第一篇：科斯定理的一個案例

"媒體近日報道了廣東江門市新會區崖南鎮一陶瓷廠捐資建造新崖南中學的事。當年，該陶瓷廠在崖南鎮剛投產，就因該廠排放的氣體嚴重影響附近崖南中學師生而引發糾紛。學校與工廠僅是一路之隔，南風將工廠排出的廢氣彌漫校園，師生深受其害，學生家長還聯合到陶瓷廠堵住廠門禁止開工，一度造成企業和學校群眾之間的嚴重對立。后來，經各方努力，該廠出資２００萬元購買原校區，還捐資１００多萬元資助新校區建設。同時也投入設備完善治污設施。電視鏡頭上，顯示的是新校區整齊的規劃和潔凈的校容，該廠董事長也被學校聘請為名譽校長。”

由于市場上對于陶瓷存在持久旺盛需求，于是，空氣清潔產權界定依照習俗界定給學校，也不妨礙陶瓷廠通過談判解決外部性問題。此案例告訴我們，市場機制和談判會確保資源的最有效利用。任何最優的達致，都有當下技術條件下，諸偏好的一個談判產物。市場價格表達了這樣一個信息，即使哦我給你三百萬，我賣陶瓷還是能夠賺錢的，因此，我愿意，我出錢，我把你買走，買走你還不行嗎？除了了買的200萬，我還捐贈100萬不行嗎。所以學校就在談判中把那個地點的空氣清潔權賣給了陶瓷廠。這就是交易。

此例中，如果，市場對于陶瓷的評價很低，如果讓陶瓷廠拿出300萬，陶瓷廠就會倒閉停產。那怎么辦？那就是它自己搬遷到別處。這說明，在那個時點，市場對于教育服務的評價高于陶瓷的評價。

第二篇：科斯建設公司

安徽科斯建設工程有限公司

簡稱：科斯建設公司

安徽科斯建設工程有限公司是國內大型建筑設施類工程公司，總部位于享有“包公故里、科教基地、濱湖新城”之美譽的合肥市。開創之初，公司以“誠信是根本、質量是生命、服務是關鍵”的理念服務于社會。科斯建設公司在企業創始人丁奎先生的帶領下，以“低碳、節能、環保”的價值觀傾力打造中國建筑行業綠色之驅。

科斯建設公司專業致力于中央空調、智能化、消防設施、節能環保、新能源利用工程及相關服務。企業通過ISO9001質量管理體系認證，ISO14001環境管理體系認證，GB/T28001職業健康管理體系認證。總經理丁奎先生攜手科斯建設公司率先與國內外知名企業合作，在綠色建筑行業中與國際接軌。榮獲國家AAA級信用企業稱號和誠信經營示范單位稱號；并多次獲得守合同重信用企業及優秀建筑企業榮譽稱號。

科斯建設公司繼承弘揚中華民族傳統美德和社會責任，積極參與公益愛心事業，企業成立“教育基金會”長期關注山區教育發展，幫扶山區貧困兒童教育。科斯建設公司擁有行業高端科技人才，并組建了“企業商學院”以人才戰略為第一戰略、得人才者得天下的思想孵育企業。先后與合肥工業大學、安徽建筑大學精誠合作，配備技術力量雄厚的專業工程設計師和一批作風頑強、技術過硬的工程施工人員，擁有先進的生產設備和施工設備。在激烈的市場競爭中，秉著 “以專見長、不斷創新”的刻苦努力、搏擊風浪的精神取得了長足進步和穩健發展，先后承接了一大批名優工程建設，創造了一流工程品質的專業隊伍，迅速領軍于行業之林。

科斯建設公司積極探索現代企業管理模式，嚴格執行ISO9001質量管理體系，以“產品戰略、客戶戰略、人才戰略、競爭戰略、贏利目標、績效管理、市場營銷、財務管理”八個方針經營企業，遵循低碳、節能、環保的價值觀服務于綠色建筑，科斯建設公司秉承大愛無疆、敢于擔當、節能創新的時代理念致力于社會的和諧發展！

安徽科斯建設工程有限公司

第三篇：正弦定理教學案例

正弦定理教學案例

一、教學設計

1、教材分析

“正弦定理”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本·必修）數學第一冊（下）的第五章第九節的主要內容之五，既是初中“解直角三角形”內容的直接延拓，也是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。本次課是“正弦定理”教學的第一節課，其主要任務是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學課”。因此，做好“正弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。

