第一篇：中國科學大學隨機過程(孫應飛)復習題及答案匯總

中科院研究生院2005～2006第一學期

隨機過程講稿

孫應飛

（1）設{X(t),t?0}是一個實的零均值二階矩過程，其相關函數為E{X(s)X(t)}?B(t?s),s?t，且是一個周期為T的函數，即B(??T)?B(?),??0，求方差函數D[X(t)?X(t?T)]。

解：由定義，有：

D[X(t)?X(t?T)]?D[X(t)]?D[X(t?T)]?2E{[X(t)?EX(t)][X(t?T)?EX(t?T)]}?B(0)?B(0)?2E{X(t)X(t?T)}?B(0)?B(0)?2B(T)?0

（2）試證明：如果{X(t),t?0}是一獨立增量過程，且X(0)?0，那么它必是一個馬爾可夫過程。

證明：我們要證明：

?0?t1?t2???tn，有

P{X(tn)?xnX(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}??P{X(tn)?xX(tn?1)?xn?1}形式上我們有：

P{X(tn)?xnX(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}??? P{X(tn)?xn,X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}P{X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?1)?xn?1}P{X(tn)?xn,X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?2)?xn?2X(tn?1)?xn?1}P{X(t1)?x1,X(t2)?x2,?,X(tn?2)?xn?2X(tn?1)?xn?1}

因此，我們只要能證明在已知X(tn?1)?xn?1條件下，X(tn)與X(tj),j?1,2,?,n?2相互獨立即可。由獨立增量過程的定義可知，當a?tj?tn?1?tn,j?1,2,?,n?2時，增量X(tj)?X(0)與X(tn)?X(tn?1)相互獨立，由于在條件X(tn?1)?xn?1和X(0)?0下，即有X(tj)與X(tn)?xn?1相互獨立。由此可知，在X(tn?1)?xn?1條件下，X(tn)與X(tj),j?1,2,?,n?2相互獨立，結果成立。

（3）設隨機過程{Wt,t?0}為零初值（W0?0）的、有平穩增量和獨立增量的過程，且對每個t?0，Wt~N(?,?2t)，問過程{Wt,t?0}是否為正態過程，為什么？

解：任取?0?t1?t2???tn，則有：

Wtk??[Wti?Wti?1]k?1,2,?,n

i?1k － 1 － 中科院研究生院2005～2006第一學期

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由平穩增量和獨立增量性，可知Wti?Wti?1~N(0,?2(ti?ti?1))并且獨立 因此(Wt1,Wt2?Wt1,?,Wtn?Wtn?1)是聯合正態分布的，由

?Wt1??10?0??Wt1???????WW?W?t2??11?0??t2t1?? ?????????0???????Wt??11?1??Wt?Wt???nn?1??n??可知是正態過程。

（4）設{Bt}為為零初值的標準布朗運動過程，問次過程的均方導數過程是否存在？并說明理由。

解：標準布朗運動的相關函數為：

RB(s,t)??2min{s,t}

/如果標準布朗運動是均方可微的，則RB(t,t)存在，但是：

RB(t??t,t)?RB(t,t)?0?t??0?t

R(t??t,t)?R(t,t)/BBRB??2?(t,t)?lim?t??0?t/RB?(t,t)?lim/故RB(t,t)不存在，因此標準布朗運動不是均方可微的。

（5）設Nt，t?0是零初值、強度??0的泊松過程。寫出過程的轉移函數，并問在均方意義下，Yt??Nds,t?0是否存在，為什么？

0st解：泊松過程的轉移率矩陣為：

?????0?0Q??????????00???????0????????

???????????20其相關函數為：RN(s,t)??min{s,t}??st，由于在?t，RN(t,t)連續，故均方積分存在。

（6）在一計算系統中，每一循環具有誤差的概率與先前一個循環是否有誤差有關，以0表示誤差狀態，1表示無誤差狀態，設狀態的一步轉移矩陣為：

?pP??00?p10

p01??0.750.25? ????p11??0.50.5?－ 2 － 中科院研究生院2005～2006第一學期

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試說明相應齊次馬氏鏈是遍歷的，并求其極限分布（平穩分布）。

解：由遍歷性定理可知此鏈是遍歷的，極限分布為(2/3,1/3)。

（7）設齊次馬氏鏈?Xn,n?0?,S??1,2,3,4?,一步轉移概率矩陣如下：

01/21/2??0??001/21/2?? P??1/21/200????1/21/200???（a）寫出切普曼－柯爾莫哥洛夫方程（C－K方程）；（b）求n步轉移概率矩陣；

（c）試問此馬氏鏈是平穩序列嗎？ 為什么？

解：（a）略

（b）P(n)?P??n?Pn?奇數 2?Pn?偶數（c）此鏈不具遍歷性

（8）設Y(t)?X(?1)N(t),t?0，其中{N(t);t?0}為強度為??0的Poission過程，隨機變量X與此Poission過程獨立，且有如下分布：

P{X??a}?P{X?a}?1/4,P{X?0}?1/2,a?0

問：隨機過程Y(t),t由于：E{Y(t)}?0

?0是否為平穩過程？請說明理由。

RY(t1,t2)?EX2?(?1)N(t1)?N(t2)?EX2E(?1)N(t1)?N(t2)?2a22N(t1)?N(t2)?N(t1)N(t2)?N(t1)?E(?1)2a2??E(?1)N(t2)?N(t1)N(t2)?N(t1)?nP{N(t2)?N(t1)?n}?2n?0???????a2E?(?1)?

