第一篇：新工廠的選址問題

數(shù)學(xué)建模競賽題目

D題新工廠的選址問題

某公司由于沿海地區(qū)工人工資水平上漲，現(xiàn)擬向內(nèi)地設(shè)立新的六個加工廠（加工廠到各地區(qū)距離見附錄一），公司將根據(jù)產(chǎn)品需求地區(qū)與加工點(diǎn)的距離、生產(chǎn)成本等因素決定在各地區(qū)的建廠的規(guī)模。

問題

一、請根據(jù)所給數(shù)據(jù)（見附錄二）預(yù)測未來一年中各地區(qū)每月的產(chǎn)品需求量。問題

二、根據(jù)所給工資標(biāo)準(zhǔn)及運(yùn)輸價格等條件確定各加工廠的生產(chǎn)規(guī)模。數(shù)據(jù)見附錄三。

問題

三、如果允許重新設(shè)定新廠位置，請根據(jù)相關(guān)條件為新廠選址，并給出評價。注：數(shù)據(jù)可根據(jù)百度地圖所給的經(jīng)緯度自行測量計算，工資標(biāo)準(zhǔn)執(zhí)行該新場所在省市的工資標(biāo)準(zhǔn)。建議考慮工資彈性，運(yùn)輸競爭等因素（可參考微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)）運(yùn)輸基本標(biāo)準(zhǔn)參照附錄三。

附錄一：

各城市距各新工廠距離（Km）：

附錄二：

各城市的月需求量（百件）：

地名

天津 太原 石家莊濟(jì)南 鄭州 西安 上海 南京 合肥 武漢 重慶 杭州 長沙 南昌 貴陽 福州 廣州 南寧

附錄三：

1、工廠所在地的工資標(biāo)準(zhǔn)：

注：上表為最低工資標(biāo)準(zhǔn)，若超出正常工作時間為加班實(shí)行加班工資。加班工資為正常工資在單位時間內(nèi)的1.3倍。

2、每位員工平均單位時間間生產(chǎn)量為8件/每小時。

3、運(yùn)輸成本為 1元每件每100公里。

4、每個生產(chǎn)基地容量為800000百件。

第二篇：基站選址問題

基站選址問題（課程設(shè)計）

移動電話運(yùn)營部門計劃投資一千萬在一個當(dāng)前未建立服務(wù)的區(qū)域開展業(yè)務(wù)，設(shè)該區(qū)域有7個位置可以設(shè)立基站，每個基站只能覆蓋一定數(shù)目的社區(qū)，不同位置的基站建造費(fèi)用也不同，基站的建造費(fèi)用和覆蓋社區(qū)如下表，問在哪些地方建造基站才能覆蓋盡可能多的人口并不超過資金預(yù)算？

基站建設(shè)費(fèi)用和覆蓋社區(qū)

待選基站編號 1234567 建造費(fèi)用1.81.34.03.53.82.62.1(百萬元)

覆蓋社區(qū)1,2,42,3,54,7,8,105,6,8,98,9,127,10,11,12,1512,13,14,15

社區(qū)人口表

社區(qū)***131415

人口（千人）24***1614936

具體要求：

1.選擇適當(dāng)?shù)臎Q策變量，寫出基站選址問題的數(shù)學(xué)規(guī)劃；

2.設(shè)計適當(dāng)?shù)挠嬎惴椒ǎㄒ髮?shí)用，可以是近似算法），并說明合理性（參考算法需要說明出處），并分析你的算法是否適合解通用性的一般問題；

3.分析上述數(shù)學(xué)規(guī)劃模型是否可以利用線性規(guī)劃逼近其最優(yōu)解？寫出相應(yīng)算法。

4.算法實(shí)現(xiàn)（軟件計算或自己設(shè)計算法編程）。

5.要求撰寫課程設(shè)計報告。

第三篇：超市選址問題

班級：BX1203姓名：胡先果學(xué)號：25成績：

超市選址問題

——以沃爾瑪超市選址實(shí)證分析為例

[摘要] 選址對于零售企業(yè)來說是關(guān)系到企業(yè)成敗的一個重要環(huán)節(jié)。廣告、價格、顧客服務(wù)、產(chǎn)品及服務(wù)種類都能夠隨著環(huán)境的變化較迅速地做出調(diào)整，相比之下，商店選址可以說是零售戰(zhàn)略組合中靈活性最差的要素，因?yàn)榱闶凵痰甑倪x址本身資金投入大，同時又與企業(yè)后期經(jīng)營戰(zhàn)略的制定，以及適應(yīng)消費(fèi)趨向變動所作的經(jīng)營決策的調(diào)整都息息相關(guān)，很容易受到長期約束。

[關(guān)鍵詞] 選址分析 環(huán)節(jié) 策略 投入 服務(wù)

