解（如 既可表示矩形面積與長(zhǎng)、寬關(guān)系，也可表示平行四邊形面積與底、高的關(guān)系，也可表示路程與時(shí)間、速度的關(guān)系，也可表示總價(jià)與單價(jià)、數(shù)量之間的關(guān)系，還可表示半圓周長(zhǎng)與圓周率、半徑的關(guān)系，??）。

對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)不僅要“懂”，還要會(huì)“用”。運(yùn)用符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象就是“用”符號(hào)的重要方面。這里的數(shù)學(xué)對(duì)象主要指數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，它們?cè)诟鱾€(gè)學(xué)段都有自己的特定的要求。關(guān)于用符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象這里著重指出兩點(diǎn)：一是要注意義務(wù)教育階段整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生用符號(hào)表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象是一個(gè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由相對(duì)具體到相對(duì)抽象的過程。比如用數(shù)字符號(hào)表示現(xiàn)實(shí)中的多少，用單一的運(yùn)算符號(hào)表示數(shù)字運(yùn)算關(guān)系，其抽象度顯然不及用字母代替數(shù)及用字母表示數(shù)量關(guān)系，后者對(duì)前者來說是一個(gè)階段性的變化。而用符號(hào)關(guān)系式或一定的數(shù)學(xué)模式語(yǔ)言去表示特定的數(shù)學(xué)變化規(guī)律則又更為抽象和復(fù)雜。這表明關(guān)于數(shù)學(xué)表達(dá)的符號(hào)意識(shí)的發(fā)展是一個(gè)逐漸積累變化的過程。二是數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)是多樣化的，比如關(guān)系式、表格、圖像等等都是表達(dá)數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的符號(hào)工具，有時(shí)，即使是同一數(shù)學(xué)對(duì)象也可采用多種符號(hào)予以表達(dá)。而多種符號(hào)表達(dá)方式之間也是可以轉(zhuǎn)換的。符號(hào)表達(dá)上的這些特點(diǎn)值得我們?cè)诮虒W(xué)中關(guān)注。

比如這樣一個(gè)例題：在下列橫線上填上合適的數(shù)字，字母或圖形，并說明理由。

通過觀察規(guī)律，使一學(xué)段學(xué)生能夠感悟到：對(duì)于有規(guī)律的事物，無(wú)論是用數(shù)字還是字母或圖形都可以反映相同的規(guī)律，只是表達(dá)形式不同而已。

2.知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性

這一點(diǎn)很重要。從某種意義上說這正是符號(hào)意識(shí)作為一種“意識(shí)”需要強(qiáng)化的。這一要求的核心是基于運(yùn)算和推理的符號(hào)“操作”意識(shí)。由于運(yùn)算和推理是數(shù)學(xué)活動(dòng)最重要的基本形式，所以《標(biāo)準(zhǔn)》的這一要求是希望在各學(xué)段學(xué)習(xí)中，都加強(qiáng)學(xué)生在邏輯法則下使用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算、推理的訓(xùn)練，這涉及到的類型較多，如對(duì)具體問題的符號(hào)表示、變量替換、關(guān)系轉(zhuǎn)換、等價(jià)推演、模型抽象及模型解決等等。

3.使學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式

數(shù)學(xué)表達(dá)是學(xué)生在解決具體問題時(shí)必須采用的方式，數(shù)學(xué)表達(dá)實(shí)質(zhì)上就是以數(shù)學(xué)符號(hào)作為媒介的一種語(yǔ)言表達(dá)。通過培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力成為當(dāng)今課堂關(guān)注的目標(biāo)。

比如這樣一個(gè)問題：“某書定價(jià)8元，如果一次購(gòu)買10本以上，超過10本部分打八折。分析并表示購(gòu)書數(shù)量與付款金額之間的關(guān)系。”顯然，購(gòu)書數(shù)量與付款金額之間是呈函數(shù)關(guān)系（分段函數(shù)），為了解決問題的方便，我們可以分別采用函數(shù)關(guān)系式、列表、作出圖象等多種符號(hào)表達(dá)方式來表示這一具體問題。發(fā)展符號(hào)意識(shí)最重要的是運(yùn)用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，我們不妨把這種思考稱為“符號(hào)思考”，這種思考是數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)模型等基本數(shù)學(xué)思想的集中反映，是最具數(shù)學(xué)特色的思維方式。

舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：“房間里有4條腿的椅子和三條腿的凳子共16個(gè)，如果椅子腿數(shù)和凳子腿數(shù)加起來共有60個(gè)，那么有幾個(gè)椅子和幾個(gè)凳子？”如果學(xué)生沒有經(jīng)過專門的“雞兔同籠”解題模式的思維訓(xùn)練，他完全可以使用恰當(dāng)?shù)姆?hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，找到解題思路。如可以用表格分析椅子數(shù)的變化引起凳子數(shù)和腿總數(shù)的變化規(guī)律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或一元二次方程組的、關(guān)于字母的思考方式來加以解決。

一、關(guān)于學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)

1.在各學(xué)段緊密結(jié)合概念、命題、公式的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí) 概念、命題公式等是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中的重要組成部分，它們常常是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，而它們又和數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)和使用密切相關(guān)。正因?yàn)槿绱耍稑?biāo)準(zhǔn)》在學(xué)段目標(biāo)和各學(xué)段內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中都提出了具體要求。如：“理解符號(hào)﹤、=、﹥的含義，能使用符號(hào)和詞語(yǔ)描述萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的大小”，“認(rèn)識(shí)小括號(hào)”。（一學(xué)段）；“認(rèn)識(shí)中括號(hào)”“在具體情境中能用字母表示數(shù)”，“結(jié)合簡(jiǎn)單的時(shí)間情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示”，“能用方程表示簡(jiǎn)單情境中的等量關(guān)系”（二學(xué)段）；“能分析簡(jiǎn)單問題中的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示”，“通過用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會(huì)模型思想，建立符號(hào)意識(shí)”（三學(xué)段）。

2.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)

一方面，盡可能通過實(shí)際問題或現(xiàn)實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)、幫助學(xué)生理解符號(hào)以及表達(dá)式、關(guān)系式的意義，或引導(dǎo)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)情境問題進(jìn)行符號(hào)的抽象和表達(dá)；另一方面，對(duì)某一特定的符號(hào)表達(dá)式啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行多樣化的現(xiàn)實(shí)意義的填充和解讀。這種建立在現(xiàn)實(shí)情境與符號(hào)化之間的雙向過程，有利于增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)符號(hào)思維的變通性、遷移性和靈活性。3.在數(shù)學(xué)問題解決過程中發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)

符號(hào)意識(shí)更多地表現(xiàn)為以學(xué)生為主體的一種主動(dòng)用符號(hào)的意識(shí)，因此，符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)僅靠一些單純的符號(hào)推演訓(xùn)練和模仿記憶是難以達(dá)到應(yīng)有的效果的。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，提出問題（這實(shí)際上需要運(yùn)用符號(hào)抽象和表達(dá)問題）、分析問題、解決問題（這實(shí)際上是使用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算、推理和數(shù)學(xué)思考）的全過程，在這一過程中積累運(yùn)用符號(hào)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更好地感悟符號(hào)所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想本質(zhì)。逐步促進(jìn)學(xué)生符號(hào)意識(shí)得到提高。

第三節(jié) 空間觀念

一、空間觀念的含義與意義

幾何學(xué)是最早成為人們以課程的形式進(jìn)行學(xué)習(xí)的科目。19世紀(jì)以前的兩千多年里，歐氏幾何一直在課程中占有統(tǒng)治地位，然而，隨著幾何學(xué)自身的發(fā)展、數(shù)學(xué)在社會(huì)發(fā)展中的應(yīng)用，幾何作為課程的地位、價(jià)值的認(rèn)識(shí)也在發(fā)生著變化。二十世紀(jì)以來，關(guān)于歐氏幾何作為中小學(xué)課程內(nèi)容的有關(guān)爭(zhēng)論從未間斷過。但是，無(wú)論爭(zhēng)論如何，空間想象力卻是被較為一致的認(rèn)為是數(shù)學(xué)諸多能力中的重要組成部分。空間觀念作為空間想象力發(fā)展的基礎(chǔ)受到普遍的重視，也成為我國(guó)義務(wù)教育階段幾何課程的主要目標(biāo)之一。

心理學(xué)把人對(duì)頭腦中已有表象進(jìn)行改造，創(chuàng)造出新形象的過程稱作想象。關(guān)于空間想象力的含義，林崇德（1991）指出，中學(xué)生的空間想象包括對(duì)平面幾何圖形和立體幾何圖形的運(yùn)動(dòng)、變換和位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)，以及數(shù)形結(jié)合、代數(shù)問題的幾何解釋等。空間想象能力主要體現(xiàn)在對(duì)諸如一維、二維、三維空間中方向、方位、形狀、大小等空間概念的理解水平及其幾何特征的內(nèi)化水平上，體現(xiàn)在對(duì)簡(jiǎn)單形體空間位置的想象和變換（平移、旋轉(zhuǎn)以及分割、割補(bǔ)和疊合等）上，以及對(duì)抽象的數(shù)學(xué)式子（算式或代數(shù)式等）給與具體幾何意義的想象解釋或表象能力上。

曹才翰提出，空間想象能力就是以現(xiàn)實(shí)世界為背景，對(duì)幾何表象進(jìn)行加工改造，創(chuàng)造新的形象的能力。同時(shí)他指出，空間想象能力對(duì)初中生來說，這種要求太高了，所以義務(wù)教育階段教學(xué)大綱中只提出培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。空間觀念至少反映了如下的5個(gè)方面的要求：（1）由形狀簡(jiǎn)單的實(shí)物抽取出空間圖形；（2）由空間圖形反映出實(shí)物；（3）由復(fù)雜圖形中分解出簡(jiǎn)單的、基本的圖形；（4）由基本的圖形中尋找出基本元素及其關(guān)系；（5）由文字或符號(hào)作出或畫出圖形。全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)（NCTM）指出，空間觀念是對(duì)一個(gè)人周圍環(huán)境和實(shí)物的直接感知；對(duì)于2—3維圖形及其性質(zhì)的領(lǐng)會(huì)和感知，圖形之間的相互關(guān)系和變換圖形的效果是空間觀念的重要方面[1]。

關(guān)于發(fā)展學(xué)生的空間觀念的意義，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育研究者都有相關(guān)的描述。數(shù)學(xué)家阿蒂亞（M．Atiyah）認(rèn)為，幾何是數(shù)學(xué)中這樣的一個(gè)部分，其中視覺思維占主導(dǎo)地位，而代數(shù)則是數(shù)學(xué)中有序思維占主導(dǎo)地位的部分。這種區(qū)分也許用另一對(duì)詞刻畫更好，即“洞察”對(duì)“嚴(yán)格”，兩者在真正的數(shù)學(xué)研究中都起著本質(zhì)的作用。它們?cè)诮逃械囊饬x也是清楚的。我們的目標(biāo)應(yīng)是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展這兩種思維模式，過分強(qiáng)調(diào)一種而損害另一種是錯(cuò)誤的 [2]。

荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾（Freudenthal，1989）指出，幾何是對(duì)空間的把握——這個(gè)空間是兒童生活、呼吸和運(yùn)動(dòng)的空間。在這個(gè)空間里，兒童必須學(xué)會(huì)去了解、探索、征服，從而能更好地在其中生活、呼吸和運(yùn)動(dòng)。

全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)在《美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》提到，幾何有助于我們用一種有序的方式表示和描述我們生活的現(xiàn)實(shí)世界，將幫助學(xué)生描述和弄清世界的意義。對(duì)于學(xué)生來說，發(fā)展牢固的空間關(guān)系的觀念，掌握幾何的概念和語(yǔ)言，可以較好地為學(xué)習(xí)數(shù)和度量概念做準(zhǔn)備，還可以促進(jìn)其他數(shù)學(xué)課程的進(jìn)一步學(xué)習(xí)。幾何的模型提供了一個(gè)透視圖，從中，學(xué)生可以分析和解決問題，而且?guī)缀蔚慕忉屵€可以幫助學(xué)生形成一個(gè)抽象的（符號(hào)的）表示，使人更容易理解。的確，一方面，空間與人類的生存密切相關(guān)，了解、探索和把握我們生活的空間能使人類更好地生存、活動(dòng)和利用空間。另一方面，空間觀念是創(chuàng)新精神所需的基本要素，沒有空間觀念和空間想象力，幾乎很難談發(fā)明與創(chuàng)造，因?yàn)樵S許多多的發(fā)明創(chuàng)造都是以實(shí)物的形態(tài)呈現(xiàn)的，作為設(shè)計(jì)者要先要對(duì)自己的創(chuàng)造物進(jìn)行想象，然后可能是模型的構(gòu)建，這里的模型包括圖形和實(shí)物，再根據(jù)模型修改設(shè)計(jì)，直至最終完善成型。這是一個(gè)充滿豐富想象和創(chuàng)造的探求過程，也是人的思維不斷在二維和三維空間之間轉(zhuǎn)換，利用直觀進(jìn)行思考的過程。空間觀念和空間想象力在這個(gè)過程中起著至關(guān)重要的作用。

基于這樣的分析與認(rèn)識(shí)，我們可以更好地理解《標(biāo)準(zhǔn)》把“空間觀念”作為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的核心概念的緣由與意義。

二、《標(biāo)準(zhǔn)》中空間觀念所包含的內(nèi)容 《標(biāo)準(zhǔn)》中沒有具體給出空間觀念的內(nèi)涵，而是從是否具有空間觀念的幾個(gè)表征出發(fā)對(duì)其進(jìn)行描述。《標(biāo)準(zhǔn)》是從四個(gè)方面加以刻畫描述的：空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語(yǔ)言的描述畫出圖形等。

《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)空間觀念的描述，是在義務(wù)教育階段通過圖形與幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生在這些方面的要求以及需要達(dá)成的目標(biāo)。這樣的目標(biāo)達(dá)成的過程是一個(gè)包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析的過程，它貫穿在圖形與幾何學(xué)習(xí)的全過程中，無(wú)論是圖形的認(rèn)識(shí)，圖形的運(yùn)動(dòng)，圖形與坐標(biāo)等都承載著發(fā)展學(xué)生空間觀念的任務(wù)。

1.根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體 有研究表明，三維圖形與二維圖形的相互轉(zhuǎn)換是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的主要途徑。“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體”的過程，是三維圖形與二維圖形的相互轉(zhuǎn)換的基本表現(xiàn)形式，這是一個(gè)充滿觀察、想象、比較、推理和抽象的過程，是建立在對(duì)周圍環(huán)境直接感知基礎(chǔ)上的、對(duì)空間與平面相互關(guān)系的理解與把握。

由實(shí)物或幾何體再到視圖，經(jīng)歷了抽象以及從三維圖形到二維圖形轉(zhuǎn)化的過程，而由視圖到幾何體或?qū)嵨铮瑒t實(shí)現(xiàn)了從二維圖形到三維圖形的轉(zhuǎn)換。此外，幾何體與側(cè)面展開圖、幾何體與用平面去截所得的截面等，都蘊(yùn)含著三維圖形與二維圖形的相互轉(zhuǎn)換。

畫出物體的三視圖，就需要在頭腦加工的基礎(chǔ)上，把觀察到的經(jīng)過了想象、抽象后的再現(xiàn)出來的紀(jì)錄下來，使空間觀念從感知不斷發(fā)展上升為一種可以把握的能力。

2.想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系

方位與現(xiàn)實(shí)生活是密切聯(lián)系的，也是個(gè)體對(duì)空間把握能力的一個(gè)具體的體現(xiàn)，對(duì)方位的感知和圖形相互之間位置關(guān)系的把握，是表現(xiàn)空間觀念的一個(gè)重要的方面。

“想象物體的方位和相互之間的位置關(guān)系”，在不同的問題情境中有不同的想象的水平要求。在給出包含四個(gè)方向并注明中心點(diǎn)的方位結(jié)構(gòu)中判斷某一物體的相對(duì)于中心的方位，是最基本的層次；只給出一個(gè)方向（如北），判斷物體之間的位置關(guān)系，就需要學(xué)生更復(fù)雜一些的想象力了，同時(shí)推理也是必要的。

例如，下圖是一張動(dòng)物園的示意圖，根據(jù)圖中所標(biāo)的位置回答下列問題：

[1] 全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)著．美國(guó)學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)[M]．北京：人民教育出版社,1994

[2] 「英」M．Atiyah著．?dāng)?shù)學(xué)的統(tǒng)一性[M]．南京:江蘇教育出版社，1995．12

（1）熊貓館在猴山的哪個(gè)方向上？（2）大象館在海洋館的哪個(gè)方向上？

進(jìn)一步可以再改變觀測(cè)點(diǎn)，描述與其他物體的相對(duì)方位。

3.描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化

圖形的運(yùn)動(dòng)既有形式上的（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、放大、縮小等），也有運(yùn)動(dòng)的方向上的。對(duì)圖形的運(yùn)動(dòng)和變化的描述，更具有綜合性，它要求對(duì)相關(guān)知識(shí)和內(nèi)容的理解，同時(shí)需要觀察、想象并再現(xiàn)圖形的運(yùn)動(dòng)和變化過程，無(wú)論是語(yǔ)言表述還是圖形刻畫這個(gè)過程，也同樣是把空間觀念從感知推向一種可以把握的能力。

例如，描述從學(xué)校到家的路線示意圖，并注明方向及途中的主要參照物。學(xué)生需要回憶實(shí)際的路線，想象它經(jīng)過的各個(gè)環(huán)節(jié)的方向，學(xué)生也可以借助實(shí)物模擬路線，進(jìn)一步畫出路線的簡(jiǎn)單示意圖。這其中涉及到的方位實(shí)際上比單純描述物體的方位又復(fù)雜了一些，它是一種綜合的運(yùn)用。

