第一篇：解析幾何-9.7 雙曲線(學(xué)案)

響水二中高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)

學(xué)案 第九編 解析幾何 主備人 張靈芝 總第49期

§9.7 雙曲線

班級(jí) 姓名 等第

基礎(chǔ)自測(cè)

1.已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是（-4，0），（4，0），則雙曲線方程為.2.過雙曲線x-y=8的左焦點(diǎn)F1有一條弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點(diǎn)，則△PF2Q的周長(zhǎng)是.3.已知橢圓xa2222?yb22=1（a＞b＞0）與雙曲線

2xm

222?yn2

22=1（m＞0,n＞0）有相同的焦點(diǎn)（-c，0）和

（c，0）.若c是a與m的等比中項(xiàng)，n是m與c的等差中項(xiàng)，則橢圓的離心率等于.4.設(shè)F1、F2分別是雙曲線xa22?yb22=1的左、右焦點(diǎn).若雙曲線上存在點(diǎn)A，使∠F1AF2=90°且|AF1|=3|AF2|,則雙曲線的離心率為.5.已知P是雙曲線xa22?y29=1右支上的一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x-y=0,設(shè)F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).若|PF2|=3，則|PF1|=.例題精講

例1 已知?jiǎng)訄AM與圓C1：（x+4）+y=2外切，與圓C2：（x-4）+y=2內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.例2 根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）與雙曲線

297）；（2）與雙曲線x22

x29?y216=1有共同的漸近線，且過點(diǎn)（-3，316?y24=1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)（32，2）.例3 雙曲線C：xa22?yb22=1(a＞0,b＞0)的右頂點(diǎn)為A，x軸上有一點(diǎn)Q（2a，0），若C上存在一點(diǎn)P，使AP2PQ=0，求此雙曲線離心率的取值范圍.鞏固練習(xí)

1.由雙曲線x29?y24=1上的一點(diǎn)P與左、右兩焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成△PF1F2，求△PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2的切點(diǎn)坐標(biāo).2.已知雙曲線的漸近線的方程為2x±3y=0,（1）若雙曲線經(jīng)過P（（2）若雙曲線的焦距是

23.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率為

26，2），求雙曲線方程；

13，求雙曲線方程；（3）若雙曲線頂點(diǎn)間的距離是6，求雙曲線方程.,且過點(diǎn)P（4，-

10）.（1）求雙曲線方程；（2）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上，求證：MF12MF2=0；（3）求△F1MF2的面積.回顧總結(jié)

知識(shí) 方法 思想

第二篇：解析幾何-9.8 拋物線(學(xué)案)

響水二中高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)

學(xué)案 第九編 解析幾何 主備人 張靈芝 總第50期

§9.8 拋物線

班級(jí) 姓名 等第

基礎(chǔ)自測(cè)

1.設(shè)a≠0,a∈R，則拋物線y=4ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.2.若拋物線y=2px的焦點(diǎn)與橢圓2x26+

y22=1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為

.3.拋物線y2=24ax(a＞0)上有一點(diǎn)M，它的橫坐標(biāo)是3，它到焦點(diǎn)的距離是5，則拋物線的方程為.4.若雙曲線x23?16yp22=1的左焦點(diǎn)在拋物線y2=2px的準(zhǔn)線上，則p的值為.5.已知F是拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，A、B是拋物線C上的兩個(gè)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（2，2），則△ABF的面積等于.例題精講

例1 已知拋物線y=2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A（3，2），求|PA|+|PF|的最小2值，并求出取最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).例2已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，又知此拋物線上的一點(diǎn)A（m,-3）到焦點(diǎn)F的距離為5，求m的值，并寫出此拋物線的方程.99

例3 如圖所示,設(shè)拋物線方程為x=2py(p＞0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn),過M 引拋物線的切線,切2點(diǎn)分別為A,B.(1)求證:A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

(2)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-2p)時(shí),|AB|=410.求此時(shí)拋物線的方程.鞏固練習(xí)

1.已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為.2.已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸正半軸上，設(shè)A、B是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（AB不垂直于x軸），但|AF|+|BF|=8，線段AB的垂直平分線恒經(jīng)過定點(diǎn)Q（6，0），求此拋物線的方程.3.已知以向量v=?1,?為方向向量的直線l過點(diǎn)?0,?，拋物線C：y=2px（p＞0）的頂點(diǎn)關(guān)于直線l的?2??4??1??5?2 100 對(duì)稱點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上.（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)A、B是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過A作平行于x軸的直線m,直線OB與直線m交于點(diǎn)N，若

2，試求點(diǎn)N的軌跡方程.OA·OB+p=0（O為原點(diǎn)，A、B異于原點(diǎn)）

回顧總結(jié) 知識(shí) 方法 思想

第三篇：解析幾何

清華大學(xué)校長(zhǎng)畢業(yè)致辭

字號(hào): 小 中 大 發(fā)布: 2009-04-08 23:10:20 查看(1129)/ 評(píng)分(6 / 0)/ 我要評(píng)論(3)個(gè)人分類: 心意小語

清華校長(zhǎng)送給畢業(yè)生5句話——未來的世界：方向比努力重要，能力比知識(shí)重要，健康比成績(jī)重要，生活比文憑重要，情商比智商重要！

方向比努力重要

現(xiàn)在是講究績(jī)效的時(shí)代，公司、企業(yè)、政府，需要的是有能力且能與企業(yè)方向共同發(fā)展的人，而不是一味努力但卻南轅北轍的人。自己適合哪些行業(yè)，哪些職業(yè)，有很多東西是先天決定的，只有充分地發(fā)掘自己的潛力，而不是總與自己的弱點(diǎn)對(duì)抗，一個(gè)人才能出人頭地，就像現(xiàn)在很多企業(yè)招聘的時(shí)候，他們相信通過培訓(xùn)和教育可以讓火雞學(xué)會(huì)爬樹，但是還是覺得選只松鼠方便一些。方向不對(duì)，再努力、再辛苦，你也很難成為你想成為的那種人。

能力比知識(shí)重要

知識(shí)在一個(gè)人的構(gòu)架里只是表象的東西，就相當(dāng)于有些人可以在答卷上回答如何管理企業(yè)、如何解決棘手的問題、如何當(dāng)好市長(zhǎng)等等，但是在現(xiàn)實(shí)面前，他們卻顯得毫無頭緒、不知所措，他們總是在問為什么會(huì)是這種情況，應(yīng)該是哪種情況等等。他們的知識(shí)只是知識(shí)，而不能演化為能力，更不能通過能力來發(fā)掘他們的潛力。現(xiàn)在很多企業(yè)都在研究能力模型，從能力的角度來觀察應(yīng)聘者能否勝任崗位。當(dāng)然，高能力不能和高績(jī)效直接掛鉤，能力的發(fā)揮也是在一定的機(jī)制、環(huán)境、工作內(nèi)容與職責(zé)之內(nèi)的，沒有這些平臺(tái)和環(huán)境，再高的能力也只能被塵封。

健康比成績(jī)重要

成績(jī)只能代表過去，這是很多人已經(jīng)認(rèn)同的一句話。對(duì)于畢業(yè)后走入工作崗位的畢業(yè)生，學(xué)生階段的成績(jī)將成為永久的獎(jiǎng)狀貼在墻上，進(jìn)入一個(gè)工作單位，就預(yù)示著新的競(jìng)賽，新的起跑線。沒有健康的身心，如何應(yīng)對(duì)變幻莫測(cè)的市場(chǎng)環(huán)境和人生變革，如何應(yīng)對(duì)工作壓力和個(gè)人成就欲的矛盾？而且在現(xiàn)代社會(huì)，擁有強(qiáng)健的身體已經(jīng)不是最重要的，健康的心理越來越被提上日程，處理復(fù)雜的人際關(guān)系、承受挫折與痛苦、緩解壓力與抑郁，這些都將成為工薪族乃至學(xué)生們常常面對(duì)的問題。為了防止英年早逝、過勞死，還是多注意一下身體和心理的健康投資吧。

生活比文憑重要

曾經(jīng)有一個(gè)故事，說有個(gè)記者問放羊的小孩，為什么放羊？答：為了掙錢，掙錢干啥？答：蓋房子，蓋房子干啥？答：娶媳婦，娶媳婦干啥？答:生孩子，生孩子干啥？答：放羊！

記得去年在人大聽一個(gè)教授講管理學(xué)基礎(chǔ)課，他說你們雖然都是研究生，但很多人本質(zhì)上還是農(nóng)民！大家驚愕，竊竊私語。他說你們?yōu)槭裁醋x研究生，很多人是不是想找個(gè)好工作，找好工作為了什么，為了找個(gè)好老婆，吃喝住行都不錯(cuò)，然后生孩子，為了孩子的前途更光明，這些不就是農(nóng)民的樸素想法嗎？哪個(gè)農(nóng)民父母不希望自己的子女比自己更好？說說你們很多人是不是農(nóng)民思想，什么時(shí)候，你能突破這種思維模式，你就超脫了。當(dāng)這個(gè)社會(huì)看重文憑的時(shí)候，假文憑就成為一種產(chǎn)業(yè)，即使是很有能力的人，也不得不弄個(gè)文憑，給自己臉上貼點(diǎn)金。比起生活，文憑還重要嗎？很多人找女朋友或者男朋友，把學(xué)歷當(dāng)作指標(biāo)之一，既希望對(duì)方能夠給他/她伴侶的溫暖與浪漫，又希望他/她知識(shí)豐富、學(xué)歷相當(dāng)或更高，在事業(yè)上能蒸蒸日上；我想說，你找的是伴侶，不是合作伙伴，更不是同事，生活就是生活，這個(gè)人適合你，即使你是博士他/她斗大字不識(shí)一個(gè)，那也無所謂，適合就會(huì)和諧融洽，人比文憑更重要。很多成功的人在回頭的時(shí)候都說自己太關(guān)注工作和事業(yè)了，最遺憾的是沒有好好陪陪父母、愛人、孩子，往往還傷心落淚，何必呢，早意識(shí)到這些，多給生活一些空間和時(shí)間就可以了。我們沒有必要活得那么累。

情商比智商重要

這個(gè)就很有意思了。大家忽然一下子對(duì)情商重視了起來，因?yàn)樵谛碌氖兰o(jì)，情商將成為成功領(lǐng)導(dǎo)中最重要的因素之一。比如在許多員工和自己的親人因恐怖襲擊喪生的時(shí)刻，某公司CEO Mark Loehr讓自己鎮(zhèn)定下來，把遭受痛苦的員工們召集到一起，說：我們今天不用上班，就在這里一起緬懷我們的親人，并一一慰問他們和親屬。在那一個(gè)充滿陰云的星期，他用自己的實(shí)際行動(dòng)幫助了自己和他的員工，讓他們承受了悲痛，并把悲痛轉(zhuǎn)化為努力工作的熱情，在許多企業(yè)經(jīng)營(yíng)虧損的情況下，他們公司的營(yíng)業(yè)額卻成倍上漲，這就是情商領(lǐng)導(dǎo)的力量，是融合了自我情緒控制、高度忍耐、高度人際責(zé)任感的藝術(shù)。曾經(jīng)有個(gè)記者刁難一位企業(yè)家：聽說您大學(xué)時(shí)某門課重考了很多次還沒有通過。這位企業(yè)家平靜地回答：我羨慕聰明的人，那些聰明的人可以成為科學(xué)家、工程師、律師等等，而我們這些愚笨的可憐蟲只能管理他們。要成為卓越的成功者，不一定智商高才可以獲得成功的機(jī)會(huì)，如果你情商高，懂得如何去發(fā)掘自己身邊的資源，甚至利用有限的資源拓展新的天地，滾雪球似得積累自己的資源，那你也將走向卓越。在世界上出人頭地的人，都能夠主動(dòng)尋找他們要的時(shí)勢(shì)；若找不到，他們就自己創(chuàng)造出來！

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? ? ? ? ? ? ? 彭艷：美女校長(zhǎng)演繹的精彩（原創(chuàng)）（未經(jīng)許可，請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載）(gong7266, 2009-3-03)轉(zhuǎn)載：清華大學(xué)孫立平教授的《對(duì)中國最大的威脅不是社會(huì)動(dòng)蕩而是社會(huì)潰敗（更新中）》(馬津龍, 2009-3-06)校長(zhǎng)的喟嘆(谷園春草, 2009-3-16)又見老校長(zhǎng)(lhuihui, 2009-3-18)[轉(zhuǎn)發(fā)]校長(zhǎng)校長(zhǎng)，是誰束縛了你的翅膀(李玲瓏, 2009-4-01)關(guān)于中國普通高等學(xué)校的校長(zhǎng)問題(大慶商江, 2009-4-03)高二學(xué)生被清華大學(xué)“預(yù)定”(hubert888, 2009-4-06)

