第一篇：空間直線和平面總結_知識結構圖+例題

空間直線和平面

［知識串講］

空間直線和平面：

（一）知識結構

（二）平行與垂直關系的論證

1、線線、線面、面面平行關系的轉化： 面面平行性質 ?//?????a,??????a?b?//b a a//b? ? b a??,b? ???? ?a//? a??,b?? A b ? a a?b?A a//?,b//? ???????公理4(a//b,b//c a//c)線線∥ 線面平行判定 線面平行性質 線面∥ ??//?面面平行判定1 面面平行性質 面面∥ 面面平行性質1 ?//???//????a??? ?????b?a//??a//b?//??a????? ??//? ?a//?

2.線線、線面、面面垂直關系的轉化： ??a?b?O? ?l?a,l?b?a,b???l?? ?????? a???a?? 面面⊥ 三垂線定理、逆定理 線線⊥ PA??,AO為PO在?內射影a??則a?OA?a?POa?PO?a?AOl??線面垂直判定1 線面垂直定義 線面⊥ ???面面垂直判定 面面垂直性質，推論2 ??a??? ?l?a ??????b??a?? a??,a?b??????????? ????a?? ?a?? 面面垂直定義 ????l，且二面角??l???成直二面角????? ?

3.平行與垂直關系的轉化：

a//b?a??a???a ???b?? a??????//? 線線∥ 線面垂直判定2 線面垂直性質2 a???b???線面⊥ 面面平行判定2 面面平行性質3 面面∥ ??a//b ?//??a???a???

4.應用以上“轉化”的基本思路——“由求證想判定，由已知想性質。”

5.唯一性結論：

（三）空間中的角與距離

1.三類角的定義：

（1）異面直線所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直線與平面所成的角：0°≤θ≤90°

（??0?時，b∥?或b??）

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°

2.三類角的求法：轉化為平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有關的角；

（2）證明其符合定義；

（3）指出所求作的角；

（4）計算大小。

3.空間距離：將空間距離轉化為兩點間距離——構造三角形，解三角形，求該線段的長。

4.點到面的距離，線線間距離、線面間距離、面面間距離都可轉化為點到面的距離。

常用方法：三垂線法、垂面法、體積法、向量法等。

【典型例題】

例.在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1和BB1的中點，那么AM與CM所成角的余弦值為（）

A.32B.102C.35D.25

分析：如圖，取AB中點E，CC1中點F

連結B1E、B1F、EF

則B1E//AM，B1F//NC

∴∠EB1F為AM與CN所成的角

又棱長為1 ?B1E?556，B1F?，EF?222

B1E2?B1F2?EF22?cos?EB1F??2BE?BF5 1

1∴選D

例3.已知直線l?平面?，直線m?平面?，有下面四個命題：

①??/??l?m

③l//m????

A.①與② B.③與④

②????l//m④l?m??//?

C.②與④

D.①與③

其中正確的兩個命題是（）

對于①

分析：l???l???????l?m?//??m????①正確

l????對于②a????/l//m，如圖m????

∴②錯

對于③

l???m??????????l//m?m????③正確

l????對于④l?m??/?//?，如圖m????

∴①③正確，選D

∴④錯

例4.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F。（1）證明PA//面EDB。（2）PB⊥平面EFD。證：（1）連AC，AC交BD于O，連EO

∵底面ABCD是正方形

∴點O是AC中點

又E為PC中點

∴EO//PA

又EO?面EDB，且PA?面EDB

∴PA//面EDB

（2）∵PD⊥底面ABCD

∴BC⊥PD

又BC?DC且PD?DC?D

∴BC⊥面PDC

∴BC⊥DE

又E為等直角三角形中點

?DE?PC且PC?BC?C

∴DE⊥面PBC ∴DE⊥PB

又已知EF?PB且EF?DE?E

∴PB⊥面DEF

例5.正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，求證：A1C⊥BC1。

證明：設E、E1分別是BC、B1C1的中點，連AE，A1E1，B1E，E1C

則AE?面B1BCC1，A1E1?面B1BCC1及EB1//E1C

AE?面B1BCC1?EB?BC1???1?E1C?BC1?AB1?BC1?EB1//E1C???A1C?BC1?AE?面BBCC1111?