為什么叫解斜三角形？解斜三角形必須要用正弦定理和余弦定理嗎？正弦定理和余弦定理是怎樣發現的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學生所關心的問題。

2、設計思路

為了回答上述問題我想到了“情境——問題”教學模式，即構建一個以情境為基礎，提出問題與解決問題相互引發攜手并進的“情境——問題”學習鏈，使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發現者”和“創造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。根據上述精神，筆者具體做出了如下設計：①創設一俱現實問題情境作為提出問題的背景；②啟發、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決過渡性7問題時需要使用正弦定理，借此引發學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數學實質，將過渡性問題引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關系？③為了解決提出的目標問題，引導學生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后引導學生使用計算器對猜想進行驗證，進而引導學生對猜想進行嚴格的邏輯證明。證明時，關鍵在于啟發、引導學生明確以下兩點：一是證明的起點AC＋CB＝AB；二是如何將向量關系轉化成數量關系，同時將三個項的關系式轉化為只有兩個項的關系式，以揭示引入單位向量j和使用向量的數量積運算的合理性。④由學生獨立使用已證明的結論去解決②中所提出的問題。

二、教學過程

1、設置情境

利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬d＝1km。因上游暴

發特大洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船轉運到正對岸的碼頭B處

或其下游1km的碼頭C處。已知船在靜水中的速度

｜v 1｜＝5km/ h，水流速度｜v 2｜＝3km/ h。

2、提出問題

師：為了確定轉運方案，請同學們設身處地地考慮一下有關的問題，將各自的問題經小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。

待各小組將題紙交給老師后，老師篩選了幾張有代表性的題紙通過投影向全班展示，經大家歸納整理后得到如下的五個問題：

⑴船應開往B處還是C處？

⑵船從A開到B、C分別需要多少時間？

⑶船從A到B、C的距離分別是多少？

⑷船從A到B、C時的速度大小分別是多少？

⑸船應向什么方向開，才能保證沿直線到達B、C？

師：大家講座一下，應該怎樣解決上述問題？

大家經過討論達成如下共識：要回答問題⑴，需要解決問題⑵，要解決問題⑵，需要先解決問題⑶和⑷，問題用直角三角形知識可解，所以重點是解決問題⑷，問題⑷與問題⑸是兩個相關問題。因此，解決上述問題的關鍵是解決問題⑷和⑸。

師：請同學們根據平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生1：般從A開往B的情況如圖2，根據平行四邊形的性質及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小｜v｜及v 1與v 2的夾角θ：

＝｜v1｜＝5，｜DE｜＝｜AF｜＝｜v2｜＝3，易求得∠AED＝∠EAF＝45°，還需求 及v。我不知道怎樣解這兩個問題，因為以前從未解過類似的問題。

師：請大家想一下，這兩個問題的數學實質是什么？

部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。

師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？

生3：在已知條件下，若能知道三角形中兩條邊與其對角這四個元素之間的數量關系，則可以解決上述問題，求出另一邊的對角。

生4：如果另一邊的對角已經求出，那么第三個角也能夠求出。只要能知道三角形中兩條邊與其對角這四個元素的數量關系，則第三邊也可求出。

生5：在已知條件下，如果能知道三角形中三條邊和一個角這四個元素之間的數量關系，也能求出第三邊和另一邊的對角。

師：同學們的設想很好，只要能知道三角形中兩邊與它們的對角間的數量關系，或者三條邊與一個角間的數量關系，則兩個問題都能夠順利解決。下面我們先來解答問題：三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數量關系？

3、解決問題

師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？

眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發現解法。直角三角形的特例，可以先在直角三角形中試探一下。

師：如圖4，請各小組研究在Rt△ABC中，任意兩邊及其對角這四個元素間有什么關系？

多數小組很快得出結論：

眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗，若有一個不成立，則否定結論：若都成立，則說明這個結論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。

師：這是個好主意。請每個小組任意做出一個非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各邊的長和各角的大小，用計算器作為計算工具，具體檢驗一下，然后報告檢驗結果。

幾分鐘后，多數小組報告結論成立，只有一個小組合 因測量和計算誤差，得出否定的結論。教師在引導學生找出失誤的原因后指出：此關系式在任意△ABC中都能成立，請大家先考慮一下證明思路。