第四篇：雙曲線教案

2.2.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)

1.通過試驗(yàn)體會(huì)雙曲線圖形，從中抽象出雙曲線定義，通過討論能正確說出雙曲線定義.2.會(huì)畫雙曲線簡(jiǎn)圖.3.能由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程類比推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，熟記雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.4.能根據(jù)條件確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單應(yīng)用.二、教學(xué)重點(diǎn)（難點(diǎn)）

1.教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).三、教學(xué)過程

第一環(huán)節(jié) 雙曲線的定義

1.橢圓的定義是什么？(學(xué)生回答，教師板書)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.教師要強(qiáng)調(diào)條件：(1)平面內(nèi)；(2)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)；(3)常數(shù)2a＞|F1F2|.2.提出問題

橢圓是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡,當(dāng)然這個(gè)定長(zhǎng)要大于這兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離.那么,平面上到兩定點(diǎn)距離差等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是什么? 3.簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)(邊演示、邊說明)做拉鏈試驗(yàn)

取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點(diǎn)，分別固定在點(diǎn)F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在點(diǎn)M處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經(jīng)過的點(diǎn)就畫出一條曲線.（1）演示圖形

4.應(yīng)該如何描述出動(dòng)點(diǎn)M所滿足的幾何條件？ 5.還有其他約束條件嗎? 發(fā)現(xiàn)問題：（1）當(dāng)2a?2c時(shí)，（2）當(dāng)2a?2c時(shí)，（3）當(dāng)2a?2c時(shí)，（4）當(dāng)2a =0時(shí)，6.定義

在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義：

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1 ,F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)F1 ,F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距.指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對(duì)照來記憶，不要死記.第二環(huán)節(jié)

畫出雙曲線簡(jiǎn)圖 第三環(huán)節(jié)

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

現(xiàn)在來研究雙曲線的方程.我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程.這時(shí)設(shè)問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學(xué)生回答，主要引起學(xué)生思考，隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo).標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：(1)建系設(shè)點(diǎn)

取過焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

建立直角坐標(biāo)系.設(shè)M(x，y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c，0)、(c，0)．又設(shè)點(diǎn)M與F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù).(2)點(diǎn)的集合

由定義可知，雙曲線就是集合：

P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}．(3)代數(shù)方程

(4)化簡(jiǎn)方程(由學(xué)生演板)將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得：

化簡(jiǎn)得：

兩邊再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).(以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo).)由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 設(shè)c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2.這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)：

x2y2（1）2?2?1（a>0 ,b>0）表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，焦點(diǎn)是

abF1（-c，0）、F2（c，0），這里c2?a2?b2;y2x2(2）2?2?1（a>0 ,b>0）表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，焦點(diǎn)是

abF1（0，-c）、F2（0，c），這里cy互換即可得到）

教師指出：

2?a2?b2；（只須將（1）方程的x、(1)如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上.注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上.(2)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c2?a2?b2不同于橢圓方程中c2?a2?b2.第四環(huán)節(jié)

應(yīng)用反饋

例1：已知雙曲線上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)F1(?5,0)、F2(5,0)的距離的差的絕對(duì)值為6，求雙曲線的方程.x2y2簡(jiǎn)解：雙曲線有標(biāo)準(zhǔn)方程2?2?1（a?0,b?0）.abc?5，2a ?6，又c2?a2?b2 ?a?3，b?4.x2y2??1 ∴916

變式：

1.若P F1?P F2=6?

x2y2??1(x?0)9162.若PF1?PF2?10?

兩條射線

3.若PF1?PF2?12? 軌跡不存在

第五篇：《解析幾何》講稿

第一章 矢量與坐標(biāo)

教學(xué)目的

1、理解矢量的有關(guān)概念，掌握矢量線性運(yùn)算的法則及其運(yùn)算性質(zhì);

2、理解矢量的乘法運(yùn)算的意義，熟悉它們的幾何性質(zhì)，并掌握它們的運(yùn)算規(guī)律;

3、利用矢量建立坐標(biāo)系概念，并給出矢量線性運(yùn)算和乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表示;

4、能熟練地進(jìn)行矢量的各種運(yùn)算，并能利用矢量來解決一些幾何問題。

教學(xué)重點(diǎn) 矢量的概念和矢量的數(shù)性積，矢性積，混合積。教學(xué)難點(diǎn) 矢量數(shù)性積，矢性積與混合積的幾何意義。

參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 10

§1.1

矢量的概念

教學(xué)目的

1、理解矢量的有關(guān)概念;

2、掌握矢量間的關(guān)系。教學(xué)重點(diǎn) 矢量的兩個(gè)要素：摸與方向。教學(xué)難點(diǎn) 矢量的相等 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 2

§1.1 矢量的概念

一、有關(guān)概念

1.矢量

既有大小又有方向的量叫做矢量，或稱為向量，簡(jiǎn)稱矢.而只有大小的量叫做數(shù)量，或稱為標(biāo)量.2.矢量的表示

用有向線段來表示矢量，有向線段的始點(diǎn)與終點(diǎn)分別叫做矢量的始點(diǎn)與終點(diǎn)，有向線段的方向表示矢量的方向，有向線段的長(zhǎng)度代表矢量的大小.用3.矢量的模

矢量的大小稱為矢量的模，亦稱長(zhǎng)度.用|

二、特殊矢量

1.零矢：模為零，方向不定.2.單位矢 ：模為1，與矢量方向相同.， ,? 或黑體字a, x,? 來記矢量.|，||，||，|a|，|x| , ? 來表示.三、矢量間的關(guān)系

1.平行矢：,所在直線平行,記作 //.2.相等矢：模相等，方向相同.3.自由矢：始點(diǎn)任意，只由模與方向確定的矢量.4.相反矢：模相等，方向相反.5.共線矢：平行于同一直線的一組矢量.6.共面矢：平行于同一平面的一組矢量.7.固定矢量: 在解析幾何的大多數(shù)問題里，只有矢量的長(zhǎng)度和方向發(fā)揮主要作用，而與它的起點(diǎn)無關(guān)，即為自由矢量.在個(gè)別情形下，有時(shí)我們只把有同一起點(diǎn)且相等的矢量才看作相等矢量，亦即兩矢量完全重合時(shí)才看作相等，這樣規(guī)定的矢量叫做固定矢量.需要注意，在應(yīng)用科學(xué)中起點(diǎn)位置不同，所產(chǎn)生的作用也會(huì)不同，如圖1-1，同樣的力由于

作用點(diǎn)M1和M2的不同，效果也會(huì)不同.例1.設(shè)在平面上給了一個(gè)四邊形ABCD，點(diǎn)K、L、M、N分別是邊ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中點(diǎn)，求證：＝.當(dāng)ABCD是空間四邊形時(shí)，這等式是否也成立？

證明：如圖1-2，連結(jié)AC, 則在?BAC中，KL向相同；在?DAC中，NM且

AC.與方

AC.與方向相同，從而KL＝NM與方向相同，所以＝.由于上述證明不受ABCD是平面四邊形或空間四邊形的影響，即證明過程中并未用到ABCD必須是平面四邊形的限制，故等式對(duì)空間情形也成立.例2.回答下列問題：

(1)若矢量//，//,則是否有//？(2)若矢量，共面，，也共面，則，是否也共面？

(3)若矢量，中//，則，是否共面？(4)若矢量，共線，在什么條件下，也共線？

解：(1)由//可知，,所在直線相互平行，同理,所在直線相互平行，從而,所在直線相互平行，從而有//；

(2)，不一定共面.只有當(dāng)，，,不共面； ,五矢量全部在同一平面上時(shí)，共面，否則(3)//，二矢量必共面，從而，必共面；(4)只有當(dāng)ABDC組成平行四邊形，即

作業(yè)題：

＝

時(shí),才共線.1.設(shè)點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、、、、、和中，哪些矢量是相等的？、2.如圖1-3，設(shè)ABCD-EFGH是一個(gè)平行六面體，在下列各對(duì)矢量中，找出相等的矢量和互為相反矢量的矢量：

(1)、;、(2)、、;

(3);

(4)、.;

(5)矢量的線性運(yùn)算(§1.2 矢量的加法、§1.3 矢量的數(shù)乘)教學(xué)目的

1、掌握矢量加法的兩個(gè)法則、數(shù)量與矢量的乘法概念及運(yùn)算律;

2、能用矢量法證明有關(guān)幾何命題。

教學(xué)重點(diǎn) 矢量加法的平行四邊形法則、數(shù)量與矢量的乘法概念 教學(xué)難點(diǎn) 運(yùn)算律的證明、幾何命題轉(zhuǎn)化為矢量間的關(guān)系 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 2

§1.2 矢量的加法

一、概念

1.兩個(gè)例子

物理學(xué)中的力與位移都是矢量.兩個(gè)不共線的力作用于一點(diǎn)的合力，可用“平行四邊形法則”求得，如圖1-4, 兩個(gè)力、的合力，就是以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對(duì)角線矢量

.兩個(gè)位移的合成可以用“三角形法則”求出，如圖1-5, 連續(xù)兩次位移位移.2.矢量的加法法則

(1)三角形法則

設(shè)已知矢量、，以空間任意一點(diǎn)O為始點(diǎn)接連作矢量一折線OAB，從折線的端點(diǎn)O到另一端點(diǎn)B的矢量(2)平行四邊形法則

如果以兩個(gè)矢量量＝+叫做矢量與的和.、＝,＝得

與的結(jié)果, 相當(dāng)于

＝，叫做兩矢量與的和，記做＝+.為鄰邊組成一個(gè)平行四邊形OACB，那么對(duì)角線矢

二、性質(zhì)

1.運(yùn)算規(guī)律

(1)交換律 +＝+;

(2)結(jié)合律(+)+＝+(+);(3)+＝;

(4)+(－)＝.2.矢量加法的多邊形法則 有限個(gè)矢量，?,相加，自任意點(diǎn)O開始，依次作

＝就是n個(gè)矢量

＝即

＝特別地, 當(dāng)An與O重合時(shí)，＝3.矢量減法

＝.+

+?+

.＝, ＝,?,＝，得一折線OA1A2?An，于是矢量，?， 的和

++?+(1)設(shè)矢量與的和等于矢量，即+＝，那么矢量叫做矢量與的差，記做＝－，由矢量與求它們的差－的運(yùn)算叫做矢量減法.(2)減去一個(gè)矢量等于加上它的相反矢量，即有

－＝+(－)

4.三角不等式

(1)|+|?||+||, |-|?||-||;

證明：如圖1-4, |+|=||，||+|| ＝|| +||，|-|=|根據(jù)“三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”即得.第一個(gè)不等式還可以推廣到任意有限多個(gè)矢量的情況：

(2)|++?+|?|

|+|

|+?+|

|..|；

例1.從矢量方程組中解出矢量解：類似于二元一次方程組的解法有

例2.用矢量法證明平行四邊形對(duì)角線互相平分.證明：如圖1-6，在平行四邊形ABCD中，取BD的中點(diǎn)O，則 ＝＋＝＋

＝

＋|＝|

＝，所以A, O, C三點(diǎn)共線，且|作業(yè)題：

|，從而平行四邊形對(duì)角線互相平分.1.設(shè)兩矢量與共線，試證+＝+.2.證明：四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件是對(duì)任一點(diǎn)O有+＝＋.§1.3 數(shù)量乘矢量

一、概念

1.數(shù)乘的例子

位移、力、速度與加速度等都是矢量，而時(shí)間、質(zhì)量、面積等都是數(shù)量，這些矢量與數(shù)量之間經(jīng)常會(huì)發(fā)生某些結(jié)合的關(guān)系，如公式

＝m

其中表示力，表示加速度，m表示質(zhì)量；再如公式

＝t

其中表示位移，表示速度，t表示時(shí)間.2.數(shù)乘的定義

實(shí)數(shù)?與矢量的乘積是一個(gè)矢量，記做?，它的模|?|＝|?|||；?的方向，當(dāng)?>0時(shí)與相同，當(dāng)?<0時(shí)與相反.?＝的充要條件是?＝0或＝

.設(shè)≠，則＝||

二、性質(zhì) 1.運(yùn)算規(guī)律(1)

1?＝.或＝

.(2)結(jié)合律

?(?)＝(??).(3)第一分配律(?+?)＝?+?.(4)第二分配律

?(+)＝?+?.證明：（1）由數(shù)乘定義，顯然成立.（2）當(dāng)＝或?，?中至少有一個(gè)為0時(shí)，顯然成立；當(dāng)≠，??≠0時(shí)，(?+?)與?+?的模都等于|?|||||，而它們的方向，當(dāng)?與?同號(hào)時(shí)，都與同方向，當(dāng)?與?異號(hào)時(shí)，都與反方向，即(?+?)與?+?的方向相同，所以有