注：三垂線定理是證明兩直線異面垂直的常用手段。

例6.下列正方體中，l是一條體對角線，M、N、P分別為其所在棱的中點，如何證明l⊥面MNP。

（1）D1 P C1 M A1 B1 N l D C A B（2）D1 C1 A1 B1 l N（3）D1 C1 A1 P 1 B N l D C M A B

M D C P A B

分析：①l在側面的射影顯然與MP、MN垂直

?MP?l，MN?l?l?面MNP

②顯然l分別與MN在底面上射影垂直及與MP垂直

?l?面MNP

③如圖，取棱A1A、DC、B1C1的中點，分別記為E、F、G，顯然EMFNGP為平面圖形，而D1B與該平面垂直

∴l⊥面MNP 例7.如圖，斜三棱柱ABC?A'B'C'中，AC'?A'B，AA'?AC?8，AB?10，∠ACB=90°，側棱與底面成60°的角。

（1）求證：面AA'C'C?面ABC；

（2）求側面AA'B'B的面積。

分析：要證明面AA'C'C?面ABC，只要證明BC?面AA'C'C，又BC?AC，只要

證明BC?AC'，故只要證明AC'?平面A'BC。

證明：（1）∵AA'C'C為菱形

?AC'?A'C

又AC'?A'B?AC'?面A'BC?AC'?BC

又∠ACB=90°，即AC⊥BC

?BC?面AA'C'C

又BC?面ABC

（2）作A'D?AC于D

?面AA'C'C?面ABC，AC為交線

?A'D?面ABC ?面ABC?面AA'C'C

A'AC∠?60°

?∠A'AD為側棱AA 與底面成的角，即

過D作DE?AB于E，連結A'E，則A'E?AB

又AD?8cos60??4，A'D?8sin60??

∴D為AC中點

在Rt?ABC中

?DEAD?BCAB?DE?4?612?105

?A'E?A'D2?DE2?(43)2?(1228)?2155

?S平行四邊形A'ABB'?AB?A'E

?10?821?16215

例8.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D、E分別是AB、AC的中點，沿DE將△ABC折成直二面角，使A到A’的位置（如圖）。求：

（1）C到A’D的距離；

（2）D到平面A’BC的距離；

（3）A’D與平面A’BC所成角的正弦值。

解：（1）∵二面角A’－DE－B是直二面角

又A’E⊥ED，CE⊥ED

∴ED⊥面A’EC及EC⊥面A’ED

作EF⊥A’D于F，連結CF，則CF⊥A’D

∴CF即為C點到直線A’D的距離

在Rt△A’ED中，EF·A’D=A’E·ED

?EF?4?312?55

?FC?EF2?EC2?(122434)?42?55

?DE//BC，BC?面A'BC，DE?/面A'BC

∴DE//面A’BC

（2）

∴E到面A’BC的距離即為D點到平面A’BC的距離

過E作EM⊥A’C于M

∵ED⊥面A’EC

又BC//ED

∴BC⊥面A’EC

∴BC⊥EM

∴EM⊥面A’BC

∴EM為E點到平面A'BC的距離即為D點到面A'BC的距離且EM=2或者用體積法：

由VD?A'BC11即S?A'BC?h?S?BCD?A'E?VA'?BCD

1BC?CE?A'ES?BCD?A'E2?h???221S?A'BCBC?A'C2

（3）設A'D與平面A'BC所成角為?

2）知D點到面A'BC的距離為h?22及A'D?又由（?sin??h22?A'D5

例9.如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB?90°，AC?1，CB?2，側棱

AA1?1，側面AA1B1B的兩條對角線交點為D，B1C1的中點為M。

（1）求證：CD?平面BDM；

（2）求面B1BD與面CBD所成二面角的大小。（1）證明：連結CA1，則CA1?

又D為A1B中點

易知AC?面BB1C1C

2?BC

?CD?BD①

?CB1是CD在底面BB1C1C上射影

故只要BM?CB設BM?CB1?E

在Rt?CBB1和Rt?BB1M中

BB1CB21???BB11MB122

又∠CBB1?∠BB1M?90°

?Rt?CBB1~Rt?BB1M

1?∠B1BM

?∠BCB

又∠B1BM?∠CBM?90°

1?∠CBM?90°

?∠BCB?∠CEB?90° ?BM?CB1?BM?CD②

由①②知CD?面BDM

（2）解：?AB1?3?1?2

?B1D?BD?BB1?1 2

即△B1DB為正三角形，取BD中點F，則B1F?BD

//1?NFCD2

又取BC中點N，連結NF

又CD?BD

?∠NFB1為所求二面角的平面角

?NF?BD

26又B1N?()?12?，CD?BC2?BD2?22

2212?12?12

?NF?13，B1F?22

136()2?()2?()2FN?FB?NB322cos∠NFB1??2??2?FN?FB3132??22

在△DCB1中由余弦定理

?所求二面角為??arccos33

【模擬試題】

一.選擇題

1.一條直線若同時平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線（）

A.成異面直線 B.相交

C.平行

D.平行或相交

2.已知直線a，b，平面?，?，?，有下列四個命題

①a//?，a//???//?；

③a??，a????//?；

其中正確的命題有（）

A.①②③ B.①②④

C.②③④

D.以上都不對

②?//?，??/???//?；

④a??，b??，a//b??//?