一、超市選址重要性

超市選址，毫無疑問是加盟超市創(chuàng)業(yè)的最重要因素，決定了大部分的營業(yè)收入。選擇好的開店地點(diǎn)將決定超市的未來前途，因?yàn)楹玫牡曛肥堑赇伵d旺的基礎(chǔ)，甚至可以說選擇了一個好店址，生意就成功了一半。所以，在選址時，超市加盟經(jīng)營者要注意多用心，應(yīng)選擇一個既有品位又能為自己帶來滾滾財源的地方。籌建時，做好商圈分析是必不可少的，但最終目的還是為了選定適當(dāng)?shù)脑O(shè)址地點(diǎn)。店址選擇的重要性主要表現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：

（1）店址選擇是一項(xiàng)大的、長期性投資，關(guān)系著店鋪?zhàn)陨淼陌l(fā)展前途。因?yàn)榈曛芬唤?jīng)確定，就需要投入大量的資金去營建店鋪。當(dāng)外部環(huán)境發(fā)生變化時，它不像人、財、物等經(jīng)營要素可以作相應(yīng)調(diào)整，因?yàn)槠渚哂虚L期性、固定性的特點(diǎn)。

（2）店址是超市確定經(jīng)營目標(biāo)和制定經(jīng)營策略的重要依據(jù)。不同的地區(qū)有不同的社會環(huán)境、人口狀況、地理環(huán)境、交通條件、市政規(guī)劃等特點(diǎn)，它們分別制約著其所在地區(qū)超市的顧客來源和特點(diǎn)及超市對經(jīng)營的商品、價格、促銷活動的選擇。

（3）店址的選擇是否合適，是影響超市經(jīng)濟(jì)效益的一個重要因素。超市加盟店的店址選擇得當(dāng)，就意味著其享有“地利”優(yōu)勢。在同行業(yè)店鋪之間，在規(guī)模相當(dāng)、商品構(gòu)成、經(jīng)營服務(wù)水平基本相同的情況下，好店址必然享有較好的經(jīng)濟(jì)效益。

（4）店址選擇要堅持“方便顧客”的原則，以節(jié)省顧客的購買時間，并最大限度滿足顧客的需要，否則將失去顧客的信賴和支持，店鋪也就失去了生存的基礎(chǔ)

二、超市選址程序、方法及考慮因素

超市選址是一項(xiàng)包括經(jīng)濟(jì)、技術(shù)的綜合性工作。每開一家超市，首先會對當(dāng)?shù)剡M(jìn)行詳細(xì)而嚴(yán)格的調(diào)查與論證，歷時都在一年以上。調(diào)查涉及的范圍包括文化、氣候、居民素質(zhì)、生 1

活習(xí)慣及購買力水平等諸多方面。

（一）超市選址的三原則、四程序

超市選址程序是超市成功選址的通用手段。

1、超市選址的三原則

（1）方便顧客購物

滿足顧客需求是超市經(jīng)營的宗旨，因此超市位置的確定，必須首先考慮方便顧客購物，為此超市要符合以下條件：

a、交通便利。車站附近，是過往乘客的集中地段，人群流動性強(qiáng)，流動量大。如果是幾個車站交匯點(diǎn)，則該地段的商業(yè)價值更高。超市開業(yè)之地如選擇在這類地區(qū)就能給顧客提供便利購物的條件。

b、靠近人群聚集的場所，可方便顧客隨機(jī)購物，如影劇院、商業(yè)街、公園名勝、娛樂、旅游地區(qū)等，這些地方可以使顧客享受到購物、休閑、娛樂、旅游等多種服務(wù)的便利，是超市開業(yè)的最佳地點(diǎn)選擇。但此種地段屬經(jīng)商的黃金之地，寸土寸金，地價高費(fèi)用大，競爭性也強(qiáng)。因而雖然商業(yè)效益好，但并非適合所有超市經(jīng)營，一般只適合大型綜合超市或有鮮明個性的專業(yè)商店的發(fā)展。

c、人口居住稠密區(qū)或機(jī)關(guān)單位集中的地區(qū)。由于這類地段人口密度大，且距離較近，顧客購物省時省力比較方便。商店地址如選在這類地段，會對顧客有較大吸引力，很容易培養(yǎng)忠實(shí)消費(fèi)者群。

d、符合客流規(guī)律和流向的人群集散地段。這類地段適應(yīng)顧客的生活習(xí)慣，自然形成“市場”，所以能夠進(jìn)入超市購物的顧客人數(shù)多，客流量大。