(?+?)＝?+?.（3）如果＝或?，?及?+?中至少有一個(gè)為0，等式顯然成立.因此只須證明當(dāng)≠，??≠0，(?+?)≠0的情形：（ⅰ）如果??＞0，顯然(?+?)與?+?同向，且

∣(?+?)|＝| ?+? | ||=（| ? |+| ? |）||=|? | ||+|? | ||=| ? |+| ? |=|?+?|，所以(?+?)＝?+?.（ⅱ）如果??＜0，不妨設(shè)?＞0，?＜0；再看 ?+?＞0，?+?＜0 的兩種情形.下面只證明前一種情形，后一種情形同理可證.現(xiàn)假定?＞0，?＜0，?+?＞0.這時(shí)有（－?）（?+?）＞0，根據(jù)（ⅰ）得

(?+?)+(－?)＝﹝(?+?)+(－?)﹞＝?，所以

(?+?)＝－(－?)＝?+?.（4）當(dāng)?=0或，中至少有一個(gè)為時(shí)，顯然成立；因此只須證明當(dāng)≠，≠，?≠0的情形：（ⅰ）如果，共線，取m=此有

（，同向）或m=－

（，反向），則=m,因

?(+)＝?(m+)＝?﹝(m+1)﹞=(?m+?)=(?m)+ ?=?(m)+?=?+?.（ⅱ）如果，不共線，根據(jù)矢量加法的三角形法則即可證明?(+)＝?+?.2.由矢量的加法與數(shù)乘矢量的運(yùn)算規(guī)律可知，對(duì)于矢量也可以像實(shí)數(shù)及多項(xiàng)式那樣去運(yùn)算，例如

5(+2)－2(2－)＝5+10－4+2＝+1

2.3.由前節(jié)和本節(jié)，我們對(duì)矢量定義了兩種運(yùn)算：+和m(m?R)，這兩種運(yùn)算滿足： I-1.+＝+，I-2.(+)+＝+(+)，I-3.存在一個(gè)零矢量，滿足+＝，I-4.每一個(gè)矢量都有相反矢量(－)，使+(－)＝;II-1.1＝, II-2.m(n)＝(mn), II-3.(m+n)＝m+n, II-4.m(+)＝m+m.如果僅從運(yùn)算法則著眼，而不考慮矢量的具體含義，則凡是具有兩種運(yùn)算加法和數(shù)乘，并滿足上述一系列運(yùn)算規(guī)律的元素的集合，叫做實(shí)數(shù)域上的線性空間（亦稱矢量空間或向量空間）.例1.如圖1-7，設(shè)M是平行四邊形ABCD的中心，O是任意一點(diǎn)，證明

+分析：將證明：因?yàn)?

+

＝

4.分別看作△OAC與△OBD的中線.＝(＝+（）, +

+＝

(+

+))，所以

2所以

+++＝4.例2.設(shè)點(diǎn)O是平面上正多邊形A1A2?An的中心，證明:

+分析：如圖1-8，每一矢量從而求解.證明：因?yàn)?/p>

＋＋

+?+

＝.倍數(shù)，都是其相鄰兩矢量的和矢量的某一

＝?＝?, , ??

+＋

＝?＝?, ，所以

2(＝?(+++?++?+))，所以

(?－2)(++?+)＝.顯然

?≠2, 即 ?－2≠0.所以

作業(yè)題： ++?+

＝.可以構(gòu)1.設(shè)L、M、N分別是ΔABC的三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，證明：三中線矢量成一個(gè)三角形.2.設(shè)L、M、N是△ABC的三邊的中點(diǎn)，O是任意一點(diǎn)，證明

+=++.3.用矢量法證明，四面體對(duì)棱中點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)且互相平分., , §1.4 矢量的線性關(guān)系與矢量的分解

教學(xué)目的

1、理解矢量在直線和平面及空間的分解定理；

2、掌握矢量間的線性相關(guān)性及判斷方法。教學(xué)重點(diǎn) 矢量的三個(gè)分解定理及線性相關(guān)的判斷。教學(xué)難點(diǎn) 分解定理的證明 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 2

§1.4 矢量的線性關(guān)系與矢量的分解

一、矢量的分解

1.線性運(yùn)算: 矢量的加法和數(shù)與矢量的乘法統(tǒng)稱為矢量的線性運(yùn)算.2.線性組合: 由矢量做矢量，?，,?,與數(shù)量?1，?2，?，?n所組成的矢量＝?

1，?,+?

2+?+?n叫的線性組合.我們也說矢量可以用矢量線性表示，或者說，矢量可以分解成矢量，?,的線性組合.3.矢量在直線上的分解：

定理1 如果矢量?，那么矢量與矢量共線的充要條件是可以用矢量線性表示，或者說是的線性組合，即＝x，且系數(shù)x被，唯一確定.稱為用線性組合來表示共線矢量的基底.證明 如果 ＝x成立，那么由數(shù)乘矢量的定義立刻知與共線.反過來，如果與非零矢量共線，那么一定存在實(shí)數(shù)x，使得＝x.顯然，如果＝，那么＝0，即x=0.x的唯一性：如果＝x＝，而?，所以 x＝.4.矢量在平面上的分解： 定理2 如果矢量,，那么（x－＝

不共線，那么矢量與, ，共面的充要條件是可以用矢量

+y，且系數(shù)x, y被, ，線性唯一表示，或者說矢量可以分解成矢量確定., 的線性組合，即＝x, 稱為平面上矢量的基底., 證明 因?yàn)槭噶棵锤鶕?jù)定理1有＝x始點(diǎn)O，并設(shè)交于A，B.因?yàn)閯t得

=+不共線，所以+y?，?.設(shè)與，共面，如果與(或)共線，那，其中y =0(或x=0)；如果與＝，都不共線，則把它們歸結(jié)到共同的=，∥,（i=1，2），那么過的終點(diǎn)分別作OE2，OE1的平行線依次與OE1，OE2∥,那么根據(jù)定理1可設(shè)

= x，＝y(tǒng)，根據(jù)平行四邊形法，即

＝x 反過來，設(shè)＝x如果xy≠0，那么x面.最后證明x, y被∥+y, y+y.(或，y)共線，則與,，如果x, y 有一個(gè)是零，那么與∥,根據(jù)平行四邊形法則得與 x共面.，共面，因此與共, ，唯一確定.假設(shè)

＝x+y=

+ ，)

＝（y－）

＝, 那么

(x－如果x≠，那么

=－,即 ∥, 這與定理?xiàng)l件矛盾，所以x=

5.矢量在空間的分解： 定理3 如果矢量, ，.同理y =,因此x, y被唯一確定.不共面，那么空間任意矢量可以由矢量的線性組合，即＝x+y+z, ，線性表示，或者, , 說矢量可以分解成矢量唯一確定., , , ,，且系數(shù)x, y, z被, 稱為空間矢量的基底., , 證明

因?yàn)槭噶咳绻c,，不共面，所以，≠（i=1，2，3），且被此不共線.(，之中的兩個(gè)矢量

+y或

+0，)共面，那么根據(jù)定理2有

+z或＝0

+y+z).=，＝x如果與＝,，+0(＝x之中的任意兩個(gè)矢量都不共面，則把它們歸結(jié)到共同的始點(diǎn)O，并設(shè)（i=1，2，3），那么過的終點(diǎn)分別作三個(gè)平面分別與平面OE2E3，OE3E1，OE1E2平行，且分別與直、+、，為三棱，=為對(duì)角線的平行線OE1，OE2，OE3相交于A，B，C三點(diǎn)，從而作成了以六面體，于是得到：

=由定理1可設(shè)= x，= y，= z＝x下面證明x, y, z被, ，+，所以 +y+z., 唯一確定.假設(shè) ＝x+y+z＝

+

+)

，＝（y－）＝(z－)那么

(x－＝，如果

x≠，那么

，＝－＝－有定理2可知因此x, y, z被

1.定義 , , 共面，這與定理?xiàng)l件矛盾，所以x=，.同理，y=，z=., , 唯一確定.二、矢量的線性關(guān)系

對(duì)于n(n?1)個(gè)矢量, , ?,，如果存在不全為零的n個(gè)數(shù)?1, ?2，?, ?n, 使得 ?

1+?2+?+?n，=, , ?，線性無關(guān)是指，只有當(dāng)?1＝?2＝?那么n個(gè)矢量, , ?, ＝?n＝0時(shí)，上式才成立.2.判斷方法

叫做線性相關(guān).矢量推論1 一個(gè)矢量線性相關(guān)的充要條件是=.證明：由矢量線性相關(guān)的定義即得.定理4 矢量組合.證明：設(shè), , , ?，(n?2)線性相關(guān)的充要條件是其中有一個(gè)矢量是其余矢量的線性

+?

2+?+?n，即

=,且?1, ?2，?, ?n 不全為零，不, ?, =－

線性相關(guān)，則?1－，－?－, ?, 妨設(shè)?n ≠0，那么是其余矢量的線性組合.是其余矢量的線性組合，即 , , ?, 反過來，設(shè)n個(gè)矢量=?1+?2+?+?n-1，即?1

中有一個(gè)矢量，不妨設(shè)

+?2+?+(－1)=,且?1, ?2，?,(－1)不全為零,因此線性相關(guān).定理5 如果一組矢量中的一部分矢量線性相關(guān)，那么這一組矢量就線性相關(guān).證明：設(shè)一組矢量, , ?,，?,(s?r)中，有一部分矢量那么存在不全為零的n個(gè)數(shù)?1, ?2，?, ?s, 使得

?1, , ?, 線性相關(guān)，+?2+0

+?+?s+?+?r=，=,且?1, ?2，?, ?s不全為零.即

?1+?2+?+?s所以這一組矢量, , ?,，?, 線性相關(guān).推論2 一組矢量中如果含有零矢量，那么這組矢量必線性相關(guān).證明：由推論1和定理5即得.根據(jù)矢量的分解定理和線性相關(guān)概念，可得如下定理： 定理6 兩矢量共線的充要條件是它們線性相關(guān).定理7 三矢量共面的充要條件是它們線性相關(guān).定理8 空間任何四個(gè)矢量總是線性相關(guān).推論3 空間四個(gè)以上矢量總是線性相關(guān).證明：由定理5和定理8即得.例1.設(shè)一直線上三點(diǎn)A, B, P滿足＝

證明：如圖1-11，因?yàn)?/p>

＝?(??－1),O是空間任意一點(diǎn)，求證： ＝＝所以

(1+?)所以 －－－＝＝, , ＝?(+?.＝，＝，AT是角A的平分線（它與BC交于T點(diǎn)），試將

分－), ，例2.在△ABC中，設(shè)解為,的線性組合.分析：如圖1-12，利用三角形的角平分線定理.解：因?yàn)? 且 與＝，方向相同，所以 ＝由上題結(jié)論有.＝＝.+

+

＝

.例3.用矢量法證明：P是△ABC重心的充要條件是分析：如圖1-13，利用三角形重心的性質(zhì).證明：)若P為△ABC的重心，則

＝2+＋＝+，從而

+

－

=,即

=.)若+＋=, 則

＝－

＝，+取E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，CA之中點(diǎn)，則有

＝，(＝2

+)..故P為△ABC的重心.+2，＝－

3+12

＋11

共面，其從而 ＝2.同理可證

+3

＝2+2例4.證明三個(gè)矢量＝－, ＝4－6中能否用,線性表示？如能表示，寫出線性表示關(guān)系式.證明：題中的矢量?(－或(－?+4?－3v)由于, , , +3, +2

不共面，即它們線性無關(guān).考慮表達(dá)式

?+?+v＝，即)+?（4－6

+2)+v(－3

＝.+12

＋11)＝，+(3?－6?＋12v)+(2?+2?＋11v)線性無關(guān)，故有 解得

?＝－10，?＝－1，v＝2.由于

?＝－10?0，所以能用,線性表示

＝－例5.如圖1-14，, 三點(diǎn)共線的充要條件是?+?＝1.證明：有m?－1, 使－(1+m)＝但已知＝??＝

＋.＝?+?，試證A, B, C是三個(gè)兩兩不共線的矢量，且

//,)因?yàn)?/p>

A，B，C共線，從而有＝m＝m(＝＋m＋＋?.由, －，.對(duì)，＝1.)，分解的唯一性可得 ，?＝從而

?+?＝+)設(shè)?+?＝1.則有

＝?=－所以 ＋?+?(＝?(＝?＝?－－,),), ＋(1－?)從而 //.所以

A，B，C三點(diǎn)共線.例6.梅尼勞(MeneLaus)定理：如圖1-15，A?，B?，C?分別是△ABC三邊BC，CA，AB上的定比分點(diǎn)，如果它們把△ABC的邊分成定比