3.邊長為a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，角B－AD－C的大小為（）

A.30° B.45°

C.60°

D.90°

BC?1a2，這時二面

4.設a，b是兩條異面直線，P是a，b外的一點，則下列結論正確的是（）

A.過P有一條直線和a，b都平行

B.過P有一條直線和a，b都相交

C.過P有一條直線和a，b都垂直

D.過P有一個平面與a，b都平行

5.若a，b是異面直線，點A、B在直線a上，點C、D在直線b上，且AD=AC，BD=BC，則直線a，b所成的角為（）

A.90°

二.填空題

6.設正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，則

（1）A點到CD1的距離為_____________

（2）A點到BD1的距離為_____________

（3）A點到面BDD1B1的距離為_____________

（4）A點到面A1BD的距離為_____________

（5）AA1與面BB1D1D的距離為_____________

7.如圖，正方形ABCD中，E、F分別是BC、DC中點，現沿AE、AF、EF把它折成一個四面體，使B、D、C三點重合于G，則VA?GEF=_____________。

8.把邊長為a的正三角形ABC沿高線AD折成60°的二面角，則點A到BC的距離為_________________。

B.60°

C.45°

D.30°

D C A B D1 C1 A1 B1

9.如圖PA⊥⊙O面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，E、F分別是A在PB、PC上的射影，給出下列結論：①AF⊥PB，②EF⊥PB，③AF⊥BC，④AE⊥平面PBC，其中正確命題的序號是_____________。

10.平面??平面?，其交線為l，A??，B??，AB與?所成角為30°，則AB與α所成角的取值范圍是_____________。三.解答題

11.四面體ABCS中，SB、SC、SA兩兩垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M為AB的中點。求：

（1）BC與面SAB所成的角；

（2）SC與平面ABC所成角的正弦值。

13.在矩形ABCD中，已知AB?1AD2，E是AD的中點，沿BE將△ABE折到△A'BE的位置，使A'C?A'D。

（1）求證：平面A'BE?平面BCDE。

（2）求A'C和面BCD所成角的大小。

14.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，（I）求VS?ABCD；

（II）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值。

【試題答案】 一.1.C 2.C

3.C

AD?12。

4.C（當P點和直線a確定的平面?與b平行時，則過P點的直線與a不相交，∴B錯，當P點在a或b上時，D不成立）

5.A 二.6.（1）66232，（2），（3），（4），（5）23232 15a

49.①②③

10.（0°，60°] a

37.24

8.（如圖∠ABD≥30°，∴90°－∠BAD≥30°

∴∠BAD≤60°

∴0<∠BAD≤60°）三.11.解：（1）∵SC⊥SA，SC⊥SB

∴SC⊥面SAB

∴SB是CB在面SAB上的射影

∴∠SBC是直線BC與面SAB所成的角，且為60°

（2）連SM，CM，則SM⊥AB（△SAB為等腰Rt△）

∴AB⊥面CSM，設SH⊥CM于H，則AB⊥SH

∴SH⊥面ABC

∴∠SCH為SC與平面ABC所成的角

設SB=SA=a，則SM?2a，SC?a?tg60°?3a2

?CM?(3a)2?(?sin∠SCH?22a)?27a2

SM7?CM7

注：“垂線”是相對的，SC是面SAB的垂線，卻又是面ABC的斜線。

12.證：（1）∵PA⊥面ABC，PC在面ABC上射影為AC

又AB為⊙O直徑

∴BC⊥AC

∴BC⊥PC

∴BC⊥面PAC

又BC?面PBC ∴面PAC⊥面PBC

（2）由（1）知BC⊥面PAC

又AE?面PAC

∴BC⊥AE，又PC⊥AE

∴AE⊥面PBC

又AE?面AEB

∴面AEB⊥面PBC

或者：由（1）知面PAC⊥面PBC，PC為交線

又AE⊥PC

∴AE⊥面PBC

又AE?面AEB

∴面AEB⊥面PBC

注：線線垂直線面垂直

面面垂直

13.（1）取BE中點M，CD中點N，連A M，MN，A'N，M、N分別為中點

?A'B?A'E，A'C?A'D ?A'M?BE，A'N?CD，MN?CD?CD?面A'MN?CD?A'M又BE與CD不平行，必相交?A'M?面BCDE又A'M?面A'BE

?面A'BE?面BCDE

（2）連結MC，∵A'M?面BCDE

∴∠A'CM就是A'C與面BCDE所成的角，設AB=a，則

A'M?2a2

3a510在Rt?MNC中，MC2?MN2?NC2?(a)2?()2?a2?MC?a222

2在Rt?A'CM中，tg∠A'CM?

14.分析：易證AD⊥面SAB

2a52?5105a?∠A'CM?arctg2

513(AD?BC)?AB?24

（I）VS?ABC?1?SA?SABCD3SABCD?

?VS?ABC?131?1??344

（II）延長CD、BA交于點E

連結SE，SE即為面CSD與面BSA的交線

又∵DA⊥面SAB

∴過A作AF⊥SE于F

連FD，則DF⊥SE

?∠AFD為二面角的平面角

又易知△SAE為等腰直角三角形，F為SE中點

122SE?SA?2221AD2又AD??tan?AFD??2FA2

?AF?