（2）有利于超市開拓發(fā)展

超市選址的最終目的是要取得經(jīng)營的成功，因此要著重從以下幾方面來考慮如何便利經(jīng)營：

a、提高市場占有率和覆蓋率，以利超市長期發(fā)展。超市選址時不僅要分析當(dāng)前的市場形勢；而且要從長遠(yuǎn)的角度去考慮是否有利于擴(kuò)充規(guī)模，如有利于提高市場占有率和覆蓋率，并在不斷增強(qiáng)自身實(shí)力的基礎(chǔ)上開拓市場。

b、有利于形成綜合服務(wù)功能，發(fā)揮特色。不同行業(yè)的商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)設(shè)置，對地域的要求也有所不同。超市在選址時，必須綜合考慮行業(yè)特點(diǎn)，消費(fèi)心理及消費(fèi)者行為等因素，謹(jǐn)慎地確定網(wǎng)點(diǎn)所在地點(diǎn)。尤其是大型百貨類綜合超市更應(yīng)綜合地全面地考慮該區(qū)域和各種商業(yè)服務(wù)的功能，以求得多功能綜合配套，從而創(chuàng)立本超市的特色和優(yōu)勢，樹立本超市的形象。

c、有利于合理組織商品運(yùn)送。超市選址不僅要注意規(guī)模，而且要追求規(guī)模效益。發(fā)展現(xiàn)代商業(yè)，要求集中進(jìn)貨、集中供貨、統(tǒng)一運(yùn)送，這有利于降低采購成本和運(yùn)輸成本，合理規(guī)劃運(yùn)輸路線。因此在超市位置的選擇上應(yīng)盡可能地靠近運(yùn)輸線，這樣既能節(jié)約成本，又能及時組織貨物的采購與供應(yīng)，確保經(jīng)營活動的正常進(jìn)行。

（3）有利于獲取最大的經(jīng)濟(jì)效益

衡量超市位置選擇的優(yōu)劣的最重要的標(biāo)準(zhǔn)是超市經(jīng)營能否取得好的經(jīng)濟(jì)效益。因此，網(wǎng)點(diǎn)地理位置的選擇一定要有利于經(jīng)營，才能保證最佳經(jīng)濟(jì)效益的取得。

2、超市選址的四程序

選擇超市位置，一般可按以下步驟依次進(jìn)行：

（1）選擇區(qū)域、方位

選擇超市店址，先要找出目標(biāo)市場、找準(zhǔn)服務(wù)對象，然后再根據(jù)目標(biāo)市場、服務(wù)對象選擇店址設(shè)置的區(qū)域。另一方面，要根據(jù)超市的經(jīng)營規(guī)模和檔次，測算超市投資回收率，在此基礎(chǔ)上認(rèn)真加以選擇，確定方位。

（2）制圖——找出最佳位置

在確定店址后，應(yīng)繪制出該區(qū)域的簡圖，并標(biāo)出該地區(qū)現(xiàn)有的商業(yè)網(wǎng)點(diǎn)，包括競爭對手和互補(bǔ)超市，還應(yīng)標(biāo)出現(xiàn)有商事結(jié)構(gòu)、客流集中地段、客流量和客流走向、交通路線等，以保證店址決策的正確性。

（3）市場調(diào)查

在超市店址基本區(qū)域方位確定后，必須進(jìn)行周密的市場調(diào)查，論證選址決策的準(zhǔn)確性。在市場調(diào)查過程中，應(yīng)注意將調(diào)查對象分類統(tǒng)計，并對調(diào)查時間和內(nèi)容進(jìn)行必要的抽樣調(diào)查，以保證調(diào)查資料的可靠性。

（4）具體實(shí)施方案的制訂和落實(shí)

確定店址的具體位置后，需要抓緊時機(jī)投資興建超市。如何啟動則需要擬定切實(shí)可行的實(shí)施方案并加以貫徹落實(shí)。

（二）超市選址的方法及影響因素

1、超市選址的方法

超市選址中通常運(yùn)用到加權(quán)評分法來輔助選址，加權(quán)評分法即綜合考慮成本因素和非成本因素的評價方法。找到選擇的各種影響因素，根據(jù)各因素的重要程度確定相應(yīng)的權(quán)；對各因素由優(yōu)到劣分成等級，并相應(yīng)規(guī)定各等級的分?jǐn)?shù)。將每個因素中各方案的排隊等級分?jǐn)?shù)乘以該因素的相應(yīng)權(quán)數(shù)，得到各候選方案的總得分，得分最高的候選方案所對應(yīng)的位置即是選