???a2?2[?(t2?t1)]n??(t2?t1)a2?2?(t2?t1)a2?2??(?1)e?e?e??t2?t1?n!22n?0?n故{Y(t)}是平穩過程。

（9）設Xt?X?2Yt,t?0，其中X與Y獨立，都服從N(0,?)

（a）此過程是否是正態過程？說明理由。（b）求此過程的相關函數，并說明過程是否平穩。

證明：（a）任取 n?N,0?t1?t2???tn，則有： － 3 － 中科院研究生院2005～2006第一學期

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?Xt1??X?2Yt1??12t1???????XX?2Yt12t?t2???2?2??X????? ????????????Y?????????Xt??X?2Yt??12t?n?n???n??由于X與Y獨立，且都服從N(0,?2)，因此可得?X機向量 Xt1?Y?服從正態分布，由上式可知隨?Xt2??Xtn服從正態（高斯）分布，所以過程Xt?X?2Yt,t?0是

?正態（高斯）過程。（b）由：

E{Xt}?E{X}?2tE{Y}?0

RX(t1,t2)?E{Xt1Xt2}?E{[X?2t1Y][X?2t2Y]}?E{X2}?2(t1?t2)E{XY}?4t1t2E{Y2}?E{X2}?2(t1?t2)E{X}E{Y}?4t1t2E{Y2}??2?4t1t2?2由于相關函數不是時間差的函數，因此此過程不是平穩過程。（10）設Nt，t?0是零初值、強度??1的泊松過程。

（a）求它的概率轉移函數p(s,t,i,j)?P{Nt?jNs?i}；（b）令Xt?Nt?t,t?0，說明Y?

?Xdt存在，并求它的二階矩。

0t1[?(t?s)]j?i??(t?s)解：（a）p(s,t,i,j)?P{Nt?jNs?i}? e(j?i)!（b）先求相關函數：

RX(t,s)?E{(Nt?t)(Ns?s)}??min{t,s}??2st?st(1?2?)

對任意的t，在(t,t)處RX(t,t)連續，故Xt均方連續，因此均方可積，Y?2??1??E{Y}?E??Xtdt??E??0????21111 ?Xdt存在。

0t1??Xdt?Xds??E???XXdtds?0t0s00ts

??1100?RX(t,s)dtds將RX(t,s)代入計算積分即可。

由??1，得：

RX(t,s)?E{(Nt?t)(Ns?s)}??min{t,s}??2st?st(1?2?)?min{t,s}

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21111??1??E{Y}?E??Xtdt??E?Xtdt?Xsds?E??XtXsdtds?0000?0????2???110t?13

?? 1100?RX(t,s)dtds??1100?min{t,s}dtds??dt?tds??dt?sds?001t（11）設一口袋中裝有三種顏色（紅、黃、白）的小球，其數量分別為3、4、3。現在不斷地隨機逐一摸球，有放回，且視摸出球地顏色計分：紅、黃、白分別計1、0、-1分。第一次摸球之前沒有積分。以Yn表示第n次取出球后的累計積分，n?0,1,?（a）Yn，n?0,1,?是否齊次馬氏鏈？說明理由。

（b）如果不是馬氏鏈，寫出它的有窮維分布函數族；如果是，寫出它的一步轉移概率pij和兩步轉移概率pij(2)。

（c）令?0?min{n;Yn?0,n?0}，求P{?0?5}。

解：（a）是齊次馬氏鏈。由于目前的積分只與最近一次取球后的積分有關，因此此鏈具有馬氏性且是齊次的。狀態空間為：S?{?,?2,?1,0,1,2,?}。

（b）pij?P{Yn?1?0.3,?0.4,??jYn?i}???0.3,??0,j?i?1j?i

j?i?1其他0.32,2?0.3?0.4,j?i?2j?i?1pij(2)?P{Yn?2?????Yn?i}???????0.42?2?0.32,j?i

2?0.3?0.4,j?i?10.32,0,j?i?2其他

（c）即求首達概率，注意畫狀態轉移圖。

P{?0?5}?2?[3?0.34?0.4?0.32?0.43]?0.03096

（12）考察兩個諧波隨機信號X(t)和Y(t)，其中：

X(t)?Acos(?ct??),Y(t)?Bcos(?ct)

式中A和?c為正的常數；?是???,??內均勻分布的隨機變量，B是標準正態分布的隨機變量。

（a）求X(t)的均值、方差和相關函數；

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（b）若?與B獨立，求X(t)與Y(t)的互相關函數。

解：（a）E{X(t)}?0

A2A2RXX(t1,t2)?E{X(t1)X(t2)}?cos????t1?t2，D{X(t)}?