第二篇：平面連桿機構例題

典型例題

例1 如圖所示，已知lBC=100mm，lCD=70mm，lAD=50mm，AD為固定件。（1）如果該機構能成為曲柄搖桿機構，且AB為曲柄，求lAB的值；（2）如果該機構能成為雙曲柄機構，求lAB的值；（3）如果該機構能成為雙搖桿機構，求lAB的值。

解（1）如果能成為曲柄搖桿機構，則機構必須滿足“最長桿與最短桿長度之和小于或等于其他兩桿長度之和，且AB為最短桿”。則有

lAB+lBC≤ lCD+lAD 代入各桿長度值，得

lAB≤20mm

（2）如果該機構能成為雙曲柄機構，則機構必須滿足“最長桿與最短桿長度之和小于或等于其他兩桿長度之和，且機架AD為最短桿”。則

1）若BC為最長桿即lAB≤100mm，則

lAD+lBC≤ lCD+lAB

lAB ≥80mm

所以 80mm≤lAB≤ 100mm 2）若AB為最長桿即 lAB ≥100mm，則

lAD+lAB≤ lCD+lBC

lAB≤120mm

所以 100mm≤lAB≤ 120mm

將以上兩種情況進行分析綜合后，lAB的值應在以下范圍內選取，即

80mm≤lAB≤ 120mm

（3）若能成為雙搖桿機構，則應分兩種情況分析：第一種情況，機構各桿件長度滿足“桿長之和條件”，但以最短桿的對邊為機架；第二種情況，機構各桿件長度不滿足“桿長之和條件”，在本題目中，AD已選定為固定件，則第一種情況不存在。下面就第二種情況進行分析。

1）當 lAB＜50mm,AB為最短桿，BC為最長桿

lAB+lBC ＞ lCD+lAD

lAB ＞20mm

即 20mm＜ lAB＜50mm

2）當50≤lAB＜100時，AD為最短桿，BC為最長桿，則

lAD+lBC＞ lCD+lAB

lAB＜80mm 即 50mm≤lAB＜80mm

3）當lAB ＞100mm時，AB為最長桿，AD為最短桿，則

lAD+lAB＞ lCD+lBC

lAB＞120mm 另外，AB增大時，還應考慮到，BC與CD成伸直共線時，需構成三角形的邊長關系，即

lAB＜（lCD+lBC）+ lAD

lAB＜220mm 則 120mm＜ lAB＜220mm 綜合以上情況，可得 lAB的取值范圍為：

20mm ＜lAB＜80mm 及 120mm＜lAB＜220mm

除以上方法外，機構成為雙搖桿機構時，lAB的取值范圍也可用以下方法得到：對于以上給定的桿長，若能構成一個鉸鏈四桿機構，則它只有三種類型：曲柄搖桿機構、雙曲柄機構、雙搖桿機構。故分析出機構為曲柄搖桿機構，雙曲柄機構時lAB的取值范圍后，在0～220mm之內的其余值即為雙搖桿機構時lAB的取值范圍。

例2 在圖示連桿機構中，已知各構件的尺寸為：lAB=160mm，lBC=260mm，lCD=200mm，lAD=80mm；并已知構件AB為原動件，沿順時針方向勻速回轉，試確定：

（1）四桿機構ABCD的類型；

（2）該四桿機構的最小傳動角γmin；

（3）滑塊的行程速度變化系數K。

解：（1）lAD +lBC =80+260 =340< lAB +lCD =160+200=360,即滿足桿長條件，且以最短桿AD為機架，故為雙曲柄機構。（2）解法一：作圖法如圖（b）所示

解法二:?minb2?c2??a?d?2602?2002??160?80??arccos?arccos?13.325?

2bc2?260?20022

（3）在圖（c）所示，極位夾角θ為滑塊在兩個極限位置時曲柄AB所夾的銳角，用作圖法可得θ=43.6°。

180???K??1.639

180???

例3 在圖示的凸輪機構中，若已知凸輪2以等角速度順時針轉動，試求從動件上B點的速度。假設構件3在構件2上作純滾動，求點B'的速度。

解：（1）瞬心位置如圖所示，vP24??2O2P24??4P14P24

?4?O2P24?2 PP1424vB???4O4B

方向如圖所示（2）

vP23??2O2P23??3P13P23

?3?O2P23?2 PP1323?vB????3P13B

方向如圖所示

例4 圖示為一已知的曲柄遙桿機構，現要求用一連桿將搖桿CD和一滑塊F連接起來，使搖桿的三個位置C1D，C2D，C3D，和滑塊的三個位置F1，F2，F3相對應，試確定此連桿的長度及其與搖桿CD鉸接點的位置。

解：該問題屬于函數生成機構的設計，如圖所示，根據低副運動的可逆性，如果改取從動連架桿為機架，則可得鉸鏈F的轉位點F'2，F'3。連接F1F'2和F'2F'3，分別作這兩段線段的中垂線，其交點E1 即為所求。連桿長度EF可從圖中直接量取。