擇的地址。

2、超市選址的影響因素

（1）地理因素：目標(biāo)地址所在地區(qū)的特點(diǎn)；

（2）商品因素：超市自身所經(jīng)營的商品種類特色是否與所在商圈的居民購物慣相符；

（3）經(jīng)營規(guī)模：超市自身經(jīng)營規(guī)模與商圈覆蓋范圍成正比；

（4）交通情況：能否提供足夠的交通工具（場所）給顧客。

三、沃爾瑪超市選址的實(shí)證分析

對于沃爾瑪這樣的連鎖零售店來說，由于其大多數(shù)的單店規(guī)模較大，位置固定，資金投入量大，合同期長，所以不可能輕易搬遷，也不太可能輕易改變經(jīng)營方式。而如果沃爾瑪自己購買土地新建商店，更難以變動。合適的買主通常很難尋找，需要花數(shù)月，甚至更長時間。一家商店若搬遷，會面臨許多潛在問題：首先，可能流失一部分忠誠的顧客和員工，搬遷距離越遠(yuǎn)，損失越大；其次，新地點(diǎn)與老地點(diǎn)的市場狀況不同，可能需要對經(jīng)營策略進(jìn)行調(diào)整；再次，商店的固定資產(chǎn)及裝修不可能隨遷，處理時如果估價不當(dāng)，也會造成資產(chǎn)流失。這些因素使零售商店的選址變得異常重要，特別是外資零售企業(yè)在這方面表現(xiàn)得極為慎重。沃爾瑪在進(jìn)入中國之前，就對中國市場進(jìn)行了長達(dá)數(shù)年的深入細(xì)致的市場調(diào)查。其實(shí)早在1 9 92年，沃爾瑪就已經(jīng)被獲準(zhǔn)進(jìn)入中國，但是沃爾瑪在1 9 9 6年才在深圳落戶，在進(jìn)入中國之前它一直在對當(dāng)?shù)厣倘Φ慕煌ā⑷丝凇⒏偁幥闆r和市場發(fā)展格局進(jìn)行考察，以便于選擇一個好的店址。隨著越來越多的店鋪的開發(fā)，沃爾瑪總結(jié)出了一套自己的選址經(jīng)驗(yàn)，并在新店的選址過程中遵循這些經(jīng)驗(yàn)。

△從連鎖發(fā)展計劃出發(fā)

沃爾瑪設(shè)立門店要從發(fā)展戰(zhàn)略出發(fā)，通盤考慮連鎖發(fā)展計劃，以防設(shè)店選址太過分散。沃爾瑪門店分布有長遠(yuǎn)規(guī)劃，并且具有一定的集中度，這有利于總部實(shí)行更加精細(xì)科學(xué)的管理，節(jié)省人力、物力、財力，而且每一個門店的設(shè)立都為整個企業(yè)的發(fā)展戰(zhàn)略服務(wù)。

△選擇經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的城鎮(zhèn)

經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)、居民生活水平較高的城市是零售商店的首選地。因?yàn)樵谶@些城市人口密度大，人均收入高，需求旺盛，工商業(yè)發(fā)達(dá)，零售店在當(dāng)?shù)赜休^高的發(fā)展水平。有研究報告指出，有沃爾瑪折扣店的小鎮(zhèn)，一般比沒有折扣店的小鎮(zhèn)經(jīng)濟(jì)更發(fā)達(dá)。在這樣的城鎮(zhèn)中沃爾瑪會保證自己有充足的客源。

△選擇城鄉(xiāng)接合部

以中小零售店和居民作為主要目標(biāo)市場的山姆會員店，其店址一般都選在遠(yuǎn)離市中心的城鄉(xiāng)接合部，或在次商業(yè)區(qū)或新開辟的居民區(qū)中，在該商場周圍要有20～30萬人的常住人口。這樣的地點(diǎn)也一般應(yīng)具備這樣兩個條件：第一，該地點(diǎn)土地價格和房屋租金要明顯低于市中心，土地價格一般為市中心的／以下，這樣減少了零售店投資，降低運(yùn)營成本，為沃爾瑪倉儲式零售店的低價格銷售創(chuàng)造條件；第二，要符合城市發(fā)展規(guī)劃，與城市拓展延伸的軌跡相吻合，這樣由于城市的發(fā)展會給倉儲式零售店帶來大量客流量，降低投資風(fēng)險。

△交通便利性

主要需要了解兩方面的情況：一是該地是否接近主要公路，交通網(wǎng)絡(luò)能否四通八達(dá)，商品從火車站、碼頭運(yùn)至商店是否方便，白天能否通過大型貨車，因?yàn)榇蟪鞘衅毡閷Υ笮拓涇噷?shí)行運(yùn)輸管制，中心區(qū)許多街道不允許貨車通過，有的只允許夜間通行。二是該地是否有較密集的公交汽車路線，商店附近各條公交路線的停*點(diǎn)能否均勻全面地覆蓋整個市區(qū)。