22（b）RXY(t1,t2)?E{X(t1)Y(t2)}?0

（13）令諧波隨機信號：X(t)?Acos(?ct??), 式中?c為固定的實數；?是?0,2??內均勻分布的隨機變量，考察兩種情況：（a）幅值A為一固定的正實數；

（b）幅值A為一與?獨立，分布密度函數為

a?2e?a2/(2?2),a?0的隨機變量；

試問諧波隨機信號在兩種情況下是平穩的嗎？

（a）如12題（b）略

（14）設{N(t);t?0}是一強度為?的Poission過程，記X(t)?dN(t)，試求隨機過dt程X(t)的均值和相關函數。

解：利用導數過程相關函數與原過程相關函數的關系即可得：

mX?(t)??mX(t)??(?t)/?? /?2RX(t,s)?2RX?(t,s)??(?2st??min{s,t})??2???(t?s)

?t?s?t?s

（15）研究下列隨機過程的均方連續性，均方可導性和均方可積性。當均方可導時，試求均方導數過程的均值函數和相關函數。

（a）X(t)?At?B，其中A,B是相互獨立的二階矩隨機變量，均值為a,b，方差為?1,?2；

（b）X(t)?At?Bt?C，其中A,B,C是相互獨立的二階矩隨機變量，均值為

22a,b,c，方差為?12,?2。,?3222略

（16）求下列隨機過程的均值函數和相關函數，從而判定其均方連續性和均方可微性。

（a）X(t)?tW??,t?0，其中W(t)是參數為1的Wienner過程。（b）X(t)?W(t),t?0,其中W(t)是參數為?的Wienner過程。

－ 6 － 22?1??t?中科院研究生院2005～2006第一學期

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解：（a）mX(t)?E{tW()}?tE{W()}?0

1t1t111111RX(s,t)?E{sW()tW()}?stE{W()W()}?stmin{,}??2min{s,t}

stststRX(t,t)??2t 連續，故均方連續，均方可積。

（b）mX(t)?E{W2(t)}?DW(t)?[EW(t)]2??2t

R(s,t)??4s(t?s)?3?4s2 均方連續，均方可積。

（17）討論Wienner過程和Poission過程的均方連續性、均方可導性和均方可積性。

解：略。

（18）設有平穩隨機過程X(t)，它的相關函數為RX(?)??2e???，其中?,?為常數，求Y(t)?a解：略。

（19）設有實平穩隨機過程X(t)，它的均值為零，相關函數為RX(?)，若

22dX(t)（a為常數）的自協方差函數和方差函數。dtY(t)??X(s)ds，求Y(t)的自協方差函數和方差函數。

0t解：mY?0

CY(s,t)?RY(s,t)??dv?RX(u?v)du

00stDY(t)??dv?RX(u?v)du?4?(t?x)RX(x)dx

000ttt

（20）設?N1(t),t?0?和?N2(t),t?0?是參數分別為?1和?2的時齊Poission過程，證明在N1(t)的任一到達時間間隔內，N2(t)恰有k個事件發生的概率為：

??2?pk??1??2???1??2?1????k,k?0,1,2,?

證明：令X為N1(t)的任一到達時間間隔并且X~Ex(?1)，即X的分布密度為：

??1e??1t,t?0 fX(t)??t?0?0,由此可知：

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??pk?P{N2(t)?k,t?[0,X)}????P{N02(t)?kX?t}?1e??1tdtk?(?2t)??2t??1t?1e?edt?1?k!?1??20

??2????????,k?0,1,2,?2??1

（21）設隨機振幅、隨機相位正弦波過程Xt?Vsin(t??),t?0，其中隨機變量V和?相互獨立，且有分布：

1???10?~U[0,2?],V~??1/41/21/4??

??令： Yt???1,如Xt?2/2?0,反之,t?0

試求過程Yt,t?0的均值函數。

解：由定義，隨機過程{Y(t);t?0}的均值函數為：

?Y(t)?E{Y(t)}?1?P{Y(t)?1}?0?P{Y(t)?0}?P{Y(t)?1}?PX(t)?2/2而

??

PX(t)?2/2?PVsin(t??)?2/2??P(?1)sin(t??)?2/2P{V??1}?P0?sin(t??)?2/2P{V?0}??P(1)sin(t??)?2/2P{V?1}?111Psin(t??)?2/2?Psin(t??)?2/2?Psin(t??)??2/2222?????????

??????由于當?~U(0,2?)時，隨機變量?(t)?sin(t??)的分布密度為：

1?,?1?x??1? f?(t)(x)???1?x2?其它?0,因此有：

PX(t)?2/2?即：

?Y(t)?

??1 41 4（22）設有一泊松過程{N(t),t?0}，固定兩時刻s,t，且s?t，試證明

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kn?k?s?P(N(s)?kN(t)?n)?C???t?kn?s??1???t?,k?0,1,2,?,n

證明：由于s?t，有

P?N(s)?k/N(t)?n??P?N(s)?k,N(t)?n??P?N(t)?n?

P?N(s)?k??P{N(t?s)?n?k}?P?N(t)?n?其中

(?s)k??s(?(t?s))n?k??(t?s)P?N(s)?k??P{N(t?s)?n?k}?e?ek!(n?k)!(?t)n??tP?N(t)?n??e

n!所以

(?s)k??s(?(t?s))n?k??(t?s)e?ek!(n?k)!P?N(s)?k/N(t)?n??(?t)n??te n!sk(t?s)n?kn!k?s??k?Cn??k!(n?k)!ttn?k?t?

（23）設B(t),t?0為零均值的標準布朗運動，a和b為兩個待定的正常數（a?1），問在什么情況下{aB(bt)}仍為標準的布朗運動？說明理由。

解：由B(t),t?0為標準布朗運動可知B(t),t?0為正態過程，由正態分布的性質可知

k?s??1???t?n?k{aB(bt)}為正態過程，令Y(t)??aB(bt)，則有

RY(t,s)?E{Y(t)Y(s)}?a2E{B(bt)B(bs)}?a2min{bt,bs}?a2bmin{t,s}

因此，要使{aB(bt)}仍為標準的布朗運動，必須ab?1，即：

2a?1b,b?0

（24）設有無窮多只袋子，各裝有紅球r只，黑球b只及白球w只。今從第1個袋子隨機取一球，放入第2個袋子，再從第2個袋子隨機取一球，放入第3個袋子，如此繼續。令

?1,當第k次取出紅球Rk??,k?1,2,?