生6：想法將問題轉化成直角三角形中的問題進行解決。

生7：因為要證明的是一個等式，所以應先找到一個可以作為證明基礎的等量關系。

師：在三角形中有哪些可以作為證明基礎的等量關系呢？

學生七嘴八舌地說出一些等量關系，經討論后確定如下一些與直

角三角形有關的等量關系可能有利用價值：①三角形的面積不變；②

三角形同一邊上的高不變；③三角形外接圓直徑不變。在教師的建議

下，學生分別利用這3種關系作為基礎得出了如下三種證法：

證法一：如圖5，設AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則

有

AD＝b·sin∠BCA，BE＝c·sin∠CAB，CF＝a·sin∠ABC。

所以S△ABC＝a·b·csin∠BCA

＝b·c·sin∠CAB

＝c·a·sin∠

ABC.證法二：如圖5，設AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。

則有

AD＝b·sin∠BCA＝c·sin∠ABC，BE＝a·sin∠BCA＝c·sin∠CAB。

證法三：如圖6，設CD＝2r是△ABC的外接圓的直徑，則∠DAC＝90°，∠ABC＝∠ADC。

師：據我所知，從AC＋CB＝AB出發，也能證得結論，請大家討論一下。

生8：要想辦法將向量關系轉化成數量關系。

生9：利用向量的數量積運算可將向量關系轉化成數量關系。

生10：還要想辦法將有三個項的關系式轉化成兩個項的關系式。

生11：因為兩個垂直向量的數量積為0，可考慮選一個與三個向量中的一個向量（如向量AC）垂直的向量與向量等式的兩邊分別作數量積。

師：請大家具體試一下，看還有什么問題？

眾學生：向量j與AB、CB的夾角與△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形有關，所以應分兩類情況分別證明。

教師讓學生通過小組代表作完成了如下證明。

語法四：如圖7，設單位向量j與向量AC垂直。

因為AB＝AC＋CB，所以 j·AB＝j·（AC＋CB）＝j·AC＋j·CB.因為j·AC＝0，j·CB＝| j ||CB|cos（90°－∠C）＝a·sinC，j·AB＝| j ||AB|cos（90°－∠A）＝c·sinA

.4、反思應用

師：同學們通過自己的努力，發現并證明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對角的關系，請大家考慮一下，正弦定理能夠解決哪些問題？

眾生：知三求一，即已知三角形的兩邊與一邊的對角，可求另一邊的對角；已知三角形的兩角與一角的對邊，可求另一角的對邊；已知三角形中兩邊與它們的對角四個元素中的兩個元素，可研究另外兩個元素的關系。

師：請同學們用正弦定理解決本節課開始時大家提出的問題。

三、教學反思

本課中，教師立足于所創設的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程，學生成為正弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實，為今后的“定理教學”提供了一些有用的借鑒。

創設數學情境是“情境——問題”教學的基礎環節，教師必須對學生的身心特點、知識水平、教學內容、教學目標等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。

從應用需要出發，創設認知沖突型數學情境，是創設情境的常用方法之一。“正弦定理”具有廣泛的應用價值，故本課中從應用需要出發創設了教學中所使用的數學情境。該情境源于教材第五章第十二節研究性課題的第二個問題，筆者將其加工成一個具有實際意義的決策型問題。實踐說明，這種將教材中的例題、習題作為素材改造加工成情境，是創設情境的一條有效途徑。只要教師能對教材進行深入、細致、全面的研究，便不難發現教材中有不少可用的素材。在進行教學設計時，筆者曾考慮以“直角三角形”作為情境，考慮到學生據此不易形成目標問題，而且問題缺乏向量背景，不容易想到用向量方法解決問題，故未采用這個方案。

“情境——問題”教學模式主張以問題為“紅線”組織教學活動，以學生作為提出問題的主體，如何引導學生提出問題是教學成敗的關鍵，教學實驗表明，學生能否提出數學問題，不僅受其數學基礎、生活經歷、學習方式等自身因素的影響，還受其所處的環境、教師對提問的態度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創設適宜的數學情境，而且要真正轉變對學生提問的態度，提高引導水平，一方面要鼓勵學生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學生提出的問題。要引導學生對所提的問題進行分析、整理，篩選出有價值的問題，注意啟發學生揭示問題的數學實質，將提問綽向深入。