4.依據(jù)語(yǔ)言的描述畫出圖形

這里所要求的想象空間是很開放的，可以是具體的圖形，或具有某種大小或位置關(guān)系的一組圖形，等等。當(dāng)有人向你描述你看不到的情境時(shí)，你需要根據(jù)他人的描述構(gòu)建符合原形的直觀想象，闡述和傾聽都需要在邏輯上對(duì)圖形關(guān)系進(jìn)行分析和操作，準(zhǔn)確地反映出描述的結(jié)果，體現(xiàn)了操作者對(duì)其中涉及的圖形的關(guān)系等的把握的能力，其核心也是空間觀念。

三、空間觀念的培養(yǎng)

空間觀念的培養(yǎng)，是一個(gè)長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)積累的過程，因此對(duì)教學(xué)的要求有別于具體的幾何知識(shí)，但它又是在幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)中體現(xiàn)的。NCTM（全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)，1989）指出，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，兒童必須具有許多經(jīng)驗(yàn)。例如，幾何關(guān)系的要點(diǎn)，在空間中物體的方向、方位和透視觀點(diǎn)；相關(guān)的形狀和圖形與實(shí)物的大小，以及如何通過改變大小來改變形狀。這些經(jīng)驗(yàn)要依靠?jī)和韵聨讉€(gè)方面的能力，如會(huì)運(yùn)用象“上面”、“下面”和“后面”等一些詞語(yǔ)，畫出一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)900或1800以后的圖形，作圖、折疊，讓兒童想象、繪制和比較放在不同位置上的圖形，等等，這些活動(dòng)將有助于發(fā)展他們的空間觀念。

事實(shí)上，在圖形與幾何課程的學(xué)習(xí)中，還是可以利用很多的素材和機(jī)會(huì)發(fā)展學(xué)生的空間觀念的，主要是我們?nèi)绾蝸碚J(rèn)識(shí)和利用這些素材和機(jī)會(huì)。

1.促進(jìn)空間觀念發(fā)展的課程內(nèi)容

《標(biāo)準(zhǔn)》中不僅將發(fā)展空間觀念作為核心概念和目標(biāo)，同時(shí)，在三個(gè)學(xué)段都重視了發(fā)展學(xué)生空間觀念的內(nèi)容的設(shè)置，這些在本書的內(nèi)容分析部分都有提及。

例如，第一、二學(xué)段的“圖形與運(yùn)動(dòng)”、“圖形與位置”中的大部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，都是發(fā)展學(xué)生空間觀念的很好的素材；第一、二學(xué)段中的從不同方向觀察物體、運(yùn)用基本圖形拼圖，以及基本幾何體的展開圖等，也都是旨在發(fā)展學(xué)生空間觀念的課程內(nèi)容。

在第三學(xué)段，“圖形的變化”中的各種圖形的運(yùn)動(dòng)，尤其是“圖形的投影”內(nèi)容的安排，其核心目標(biāo)也是發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

事實(shí)上，空間觀念的培養(yǎng)在圖形的認(rèn)識(shí)以及圖形的證明過程中，都會(huì)有所體現(xiàn)，因?yàn)閷?duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)、證明中對(duì)圖形特點(diǎn)的觀察等，也需要想象，也有根據(jù)他人的描述畫出圖形的過程，因此，很好的認(rèn)識(shí)空間觀念的含義與意義，在圖形與幾何內(nèi)容學(xué)習(xí)中抓住典型內(nèi)容，利用一切可以利用的學(xué)習(xí)材料，就可以將空間觀念的培養(yǎng)貫穿在這個(gè)學(xué)習(xí)過程中。

2.促進(jìn)空間觀念發(fā)展的教學(xué)策略

（1）現(xiàn)實(shí)情境和學(xué)生經(jīng)驗(yàn)是發(fā)展空間觀念的基礎(chǔ) 空間觀念的形成基于對(duì)事物的觀察與想象，而現(xiàn)實(shí)世界中的物體及其關(guān)系是學(xué)生們觀察的最好材料，學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)也是觀察、想象、分析的基礎(chǔ)，因此教學(xué)中，結(jié)合學(xué)生們熟悉的現(xiàn)實(shí)問題情境，是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有效策略。

例如，繪制學(xué)生自己房間或?qū)W校的平面圖；描述從家到學(xué)校的路線圖；描述觀察到的情境的畫面；描述游樂園中各種運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象等等，這些問題既是他們生活中熟悉的，又是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要重新審視和加工的。平時(shí)看到的東西，要進(jìn)行回憶，在頭腦中想象、加工之后的再現(xiàn)，已經(jīng)是數(shù)學(xué)的抽象了，這其中即滲透了空間觀念發(fā)展的元素了。

無(wú)論是教材的開發(fā)者還是教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，開發(fā)和利用現(xiàn)實(shí)世界中豐富的資源，城市的建筑與立交橋，鄉(xiāng)村的院落與山水，我們生活的廣闊空間和其中的大量實(shí)物，為我們提供了一個(gè)鮮活的大課堂，供我們觀察、想象與描述。

（2）利用多種途徑發(fā)展學(xué)生的空間觀念

從《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)空間觀念的描述和有關(guān)的課程內(nèi)容的分析中，我們能夠感覺到，發(fā)展學(xué)生的空間觀念應(yīng)該是有多種途徑的。生活經(jīng)驗(yàn)的回憶與再現(xiàn)、實(shí)物觀察與描述、拼擺與畫圖、折紙與展開、分析與推理等，都是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有效途徑。

教學(xué)中教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容恰當(dāng)?shù)匕才艑W(xué)習(xí)的活動(dòng)，創(chuàng)造條件使學(xué)生有機(jī)會(huì)從事上述的活動(dòng)來發(fā)展空間觀念。

例如，我們可以在小學(xué)高年級(jí)安排這樣的折紙活動(dòng)：將一張正方形的紙對(duì)折后，再對(duì)折一次，然后用剪刀剪出一個(gè)小洞。再把紙完全展開。請(qǐng)畫出或從下面四個(gè)圖中選擇它的展開圖。

（3）在學(xué)生的思考、想象過程中發(fā)展空間觀念

空間觀念的培養(yǎng)不是一蹴而就的，它需要不斷的經(jīng)驗(yàn)的積累、想象力的豐富，因此教學(xué)中要為學(xué)生提供足夠的時(shí)間和空間去觀察和想象、操作和分析。

這其中還有觀察與想象的相互關(guān)系問題。觀察與描述往往是空間觀念發(fā)展的基礎(chǔ)，而想象與再現(xiàn)則是更高一層次的空間觀念的表現(xiàn)。

如果在教學(xué)中，我們提出這樣的問題：如圖（1）所示，桌子上擺著三件物品，圖（2）是從上面看到的物品的圖片，其中的a、b、c、d和e五點(diǎn)表示從四周觀察三件物品的不同地點(diǎn)。請(qǐng)判斷下邊的一組圖分別是從a、b、c、d和e五點(diǎn)中的哪一點(diǎn)看到的。

對(duì)于學(xué)生來講，可能直接的觀察與想象是有些困難的，有的教師會(huì)模擬地創(chuàng)設(shè)這樣一個(gè)情景，讓學(xué)生直接去觀察具體物體的擺放場(chǎng)景，然后進(jìn)行判斷。這樣做確實(shí)能夠降低純粹靠想象做出判斷的難度，但同時(shí)也失去了學(xué)生想象的機(jī)會(huì)。因此，教師不妨讓學(xué)生先想一想，嘗試著做出判斷，然后再實(shí)際的看一看，在實(shí)際看到的和想像的之間進(jìn)行比較，這樣將由助于學(xué)生積累想象的經(jīng)驗(yàn)，提高對(duì)物體之間關(guān)系進(jìn)行把握的能力，發(fā)展學(xué)生空間觀念。

第四節(jié)

幾何直觀

一、對(duì)幾何直觀的認(rèn)識(shí)

顧名思義，幾何直觀所指有兩點(diǎn)：一是幾何，在這里幾何是指圖形；一是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個(gè)層次），更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西進(jìn)行思考、想象，綜合起來幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考、想象。它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力。愛因斯坦（Einstein）曾說過一句名言：“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，想象力概括著世界上的一切，推動(dòng)著進(jìn)步，并且它是進(jìn)化的源泉。嚴(yán)格地說，想象力是科學(xué)研究中的實(shí)在因素。”（愛因斯坦文集，第一卷，許良英、范岱年譯，商務(wù)印書館，1976，284）

“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。”空間形式最主要的表現(xiàn)就是“圖形”，除了美術(shù)，只有數(shù)學(xué)把圖形作為基本、主要研究對(duì)象。在數(shù)學(xué)研究、學(xué)習(xí)、講授中，不僅需要關(guān)注如何研究圖形的方法、研究圖形的結(jié)果，還需要感悟圖形給我們帶來的好處，幾何直觀就是在數(shù)學(xué)—幾何—圖形這樣一個(gè)關(guān)系鏈中讓我們體會(huì)到它所帶來的最大好處。這正如20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert）在其名著《直觀幾何》一書中所談到的，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果。幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的價(jià)值由此可見一般。

從另一個(gè)角度來說，幾何直觀是具體的，不是虛無(wú)的，它與數(shù)學(xué)的內(nèi)容緊密相聯(lián)。事實(shí)上，很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念，例如，數(shù)，度量，函數(shù)，以至于高中的解析幾何，向量，等等，都具有“雙重性”，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”，只有從兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)它們，才能很好地理解它們，掌握它們的本質(zhì)意義。也只有這樣，才能讓這些內(nèi)容、概念變得形象、生動(dòng)起來，變得更容易使學(xué)生接受并運(yùn)用他們?nèi)ニ伎紗栴}，形成幾何直觀能力，這也就是經(jīng)常說的“數(shù)形結(jié)合”。這次課程改革中，強(qiáng)調(diào)幾何變換不僅是內(nèi)容上的變化，也是設(shè)計(jì)幾何課程指導(dǎo)思想上變化，這將是幾何課程發(fā)展的方向。讓圖形“動(dòng)起來”，在“運(yùn)動(dòng)或變換”中研究、揭示、學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)，這樣，一方面加深了對(duì)圖形性質(zhì)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，另一方面對(duì)幾何直觀能力也是一種提升。由此也可以看到，在義務(wù)教育階段培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀是很重要的。

幾何直觀與“邏輯”、“推理”也是不可分的。幾何直觀常常是靠邏輯支撐的。它不僅是看到了什么？而是通過看到的圖形思考到了什么？想象到了什么？這是數(shù)學(xué)非常重要而有價(jià)值的思維方式。幾何直觀會(huì)把看到的與以前學(xué)到的結(jié)合起來，通過思考、想象，猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，這也就是合情推理，它為嚴(yán)格證明結(jié)論奠定了基礎(chǔ)。

有些數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是可以“看到的”，可以“觸摸的”，而很多數(shù)學(xué)研究對(duì)象是“看不見，摸不著”的，是抽象的，這是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本特點(diǎn)。但是，數(shù)學(xué)中那些抽象的對(duì)象絕不是無(wú)根之木、無(wú)源之水，它的“根和源”一定是具體的。例如，我們看不到“七維空間”，但是，我們知道“顏色可以由七個(gè)基色組成：紅、澄、黃、綠、青、藍(lán)、紫”，由不同成分的七個(gè)基色組成一種顏色，這樣，“由七基色組成顏色”就是理解“七維空間”的“可以看到的源”，“紅、澄、黃、綠、青、藍(lán)、紫”七個(gè)數(shù)就可以決定一個(gè)顏色。當(dāng)然，在顏色中，不能取負(fù)值，顏色空間不是七維空間，它僅僅是幫助我們聯(lián)想的“實(shí)物”和基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)中，需要依托“一、二、三維空間”去想象和思考“高維空間”的問題，這就是幾何直觀或幾何直觀能力。

幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中是非常重要的，它也可以看作最基本的能力，希望數(shù)學(xué)教師重視它，在日常教學(xué)中幫助學(xué)生不斷提升這種能力。

二、《標(biāo)準(zhǔn)》中的幾何直觀

在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)稿）中，也關(guān)注了幾何直觀：“三維空間是人類生存的現(xiàn)實(shí)空間，認(rèn)識(shí)空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力、以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)必修系列課程的基本要求。”在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，把幾何直觀作為數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)10個(gè)核心概念之一，這是一個(gè)進(jìn)步。《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。”

在數(shù)學(xué)課程中，幾何內(nèi)容是很重要的一部分。關(guān)于幾何課程的教育價(jià)值，最主要的應(yīng)該有兩個(gè)方面：一方面，幾何能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力；另一個(gè)方面，它也能培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力。但目前，在部分教師中對(duì)此在認(rèn)識(shí)上存在著一定的局限性，在幾何教學(xué)中他們僅僅重視培養(yǎng)邏輯推理能力，忽視了對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)。我們應(yīng)全面地理解幾何教育價(jià)值，重視幾何直觀。

在教學(xué)和指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，認(rèn)識(shí)和理解“幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用”這一點(diǎn)是非常重要的。它表明，我們不僅在幾何內(nèi)容教學(xué)中要重視幾何直觀，在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)該重視幾何直觀，培養(yǎng)幾何直觀能力應(yīng)該貫穿義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的始終。

正如前面所指出的，圖形有助于發(fā)現(xiàn)、描述問題，有助于探索、發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，也有助于我們理解和記憶得到的結(jié)果。總之，圖形可以幫助我們把困難的數(shù)學(xué)問題變?nèi)菀祝殉橄蟮臄?shù)學(xué)問題變簡(jiǎn)單，對(duì)于數(shù)學(xué)研究是這樣，對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也是如此。學(xué)會(huì)用圖形思考、想象問題是研究數(shù)學(xué)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力。這種幾何直觀能力能使我們更好地感知數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)邏輯和數(shù)學(xué)直觀對(duì)數(shù)學(xué)都是重要的，他們也是相互交織、關(guān)聯(lián)的，直觀中有邏輯，邏輯中有直觀。

在義務(wù)教育階段，許多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念都具有“數(shù)”和“形”兩方面的本質(zhì)特征（如小學(xué)的分?jǐn)?shù)概念、路程問題等），學(xué)會(huì)從兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的這些對(duì)象是非常重要的，即數(shù)形結(jié)合是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的基本角度，與其說是方法，不如說這是基本要求。從這一點(diǎn)看，不注重?cái)?shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)上就沒有學(xué)明白。

三、幾何直觀的培養(yǎng)

1.在教學(xué)中使學(xué)生逐步養(yǎng)成畫圖習(xí)慣

在日常教學(xué)中，在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣是非常重要的。可以通過多種途徑和方式使學(xué)生真正體會(huì)到畫圖對(duì)理解概念、尋求解題思路上帶來的便利。在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫圖時(shí)盡量畫，其實(shí)質(zhì)是將相對(duì)抽象的思考對(duì)象“圖形化”，盡量把問題、計(jì)算、證明等數(shù)學(xué)的過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維，無(wú)論計(jì)算還是證明，邏輯的、形式的結(jié)論都是在形象思維的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。

2.重視變換——讓圖形動(dòng)起來

幾何變換或圖形的運(yùn)動(dòng)是幾何、也是整個(gè)數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容，它既是學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想和方法。在數(shù)學(xué)中，我們接觸的最基本的圖形都是“對(duì)稱”圖形，例如，球、圓錐、圓臺(tái)、正多面體、圓、正多邊形、長(zhǎng)方體、長(zhǎng)方形、菱形、平行四邊形等，都是“不同程度對(duì)稱圖形”；另一方面，在認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)、研究“不對(duì)稱圖形”時(shí)，又往往是運(yùn)用這些“對(duì)稱圖形”為工具的。變換又可以看作運(yùn)動(dòng)，讓圖形動(dòng)起來是指再認(rèn)識(shí)這些圖形時(shí)，在頭腦中讓圖形動(dòng)起來，例如，平行四邊形是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，可以把它看作一個(gè)剛體，通過圍繞中心（兩條對(duì)角線的交點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)180度，去認(rèn)識(shí)、理解、記憶平行四邊形的其他性質(zhì)。充分地利用變換去認(rèn)識(shí)、理解幾何圖形是建立幾何直觀的好辦法。

3.學(xué)會(huì)從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)

在前面的論述中，多次反復(fù)強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合首先是對(duì)知識(shí)、技能的貫通式認(rèn)識(shí)和理解。以后逐漸發(fā)展成一種對(duì)數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意識(shí)，這種對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用的能力，應(yīng)該是形成正確的數(shù)學(xué)態(tài)度所必需要求的。

4.掌握、運(yùn)用一些基本圖形解決問題

把讓學(xué)生掌握一些重要的圖形作為教學(xué)任務(wù)，貫穿在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)的始終。例如，除了上面指出的圖形，還有數(shù)軸，方格紙，直角坐標(biāo)系等等。在教學(xué)中要有意識(shí)地強(qiáng)化對(duì)基本圖形的運(yùn)用，不斷地運(yùn)用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問題，理解、記憶結(jié)果，這應(yīng)該成為教學(xué)中關(guān)注的目標(biāo)。