0,反之?（a）試求Rk的分布；

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（b）試證{Rk}為馬氏鏈，并求一步轉移概率。

解：（a）Rk的分布為：

?Rk??P?（b）Rk的一步轉移概率為：

1rr?b?w0?b?w?? r?b?w?r?1??P??r?b?w?1r???r?b?w?1

b?w??r?b?w?1? b?w?1??r?b?w?1?（25）設有隨機過程?(t)?Xt2?Y,???t??，X與Y是相互獨立的正態隨機變量，期望均為0，方差分別為?X和?Y。證明過程?(t)均方可導，并求?(t)導過程的相關函數。

證明：計算得：E{?(t)}?t2E{X}?E{Y}?0

2222 R?(t,s)?E{[Xt2?Y][Xs2?Y]}??Xts??Y2

2由于相關函數的導數為：

R??(t,s)??R?(t,s)?t?s2?4?Xts

它是一連續函數，因此過程?(t)均方可導，?(t)導過程的相關函數由上式給出。（26）設{Bt;t?0}是初值為零標準布朗運動過程，試求它的概率轉移密度函數p(s,t,x,y)??fBtBs(yx)。

解：由標準維納過程的定理：設{W0(t);t?0}為標準維納過程，則對任意0?t1?t2???tn，(W0(t1),W0(t2),?,W0(tn))的聯合分布密度為：

g(x1,x2,?,xn;t1,t2,?,tn)??p(xi?xi?1;ti?ti?1)

i?1n其中：

1x2p(x;t)?exp{?}

2t2?t可知：當s?t時，(Bs,Bt)的聯合分布密度為：

fBsBt(x,y)??x2??(y?x)2?1exp????exp??? 2?s?2s?2?(t?s)?2(t?s)?1－ 10 － 中科院研究生院2005～2006第一學期

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Bs的分布密度為：

fBs(x)?因此

?x2?exp??? 2?s?2s?1p(s,t,x,y)??fBtBs(yx)?

（27）設有微分方程3fBsBt(x,y)fBs(x)??(y?x)2?exp???

2?(t?s)?2(t?s)?1dX(t)?2X(t)?W0(t)，初值X(0)?X0為常數，W0(t)是標準dt維納過程，求隨機過程X(t)在t時刻的一維概率密度。

解：方程的解：

X(t)?X0e??03dut2?t11t?s?du??W0(s)e03ds?X0e3??e3W0(s)ds 0330tt222由于W0(t)為維納過程，故X(t)為正態過程，因此有：

E{X(t)}?E{X0e2?t3?t1t?3s??eW0(s)ds}?X0e3???X(t)30221t3s2D{X(t)}?E{[X(t)?E{X(t)}]}?E{[?eW0(s)ds}]2}30s?s?stt1tt3s3?1t3333???eemin{s,t}dsd??[?ds?ee?d???ds?eesd?]

00s90090tt12323?[2te?9e?6t?9]?(t)??X24222222222故X(t)的一維概率密度為：

f(x,t)?12??X(t)e?(x??X(t))22?X(t)

（28）設給定隨機過程{X(t),t?T}及實數x，定義隨機過程

?1,X(t)?xY(t)???0,X(t)?xt?T

試將Y(t)的均值函數和自相關函數用過程X(t)的一維和二維分布函數來表示。

解：由均值函數的定義，有：

E{?(t)}?1?P{?(t)?1}?0?P{?(t)?0}?P{?(t)?0}?P{?(t)?x}?F?(x,t)

由自相關函數的定義，有：

－ 11 － 中科院研究生院2005～2006第一學期

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R??(t1,t2)?E{?(t1)?(t2)}?1?1P{?(t1)?1,?(t2)?1}?1?0P{?(t1)?1,?(t2)?0}??0?1P{?(t1)?0,?(t2)?1}?0?0P{?(t1)?0,?(t2)?0}?P{?(t1)?1,?(t2)?1}?P{?(t1)?x,?(t2)?y}?F?(x,y;t1,t2)（29）設{X(t),???t???}是一個零均值的平穩過程，而且不恒等于一個隨機變量，問{X(t)?X(0),???t???}是否仍為平穩過程，為什么？ 不是平穩過程

（30）設X(t)為平穩過程，其自相關函數RX(?)是以T0為周期的函數，證明：X(t)是周期為T0的平穩過程。

證明：由于

E{X(t??)?X(t)}?0

D{X(t??)?X(t)}?E{[X(t??)?X(t)]2}?2[RX(0)?RX(?)]

由切比雪夫不等式有：

P{X(t??)?X(t)??}?D{X(t??)?X(t)}?2?2?2[RX(0)?RX(?)]