例5試設計如圖3-6所示的六桿機構。當原動件 OAA 自 OAy軸沿順時針轉過?12?60? 到達 L2 時，構件OBB1順時針轉過 ?12?45?，恰與OAx軸重合。此時，滑塊6在 OAx軸上自C1 移動到C2，其位移S12?20mm，滑塊C1距OB的距離為OBC1?60mm，用幾何法確定A1和B1點的位置，并且在所設計的機構中標明傳動角。同時，說明機構OAA1B1OB是什么樣的機構（曲柄搖桿、雙曲柄或雙搖桿機構）？

第三篇：直線和平面垂直教案

直線和平面垂直教案

教學目的

1．進一步理解直線與平面垂直定義的兩種用法； 2．理解并掌握直線與平面垂直的判定定理2； 3．理解并掌握直線與平面垂直的性質定理． 教學重點和難點

這節課的重點是使學生進一步理解、掌握直線和平面垂直的定義和判定定理．這節課的難點是直線和平面垂直的性質定理的證明．

教學設計過程

一、復習，講練上節課所留的作業

師：先請一位同學講他所做的第32頁習題四中的第1題．（教師寫出已知、求證并畫出直觀圖）

已知：△ABC，l⊥AB，l⊥AC．（如圖1）求證：l⊥BC．

生：因為l⊥AB，l⊥AC，所以 l⊥平面ABC．（線面垂直的判定定理）故 l⊥BC．（線面垂直的定義）

師：對，在上一節我們講直線和平面垂直的定義時，就強調過在立體幾何中這是一個很重要的定義，我們一定要很好地理解、應用．線面垂直的定義既是線面垂直最基本的判定方法，在線面垂直判定定理的證明思路就是回到定義去．關于這一應用在上節課中已經做了詳細的說明．線面垂直的定義又是線面垂直的最基本的性質，當我們知道直線和平面垂直后，這平面的垂線就和平面內任何一直線都垂直，所以應用線面垂直的定義是證明兩直線垂直常用的方法之一． 師：現在我們來看第32頁習題四的第2題．請一個同學回答．（寫出已知、求證和根據已知條件而畫的直觀圖，我們叫它為起始圖）

已知：直線a∥平面α，直線b⊥平面α．（如圖2（1））求證：b⊥a．

生：過a作平面β，設β∩α＝c，因為a∥α，所以a∥c．（線面平行的性質定理）

又因為b⊥α，因此b⊥c，故b⊥a． 師：我們怎樣想到要過a作平面β的呢？

生：這是線面平行的性質定理的要求．因為在線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行．在圖中沒有這條交線，所以我們就要作平面β∩α＝c，作出這條交線，以滿足定理的要求a平行交線c．

師：這是定理要求我們作輔助面．在立體幾何解題過程中，我們經常要作輔助線、輔助面，我們根據什么原則來作輔助線、輔助面呢？有兩條原則：一是用概念來指導作圖，這在求異面直線所成的角時，我們曾反復強調；二是用定理來指導作圖．這就是今天我們在證明這個題時要明確的．這是在立體幾何中作輔助線、輔助面的兩條基本原則，遵循這兩條原則就說明解題的思路是正確的，就使解題的正確性有了基本的保證；反之，如果違背了這兩條原則，那就說明了第一步就走錯了方向．這一題肯定不可能做對．所以作輔助線、輔助面這兩條原則我

們一定要理解、記住，并且在解題過程中應用．當然，以后隨著課程內容不斷的展開，我們還會反復強調這兩條原則．

以前我們還講過要使直觀圖有好的視覺效果，還要注意視角的選擇，這一題的起始圖（根據已知條件所畫出的直觀圖）看起來它的視覺效果并不好，但當我們證完這道題，看到它的終止圖（解完題后的直觀圖）視覺效果就比較好，所以視角選擇好與不好要以終止圖的視覺效果好與不好為標準．這樣在解完一道題后，有時要重新設計起始圖的畫法，以保證終止圖有最好的視覺效果．

二、直線與平面垂直的判定定理2．

師：這是課本第25頁的例1，我們把它正式升格為判定定理2．我們來看下面的模型就很容易了解定理的內容．（這時拿出兩根小棍平行地放在課桌面上，并使其中一根與桌面垂直，讓學生觀察另一根與桌面的關系）a∥b，如果a⊥平面α，那么b與平面α是什么關系？

