2016遼寧鐵道職業技術學院單招數學模擬試題(附答案解析)

一、本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個選項是符合題目要求的．

1．（文）已知命題甲為x＞0；命題乙為，那么（）

A．甲是乙的充分非必要條件

B．甲是乙的必要非充分條件

C．甲是乙的充要條件

D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

（理）已知兩條直線∶ax＋by＋c＝0，直線∶mx＋ny＋p＝0，則an＝bm是直線的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

2．（文）下列函數中，周期為的奇函數是（）

A．

B．

C．

D．

（理）方程（t是參數，）表示的曲線的對稱軸的方程是（）

A．

B．

C．

D．

3．在復平面中，已知點A（2，1），B（0，2），C（-2，1），O（0，0）．給出下面的結論：

①直線OC與直線BA平行；

②；

③；

④．

其中正確結論的個數是（）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

4．（文）在一個錐體中，作平行于底面的截面，若這個截面面積與底面面積之比為1∶3，則錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為（）

A．1∶

B．1∶9

C．1∶

D．1∶

（理）已知數列的通項公式是，其中a、b均為正常數，那么與的大小關系是（）

A．

B．

C．

D．與n的取值相關

5．（文）將4張互不相同的彩色照片與3張互不相同的黑白照片排成一排，任何兩張黑白照片都不相鄰的不同排法的種數是（）

A．

B．

C．

D．

（理）某農貿市場出售西紅柿，當價格上漲時，供給量相應增加，而需求量相應減少，具體調查結果如下表：

表1

市場供給量

單價

（元/kg）

2.4

2.8

3.2

3.6

供給量

（1000kg）

表2

市場需求量

單價

（元/kg）

3.4

2.9

2.6

2.3

需求量

（1000kg）

根據以上提供的信息，市場供需平衡點（即供給量和需求量相等時的單價）應在區間（）

A.（2.3，2.6）內

B．（2.4，2.6）內

C．（2.6，2.8）內

D．（2.8，2.9）內

6．橢圓的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為（）

A．

B．

C．2

D．4

7．若曲線在點P處的切線平行于直線3x-y＝0，則點P的坐標為（）

A．（1，3）

B．（-1，3）

C．（1，0）

D．（-1，0）

8．已知函數是R上的偶函數，且在（-∞，上是減函數，若，則實數a的取值范圍是（）

A．a≤2

B．a≤-2或a≥2

C．a≥-2

D．-2≤a≤2

9．如圖，E、F分別是三棱錐P-ABC的棱AP、BC的中點，PC＝10，AB＝6，EF＝7，則異面直線AB與PC所成的角為（）

A．60°

B．45°

C．0°

D．120°

10．圓心在拋物線上，并且與拋物線的準線及x軸都相切的圓的方程是（）

A．

B．

C．

D．

11．雙曲線的虛軸長為4，離心率，、分別是它的左、右焦點，若過的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點，且是的等差中項，則等于（）

A．

B．

C．

D．8．

12．如圖，在正方形ABCD中，E、F、G、H是各邊中點，O是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O這九個點中，以其中三個點為頂點作三角形，在這些三角形中，互不全等的三角形共有（）

A．6個

B．7個

C．8個

D．9個

二、填空題：本題共4小題，共16分，把答案填在題中的橫線上

13．若是數列的前n項的和，則________．

14．若x、y滿足則的最大值為________．

15．有A、B、C、D、E五名學生參加網頁設計競賽，決出了第一到第五的名次，A、B兩位同學去問成績，教師對A說：“你沒能得第一名”．又對B說：“你得了第三名”．從這個問題分析，這五人的名次排列共有________種可能（用數字作答）．

16．若對n個向量，…，存在n個不全為零的實數，…，使得成立，則稱向量，…，為“線性相關”．依此規定，能說明（1，2），（1，-1），（2，2）“線性相關”的實數，依次可以取________（寫出一組數值即中，不必考慮所有情況）．