由相關函數的周期性，可知：對于???0，有：

P{X(t?T0)?X(t)??}?0

因此

P?X(t?T0)?X(t)??1

即X(t)是周期為T0的平穩過程。

－ 12 －

第二篇：中國科學大學隨機過程（孫應飛）復習題及答案

中國科學大學隨機過程(孫應飛)復習題及答案

（1）

設是一個實的零均值二階矩過程，其相關函數為，且是一個周期為的函數，即，求方差函數。

解：由定義，有：

（2）

試證明：如果是一獨立增量過程，且，那么它必是一個馬爾可夫過程。

證明：我們要證明：，有

形式上我們有：

因此，我們只要能證明在已知條件下，與相互獨立即可。

由獨立增量過程的定義可知，當時，增量與相互獨立，由于在條件和下，即有與相互獨立。由此可知，在條件下，與相互獨立，結果成立。

（3）

設隨機過程為零初值（）的、有平穩增量和獨立增量的過程，且對每個，問過程是否為正態過程，為什么？

解：任取，則有：

由平穩增量和獨立增量性，可知并且獨立

因此是聯合正態分布的，由

可知是正態過程。

（4）

設為為零初值的標準布朗運動過程，問次過程的均方導數過程是否存在？并說明理由。

解：標準布朗運動的相關函數為：

如果標準布朗運動是均方可微的，則存在，但是：

故不存在，因此標準布朗運動不是均方可微的。

（5）

設，是零初值、強度的泊松過程。寫出過程的轉移函數，并問在均方意義下，是否存在，為什么？

解：泊松過程的轉移率矩陣為：

其相關函數為：，由于在，連續，故均方積分存在。

（6）

在一計算系統中，每一循環具有誤差的概率與先前一個循環是否有誤差有關，以0表示誤差狀態，1表示無誤差狀態，設狀態的一步轉移矩陣為：

試說明相應齊次馬氏鏈是遍歷的，并求其極限分布（平穩分布）。

解：由遍歷性定理可知此鏈是遍歷的，極限分布為。

（7）

設齊次馬氏鏈一步轉移概率矩陣如下：

（a）寫出切普曼－柯爾莫哥洛夫方程（C－K方程）；

（b）求步轉移概率矩陣；

（c）試問此馬氏鏈是平穩序列嗎？

為什么？

解：（a）略

（b）

（c）此鏈不具遍歷性

（8）

設，其中為強度為的Poission過程，隨機變量與此Poission過程獨立，且有如下分布：

問：隨機過程是否為平穩過程？請說明理由。

由于：

故是平穩過程。

（9）

設，其中與獨立，都服從

（a）此過程是否是正態過程？說明理由。

（b）求此過程的相關函數，并說明過程是否平穩。

證明：（a）任取，則有：

由于與獨立，且都服從，因此可得服從正態分布，由上式可知隨機向量

服從正態（高斯）分布，所以過程是正態（高斯）過程。

（b）由：

由于相關函數不是時間差的函數，因此此過程不是平穩過程。

（10）

設，是零初值、強度的泊松過程。

（a）求它的概率轉移函數；

（b）令，說明存在，并求它的二階矩。

解：（a）

（b）先求相關函數：

對任意的，在處連續，故均方連續，因此均方可積，存在。

將代入計算積分即可。

由，得：

（11）

設一口袋中裝有三種顏色（紅、黃、白）的小球，其數量分別為3、4、3。現在不斷地隨機逐一摸球，有放回，且視摸出球地顏色計分：紅、黃、白分別計1、0、-1分。第一次摸球之前沒有積分。以表示第次取出球后的累計積分，（a），是否齊次馬氏鏈？說明理由。