?＝, ?＝, v＝，那么A?，B?，C?三點(diǎn)共線的充要條件是??v＝－1.證明：由 ?＝可知 ＝?由第1題有 , , ?＝＝?, v＝，＝v, ，＝, ＝

＋

=?, 從而

＝v所以

＝

＝(1+?)＝v(, +, +)，＝由上題結(jié)論知三點(diǎn)A?，B?，C?共線的充要條件是

+化簡(jiǎn)即得

??v＝－1.作業(yè)題：

1.在平行四邊形ABCD中，(1)設(shè)對(duì)角線＝,＝，求, ＝

.＝1，, , ,;，.，分解為,(2)設(shè)邊BC和CD的中點(diǎn)為M和N，且2.在△ABC中，設(shè)＝，＝

＝,求, D、E是邊BC的三等分點(diǎn)，將矢量的線性組合.3.用矢量法證明: 三角形三中線共點(diǎn).4.設(shè)G是△ABC的重心，O是空間任意一點(diǎn)，試證

＝

（+).5．設(shè)＝(i＝1, 2, 3, 4)，試證P1, P2, P3, P4四點(diǎn)共面的充要條件是存在不全為零的實(shí)數(shù)?i(i＝1, 2, 3, 4)使

?1+?2+?3+?4=, 且.§1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)

教學(xué)目的

1、能利用矢量建立坐標(biāo)系概念；

2、理解點(diǎn)的坐標(biāo)及矢量分量的表示方法；

3、掌握矢量線性運(yùn)算及線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)表示方法。

教學(xué)重點(diǎn) 標(biāo)架概念及點(diǎn)和矢量的坐標(biāo)表示方法 教學(xué)難點(diǎn) 矢量的分量 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 1

§1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)

一、空間坐標(biāo)系

1.空間中的一個(gè)定點(diǎn)O，連同三個(gè)不共面的有序矢量記做{O;,}.如果, , , ， ,的全體，叫做空間中的一個(gè)標(biāo)架，}叫做笛卡爾標(biāo)架；, ，, }叫做

都是單位矢量，那么{O;兩兩相互垂直的笛卡爾標(biāo)架叫做笛卡爾直角標(biāo)架，簡(jiǎn)稱直角標(biāo)架；在一般情況下，{O;仿射標(biāo)架.2.對(duì)于標(biāo)架{O;，}，如果, ，間的相互關(guān)系和右手拇指、食指、中指相同，那么這個(gè)標(biāo)架叫做右旋標(biāo)架或稱右手標(biāo)架；如果, , 間的相互關(guān)系和左手的拇指、食指、中指相同，那么這個(gè)標(biāo)架叫做左旋標(biāo)架或稱左手標(biāo)架.如圖1-16.3.表達(dá)式＝x+y+z中的x, y, z叫做矢量關(guān)于標(biāo)架{O;記做{x, y, z}或{x, y, z}.4.對(duì)于取定了標(biāo)架{O;架{O;z).，，}的空間中任意點(diǎn)P，矢量，，}的分量或稱為坐標(biāo)，關(guān)于標(biāo)

叫做點(diǎn)P的徑矢，徑矢}的分量x, y, z叫做點(diǎn)P關(guān)于標(biāo)架{O;}的坐標(biāo)，記做P(x, y, z)或(x, y, 5.當(dāng)空間取定標(biāo)架{ O;, , }之后，空間全體矢量的集合或者全體點(diǎn)的集合與全體有序三數(shù)組x, y, z的集合具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系叫做空間矢量或點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)系.空間坐標(biāo)系也常用{O;，}來表示，此時(shí)點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，, , 都叫做坐標(biāo)矢量.6.由右(左)旋標(biāo)架決定的坐標(biāo)系叫做右(左)旋坐標(biāo)系或右(左)手坐標(biāo)系；仿射標(biāo)架、笛卡爾標(biāo)架與直角標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系分別叫做仿射坐標(biāo)系、笛卡爾坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系.二、平面坐標(biāo)系

1.約定用{O;手直角坐標(biāo)系.}表示直角坐標(biāo)系，以后在討論空間問題時(shí)所采用的坐標(biāo)系，一般都是空間右2.過點(diǎn)O沿著三坐標(biāo)矢量, , 的方向引三軸Ox, Oy, Oz,可以用這三條具有公共點(diǎn)O的不共面的軸Ox, Oy, Oz來表示空間坐標(biāo)系，記做O—x y z，此時(shí)點(diǎn)O叫做空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，三條軸Ox, Oy, Oz都叫做坐標(biāo)軸，且依次叫做x軸，y軸和z軸，每?jī)蓷l坐標(biāo) 軸所決定的平面叫做坐標(biāo)面，分別叫做xOy平面，yOz平面與

xOz平面.三坐標(biāo)平面把空間劃分為八個(gè)區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域都叫做卦限.3.平面上一個(gè)定點(diǎn)O, 連同兩個(gè)不共線的有序矢量{O;,}，如果, 都是單位矢量，那么{O;， 的全體，叫做平面上的一個(gè)標(biāo)架，記做

與

相互垂直的笛卡爾

}叫做笛卡爾標(biāo)架；, 標(biāo)架叫做笛卡爾直角標(biāo)架，簡(jiǎn)稱直角標(biāo)架；在一般情況下，{O;}叫做仿射標(biāo)架.4.對(duì)于標(biāo)架{O;,}，將繞O旋轉(zhuǎn)，使的方向以最近的路徑旋轉(zhuǎn)到與果旋轉(zhuǎn)方向是逆時(shí)針的，則這種標(biāo)架叫做右旋標(biāo)架或稱右手標(biāo)架；如果旋轉(zhuǎn)方 的方向相合時(shí)，如

向是順時(shí)針的，則這種標(biāo)架叫做左旋標(biāo)架或稱左手標(biāo)架.如圖1-17.5.表達(dá)式＝x或{x, y}.＋y中的x, y叫做矢量關(guān)于標(biāo)架{O;,}的平面上的任意點(diǎn)P，矢量，}的分量或稱為坐標(biāo)，記做{x, y}

關(guān)于標(biāo)架6.對(duì)于取定了標(biāo)架{O;{O;,叫做點(diǎn)P的徑矢，徑矢}的分量x, y叫做點(diǎn)P關(guān)于標(biāo)架{O;}的坐標(biāo)，記做P(x, y)或(x, y).7.當(dāng)平面上取定標(biāo)架{O;,}之后，平面上全體矢量的集合或者全體點(diǎn)的集合與全體有序數(shù)對(duì)x, y的集合具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系叫做平面上矢量或點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)系.平面坐標(biāo)系也常用{O;,}來表示，此時(shí)點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，, 都叫做坐標(biāo)矢量.8.由右(左)旋標(biāo)架決定的坐標(biāo)系叫做右(左)旋坐標(biāo)系或右(左)手坐標(biāo)系；仿射標(biāo)架、笛卡爾標(biāo)架與直角標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系分別叫做仿射坐標(biāo)系、笛卡爾坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系.15.約定用{O;,}表示直角坐標(biāo)系, 在討論平面問題時(shí)所采用的坐標(biāo)系，一般都是平面右手直角坐標(biāo)系.9.過點(diǎn)O沿著坐標(biāo)矢量, 的方向引二軸Ox, Oy,可以用這二條具有公共點(diǎn)O的不共線的軸Ox，Oy來表示平面坐標(biāo)系，記做O－x y，此時(shí)點(diǎn)O叫做平面坐標(biāo)系的原點(diǎn)，Ox叫做x軸，Oy叫做y軸.兩坐標(biāo)軸把平面分成四個(gè)區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域都叫做象限.三、直線坐標(biāo)系 1.直線上一個(gè)定點(diǎn)O，連同直線上一個(gè)非零矢量的全體，叫做直線上的一個(gè)標(biāo)架，記做{O;}，如果為單位矢量，那么{O;}叫做笛卡爾標(biāo)架，在一般情況下，{O;}叫做仿射標(biāo)架.2.表達(dá)式＝x中的x叫做矢量關(guān)于標(biāo)架{O;}的分量或稱為坐標(biāo)，記做{x}或{x}.3.對(duì)于取定了標(biāo)架{O;}的直線上任意點(diǎn)P，矢量x叫做點(diǎn)P關(guān)于標(biāo)架{O;}的坐標(biāo)，記做P(x)或(x).叫做點(diǎn)P的徑矢，徑矢

關(guān)于標(biāo)架的分量4.當(dāng)直線上取定標(biāo)架{O;}之后，直線上全體矢量的集合或全體點(diǎn)的集合與全體實(shí)數(shù)x的集合具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系叫做直線上矢量或點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)系.直線上的坐標(biāo)系也常用{O;}來表示，此時(shí)點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，叫做坐標(biāo)矢量.5.由仿射標(biāo)架與笛卡爾標(biāo)架所確定的坐標(biāo)系分別叫做仿射坐標(biāo)系與笛卡爾坐標(biāo)系.6.取定標(biāo)架{O;}的直線，叫做坐標(biāo)軸或簡(jiǎn)稱為軸，原點(diǎn)為O，坐標(biāo)寫成x的軸記做Ox.例1.在空間直角坐標(biāo)系{O;}下，求P(2,－3,－1)，M(a, b, c)關(guān)于(1)坐標(biāo)平面；(2)坐標(biāo)軸；(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的各個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).解：可按照“關(guān)于哪軸對(duì)稱，哪軸不動(dòng)，其余變號(hào)”的方法去考慮，有 M(a, b, c)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a, b, －c)，M(a, b, c)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(－a, b, c)，M(a, b, c)關(guān)于xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,－b, c)，M(a, b, c)關(guān)于x軸平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,－b,－c)，M(a, b, c)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(－a, b,－c)，M(a, b, c)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(－a,－b, c).類似考慮P(2,－3，－1)即可.例2.已知矢量, , 的分量如下：

(1)＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，＝{1, 2, －1}；(2)＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，＝{0, 5, 6}.試判別它們是否共面？能否將表成，的線性組合？若能表示，寫出表示式.解:(1)因?yàn)?//，但

＝0,所以 , , 三矢量共面, 由于, 的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，即，故不能將表成, 的線性組合.(2)因?yàn)?＝0,所以 , , 三矢量共面.，故可以將表成, 的線性組合.由于 , 的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)不成比例，即設(shè) ＝?+?, 即

{0, 5, 6}＝?{1, 2, 3}+?{2, －1, 0} 從而

由此解得

?＝2，?＝－1，所以

＝2－.例3.證明：四面體每一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)面重心所連的線段共點(diǎn)，且這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)面重心距離的三倍.用四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)把交點(diǎn)坐標(biāo)表示出來.證明：設(shè)四面體A1A2A3A4,Ai對(duì)面重心為Gi, 欲證AiGi交于一點(diǎn)(i＝1, 2, 3, 4).在AiGi上取一點(diǎn)Pi，使則

＝

3, 從而

＝，設(shè)Ai(xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，G1G2G3G4所以 , ， ，P1(，)

?P1(，).同理得P2?P3?P4?P1，所以AiGi交于一點(diǎn)P，且這點(diǎn)到頂點(diǎn)距離等于這點(diǎn)到對(duì)面重心距離的三倍.作業(yè)題：

1.指出坐標(biāo)滿足下列條件的點(diǎn)(x, y, z)在空間的位置.(1)

x＝y(tǒng)；

(2)

y z<0;

(3)

x y z<0.2.平行于z軸的矢量有什么特點(diǎn)？平行于x軸和y軸的矢量又分別有什么特點(diǎn)？

3.已知線段AB被點(diǎn)C(2, 0, 2)和D(5,－2, 0)三等分，試求這個(gè)線段兩端點(diǎn)A與B的坐標(biāo).§1.6 矢量在軸上的射影

教學(xué)目的

1、掌握射影與射影矢量的概念及矢量線性運(yùn)算的射影表示；

2、理解矢量在軸上的的射影與坐標(biāo)的關(guān)系。

教學(xué)重點(diǎn) 矢量在軸上的射影與射影矢量的概念 教學(xué)難點(diǎn) 射影與射影矢量的關(guān)系 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 1

§1.6 矢量在軸上的射影

一、概念

1.已知空間的一點(diǎn)A與一軸l，通過A作垂直于軸l的平面?，平面?與軸l的交點(diǎn)A叫做點(diǎn)A在軸l上的射影.2.設(shè)矢量的始點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸l上的射影