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．（12分）已知，求的值．

18．（12分）已知等比數列的公比為q，前n項的和為，且，成等差數列．

（1）求的值；

（2）求證：，成等差數列．

19．（12分）一個口袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球．

（1）從中摸出兩個球，求兩球恰好顏色不同的概率；

（2）從中摸出一個球，放回后再摸出一個球，求兩球恰好顏色不同的概率．

注意：考生在（20甲）、（20乙）兩題中選一題作答，如果兩題都答，只以（19甲）計分．

20甲．（12分）如圖，正三棱柱的底面邊長為a，點M在邊BC上，△是以點M為直角頂點的等腰直角三角形．

（1）求證點M為邊BC的中點；

（2）求點C到平面的距離；

（3）求二面角的大小．

20乙．（12分）如圖，直三棱柱中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角

三角形，AC＝2a，＝3a，D為的中點，E為的中點．

（1）求直線BE與所成的角；

（2）在線段上是否存在點F，使CF⊥平面，若存在，求出；若不存在，說明理由．

21．（12分）已知雙曲線C：（a＞0，b＞0），B是右頂點，F是右焦點，點A在x軸正半軸上，且滿足、、成等比數列，過F作雙曲線C在第一、第三象限的漸近線的垂線l，垂足為P．

（1）求證：；

（2）若l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點D、E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍．

22．（14分）設函數，且方程有實根．

（1）證明：-3＜c≤-1且b≥0；

（2）若m是方程的一個實根，判斷的正負并加以證明．

參考答案

1．（文）A（理）C

2．（文）A（理）B

3．C

4．（文）D（理）B

5．（文）D

（理）C

6．A

7．C

8．B

9．A

10．D

11．A

12．C

13．33

14．7

15．18

16．只要寫出-4c，2c，c（c≠0）中一組即可，如-4，2，1等

17．解析：

．

18．解析：（1）由，成等差數列，得，若q＝1，則，由≠0

得，與題意不符，所以q≠1．

由，得．

整理，得，由q≠0，1，得．

（2）由（1）知：，所以，成等差數列．

19．解析：（1）記“摸出兩個球，兩球恰好顏色不同”為A，摸出兩個球共有方法種，其中，兩球一白一黑有種．

∴

．

（2）法一：記摸出一球，放回后再摸出一個球“兩球恰好顏色不同”為B，摸出一球得白球的概率為，摸出一球得黑球的概率為，∴

P（B）＝0.4×0.6＋0.6＋×0.4＝0.48

法二：“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”．

∴

∴

“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為．

20．解析：（甲）（1）∵

△為以點M為直角頂點的等腰直角三角形，∴

且．

∵

正三棱柱，∴

底面ABC．

∴

在底面內的射影為CM，AM⊥CM．

∵

底面ABC為邊長為a的正三角形，∴

點M為BC邊的中點．

（2）過點C作CH⊥，由（1）知AM⊥且AM⊥CM，∴

AM⊥平面

∵

CH在平面內，∴

CH⊥AM，∴

CH⊥平面，由（1）知，且．

∴

．

∴

．

∴

點C到平面的距離為底面邊長為．

（3）過點C作CI⊥于I，連HI，∵

CH⊥平面，∴

HI為CI在平面內的射影，∴

HI⊥，∠CIH是二面角的平面角．

在直角三角形中，，∴

∠CIH＝45°，∴

二面角的大小為45°

（乙）解：（1）以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．

∵

AC＝2a，∠ABC＝90°，∴

．

∴

B（0，0，0），C（0，0），A（，0，0），（，0，3a），（0，3a），（0，0，3a）．

∴，，，∴，，，．

∴，∴，∴

．

故BE與所成的角為．

（2）假設存在點F，要使CF⊥平面，只要且．

不妨設AF＝b，則F（，0，b），，，0，，，∵，∴

恒成立．

或，故當或2a時，平面．

21．解析：（1）法一：l：，解得，．

∵、、成等比數列，∴，∴，，，∴，．

∴

法二：同上得，．

∴

PA⊥x軸．．

∴

．

（2）

∴

．

即，∵，∴，即，．

∴，即

．

22．解析：（1）．

又c＜b＜1，故

方程f（x）＋1＝0有實根，即有實根，故△＝

即或

又c＜b＜1，得-3＜c≤-1，由知．

（2），．

∴

c＜m＜1

∴

．

∴

．

∴的符號為正．