本課中，在教師的啟導下，學生首先提出的問題是：船應開往B處還是C處？答案取決于船從A到達B、C的時間；船從A到達B、C的時間，又取決于船從A到達B、C的距離和船的速度的大小；而船能否到達B、C，又取決于船的航向。這些都是具有實際意義的問題，去掉問題的實際意義得出過渡性數學問題，抓住過渡性問題的數學實質，將其上升為一般性數學問題，即目標問題。學生還提出了一個超前性問題：三角形中三條邊與一個角之間有什么關系？這是筆者在設計教案時未想到的，筆者除了對提出此問題的學生給予表揚和肯定外，還要求同學們課后認真研究這個問題，這個問題已經自然地成為教學“余弦定理”的情境。

使用計算器處理復雜、煩瑣的數字運算是新教材的一個重要特點。本課中通過使用計算器，使“正弦定理在非直角三角形中是否成立”的探究性試驗成為可能。這說明計算器在探索、檢驗規律方面也能發揮重要作用。在啟導學生證明正弦定理時，筆者沒有限制學生的思路，使學生通過自己的努力發現了多種證法，其中每一種證法都比教材上給出的證法要簡單。但沒有能夠自然地啟發、引導學生發現和選擇向量方法，是一個遺憾。

第四篇：科斯的故事

科斯的故事

科斯生于一九一○，認識的朋友一致說他的一舉一動皆合乎英國紳士的禮儀。一九三二年畢業于倫敦經濟學院。因為課程修完早于規定的畢業時間，一九三一年他到美國去，在芝加哥大學旁聽了奈特幾課，不同意，有所悟，寫下了一九三七年發表的《公司的性質》的初稿。這是后來一九九一年獲諾貝爾經濟學獎時被提到的兩篇文章之一了。

科斯讀很多書，翻閱文件無數，但正規的經濟學論著他背得出來的只三本：馬歇爾的《經濟學原理》；奈特的《風險、不確定與盈利》；Philip Wicksteed的《政治經濟的普通常識》。從我六十年代初期苦攻的水平衡量，科斯的分析技術差一點。但他出自斯密與英國教育的優良傳統，受訓于今天行內識者無不向往的三十年代的倫敦經濟學院，老師與同學皆一時才俊，什么技術云云是無足輕重的了。

以讀書考試算，科斯沒有拿過學士以上的銜頭。一九五一年要轉到美國任教職，沒有博士不成，他拿幾篇發表了的文章申請D.Sc.這個榮譽博士銜，獲取，而為他寫推薦信到美國水牛大學去的是戴維德。戴維德自己也只有一個學士，但為哈耶克寫過推薦信。這可見西方學術傳統的至高處，跟今天中國的很不一樣。

科斯是我認識的學者中最頑固的人。我可以說服他邏輯上有錯，或這里那里要說得清楚一點，但他的思想路向是不能移動的。他沒有興趣的話題，對他說是白費心思。他堅持經濟研究要知道真實世界發生著些什么事，反對黑板經濟學，而選上了一個題材不走到盡頭他不會罷休。《公司的性質》之后，科斯的另一篇有名文章是《邊際成本的爭議》，而在英國的日子，他研究的主要是壟斷。奇怪，他選上了廣播行業作為壟斷的研究題材。到美國后，他繼續研究廣播或傳播行業，但從英國的轉到美國的那邊去。這就帶到他一九五九年在《法律經濟學報》發表的《聯邦傳播委員會》那篇我認為是他平生寫得最精彩的文章。

千載難逢的實例

科斯要調查聯邦傳播委員會，因為見到該會控制著整個美國的所有傳播行業，是一家壟斷權力非常龐大的機構，他要問這權力從何而起。找到的答案，是該委員會的前身是一個收音委員會組織，起于美國的東北部——波士頓一帶。二十世紀初期，東北部的漁民出海捕魚，靠收音機與家人聯絡，問天氣、報平安。收音機的音波有頻率，這頻率應該每艘漁船各自不同。但在沒有管制的情況下，不同漁船用同一音波頻率，在空中互相干擾，弄得一團糟。有些好事之徒亂用頻率，傳達假訊息，當然是非管不可的了。科斯問：音波頻率究竟是誰擁有的呢？為什么不界定為私產然后讓市場決定誰有使用權呢？

科斯一腳踏中一個千載難逢的例子。一個人的行為影響他人，其效果有好有壞，是社會成本與私人成本出現了分離的重要話題，不僅老生常談，而且帶來的無效率需要政府干預之說在經濟學行內大致上是接受了的。