生：b也垂直平面α．

師：這就是線面垂直的判定定理2．

判定定理

2如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面．

已知：a∥b，a⊥α．（如圖3）求證：b⊥α．

師：判定定理

1、判定定理2，這里的1，2不是人為的排列，而是有它內在的邏輯關系，也就是說我們可以應用判定定理1來證明判定定理2，那么我們如何用判定定理1來證明判定定理2呢？

生：為了用判定定理1，我們可以首先在平面α內作兩條相交直線m，n． 因為 a⊥α，所以 a⊥m，a⊥n．（線面垂直的定義）

又因為 a∥b，所以 b⊥m，b⊥n．（一條直線垂直于平行線中的一條也就垂直于另一條）故 b⊥α．（線面垂直的判定定理1）

三、直線和平面垂直的性質定理

師：現在我們來研究直線和平面垂直的性質定理，先來看模型．（這時教師用兩根小棍都垂直于桌面，讓學生觀察、回答）

生：這兩直線平行．

師：這就是直線和平面垂直的性質定理．

直線和平面垂直的性質定理

如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．

已知：a⊥平面α，（如圖4）b⊥平面α，求證：a∥b．

師：我們講過了線面垂直的判定定理1、2．也曾經在講線面垂直的定義時，把課本中的兩句話（第24頁）升格為兩個定理，即：

定理

過一點有且只有一條直線和一個平面垂直． 定理 過一點有且只有一個平面和一條直線垂直． 現在可以根據上述定理來證明線面垂直的性質定理：

生：可用反證法，假設b a，設b∩α＝O，過O點作b′∥a，因為a⊥α，所以b′⊥α（判定定理2），所以過點O有兩條直線b，b′都與平面α垂直，與垂線的唯一性矛盾，所以b

a不能成立，所以b∥a．

師：用反證法證明可以，也可以用同一法，即在證明的開始不做假設b a，證完b′⊥α后，根據垂線的唯一性b′應與b重合，所以b∥a．當然，對反證法和同一法，我們主要要掌握反證法，對同一法只要求有所了解．

四、兩個定義

1．點到平面的距離

從平面外一點引一個平面的垂線，這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離．

（教師可先用一根小棍垂直于桌面演示，然后給點到平面的距離下定義，下完定義后可指出，點到平面的距離可轉化為兩點間的距離，即這個點和垂足之間的距離）

2．平行的直線和平面的距離

一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離．

（教師可先用一根小棍和平面平行，演示讓學生觀察，如何給平行的直線和平面的距離下定義，定義給出后，教師可指出平行的直線和平面的距離可能轉化為點到平面的距離，當然也就可轉化為兩點間的距離）

師：在這定義中，是這條直線上任意一點到平面的距離叫做這條直線和平面的距離，那會不會因在直線上所取的點不同，而使距離不同呢？

生：不會，它們之間的距離都相等．

師：對，但為了在理論上說明這個定義的合理性，我們來看下面這個例題． 例

已知：l∥平面α，A∈l，B∈l，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′．（如圖5）

求證：AA′＝BB′．

生：因為AA′⊥α，BB′⊥α，所以AA′∥BB′（性質定理），所以過AA′，BB′作平面β，設β∩α＝A′B′，因為l∥α，所以l∥A′B′，故AA′＝BB′．（平行線間的距離處處相等）

師：通過這個例題的證明，我們就了解了定義的合理性．可以在直線上任意取點．這對于以后我們求平行的直線和平面的距離，提供了很好的思路． 今天我們講了直線和平面垂直的第2個判定定理，講了直線和平面垂直的性質定理，在這個基礎上還講了點到平面的距離、平行的直線和平面的距離兩個定義．

作業

課本第32頁習題四第3，5，8題． 補充題

1．已知：平面α∩平面β＝直線l．A∈α，AB⊥β于B，BC⊥α于C． 求證：AC⊥l．

［提示：證明直線l⊥平面ABC］

2．已知：AB是圓O的直徑，C是圓O上不同于A和B的點，PA⊥⊙O所在的平面．

求證：BC⊥PC．

［提示：證明BC⊥平面PAC］

3．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，PB⊥平面ABC，BD⊥PC于D． 求證：（1）AC⊥BD；（2）BD⊥PA．

［提示：（1）證明AB⊥平面PBC：（2）證明BD⊥平面PAC］ 課堂教學設計說明

1．立體幾何第一章直線和平面主要研究的是空間兩條直線、空間直線和平面、空間兩個平面的位置關系，其中以直線與直線的垂直、直線與平面的垂直、平面與平面垂直為重點．而直線與平面的垂直是其中的最重要的一個環節，它是三垂線定理及其逆定理、兩平面垂直的判定和性質的基礎．所以對直線與平面垂直的定義與判定定理一定要讓學生深刻理解、牢固記憶、靈活應用．

2．直線與平面垂直的定義，既是直線與平面垂直的最基本的判定方法，別的判定定理都是根據定義和有關定理經過演繹推理而得，在這個意義上，我們說直線與平面垂直的定義是最基本的判定方法；直線與平面垂直的定義又是直線與平面垂直最基本的性質．別的性質定理是根據定義和有關定理經過演繹推理而得，在這個意義上，我們說直線與平面垂直的定義是直線與平面最基本的性質． 為了使學生理解直線與平面垂直的定義這兩種用法，以平面幾何中的平行四邊形的定義為例．平行四邊形的定義既是平行四邊形的最基本的判定方法，也是平行四邊形的最基本的性質．別的判定定理和性質定理都是根據定義和有關定理經過演繹推理而得．