（b）如果不是馬氏鏈，寫出它的有窮維分布函數族；如果是，寫出它的一步轉移概率和兩步轉移概率。

（c）令，求。

解：（a）是齊次馬氏鏈。由于目前的積分只與最近一次取球后的積分有關，因此此鏈具有馬氏性且是齊次的。狀態空間為：。

（b）

（c）即求首達概率，注意畫狀態轉移圖。

（12）

考察兩個諧波隨機信號和，其中：

式中和為正的常數；是內均勻分布的隨機變量，是標準正態分布的隨機變量。

（a）求的均值、方差和相關函數；

（b）若與獨立，求與的互相關函數。

解：（a），（b）

（13）

令諧波隨機信號：

式中為固定的實數；是內均勻分布的隨機變量，考察兩種情況：

（a）幅值為一固定的正實數；

（b）幅值為一與獨立，分布密度函數為的隨機變量；

試問諧波隨機信號在兩種情況下是平穩的嗎？

（a）如12題（b）略

（14）

設是一強度為的Poission過程，記，試求隨機過程的均值和相關函數。

解：利用導數過程相關函數與原過程相關函數的關系即可得：

（15）

研究下列隨機過程的均方連續性，均方可導性和均方可積性。當均方可導時，試求均方導數過程的均值函數和相關函數。

（a），其中是相互獨立的二階矩隨機變量，均值為，方差為；

（b），其中是相互獨立的二階矩隨機變量，均值為，方差為。

略

（16）

求下列隨機過程的均值函數和相關函數，從而判定其均方連續性和均方可微性。

（a），其中是參數為1的Wienner過程。

（b）,其中是參數為的Wienner過程。

解：（a）

連續，故均方連續，均方可積。

（b）

均方連續，均方可積。

（17）

討論Wienner過程和Poission過程的均方連續性、均方可導性和均方可積性。

解：略。

（18）

設有平穩隨機過程，它的相關函數為，其中為常數，求（為常數）的自協方差函數和方差函數。

解：略。

（19）

設有實平穩隨機過程，它的均值為零，相關函數為，若，求的自協方差函數和方差函數。

解：

（20）

設和是參數分別為和的時齊Poission過程，證明在的任一到達時間間隔內，恰有個事件發生的概率為：

證明：令為的任一到達時間間隔并且，即的分布密度為：

由此可知：

（21）

設隨機振幅、隨機相位正弦波過程，其中隨機變量和相互獨立，且有分布：

令：

試求過程的均值函數。

解：由定義，隨機過程的均值函數為：

而

由于當時，隨機變量的分布密度為：

因此有：

即：

（22）

設有一泊松過程，固定兩時刻，且，試證明

證明：由于，有

其中

所以

（23）

設為零均值的標準布朗運動，和為兩個待定的正常數（），問在什么情況下仍為標準的布朗運動？說明理由。

解：由為標準布朗運動可知為正態過程，由正態分布的性質可知為正態過程，令，則有

因此，要使仍為標準的布朗運動，必須，即：

（24）

設有無窮多只袋子，各裝有紅球只，黑球只及白球只。今從第1個袋子隨機取一球，放入第2個袋子，再從第2個袋子隨機取一球，放入第3個袋子，如此繼續。令

（a）試求的分布；

（b）試證為馬氏鏈，并求一步轉移概率。

解：（a）的分布為：

（b）的一步轉移概率為：

（25）

設有隨機過程，與是相互獨立的正態隨機變量，期望均為0，方差分別為和。證明過程均方可導，并求導過程的相關函數。

證明：計算得：

由于相關函數的導數為：

它是一連續函數，因此過程均方可導，導過程的相關函數由上式給出。

（26）

設是初值為零標準布朗運動過程，試求它的概率轉移密度函數。

解：由標準維納過程的定理：設為標準維納過程，則對任意，的聯合分布密度為：

其中：

可知：當時，的聯合分布密度為：的分布密度為：

因此

（27）

設有微分方程，初值為常數，是標準維納過程，求隨機過程在時刻的一維概率密度。

解：方程的解：

由于為維納過程，故為正態過程，因此有：

故的一維概率密度為：

（28）

設給定隨機過程及實數，定義隨機過程

試將的均值函數和自相關函數用過程的一維和二維分布函數來表示。

解：由均值函數的定義，有：

由自相關函數的定義，有：

（29）

設是一個零均值的平穩過程，而且不恒等于一個隨機變量，問是否仍為平穩過程，為什么？

不是平穩過程

（30）

設為平穩過程，其自相關函數是以為周期的函數，證明：是周期為的平穩過程。

證明：由于

由切比雪夫不等式有：

由相關函數的周期性，可知：對于，有：

因此

即是周期為的平穩過程。

第三篇：大學中國近現代史綱要復習題及答案

2012年下半年《中國近現代史綱要》復習提綱

各章要求領會、掌握如下內容： 上編綜述

1為什么說鴉片戰爭是中國近代歷史的起點？

隨著外國資本主義的入侵，中國的社會性質（獨立的中國逐步變為半殖民地的中國，封建的中國逐步變為半封建的中國）和革命性質（反封建的農民革命變為反帝反封建的資產階級民主革命）開始發生質的變化。中國社會逐步淪為半殖民地半封建社會。中國人民逐漸開始了反帝反封建的資產階級民主革命。

2、近代中國社會的半殖民地半封建社會的性質、基本特征、兩對主要矛盾、歷史任務及其關系。A性質：中國的半殖民地半封建社會，是近代以來中國在外國資本主義勢力的入侵及其與中國封建主義勢力相結合的條件下，逐步形成的一種從屬于資本主義世界體系的畸形的社會形態。C矛盾：帝國主義和中華民族的矛盾；封建主義和人民大眾的矛盾 D歷史任務：爭得民族獨立和人民解放；實現國家富強和人民富裕

關系：互相區別又互相緊密聯系。爭得民族獨立和人民解放，才能為實現國家富強和人民富裕創造前提，開辟道路。

3、近代中國學習西方的歷史進程及其重大事件的分析與認識。A技術層面：洋務運動

B制度層面：戊戌變法、辛亥革命 C思想層面：新文化運動

第一章 反對外來侵略的斗爭

1、資本-帝國主義侵略中國的主要方式？

A軍事侵略：a發動侵略戰爭，屠殺中國人民 b侵占中國領土，劃分勢力范圍 c勒索賠款，搶掠財富

B政治控制：a控制中國的內政、外交 b鎮壓中國人民的反抗 c扶植、收買代理人

C經濟掠奪：a控制中國的通商口岸 b剝奪中國的關稅自主權

c實行商品傾銷和資本輸出 d操縱中國的經濟命脈

D文化滲透：a披著宗教外衣，進行侵略活動 b為侵略中國制造輿論

2、帝國主義列強未能瓜分中國的原因分析。A帝國主義列強之間的矛盾和相互制約

B中國人民打擊和教訓了帝國主義者，使他們不敢為所欲為

第二章 對國家出路的早期探索

1、洋務運動的歷史背景、內容、歷史作用及其失敗原因分析。

B內容：a興辦近代企業；b建立新式海陸軍；c創辦新式學堂，派遣留學生

C歷史作用：a客觀上對中國的早期工業和民族資本主義的發展起了某些促進作用

b培養通曉洋務的人才，開辦了一批新式學堂，派出了最早的官派留學生，這是中國近代教育的開端

c翻譯了一批西學書籍，給當時的中國帶來了新的知識 d工商業者的地位上升，有利于資本主義經濟的發展

D失敗原因：a洋務運動具有封建性 b洋務運動對外國具有依賴性 c 洋務企業的管理具有腐朽性

2、戊戌變法的歷史背景、過程、失敗原因與歷史意義怎樣？ C失敗原因：客觀：以慈禧太后為首的強大守舊勢力的反對 主觀：a不敢否定封建主義b對帝國主義抱有幻想c懼怕人民群眾