最有名的例子是庇古提出的一家工廠污染鄰居。鄰居受損是工廠產出的社會成本的一部分，但工廠只算自家的生產成本，不管他人受到的污染。工廠生產的自家成本是私人成本，但社會成本是工廠的私人成本再加鄰居受損的那部分。二者有分離，無效率，政府要多抽工廠的稅，促使其減產，或政府要強迫工廠賠償鄰居的損失。工廠為禍，是壞人；鄰居是無辜的受害者，是好人。大家日常生活的經驗中，類同的例子無數。

一個人的行為給他人帶來良好效果的例子比較少。最有名的是蜜蜂采蜜，替果樹傳播花粉，果實的數量增加，但果園的主人可沒有給養蜂者補償，也無效率，經濟學者之見是政府理應補貼蜜蜂的飼養。園主是壞人，蜂主是好人。其實沒有補償或沒有以市價成交的有良好外部性效果的例子不是那么少。一個美女招搖過市，大家看得開心，可沒有給她錢。你跟一個有學問的人傾談，學得一點，但沒有給他錢。給錢他會多說幾句，而什么經濟效率云云，是指給錢之價跟多說一句的邊際用值相等。

回頭說音波頻率在空中互相干擾的例子。我說千載難逢，因為那是唯一的沒有好人壞人之別的實例。我干擾你，你也同時同樣地干擾我，誰對誰錯、誰好誰壞——再不是問題，經濟學者可以容易地客觀地看。科斯因而看到一個問題：工廠污染鄰居，對鄰居有損害，但如果不準工廠污染，豈不是鄰居損害了工廠？究竟是哪方需要負責賠償呢？

泊車損害種植惹來爭議

在《聯邦傳播委員會》一文中，科斯舉出一個惹來大爭議的例子，最后他說的一句話就是足以傳世的科斯定律，奇怪當時沒有誰注意。該例子說：一個人在地上種植，另一個人在該地泊車，是誰損害了誰呢？泊車損害種植，但如果為了種植而不準泊車，則是種植者損害了泊車的人。跟著的推理是：只要土地的使用權利有清楚的界定，種植或泊車哪種用途價值較高，會通過市場的運作決定。科斯于是說：權利界定是市場交易必要的先決條件（The delineation of rights is an essential prelude to market transactions）。

《聯邦》的文稿投到芝大由戴維德主編的《法律經濟學報》，芝大的多位大師一律不同意種植者損害了泊車的人。戴維德于是要求科斯刪除種植與泊車那部分。科斯堅持不刪，說如果有錯，那是有趣的錯，應該刊登。戴維德說不刪改也可以，但刊登后科斯要到芝大講話，回應芝大同事的質疑。科斯的回應，是不公開講話，但可與幾位反對的坐下來研討。以一對九科斯勝

這就帶來一九六○年的春天在戴維德家中晚餐后的大辯論，在場的人都說應該是經濟學歷史上最精彩的。該辯論有十個人，皆名家也：Martin Bailey, Milton Friedman, Arnold Harberger, Reuben Kessel, Gregg Lewis, John McGee, Lloyd Mints, George Stigler，當然還有Ronald Coase與Aaron Director。（因為十君子我認識其中八位，跟他們談過當晚大辯論的細節，瑞典的一個經濟學諾獎委員曾經要求我提供詳情，據說他們考慮建造一蠟像室描述這辯論。我的困難是McGee曾經告訴我，當晚Harberger在戴維德的家搬動家具建造畜牧的欄桿，但Harberger卻記不起曾經這樣做。）

辯論吵了三個小時。起于晚餐后科斯問：「工廠污染鄰居，要工廠賠償給鄰居嗎？還是鄰居賠償給工廠要求減產呢？」施蒂格勒的回憶，是吵到中途，弗里德曼站起來開槍亂掃，半個小時后所有的人都倒下，只有科斯還站著。科斯的回憶，是雖然當時自己肯定沒有錯，但米爾頓分析得那么清晰，他知道自己可以安寢無憂了。這些傳言使一些外人認為科斯定律源自米爾頓的天才。我不同意，因為《聯邦》一文發表在戴維德家中晚餐之前，而科斯定律已清楚地在該文表達了。后來一九九一年科斯獲諾貝爾獎，發表演辭時米爾頓坐在我旁邊。我輕聲地問米爾頓：「這個人應該獲諾獎嗎？」米爾頓指著臺上，說：「他嗎？早應得了。」 施蒂格勒認為，當晚沒有錄音是經濟學的大損失。McGee的回憶，是夜闌人靜，大家離開戴維德的家時，自言自語地說他們為歷史作了見證。芝大的Harry Johnson當時在倫敦，過了一天給芝大經濟系一封電報，說：「聽說又有一個英國人發現了新大陸。」十多年后，曾經反對科斯最激烈的Kessel對我說，地球上我們要回到斯密才能找到一個像科斯那樣對市場有那么深入感受的人！