在這里一定要讓學生深刻的理解并掌握應用直線與平面垂直的定義是證明兩直線垂直最常用的方法．

3．在課本第24頁給直線與平面垂直下定義后的這兩句話：“過一點有且只有一條直線和一個平面垂直；過一點有且只有一個平面和一條直線垂直．”是兩個定理．關于垂線的唯一性和垂面的唯一性的這兩個定理是可以證明的．關于這兩個定理的證明可以參看1989年出版的《立體幾何全一冊（甲種本）教學參考書》第47頁第11題（1）、（2）．要讓學生了解這兩個定理，并會應用這兩個定理，在證明直線和平面垂直的性質定理時，用到垂線的唯一性，以后在證課本第38頁習題五第4題時還要用到垂線的唯一性和垂面的唯一性．

為什么課本在這里只是提出兩個唯一性沒有明確是兩個定理也沒有證明呢？這是課本的編者為了降低學習立體幾何的難度而這樣處理的．但我以為還是明確垂線的唯一性、垂面的唯一性是兩個定理，但可以不予證明而直接應用為好． 4．前面我們提出了“視覺語言”這個概念，既然作為一種“語言”它應該而且必須與思維過程相一致．所以這里我們又提出“起始圖”（根據題中的條件而出現的“視覺語言”）和“終止圖”（解完題后，或思維過程完結時出現的“視覺語言”）這兩個概念．

前面我們也提到過為了使“視覺語言”達到最佳的視覺效果，必須注意視角的選擇，我們認為視角的選擇要以終止圖有最佳的視覺效果為標準，這樣有時會出現起始圖視覺效果較好而終止圖視覺效果并不好；或者起始圖視覺并不太好而終止圖視覺效果較好這樣不一致情況，所以這樣就要求教立體幾何的教師對于直觀圖要精心地、反復地設計，務必使終止圖有最佳的視覺效果，這樣才能使這個“視覺語言”起到它應有正面效應；否則，這個“視覺語言”不但不能起到它應有正面效應，相反，卻起到負面效應．增加了學生在學習立體幾何中的困難．這是每一個教立體幾何的教師務必要理解并切實掌握的基本功．

起始圖和終止圖不僅僅是形式上的不同，而且它們之間還應該有“時間差”．因為這兩個圖是與思維過程相一致，思維既然以一個過程而出現，所以與這抽象思維過程相一致，或者說要以具體形象來表現這個抽象思維過程的“視覺語言”當然也要以一個過程而展現．這兩個過程當然是一致的，但是“視覺語言”展現的過程應該比思維過程慢“半拍”，而不是同步，也就是說動腦先于動手．我們說以概念指導作圖，以定理指導作圖，也就是說在我們動手作圖前，腦中得先有有關概念和定理．

在一篇文章中，我看到中國畫畫家在總結他們的創作國畫經驗時，用“蓄圖在胸、意在筆先”這八個字來概括．當我看過這篇文章后，這八個字就牢記在心，感到對于立體幾何的教學很有啟發、很有教益．我們在腦中所蓄的圖應該是由起始圖到終止圖一個不斷的展現過程，而以終止圖為主．這里的所謂意，就是思想，就是有關的概念和定理．

最后我還想以江澤民同志在1998年一次講話中所引用的李白的《春夜宴桃李園序》“夫天地者，萬物之逆旅也，光陰者，百代之過客也”．后說李白已經意識到了四維空間．明確指出“視覺語言”是要在二維平面來展現“四維空間”。不論用什么手段進行教學，一定要把這“時間差”表現出來．即展現出一個隨時間的變化而變化的有“動感”的空間圖形．

當然有的立體幾何題的起始圖和終止圖是同一個圖形，不要作任何的輔助線和輔助面，如這節課所講的課本第32頁習題四中的第1題．但伴隨著思維過程的進展，作為對起始圖的認識到對作為終止的認識（由直線與直線的垂直，到直線與平面的垂直，再到直線與直線的垂直）也同樣有一個過程．

科學和藝術在一定條件下是可以統一的．記得在《新華月報》上曾看到有名的華人物理學家請中國有名的美術家用他們的繪畫來展現高深抽象的物理內容．因此在立體幾何教學中我們有可能也有必要把科學和藝術統一起來，即所畫的每一個空間圖形既要展示它所包含的數學科學的內涵，又要展示它的形式的藝術的美．把數學中（立體圖形）的美滲透在每一節課中，這樣可以培養學生對美的感受，可以更好吸引學生的注意力，從而達到更好的教學效果．

每一個聽過我的課的人，都表揚我所畫的圖很美．在上課時有時讓學生做練習，我踱步向教室后面走去，回過頭來也很自我欣賞所畫圖的美．因為從某種意義上來說，每一個圖都是一幅美術作品——空間圖形的素描．當然我們在立體幾何畫“素描”的方法用的是平行投影中的斜二測畫法，而在美術課中畫素描的方法用的是中心投影中的透視法．（可參看1989年版，人民教育出版社出版《立體幾何（甲種本）全一冊教學參考書》第78頁）

