高等教育自學考試

《高等數學（工專）》串講資料

第一部分

函數

常見考試題型：

1．求函數的自然定義域。

2．判斷函數的有界性、周期性、單調性、奇偶性。

3．求反函數。

4．求復合函數的表達式。

一、概念回顧

初等函數：由基本初等函數，經過有限次的＋－×÷運算及有限次的復合得到的函數稱為初等函數。

基本初等函數的性質與圖形如下表所示(表周期)：

名稱

表達式

定義域

圖

形

特

性

常

數

函

數

有界，偶函數

冪

函

數

隨而異，但在上

均有定義

時在單增；

時在單減．

無界

指

數

函

數

單增．

單減．

．無界

對

數

函

數

單增．

單減．

無界

正

弦

函

數

奇函數．

．

．

有界

余

弦

函

數

偶函數．

．

．

有界

正

切

函

數

奇函數．

．

在每個周期

內單增，無界

余

切

函

數,奇函數．

．

在每個周期

內單減．

無界

反

正

弦

函

數

奇函數．

單增．

．

有界

反

余

弦

函

數

單減．

．

有界

反

正

切

函

數

奇函數．

單增．

．

有界

反

余

切

函

數

單減．

．

有界

二、典型例題

例1：求的定義域D。

知識點：定義域

約定函數的定義域是使函數的解析表達式有意義的一切實數所構成的數集。

解：要使函數有意義必須滿足，即，故。

例2：設函數是定義在上的任意函數，證明：

（1）是偶函數

（2）是奇函數

知識點：奇偶性

若對于任何，恒有成立，則稱是奇函數。若對于任何，恒有成立，則稱是偶函數．

奇函數的圖形關于原點對稱，偶函數的圖形關于y軸對稱

分析：因為是定義在對稱區間上，根據定義，只需證明：

（1）

（2）

只證（1）：偶函數。

祝大家考試成功！