晚餐辯論后，科斯回到自己的維珍尼亞大學，動筆寫今天同學們都知道的《社會成本問題》。說是一九六○年發表，其實是一九六一年了。科斯以為要趕印，寫一節寄一節給戴維德，所以該文讀來每節有明確的獨立性，在連貫上沒有一般文章那么一體。后來科斯對我說，他當時不知道戴維德根本不在乎什么時候發表，等多長時間也無所謂。當時《法律經濟學報》有稿酬。我曾經問戴維德：「你給科斯那篇文章的稿酬是多少呢？」他回應：「當時校方規定每篇文章的稿酬以頁數算。要是不這樣，我會把所有的錢給科斯算了。」

第五篇：巴斯普定理及其證明匯總（小編推薦）

高中物理競賽專題輔導—力與平衡

05 物體平衡的種類 概念規律：

1、平行力的合成與分解

物體所受的幾個力的作用線彼此平行，且不作用于一點，即為平行力（系）。

在平行力的合成或分解的過程中，必須同時考慮到力的平動效果和轉動效果，后者要求合力和分力相對任何一個轉軸的力矩都相同。

兩個同向平行力的合力其方向與兩個分力方向相同，其大小等于分力大小之和。其作用線在兩個分力作用點的連線上。合力作用點到分力作用點的距離與分力的大小成反比。例如：兩個同向平行力FA和FB，其合力的大小F=FA+FB，合力作用點O滿足AO·FA=BO·FB的關系。

兩個反向平行力的合力其方向與較大的分力方向相同，其大小等于分力大小之差。其作用線在兩個分力作用點的連線的延長線上，且在較大的分力的外側。合力作用點到分力作用點的距離與分力的大小成反比。例如：兩個反向平行力FA和FB的合成其合力的大小F=FB-FA(假如FB＞FA，則F和FB同向)其合力的作用點滿足AO·FA=BO·FB的關系。高中物理競賽專題輔導—力與平衡

一個力分解成兩個平行力，是平行力合成的逆過程。

2、重心和質心

重心是重力的作用點。質心是物體(或由多個物體組成的系統)質量分布的中心。物體的重心和質心是兩個不同的概念，當物體遠離地球而不受重力作用時，重心這個概念就失去意義，但質心卻依然存在。對于地球上體積不太大的物體，由于重力與質量成正比，重心與質心的位置是重合的。但當物體的高度和地球半徑比較不能忽略時，兩者就不重合了，如高山的重心比質心要低一些。

質心位置的定義表達式是一個矢量表達式，可以寫成三個分量表達式：

其意義可以這樣理解：假定由多質點組成的物體被分成許多小塊，每塊都有相同的質量m，物體總質量等于塊數(設為N塊)乘以每塊質量m，第一式可以改寫成：

即等于各小塊的位置Xi之和除以塊數N。因此，在假定每塊質量相等時XC，就是所有Xi的平均值。如果其中有一塊(設高中物理競賽專題輔導—力與平衡

第i塊)的質量是其它小塊質量的兩倍，則在求和時，相應的Xi應出現兩次。這可以設想把此兩倍的質量的小塊分成相等的兩塊即可看出。因此，XC是所有質量在X方向上的平均位置，其中每小塊質量所計算的次數都正比于這個質量自身。這就是人們常說的，質心位置是以質量為權重的加權位置平均值。

質心位置的求法：(1)定義法

根據定義式是求質心位置最普遍最基本的方法。首先建立直角坐標，再利用直角坐標下定義式給出質心的位置。對質量連續分布的物體，計算中通常要用到積分，對于中學生來說暫時還無力求解。因此，此法通常用于質量離散分布或系統可以等效成離散質點情況的處理。(2)實驗室

