專題07　整式的加減

閱讀與思考

整式的加減涉及許多概念，準確地把握這些概念并注意它們的區別與聯系是解決有關問題的基礎，概括起來就是要掌握好以下兩點：

1．透徹理解“三式”和“四數”的概念

“三式”指的是單項式、多項式、整式；“四數”指的是單項式的系數、次數和多項式的系數、次數．

2．熟練掌握“兩種排列”和“三個法則”

“兩種排列”指的是把一個多項式按某一字母的升冪或降冪排列，“三個法則”指的是去括號法則、添括號法則及合并同類項法則．

物以類聚，人以群分．我們把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次數也相同的單項式作為一類——稱為同類項，一個多項式中的同類項可以合聚在一起——稱為合并同類項．這樣，使得整式大為簡化，整式的加減實質就是合并同類項．

例題與求解

[例1]　如果代數式ax5＋bx3＋cx－5，當x＝－2時的值是7，那么當x＝7時，該式的值是______．

(江蘇省競賽試題)

解題思路：解題的困難在于變元個數多，將x兩個值代入，從尋找兩個多項式的聯系入手．

[例2]　已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代數式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，對于任意a，b對應的代數式的值最大的是（）

A．a＋b

B．a－b

C．a＋b2

D．a2＋b

(“希望杯”初賽試題)

解題思路：采用賦值法，令a＝，b＝－，計算四個式子的值，從中找出值最大的式子．

[例3]　已知x＝2，y＝－4時，代數式ax2＋by＋5＝1997，求當x＝－4，y＝－時，代數式3ax－24by3＋4986的值．

(北京市“迎春杯”競賽試題)

解題思路：一般的想法是先求出a，b的值，這是不可能的．解本例的關鍵是：將給定的x，y值分別代入對應的代數式，尋找已知與待求式子之間的聯系，整體代入求值．

[例4]　已知關于x的二次多項式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．當x＝2時的值為－17，求當x＝－2時，該多項式的值．

(北京市“迎春杯”競賽試題)

解題思路：解題的突破口是根據多項式降冪排列、多項式次數等概念挖掘隱含的關于a，b的等式．

[例5]　一條公交線路上起點到終點有8個站．一輛公交車從起點站出發，前6站上車100人，前7站下車80人．問從前6站上車而在終點下車的乘客有多少人？

(“希望杯”初賽試題)

解題思路：前7站上車總人數等于第2站到第8站下車總人數．本例目的是求第8站下車人數比第7站上車人數多出的數量．

[例6]　能否找到7個整數，使得這7個整數沿圓周排列成一圈后，任3個相鄰數的和等于29？如果，請舉出一例；如果不能，請簡述理由．

(“華羅庚金杯”少年邀請賽試題)

解題思路：假設存在7個整數a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7排成一圈后，滿足題意，由此展開推理，若推出矛盾，則假設不成立．

能力訓練

A級

1．若－4xm－2y3與x3y7－2n是同類項，m2＋2n＝______．

(“希望杯”初賽試題)

2．當x＝1，y＝－1時，ax＋by－3＝0，那么當x＝－1，y＝1時，ax＋by－3＝______．

(北京市“迎春杯”競賽試題)

3．若a＋b＜0，則化簡|a＋b－1|－|3－a－b|的結果是______．

4．已知x2＋x－1＝0，那么整式x3＋2x2＋2002的值為______．

5．設則3x－2y＋z＝______．

(2013年全國初中數學聯賽試題)

6．已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，若A＋B＋C＝0，則C＝（）．

A．5a2＋3b2＋2c2

B．5a2－3b2＋4c2

A．3a2－3b2－2c2

A．3a2＋b2＋4c2

7．同時都有字母a，b，c，且系數為1的7次單項式共有（）．

A．4個

B．12個

C．15個

D．25個

(北京市競賽題)

8．有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示：

0

b

a

c

第8題圖

則代數式|a|－|a＋b|＋|c－a|＋|b－c|化簡后的結果是為（）．

A．－a

B．2a－2b

C．2c－a

D．a

9．已知a＋b＝0，a≠b，則化簡(a＋1)＋(b＋1)得（）．

A．2a

B．2b

C．＋2

D．－2

10．已知單項式0.25xbyc與單項式－0.125xm－1y2n－1的和為0.625axnym，求abc的值．

11．若a，b均為整數，且a＋9b能被5整除，求證：8a＋7b也能被5整除．

(天津市競賽試題)

B級

1．設a＜－b＜c＜0，那么|a＋b|＋|b＋c|－|c－a|＋|a||＋b|＋|c|＝______．

(“祖沖之杯”邀請賽試題)

2．當x的取值范圍為______時，式子－4x＋|4－7x|－|1－3x|＋4的值恒為一個常數，這個值是______．

(北京市“迎春杯”競賽試題)

3．當x＝2時，代數式ax3－bx＋1的值等于－17，那么當x＝－1時，代數式12ax－3bx3－5的值等于______．

4．已知(x＋5)2＋|y2＋y－6|＝0，則y2－xy＋x2＋x3＝______．

(“希望杯”邀請賽試題)

5．已知a－b＝2，b－c＝－3，c－d＝5，則(a－c)(b－d)÷(a－d)＝______．

6．如果對于某一特定范圍內x的任意允許值，P＝|1－2x|＋|1－3x|＋…＋|1－9x|＋|1－10x|的值恒為一個常數，則此值為（）．

A．2

B．3

C．4

D．5

(安徽省競賽試題)

7．如果(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，那么a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于______；a0＋a2＋a4＋a6等于______．

A．1，365

B．0，729

C．1，729

D．1，0

(“希望杯”邀請賽試題)

8．設b，c是整數，當x依次取1，3，6，11時，某學生算得多項式x2＋bx＋c的值分別為3，5，21，93．經驗證，只有一個結果是錯誤的，這個錯誤的結果是（）．

A．當x＝1時，x2＋bx＋c＝3

B．當x＝3時，x2＋bx＋c＝5

C．當x＝6時，x2＋bx＋c＝21

D．當x＝11時，x2＋bx＋c＝93

(武漢市選拔賽試題)

9．已知y＝ax7＋bx5＋cx3＋dx＋e，其中a，b，c，d，e為常數，當x＝2時，y＝23；當x＝－2時，y＝－35，那么e的值是（）．

A．－6

B．6

C．－12

D．12

(吉林省競賽試題)

10．已知a，b，c三個數中有兩個奇數，一個偶數，n是整數，如果s＝(a＋n＋1)·(b＋2n＋2)(c＋3n＋3)，那么（）．

A．s是偶數

B．s是奇數

C．s的奇偶性與n的奇偶性相同

D．s的奇偶性不能確定

(江蘇省競賽試題)

11．(1)如圖1，用字母a表示陰暗部分的面積；

(2)如圖2，用字母a，b表示陰暗部分的面積；

(3)如圖3，把一個長方體禮品盒用絲帶打上包裝(圖中虛線為絲帶)，打蝴蝶結的部分需絲帶(x－y)cm，打好整個包裝需用絲帶總長度為多少？

圖1

a

a

a

b

a

b

圖2

a

x

y

z

圖3

12．將一個三位數中間數碼去掉，成為一個兩位數，且滿足＝9＋，如155＝9×15＋4×5．試求出所有這樣的三位數．