第五節(jié) 數(shù)據(jù)分析觀念

一、數(shù)據(jù)分析觀念的意義及含義

也許有人可能會(huì)提出這樣的問題，統(tǒng)計(jì)不就是計(jì)算平均數(shù)、畫統(tǒng)計(jì)圖嗎？這些事情計(jì)算器、計(jì)算機(jī)就能做得很好，還有必要花那么多精力學(xué)習(xí)嗎？確實(shí)，在信息技術(shù)如此發(fā)達(dá)的今天，計(jì)算平均數(shù)、畫統(tǒng)計(jì)圖等內(nèi)容不應(yīng)再占據(jù)學(xué)生過多的時(shí)間，事實(shí)上它們也遠(yuǎn)非統(tǒng)計(jì)的核心。在義務(wù)教育階段，學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率的核心目標(biāo)是發(fā)展“數(shù)據(jù)分析觀念”。一提到“觀念”，顯然它就絕非等同于計(jì)算、作圖等簡(jiǎn)單技能，而是一種需要在親身經(jīng)歷的過程中培養(yǎng)出來的對(duì)一組數(shù)據(jù)的“領(lǐng)悟”，由一組數(shù)據(jù)所想到的、所推測(cè)到的；以及在此基礎(chǔ)上，對(duì)于統(tǒng)計(jì)與概率獨(dú)特的思維方法和應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識(shí)。

在《標(biāo)準(zhǔn)》中，將數(shù)據(jù)分析觀念解釋為：“了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息；了解對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性，一方面對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心。”

在這段表述中，點(diǎn)明了兩層意思。第一，點(diǎn)明了統(tǒng)計(jì)的核心是數(shù)據(jù)分析。“數(shù)據(jù)是信息的載體，這個(gè)載體包括數(shù)，也包括言語(yǔ)、信號(hào)、圖像，凡是能夠承載事物信息的東西都構(gòu)成數(shù)據(jù)，而統(tǒng)計(jì)學(xué)就是通過這些載體來提取信息進(jìn)行分析的科學(xué)和藝術(shù)”[1]。第二，點(diǎn)明了數(shù)據(jù)分析觀念的三個(gè)重要方面的要求：體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息；根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性。這三個(gè)方面也正體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)與概率獨(dú)特的思維方法。

二、對(duì)數(shù)據(jù)分析觀念要求的分析

我們來對(duì)數(shù)據(jù)分析觀念上述三個(gè)方面的要求做一簡(jiǎn)要分析： 1.體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息

統(tǒng)計(jì)學(xué)是建立在數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上的，本質(zhì)上是通過數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷。義務(wù)教育的重要目標(biāo)是培養(yǎng)適應(yīng)現(xiàn)代生活的合格公民。而在以信息和技術(shù)為基礎(chǔ)的現(xiàn)代社會(huì)里，充滿著大量的數(shù)據(jù)，需要人們面對(duì)它們做出合理的決策。因此，數(shù)據(jù)分析觀念的首要方面是“了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息”。不妨看《標(biāo)準(zhǔn)》中的一個(gè)例子。

[案例1]（《標(biāo)準(zhǔn)》例19）

新年聯(lián)歡會(huì)準(zhǔn)備買水果，調(diào)查班級(jí)同學(xué)最喜歡吃的水果，設(shè)計(jì)購(gòu)買方案。[說明] 借助學(xué)生身邊的例子，體會(huì)數(shù)據(jù)調(diào)查、數(shù)據(jù)分析對(duì)于決策的作用。此例可以舉一反三。教學(xué)中可作如下設(shè)計(jì)：

（1）全班同學(xué)討論決定購(gòu)買方案的原則，可以在限定的金額內(nèi)考慮學(xué)生最喜歡吃的一種或幾種水果，或者其他的原則。

（2）鼓勵(lì)學(xué)生討論收集數(shù)據(jù)的方法。例如，可以采用一個(gè)同學(xué)提案、贊同舉手的方法；可以采取填寫調(diào)查表的方法；可以全部提案后，同學(xué)輪流在自己同意的盒里放積木的方法等等。必須事先約定，每位同學(xué)最多可以同意幾項(xiàng)。

（3）收集并表示數(shù)據(jù)，參照事先的約定決定購(gòu)買水果的方案。

要根據(jù)學(xué)生討論的實(shí)際情況進(jìn)行靈活處理，購(gòu)買方案沒有對(duì)錯(cuò)之分，但要符合最初制定的原則。

在這個(gè)例子中不難看出，首先需要設(shè)計(jì)合適的例子，鼓勵(lì)學(xué)生收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，從而做出決策和推斷。并在此基礎(chǔ)上，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息，體會(huì)數(shù)據(jù)分析的價(jià)值。

2.根據(jù)問題的背景選擇合適的方法

“統(tǒng)計(jì)學(xué)是通過數(shù)據(jù)來推斷數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，即便是同樣的數(shù)據(jù)，也允許人們根據(jù)自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結(jié)果。?因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)對(duì)結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是“好壞”，從這個(gè)意義上說，統(tǒng)計(jì)學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)”[2]。為了使學(xué)生對(duì)此有所體會(huì)，《標(biāo)準(zhǔn)》提出了數(shù)據(jù)分析觀念第二方面的內(nèi)涵——“了解對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法”。這里不妨看一下《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)于案例38的說明：“條形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生占全班學(xué)生的比例及其差異；折線統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解幾年來學(xué)生身高變化的情況，預(yù)測(cè)未來身高變化趨勢(shì)”，因此需要我們根據(jù)問題的背景選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖。總之，“統(tǒng)計(jì)學(xué)對(duì)結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是‘好壞’” [3]，而不是“對(duì)錯(cuò)”。

3.通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性

我們知道，推斷性數(shù)據(jù)分析的目的是要通過數(shù)據(jù)來推測(cè)產(chǎn)生這些數(shù)據(jù)的背景，稱這個(gè)背景為總體。我們假定總體是未知的，我們的目的是通過樣本來推斷總體。而在調(diào)查或者實(shí)驗(yàn)之前，我們不可能知道數(shù)據(jù)的具體取值。也就是說，數(shù)據(jù)可以取不同的值，并且取不同值的概率可以是不一樣的，這就是數(shù)據(jù)隨機(jī)性的由來。

在《標(biāo)準(zhǔn)》中將“通過數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性”作為了數(shù)據(jù)分析觀念內(nèi)涵的第三方面。數(shù)據(jù)的隨機(jī)主要有兩層涵義：一方面對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會(huì)是不同的；另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。舉一個(gè)《標(biāo)準(zhǔn)》中的例子（例40）：袋中裝有若干個(gè)紅球和白球，一方面，每次摸出的球的顏色可能是不一樣的，事先無(wú)法確定；另一方面，有放回重復(fù)摸多次（摸完后將球放回袋中，搖晃均勻后再摸），從摸到的球的顏色的數(shù)據(jù)中就能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，比如紅球多還是白球多、紅球和白球的比例等。再舉一個(gè)案例（例22），學(xué)生記錄自己在一個(gè)星期內(nèi)每天上學(xué)途中所需要的時(shí)間，如果把記錄時(shí)間精確到分，可能學(xué)生每天上學(xué)途中需要的時(shí)間是不一樣的，這可以讓學(xué)生感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性；更進(jìn)一步，還可讓學(xué)生感悟雖然數(shù)據(jù)是隨機(jī)的，但數(shù)據(jù)較多時(shí)具有某種穩(wěn)定性，可以從中得到很多信息，比如，通過一個(gè)星期的調(diào)查可以知道“大概”需要多少時(shí)間。

在本小節(jié)，我們主要分析了數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵，關(guān)于數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)，我們?cè)诤竺娴恼鹿?jié)中會(huì)有較多論述，這里不再贅述。

第六節(jié)

運(yùn)算能力

運(yùn)算是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程的各個(gè)學(xué)段中，運(yùn)算都占有很大的比重。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，要花費(fèi)較多的時(shí)間和精力，學(xué)習(xí)和掌握關(guān)于各種運(yùn)算的知識(shí)及技能。《標(biāo)準(zhǔn)》在學(xué)段目標(biāo)的“知識(shí)技能”部分，對(duì)各學(xué)段運(yùn)算分別提出了明確的要求：

第一學(xué)段：經(jīng)歷從日常生活中抽象出數(shù)的過程，理解萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的意義，初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)和小數(shù)；理解常見的量；體會(huì)四則運(yùn)算的意義，掌握必要的運(yùn)算技能，能準(zhǔn)確進(jìn)行運(yùn)算；在具體情境中，能選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單的估算。

第二學(xué)段：體驗(yàn)從具體情境中抽象出數(shù)的過程，認(rèn)識(shí)萬(wàn)以上的數(shù)；理解分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)的意義，了解負(fù)數(shù)；掌握必要的運(yùn)算技能；理解估算的意義；能用方程表示簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系，能解簡(jiǎn)單的方程。

第三學(xué)段：體驗(yàn)從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)的過程，理解有理數(shù)、實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)；掌握必要的運(yùn)算（包括估算）技能；探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，掌握用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)進(jìn)行表述的方法。

運(yùn)算不僅是數(shù)學(xué)課程中“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，“圖形與幾何”，“統(tǒng)計(jì)與概率”，“綜合與實(shí)踐”也都與運(yùn)算有著密切的聯(lián)系，成為不可或缺的內(nèi)容。

《標(biāo)準(zhǔn)》所提出的課程目標(biāo)中的很多方面，如：獲得“四基”（基本知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）；運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力等，都與運(yùn)算的學(xué)習(xí)有關(guān)，運(yùn)算對(duì)實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)發(fā)揮著重要的支撐作用。

一、對(duì)運(yùn)算能力的認(rèn)識(shí)

根據(jù)一定的數(shù)學(xué)概念、法則和定理，由一些已知量通過計(jì)算得出確定結(jié)果的過程，稱為運(yùn)算。能夠按照一定的程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算，稱為運(yùn)算技能。不僅會(huì)根據(jù)法則、公式等正確地進(jìn)行運(yùn)算，而且理解運(yùn)算的算理，能夠根據(jù)題目條件尋求正確的運(yùn)算途徑，稱為運(yùn)算能力。

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問題。運(yùn)算能力并非一種單一的、孤立的數(shù)學(xué)能力，而是運(yùn)算技能與邏輯思維等的有機(jī)整合。在實(shí)施運(yùn)算分析和解決問題的過程中，要力求做到善于分析運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，使運(yùn)算符合算理，合理簡(jiǎn)捷。換言之，運(yùn)算能力不僅是一種數(shù)學(xué)的操作能力，更是一種數(shù)學(xué)的思維能力。

《標(biāo)準(zhǔn)》是在總目標(biāo)的四個(gè)方面之一的“數(shù)學(xué)思考”中提出運(yùn)算能力的：“建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維和抽象思維。”這說明運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)思考的重要內(nèi)涵。不僅如此，運(yùn)算能力對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》在總目標(biāo)中提出的其他三個(gè)方面——知識(shí)技能、問題解決和情感態(tài)度的目標(biāo)的整體實(shí)現(xiàn)，同樣是不可缺少的基本條件。

二、運(yùn)算能力的特征

運(yùn)算能力是在不斷地運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、法則、公式，經(jīng)過一定數(shù)量的練習(xí)而逐步形成的。要使學(xué)生通過各種運(yùn)算和對(duì)代數(shù)式、方程、不等式的變形以及重要公式的推導(dǎo)，通過用概念、法則、性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，發(fā)展邏輯思維能力。

運(yùn)算的正確、靈活、合理和簡(jiǎn)捷是運(yùn)算能力的主要特征。

首先要保證運(yùn)算的正確，為此，必須要正確理解相關(guān)的概念、法則、公式和定理等數(shù)學(xué)知識(shí)，明確意識(shí)到實(shí)施運(yùn)算的依據(jù)。如前所述，在每一學(xué)段，《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)運(yùn)算提出的要求，都是和相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)一并提出的。

然后，在適度訓(xùn)練，逐步熟悉的基礎(chǔ)上，清楚地意識(shí)實(shí)施運(yùn)算中的算理。不斷總結(jié)正反兩方面的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，逐漸減少在實(shí)施運(yùn)算中，思考概念、法則公式等的時(shí)間和精力，提高運(yùn)算的熟練程度，以求運(yùn)算的順暢，力求避免失誤。

一題多解和多題一解出現(xiàn)在運(yùn)算過程中是十分普遍的，即一般性與特殊性往往同時(shí)出現(xiàn)在實(shí)施運(yùn)算的過程中，一題多解體現(xiàn)了運(yùn)算的靈活性，多題一解則體現(xiàn)了運(yùn)算的普適性。一題多解和多題一解的交替出現(xiàn)，相互比較，循環(huán)往復(fù)，不斷優(yōu)化，促使學(xué)生越來越感悟到：實(shí)施運(yùn)算，解決問題，不僅要正確，而且要靈活、合理和簡(jiǎn)潔。

要充分重視估算。《標(biāo)準(zhǔn)》在每個(gè)學(xué)段的學(xué)段目標(biāo)和內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中，都強(qiáng)調(diào)了估算，提出了具體的要求，配備了一定數(shù)量的案例。

第一學(xué)段：在具體情境中，能選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單的估算。在生活情境中感受大數(shù)的意義，并能進(jìn)行估計(jì)（案例3）；能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單估算，體會(huì)估算在生活中的作用（案例6）。第二學(xué)段：理解估算的意義。結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境感受大數(shù)的意義，并能進(jìn)行估計(jì)（案例23）；在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進(jìn)行估算（案例26，案例27）；會(huì)用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積（案例33）。第三學(xué)段：掌握必要的運(yùn)算（包括估算）技能；能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍（案例47）；經(jīng)歷估計(jì)方程解的過程（案例52）；會(huì)利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解。

估算是重要的運(yùn)算技能，進(jìn)行估算需要掌握一定的方法，需要積累一定的經(jīng)驗(yàn)，需要避免出現(xiàn)過大的誤差；估算又是運(yùn)算能力的特征之一，進(jìn)行估算需要經(jīng)過符合邏輯的思考，需要有一定的依據(jù)，需要使估算的結(jié)果盡量接近實(shí)際情境，能對(duì)實(shí)際問題做出合理的解釋。

運(yùn)算能力的形成不是一蹴而就的，運(yùn)算能力的發(fā)展總是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從低級(jí)到高級(jí)，從具體到抽象，有層次地發(fā)展起來的。因此，在實(shí)際教學(xué)過程中，既不能讓學(xué)生的運(yùn)算能力在已有的水平上停滯不前，也不能超越知識(shí)的內(nèi)容和其他能力水平孤立地發(fā)展運(yùn)算能力。應(yīng)該貫穿于師生共同參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的全過程中，并體現(xiàn)發(fā)展的適度性、層次性和階段性。

適度性：運(yùn)算能力需要經(jīng)過多次反復(fù)訓(xùn)練，螺旋上升逐步形成，在這一過程中，安排一定數(shù)量的練習(xí)，完成一定數(shù)量的習(xí)題是必不可少的。題量過少，訓(xùn)練不足，難以形成技能，更難以形成能力；然而題量過多，搞成題海戰(zhàn)術(shù)，反而會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒，適得其反。目前，學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)過重，數(shù)學(xué)課程的作業(yè)量過大是重要原因之一。把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的要求，進(jìn)行適量訓(xùn)練，科學(xué)安排，應(yīng)是發(fā)展運(yùn)算能力的要求。

層次性：安排一定數(shù)量的練習(xí)，完成一定數(shù)量的習(xí)題對(duì)形成運(yùn)算能力不可缺少，但訓(xùn)練的難度一定要適當(dāng)，要從數(shù)學(xué)教學(xué)的全局出發(fā)，合理調(diào)控。義務(wù)教育的主要任務(wù)是打基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)尤其如此，訓(xùn)練題要有一定的數(shù)量，更要有合理的質(zhì)量。以二次根式為例，如果沒有最簡(jiǎn)二次根式的概念，沒有分母有理化的要求，就會(huì)使教學(xué)無(wú)所適從，既造成教學(xué)的困惑，又影響高中階段的進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

[1] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象[M].東北師范大學(xué)出版社.2008（6）.第147頁(yè)

[2] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象[M].東北師范大學(xué)出版社.2008（6）.第143頁(yè)

[3] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象[M].東北師范大學(xué)出版社.2008（6）.第143頁(yè)

安排為訓(xùn)練題，那就過于繁瑣，過分強(qiáng)調(diào)技巧，增加了負(fù)擔(dān)，對(duì)今后學(xué)習(xí)的作用也不大，應(yīng)當(dāng)避免。由此可見，層次性也是發(fā)展運(yùn)算能力的要求。

階段性：由前可知，《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)運(yùn)算和運(yùn)算能力的要求是分學(xué)段提出的，每個(gè)學(xué)段的要求都體現(xiàn)了一定的學(xué)段特征，力求符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，這是完全必要的，適宜的。這也表明，階段性也應(yīng)是發(fā)展運(yùn)算能力的要求。

三、運(yùn)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展

運(yùn)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展是一個(gè)長(zhǎng)期的過程，首先伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的積累和深化。正確理解相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，是逐步形成運(yùn)算技能，發(fā)展運(yùn)算能力的前提。運(yùn)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展自然包括運(yùn)算技能的逐步提高，而更應(yīng)引起關(guān)注的是運(yùn)算思維素質(zhì)的提升和發(fā)展。在義務(wù)教育階段，運(yùn)算能力的培養(yǎng)、發(fā)展要經(jīng)歷如下過程：

1.由具體到抽象

第一學(xué)段理解萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)，初步認(rèn)識(shí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)，初步學(xué)習(xí)整數(shù)的四則運(yùn)算，以及簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)和小數(shù)的加減運(yùn)算。第二學(xué)段認(rèn)識(shí)萬(wàn)以上的數(shù)，進(jìn)一步學(xué)習(xí)整數(shù)的四則運(yùn)算（包括混合運(yùn)算），小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算（包括混合運(yùn)算），了解并初步應(yīng)用運(yùn)算律。第三學(xué)段掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算；掌握合并同類項(xiàng)和去括號(hào)的法則，進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式減法、減法和乘法運(yùn)算；利用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算；進(jìn)行簡(jiǎn)單的分式加、減、乘、除運(yùn)算；了解二次根式（根號(hào)下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算；解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程；掌握代入消元法和加減消元法，解二元一次方程組；用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式。

