中國科學大學隨機過程(孫應飛)復習題及答案

（1）

設是一個實的零均值二階矩過程，其相關函數為，且是一個周期為的函數，即，求方差函數。

解：由定義，有：

（2）

試證明：如果是一獨立增量過程，且，那么它必是一個馬爾可夫過程。

證明：我們要證明：，有

形式上我們有：

因此，我們只要能證明在已知條件下，與相互獨立即可。

由獨立增量過程的定義可知，當時，增量與相互獨立，由于在條件和下，即有與相互獨立。由此可知，在條件下，與相互獨立，結果成立。

（3）

設隨機過程為零初值（）的、有平穩增量和獨立增量的過程，且對每個，問過程是否為正態過程，為什么？

解：任取，則有：

由平穩增量和獨立增量性，可知并且獨立

因此是聯合正態分布的，由

可知是正態過程。

（4）

設為為零初值的標準布朗運動過程，問次過程的均方導數過程是否存在？并說明理由。

解：標準布朗運動的相關函數為：

如果標準布朗運動是均方可微的，則存在，但是：

故不存在，因此標準布朗運動不是均方可微的。

（5）

設，是零初值、強度的泊松過程。寫出過程的轉移函數，并問在均方意義下，是否存在，為什么？

解：泊松過程的轉移率矩陣為：

其相關函數為：，由于在，連續，故均方積分存在。

（6）

在一計算系統中，每一循環具有誤差的概率與先前一個循環是否有誤差有關，以0表示誤差狀態，1表示無誤差狀態，設狀態的一步轉移矩陣為：

試說明相應齊次馬氏鏈是遍歷的，并求其極限分布（平穩分布）。

解：由遍歷性定理可知此鏈是遍歷的，極限分布為。

（7）

設齊次馬氏鏈一步轉移概率矩陣如下：

（a）寫出切普曼－柯爾莫哥洛夫方程（C－K方程）；

（b）求步轉移概率矩陣；

（c）試問此馬氏鏈是平穩序列嗎？

為什么？

解：（a）略

（b）

（c）此鏈不具遍歷性

（8）

設，其中為強度為的Poission過程，隨機變量與此Poission過程獨立，且有如下分布：

問：隨機過程是否為平穩過程？請說明理由。

由于：

故是平穩過程。

（9）

設，其中與獨立，都服從

（a）此過程是否是正態過程？說明理由。

（b）求此過程的相關函數，并說明過程是否平穩。

證明：（a）任取，則有：

由于與獨立，且都服從，因此可得服從正態分布，由上式可知隨機向量

服從正態（高斯）分布，所以過程是正態（高斯）過程。

（b）由：

由于相關函數不是時間差的函數，因此此過程不是平穩過程。

（10）

設，是零初值、強度的泊松過程。

（a）求它的概率轉移函數；

（b）令，說明存在，并求它的二階矩。

解：（a）

（b）先求相關函數：

對任意的，在處連續，故均方連續，因此均方可積，存在。

將代入計算積分即可。

由，得：

（11）

設一口袋中裝有三種顏色（紅、黃、白）的小球，其數量分別為3、4、3。現在不斷地隨機逐一摸球，有放回，且視摸出球地顏色計分：紅、黃、白分別計1、0、-1分。第一次摸球之前沒有積分。以表示第次取出球后的累計積分，（a），是否齊次馬氏鏈？說明理由。

