2017年普通高等學校招生全國統一考試

理科數學(全國2卷)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。

在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.（）

A．

B．

C．

D．

2.設集合，．若，則（）

A．

B．

C．

D．

3.我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈（）

A．1盞

B．3盞

C．5盞

D．9盞

4.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）

A．

B．

C．

D．

5.設，滿足約束條件，則的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

6.安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有（）

A．12種

B．18種

C．24種

D．36種

7.甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據以上信息，則（）

A．乙可以知道四人的成績

B．丁可以知道四人的成績

C．乙、丁可以知道對方的成績

D．乙、丁可以知道自己的成績

8.執行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（）

A．2

B．3

C．4

D．5

9.若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（）

A．2

B．

C．

D．

10.已知直三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）

A．

B．

C．

D．

11.若是函數的極值點，則的極小值為（）

A.B.C.D.1

12.已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則的最小值是（）

A.B.C.D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.一批產品的二等品率為，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數，則．

14.函數（）的最大值是．

15.等差數列的前項和為，，則．

16.已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點．若為的中點，則．

三、解答題：共70分。

解答應寫出文字說明、解答過程或演算步驟。第17~21題為必做題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.（12分）的內角的對邊分別為,已知．

(1)求

(2)若,面積為2,求

18.（12分）淡水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100

個網箱，測量各箱水產品的產量（單位：kg）其頻率分布直方圖如下：

（1）

設兩種養殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事件“舊養殖法的箱產量低于50kg,新養殖法的箱產量不低于50kg”,估計A的概率；

（2）

填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養殖方法有關：

箱產量＜50kg

箱產量≥50kg

舊養殖法

新養殖法

（3）

根據箱產量的頻率分布直方圖，求新養殖法箱產量的中位數的估計值（精確到0.01）

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

19.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中點.（1）證明：直線平面PAB

（2）點M在棱PC

上，且直線BM與底面ABCD所成角為，求二面角M-AB-D的余弦值

20.（12分）設O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，過M做x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.(1)

求點P的軌跡方程；

(2)

設點Q在直線x=-3上，且.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.21.（12分）已知函數且.（1）求a；

（2）證明：存在唯一的極大值點，且.（二）選考題：共10分。

請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，按所做的第一題計分。

22.[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）

在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）M為曲線上的動點，點P在線段OM上，且滿足,求點P的軌跡的直角坐標方程；

（2）設點A的極坐標為，點B在曲線上，求面積的最大值．

23.[選修4-5：不等式選講]（10分）

已知，證明：

（1）；

（2）．

2017年普通高等學校招生全國統一考試

理科數學(Ⅱ)試題答案

一、選擇題

1.D

2.C

3.B

4.B

5.A

6.D

7.D

8.B

9.A

10.C

11.A

12.B

二、填空題

13.1.96

14.1

15.16.6

三、解答題

17.解：

（1）由題設及，故

上式兩邊平方，整理得

解得

（2）由，故

又

由余弦定理及得

所以b=2

18.解：

（1）記B表示事件“舊養殖法的箱產量低于”，表示事件“新養殖法的箱產量不低于”

由題意知

舊養殖法的箱產量低于的頻率為

故的估計值為0.62

新養殖法的箱產量不低于的頻率為

故的估計值為0.66

因此，事件A的概率估計值為

（2）根據箱產量的頻率分布直方圖得列聯表

箱產量

箱產量

舊養殖法

新養殖法

由于

故有的把握認為箱產量與養殖方法有關．

（3）因為新養殖法的箱產量頻率分布直方圖中，箱產量低于的直方圖面積為，箱產量低于的直方圖面積為

故新養殖法箱產量的中位數的估計值為

．

19.解：

（1）取中點，連結，．

因為為的中點，所以，由得，又

所以．四邊形為平行四邊形，．

又，故

（2）

由已知得,以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,則

則，，,則

因為BM與底面ABCD所成的角為45°，而是底面ABCD的法向量，所以，即（x-1）2+y2-z2=0

又M在棱PC上，設

由①，②得

所以M，從而

設是平面ABM的法向量，則

所以可取m=（0，-，2）.于是

因此二面角M-AB-D的余弦值為

20.解

（1）設P（x,y）,M（x0,y0）,設N（x0,0）,由得

因為M（x0,y0）在C上，所以

因此點P的軌跡方程為

（2）由題意知F（-1,0）.設Q（-3，t）,P(m,n),則，由得，又由（1）知，故

3+3m-tn=0

所以，即又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.21.解：

（1）的定義域為

設，則等價于

因為

若a=1，則.當0＜x＜1時，單調遞減；當x＞1時，＞0，單調遞增.所以x=1是的極小值點，故

綜上，a=1

（2）由（1）知

設

當時，；當時，所以在單調遞減，在單調遞增

又，所以在有唯一零點x0，在有唯一零點1，且當時，；當時，當時，.因為，所以x=x0是f(x)的唯一極大值點

由

由得

因為x=x0是f(x)在（0,1）的最大值點，由得

所以

22.解：

（1）設P的極坐標為，M的極坐標為，由題設知

由得的極坐標方程

因此的直角坐標方程為

（2）設點B的極坐標為,由題設知,于是△OAB面積

當時，S取得最大值

所以△OAB面積的最大值為

23.解：

（1）

（2）因為

所以，因此a+b≤2.