無(wú)論是學(xué)習(xí)和掌握數(shù)與式的運(yùn)算，解方程和解不等式的運(yùn)算，一開始總是和具體事物相聯(lián)系的，以后逐步脫離具體事物，抽象成數(shù)與式，方程與不等式的運(yùn)算。直至到高中階段進(jìn)行更為抽象的符號(hào)運(yùn)算，如集合的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，命題的或、且、非等運(yùn)算。運(yùn)算思維的抽象程度，是運(yùn)算能力發(fā)展的主要特征之一。2.由法則到算理

學(xué)習(xí)和掌握數(shù)與式的運(yùn)算，解方程和解不等式的運(yùn)算，在反復(fù)操練，相互交流的過程中，不僅會(huì)逐步形成運(yùn)算技能，還會(huì)引發(fā)對(duì)怎么算？怎樣算的好？為什么要這樣算？等一系列問題的思考，這是由法則到算理的思考，使運(yùn)算從操作的層面提升到思維的層面，這是運(yùn)算能力發(fā)展的重要內(nèi)容。

《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定了一系列與算理相關(guān)的內(nèi)容。

第二學(xué)段：探索并了解運(yùn)算律（加法的交換律和結(jié)合律、乘法的交換律和結(jié)合律、乘法對(duì)加法的分配律），會(huì)應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行一些簡(jiǎn)便運(yùn)算。了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程。

第三學(xué)段：除了“理解有理數(shù)的運(yùn)算律，能運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算”外，算理的內(nèi)容和要求進(jìn)一步強(qiáng)化，在學(xué)習(xí)方程解法之前，要求“掌握等式的基本性質(zhì)”；在學(xué)習(xí)不等式解法之前，要求“探索不等式的基本性質(zhì)”；為此，《標(biāo)準(zhǔn)》提供了案例53：小麗去文具店買鉛筆和橡皮。鉛筆每支0.5元，橡皮每塊0.4元。小麗帶了2元錢，能買幾支鉛筆、幾塊橡皮？在此案例中，不僅給出了詳細(xì)的解題方案和過程，并指出：這是一個(gè)求整數(shù)解的不等式問題，并且問題是開放的，通過列表具體計(jì)算，有助于學(xué)生直觀理解不等式。對(duì)于初中的學(xué)生，這個(gè)問題是生活常識(shí)，但希望學(xué)生能通過這個(gè)例子學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式看待生活中的問題。在一元二次方程的內(nèi)容中，《標(biāo)準(zhǔn)》不僅設(shè)置了“能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程”，而且增加了“會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等”；“*了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”等內(nèi)容，表明不僅要學(xué)習(xí)和掌握解一元二次方程的運(yùn)算方法，更要思考和領(lǐng)悟解一元二次方程的算理。

3.由常量到變量

函數(shù)在第三學(xué)段是重要的內(nèi)容。函數(shù)概念的引入，運(yùn)算對(duì)象從常量提升到變量。運(yùn)算的內(nèi)容更加豐富多彩，《標(biāo)準(zhǔn)》中不僅有“能確定簡(jiǎn)單實(shí)際問題中函數(shù)自變量的取值范圍，并會(huì)求出函數(shù)值”；“會(huì)利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式”；“會(huì)用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為 的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)”等直接進(jìn)行運(yùn)算的內(nèi)容；還包括與運(yùn)算密切相關(guān)的內(nèi)容，如：“能結(jié)合圖像對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析”；“用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡(jiǎn)單實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系”；“結(jié)合對(duì)函數(shù)關(guān)系的分析，能對(duì)變量的變化情況進(jìn)行初步討論”；“根據(jù)一次函數(shù)的圖像和表達(dá)式 y = kx + b(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時(shí)，圖像的變化情況”；“能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式”；“根據(jù)圖像和表達(dá)式 y =(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時(shí)，圖像的變化情況”；“*知道給定不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定一個(gè)二次函數(shù)”。

由常量到變量，表明運(yùn)算思維產(chǎn)生了新的飛躍，運(yùn)算能力也發(fā)展到一個(gè)新的高度。

4.由單向思維到逆向、多向思維

逆向思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)特點(diǎn)。在第二學(xué)段，《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定“在具體運(yùn)算和解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的過程中，體會(huì)加與減、乘與除的互逆關(guān)系”。在第三學(xué)段，又增加了乘方與開放的互逆關(guān)系。到高中階段，更有指數(shù)與對(duì)數(shù)，微分與積分等互逆關(guān)系。運(yùn)算的互逆關(guān)系，是逆向思維的重要表現(xiàn)形式之一。

運(yùn)算也是一種推理，在實(shí)施運(yùn)算分析和解決問題的過程中，“由因?qū)Ч焙汀皥?zhí)果索因”的推理模式也是經(jīng)常要用到的，表現(xiàn)為有效探索運(yùn)算的條件與結(jié)論，已知與未知的相互聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化，思維方向是互逆的，更是相輔相成的。

在實(shí)施運(yùn)算的過程中，還會(huì)遇到多因素的情況，各個(gè)因素相互聯(lián)系，相互制約，又相輔相成，更加需要思考不同的思維方向，不同的解題思路和不同的解題方法，通過比較，加以擇優(yōu)選用。這是運(yùn)算思維達(dá)到一個(gè)新的高度的重要標(biāo)志，是運(yùn)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展的高級(jí)階段。

由于思維定勢(shì)的消極作用，逆向思維和多向思維的難度較大，在實(shí)施運(yùn)算的過程中，對(duì)分析運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序等各個(gè)環(huán)節(jié)都要學(xué)生引導(dǎo)進(jìn)行周密的思考，力求使運(yùn)算符合算理，達(dá)到正確熟練，靈活多樣，合理簡(jiǎn)潔，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算思維的優(yōu)化及運(yùn)算能力的逐步提高。

第七節(jié) 推理能力

推理在數(shù)學(xué)中具有重要的地位。誠(chéng)如《標(biāo)準(zhǔn)》所指出的：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式”。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要學(xué)習(xí)推理。具有一定的推理能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)課程和課堂教學(xué)的重要目標(biāo)。

一、對(duì)數(shù)學(xué)推理的認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)推理直接與命題有關(guān)。在數(shù)學(xué)中，我們隨時(shí)會(huì)對(duì)思維對(duì)象作出一種斷定。如：“ 是無(wú)理數(shù)”，“ 不是等腰三角形”。我們把這種對(duì)客觀事物的情況有所肯定或否定的思維形式叫作判斷。判斷作為一種思維形式，與表示它的語(yǔ)句有密切關(guān)系。在數(shù)學(xué)中把表示判斷的語(yǔ)句稱為命題。而數(shù)學(xué)推理則是以一個(gè)或幾個(gè)數(shù)學(xué)命題推出另一個(gè)未知命題的思維形式。

上述對(duì)數(shù)學(xué)推理的解釋更多是基于形式邏輯的角度，如果從數(shù)學(xué)內(nèi)部看，數(shù)學(xué)推理反映的是一種基本的數(shù)學(xué)思想，也是一種主要的數(shù)學(xué)方法。它與數(shù)學(xué)證明緊密關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)推理與證明共同構(gòu)成了數(shù)學(xué)的最重要的基礎(chǔ)。

二、《標(biāo)準(zhǔn)》中的推理能力 1.合情推理與演繹推理

推理能力在數(shù)學(xué)中是屬于數(shù)學(xué)思考（思維）能力中的一種，因此《標(biāo)準(zhǔn)》在數(shù)學(xué)思考的目標(biāo)表述中作了明確的要求，指出：要“發(fā)展合情推理和演繹推理能力”。合情推理是數(shù)學(xué)家喬治·波利亞對(duì)歸納推理、類比推理等或然性推理（即推理的結(jié)論不一定成立的推理）的特稱。歸納推理是以個(gè)別（或特殊）的知識(shí)為前提，推出一般性知識(shí)為結(jié)論的推理。它的思維進(jìn)程是從特殊到一般。按照它考慮的對(duì)象是否完全而又分為完全歸納推理和不完全歸納推理。由于完全歸納推理考查了推理前提中所有的對(duì)象或類，所以若前提成立，結(jié)論也一定成立，因此完全歸納推理不是或然的推理而是必然的推理。合情推理中的歸納推理一般指不完全歸納推理。

類比推理是由兩個(gè)或兩類思考對(duì)象在某些屬性上的相同或相似，推出它所在另一屬性也相同或相似的一種推理。它是從特殊到特殊的推理。如由分?jǐn)?shù)類比分式，由分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)得到分式基本性質(zhì)；由二維空間的三角形類比三維空間的四面體，由二維空間的勾股定理得到三維空間的畢達(dá)哥拉斯定理等。類比推理也是一種或然性的推理。而演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）確定的規(guī)則出發(fā)，得到某個(gè)具體結(jié)論的推理，它是必然性推理（即只要推理前提真，得到的結(jié)論一定真）。它的思維進(jìn)程是從一般到特殊。他的基本形式是三段論。2.合情推理與演繹推理功能不同，相輔相成

波利亞很早就注意到“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，??用歐幾里得方式提出來的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)卻是實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。”（波利亞《數(shù)學(xué)與猜想》），因此，與之相適應(yīng)，應(yīng)該有兩類推理：用合情推理獲得猜想，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；用演繹推理驗(yàn)證猜想，證明結(jié)論。正如《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“兩種推理功能不同，相輔相成。”

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，我們會(huì)經(jīng)常遇到同時(shí)采用兩種推理方式來求得問題解決的情形如這樣一個(gè)例：

探索過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線的長(zhǎng)有什么關(guān)系？ 教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這樣的的過程：

（2）證明結(jié)論的正確性。如圖2，連接 和。因?yàn)?和 是⊙ 的切線，則，即 和 均為直角三角形。又因?yàn)?/p>

和

，則 與 全等。于是有。

這是通過演繹推理證明圖形性質(zhì)的過程。

由此可見，合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，都是研究圖形性質(zhì)的有效工具。

在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往重演繹，輕歸納、類比，只滿足于證明現(xiàn)成結(jié)論，學(xué)生很少經(jīng)歷探索結(jié)論、提出猜想的活動(dòng)過程。而在數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)結(jié)論往往比證明結(jié)論更重要。《標(biāo)準(zhǔn)》提出培養(yǎng)合情推理能力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)提供了支撐。

三、關(guān)于學(xué)生推理能力培養(yǎng)

在整個(gè)義務(wù)教育階段，對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)是內(nèi)容學(xué)習(xí)和目標(biāo)達(dá)成的一條主線，也是一個(gè)逐漸提升的長(zhǎng)期過程。如下幾個(gè)方面在教學(xué)中應(yīng)該加以注意。1.推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中

這是《標(biāo)準(zhǔn)》中提出的非常明確的要求。這里的“貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程”應(yīng)該有這樣幾層含義：其一，它應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)課程的各個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容，即應(yīng)包括數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率及綜合實(shí)踐等所有領(lǐng)域內(nèi)容。其二，它應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各種活動(dòng)過程。如在概念教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷從特定對(duì)象的本質(zhì)屬性入手，抽象、概括形成概念的過程，并引導(dǎo)學(xué)生有條理表述概念定義；在命題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生分清條件、結(jié)論，把握條件、結(jié)論間的邏輯關(guān)系；在證明教學(xué)中，更要讓學(xué)生遵循證明規(guī)則，通過數(shù)學(xué)推理、證明數(shù)學(xué)結(jié)論。其三，它也應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的環(huán)節(jié)，如預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)、課堂教學(xué)、自我練習(xí)、測(cè)驗(yàn)考試??，在所有的這些學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，逐步要求學(xué)生做到言必有據(jù)，合乎邏輯。當(dāng)然，“貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程”也應(yīng)包括推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于三個(gè)學(xué)段，合理安排，循序漸進(jìn)，協(xié)調(diào)發(fā)展。

2.通過多樣化的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力

反思傳統(tǒng)教學(xué)，對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)往往被認(rèn)為就是加強(qiáng)邏輯證明的訓(xùn)練，主要的形式就是通過習(xí)題演練以掌握更多的證明技巧。顯然，這樣的認(rèn)識(shí)是帶有局限性的。《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)通過多樣化的活動(dòng)來培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。如《標(biāo)準(zhǔn)》提出：“在觀察、操作等活動(dòng)中，能提出一些簡(jiǎn)單猜想”（一學(xué)段），“在觀察、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力”（二學(xué)段），“在多樣化形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力”（三學(xué)段）。教師要認(rèn)真體會(huì)《標(biāo)準(zhǔn)》所提出的這些要求，針對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)，在課堂教學(xué)中開拓出更加有效的、多樣化的活動(dòng)途徑。

3.使學(xué)生多經(jīng)歷“猜想——證明”的問題探索過程

在“猜想——證明”的問題探索過程中，學(xué)生能親身經(jīng)歷用合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論、用演繹推理證明結(jié)論的完整推理過程，在過程中感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升極為有利。教師要善于對(duì)素材進(jìn)行此類加工，引導(dǎo)學(xué)生多經(jīng)歷這樣的活動(dòng)。例如，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)如下的運(yùn)算規(guī)律：

15×15=1×2×100+25=225，25×25=2×3×100+25=625，35×35=3×4×100+25=1225。

觀察后，引導(dǎo)學(xué)生思考是否有一般性的結(jié)論呢？可以猜想：如果用字母a代表一個(gè)正整數(shù)，則有如下結(jié)論：

(a×10+5)2= a(a+1)×100+25。

但這樣的猜測(cè)是正確的嗎？需要給出證明：。

這是一個(gè)由具體數(shù)值計(jì)算到符號(hào)公式表達(dá)的過程，即由特殊到一般的過程。可以讓學(xué)生感悟，有些問題是可以通過具體問題去得出結(jié)論，然后通過一般性證明來驗(yàn)證自己所發(fā)現(xiàn)結(jié)論的，這就是數(shù)學(xué)推理帶給我們的樂趣。

第八節(jié)

模型思想

模型思想是此次修訂標(biāo)準(zhǔn)新增的核心概念。盡管原標(biāo)準(zhǔn)在課程實(shí)施部分的“教學(xué)建議”中曾提到了“建立模型”一詞，但數(shù)學(xué)模型、建模等概念并未出現(xiàn)在義務(wù)教育階段課程目標(biāo)及內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)的文字表述之中。這次隨著“模型思想”的列入，我們會(huì)看到關(guān)于數(shù)學(xué)模型的相關(guān)提法會(huì)在《標(biāo)準(zhǔn)》的多個(gè)部分出現(xiàn)。特別的，模型思想作為一種基本的數(shù)學(xué)思想更是會(huì)與目標(biāo)、內(nèi)容緊密關(guān)聯(lián)。作為第一線教師應(yīng)對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》中模型思想的含義及要求準(zhǔn)確理解，并把這要求落實(shí)于課堂教學(xué)之中。

一、對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)

所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，去抽象地，概括地表征所研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。

這種結(jié)構(gòu)有兩個(gè)主要特點(diǎn)：其一，它是經(jīng)過抽象舍去對(duì)象的一些非本質(zhì)屬性以后所形成的一種純數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)；其二，這種結(jié)構(gòu)是借助數(shù)學(xué)符號(hào)來表示，并能進(jìn)行數(shù)學(xué)推演的結(jié)構(gòu)。對(duì)數(shù)學(xué)模型可以從兩個(gè)層次上去理解：廣義的理解是把那些凡是針對(duì)客觀對(duì)象加以一級(jí)或多級(jí)抽象所得到的形式結(jié)構(gòu)都視為客觀對(duì)象的模型；狹義的理解是指針對(duì)特定現(xiàn)實(shí)問題或具體實(shí)物對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象所得到的數(shù)學(xué)模型。在中小學(xué)階段數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型一般指后者。

數(shù)學(xué)建模就是通過建立模型的方法來求得問題解決的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程。這一過程的步驟可用如下框圖來體現(xiàn)：

上述步驟中最重要的是抽象成數(shù)學(xué)模型這一步驟。這些步驟反映的是一個(gè)相對(duì)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)建模過程，義務(wù)教育階段特別是小學(xué)的數(shù)學(xué)建模視具體課程內(nèi)容要求，不一定完全經(jīng)歷所有的環(huán)節(jié)，這里有一個(gè)逐步提高的過程。

二、《標(biāo)準(zhǔn)》中模型思想的含義及要求 1．模型思想是一種數(shù)學(xué)的基本思想

在原課標(biāo)中，“模型”一詞出現(xiàn)在第三學(xué)段的教學(xué)建議之中，其提法是“教學(xué)應(yīng)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容采用‘問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展’的模式展開，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用的過程，從而更好理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意義??”。顯然，在這里數(shù)學(xué)建模及其過程更多地被看成是一種教學(xué)活動(dòng)過程和模式，強(qiáng)調(diào)的是其教學(xué)上的意義。修訂后的《標(biāo)準(zhǔn)》將數(shù)學(xué)基本思想作為“四基”之一提出，必然引出這樣的問題：數(shù)學(xué)基本思想主要指哪些思想呢？現(xiàn)在模型思想作為10個(gè)核心概念中唯一一個(gè)以“思想”指稱的概念，這實(shí)際上已經(jīng)明示它是數(shù)學(xué)基本思想之一。史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論》中提出這樣的觀點(diǎn)：“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型，??通過抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系”（史寧中，《數(shù)學(xué)思想概論》第一輯，東北師范大學(xué)出版社，2008.6，第一頁(yè)）。從數(shù)學(xué)產(chǎn)生、數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展、數(shù)學(xué)外部關(guān)聯(lián)三個(gè)維度上概括了對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最大的三個(gè)重要思想。