D歷史意義：戊戍變法是一次愛國救亡運動，是一場資產階級性質的政治改良運動，是一場思想啟蒙運動

第三章 辛亥革命與君主專制制度的終結

1、辛亥革命爆發的歷史必然性。

A民族危機加深，社會矛盾激化 B清末“新政”的破產C資產階級革命派的階級基礎和骨干力量具備

2、孫中山新、舊三民主義的主要內容及其評價（積極意義與局限性）。舊三民主義：

民族主義：包括“驅除韃虜，恢復中華”兩項內容，就是要結束清政府的專制統治及其媚外政策。局限性在于沒有從正面鮮明地提出反對帝國主義的主張

民權主義：內容是“創立民國”，即推翻封建君主專制制度，建立資產階級民主共和國。這就是孫中山所說的政治革命。局限性在于忽略了廣大勞動群眾在國家中的地位，難以使人民的民主權利得到真正的保證

民生主義：在當時指的是“平均地權”，也就是孫中山所說的社會革命。局限性在于沒有正面觸及封建土地所有制，不能滿足廣大農民的土地要求

積極意義：舊三民主義學說是一個比較完整而明確的資產階級民主革命綱領，對推動革命的發展產生了重大而積極的影響

新三民主義

民族主義：突出了反帝的內容，強調對外實行中華民族的獨立，國內各民族一律平等 民權主義：強調了民主權利應“為一般平民所共有”

民生主義：概括為“平均地權”和“節制資本”兩大原則，改善工農的生活狀況 評價：成為國共合作的政治基礎

3、孫中山讓位給袁世凱的原因。

A袁世凱以武力壓迫革命派B帝國主義列強為袁世凱助威C革命的立憲派、舊官僚等從內部施加壓力D一些革命黨人主張讓袁世凱當大總統

4、辛亥革命的歷史意義、失敗原因與教訓。

A歷史意義：a辛亥革命推翻了清王朝的統治，沉重打擊了中外反動勢力b建立了中國歷史上第一個資產階級共和政府，使民主共和的觀念開始深入人心c給人們帶來了一次思想上的解放d促使社會經濟、風俗等方面發生了新的積極的變化

B失敗原因:客觀：a袁世凱以武力壓迫革命派b帝國主義列強為袁世凱助威c革命的立憲派、舊官僚等從內部施加壓力d一些革命黨人主張讓袁世凱當大總統

主觀：資產階級革命派本身存在著許多弱點和錯誤：a沒有提出徹底的反帝反封建的革命綱領b不能充分發動和依靠人民群眾c不能建立堅強的革命政黨

C教訓：資產階級共和國的方案沒有能夠救中國，先進的中國人需要進行新的探索，為中國謀求新的出路

中編綜述

1、近代中華民族資本主義發展艱難的原因是什么？

A外國資本的壓迫B官僚資本的排擠C封建生產關系的束縛D軍閥官僚政府的壓榨

2、一戰與十月革命的影響；抗戰結束后的三種政治力量與三種建國方案。B a地主階級和買辦性大資產階級反動勢力主張資產階級共和國道路

c工人階級、農民階級和城市小資產階級，是進步勢力、民主革命的主要力量-主張中國人民應當在工 人階級及其政黨的領導下，進行新民主主義革命，建立人民民主專政的國家，逐步到達社會主義和共產主義

第四章 開天辟地的大事變

1、新文化運動的主要內容、歷史影響。

2、五四愛國運動爆發的歷史條件、歷史特點及其重要意義。

A歷史條件：a新的社會力量的成長、壯大 b新文化運動掀起思想解放的潮流c俄國十月革命對中國的影響

B歷史特點：a五四運動表現了反帝反封建的徹底性b是一次真正的群眾運動c促進了馬克思主義在中國的傳播及其與中國工人運動的結合

3、中國共產黨成立的歷史條件及其重要意義。

A歷史條件：a新文化運動和五四運動的影響b馬克思主義在中國傳播c蘇聯共產國際的積極幫助

B重要意義：中國共產黨的成立，是一個“開天辟地”的大事件，它給災難深重的中國人民帶來了光明和希望。中國人民的斗爭之所以屢遭挫折和失敗，重要的原因之一是沒有一個先進的堅強的政黨作為凝聚自己力量的領導核心。自從有了中國共產黨，這種局面就開始從根本上改變了