（b）如果不是馬氏鏈，寫出它的有窮維分布函數族；如果是，寫出它的一步轉移概率和兩步轉移概率。

（c）令，求。

解：（a）是齊次馬氏鏈。由于目前的積分只與最近一次取球后的積分有關，因此此鏈具有馬氏性且是齊次的。狀態空間為：。

（b）

（c）即求首達概率，注意畫狀態轉移圖。

（12）

考察兩個諧波隨機信號和，其中：

式中和為正的常數；是內均勻分布的隨機變量，是標準正態分布的隨機變量。

（a）求的均值、方差和相關函數；

（b）若與獨立，求與的互相關函數。

解：（a），（b）

（13）

令諧波隨機信號：

式中為固定的實數；是內均勻分布的隨機變量，考察兩種情況：

（a）幅值為一固定的正實數；

（b）幅值為一與獨立，分布密度函數為的隨機變量；

試問諧波隨機信號在兩種情況下是平穩的嗎？

（a）如12題（b）略

（14）

設是一強度為的Poission過程，記，試求隨機過程的均值和相關函數。

解：利用導數過程相關函數與原過程相關函數的關系即可得：

（15）

研究下列隨機過程的均方連續性，均方可導性和均方可積性。當均方可導時，試求均方導數過程的均值函數和相關函數。

（a），其中是相互獨立的二階矩隨機變量，均值為，方差為；

（b），其中是相互獨立的二階矩隨機變量，均值為，方差為。

略

（16）

求下列隨機過程的均值函數和相關函數，從而判定其均方連續性和均方可微性。

（a），其中是參數為1的Wienner過程。

（b）,其中是參數為的Wienner過程。

解：（a）

連續，故均方連續，均方可積。

（b）

均方連續，均方可積。

（17）

討論Wienner過程和Poission過程的均方連續性、均方可導性和均方可積性。

解：略。

（18）

設有平穩隨機過程，它的相關函數為，其中為常數，求（為常數）的自協方差函數和方差函數。

解：略。

（19）

設有實平穩隨機過程，它的均值為零，相關函數為，若，求的自協方差函數和方差函數。

解：

（20）

設和是參數分別為和的時齊Poission過程，證明在的任一到達時間間隔內，恰有個事件發生的概率為：

證明：令為的任一到達時間間隔并且，即的分布密度為：

由此可知：

（21）

設隨機振幅、隨機相位正弦波過程，其中隨機變量和相互獨立，且有分布：

令：

試求過程的均值函數。

解：由定義，隨機過程的均值函數為：

而

由于當時，隨機變量的分布密度為：

因此有：

即：

（22）

設有一泊松過程，固定兩時刻，且，試證明

證明：由于，有

其中

所以

（23）

設為零均值的標準布朗運動，和為兩個待定的正常數（），問在什么情況下仍為標準的布朗運動？說明理由。

解：由為標準布朗運動可知為正態過程，由正態分布的性質可知為正態過程，令，則有

因此，要使仍為標準的布朗運動，必須，即：

（24）

設有無窮多只袋子，各裝有紅球只，黑球只及白球只。今從第1個袋子隨機取一球，放入第2個袋子，再從第2個袋子隨機取一球，放入第3個袋子，如此繼續。令

（a）試求的分布；

（b）試證為馬氏鏈，并求一步轉移概率。

解：（a）的分布為：

（b）的一步轉移概率為：

（25）

設有隨機過程，與是相互獨立的正態隨機變量，期望均為0，方差分別為和。證明過程均方可導，并求導過程的相關函數。

證明：計算得：

由于相關函數的導數為：

它是一連續函數，因此過程均方可導，導過程的相關函數由上式給出。

（26）

設是初值為零標準布朗運動過程，試求它的概率轉移密度函數。

解：由標準維納過程的定理：設為標準維納過程，則對任意，的聯合分布密度為：

其中：

可知：當時，的聯合分布密度為：的分布密度為：

因此

（27）

設有微分方程，初值為常數，是標準維納過程，求隨機過程在時刻的一維概率密度。

解：方程的解：

由于為維納過程，故為正態過程，因此有：

故的一維概率密度為：

（28）

設給定隨機過程及實數，定義隨機過程

試將的均值函數和自相關函數用過程的一維和二維分布函數來表示。

解：由均值函數的定義，有：

由自相關函數的定義，有：

（29）

設是一個零均值的平穩過程，而且不恒等于一個隨機變量，問是否仍為平穩過程，為什么？

不是平穩過程

（30）

設為平穩過程，其自相關函數是以為周期的函數，證明：是周期為的平穩過程。

證明：由于

由切比雪夫不等式有：

由相關函數的周期性，可知：對于，有：

因此

即是周期為的平穩過程。