作為中小學(xué)課程中的模型思想應(yīng)該在數(shù)學(xué)本質(zhì)意義上給學(xué)生以感悟，以形成正確的數(shù)學(xué)態(tài)度。正因?yàn)槿绱耍稑?biāo)準(zhǔn)》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。它鮮明地表述了這樣的意義：建立模型思想的本質(zhì)就是使學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，而且它也是實(shí)現(xiàn)上述目的的基本途徑。

數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，是數(shù)學(xué)發(fā)展到今天在其自身的舞臺(tái)上最精彩的表演。從第四章第一節(jié)的分析可知，今日之?dāng)?shù)學(xué)已突破了傳統(tǒng)的應(yīng)用范圍而向人類幾乎所有的知識(shí)領(lǐng)域滲透，而各門科學(xué)向著“數(shù)學(xué)化”發(fā)展，也成為當(dāng)今科技發(fā)展的一個(gè)重要趨勢(shì)。這里的“滲透”、“數(shù)學(xué)化”說到底就是數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用，作為基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)不能不關(guān)注數(shù)學(xué)發(fā)展的這一特點(diǎn)。

從當(dāng)前各國(guó)數(shù)學(xué)課程改革來看，通過數(shù)學(xué)建模來建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系也成為共同關(guān)注點(diǎn)。如美國(guó)課程標(biāo)準(zhǔn)將“數(shù)學(xué)聯(lián)系”作為重要目標(biāo)，“認(rèn)識(shí)到并能應(yīng)用數(shù)學(xué)于數(shù)學(xué)以外的情境中”是數(shù)學(xué)聯(lián)系的主要內(nèi)涵。該標(biāo)準(zhǔn)還強(qiáng)調(diào)，各種水平的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，應(yīng)包括有機(jī)會(huì)解決在數(shù)學(xué)以外的情境中產(chǎn)生的問題，既可與其他學(xué)科建立聯(lián)系，又可與學(xué)生的日常生活相聯(lián)系。

在加強(qiáng)數(shù)學(xué)與外界聯(lián)系方面，《標(biāo)準(zhǔn)》在總目標(biāo)中也明確提出：“體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系”。標(biāo)準(zhǔn)修改后的這個(gè)新提法與模型思想這一要求是一致的和相互呼應(yīng)的。

2．關(guān)于建立和求解模型的過程要求

前面我們已介紹了數(shù)學(xué)建模的一般步驟。《標(biāo)準(zhǔn)》以義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的實(shí)際情況出發(fā)，將這一過程進(jìn)一步簡(jiǎn)化為這樣三個(gè)環(huán)節(jié)：首先是“從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象數(shù)學(xué)問題”。這說明發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。然后“用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”。在這一步中，學(xué)生要通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等等數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成模式抽象，得到模型。這是建模最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。最后，通過模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實(shí)問題中的意義。顯然，數(shù)學(xué)建模過程可以使學(xué)生在多方面得到培養(yǎng)而不只是知識(shí)、技能，更有思想、方法，也有經(jīng)驗(yàn)積累，其情感態(tài)度（如興趣、自信心、科學(xué)態(tài)度等）也會(huì)得到培養(yǎng)。3．模型思想體現(xiàn)在《標(biāo)準(zhǔn)》的許多方面

正因?yàn)槟Ｐ退枷霃谋举|(zhì)意義上體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的基本思想，所以它滲透于《標(biāo)準(zhǔn)》的許多方面。比如，《標(biāo)準(zhǔn)》中有如下提法：“經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運(yùn)算與建模過程”（數(shù)與代數(shù)總目標(biāo)）；“通過用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會(huì)模型思想”，“體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型”（三學(xué)段目標(biāo)）；“結(jié)合實(shí)際情境，經(jīng)歷設(shè)計(jì)解決具體問題的方案，并加以實(shí)施的過程，體驗(yàn)建立模型、解決問題的過程”（“ 綜合與實(shí)踐”內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)）等等，除此之外，在教學(xué)實(shí)施、教材編寫、評(píng)價(jià)、案例等部分都有關(guān)于模型思想的具體要求，在課程實(shí)施中要注意這一特點(diǎn)。

一、模型思想的培養(yǎng)

1.模型思想需要教師在教學(xué)中逐步滲透和引導(dǎo)學(xué)生不斷感悟

模型思想作為一種思想要真正使學(xué)生有所感悟需要經(jīng)歷一個(gè)長(zhǎng)期的過程，在這一過程中，學(xué)生總是從相對(duì)簡(jiǎn)單到相對(duì)復(fù)雜，相對(duì)具體到相對(duì)抽象，逐步積累經(jīng)驗(yàn)，掌握建模方法，逐步形成運(yùn)用模型去進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣。教師在教學(xué)中要注意根據(jù)學(xué)生的年齡特征和不同學(xué)段的要求，逐步滲透模型思想。比如在一學(xué)段，可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)、簡(jiǎn)單幾何體和平面圖形的過程和簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)收集、整理的過程，使學(xué)生能學(xué)會(huì)用適當(dāng)?shù)姆?hào)來表示這些現(xiàn)實(shí)情境中的簡(jiǎn)單現(xiàn)象，提出一些力所能及的數(shù)學(xué)問題；在二學(xué)段，通過一些具體問題，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察分析抽象出更為一般的模式表達(dá)，如用字母表示有關(guān)的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，總結(jié)出路程、速度、時(shí)間，單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)等關(guān)系式；在三學(xué)段，主要是結(jié)合相關(guān)概念學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)、不等式、方程、方程組、幾何圖形、統(tǒng)計(jì)表格等分析表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題，解決現(xiàn)實(shí)問題。

總之，模型思想的滲透是多方位的。模型思想的感悟應(yīng)該蘊(yùn)含于概念、命題、公式、法則的教學(xué)之中，并與數(shù)感、符號(hào)感、空間觀念等的培養(yǎng)緊密結(jié)合。模型思想的建立是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程。

2.使學(xué)生經(jīng)歷“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程

“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》中模型思想的基本要求，也有利于學(xué)生在過程中理解、掌握有關(guān)知識(shí)、技能，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟模型思想的本質(zhì)。這一過程更有利于學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。

上述活動(dòng)過程完全可以結(jié)合相關(guān)課程內(nèi)容有機(jī)進(jìn)行。比如，關(guān)于方程的教學(xué)，過去我們是從概念到概念，強(qiáng)調(diào)的是方程定義、類型、解法、同解性討論等等比較“純粹”的知識(shí)、技能，而現(xiàn)在，我們可以讓學(xué)生從豐富多樣的現(xiàn)實(shí)具體問題中，抽象出“方程”這個(gè)模型，從而求解具體問題。其過程如下：

3.通過數(shù)學(xué)建模改善學(xué)習(xí)方式

數(shù)學(xué)建模不同于單純的數(shù)學(xué)解題，它是一個(gè)綜合性的過程。這一過程所具有的問題性、活動(dòng)性、過程性、搜索性等特點(diǎn)給學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的改善帶來了很大的空間。如下一些學(xué)習(xí)方式都可以在數(shù)學(xué)建模中嘗試：（1）小課題學(xué)習(xí)方式。讓學(xué)生自主確定數(shù)學(xué)建模課題，設(shè)定課題研究計(jì)劃，完成以后最后提交課題研究報(bào)告。基于數(shù)學(xué)建模的小課題研究針對(duì)不同的年齡段應(yīng)該有不同的層次和不同的水平，但不管何種層次和水平，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)和對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的觀察，提出研究課題。（2）協(xié)作式學(xué)習(xí)方式。在數(shù)學(xué)建模中可以小組為單位在組內(nèi)進(jìn)行合理分工，協(xié)同作戰(zhàn)，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力。（3）開放式學(xué)習(xí)方式。這里的開放是多種意義的，如打破課內(nèi)課外界限，走入社會(huì)，進(jìn)行數(shù)學(xué)調(diào)查；充分利用網(wǎng)絡(luò)資源，收集建模有用信息；鼓勵(lì)對(duì)統(tǒng)一問題的不同建模方式等等。（4）信息技術(shù)環(huán)境中的學(xué)習(xí)方式。充分利用計(jì)算機(jī)的計(jì)算功能、圖形實(shí)現(xiàn)功能、特有軟件包的應(yīng)用功能等，尋求建模途徑，提高數(shù)學(xué)建模的有效性。比如對(duì)“足球比賽中球員如何選擇最佳射門位置？”這樣的問題，完全可以借助計(jì)算機(jī)模擬球員進(jìn)攻路線，通過“幾何畫板”的動(dòng)態(tài)模擬功能構(gòu)建幾何模型，直觀顯示（如圖）：最佳位置應(yīng)該是球員進(jìn)攻路線l上對(duì)球門左右門框(A B)張角最大的那個(gè)點(diǎn)p，即p為切點(diǎn)時(shí)，角APB最大，當(dāng)然這一通過直觀得到的結(jié)論還需運(yùn)用相關(guān)知識(shí)予以證明。

第九節(jié) 應(yīng)用意識(shí) 《標(biāo)準(zhǔn)》在課程目標(biāo)中指出：要使學(xué)生“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。”增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)作為數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)應(yīng)該引起第一線老師的重視，并應(yīng)通過有效的措施在課堂教學(xué)中予以落實(shí)。

一、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的意義

通過第四章的分析我們已知，現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)典型特征就是數(shù)學(xué)應(yīng)用的空前發(fā)展，許多抽象的數(shù)學(xué)理論得到了應(yīng)用，數(shù)學(xué)向其他學(xué)科滲透又形成了許多新的數(shù)學(xué)交叉學(xué)科，就是一些過去與數(shù)學(xué)無(wú)緣的人文學(xué)科也與數(shù)學(xué)產(chǎn)生了聯(lián)系，各門科學(xué)向著“數(shù)學(xué)化”發(fā)展，已成為當(dāng)今科技發(fā)展的一個(gè)趨勢(shì)。數(shù)學(xué)在滲透到各門學(xué)科領(lǐng)域的同時(shí)，它也逐漸滲透到了人們生活的各個(gè)角落：面積、體積、對(duì)稱、百分?jǐn)?shù)、平均數(shù)、比例、角度、概率等成為社會(huì)生活中很常見的名詞；人口增長(zhǎng)率、生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)圖、股票趨勢(shì)圖等不斷出現(xiàn)在報(bào)刊、電視等大眾信息傳播媒介中；而象儲(chǔ)蓄、債券、保險(xiǎn)、面積、體積計(jì)算（估算）、購(gòu)物決策等更是成為人們?cè)谏钪胁豢苫乇艿默F(xiàn)實(shí)問題。現(xiàn)代社會(huì)比以往任何時(shí)候都更需要公民運(yùn)用數(shù)學(xué)去面對(duì)生活、工作中的問題。學(xué)校數(shù)學(xué)課程需要對(duì)數(shù)學(xué)的這種發(fā)展態(tài)勢(shì)和時(shí)代要求作出積極的反應(yīng)。

長(zhǎng)期以來，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的失落是一種普遍存在的現(xiàn)象。特別是為了應(yīng)試的需要，在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重的是技能、技巧的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)課堂上只講抽象的數(shù)學(xué)公式和結(jié)論，不講數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際來源和應(yīng)用方法，“掐頭去尾燒中段”的現(xiàn)象仍然存在。盡管目前已在關(guān)注加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用，但真正落實(shí)到目標(biāo)上還有較大差距，這是我國(guó)數(shù)學(xué)課程改革應(yīng)該正視的問題。加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用，不是簡(jiǎn)單地增加幾個(gè)應(yīng)用題，也不只是追求實(shí)際問題解決的工具價(jià)值，它事實(shí)上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)更加本質(zhì)的東西。數(shù)學(xué)應(yīng)用是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)、形成正確數(shù)學(xué)觀的過程，這一過程以數(shù)學(xué)課程作載體，追求的目標(biāo)不僅是知識(shí)的獲得和問題的解決，更重要的是使學(xué)生通過這一過程學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，掌握數(shù)學(xué)思想方法，感悟數(shù)學(xué)的精神并形成正確的數(shù)學(xué)態(tài)度。從根本上看，它追求的是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升和創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力的培養(yǎng)、發(fā)展。

二、《標(biāo)準(zhǔn)》中應(yīng)用意識(shí)的含義 意識(shí)在心理學(xué)上是一種心理傾向。良好的意識(shí)重在自覺性、自主性和選擇性，它反映一個(gè)人在認(rèn)識(shí)事物對(duì)象過程中，其思維的自覺、獨(dú)立、批判、求異和創(chuàng)造的品質(zhì)。基于這樣的理解，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)就是一種用數(shù)學(xué)的眼光、從數(shù)學(xué)的角度觀察、分析周圍生活中問題的積極的心理傾向和思維反應(yīng)。《標(biāo)準(zhǔn)》指出數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的含義主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：

1.有意識(shí)利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題

這里實(shí)際指的是主動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)，這種意識(shí)的指向是“數(shù)學(xué)知識(shí)現(xiàn)實(shí)化”。學(xué)生能夠有意識(shí)地、積極主動(dòng)地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去分析、解決現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象和問題，這對(duì)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)具有重要意義。仔細(xì)分析這里有兩層意思：一是有意識(shí)利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法去解釋現(xiàn)實(shí)世界中的諸多現(xiàn)象。學(xué)生在日常生活中會(huì)遇到許多客觀存在的現(xiàn)象，當(dāng)遇到這樣的一些現(xiàn)象時(shí)，學(xué)生應(yīng)該具有一定的數(shù)學(xué)敏感性，要善于從數(shù)學(xué)的角度、運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)去解釋這些現(xiàn)象，獲得對(duì)現(xiàn)象本質(zhì)的理解。例如，電視臺(tái)播放某大獎(jiǎng)賽實(shí)況，總要去掉一個(gè)最高分，一個(gè)最低分，然后求其它評(píng)分的平均數(shù)，這是為什么呢？學(xué)生學(xué)了統(tǒng)計(jì)中的平均數(shù)、中位數(shù)等知識(shí)后，他能有意識(shí)地去運(yùn)用這些知識(shí)去分析這一現(xiàn)象，并能給出合理的解釋：“去掉最高分、最低分，求其他分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，這樣既可以降低極端分?jǐn)?shù)的影響，又可以避免給中間幾個(gè)數(shù)據(jù)太大的權(quán)重，合理地分解所有評(píng)分者的評(píng)分誤差”。再如，《標(biāo)準(zhǔn)》第二學(xué)段的一個(gè)例子“閱讀在報(bào)紙或者雜志上發(fā)表的有統(tǒng)計(jì)圖的文章，用自己的語(yǔ)言說明統(tǒng)計(jì)圖所表達(dá)的意思”，這事實(shí)上也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)的要求；二是，有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題。學(xué)生學(xué)習(xí)某一數(shù)學(xué)知識(shí)后，應(yīng)主動(dòng)思考應(yīng)用這一數(shù)學(xué)知識(shí)我能解決現(xiàn)實(shí)生活中的什么樣的問題，這樣就可以把理論與實(shí)際相聯(lián)系了。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了“兩點(diǎn)之間線段最短”這一數(shù)學(xué)知識(shí)后，主動(dòng)思考能解決什么樣的實(shí)現(xiàn)問題呢？善于思考的同學(xué)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，我能解決“在兩個(gè)汽車站之間，怎樣設(shè)加油站的位置，使得到兩個(gè)汽車站的距離最小？”這一實(shí)際問題。學(xué)數(shù)學(xué)的目的就是用數(shù)學(xué)，這一點(diǎn)很重要。

2.認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決 這個(gè)方面實(shí)際指的是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活主動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的一種意識(shí)，它的目標(biāo)是“現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化”。這一要求一方面體現(xiàn)為要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在我們的身邊，現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，如：儲(chǔ)蓄、保險(xiǎn)、選舉、股票、打折銷售等等；另一方面體現(xiàn)為認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中的大量問題都可以抽象成數(shù)學(xué)的問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決。這也即是數(shù)學(xué)建模的思想。例如，某商場(chǎng)搞打折銷售活動(dòng)，有兩種活動(dòng)方案，一種是滿200元省50元，另一種是直接打8折，如果你想買一種商品，請(qǐng)你制定你的購(gòu)買方案？對(duì)于這一打折銷售問題，學(xué)生能意識(shí)到可以抽象為數(shù)學(xué)中的函數(shù)的問題，然后用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)予以解決。這樣，可以讓學(xué)生從認(rèn)識(shí)上建立對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的正確理解，這是很有必要的。

一、應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)

正因?yàn)閿?shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)屬于“意識(shí)”范疇，處于“隱性”狀態(tài)，這就決定了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)具有長(zhǎng)期性，我們不能期望在一兩次解決問題中就能培養(yǎng)起學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。因此，在義務(wù)教育的各個(gè)學(xué)段都應(yīng)不失時(shí)機(jī)地激發(fā)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，促進(jìn)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。1.注重知識(shí)的來龍去脈

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾認(rèn)為，一個(gè)完整的數(shù)學(xué)活動(dòng)可分為經(jīng)驗(yàn)材料的數(shù)學(xué)組織化、數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化、數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用三個(gè)階段（斯托利亞爾，《數(shù)學(xué)教育學(xué)》）。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)往往只注重中間環(huán)節(jié)，而忽視了其他階段。要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，不能只“燒中段”，還要“顧兩頭”，即要注重知識(shí)的來龍去脈，也即讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)知識(shí)“從哪里來”，又會(huì)“到哪里去”。

要讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)知識(shí)“從哪里來”，可從以下兩方面努力。第一，提供數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景材料。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)盡可能結(jié)合數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，介紹一些對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展緊密關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)史資料及實(shí)際問題資料。例如，在數(shù)與代數(shù)部分，向?qū)W生穿插介紹代數(shù)及代數(shù)語(yǔ)言的歷史、正負(fù)數(shù)和無(wú)理數(shù)的歷史、一些重要符號(hào)和重要概念的起源與演變；在統(tǒng)計(jì)與概率部分，介紹一些有關(guān)概率論的起源、擲硬幣試驗(yàn)、布豐投針問題與幾何概率等歷史事實(shí)。第二，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程。現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)信息，教師可結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活或者具體情境，給學(xué)生呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，如“多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘”的教學(xué)，可設(shè)置如下情境：學(xué)校操場(chǎng)的長(zhǎng)、寬分別為m米、a米，由于教學(xué)需要，長(zhǎng)、寬分別增加n米、b米，你能用兩種方法表示擴(kuò)大后的操場(chǎng)面積嗎？學(xué)生畫圖后可得出(m+n)(a+b)和ma+mb+na+nb兩種表示形式。教師再引導(dǎo)學(xué)生得出公式(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。如此，在提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣的同時(shí)，也會(huì)讓學(xué)生感覺到多項(xiàng)式乘法的應(yīng)用價(jià)值。

要讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)知識(shí)“到哪里去”，就要反映數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用過程。義務(wù)教育階段的許多數(shù)學(xué)知識(shí)，如概念的產(chǎn)生、計(jì)算法則的由來、幾何形體的特征及有關(guān)公式等，無(wú)不滲透著數(shù)學(xué)在現(xiàn)代生產(chǎn)、生活和科技中的應(yīng)用。例如，讓學(xué)生用平方的概念探索細(xì)胞分裂（1個(gè)分裂成2個(gè)，再逐步分裂成4，8，16 ?）的次數(shù)與個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，使學(xué)生真正體會(huì)到“數(shù)學(xué)有用、要用數(shù)學(xué)”。

以上事實(shí)上分別展現(xiàn)了當(dāng)前數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中，應(yīng)該關(guān)注的“知識(shí)背景—知識(shí)形成—揭示聯(lián)系”的過程和“問題情境─建立模型─求解驗(yàn)證”的過程，這樣的過程更有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，對(duì)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)大有裨益。

2.在整個(gè)數(shù)學(xué)教育的過程中都應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)

數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教育全過程中。具體而言，在課程目標(biāo)定位、課程內(nèi)容設(shè)置、教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂教學(xué)、課后作業(yè)、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)等數(shù)學(xué)教育諸環(huán)節(jié)都應(yīng)關(guān)注應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。

首先，應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)作為數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)，貫穿于數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率及綜合實(shí)踐等所有領(lǐng)域內(nèi)容的數(shù)學(xué)課程中；其次，在教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，應(yīng)聯(lián)系學(xué)生實(shí)際和社會(huì)生活現(xiàn)實(shí)，合理地解讀教材、拓展教材，積累素材，研制、開發(fā)、生成課程資源；第三，課堂教學(xué)的過程中，應(yīng)同時(shí)關(guān)注生活情境數(shù)學(xué)化和數(shù)學(xué)問題生活化；第四，將定量評(píng)價(jià)與定性評(píng)價(jià)相結(jié)合，適當(dāng)設(shè)計(jì)一定的具有現(xiàn)實(shí)生活背景的問題和一些實(shí)際操作的內(nèi)容，既要關(guān)注學(xué)生應(yīng)用意識(shí)指向的廣闊性（能夠給出多少合理的數(shù)學(xué)解答；能發(fā)現(xiàn)多少包含數(shù)學(xué)知識(shí)的各種不同問題），又要關(guān)注應(yīng)用意識(shí)的主動(dòng)性（面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，能否主動(dòng)嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問題的策略；面對(duì)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，能否主動(dòng)地尋找實(shí)際背景，并探索其應(yīng)用的價(jià)值）。

3.綜合實(shí)踐活動(dòng)是培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)很好的載體。綜合實(shí)踐活動(dòng)有別于學(xué)習(xí)具體知識(shí)的探索活動(dòng)，更有別于課堂上教師的直接講授，是一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)，其教學(xué)目標(biāo)是幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)。

綜合實(shí)踐活動(dòng)是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的重要和有效的載體。綜合實(shí)踐活動(dòng)兼顧“綜合性”與“實(shí)踐性”：一方面，注重學(xué)生自主參與、全過程參與（經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的全過程），讓學(xué)生積極動(dòng)腦（獨(dú)立思考）、動(dòng)手（自主設(shè)計(jì)解決問題的思路）、動(dòng)口（合作交流）；另一方面，注重?cái)?shù)學(xué)與生活實(shí)際、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)的聯(lián)系和綜合應(yīng)用。此外，綜合實(shí)踐活動(dòng)可以以“長(zhǎng)作業(yè)”的形式出現(xiàn)，將課堂內(nèi)的數(shù)學(xué)活動(dòng)延伸到課堂外，讓學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、查閱資料、獨(dú)立思考、合作交流、實(shí)踐檢驗(yàn)、推理論證等多種形式的活動(dòng)。更重要的是，綜合實(shí)踐活動(dòng)不僅關(guān)注結(jié)果，更關(guān)注學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、展現(xiàn)思考?xì)v程、交流收獲體會(huì)、激發(fā)創(chuàng)造潛能的過程。這樣，在多種活動(dòng)形式、多種過程體驗(yàn)及多種評(píng)價(jià)方式的交融浸潤(rùn)中，更利于激發(fā)、促進(jìn)、培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

第十節(jié)

創(chuàng)新意識(shí)

一、對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的認(rèn)識(shí)

創(chuàng)新是21世紀(jì)出現(xiàn)頻率最高的詞匯，它已經(jīng)普及到幾乎每一個(gè)領(lǐng)域，當(dāng)然它也是教育領(lǐng)域最重要的詞匯，它是這次課程改革的標(biāo)志性詞匯的代表。

創(chuàng)新的含義是什么？既簡(jiǎn)單，又復(fù)雜。簡(jiǎn)單地說創(chuàng)新是指做一些新的事情，英文是To make something new。“新”有幾層含義，對(duì)所有人都是“新”的，稱為原創(chuàng)的；或者對(duì)某些人是“新”的；也可以對(duì)自己是“新”的，自己沒有做過的事情。創(chuàng)新能力是指完成創(chuàng)新工作的能力，要求是比較高的；創(chuàng)新意識(shí)要求低一些，認(rèn)識(shí)創(chuàng)新的重要，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中有好奇心，對(duì)新事物感興趣，不斷地發(fā)現(xiàn)和提出問題，有創(chuàng)新的欲望，嘗試去做一些對(duì)自己是新的、沒有想過、沒有做過的事情，用學(xué)過的數(shù)學(xué)方法解決問題。創(chuàng)新的重要性毋庸置疑，什么時(shí)間開始培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)？上個(gè)世紀(jì)末，世界一批最優(yōu)秀科學(xué)家特別是一批諾貝爾獎(jiǎng)獲得者倡導(dǎo)在兒童和學(xué)校教育中開展“做中學(xué)”（“Hans on”）活動(dòng)，提高幼兒園和小學(xué)的科學(xué)教育水平，培育科學(xué)的思維方式。“做中學(xué)”是讓兒童和學(xué)生參與一些“科學(xué)活動(dòng)”。這種做法的目的之一就是激發(fā)孩子的好奇心和激發(fā)想象力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)。在綜合實(shí)踐活動(dòng)的解讀中我們也詳細(xì)介紹了一些具體做法。創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)該從兒童做起，在義務(wù)教育階段結(jié)合年齡特征，尋求適合學(xué)生的形式來不斷加強(qiáng)。

發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)。在上個(gè)世紀(jì)七十年代，數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域開展了一次討論，討論的主題是“在數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育中，什么是最重要的？”——“What is the key in mathematics and mathematical education？”，最主要的是數(shù)學(xué)的定義、公理？數(shù)學(xué)的概念？數(shù)學(xué)的定理？等等。著名數(shù)學(xué)家Harmous 寫了一篇階段性的總結(jié)文章，他的看法是問題是主要的。問題是數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉，也是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的基礎(chǔ)，研究數(shù)學(xué)與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)在這一點(diǎn)上沒有本質(zhì)的差異，只是深度和難度上的差異。問題可以把思考引向深處，問題可以發(fā)現(xiàn)新的思路。

二、《標(biāo)準(zhǔn)》中的創(chuàng)新意識(shí)

在《標(biāo)準(zhǔn)》中，創(chuàng)新意識(shí)是此次修改新增加的一個(gè)核心概念。標(biāo)準(zhǔn)指出“創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終。”我們應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)： 1．創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)應(yīng)貫穿數(shù)學(xué)教育始終

正如前面所指出的，創(chuàng)新意識(shí)應(yīng)該從兒童開始培養(yǎng)。對(duì)于孩子來說好奇心是天性，他們有很多很多的問題，他們對(duì)一切都感到新鮮、富于想象。保護(hù)、激發(fā)他們這些好奇心是教師的職責(zé)。這些是最寶貴的東西，這些就是學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的基礎(chǔ)。隨著年齡的增長(zhǎng)，他們需要學(xué)習(xí)很多新知識(shí)、新技能，學(xué)習(xí)的目的是幫助他們產(chǎn)生更多的問題，解決更多的問題，是使他們的思想更活躍、更豐富。在學(xué)習(xí)過程中，做一些習(xí)題是必要的，目的是幫助學(xué)生更好理解和掌握知識(shí)和技能。長(zhǎng)期以來我們數(shù)學(xué)教育中存在的一個(gè)問題是，過多的、盲目的、僅僅為了應(yīng)對(duì)考試的習(xí)題訓(xùn)練，束縛了學(xué)生的思維，壓抑了他們的好奇心和想象力，以至于很多同學(xué)（甚至成績(jī)很好的同學(xué)）只有不會(huì)做的習(xí)題，卻提不出有價(jià)值的問題。著名數(shù)學(xué)家R.庫(kù)朗在上世紀(jì)40年代所表達(dá)的觀點(diǎn)值得我們思索：

“兩千多年來，人們一直認(rèn)為每一個(gè)受教育者都必須具備一定的數(shù)學(xué)知識(shí)。但是，今天，數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位卻陷入了嚴(yán)重的危機(jī)之中，而且遺憾的是數(shù)學(xué)工作者要對(duì)此負(fù)一定的責(zé)任。數(shù)學(xué)教學(xué)有時(shí)竟演變成空洞的解題訓(xùn)練，這種訓(xùn)練雖然可以提高形式推理的能力，但卻不能導(dǎo)致真正的理解與深入的獨(dú)立思考。

????,教師、學(xué)生和一般受過教育的人都要求數(shù)學(xué)家有一個(gè)建設(shè)性的改造，而不是聽其自然，其目的是要真正理解數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，是科學(xué)思考與行動(dòng)的基礎(chǔ)。”(——R.柯朗（1941年，什么是數(shù)學(xué)的序言，2003，復(fù)旦大學(xué)出版社）

當(dāng)代著名的數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)史專家M.克萊因也批評(píng)了這種現(xiàn)象：”數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列的技巧，這些技巧只不過是它微不足道的方面：它們遠(yuǎn)不能代表數(shù)學(xué)，就如同調(diào)配顏色遠(yuǎn)不能當(dāng)作繪畫一樣。技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物。如果我們對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)有一定的了解，就會(huì)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在形成現(xiàn)代生活和思想中起重要作用這一斷言并不是天方夜譚。(M.克萊因《西方文化中的數(shù)學(xué)》，復(fù)旦大學(xué)出版社，2005）

數(shù)學(xué)教育應(yīng)該啟發(fā)人們的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。當(dāng)然，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)不僅僅是數(shù)學(xué)教育的任務(wù)，而是整個(gè)義務(wù)教育的任務(wù)。正如前面指出的：?jiǎn)栴}是數(shù)學(xué)中最重要的，通過問題意識(shí)培養(yǎng)，激勵(lì)、煥發(fā)學(xué)生潛在的創(chuàng)新精神是數(shù)學(xué)教育應(yīng)該做的中心工作。

2、從“分析與解決問題”到“發(fā)現(xiàn)與提出問題”

20世紀(jì)70年代，在數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中提出了培養(yǎng)學(xué)生“分析和解決問題的能力”。在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)稿）中，又明確提出“提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題（包括簡(jiǎn)單的實(shí)際問題）的能力”，并把它作為數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)之一。在此次次義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修改中，把“發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題”作為了數(shù)學(xué)課程總體目標(biāo)的表述內(nèi)容，即：“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)。” 從強(qiáng)調(diào)“分析與解決問題”到不僅強(qiáng)調(diào)“分析與解決問題”，還要強(qiáng)調(diào)“發(fā)現(xiàn)與提出問題”，這是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的一個(gè)發(fā)展，其實(shí)質(zhì)就是重視創(chuàng)新，重視學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，這應(yīng)該成為基于時(shí)代發(fā)展要求之下的數(shù)學(xué)教育的魂。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須有問題，沒有問題學(xué)不好數(shù)學(xué)，不僅要能解決別人的問題，更重要自己要有問題。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的定義、概念，總要問為什么需要它？它與前面所學(xué)的什么有聯(lián)系？它與實(shí)際生活有什么有聯(lián)系？在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的技能、方法、思想時(shí)，更需要深入發(fā)問，在回答中不斷思考，不斷理解，不斷深入。在數(shù)學(xué)和實(shí)際的情境中，也需要提出問題的意識(shí)。問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，在義務(wù)教育階段，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的好辦法。

3、根據(jù)年齡特點(diǎn)——在日常教與學(xué)中不斷積累經(jīng)驗(yàn)

創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)不能一蹴而就，需要不斷地實(shí)踐，不斷地積累經(jīng)驗(yàn)。在課堂上做，在學(xué)習(xí)中要求，在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)上不斷地幫助學(xué)生積累。在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)時(shí)，應(yīng)該充分考慮不同年齡的學(xué)生特點(diǎn)，對(duì)低齡學(xué)生，結(jié)合他們生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)他們關(guān)注一些身邊的事物，發(fā)現(xiàn)一些有趣問題，引起思考的問題，例如，在學(xué)習(xí)角時(shí)，引導(dǎo)他們觀察、討論那些角是最常見的角——直角，進(jìn)而討論如何利用直角去區(qū)分其他的角？經(jīng)過一段學(xué)習(xí)，又可以討論為什么直角是最重要的角？隨著年齡增長(zhǎng)，引導(dǎo)學(xué)生從“感性”提出問題逐漸向“理性提出問題過渡，不斷積累提出問題，提出好問題的經(jīng)驗(yàn)。在初中階段，可以讓學(xué)生嘗試著從實(shí)際生活情境和數(shù)學(xué)情境中獨(dú)立地提出問題，判斷問題的好壞。

4、“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)的重要載體

“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)的重要載體，這一點(diǎn)在“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容解讀中做了詳細(xì)的論述。教師要充分發(fā)揮綜合與實(shí)踐是“以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)”的特點(diǎn)和功能。讓學(xué)生在此類活動(dòng)中經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、抽象、概括、猜想等多樣性的活動(dòng)，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、進(jìn)而分析、解決問題的全過程。盡量使這樣的過程給學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的孕育留下了非常豐富的“營(yíng)養(yǎng)”，希望教師在日常教學(xué)中把這件事做好。

三、“創(chuàng)新意識(shí)”培養(yǎng)

1、鼓勵(lì)“質(zhì)疑——發(fā)現(xiàn)和提出問題”

學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)是學(xué)會(huì)質(zhì)疑——發(fā)現(xiàn)和提出問題。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家丁石蓀曾說過：沒有問題的學(xué)生不能算是好學(xué)生。保護(hù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的積極性，就像保護(hù)學(xué)生的好奇心一樣，非常重要。學(xué)生可能一下子不會(huì)把問題說清楚，這需要老師耐心引導(dǎo)，了解學(xué)生是教師的基本功。鼓勵(lì)學(xué)生提問應(yīng)該貫穿在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，無(wú)論是在課堂上，還是在日常學(xué)習(xí)中，都應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生提出他們的問題。問題可以是自己的疑惑，可以是自己的困難，也可以是自己的一些發(fā)現(xiàn)，等等。發(fā)現(xiàn)和提出問題是需要氛圍的，需要發(fā)問的“氣場(chǎng)”，這就希望教師營(yíng)造一個(gè)好的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生在這樣的環(huán)境中活躍起來，敢于提問，敢于發(fā)表自己的觀點(diǎn)，敢于討論，敢于堅(jiān)持。

2、鼓勵(lì)“在做中積累經(jīng)驗(yàn)”

有些事情是可以教的，但創(chuàng)新意識(shí)不是靠教出來的，是“做出來的”，是學(xué)生在各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中不斷親身經(jīng)歷、不斷鍛煉，不斷積累而形成的。因此，教師要堅(jiān)持在“做”中去培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、從而逐步提升學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

3、老師要帶頭

凡是要求學(xué)生做的，教師要帶頭，教師在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中應(yīng)該要求自己有問題，能夠提出問題，并通過提問引導(dǎo)教學(xué)不斷深入。在新課程推進(jìn)中，教師在這方面積累了很多很好的經(jīng)驗(yàn)，如，問題驅(qū)動(dòng)式的教學(xué)、問題串式的教學(xué)，還有“問題課程”等等。希望廣大教師創(chuàng)造出更多的好經(jīng)驗(yàn)。

稿源：2011版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》 作者：2011版課標(biāo)解讀專家組