四、從沃爾瑪超市選址得到的啟示

我們可以看到在進(jìn)行店址選擇時應(yīng)考慮到選址三原則：

1、方便顧客購物；

2、有利于超市開拓發(fā)展；

3、有利于獲取最大的經(jīng)濟(jì)效益。選址首先要選擇目標(biāo)地點(diǎn)——黃浦新苑店、北聯(lián)中環(huán)店和上海天山店。選擇具體地點(diǎn)時首先考慮零售市場發(fā)達(dá)程度，其次考慮進(jìn)入成本。最后根據(jù)店址和商圈的特征選擇一個避免價格戰(zhàn)的靈活SBU層經(jīng)營戰(zhàn)略。選址工作應(yīng)提供的是一個系統(tǒng)工程與零售學(xué)相結(jié)合所得出的分析思路和框架。當(dāng)然在超市選址中還應(yīng)遵循選址的四程序。所進(jìn)行的分析遵循的三原則和四程序不僅僅可以幫助世紀(jì)聯(lián)華進(jìn)行超市店鋪選址，也可以幫助與其類似的商家進(jìn)行規(guī)范的選址。特別值得一提的是加權(quán)評分法，是其它商家非常值得借鑒的。

第四篇：基站選址問題

基站選址問題

移動電話運(yùn)營部門計劃投資一千萬在一個當(dāng)前未建立服務(wù)的區(qū)域開展業(yè)務(wù)，設(shè)該區(qū)域有7個位置可以設(shè)立基站，每個基站只能覆蓋一定數(shù)目的社區(qū)，不同位置的基站建造費(fèi)用也不同，基站的建造費(fèi)用和覆蓋社區(qū)如下表，問在哪些地方建造基站才能覆蓋盡可能多的人口并不超過資金預(yù)算？

基站建設(shè)費(fèi)用和覆蓋社區(qū)

待選基站編號 1234567 建造費(fèi)用1.81.34.03.53.82.62.1(百萬元)

覆蓋社區(qū)1,2,42,3,54,7,8,105,6,8,98,9,127,10,11,12,1512,13,14,15

社區(qū)人口表

社區(qū)***131415

人口（千人）24***1614936

第五篇：城區(qū)公路選址問題

XX學(xué)院

第三屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

（201X年5月17日14時－5月23日14時）

參賽題目

A

B

（在所選題目上打勾）

參賽隊員1

參賽隊員2

參賽隊員3

姓名

學(xué)號

學(xué)院

一卡通號

手機(jī)

Email

教學(xué)部

XX第三屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

承

諾

書

我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。

我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。

我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。

我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）：

A

我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：

參賽隊員

(打印并簽名)

：1.2.3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人

(打印并簽名)：

日期：

201X

年

05

月

日

賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：

XX大學(xué)XX學(xué)院第三屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

編

號

專

用

頁

評閱編號（由組委會評閱前進(jìn)行編號）：

評閱記錄（可供評閱時使用）：

評

閱

人

評

分

備

注

城區(qū)公路選址問題

摘要

根據(jù)AB之間地的不同區(qū)域不同造價的特點(diǎn)，本文采用了兩種方法，一種是將連續(xù)問題離散化利用窮舉法取最優(yōu)的方法。另一種是在窮舉法的所求結(jié)果的基礎(chǔ)上利用極限定義無限逼近的思想縮小最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的存在的可能區(qū)域，進(jìn)而再利用非線性規(guī)劃從而得出最優(yōu)解。

問題一：用窮舉法建立了一個模型，所得最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)為（5,6）、（6，5）（最小花費(fèi)為14.7068百萬元）。

問題二：通過在問題一的基礎(chǔ)分析，再次利用窮舉法建立了模型逐步計算關(guān)于CD對稱的兩個轉(zhuǎn)彎網(wǎng)格點(diǎn)的建設(shè)費(fèi)用，通過比較得出（4，7），（7，4）兩點(diǎn)，為所最小建設(shè)費(fèi)用的轉(zhuǎn)彎點(diǎn)。最小費(fèi)用為14.624百萬元。

問題三：本問題要求鋪設(shè)線路落在網(wǎng)格線上，利用Matlab求出

f(x)

在各個網(wǎng)絡(luò)線的最小值，再通過比較，找出最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)（4.5719，6）、（6,4.5719），最小費(fèi)用為14.6989百萬元。

問題四：同問題三模型思想方法，得出關(guān)于建設(shè)總費(fèi)用的目標(biāo)函數(shù)二元方程f(x，y)，再利用Matlab求出

目標(biāo)函數(shù)在可能區(qū)域的最小值，得到最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，最小費(fèi)用為14.6989百萬元。

問題五：將路線分成無數(shù)小段，利用積分的思想模型，求出建設(shè)費(fèi)用。

關(guān)鍵詞：

窮舉法

無限逼近

非線性規(guī)劃

一

問

題

重

述

城區(qū)公路選址問題

某區(qū)政府計劃在下列區(qū)域（見圖1）修建一條從A（0,9）到B（9,0）的直線型公路，由于涉及路面拆遷等因素，各地段建設(shè)費(fèi)用有所不同，圖1中的數(shù)字代表該區(qū)域公路單位建設(shè)費(fèi)用（單位：百萬元）。未標(biāo)數(shù)字的任何地方單位建設(shè)費(fèi)用均為1。圖1的每個網(wǎng)格長與寬都是1個單位。每個網(wǎng)格的邊界上建設(shè)費(fèi)用按該地區(qū)最小單位費(fèi)用計算。