叫做矢量

在軸l上分別為A?和B?，那么矢量的射影矢量，記作射影矢量l.如圖1-18.3.如果在軸上取與軸方向相同的單位矢量，則有射影矢量l＝＝x，其中x叫做矢量，即 ＝x.與射影l(fā)分別寫成射影矢量

與射影，且分別叫做矢量

在在軸l上的射影，記作：射影l(fā)射影l(fā)4.可以把射影矢量l矢量上的射影矢量與在上的射影，兩者之間的關(guān)系是

射影矢量

＝(射影

＝,).＝, 把射線OA和OB構(gòu)成的在0與5.設(shè)是兩個(gè)非零矢量，自空間任意點(diǎn)O作?之間的角，叫做矢量與的夾角，記做?(,).按規(guī)定，若,同向，則?(,)＝0；若,反向，則?(,)＝?；若，則0＜?(,)＜?.時(shí)，以矢6．在平面上，可以引進(jìn)從矢量到矢量的有向角的概念，并記作(,)，當(dāng)量掃過矢量,之間的夾角?(,)旋轉(zhuǎn)到與矢量同方向的位置時(shí)，如果旋轉(zhuǎn)方向是逆時(shí)針的，則(,)＝?(,)；如果旋轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針的，則(,)＝－?(,).當(dāng)//

時(shí)，(,)＝?(,).有向角的值，常可推廣到 ?－π 或 >π，這時(shí)我們認(rèn)為相差2π整數(shù)倍的值代表同一角，對(duì)于有向角還有下面的等式(,)＝－(,)，(,)+(,)＝().二、性質(zhì)

1．矢量在軸l上的射影等于矢量的模乘以軸與該矢量的夾角的余弦：

射影i＝|

|cos?, ?＝?(l,).證明：如圖，射影i=||=||cos?.由矢量在軸l上的射影概念容易證得如下性質(zhì)：

2．相等矢量在同一軸上的射影相等.3．對(duì)于任何矢量有

射影l(fā)(+)＝射影l(fā)+射影l(fā).4．對(duì)于任何矢量與任意實(shí)數(shù)?有

射影l(fā)(?)＝?射影l(fā).例題：試證明：射影l(fā)(?+?+?n射影l(fā).證明：用數(shù)學(xué)歸納法來證.當(dāng)n＝2時(shí)，有

射影l(fā)(?1?2)＝射影l(fā)()+射影l(fā)(假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即有 射影l(fā)(射影l(fā)(＝射影l(fā)[(＝射影l(fā)（）+)+射影l(fā)()＝?1射影l(fā))

]))＝?1射影l(fā)+?2射影l(fā).?+?+?n)＝?1射影l(fā)+射影l(fā)

+?+?k射影l(fā).欲證當(dāng)n＝k+1時(shí)亦然.事實(shí)上

＝?1射影l(fā)+?+?k射影l(fā)+?k+1射影l(fā) 故等式對(duì)自然數(shù)n成立.作業(yè)題：

1.兩非零矢量的夾角在空間和平面上分別是怎樣定義的？取值范圍如何？ 2.在射影的關(guān)系如何？，射影矢量

與射影, 射影矢量

中，若?，＝－, 則它們相互間3.射影相等的兩個(gè)矢量是否必相等？射影為0的矢量，是否必為？

§1.7 兩矢量的數(shù)性積

教學(xué)目的

1、掌握矢量的數(shù)性積概念及幾何意義；

2、理解矢量的模、方向余弦和交角及數(shù)性積的坐標(biāo)表示；

3、能證明有關(guān)的幾何命題。

教學(xué)重點(diǎn) 兩矢量的數(shù)性積概念及幾何意義 教學(xué)難點(diǎn) 根據(jù)數(shù)性積理論證明有關(guān)的命題 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 1

§1.7 兩矢量的數(shù)性積

一、概念

1.數(shù)性積的例子.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在力的作用下，經(jīng)過位移

＝，則這個(gè)力所作的功為

W＝|其中?＝?(,)，功W是由矢量

|||cos?

與按上式確定的一個(gè)數(shù)量.如圖1-19.2.兩個(gè)矢量與的模和它們夾角的余弦的乘積叫做矢量和的數(shù)性積(也稱數(shù)積，內(nèi)積，點(diǎn)積)，記做?或，即

?＝||||cos?(,).二、性質(zhì)

1.?＝||射影＝||射影

..2.當(dāng)為單位矢量時(shí) ?＝射影3.?＝||＝22.4.兩矢量和相互垂直的充要條件是?＝0.5.矢量的數(shù)性積滿足下面的運(yùn)算規(guī)律(1)交換律 ?＝?.(2)關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律(?)?＝?(?)＝?(?).(3)分配律(+)?＝?+?.三、坐標(biāo)運(yùn)算 1.設(shè)＝{}, ＝{

}, 則 ?＝

.?＝, ?＝，?＝.2.設(shè)＝{X, Y, Z}，則

||＝3.空間兩點(diǎn)P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)間的距離是

..4.矢量與坐標(biāo)軸(或坐標(biāo)矢量)所成的角叫做矢量的方向角，方向角的余弦叫做矢量的方向余弦.5.非零矢量＝{X, Y, Z}的方向余弦是

cos?＝cos?＝cos?＝且

cos?+cos?+cos?＝1，（其中的?, ?, ?分別為矢量與x軸，y軸，z軸的交角，即的三個(gè)方向角.）并有

6.設(shè)空間中兩個(gè)非零矢量為{

}，＝{

＝{cos?, cos?, cos?}.},那么它們夾角的余弦是

d＝

＝＝＝, ,.cos?(,)＝7.矢量{}和＝{

＝

}相互垂直的充要條件是

.例1.在實(shí)數(shù)乘法中消去律成立，即ab＝ac時(shí)，則a=0或b＝c.這對(duì)矢量的數(shù)性積并不成立，舉反例如下：

如圖1-20，設(shè)有非零矢量及與其共面的兩矢量和，使得其終點(diǎn)連線BC與OA垂直且交于M，則

?＝||||cos?(,)＝||OM, ?＝||||cos?(,)＝||OM，于是 ?＝?, 但顯然?.例2.在平面上如果證明: 因?yàn)?，＋?),，且

＝?

(i=1,2)，則有＝.所以，對(duì)該平面上任意矢量＝?(－)?＝(－)(?＝?＝?((－)+?－

＋?(－)

－)＝0,)+?(故(－)?.由的任意性知 －＝.從而 ＝.例3.用矢量法證明以下各題：

222(1)三角形的余弦定理 a＝b＋c－2bccosA;

(2)三角形各邊的垂直平分線共點(diǎn)且這點(diǎn)到各頂點(diǎn)等距.證明：（1）如圖1-21，△ABC中，設(shè)且||＝a，||＝b,||＝c.則＝－，＝(－)＝+－2?＝+－2||||cosA.222此即

a＝b+c－2bccosA.(2)如圖1-22，設(shè)AB, BC邊的垂直平分線PD, PE相交于P, 2222

＝,＝,＝，D, E, F為AB, BC, CA的中點(diǎn), 設(shè)＝－＝因?yàn)? , ＝－，＝, ＝

－，＝，＝

（＝, 則+)，(＋).?, ?，所以(+)(－)＝（2

－

2)＝0，(+)(－)＝從而有 所以 2

（2

－

2)＝0，2

2＝2＝2

,即 ||＝||＝||,（2(＋)(－)＝－

2)＝0，所以 ?，且 ||＝||＝||.故三角形各邊的垂直平分線共點(diǎn)且這點(diǎn)到各頂點(diǎn)等距.作業(yè)題：

1.用矢量法證明對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.2.證明 －||||??

?|||

|.＝，=, ＝，求?

＋

?＋?.3.已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，且4.(1)求兩個(gè)共線矢量的數(shù)性積；(2)求兩個(gè)單位矢量的數(shù)性積.§1.8 兩矢量的矢性積

教學(xué)目的

1、掌握矢量的矢性積概念及幾何意義；

2、理解矢量矢性積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示；

3、會(huì)用頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算三角形的面積。

教學(xué)重點(diǎn) 兩矢量矢性積概念及幾何意義 教學(xué)難點(diǎn) 矢性積的幾何意義 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 1

§1.8 兩矢量的矢性積

一、概念

1.矢性積的例子

物理學(xué)中的力矩是一個(gè)矢量，它是兩個(gè)矢量的矢性積，如圖1-23，如果力則力矩

＝

.的作用點(diǎn)是A,，2.兩矢量與的矢性積（也稱矢積，外積，叉積）是一個(gè)矢量，記做?或[]，它的模是

|?|＝||||sin?(,)，它的方向與,都垂直，并且按，?這個(gè)順序構(gòu)成右手標(biāo)架{O;，?}.二、性質(zhì)

定理1.兩不共線矢量與的矢性積的模，在數(shù)值上等于以與為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積.證明：如圖1-24，平行四邊形的面積S=|| h =||||sin?(,)=|?|.定理2.兩矢量與共線的充要條件是 ?＝.證明：當(dāng)與共線時(shí)，sin?(,)=0，從而|?|=0，即?＝；反過來，當(dāng)?＝時(shí)＝或＝或∥，而可以看成與任何矢量共線，所以總有∥.定理3.矢量的矢性積滿足下面的運(yùn)算規(guī)律：

(1)反交換律

?＝－(?).(2)關(guān)于數(shù)因子的結(jié)合律

?(?)＝(?)?＝?(?).(3)分配律

(+)?＝?＋?.證明：只給出反交換律?＝－(?)的證明，其余類似可證：

如果與共線，那么（?）與(?)都是，顯然成立.如果與不共線，那么

|?|＝||||sin?(,)=||||sin?(，)=|?|，而根據(jù)矢性積的定義（?）與(?)共線且方向相反，從而?＝－(?).推論.設(shè)?, ?為任意實(shí)數(shù)，有

(?)?(?)＝(??)(?)，?(+)＝?+?.三、坐標(biāo)運(yùn)算

1.如果＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2}, 那么

?＝++.或

?＝.2.與中學(xué)代數(shù)里的方程一樣，我們將含有未知矢量的等式叫做矢量方程.例如?＝l，其中是已知矢量，是未知矢量，l是常數(shù)，這就是一個(gè)矢量方程.解矢量方程常用兩種方法：其一是對(duì)方程實(shí)行各種向量運(yùn)算來求出未知向量；其二是利用坐標(biāo)化成代數(shù)方程再去求解.例1.證明(?)?222?

2，并說明在什么情形下等號(hào)成立.22

2證明：(?)＝|?|＝||||sin?(,)

?||||＝22

?

.，即當(dāng)?時(shí)，等號(hào)要使等號(hào)成立, 必須sin?(,)＝1, 從而sin?(,)＝1, 故?(,)＝成立.例2.證明如果++＝，那么?＝?＝?，并說明它的幾何意義.證明：由++＝, 有(++)?＝?＝, 但 ?＝，于是

?+?＝，所以 ?＝?.同理

由(++)?＝, 有 ?＝?，從而 ?＝?＝?.其幾何意義是以三角形的任二邊為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的面積相等.例3.如果非零矢量(i＝1,2,3)滿足垂直的單位矢量，并且按這次序構(gòu)成右手系.證明：由矢性積的定義易知,因?yàn)? ＝?，||＝?，|＝|

|||, ,，＝

?，＝?，那么，是彼此

彼此垂直，且構(gòu)成右手系.下證它們均為單位矢量.所以 ||＝||，|所以 ||＝||||.|＝1，|22由于 ||?0，從而 |同理可證 |

|＝1.|＝1，||＝1.從而，都是單位矢量.例4.用矢量方法證明：（1）三角形的正弦定理

＝＝.（2）三角形面積的海倫(Heron)公式，即三斜求積公式：

?＝p(p－a)(p－b)(p－c).式中p＝(a+b+c)是三角形的半周長(zhǎng)，?為三角形的面積.＝，＝，＝，且||＝a，||＝b, ||證明(1)如圖1-25，在△ABC中，設(shè)＝c, 則

++＝, 從而有 ?＝?＝?，所以

|?|＝|?|＝|?|，bcsinA＝casinB＝absinC, 于是

＝＝.(2)同上題圖，△ABC的面積為

?＝所以

?＝2

|?|，(?).22

22因?yàn)?/p>

(?)+(?)＝所以

?＝2，[22－(?)].2由于

++＝，從而

+＝－，(＋)＝所以

2，(c－a－b)，2

2＝(222－2

－

2)＝故有

?＝＝＝＝[ab－222(c－a－b)]

222[2ab－(c－a－b)][2ab+(c－a－b)] [(a+b)－c][222－(a－b)]