質量作平面分布的物體用實驗法求質心位置較為簡便。在此平面物體上，選兩點A和B(設A、B和質心不在同一直線上)，分別作為懸掛點，懸掛在垂直于平面的光滑轉軸上，過懸掛點的兩個鉛垂線的交點即為質心位置。(3)對稱法

如果一個物體質量分布具有軸對稱性，例如質量平面均勻高中物理競賽專題輔導—力與平衡

分布的菱形物體，其質心必處在對角線上，兩對角線的交點即為此菱形的質心位置。這是因為垂直于對稱軸方向上，軸兩旁的正負坐標的質量對應相等。(4)分割法

這種方法把整個物體分割成質心易求的若干部分，再把各部分看成位置在各自質心處、并具有該部分質量的質點，再依質心定義表達式求出整個物體的質心位置。

如下左圖的棒錘，假設勻質球A質量為M、半徑為R；勻質棒B質量為m、長度為l，求它的重心。第一種方法是將它分隔成球和棒兩部分，然后用同向平行力合成的方法找出其重心C。C在AB連線上，且AC·M=BC·m(如下右圖)。

(5)負質量法

容易看出，負質量法本質上是分割法的一種推論，仍然是把整個物體分割成質心易求的幾個部分。不同的是，每一部分既可以是正質量，也可以是負質量。高中物理競賽專題輔導—力與平衡

同樣，將棒錘看成一個對稱的“啞鈴”和一個質量為—M的球A′的合成(如下左圖)，用反向平行力合成的方法找出其重心C，C在AB連線上，且BC·(2M+m)=A′C·M．不難看出兩種方法的結果都是：BC=M（R+l/2）/（M+m）

證明方法與分割法相同。

有時，根據質心的定義，我們還可用坐標法求物體系的質心。通常把物體分割成n個部分，求得這n個部分的質量分別為m1，m2，…，mn。所受的重力相應為m1g，m2g，…mng。又求得它們的重心(質心)的坐標分別為(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)，…，(xn，yn，zn)。由于這n個部分所受的重力Gi=mig(i=1，2，…，n)可看作是平行力，故可用類似于求同向平行力合力的方法，求得這n個平行力合力的作用點位置(xC，yC，zC)，得出整個物體質心(重心)的位置坐標為

上例中，以B點為原點，水平向右為。軸正方向，則A、B的合質心的位置為： 高中物理競賽專題輔導—力與平衡

即：

負號表示質心的位置在B點左側（如上右圖）。用坐標法求物體的重心是比較方便的。坐標法與分隔法—樣，都是由平行力的合成方法推導出來的，有興趣的讀者可以嘗試推導一下。

(6)巴普斯定理及其推論

對于質量連續分布的物體，求質心的一般方法是利用質心定義的三個分量表達式。但是，有時我們愿意采用處理這類問題的技巧，巴普斯定理提供了一種技巧。

巴普斯定理表述為：一個平面物體，質量均勻分布，令其上各質點沿垂直于平面的方向運動，在空間掃過一立體體積，則此體積等于面物體面積乘以物體質心在運動中所經過的路程。

當面物體上各質點以相同的速度沿著一條與物平面垂直的直線運動時，在空間掃過的體積是一柱體。顯然，巴普斯定高中物理競賽專題輔導—力與平衡

理成立。一般情況下，平面物體上海一質點運動保持與物平面垂直，而各質點速度并不相等，質心將沿曲線運動，平面物體在空間將掃出一個不規則體積。我們要證明巴昔斯定理仍能得到滿足。下面分步給出證明。

1)易知，質心為原點的質心參照系下，質心的位置坐標必為零。

對于平面物體情況，在物平面內建立坐標OXY(z軸垂直此面)，坐標原點O與質心C重合，因質心X坐標XC＝0，得

2)我們已經知道，剛體的一個無限小運動可以由剛體上任一參考點的無限小平動和繞此參考點的無限小轉動疊加而成。

現在我們把平面物體的運動分成無限多個無限小運動。每個無限小運動分解成隨質心的無限小平動和繞質心的無限小轉動。為保證巴普斯定理中對平面物體運動的要求，應滿足：隨質心的無限小平動必須垂直于物平面；繞質心的無限小轉動的瞬時轉動軸必須在物平面上。