第三篇：課標(biāo)解讀

對(duì)運(yùn)算能力的理解與培養(yǎng)策略

我國(guó)基礎(chǔ)教育課程一直將運(yùn)算作為主要內(nèi)容，運(yùn)算能力是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的重要特征之一，幾十年來一直是我國(guó)數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的焦點(diǎn)。有別于《標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)稿）》，這次《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出“運(yùn)算能力”。

一、如何理解運(yùn)算能力

新課標(biāo)指出：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑來解決問題。”

運(yùn)算的正確、靈活、合理和簡(jiǎn)潔是運(yùn)算能力的主要特征。

（一）要保證運(yùn)算的正確

數(shù)學(xué)的概念、公式、法則、定理是進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的依據(jù)。數(shù)學(xué)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)這些運(yùn)算的依據(jù)，從已知數(shù)據(jù)及算式中推導(dǎo)出結(jié)果。在這樣的推導(dǎo)、運(yùn)算的過程中，如果小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理掌握不扎實(shí)，即出現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算中的知識(shí)性錯(cuò)誤，運(yùn)算結(jié)果的正確性必然受到影響。這也是小學(xué)生運(yùn)算能力差的一個(gè)重要的原因。

例如：計(jì)算200+20÷10，錯(cuò)誤的解法：220÷10=22。根據(jù)四則混合運(yùn)算，算式中既有乘除又有加減，要先計(jì)算乘除、后計(jì)算加減。又如：一個(gè)矩形的花壇，長(zhǎng)為4米，寬為3米，求其周長(zhǎng)。錯(cuò)誤的解法：4×2+3=11或4+3×2=10，出現(xiàn)該錯(cuò)誤的原因在于對(duì)于矩形的周長(zhǎng)公式掌握不牢固。

（二）理解算理

在適度的訓(xùn)練、逐步熟悉的基礎(chǔ)上，對(duì)運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)不僅“知其然”，更應(yīng)“知其所以然”，清楚地意識(shí)到實(shí)施運(yùn)算中的算理。算理從字面理解，即為運(yùn)算的原理或者道理，是解決問題的操作程序，解決“為什么算”的問題。學(xué)生

只有理解了計(jì)算中的道理，才能夠理解和掌握計(jì)算方法，才能正確地、迅速地運(yùn)算。在深入理解運(yùn)算法則、公式推導(dǎo)過程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步關(guān)注法則、公式的使用條件、特例、變式，從多個(gè)角度解釋法則和公式、理解多個(gè)法則公式間的內(nèi)部聯(lián)系。

以16×4運(yùn)算的道理為例，首先使得學(xué)生明白16×4表示4個(gè)16是多少；其次引導(dǎo)學(xué)生思考運(yùn)算的原理：16是由1個(gè)10和6個(gè)1組成的，可以將16×4與以前學(xué)習(xí)的乘法運(yùn)算結(jié)合起來，先算4個(gè)10是多少，再算4個(gè)6 是多少，最后將兩次運(yùn)算的結(jié)果相加，即為16×4的結(jié)果。通過這樣的過程使得學(xué)生理解兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理。

（三）選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑

在實(shí)施運(yùn)算分析和解決問題的過程中，要力求做到善于分析運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，使運(yùn)算符合算理，合理簡(jiǎn)潔。一題多解和多題一解出現(xiàn)在運(yùn)算過程中是十分普遍的，一題多解體現(xiàn)了運(yùn)算的靈活性，多題一解體現(xiàn)了運(yùn)算的普適性。一題多解是激活解法的核心，目的并不在于“解法的多樣化”，而在于思維的“多層次”，在于學(xué)生從眾多的解法中比較反思、分析出解法的優(yōu)劣，最終能夠選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑。

估算是重要的運(yùn)算技能，是運(yùn)算能力的特征之一。估算已經(jīng)成為衡量個(gè)體數(shù)學(xué)計(jì)算能力高低的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)，要充分重視估算。估算指的是個(gè)體懂得什么情況宜于估計(jì)而不必作準(zhǔn)確計(jì)算，并會(huì)靈活使用。

小學(xué)生運(yùn)用估算策略評(píng)價(jià)計(jì)算答案的合理性在于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是非常必要的。小學(xué)生需要用到估算策略（以及動(dòng)手操作、心算和計(jì)算器）來進(jìn)行整數(shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算。學(xué)生從三年級(jí)開始接觸分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)、小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)，在此以后的分?jǐn)?shù)和小數(shù)的運(yùn)算中，學(xué)生需要估計(jì)分?jǐn)?shù)和小數(shù)運(yùn)算的

答案。進(jìn)行估算需要經(jīng)過符合邏輯的思考，需要有一定的依據(jù)，學(xué)生需要掌握估算所必備的知識(shí)、技能和策略。

二、如何培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力

（一）培養(yǎng)學(xué)生良好的計(jì)算習(xí)慣

在計(jì)算中，養(yǎng)成看到題目先審題的習(xí)慣，這樣計(jì)算起來方法會(huì)更正確更合理，計(jì)算速度會(huì)不斷提高。學(xué)會(huì)利用有關(guān)法則、定律進(jìn)行計(jì)算，注意有括號(hào)的要先算括號(hào)里的，同級(jí)運(yùn)算時(shí)要按從左至右的順序依次運(yùn)算，不盲目簡(jiǎn)算；還要仔細(xì)檢查，看有無(wú)錯(cuò)抄、漏抄、算錯(cuò)現(xiàn)象。學(xué)生計(jì)算出現(xiàn)差錯(cuò)，錯(cuò)寫、漏寫數(shù)字和運(yùn)算符號(hào)是常有的事，因此指導(dǎo)好學(xué)生認(rèn)真書寫也十分重要，規(guī)范的書寫格式可以準(zhǔn)確表達(dá)運(yùn)算的思路和計(jì)算步驟。在平時(shí)教學(xué)中，要讓學(xué)生真正理解算理和算法之間的關(guān)系，注意算法的優(yōu)化，只有這樣，才能更好地保證學(xué)生正確計(jì)算。

（二）基礎(chǔ)計(jì)算要過關(guān)

任何復(fù)雜的題都是由一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單的問題組合而成的，無(wú)論是兩位數(shù)乘除兩位數(shù)，還是兩位數(shù)乘除三位數(shù)，或其他更復(fù)雜的計(jì)算題，他們的基礎(chǔ)都是“20以內(nèi)的加減法”。實(shí)踐表明“筆算的錯(cuò)誤”大部分是由于“20以內(nèi)的加減法”不過關(guān)，達(dá)不到不假思索、脫口而出的程度造成的。特別是，如果學(xué)生沒有熟練掌握20以內(nèi)的進(jìn)位加法和退位減法，到了中高年級(jí)學(xué)生的計(jì)算速度和準(zhǔn)確性都會(huì)受到影響。學(xué)生必須熟練掌握20以內(nèi)的進(jìn)位加法和退位減法，以及靈活應(yīng)用乘法口訣，這是一切計(jì)算的基礎(chǔ)。如果基礎(chǔ)都不熟練，計(jì)算起來肯定錯(cuò)誤百出，速度也會(huì)很慢。

（三）注重計(jì)算策略的教學(xué)

小學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)不僅僅只是交給學(xué)生正確、基本的計(jì)算程序，教師更應(yīng)該

使學(xué)生掌握一系列的解題策略。包括加倍、補(bǔ)償、分割、重新組合等。例如，解決8+7=？的問題，可以采用加倍策略：8+7=8+8-1；湊“5”策略：8+7=5+3+5+2；湊“10”策略：8+7=8+2+5.使用湊“5”策略，湊“10”策略的好處在于：學(xué)生對(duì)于“整

五、整十”數(shù)比較熟悉，而且也有利于簡(jiǎn)化計(jì)算。在學(xué)生熟練地運(yùn)用這些策略解決個(gè)位數(shù)計(jì)算的基礎(chǔ)上，還可以將這些策略應(yīng)用于兩位數(shù)、三位數(shù)的加減法運(yùn)算中，例如：43 + 25 =（40+20）+（3+5），324－86=324－100+14等。

（四）理解算理，便于靈活、簡(jiǎn)便地進(jìn)行計(jì)算

計(jì)算的算理是說明計(jì)算過程中的依據(jù)和合理性，也就是為什么這樣計(jì)算。算理是由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律等內(nèi)容構(gòu)成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識(shí)。計(jì)算的算法是說明計(jì)算過程中的規(guī)則和邏輯順序，它通常是算理指導(dǎo)下的一些人為規(guī)定。學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算的過程中明確了算理和算法，就便于靈活、簡(jiǎn)便地進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算的多樣性才有基礎(chǔ)和可能。算理為了算法提供理論指導(dǎo)，算法使算理具體化。

如兩位數(shù)筆算加法運(yùn)算法則：“相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位加起，個(gè)位相加滿十就向十位進(jìn)一。”規(guī)定了兩位數(shù)豎式加法的寫法、算法和計(jì)算的先后順序。期中“相同數(shù)位對(duì)齊”“各位相加滿十向十位進(jìn)一”的理論依據(jù)是“計(jì)算的位值制原則，不同位置上的數(shù)字計(jì)數(shù)單位不同，相同單位的數(shù)字才能相加。為什么要從個(gè)位加起，從十位加起不可以嗎？其實(shí)對(duì)于兩位數(shù)不進(jìn)位加法，從十位加起更簡(jiǎn)便。而對(duì)于兩位數(shù)進(jìn)位加法若從十位加起，“進(jìn)一”后需要十位上再加一，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。為減少學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤，才規(guī)定“從個(gè)位加起”。因此，“計(jì)數(shù)的位值制原則”和相同單位的數(shù)才能相加”是兩位數(shù)加法的算理，而“從個(gè)位加起”只是一種人為規(guī)定。同樣小數(shù)的加法法則：解決小數(shù)加減問題時(shí)，學(xué)生必須先

將小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，再按照整數(shù)加減法法則進(jìn)行計(jì)算。因?yàn)橄嗤膯挝徊拍苓M(jìn)行計(jì)算，因此加數(shù)與加數(shù)，被減數(shù)與減數(shù)的各個(gè)單位必須對(duì)齊。

還要注意兩點(diǎn)：一是強(qiáng)調(diào)算理的教學(xué)，但并不等于每種算法都要讓學(xué)生把算理表達(dá)出來，對(duì)于有的算理，小學(xué)生是難以表述的，只要讓學(xué)生能意識(shí)到它就可以。二是通常不需要在計(jì)算教學(xué)中把算理提出來進(jìn)行專門的教學(xué)，而是把它蘊(yùn)藏在計(jì)算過程之中，讓學(xué)生在計(jì)算中明確這樣算的道理。

（五）向?qū)W生傳授靈活的估算策略，提高學(xué)生的估算能力 1.要求學(xué)生使用首位數(shù)進(jìn)行計(jì)算，然后再調(diào)整答案

一個(gè)簡(jiǎn)單有效的估計(jì)策略是先用首位數(shù)估計(jì)值來替代每個(gè)數(shù)（其他數(shù)位用零代替），然后再計(jì)算。得到的結(jié)果會(huì)給出精確答案的正確大小，然后再計(jì)算，以調(diào)整第一個(gè)估計(jì)值，接著注意第二位數(shù)字。例如：748+436+192.估計(jì)方法是700+400+100=1200，為其他剩余數(shù)字再加200，大約是1400,。請(qǐng)注意這些數(shù)字的傳統(tǒng)程序是先將其四舍五入到最近的百位數(shù)：700+400+200=1300.2.培養(yǎng)學(xué)生先靈活使用四舍五入法則，然后再計(jì)算

對(duì)于許多運(yùn)算來說，在實(shí)施運(yùn)算之前就對(duì)數(shù)字進(jìn)行四舍五入是非常有意義的。但是不能被嚴(yán)格的四舍五入規(guī)則限制住，要使選擇的近似數(shù)盡量同具體運(yùn)算形成“補(bǔ)償”（一個(gè)向上取整，另一個(gè)則向下，或者向同一個(gè)方向取整）和（或）“兼容”（產(chǎn)生能在可視范圍內(nèi)進(jìn)行計(jì)算的數(shù)字）。正如上面例子所表明的，這種類型的四舍五入經(jīng)常在首位策略的調(diào)整階段中使用。例：852×65。可計(jì)算900×60，即大約是54000，或者計(jì)算800×70，即大約是56000。我們也可將兩個(gè)數(shù)字都向下取整，然后再把答案向上取整，從而可以得出結(jié)論，認(rèn)為精確答案在48000和63000之間，約為55000。

如： 852×65，可以把852向上取整900,65向下取整60.也可以反過來把

852向下取整800,65向上取整70。

第四篇：課標(biāo)解讀：讓核心素養(yǎng)真正落地

課標(biāo)解讀：讓核心素養(yǎng)真正落地

“讓核心素養(yǎng)落地”，是本次課程標(biāo)準(zhǔn)（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）修訂的工作重點(diǎn)。核心素養(yǎng)導(dǎo)向，既是課標(biāo)研制工作的主線，也是課標(biāo)文本的主旋律。

一、用核心素養(yǎng)來表述課程目標(biāo)，讓課程“目中有人”

課程目標(biāo)是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)及發(fā)展結(jié)果的期待，是課程內(nèi)容選擇、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)、學(xué)業(yè)質(zhì)量確立的基本方向和依據(jù)。此次課標(biāo)修訂，力求使課程目標(biāo)自覺體現(xiàn)本課程在培育學(xué)生核心素養(yǎng)方面的基本貢獻(xiàn)，結(jié)合本課程的性質(zhì)、理念及課程的基本內(nèi)容，從核心素養(yǎng)視角對(duì)課程總目標(biāo)及學(xué)段目標(biāo)進(jìn)行表述。課程目標(biāo)的素養(yǎng)導(dǎo)向，有利于轉(zhuǎn)變那種將知識(shí)、技能的獲得等同于學(xué)生發(fā)展的目標(biāo)取向，引領(lǐng)教學(xué)實(shí)踐及教學(xué)評(píng)價(jià)從核心素養(yǎng)視角來促進(jìn)和觀察學(xué)生的全面發(fā)展。

二、以課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化來引領(lǐng)教學(xué)實(shí)踐變革，讓學(xué)生在主動(dòng)活動(dòng)中生成素養(yǎng)

本次課標(biāo)修訂的一項(xiàng)重要變革，是以結(jié)構(gòu)化的方式（如主題、項(xiàng)目、任務(wù)等）來組織課程內(nèi)容。課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，意在改變知識(shí)、技能的簡(jiǎn)單線性排列方式，強(qiáng)化知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，凸顯學(xué)科的本質(zhì)、思想方法以及內(nèi)在邏輯。課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，既強(qiáng)調(diào)學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)，還強(qiáng)調(diào)在這樣的結(jié)構(gòu)中所隱含著的學(xué)生的活動(dòng)及活動(dòng)方式的結(jié)構(gòu)化，為課程內(nèi)容的活化、動(dòng)態(tài)化，教學(xué)活動(dòng)的綜合性、實(shí)踐性提供內(nèi)容基礎(chǔ)。結(jié)構(gòu)化的內(nèi)容組織方式，凸顯出不同的知識(shí)技能在學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)中所處的不同地位、所承載的不同教育價(jià)值，提示著教學(xué)實(shí)踐以整體有序、多樣綜合的方式來挖掘知識(shí)的育人價(jià)值。課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，有利于克服教學(xué)中知識(shí)點(diǎn)的逐點(diǎn)解析、技能的單項(xiàng)訓(xùn)練等弊端，引導(dǎo)教師主動(dòng)變革教學(xué)實(shí)踐，從關(guān)注知識(shí)技能的“點(diǎn)狀”“傳輸”自覺變革為關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)技能的主動(dòng)學(xué)習(xí)和思考，關(guān)注教學(xué)的關(guān)聯(lián)性、整體性，關(guān)注學(xué)生在主動(dòng)活動(dòng)中所形成的知識(shí)、技能、過程、方法、態(tài)度、品格、境界的綜合效應(yīng)，關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

需要指出的是，內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，并不意味著可以忽視或無(wú)視知識(shí)點(diǎn)，而是要在知識(shí)結(jié)構(gòu)中去重新認(rèn)識(shí)和定位知識(shí)點(diǎn)的意義與價(jià)值，要在學(xué)生的主動(dòng)活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的教育價(jià)值。在課程標(biāo)準(zhǔn)的“課程內(nèi)容”一章，有“內(nèi)容要求”“學(xué)業(yè)要求”“教學(xué)提示”三個(gè)部分。這三個(gè)部分缺一不可、內(nèi)在關(guān)聯(lián)。“內(nèi)容要求”指向“學(xué)什么”——強(qiáng)調(diào)在結(jié)構(gòu)中的、扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)的重要性，防止知識(shí)虛化；“學(xué)業(yè)要求”指向“學(xué)得怎樣”——結(jié)合教學(xué)內(nèi)容要求，提出素養(yǎng)發(fā)展目標(biāo)；“教學(xué)提示”指向“怎么學(xué)”——即：學(xué)習(xí)這樣的內(nèi)容、達(dá)到這樣的要求，學(xué)生必須經(jīng)歷哪些基本的、典型的活動(dòng)，讓課程“活”起來、“動(dòng)”起來，讓學(xué)生進(jìn)入課程，讓課程內(nèi)容變?yōu)閷W(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的活動(dòng)。