2(a+b+c)(a+b－c)(c+a－b)(c－a＋b)＝?2p?(2p－2c)(2p－2b)(2p－2a).2所以

?=p(p?a)(p?b)(p?c), 或

?=例5.試解方程組

., //，其中 ?，l是已知數(shù).解法一：化成坐標(biāo)式得

a1x1+a2x2+a3x3=l，其中, , x2=，k?0, 解得 , x3=, ，x1=再化成矢量式得解法二：由.得，代入

得，于是

k＝, 從而有作業(yè)題：.1.設(shè), , 為三個(gè)兩兩不共線的矢量，且?=?= ?，則++=.2.設(shè)兩非零矢量3.已知兩非零矢量4.已知積.,，求k值，使兩個(gè)向量k，求

與, 其中

和

＋k共線.共線的充要條件.＝5, , ?, 求平行四邊形ABCD的面

第二章 軌跡與方程

教學(xué)目的

1、理解曲面與空間曲線方程的意義；

2、掌握求軌跡方程（矢量式與坐標(biāo)式參數(shù)方程及普通方程）的方法；

3、會(huì)判斷已知方程所表示的軌跡名稱。

教學(xué)重點(diǎn) 曲面和空間曲線的方程求法

教學(xué)難點(diǎn) 判斷已知的參數(shù)方程或普通方程所表示的圖形 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 《解析幾何》課程教案（第三章）

授課課時(shí) 4第二章

軌跡與方程

本章的目的是建立軌跡與其方程的對(duì)應(yīng)，在空間或平面上取定標(biāo)架之后，空間或平面上的點(diǎn)就與有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)或(x, y)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步建立作為點(diǎn)的軌跡的曲線、曲面與其方程之間的聯(lián)系，把研究曲線與曲面的幾何問題，歸結(jié)為研究其方程的代數(shù)問題，進(jìn)而為用代數(shù)的方法研究曲線和曲面創(chuàng)造了條件，奠定了基礎(chǔ).空間軌跡與平面軌跡相比要復(fù)雜得多，但它的方程的建立，以及對(duì)某些問題的處理，兩者卻非常相似.本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)為：

軌跡

方程

→ 方程

→ 軌跡

§2.1 平面曲線的方程

一、普通方程

1.平面上的曲線（包括直線），都可以看成具有某種特征性質(zhì)的點(diǎn)的集合.曲線上點(diǎn)的特征性質(zhì)，包含兩方面的意思：(1)曲線上的點(diǎn)都具有這些性質(zhì)；(2)具有這些性質(zhì)的點(diǎn)都在曲線上.因此曲線上點(diǎn)的特征性質(zhì)，也可以說成是點(diǎn)在曲線上的充要條件.2.當(dāng)平面上取定了標(biāo)架之后，如果一個(gè)方程F(x, y)= 0或 y =f(x)與一條曲線有著關(guān)系：(1)滿足方程的(x, y)必是曲線上某一點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)曲線上任何一點(diǎn)的坐標(biāo)(x, y)滿足這個(gè)方程，那么這個(gè)方程F(x, y)= 0就叫做這條曲線的普通方程，而這條曲線叫做這個(gè)方程的圖形.3.對(duì)于一條給定的曲線，要求出它的方程，實(shí)際上就是在給定的坐標(biāo)系下，將這條曲線上的點(diǎn)的特征性質(zhì)，用關(guān)于曲線上的點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)x, y的方程來表示.二、參數(shù)方程

1．曲線常可表現(xiàn)為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，但是運(yùn)動(dòng)的規(guī)律往往不是直接反映為動(dòng)點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)x與y之間的關(guān)系，而是直接表現(xiàn)為動(dòng)點(diǎn)的位置隨著時(shí)間改變的規(guī)律.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)，與它對(duì)應(yīng)的徑矢也將隨著時(shí)間t的不同而改變（模與方向的改變），這樣的徑矢，我們稱它為變矢，記做

.，那么2.如果變數(shù)t(a?t?b)的每一個(gè)值對(duì)應(yīng)于變矢的一個(gè)完全確定的值（模與方向）我們就說是變數(shù)t的矢性函數(shù)，記做

=,(a?t?b)

顯然當(dāng)t變化時(shí)，矢量的模與方向一般也隨著改變.3.設(shè)平面上取定的標(biāo)架為{O;,寫為

其中x(t)，y(t)是

}，矢量就可用它的分量表示，這樣矢性函數(shù)== x(t)+y(t),(a?t?b)，就可以的分量，它們分別是變數(shù)t的函數(shù).4.若取t(a?t?b)的一切可能取的值，徑矢的終點(diǎn)總在一條曲線上；反過來，在這條曲線上的任意點(diǎn)，總對(duì)應(yīng)著以它為終點(diǎn)的徑矢，而這徑矢可由t 的某一值t0(a?t0?b)完全決定，則把 = x(t)+y(t),(a?t?b)

叫做曲線的矢量式參數(shù)方程，其中t為參數(shù).如圖2-1.5.因?yàn)榍€上點(diǎn)的徑矢的分量為x(t), y(t)，所以曲線的參數(shù)方程也常寫成下列形式

(a?t?b)

把這個(gè)表達(dá)式叫做曲線的坐標(biāo)式參數(shù)方程.如能從上式中消去參數(shù)t（如果可能的話），那么就能得出曲線的普通方程F(x, y)=0.6.曲線的參數(shù)方程的表達(dá)形式不唯一.例1.有一長(zhǎng)度為2a(a>0)的線段，它的兩端點(diǎn)分別在x軸正半軸和y軸正半軸上滑動(dòng)，求此線段中點(diǎn)的軌跡.解法一：如圖2-2，取? 為參數(shù)，設(shè)線段中點(diǎn)為M(x, y)，于是A(2acos?, 0)，B(0, 2asin?,), 所以

(0

x2+y2 = a2(x>0, y>0).)

解法二：如圖2-3, 設(shè)線段為AB，其中點(diǎn)為P(x, y)，且設(shè)(,====(|(+|+|)|))=?，則

[2acos(???)+2asin(???)]

= ?acos?+asin?，所以動(dòng)點(diǎn)軌跡的坐標(biāo)式參數(shù)方程為

(消去參數(shù)? 得所求軌跡的一般方程為

x2+y2 = a2(x>0, y>0).例2.三角形ABC底邊的兩個(gè)端點(diǎn)為B(?3, 0)，C(3, 0), 頂點(diǎn)A在直線7x?5y?35=0上移動(dòng)，求這三角形重心的軌跡.解：設(shè)△ABC的重心為G(x, y)，頂點(diǎn)A為(x0, y0)，則有

x==x0, y==y0，從而

x0=3x , y0 =3y.而A(x0, y0)在直線7x?5y?35=0上, 故有

7x0?5y0?35=0 或 21x?15y?35=0.這是一條平行于已知直線7x?5y?35=0的直線.例3.一動(dòng)點(diǎn)M到A(3, 0)的距離恒等于它到點(diǎn)B(?6, 0)的距離的一半，求此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并指出此軌跡是什么圖形？

解：設(shè)M(x, y)，依題意有

2=，2222兩邊平方得：4((x?3)+y)=(x+6)+y，2224(x?6x+9)+3y?(x+12x+36)=0, 223x+3y?36x=0，22(x?6)+y=36.此即為中心在(6, 0)，半徑為6的圓.2例4.一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離的乘積等于定值m，求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡(此軌跡叫做卡西尼卵形線).解：設(shè)兩定點(diǎn)為F1, F2，且|F1F2|=2c(c>0)，動(dòng)點(diǎn)為M(x, y)，取直線F1F2為x軸，其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則F1=(?c, 0), F2=(c, 0)，依題意有

2|MF1| ? |MF2| =m，=m，化簡(jiǎn)得

(x+y)? 2c(x?y)= m ?c.222

442

作業(yè)題：

1． 將下面平面曲線的參數(shù)方程化為普通方程：

（1）

－∞＜t＜+∞;

（2）

0?t＜2;

（3）0?t＜2.2.把下面平面曲線的普通方程化為參數(shù)方程： 2

（1）y= x

(2)

(3),（）;

§2.2 曲面的方程

一、普通方程

如果一個(gè)方程F(x, y, z)= 0或z=f(x, y)與一個(gè)曲面?有著關(guān)系：(1)滿足方程的(x, y, z)是曲面?上點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)曲面?上的任何一點(diǎn)的坐標(biāo)(x, y, z)滿足方程，則方程F(x, y, z)＝0叫做曲面?的普通方程，而曲面?叫做方程F(x, y, z)＝0的圖形.二、參數(shù)方程

1．設(shè)在兩個(gè)變數(shù)u, v的變動(dòng)區(qū)域內(nèi)定義了雙參數(shù)矢函數(shù)

=(u, v)或

(u, v)=x(u, v)

+y(u, v)

+z(u, v)，其中x(u, v), y(u, v), z(u, v)是變矢(u, v)的分量，它們都是變數(shù)u, v的函數(shù)，當(dāng)u, v取遍變動(dòng)區(qū)域的一切值時(shí)，徑矢

=(u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)的終點(diǎn)M(x(u, v), y(u, v), z(u, v))所畫成的軌跡，一般為一張曲面.2.如果取u, v(a?u?b, c?v?d)的一切可能取的值，徑矢

(u, v)的終點(diǎn)M總在一個(gè)曲面上；反過來，在這個(gè)曲面上的任意點(diǎn)M總對(duì)應(yīng)著以它為終點(diǎn)的徑矢, 而這徑矢可由u, v的值(a?u?b, c?v?d)通過

(u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)

完全決定，那么我們就把上式叫做曲面的矢量式參數(shù)方程，其中u, v為參數(shù).3.徑矢(u, v)的分量為{x(u, v), y(u, v), z(u, v)}，從而曲面的參數(shù)方程也常寫成

該表達(dá)式叫做曲面的坐標(biāo)式參數(shù)方程.4.空間曲面參數(shù)方程的表達(dá)形式不唯一.例1.一動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，與A(4, 0, 0)及xOy平面等距離，求該動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x, y, z)，依題意有

=|z|，兩邊平方化簡(jiǎn)得(x?4)+y=0.例2.在空間，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求下列點(diǎn)的軌跡方程：(1)到兩定點(diǎn)距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；(2)到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；(3)到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；

(4)到一定點(diǎn)和一定平面距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.解：(1)取兩定點(diǎn)連線為x軸，兩定點(diǎn)連線段中點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)兩定點(diǎn)為A(?a, 0, 0)，B(a, 0, 0), 常數(shù)為m>0，再設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x, y, z)，則依題意有

=m，2222222222222平方得

x + 2ax+a +y+z = mx ?2amx +ma +my +mz，222222

2(m?1)(x+y+z)?2a(m+1)x+a(m?1)=0.此即為所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡.222(2)設(shè)坐標(biāo)系選取同(1)，兩定點(diǎn)間距離為2c(c>0), 常數(shù)為2a(a>0)，且b=a?c>0，從而兩定點(diǎn)為A(?c, 0, 0), B(c, 0, 0), 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x, y, z)，依題意有 22

＋m移項(xiàng)

222 2

=2a, , =2a ?