第四篇：直線和平面垂直反思

洛陽二中 蘇宏磊

《直線與平面垂直的判定》教學反思

一．復習引入部分

在復習回顧過程中，我首先提出了一個問題：問直線和平面有幾種位置關系，然后多媒體給出幾幅實例圖片，引出直線和平面相交的一種特殊情況——垂直，激發了學習興趣。

新課標提倡數學教學應當注意創設生活情境，使數學學習更貼近學生，在數學課堂學習中，精心創設問題情境，誘發學生思維的積極性，用卓有成效的啟發引導，促使學生的思維活動持續發展。學生對學習有無興趣和求知欲，是能否積極思維的重要的動機因素。要引起學生對數學學習的興趣和求知欲望，行之有效的方法是創設合適的問題情境，引起學生對數學知識本身的興趣。在數學問題情境中，新的需要和學生原有的數學水平之間產生了認知沖突，這種認知沖突能誘發學生數學思維的積極性。因此，合適的問題情境，成為誘發和促進學生思維發展的動力因素。在本節課的設計中，我引入了生活中的場景，如旗桿和地面，房屋屋柱和地面，大橋橋柱和水面等等，來激發學生學習數學的興趣。

二．定義和判定定理講解部分

我通過分析旗桿和它在地面的影子的位置關系引導學生概括出直線和平面垂直的定義。針對定義我提出問題：直線和平面內一條或無數條直線都垂直，直線和平面垂直嗎？引發學生思考，然后通過多媒體演示翻轉直角三角板的例子，給出問題答案。接著讓大家一起動手嘗試翻折三角形紙片的小實驗，仔細觀察發現規律，自主探究得出直線和平面垂直的判定定理。在此過程中，讓學生通過實踐體驗知識形成的過程，自主完成知識的構建，讓學生體會知識獲得的成就感和喜悅，自己總結出來的才是印象最深的。

三．例題講解和隨堂練習部分

在例題講解中，我選取了貼近生活實際的問題作為第一道例題，讓學生認識到判定定理在現實中的重要應用及學習的必要性。第二道例題是課本例題，引導學生分別從定義和判定定理兩個方面去獲取證明思路，得出證明直線和平面垂直的另一種方法。在隨堂練習中，分別先讓學生下面動手思考，然后提問演板。

在我的教學設計和課堂教學中還是存在這樣或那樣的不足，有待以后的教學中改進。以上是我對本節課的反思總結，作為年輕教師，我應該在一些細節上下功夫，同時還必須注意對學生綜合能力的培養，包括獨立發現問題——解決問題——回過頭來再尋求更好的解決途徑的過程。

蘇宏磊2011-1-6

第五篇：知識結構圖學習體會

知識結構圖學習體會

在學習之前，我對知識結構圖的理解是：只是教師在新課講完后，復習時的一種教學手段，便于學生回顧和理清所學的內容及其之間的聯系；只是將知識點羅列出來即可，不需要分層次；學生只是能看懂教師畫的圖即可，不需要自己畫知識結構圖。在聽完白老師講的知識結構圖后，我才曉得自己以前的理解不深刻，下面從三個方面談一下自己的學習體會。

首先、弄清了知識結構圖的定義及理論基礎。它不光是一種圖表或示意圖，更是將知識之間的層次關系用箭圖、字詞、數字、幾何圖形、圖案或其他符號相連接形成系統集中、準確完整、簡明清晰的表達形式，也是一種知識網絡圖。它既是一種創造、交流、學習、評價的工具，亦是一種技能、策略，同時也是教學改革的重要特征。其理論基礎是人大腦是兩個半球，右腦是整體思維，左腦是邏輯思維。以前，我只知道有這樣一種教學方式，其它的一知半解。

其次、知道了知識結構圖不僅可以用半個大括號來畫圖，也可以用樹狀圖、方框等方式來畫圖，同時也弄起了咋樣才能更使知識結構圖更完美。它既可以是概念圖、也可以是樹形圖或思維導圖，既可以是某一方面的知識，亦可以是某一學段或某一層次的知識。要使知識結構圖完美就必須做到大處著眼，小處著手，通俗易懂，圖文并茂，簡單易操作。以前，我只用大括號來畫知識結構圖，只有文字而無圖形。

最后、更重要的是我學會了如何更好的使用知識結構圖。每節課、每一單元、每冊課本、每個學段都可以使用它；學習前、學習中、學習末也可以使用；同時要教會學生畫知識結構圖，可以在課前、課后用自己喜歡的方式畫出結構圖來理清思路，使所學知識連貫，從而提高學習效率。同時，教師要學會編寫、設計畫知識結構圖的作業，這就要求教師不但自己會畫，而且要使學生學會畫知識結構圖。以前，我只是在學完一單元后才畫一次結構圖，其它時間很少使用。

上面就是我的一點體會和收獲。返回學校后，我先要求學生用大括號畫出本冊課本的知識結構圖，然后將自己畫的及找來的結構圖展示給學生，再要求學生用自己喜歡的方式畫出每一單元的知識結構圖，通過反復討論、修改，最終每個學生都學會了這一工具的使用，同時也使學生對我的課程更有興趣，學習效率有所提高。今后，我將堅持使用知識結構圖這一工具來提高自己的教學水平。