請你按建設(shè)部門的如下具體要求，從建設(shè)費(fèi)用最省的角度，給出最優(yōu)的方案。

（1）公路至多只能有1個轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，且轉(zhuǎn)彎點(diǎn)只能建在圖1所示的網(wǎng)格點(diǎn)上。

（2）公路至多可以有2個轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，且轉(zhuǎn)彎點(diǎn)只能建在圖1所示的網(wǎng)格點(diǎn)上。

（3）公路至多只能有1個轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，且轉(zhuǎn)彎點(diǎn)只能建在圖1所示的網(wǎng)格線上。

（4）公路至多只能有1個轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，轉(zhuǎn)彎點(diǎn)可以建在圖1所示區(qū)域的任何位置。

（5）如果各區(qū)域的單位建設(shè)費(fèi)用為（百萬元），公路至多只能有1個轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，轉(zhuǎn)彎點(diǎn)可以建在圖1所示區(qū)域的任何位置。

二

問題分析

本問題主圍繞由A點(diǎn)到B點(diǎn)公路選址展開，要求建設(shè)費(fèi)用最少。根據(jù)各個區(qū)域的費(fèi)用不同，確定轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的位置。我們采用了兩種方法求得最少的花費(fèi)，分別為非線性規(guī)劃模型和逐點(diǎn)遍歷模型。

問題一

我們利用窮舉法建立模型一，用來確保結(jié)果是最小值，根據(jù)圖像的對稱性以及單位區(qū)域建設(shè)費(fèi)用的分布規(guī)律，著重對AB上方區(qū)域點(diǎn)采用枚舉分析計算，得出結(jié)果。

問題二

本問題與問題一相比,增加一個轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，通過對問題的分析可以得到符合條件的兩個轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，應(yīng)該對稱的分布在直線y=x的兩側(cè)。我們在問題一所建立的兩種模型的基礎(chǔ)上均增加相應(yīng)約束條件，通過對比分析得出最少花費(fèi)的鋪設(shè)線路（即兩個轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的位置）。

問題三

本問題要求鋪設(shè)線路落在網(wǎng)格線上，在問題1、2的基礎(chǔ)上通過分析歸納縮小符合該條件的網(wǎng)絡(luò)線的分布位置。利用非線性規(guī)劃求解，建立模型二，可以得出一個關(guān)于建設(shè)總費(fèi)用的目標(biāo)函數(shù)f(x)，而且可知f(x)在整個區(qū)域連續(xù)且可微，利用Matlab求出

f(x)符合在某一點(diǎn)有局部極小點(diǎn)的條件，再通過比較符合條件的各個網(wǎng)絡(luò)線的最小值，找出最優(yōu)解。

問題四

類似于問題三的分析方法，找出符合條件的最小區(qū)域。利用非線性規(guī)劃求解，可以得出一個關(guān)于建設(shè)總費(fèi)用的目標(biāo)函數(shù)f(x,y)，而且可知f(x，y)在整個區(qū)域連續(xù)且可微，利用Matlab求出

f(x，y)，找出最優(yōu)解。

問題五

將路線分成無數(shù)小段，利用積分的思想模型，求出建設(shè)費(fèi)用

三.符號說明，為建設(shè)總費(fèi)用

x

為選取轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的橫坐標(biāo)

y

為選取轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的縱坐標(biāo)

為選取轉(zhuǎn)彎點(diǎn)和A點(diǎn)連線與直線y=9的夾角

為選取轉(zhuǎn)彎點(diǎn)和B點(diǎn)連線與直線x=9的夾角

d1

為選取點(diǎn)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)與A點(diǎn)之間的距離

d2

為選取點(diǎn)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)與B點(diǎn)之間的距離

五.模型建立與求解

D

A

1.1

1.1

1.1

1.1

1.1

1.1

1.1

1.1

1.1

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.1

1.1

1.2

C

1.3

1.3

1.3

1.3

1.2

1.1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.4

1.3

1.2

1.1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.4

1.3

1.2

1.1

1.1

1.2

1.3

1.3

1.3

1.3

1.2

1.1

1.1

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.2

1.1

1.1

1.1

1.1

1.1

1.1

1.1

1.1

1.1

B

問題一:

通過觀察圖形分析得到圖形關(guān)于直線AB對稱，但由于下側(cè)單位區(qū)域建設(shè)費(fèi)用相對較大，故而最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)必然在AB上側(cè)。AB上側(cè)又關(guān)于直線CD對稱，故而只要分析CD上方區(qū)域即可。