4、中國共產黨成立后如何推動了中國革命面貌的劇變（中國共產黨在1924至1927年國民革命中的主要貢獻）？

在這場革命中，中國共產黨起著獨特的、不可代替的作用。

a大革命是在反對帝國主義、反對軍閥的政治口號下進行的。提出這個口號的，正是中國共產黨。

b大革命是在以國共合作為基礎的統一戰線的組織形式下進行的。而中國共產黨正是國共合作的倡導者和組織者

c大革命是近代中國歷史上空前廣泛而深刻的群眾運動。而中國共產黨正是人民群眾的主要發動者和組織者

d大革命的主要斗爭形式是革命戰爭。共產黨人不僅幫助和推動了國民革命軍的建立，而且在軍隊中進行了卓有成效的政治工作，在戰斗中起著先鋒作用和表率作用

5、大革命失敗的原因及其教訓是什么？ 失敗原因

A客觀：反革命力量的強大；資產階級發生嚴重動搖、統一戰線出現劇烈的分化；蔣介石集團、汪精衛集團先后被帝國主義勢力和地主階級、買辦資產階級拉進反革命營壘里去了

B主觀：以陳獨秀為代表的右傾機會主義的錯誤，放棄了無產階級的領導權，尤其是武裝力量的領導權，當時的中國共產黨還處在幼年時期，還不善于將馬克思列寧主義的基本原理和中國革命的實踐結合起來 C外部：中國共產黨作為共產國際的一個支部，當時直接受共產國際的指導。共產國際及其在中國的代表雖然對這次大革命起了積極的作用，但由于并不真正了解中國的情況，也出了一些錯誤的主意。幼年的中國共產黨還難以擺脫共產國際的那些錯誤的指導思想

第五章 中國革命的新道路

1、中國共產黨是如何開辟中國革命新道路的？有何歷史啟示？ 《中國的紅色政權為什么能夠存在？》《井岡山的斗爭》《星星之火，可以燎原》 《反對本本主義》

2、中共早期連續發生的幾次“左”傾錯誤及其原因分析。第一次：1927年11月至1928年4月的“左”傾盲動錯誤

第二次：1930年6月至9月以李立三為代表的“左”傾冒險主義

第三次：1931年1月至1935年1月以陳紹禹（王明）為代表的“左”傾教條主義 原因：a八七會議以后黨內一直存在著濃厚的“左”傾情緒始終沒得到認真清理 b共產國際對中國共產黨內部事務的錯誤干預和瞎指揮 c不善于將馬克思列寧主義與中國實際全面正確地結合起來

3、遵義會議的轉折作用與歷史意義。

遵義會議開始確立以毛澤東為代表的馬克思主義的正確路線在中共中央的領導地位，挽救了中國共產黨，挽救了中國工農紅軍，挽救了中國革命，成為了中國共產黨歷史上一個生死攸關的轉折點

第六章 中華民族的抗日戰爭

1、西安事變與抗日民族統一戰線的初步形成。

2、如何認識國民黨正面戰場在抗日戰爭中的作用與地位？

A在戰略防御階段，國民黨軍隊為主體的正面戰場擔負了抗擊日軍戰略進攻的主要任務

B進入相持階段后，日本對國民黨政府采取以政治誘降為主、軍事打擊為輔的方針，國民黨由片面的抗戰逐步轉變為消極抗戰

C在敵后開始局部反攻的有利條件下，國民黨軍隊的戰斗力卻日益下降，國民黨政府在軍事、政治、經濟各個方面陷入深刻的危機

3、如何理解共產黨在抗日戰爭的中流砥柱作用？

A中國共產黨實行全面的全民族抗戰的路線，采取持久戰的戰略方針 B開辟和發展敵后戰場，重視游擊戰爭的戰略地位和作用

C中共堅持統一戰線中的獨立自主原則，堅持抗戰、團結、進步，反對妥協、分裂、倒退，鞏固抗日民族統一戰線的策略總方針

D實現三三制的民主政權建設、減租減息，發展生產，開展文化建設與干部教育 E開展抗日民主運動、抗戰文化工作

F積極開展中國共產黨自身建設，提出馬克思主義中國化命題，系統闡明新民主主義理論，在全黨開展整風運動和確立實事求是思想路線

4、中國抗日戰爭勝利的歷史意義、勝利原因是什么？ B勝利原因a中國共產黨在全民族抗戰中起了中流砥柱的作用

b中國人民巨大的民族覺醒、空前的民族團結和應用的民族抗爭 c各種反法西斯力量的同情和支持

5、中國抗日戰爭勝利的基本經驗是什么？

A全國各族人民的大團結是中國人民戰勝一切艱難困苦、實現奮斗目標的力量源泉 B以愛國主義為核心的偉大民族精神是中國人民團結奮進的精神動力 C提高綜合國力是中華民族自立于世界民族之林的基本保證 D中國人民熱愛和平，又決不懼怕戰爭 E堅持中國共產黨的領導

第七章 為新中國而奮斗

1、重慶談判發生的背景、結果及其對時局的影響

A中國共產黨爭取和平民主的努力，盡管最終未能阻止全面內戰的爆發，但是它使得各界群眾增強了對中國共產黨的了解，在政治上是一個重大的勝利

B經過努力，中國人民畢竟爭得了將近一年的和平的暫息時期。也為擴大和鞏固解放區、做好進行自衛戰爭的準備，提供了有利的條件

2、中國革命勝利的原因。

A中國革命的發生不是偶然的，它有著深刻的社會根源和雄厚的群眾基礎。工人、農民、城市小資產階級群眾是民主革命的主要力量，各民主黨派和無黨派認識都在這場斗爭中發揮了積極的作用

B有了中國工人階級的先鋒隊—中國共產黨的領導。中國共產黨不僅代表著中國工人階級的利益，而且代表著整個中華民族和全中國人民的利益。“沒有共產黨，就沒有新中國”這是中國人民基于自己的切身體驗所確認的客觀真理。

C得到無產階級和人民群眾的支持

3、中國革命勝利的基本經驗。A建立廣泛的統一戰線 B堅持革命的武裝斗爭 C加強共產黨自身的建設

4國民黨敗亡的主要原因分析。A政治腐敗

B國統區經濟崩潰 C軍事上的潰敗

D首發內戰，失道寡助