2平方(x+c)+y+z=4a+(x?c)+y+z?4a化簡(jiǎn)

再平方 化簡(jiǎn)

即

a=a?cx, 2222224222 a(x?c)+ay+az=a+cx?2acx，2222222222(a?c)x+ay+az=a(a?c)，22222222

bx+ay+az=ab，2，從而

++=1.222(3)假設(shè)同(2)，但b=c?a >0，依題意有

?移項(xiàng)

=2a+，2

=2a，平方化簡(jiǎn)

a=cx?a，2222222222再平方化簡(jiǎn)

(c?a)x－ay－az=a(c?a)，22222222即

bx?ay?az=ab，從而

??=1.(4)取定點(diǎn)為(0, 0, c)，定平面為xOy面，常數(shù)為m>0，設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x, y, z)，依題意有

＝m |z|, 22平方

x+y+z?2cz+c = mz, 即有

22222 x+y+(1?m)z?2cz+c =0.例3.求中心在原點(diǎn), 半徑為r的球面的參數(shù)方程.解：如圖2-4, 設(shè)M是球面上的任意一點(diǎn)，M在xOy坐標(biāo)面上的射影為 P，設(shè)?xOP =?(0?? <2?)，?zOM =?(0????), P在x軸上的射影為Q，那么 2

=則

=(r)+（=++)+r，.這就是圓柱面的矢量式參數(shù)方程，它的坐標(biāo)式參數(shù)方程為

其中0????, ??? <2?.消去參數(shù)得普通方程為

x2 + y2 + z2 = r2.例4.求以z軸為對(duì)稱軸，半徑為R的圓柱面的參數(shù)方程.解：如圖2-5, 設(shè)M是圓柱面上的任意一點(diǎn)，M在xOy坐標(biāo)面上的射影為 P，設(shè)?xOP =?(0?? <2?)，P在x軸上的射影為Q，那么 =

=++，則

=(R)+（）+u.這就是圓柱面的矢量式參數(shù)方程，它的坐標(biāo)式參數(shù)方程為

其中的 ? 與u是參數(shù)，取值范圍分別是0?? <2?，?? < u < ??.消去參數(shù)得普通方程為

x2+y2=R2.作業(yè)題：

1.求下列各球面的方程：

（1）中心（2，—1，3），半徑為R=6；

（2）中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（6，—2，3）；

（3）一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)是（2，—3，5）與（4，1，—3）；（4）通過原點(diǎn)與（4，0，0），（1，3，0），（0，0，—4）.2.求下列球面的中心與半徑：

（1）；

（2）；

（3）

.§2.3 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程

假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x, y, z)的坐標(biāo)間的關(guān)系是不含變數(shù)z的方程F(x, y)=0,在空間坐標(biāo)系中表示一個(gè)曲面，它所表示的曲面是由平行于z軸的直線沿xOy平面上一條曲線

L: F(x, y)＝0

移動(dòng)而成，這樣的曲面叫做柱面，曲線L叫做它的準(zhǔn)線，形成柱面的動(dòng)直線叫做它的母線，即方程F(x, y)=0決定一個(gè)母線平行于z軸的柱面.同理，方程F(y,z)=0與F(x, z)=0都表示柱面，它們的母線分別平行于x 軸和y軸.如上一節(jié)的例4，方程 x 2 + y 2= R 2 表示母線平行于z軸的柱面，準(zhǔn)線L為xOy坐標(biāo)面上的圓.例題

說出下列方程表示的圖形名稱：

（1），（2），（3）y=2p x.2解：（1）表示一個(gè)柱面，母線平行于z軸，準(zhǔn)線為xOy坐標(biāo)面上的橢圓，所以叫做橢圓柱面.（2）表示一個(gè)柱面，母線平行于z軸，準(zhǔn)線為xOy坐標(biāo)面上的雙曲線，所以叫做雙曲柱面.（3）表示一個(gè)柱面，母線平行于z軸，準(zhǔn)線為xOy坐標(biāo)面上的拋物線.所以叫做拋物柱面.作業(yè)題：

指出下列方程表示的軌跡名稱，并畫出圖形：

（1）（2）（3）（4）；

.；

；

§2.4 空間曲線的方程

一、普通方程

1.空間曲線，可以看成兩個(gè)曲面的交線.設(shè)方程組

是這樣的兩個(gè)曲面方程，它們相交于曲線L.上述方程組表示一條空間曲線L的方程，我們稱它為空間曲線的普通方程（一般方程）.2.由代數(shù)知識(shí)知道，任何方程組的解，也一定是與它等價(jià)的方程組的解，所以空間曲線L可以用不同形式的方程組表示.二、參數(shù)方程

1.在空間建立了坐標(biāo)系后, 設(shè)矢函數(shù)內(nèi)變動(dòng)時(shí)，的徑矢都可由t的某個(gè)值通過?b)為參數(shù).2.因?yàn)榭臻g曲線上點(diǎn)的徑矢

或

=x(t)+y(t)

+z(t)，當(dāng)t在區(qū)間a?t?b的終點(diǎn)M(x(t), y(t), z(t))全部都在空間曲線L上；反過來，空間曲線L上的任意點(diǎn)

來表示, 則把它叫做空間曲線L的矢量式參數(shù)方程，其中t(a?t的分量為{x(t), y(t), z(t)}，所以空間曲線的參數(shù)方程常寫成

(a?t?b)

此表達(dá)式叫做空間曲線的坐標(biāo)式參數(shù)方程，其中t為參數(shù).三、射影柱面

通過空間曲線L作柱面，使其母線平行于坐標(biāo)軸Ox, Oy或Oz軸，設(shè)它們的方程分別為

F1(y, z)=0, F2(x, z)=0, F3(x, y)=0

這三個(gè)柱面分別叫做曲線L對(duì)yOz, xOz與xOy坐標(biāo)面的射影柱面，因此由所表示的曲線L，可以用它對(duì)三個(gè)坐標(biāo)面的任意兩個(gè)射影柱面來表示.代數(shù)上從兩個(gè)三元方程中消去一個(gè)元，其幾何意義就是求空間曲線的射影柱面.例1.有一質(zhì)點(diǎn)，沿著已知圓錐面的一條直母線, 自圓錐的頂點(diǎn)起，作等速直線運(yùn)動(dòng)，另一方面這一條母線在圓錐面上，過圓錐的頂點(diǎn)繞圓錐的軸（旋轉(zhuǎn)軸）作等速的轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)在圓錐面上的軌跡叫做圓錐螺線.試建立圓錐螺線的方程.解：如圖2-6，取圓錐頂點(diǎn)為原點(diǎn)，軸線為z軸建立坐標(biāo)系，設(shè)圓錐角為2?，從而?=?，旋轉(zhuǎn)角速度為?，直線速度為v，動(dòng)點(diǎn)的初始位置在原點(diǎn).設(shè)經(jīng))＝? t, |

|＝v t，時(shí)間t后動(dòng)點(diǎn)到P點(diǎn)，過P作xOy面上的射影Q，則(從而有

(0?t <+?)

例2.有兩條互相直交的直線l1與l2，其中l(wèi)1繞l2作螺旋運(yùn)動(dòng)，即l1一方面繞l2作等速轉(zhuǎn)動(dòng)，另一方面又沿著l2作等速直線運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)中l(wèi)1永遠(yuǎn)保持與l2直交，這樣由l1所畫出的曲面叫做螺旋面，試建立螺旋面的方程.解：如圖2-7，取l2為z軸建立坐標(biāo)系，并設(shè)l1在運(yùn)動(dòng)到某時(shí)刻t0時(shí)與x軸重合，令角速度為?，直線速度為v，時(shí)間t取作參數(shù).假定在時(shí)刻t時(shí)l1位置如圖，P(x, y, z)為l1上任意點(diǎn)，其在xOy面上的射影為Q，在z軸上射影（l1與l2在此刻的交點(diǎn)）為R，則 || = vt，|

| =u.從而有

(??

作業(yè)題：

1.平面 與 的公共點(diǎn)組成什么軌跡？

2.求下列空間曲線對(duì)三個(gè)坐標(biāo)面的射影柱面方程：

（1）

（2）

3．指出下列曲面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線是什么曲線？（1）；

（2）；

（3）

.第三章平面與空間直線

教學(xué)目的

1、深刻理解在空間直角坐標(biāo)系下平面方程是一個(gè)關(guān)于x,y,z的三元一次方程；反過來任何一個(gè)關(guān)于x,y,z的三元一次方程都表示一個(gè)平面。直線可以看成兩個(gè)平面的交線，它可以用兩個(gè)相交平面的方程構(gòu)成的方程組來表示；

2、掌握平面與空間直線的各種形式的方程，明確方程中常數(shù)（參數(shù)）的幾何意義，能根據(jù)決定平面或決定直線的各種導(dǎo)出它們的方程，并熟悉平面方程的各種形式的互化與直線各種方程形式的互化；

3、能熟練地根據(jù)平面和直線的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)判別有關(guān)點(diǎn)、平面、直線之間的位置關(guān)系與計(jì)算它們之間的距離和交角。

教學(xué)重點(diǎn)平面與空間直線的方程求法及點(diǎn)、平面、直線之間的相關(guān)位置 教學(xué)難點(diǎn)平面與空間直線各種形式方程的互化

參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 10

第三章

平面與空間直線

這一章是本課程的主要內(nèi)容之一，我們將用代數(shù)的方法定量地研究空間最簡(jiǎn)單而又最基本的圖形——平面與空間直線，建立它們各種形式的方程，導(dǎo)出空間的點(diǎn)、平面與空間直線之間位置關(guān)系的解析表達(dá)式，給出距離、夾角等計(jì)算公式.本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)為：

平面的方程

直線的方程

相關(guān)位置→→

§3.1平面的方程

教學(xué)目的

1、理解在空間直角坐標(biāo)系下平面方程是一個(gè)關(guān)于x,y,z的三元一次方程，反過來，任何一個(gè)關(guān)于x,y,z的三元一次方程都表示一個(gè)平面；

2、會(huì)求平面的各種方程（參數(shù)式、點(diǎn)位式、三點(diǎn)式、截距式、一般式、點(diǎn)法式及法式）；

3、掌握平面的一般式與法式方程的互化。

教學(xué)重點(diǎn)平面的點(diǎn)位式、一般式和法式方程及其轉(zhuǎn)化方法 教學(xué)難點(diǎn)平面各種方程之間的互化 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08 授課課時(shí) 2

§3.1 平面的方程

一、平面的點(diǎn)位式方程

1.在空間給定了一點(diǎn)M0(x0, y0, z0)與兩個(gè)不共線矢量＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2 }, 那么通過點(diǎn)M0且與矢量,平行的平面?就被唯一確定，矢量, 叫做平面的方位矢量.這個(gè)概念與中學(xué)幾何中的“兩條相交直線確定一個(gè)平面”是一致的.2.如圖3-1, 在空間取標(biāo)架{O;＝坐標(biāo)式參數(shù)方程為 ，}，則平面的矢量式參數(shù)方程為

+u+v，(其中u, v為參數(shù)).3.平面?的方程還可表示為(，)＝0和

＝0.它們和2中的方程一起都叫做平面的點(diǎn)位式方程.4.由不共線三點(diǎn)Mi(xi, yi, zi)(i＝1,2,3)確定的平面?的三點(diǎn)式方程為

＝＋u（－)＋v（）.(－,－,)＝0，＝0，或

＝0.5.平面的截距式方程為 ＋＋＝1，其中a, b, c（abc≠0）分別叫做平面在三坐標(biāo)軸上的截距.二、平面的一般方程

空間平面的基本定理： 空間中任一平面的方程都可表示成一個(gè)關(guān)于變數(shù)x, y, z的一次方程；反過來，每一個(gè)關(guān)于變數(shù)x, y, z的一次方程都表示一個(gè)平面.方程

Ax + By + Cz + D = 0

(A, B, C不全為0)

叫做平面的一般方程.證明：因?yàn)榭臻g任意平面都可以由它上面的一個(gè)點(diǎn)M0(x0, y0, z0)與兩個(gè)方位矢量＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2 }確定，因而方程可以寫為成：

Ax+By+Cz+D=0，＝0.此方程展開就可寫其中A =，B=，C=.因?yàn)?不共線，所以A，B，C不全為零，這表明空間中任一平面的方程都可表示成一個(gè)關(guān)于變數(shù)x, y, z的一次方程；

反過來，在方程Ax+By+Cz+D=0中，因?yàn)锳，B，C不全為零，不妨設(shè)A≠0，則有

A2（x+）+Aby +AC z=0，即

顯然，它是由一點(diǎn)M0(的平面.＝0., 0, 0)與兩個(gè)方位矢量＝{B, －A, 0}，＝{C, 0, －A }確定

三、平面的點(diǎn)法式方程

1.如果在空間給定一點(diǎn)M0和一個(gè)非零矢量，那么通過點(diǎn)M0且與矢量垂直的平面唯一地被確定.把與平面垂直的非零矢量叫做平面的法矢量或簡(jiǎn)稱平面的法矢.這個(gè)概念與中學(xué)幾何中的“過一點(diǎn)與已知直線垂直的平面是唯一確定的”一致.2.如圖3-2, 在空間直角坐標(biāo)系{O;，}下，設(shè)點(diǎn)M0的徑矢＝，平面?上任意一點(diǎn)M的徑矢為＝，且M0(x0, y0, z0), M(x, y, z)，則

?(－)＝0 或 A(x－x0)+B(y－y0)+C(z－z0)＝0 都叫做平面的點(diǎn)法式方程.3.如圖3-3, 如果平面上點(diǎn)M0特殊地取自原點(diǎn)O向平面?所引垂線的垂足P, 而?的法矢量取單位法矢量，當(dāng)平面不過原點(diǎn)時(shí)，則 的正向取為與相同；當(dāng)平面過原點(diǎn)時(shí)，|＝p，的正向在垂直于平面的兩個(gè)方向中任取一個(gè)，設(shè)|?－p＝0