依次將該區(qū)域各個點(diǎn)求解建設(shè)費(fèi)用，通過比較得出（5，6）為網(wǎng)格點(diǎn)上最優(yōu)的轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，最小費(fèi)用為14.7068百萬元。再有對稱性可得（6，5）也為網(wǎng)格點(diǎn)上最優(yōu)的轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，最小費(fèi)用為14.7068百萬元。

問題二:

通過在問題一的基礎(chǔ)分析可知，所選的兩個最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)必然關(guān)于直線CD對稱。逐步計算對稱的兩個轉(zhuǎn)彎網(wǎng)格點(diǎn)的建設(shè)費(fèi)用，通過比較得出

（4，7），（7，4）兩點(diǎn)，為所最小建設(shè)費(fèi)用的轉(zhuǎn)彎點(diǎn)。最小費(fèi)用為14.624百萬

元。

問題三:

通過問題一二的求解，利用無限逼近思想可以知道最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)網(wǎng)格線必然在問題一所求到的轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的附近，利用Matlab軟件求解附近的各個網(wǎng)格線上的建設(shè)費(fèi)用最小的點(diǎn)。

1.左邊網(wǎng)格線

（4<=x<=5,y=6）

因此得到費(fèi)用函數(shù)

用Matlab軟件解得答案：

xmin

=

4.5719

fmim

=

14.6989

2.上邊網(wǎng)格線

（x=5,6<=y<=7）

因此得到費(fèi)用函數(shù)

用Matlab軟件解得答案：

ymin

=

6.0001

fmim

=

14.7068

3.右邊網(wǎng)格線

（5<=x<=6,y=6）

因此得到費(fèi)用函數(shù)

用Matlab軟件解得答案：

xmin

=

5.0001

fmim

=

14.7068

4.下邊網(wǎng)格線

（x=4,5<=y<=6）

因此得到費(fèi)用函數(shù)

用Matlab軟件解得答案：

ymin

=

5.8286

fmim

=

14.7066

通過比較四條網(wǎng)格線上的最小費(fèi)用點(diǎn)，得出點(diǎn)（4.5719，6）即所求的最優(yōu)轉(zhuǎn)為點(diǎn)，再利用圖形對稱性得到點(diǎn)（6，4.5719）也是最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)。最小費(fèi)用為14.6989百萬元。

問題四:

通過問題三四個網(wǎng)格線上建設(shè)費(fèi)用最小轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的分布，利用無限逼近的思想可以推測問題四的最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)在（5，5.8286）以及（4.5719，6）的附近區(qū)域。綜合各方面限制條件列出一下函數(shù)式，并利用Matlab軟件解得答案：

因此得到費(fèi)用函數(shù)

xmin

=

4.6215

ymin

=

5.9127

fmim

=

14.6208

問題五：

六.模型的評價與建議

模型的主要優(yōu)點(diǎn)：

對于問題一、二所建立的模型一，利用圖像的對稱性以及單位區(qū)域建設(shè)費(fèi)用的分布規(guī)律，減少了大量繁瑣的數(shù)學(xué)計算。問題三、四在問題一、二的求解基礎(chǔ)上，通過理論分析排除了大量的不可能區(qū)域，縮小了公路最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的可能區(qū)域大大簡化了計算量，進(jìn)而利用非線性規(guī)劃求解，建立模型二，可以得出一個關(guān)于建設(shè)總費(fèi)用的目標(biāo)函數(shù)f(x)，模型原理簡單明了，系統(tǒng)直觀的反映了轉(zhuǎn)彎點(diǎn)位置與建設(shè)費(fèi)用的關(guān)系，在計算復(fù)雜求導(dǎo)時借助Matlab軟件，提高了計算效率。

模型的主要不足：

模型一枚舉法存在很大的局限性，需要考慮的情況較多，并且存在較大的計算量，不是最佳方案。另外通過分析歸納縮小符合問題三、四條件的最佳轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的分布位置的方法不是太嚴(yán)謹(jǐn)。

對城區(qū)公路建設(shè)及選址的建議：

直線行的公路呆板，行車單調(diào)，容易使駕駛員產(chǎn)生疲勞，容易發(fā)生超車和超速行駛，行車時難以估計車輛之間的距離，所以現(xiàn)代城區(qū)公路一般都采用環(huán)形設(shè)計。

城區(qū)公路應(yīng)盡量避開城市主要商業(yè)中心。城市快速路車流量大，車速快，人的流動性大，不利于商圈集聚人氣，不利于商業(yè)發(fā)展。城市快速路不宜建在景觀路段。特別是采用路塹式和高架式的城市快速路，在帶來便利交通的同時必然對城市景觀構(gòu)成破壞。