三、依素養(yǎng)發(fā)展水平來描述學(xué)業(yè)質(zhì)量，讓學(xué)生素養(yǎng)具體化、鮮明化

學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展，貫穿課標(biāo)全文本，隱含在課程內(nèi)容及教學(xué)實(shí)踐中，體現(xiàn)在課程學(xué)習(xí)結(jié)果的具體描述中。例如：數(shù)學(xué)學(xué)科提出應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生具有如下素養(yǎng)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。那么，如何才算具有了數(shù)學(xué)的“眼光”“思維”“語(yǔ)言”，有什么樣的表現(xiàn)才能判定學(xué)生是“會(huì)用”了，能夠觀察、思考、表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中的什么樣的問題，才算是“會(huì)”了？這就既需要有課程目標(biāo)的總體指向，需要內(nèi)容的選擇、組織，還需要在各部分內(nèi)容的“學(xué)業(yè)要求”及最終的“學(xué)業(yè)質(zhì)量”部分中，做具體的描述，使核心素養(yǎng)，不再是空洞的語(yǔ)詞口號(hào)而變成學(xué)生真實(shí)的能力、品格和價(jià)值觀。

此次課標(biāo)修訂，希望讓課程標(biāo)準(zhǔn)真正成為教科書編寫的依據(jù)、教學(xué)活動(dòng)開展的依據(jù)、教學(xué)評(píng)價(jià)的依據(jù)，讓課標(biāo)使用者感到課標(biāo)能用、管用、好用，真正引領(lǐng)、推動(dòng)教學(xué)實(shí)踐的深度變革，提高我國(guó)義務(wù)教育教學(xué)質(zhì)量，讓核心素養(yǎng)落地，實(shí)現(xiàn)立德樹人的根本任務(wù)。（北京師范大學(xué)教育學(xué)院教授

郭華）

課標(biāo)解讀：讓核心素養(yǎng)真正落地

“讓核心素養(yǎng)落地”，是本次課程標(biāo)準(zhǔn)（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）修訂的工作重點(diǎn)。核心素養(yǎng)導(dǎo)向，既是課標(biāo)研制工作的主線，也是課標(biāo)文本的主旋律。

一、用核心素養(yǎng)來表述課程目標(biāo)，讓課程“目中有人”

課程目標(biāo)是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)及發(fā)展結(jié)果的期待，是課程內(nèi)容選擇、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)、學(xué)業(yè)質(zhì)量確立的基本方向和依據(jù)。此次課標(biāo)修訂，力求使課程目標(biāo)自覺體現(xiàn)本課程在培育學(xué)生核心素養(yǎng)方面的基本貢獻(xiàn)，結(jié)合本課程的性質(zhì)、理念及課程的基本內(nèi)容，從核心素養(yǎng)視角對(duì)課程總目標(biāo)及學(xué)段目標(biāo)進(jìn)行表述。課程目標(biāo)的素養(yǎng)導(dǎo)向，有利于轉(zhuǎn)變那種將知識(shí)、技能的獲得等同于學(xué)生發(fā)展的目標(biāo)取向，引領(lǐng)教學(xué)實(shí)踐及教學(xué)評(píng)價(jià)從核心素養(yǎng)視角來促進(jìn)和觀察學(xué)生的全面發(fā)展。

二、以課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化來引領(lǐng)教學(xué)實(shí)踐變革，讓學(xué)生在主動(dòng)活動(dòng)中生成素養(yǎng)

本次課標(biāo)修訂的一項(xiàng)重要變革，是以結(jié)構(gòu)化的方式（如主題、項(xiàng)目、任務(wù)等）來組織課程內(nèi)容。課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，意在改變知識(shí)、技能的簡(jiǎn)單線性排列方式，強(qiáng)化知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，凸顯學(xué)科的本質(zhì)、思想方法以及內(nèi)在邏輯。課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，既強(qiáng)調(diào)學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)，還強(qiáng)調(diào)在這樣的結(jié)構(gòu)中所隱含著的學(xué)生的活動(dòng)及活動(dòng)方式的結(jié)構(gòu)化，為課程內(nèi)容的活化、動(dòng)態(tài)化，教學(xué)活動(dòng)的綜合性、實(shí)踐性提供內(nèi)容基礎(chǔ)。結(jié)構(gòu)化的內(nèi)容組織方式，凸顯出不同的知識(shí)技能在學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)中所處的不同地位、所承載的不同教育價(jià)值，提示著教學(xué)實(shí)踐以整體有序、多樣綜合的方式來挖掘知識(shí)的育人價(jià)值。課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，有利于克服教學(xué)中知識(shí)點(diǎn)的逐點(diǎn)解析、技能的單項(xiàng)訓(xùn)練等弊端，引導(dǎo)教師主動(dòng)變革教學(xué)實(shí)踐，從關(guān)注知識(shí)技能的“點(diǎn)狀”“傳輸”自覺變革為關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)技能的主動(dòng)學(xué)習(xí)和思考，關(guān)注教學(xué)的關(guān)聯(lián)性、整體性，關(guān)注學(xué)生在主動(dòng)活動(dòng)中所形成的知識(shí)、技能、過程、方法、態(tài)度、品格、境界的綜合效應(yīng)，關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

需要指出的是，內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，并不意味著可以忽視或無(wú)視知識(shí)點(diǎn)，而是要在知識(shí)結(jié)構(gòu)中去重新認(rèn)識(shí)和定位知識(shí)點(diǎn)的意義與價(jià)值，要在學(xué)生的主動(dòng)活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)的教育價(jià)值。在課程標(biāo)準(zhǔn)的“課程內(nèi)容”一章，有“內(nèi)容要求”“學(xué)業(yè)要求”“教學(xué)提示”三個(gè)部分。這三個(gè)部分缺一不可、內(nèi)在關(guān)聯(lián)。“內(nèi)容要求”指向“學(xué)什么”——強(qiáng)調(diào)在結(jié)構(gòu)中的、扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)的重要性，防止知識(shí)虛化；“學(xué)業(yè)要求”指向“學(xué)得怎樣”——結(jié)合教學(xué)內(nèi)容要求，提出素養(yǎng)發(fā)展目標(biāo)；“教學(xué)提示”指向“怎么學(xué)”——即：學(xué)習(xí)這樣的內(nèi)容、達(dá)到這樣的要求，學(xué)生必須經(jīng)歷哪些基本的、典型的活動(dòng)，讓課程“活”起來、“動(dòng)”起來，讓學(xué)生進(jìn)入課程，讓課程內(nèi)容變?yōu)閷W(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的活動(dòng)。

三、依素養(yǎng)發(fā)展水平來描述學(xué)業(yè)質(zhì)量，讓學(xué)生素養(yǎng)具體化、鮮明化

學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展，貫穿課標(biāo)全文本，隱含在課程內(nèi)容及教學(xué)實(shí)踐中，體現(xiàn)在課程學(xué)習(xí)結(jié)果的具體描述中。例如：數(shù)學(xué)學(xué)科提出應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生具有如下素養(yǎng)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。那么，如何才算具有了數(shù)學(xué)的“眼光”“思維”“語(yǔ)言”，有什么樣的表現(xiàn)才能判定學(xué)生是“會(huì)用”了，能夠觀察、思考、表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中的什么樣的問題，才算是“會(huì)”了？這就既需要有課程目標(biāo)的總體指向，需要內(nèi)容的選擇、組織，還需要在各部分內(nèi)容的“學(xué)業(yè)要求”及最終的“學(xué)業(yè)質(zhì)量”部分中，做具體的描述，使核心素養(yǎng)，不再是空洞的語(yǔ)詞口號(hào)而變成學(xué)生真實(shí)的能力、品格和價(jià)值觀。

此次課標(biāo)修訂，希望讓課程標(biāo)準(zhǔn)真正成為教科書編寫的依據(jù)、教學(xué)活動(dòng)開展的依據(jù)、教學(xué)評(píng)價(jià)的依據(jù)，讓課標(biāo)使用者感到課標(biāo)能用、管用、好用，真正引領(lǐng)、推動(dòng)教學(xué)實(shí)踐的深度變革，提高我國(guó)義務(wù)教育教學(xué)質(zhì)量，讓核心素養(yǎng)落地，實(shí)現(xiàn)立德樹人的根本任務(wù)。（北京師范大學(xué)教育學(xué)院教授

郭華）

第五篇：課標(biāo)解讀工作總結(jié)

溱水路小學(xué)課標(biāo)解讀工作總結(jié)

根據(jù)市教研室關(guān)于課標(biāo)解讀的工作精神及安排，我校積極開展課標(biāo)解讀工作。在教導(dǎo)處的精心組織下，課標(biāo)解讀工作開展順利并取得了初步的成果。現(xiàn)具體總結(jié)如下：

一、加強(qiáng)學(xué)習(xí)，更新教學(xué)理念,積極投身課標(biāo)解讀

為了搞好我校的課標(biāo)解讀工作，我們多次召開教研組長(zhǎng)、備課組長(zhǎng)會(huì)議，在樊校長(zhǎng)的帶領(lǐng)下，集中學(xué)習(xí)了市教研室有關(guān)課標(biāo)解讀的文件，使每個(gè)教研組長(zhǎng)、備課組長(zhǎng)透徹的領(lǐng)會(huì)了課標(biāo)解讀的精神。各學(xué)科教研組長(zhǎng)及時(shí)傳達(dá)市教研室關(guān)于課標(biāo)解讀的具體安排要求。教導(dǎo)處兩次組織課標(biāo)解讀工作的大討論，制定切實(shí)可行的學(xué)校課標(biāo)解讀方案。通過學(xué)習(xí)，從任課教師到教研組長(zhǎng)、備課組長(zhǎng)，統(tǒng)一了思想，提高了認(rèn)識(shí)，把課標(biāo)解讀工作作為本學(xué)期校本教研活動(dòng)的重點(diǎn)工作來做。各教研組、備課組能夠積極行動(dòng)，積極開展活動(dòng)。

1、加強(qiáng)學(xué)習(xí)，不斷更新教學(xué)理念.。我們深知學(xué)習(xí)的重要性。所以，在實(shí)踐中，我們努力學(xué)習(xí)《課程標(biāo)準(zhǔn)》及解讀等教學(xué)理論，從而豐富更新自己的頭腦。我們緊緊圍繞學(xué)習(xí)新課程標(biāo)準(zhǔn)，構(gòu)建新課程，嘗試新教法的目標(biāo)，不斷更新教學(xué)觀念。注重把學(xué)習(xí)新課程標(biāo)準(zhǔn)與構(gòu)件新理念有機(jī)的結(jié)合起來。將理論聯(lián)系到實(shí)際教學(xué)工作中，解放思想，更新觀念.。確立了“一切為了人的發(fā)展”的教學(xué)理念。樹立“以人為本，育人為本”的思想。

2、學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變是本次課標(biāo)解讀的顯著特征。針對(duì)實(shí)踐中存在的問題，我們繼續(xù)確定了“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)交流、學(xué)會(huì)合作” 的學(xué)習(xí)模式。在教學(xué)中努力創(chuàng)造和諧的學(xué)習(xí)氣氛。解讀以來，老師們學(xué)習(xí)能力和解決問題的能力提高了，合作意識(shí)增強(qiáng)了，小組合作學(xué)習(xí)正走向?qū)嵭А?/p>

二、備課組分工明確，任務(wù)具體，確保課標(biāo)解讀順利進(jìn)行

為了更好的完成課標(biāo)解讀工作，使每個(gè)教師在解讀教材課標(biāo)的過程中提高對(duì)課標(biāo)教材的理解和把握，提高我校教師的學(xué)科實(shí)施能力，促進(jìn)教師專業(yè)化發(fā)展。在教導(dǎo)處的指導(dǎo)下，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科根據(jù)自己學(xué)科特點(diǎn)將本學(xué)期教材的解讀內(nèi)容進(jìn)行了分工，每個(gè)教師都有自己的任務(wù)。如語(yǔ)文學(xué)科每個(gè)教師解讀一個(gè)單元，英語(yǔ)學(xué)科按單元分配，數(shù)學(xué)每個(gè)教師解讀幾個(gè)章節(jié)等。在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成各自的解讀任務(wù)。有不少教師在完成學(xué)校分給的任務(wù)的同時(shí)，還互相幫助，相互探討解讀的策略。

三、人人參與，共同成長(zhǎng)，確保課標(biāo)解讀的實(shí)效性

各備課組能夠按照學(xué)校課標(biāo)解讀的要求，把教材解讀工作與集體備課融為一體進(jìn)行，是我校的傳統(tǒng)的教材分析變?yōu)榫哂锌蒲幸饬x的課標(biāo)解讀。以課文確定主備人，人人有任務(wù)，人人鉆研課標(biāo)和教材。先個(gè)人解讀，后集體討論，解惑釋疑，確定結(jié)果，形成教案。主備人在集體說課前先說自己的研讀思路，然后每個(gè)成員針對(duì)解讀內(nèi)容，說出自己的意見，討論教法、學(xué)法實(shí)施策略是否恰當(dāng)，對(duì)解讀出來的困惑和問題，再進(jìn)行集體討論，由本組的骨干教師或經(jīng)驗(yàn)豐富的老師做總結(jié)指導(dǎo)，達(dá)成共識(shí)，形成初步的材料。解讀以來，老師們學(xué)習(xí)能力和解決問題的能力提高了，合作意識(shí)增強(qiáng)了，小組合作學(xué)習(xí)正走向?qū)?效。

四、吃透教材，把握教法，確保學(xué)生健康成長(zhǎng)

課標(biāo)教材解讀的目的是為了促使老師更好的把握教材，吃準(zhǔn)課標(biāo)這個(gè)“度”，使老師更有效的備好課，上好課。在課標(biāo)解讀過程中，不少老師能夠以解讀成果指導(dǎo)備課上課，并以學(xué)校教學(xué)擂臺(tái)賽為平臺(tái)上好一節(jié)公開課，提高了上課的質(zhì)量和層次。

1、深入鉆研教材，備好每一堂課。能根據(jù)教材內(nèi)容及學(xué)生的實(shí)際，擬定教學(xué)方法，創(chuàng)造性地使用教材，編寫比較實(shí)用性的教案，教案中體現(xiàn)學(xué)法的指導(dǎo)。

2、努力改變教學(xué)方式，提高教學(xué)質(zhì)量。在課堂上，大膽改革傳統(tǒng)的教學(xué)方法，把自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)引入課堂，注意調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，加強(qiáng)師生互動(dòng)，充分體現(xiàn)學(xué)生的主動(dòng)性，讓學(xué)生學(xué)得容易，學(xué)得輕松，學(xué)得愉快。同時(shí)，在每一堂課上都充分考慮每一個(gè)層次的學(xué)生學(xué)習(xí)需求和學(xué)習(xí)能力，讓各個(gè)層次的學(xué)生都得到提高。因而取得較好的教學(xué)效果。

3、精心設(shè)計(jì)練習(xí)，認(rèn)真批改作業(yè)。力求每一次練習(xí)都有針對(duì)性，有層次性。同時(shí)對(duì)學(xué)生的作業(yè)批改及時(shí)、認(rèn)真，分析并記錄學(xué)生的作業(yè)情況，將他們?cè)谧鳂I(yè)過程出現(xiàn)的問題做出分類總結(jié)，進(jìn)行講評(píng)，并針對(duì)有關(guān)情況及時(shí)改進(jìn)教學(xué)方法，做到有的放矢。同時(shí)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容布置實(shí)踐性的作業(yè)，如，語(yǔ)文辦手抄小報(bào)、數(shù)學(xué)到超市調(diào)查商品售貨狀況等。

4、做好學(xué)科培優(yōu)轉(zhuǎn)差工作，全面提高教學(xué)質(zhì)量。對(duì)于學(xué)習(xí)能力相 對(duì)好的學(xué)生注重他們?cè)诟顚哟紊系膶W(xué)習(xí)和探究；對(duì)于學(xué)習(xí)能力相對(duì)困難的學(xué)生，從基礎(chǔ)知識(shí)方面著手對(duì)其進(jìn)行再一次針對(duì)性的教育教學(xué)，促使他們可以逐漸跟上其他同學(xué)的腳步。在課后，為不同層次的學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的輔導(dǎo)，以滿足不同層次的學(xué)生的需求，避免了一刀切的弊端，同時(shí)加大了后進(jìn)生的輔導(dǎo)力度。通過老師的不懈努力，同學(xué)們?cè)谔骄繂栴}、預(yù)習(xí)、解決問題等方面有了較大的提高，后進(jìn)生學(xué)習(xí)積極性也有所提高，能自覺完成作業(yè)，考試不及格的人數(shù)也逐漸減少。

五、積極反思，善于發(fā)現(xiàn)，確保自身素質(zhì)不斷提高

在新課標(biāo)精神的指引下，我們認(rèn)真做好教學(xué)反思工作，不斷提高自身的業(yè)務(wù)素養(yǎng)。授課后及時(shí)記載本課教學(xué)的成功和失誤，能夠比較真實(shí)地從教法的選擇、教師的備課、教學(xué)目標(biāo)的要求與學(xué)生的認(rèn)知水平及教材的編寫等方面加以分析，尋找問題出在哪里，并能提出今后的改革措施。從而不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，吸取教訓(xùn)，改進(jìn)教法，提高自身的業(yè)務(wù)素養(yǎng)。

積極參加教研活動(dòng)，努力提高自己的理論水平。在備課組教研中積極發(fā)言，在教學(xué)目標(biāo)，教材處理，規(guī)劃教學(xué)流程，創(chuàng)設(shè)問題情境，化解教學(xué)疑問，促進(jìn)學(xué)生心智發(fā)展上，善于提出自己的意見與建議。在學(xué)校的教研中，敢于提出自己不同的見解和發(fā)表自己的意見。

六、課標(biāo)解讀的困惑。

1、課標(biāo)解讀需要專家引領(lǐng)和指導(dǎo)。

2、解讀成果書寫形式需要進(jìn)一步規(guī)范。