3)討論符合巴普斯定理要求的平面物體運動中第i個無限小運動。

設隨質心的第i個無限小平動位移的Zi，則平面物體掃過高中物理競賽專題輔導—力與平衡 的體積元為

其中S為平面物體面積。

設繞過質心在物平面上的轉軸為y軸，第i個無限小轉動產生的角位移為Δα。利用XC＝0，得

其中σ為平面物體質量面密度，對于質量均勻分布的平面物體，σ為常量。ΔSi為平面物體上面元的面積。設各面元在無限小轉動下轉過的路徑Δli為

因平面物體上各質點Δα相同，所以

則

此式表示，由無限小轉動所引起的各面元在空間掃過的體積正好抵消(這只有在坐標原點選在質心上，才有此結論)。對于整個運動過程，此結論依然成立。

因此，在滿足巴普斯定理的運動要求下，面物體在空間掃過的體積為 高中物理競賽專題輔導—力與平衡

其中∑ΔZi為平面物體運動中質心經歷的路程。巴普斯定理得證。

例1：求兩直角邊長分別為a、b的直角三角形，質量均勻分布，求質心的位置。（x=b/3，y=a/3）

例2：求均勻半圓盤的質心位置。設圓半徑為R。（x=4R/3π）

巴普斯定理的一個推論同樣很實用。此推論表述為一條質量均勻分布的平面曲線，其上各點沿垂直于曲線平面方向運動，在空間掃過一曲面，則此曲面面積等于質心在運動中所經路程與曲線長度的乘積。

這個推論的正確性，只要把此平面曲線看成一非常窄的面即可由巴普斯定理的結論得到。

例3： 求質量均勻分布的半圓形金屬線的質心位置。設圓半徑高中物理競賽專題輔導—力與平衡

為R。（x=2R/π）

例4：如圖(a)所示，由勻質金屬絲圍成的封閉圖形，其中曲線部分是半徑為R的半圓，直線部分是直徑。求此封閉金屬絲的質心位置。（2R/（2+π））

3、物體平衡的種類

當物體達到平衡以后受到微小擾動而偏離平衡位置時，如果這物體在各力的作用下將繼續偏離平衡位置而不會再回復到平衡位置，這種平衡叫不穩定平衡。如帶正電的小球處在兩個帶等量負電荷小球連線的中點時。

如果平衡的物體受外界的微小擾動偏離平衡位置時，這物體在所受各力作用下將回到平衡位置，這種平衡叫穩定平衡。如帶正電小球處在兩等量正電荷小球連線的中點時。

如果平衡的物體受外界的微小的擾動偏離平衡位置時，這物體所受的合力仍為零，而能在新位置繼續保持平衡狀態，這種平高中物理競賽專題輔導—力與平衡

衡叫隨遇平衡。如與液體密度相同的實心物體浸沒在液體內部。

4、物體平衡種類的判斷方法（1）受力分析法

當質點受到外界的擾動稍微偏離平衡位置以后，如果所受合外力指向平衡位置，則此質點的平衡是穩定的；如果所受的合外力背離平衡位置，則此質點的平衡是不穩定的：如果所受的合外力為零，則質點處于隨遇平衡狀態。（2）力矩比較法

對于有支軸的剛性物體，當它受外界擾動而偏離平衡位置時，如果外力會引起一個回復力矩，此力矩有把物體拉回到原平衡位置的傾向，則稱物體處于穩定平衡狀態；如果外力會引起一推斥力矩，它有把物體推離原平衡位置的傾向，則稱物體處于不穩定狀態；如果物體所受合力矩仍為零，則稱物體處于隨遇平衡狀態。（3）重心升降法

對受重力和支持力作用而平衡的物體（包括質點和剛體兩種），判斷其平衡種類時，常可用重心升降法。即若使物體稍微偏離平衡位置，如其重心升高，則為穩定平衡；若物體稍微偏離平高中物理競賽專題輔導—力與平衡

衡位置后其重心降低，則為不穩定平衡；而若物體偏離平衡位置后其重心高度不變，則為隨遇平衡。（4）支面判斷法

具有支面的物體平衡時，物體所重力的作用線一定在支面內，如果偏離平衡位置后，重力作用線仍在支面內，物體就能回到平衡位置，屬于穩定平衡；但如果物體傾斜較大時，重力的作用線超出支面，重力的力矩會使物體繼續遠離原來的位置，即原來的平衡被破壞，利用這一點，常能為處理平衡種類的一些問題找到解題的突破口。