七.參考文獻(xiàn)

[1]

姜啟源，謝金星，葉俊，《數(shù)學(xué)模型》（第三版），北京：高等教育出版社，2003.8

[2]

曹衛(wèi)華

郭正，《最優(yōu)化設(shè)計方法及

MATLAB的實(shí)現(xiàn)》，北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2005.[3]

李清波

《道路規(guī)劃與設(shè)計》

人民交通出版社;

第1版

2002年1月

[4]鄔學(xué)軍、周凱、宋軍全，《數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)教程》，杭州天目山路148號，浙江大學(xué)出版社，2009年8月

[5]王沫然，《MATLAB5.X

與科學(xué)計算》，北京清華大學(xué)學(xué)研樓，清華大學(xué)出版社，2000年5月

[6]

李海濤、鄧攖，《MATLAB6.1

基礎(chǔ)及應(yīng)用技巧》，北京，國防工業(yè)出版社，2002年3月

附

件

附件一：

問題三的Matlab語言源代碼：問題一所求得的最優(yōu)拐彎點(diǎn)最近的四條最小網(wǎng)格線

左邊的網(wǎng)格線最優(yōu)造價函數(shù)求解代碼：

>>

fy=inline(＇1.1*sqrt(x^2+9)+sqrt((9-x)^2+36)/(9-x)*(11.1-1.3*x)＇);

>>

[xmin,fmim]=fminbnd(fy,4,5)

xmin

=

4.5719

fmim

=

14.6989

右邊的網(wǎng)格線最優(yōu)造價函數(shù)求解代碼：

fy=inline(＇1.1*sqrt(x^2+9)+sqrt(36+(9-x)^2)*(11.1-1.3*x)/(9-x)＇);

>>

[xmin,fmim]=fminbnd(fy,5,6)

xmin

=

5.0001

fmim

=

14.7068

上邊的網(wǎng)格線最優(yōu)造價函數(shù)求解代碼：

>>

fy=inline(＇(10.5-1.2*y)*sqrt((9-y)^2+25)/(9-y)+(1.05+0.6/y)*sqrt(y^2+16)＇);

>>

[ymin,fmim]=fminbnd(fy,6,7)

ymin

=

6.0001

fmim

=

14.7068

下邊的網(wǎng)格線最優(yōu)造價函數(shù)求解代碼：

>>

fy=inline(＇1.15*sqrt(y^2+16)+sqrt(25+(9-y)^2)*(11.1-1.3*y)/(9-y)＇);

>>

[ymin,fmim]=fminbnd(fy,5,6)

ymin

=

5.8286

fmim

=

14.7066

附件二：

問題四的Matlab語言源代碼：

符合最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)區(qū)域最優(yōu)造價函數(shù)求解代碼：

>>

syms

x

y;

z=(11.1-1.3y)*sqrt(x^2+y^2)/(9-y)+(11.1-1.3*x)*sqrt((9-x)^2+y^2)/(9

-x);

>>

diff(z,x)

ans

=

(13*((x

9)^2

+

y^2)^(1/2))/(10*(x

9))

(((13*x)/10

111/10)*((x

9)^2

+

y^2)^(1/2))/(x

9)^2

+

(x*((13*y)/10

111/10))/((x^2

+

y^2)^(1/2)*(y

9))

+

((2*x

18)*((13*x)/10

111/10))/(2*((x

9)^2

+

y^2)^(1/2)*(x

9))

>>

diff(z,y)

ans

=

(13*(x^2

+

y^2)^(1/2))/(10*(y

9))

((x^2

+

y^2)^(1/2)*((13*y)/10

111/10))/(y

9)^2

+

(y*((13*x)/10

111/10))/(((x

9)^2

+

y^2)^(1/2)*(x

9))

+

(y*((13*y)/10

111/10))/((x^2

+

y^2)^(1/2)*(y

9))

>>

[x,y]=solve(＇(13*((x

9)^2

+

y^2)^(1/2))/(10*(x

9))

(((13*x)/10

111/10)*((x

9)^2

+

y^2)^(1/2))/(x

9)^2

+

(x*((13*y)/10

111/10))/((x^2

+

y^2)^(1/2)*(y

9))

+

((2*x

18)*((13*x)/10

111/10))/(2*((x

9)^2

+

y^2)^(1/2)*(x

9))=0＇,＇(13*(x^2

+

y^2)^(1/2))/(10*(y

9))

((x^2

+

y^2)^(1/2)*((13*y)/10

111/10))/(y

9)^2

+

(y*((13*x)/10

111/10))/(((x

9)^2

+

y^2)^(1/2)*(x

9))

+

(y*((13*y)/10

111/10))/((x^2

+

y^2)^(1/2)*(y

9))=0＇,＇x＇,＇y＇)

xmin

=

4.6215

ymin

=

5.9127