叫做平面的矢量式法式方程.如果設(shè)＝{x, y, z}，＝{cos?, cos?, cos?}, 則

xcos? + ycos? + zcos?－p＝0

叫做平面的坐標(biāo)式法式方程或簡(jiǎn)稱法式方程.4.把平面的一般方程 Ax+By+Cz+D＝0化為法式方程的方法如下：

以法式化因子 ?＝

（在取定符號(hào)后）乘以方程Ax+By+Cz+D＝0可得法式方程：

.其中?的選取，當(dāng)D?0時(shí)，使?D＝－p<0，即?與D異號(hào)；當(dāng)D＝0時(shí)，?的符號(hào)可以任意選取（正的或負(fù)的，一般選與A同號(hào)，若還有A＝0，則選與B同號(hào)等等）.例1.求通過M1(1, －1, －5)和M2(2, 3, －1)且垂直于xOz坐標(biāo)面的平面?的方程.解：取定點(diǎn)為M1(1,－1,－5)，方位矢量為＝{0,1,0}和

＝{1, 4, 4}，故有

＝0，即 4x―z―9＝0.例2.已知兩點(diǎn)A(a1, a2, a3)和B(b1, b2, b3)，求分別過AB的中點(diǎn)、兩個(gè)三等分點(diǎn)且與AB垂直的平面方程.解：取＝{a1－b1,a2－b2,a3－b3}為所求平面的法矢量, AB的中點(diǎn)是

M 兩個(gè)三等分點(diǎn)是 , ，M2，設(shè)P(x, y, z)為平面上任意點(diǎn)，則過M, M1, M2分別與AB垂直的平面的點(diǎn)法式方程為 M

1＝0或 ＝0，＝0或 ＝0，＝0或

化成坐標(biāo)式方程分別為

＝0.(a1－b1)(a1－b1)+(a2－b2)+(a2－b2)

+(a3－b3)+(a3－b3)

＝0.＝0.(a1－b1)+(a2－b2)+(a3－b3)＝0.例3.已知三角形頂點(diǎn)為A(0, －7, 0), B(2, －1, 1), C(2, 2, 2), 求平行于△ABC所在的平面且與它相距為2個(gè)單位的平面方程.解：△ABC所在的平面方程為

＝0 或 3x－2y＋6z－14＝0.設(shè)M(x, y, z)為所求平面上的任意一點(diǎn)，依題意有 ，3x－2y＋6z－14＝?14，故所求的平面方程有兩個(gè)：

3x－2y＋6z＝0 和3x－2y＋6z－28＝0.例4.求與原點(diǎn)距離為6個(gè)單位，且在三坐標(biāo)軸Ox, Oy與Oz上的截距之比為a:b:c＝－1:3:2的平面.解：依題意可設(shè)所求平面為 ，6x－2y－3z＋6k＝0，以法式化因子 ?＝? 乘以上式兩端

從而

?＝6, k＝?7 故所求的平面方程有兩個(gè)

6x－2y－3z ? 42＝0.例5.平面 ＝1分別與三個(gè)坐標(biāo)軸交于A, B, C, 求

△ABC的面積.解：依題意有A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c), 則

＝{－a, b, 0}, 所以

S△ABC＝＝||＝

|{bc, ac, －ab}|.＝{－a, 0, c}, 例6.設(shè)從坐標(biāo)原點(diǎn)到平面 ++=1的距離為p，求證 +

+

=

.證明：將++－1=0化為法線式

＋依題意有

＋－＝0，＝p，整理即得 ++=.作業(yè)題：

1.如果兩個(gè)一次方程(a－3)x+(b+1)y+(c－2)z+8＝0和(b+2)x+(c－9)y+(a－3)z－16＝0表示同一平面，試確定a, b, c的值.2.已知A(a1, a2, a3)及B(b1, b2, b3)，分別求過A、B且與AB垂直的平面的方程.3.原點(diǎn)O在所求平面上的正射影是P(a, b, c)，求平面方程.4.已知一平面過點(diǎn)M0.(x0, y0, z0)，且在x軸、y軸上的截距分別是a、b, 求其方程.§3.2平面與點(diǎn)的相關(guān)位置 §3.3 兩平面的相關(guān)位置

教學(xué)目的

1、理解點(diǎn)與平面的離差與距離概念及求法；

2、掌握判別點(diǎn)與平面、兩平面位置關(guān)系的方法；

3、會(huì)求兩平面的交角與距離。

教學(xué)重點(diǎn) 點(diǎn)與平面的離差和兩平面的位置關(guān)系 教學(xué)難點(diǎn) 點(diǎn)與平面的離差 參考文獻(xiàn)(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓(xùn)練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學(xué)出版社，2000.08

授課課時(shí) 1

§3.2 平面與點(diǎn)的相關(guān)位置

一、位置關(guān)系

1.空間中兩點(diǎn)Mi(xi, yi, zi)(i=1,2)的位置關(guān)系，有且只有兩種情況，就是重合或不重合，重合的條件是兩點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等；在不重合時(shí)兩點(diǎn)間的距離為

||＝.2.空間中平面與點(diǎn)的位置關(guān)系，有且只有兩種情況，就是點(diǎn)在平面上，或點(diǎn)不在平面上，點(diǎn)在平面上的條件是點(diǎn)的坐標(biāo)滿足平面方程，點(diǎn)不在平面上時(shí)要考慮點(diǎn)到平面的離差，點(diǎn)到平面的距離.二、離差和距離

1.如圖3-4, 如果自點(diǎn)M0到平面?引垂線，垂足為Q，那么矢量射影叫做點(diǎn)M0與平面?的離差（或有向距離），記做?＝射影.2.點(diǎn)M0與平面?：?＝

?

＝0間的離差為 －p.在平面?的單位法矢量

上的其中 ＝.3.點(diǎn)M0(x0, y0, z0)與平面?：xcos+ycos?+zcos?－p＝0間的離差是

?＝x0cos+y0cos?+z0cos?－p.4.點(diǎn)M0(x0, y0, z0)與平面?： Ax+By+Cz+D＝0間的距離為

d＝|?|＝.5.平面?：Ax+By+Cz+D=0把空間劃分為兩部分，對(duì)于某一部分的點(diǎn)Ax+By+Cz+D>0；而對(duì)另一部分的點(diǎn)則Ax+By+Cz+D<0，在平面?上的點(diǎn)Ax+By+Cz+D＝0.例1.計(jì)算點(diǎn)M(－2, 4, 3)與平面?：2x－y＋2z＋3＝0間的離差和距離.解：將?化為法式方程

－所以

? ＝－(－2)+ ?4－

x + y－z－1＝0.，?3－1＝－

.例2.求通過x軸且與點(diǎn)M(5, 4, 13)相距8個(gè)單位的平面方程.解：由題意，設(shè)所求平面方程為 By + Cz＝0, 則

＝8，22平方化簡(jiǎn)

48B－104BC－105C＝0，(12B－35C)(4B+3C)＝0, 得

B＝，或

B＝－C, 故所求平面方程為 35y+12z＝0 及 3y－4z＝0.例3.求原點(diǎn)關(guān)于平面6x+2y－9z+121＝0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).解：將平面方程法式化

－，d＝| ? |＝則 ＝{, －, }，p＝11.設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為O?(x0, y0, z0)，由對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)可有＝2p, 即{x0, y0, z0}＝{－12, －4, 18}，故所求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為O?(－12, －4, 18).例4.判別點(diǎn)M(2, －1, 1)和N(1, 2, 3)在由下列相交平面所構(gòu)成的同一個(gè)二面角內(nèi)，還是分別在相鄰二面角內(nèi)，或是分別在對(duì)頂二面角內(nèi)？

(1)?1：3x－y +2z－3＝0與 ?2：x－2y－z＋4＝0；(2)?1：2x－y +5z－1＝0與 ?2：3x－2y+6z－1＝0.解法一：設(shè)點(diǎn)M與平面?1, ?2間的離差分別為?M1, ?M2, 點(diǎn)N與平面?1, ?2間的離差分別為?N1, ?N2，則

M與N在同一二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)?M1?N1>0且?M2?N2>0；

M與N在相鄰二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)?M1?N1>0且?M2?N2<0, 或?M1?N1<0且?M2?N2>0;M與N在對(duì)頂二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)?M1?N1<0且?M2?N2<0.（1）把?i(i＝1,2)法式化

?1：?2：－

x－x＋

y+y+

z－z－

＝0, ＝0, , 則

?M1＝, ?M2＝－, ?N1＝－, ?N2＝－由于

?M1?N1<0 且 ?M2?N2>0, 所以M, N在相鄰二面角內(nèi).（2）把?i(i＝1, 2)法式化

?1：?2：

x－

＝0，y+z－＝0，x－y+z－則

?M1＝, ?M2＝, ?N1＝－, ?N2＝－, 由于

?M1?N1<0 且 ?M2?N2<0, 所以M, N在對(duì)頂二面角內(nèi).解法二：設(shè)f1(x, y, z)＝3x－y+2z－3, f2(x, y, z)＝3x－2y+6z－1.則 M, N在同一二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)f1M f1N>0且f2M f2N>0；

M, N在相鄰二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)f1Mf1N>0且f2M f2N<0, 或f1M f1N<0且f2M f2N>0;M, N在對(duì)頂二面角內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)f1M f1N<0且f2M f2N<0.其中f1M表示f1(x, y, z)在M點(diǎn)的函數(shù)值，其余類似.(1)由于f1M＝6, f1N＝－8, f2M =7, f2N=4，f1M f1N<0且f2M f2N>0，所以M, N在相鄰二面角內(nèi)

(2)類似討論得M, N在對(duì)頂二面角內(nèi).例5.試求由平面?1: 2x－y+2z－3＝0與?2: 3x＋2y－6z－1＝0所構(gòu)成二面角的角平分面方程，在此二面角內(nèi)有點(diǎn)M(1, 2,－3).解：設(shè)P(x, y, z)為角平分面上任意一點(diǎn)，則依題意

＝，7(2x－y+2z－3)＝?3(3x+2y－6z－1).設(shè)f1(x, y, z)＝2x－y+2z－3，f2(x, y, z)＝3x+2y－6z－1.因?yàn)樗笃椒置娣贮c(diǎn)M所在的二面角，所以點(diǎn)P與M或者在同一二面角內(nèi)或者在對(duì)頂二面角內(nèi)，于是由第4題解法二知

或

此即

或

因?yàn)?/p>

f1(1, 2, －3)＝2×1－2＋2×(－3)－3＝－9<0，f2(1, 2, －3)＝3×1+2×2－6×(－3)－1＝24>0.所以無論何種情況，f1(x, y, z)與f2(x, y, z)符號(hào)相反，從而

7(2x－y+2z－3)＝－3(3x+2y－6z－1)，整理得

23x－y－4z－24＝0.作業(yè)題：

1.證明點(diǎn)M0(x0, y0, z0)到平面?：Ax+By+Cz+D＝0的距離是

d＝.2.求與平面2x－y－z＋3＝0的離差等于－2的點(diǎn)的軌跡.3.在z軸上求一點(diǎn)，使它到M(1, －2, 0)與到平面3x－2y＋6z－9＝0的距離相等.4.求到平面2x－y＋z－7＝0和平面x＋y＋2z－11＝0距離相等的點(diǎn)的軌跡.§3.3 兩平面的相關(guān)位置

一、位置關(guān)系

1.兩平面的位置關(guān)系有：相交，平行，重合三種.2.設(shè)兩平面?i：

Aix+Biy+Ciz+Di＝0(i=1,2), 則?1, ?2的法矢量為

＝{A1, B1 ,C1}，＝{A2, B2, C2}.與

不平行）.(1)?1, ?2相交的充要條件是: A1:B1:C1 ? A2:B2:C2（(2)?1, ?2平行的充要條件是:

(3)?1, ?2重合的充要條件是:

二、夾角

＝＝

＝＝

?＝

(（∥∥).).1.如圖3-5, 在{O;，}下，兩平面的夾角為：?(?1, ?2)＝? 或(?－?)，其中?＝?(,), 量，從而

(i＝1, 2)是平面?i的法矢cos?(?1, ?2)＝?cos?＝?＝?2.兩平面?1與?2相互垂直的充要條件是：

A1A2＋B1B2＋C1C2＝0..⊥

即

例1.由cos?(?1, ?2)＝?，?1//?2的充要條件

是

＝

＝.證明：因?yàn)?/p>

?1//?2（∠(?1, ?2)＝0或?），所以 cos?(?1, ?2)＝±1, 所以

±＝±1，2222222平方得

(A1A2+B1B2+C1C2)＝(A1+B1+C1)(A2+B2+C2)，A21A22+B12B22+C21C22+2A1A2B1B2+2B1B2C1C2+2C1C2A1A2 ***222＝A1A2+B1B2+C1C2+A1B2+A1C2+A2B1+A2C1+B1C2+B2C1，整理得

222(A1B2－A2B1)＋(B1C2－B2C1)＋(C1A2－C2A1)＝0，所以

A1B2－A2B1＝0, B1C2－B2C1＝0, C1A2－C2A1＝0,