《雙曲線及其標準方程》說課稿

《雙曲線及其標準方程》說課稿1

一、教材分析

1、教材地位

本節課是新課程人教A版選修2-1第2章第三節第一課時。它是在學生學習了直線、圓和橢圓的基礎上進一步研究學習的，也為后面的拋物線及其標準方程做鋪墊。

2、教材作用（重要模型，數形結合）

圓錐曲線是一個重要的幾何模型，有許多幾何性質，這些性質在日常生活、生產和科學技術中有著廣泛的應用。同時，圓錐曲線也是體現數形結合思想的重要素材。

3、設計理念：體現素質教育的要求和新課程理念，融合“知識與技能”、“過程與方法”、“情感態度與價值觀”三維教學目標，注重學生學習過程的體驗，體現自主、合作、探究的學習方式；注重數學基本能力的培養和基礎知識的掌握，又注重數學思想與方法的教育，同時反映數學學科前沿以及與科學、技術、社會的聯系；教學過程中體現過程性評價對學生發展的作用，體現教師的有效指導作用。

二、目標分析

1、知識與技能目標

①理解雙曲線的定義

②能根據已知條件求雙曲線的標準方程。

③進一步感受曲線方程的概念，了解建立曲線方程的基本方法。

2、過程與方法目標

①提高運用坐標法解決幾何問題的能力及運算能力。

②培養學生利用數形結合這一思想方法研究問題。

③培養學生的類比推理能力、觀察能力、歸納能力、探索發現能力。

3、情感、態度與價值觀目標

①親身經歷雙曲線及其標準方程的獲得過程，感受數學美的熏陶。

②通過主動探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗，體會數學的理性和嚴謹。

③養成實事求是的科學態度和契而不舍的鉆研精神，形成學習數學知識的積極態度。

4、重點難點

基于以上分析，我將本課的教學重點、難點確定為：

①重點：感受建立曲線方程的基本過程，掌握雙曲線的標準方程及其推導方法。

②難點：雙曲線的標準方程的推導。

三、學情分析：

1、知識方面：學生已經學習直線、圓和橢圓，基本掌握了求曲線方程的一般方法，能對含有兩個根式的方程進行化簡，對數形結合、類比推理的思想方法有一定的體會。

2、能力方面：學生對基本的計算機操作較為熟練、有一定的學習基礎和分析問題、解決問題的能力，且有一定的群體性小組交流能力與協同討論學習能力。

四、教法學法分析

在教法上，主要采用探究性教學法和啟發式教學法。探究性學習就是充分利用了青少年學生富有創造性和好奇心，敢想敢為，對新事物具有濃厚的興趣的特點。讓學生根據教學目標的要求和題目中的已知條件，自覺主動地創造性地去分析問題、討論問題、解決問題。

啟發式教學法就是以啟發、引導為主，采用設疑的形式，逐步讓學生進行探究性的學習。通過創設情境，充分調動學生已有的學習經驗，讓學生經歷“觀察——猜想——證明——應用”的過程，發現新的知識，把學生的潛意識狀態的好奇心變為自覺求知的創新意識。又通過實際操作，使剛產生的數學知識得到完善，提高了學生動手動腦的能力和增強了研究探索的綜合素質。

新課程倡導“自主、合作、探究”學習，引導學生自主探索、發現知識；通過設計問題，以支撐學生積極的學習活動，幫助他們成為學習活動的主體；創設真實的問題情境，誘發他們進行探索與解決問題。并注意培養學生的動手實踐能力。

五、說教學過程

教學環節教學過程設計意圖

復習引入

這一環節既可以使學生溫故而知新，也為后面的學習做好鋪墊。

雙曲線的定義通過課本的實驗探究（以動畫形式展示），引入雙曲線的定義：平面內與兩定點的距離的差的絕對值等于常數（小于）的點的集合。

符號表示：xx

其中：焦點——；焦距——（設為）；

設常數

思考：

1、去掉“絕對值”后，點M的軌跡為什么？（用動畫展示）

2、若常數，則點M的軌跡是什么？（用動畫展示）

1、讓學生在具體的問題情境中經歷知識的形成和發展，將實際問題抽象為數學模型，并進行解釋與運用的過程。課堂教學的關鍵是要激發學生的求知欲，讓學生主動參與，發現學習。

2、通過設問，把學生逐步引入問題情景中，通過師生互動等形式，讓學生在問題中學會思考，學會學習，最終使問題得以解決。同時，問題具有一定的梯度，對學生的思考有一定的引導和啟發作用。

雙曲線的標準方程1、復習求曲線方程的一般步驟：建系、設點——列式——化簡——檢驗

2、推導焦點在x軸和y軸上的雙曲線的標準方程

學生分成兩大組，一組推導焦點在x軸上的雙曲線的標準方程，另一組推導焦點在y軸上的雙曲線的標準方程，最后交換結論。

3、比較兩種標準方程。

兩點說明：

①關系：

②如何判斷焦點的位置：看前的系數的正負，哪一項為正，則在相應的軸上。（口訣：焦點看正負！）

1、在比較如何化簡方程簡單后，我選擇放手讓學生化簡，讓學生體驗化簡方程的艱辛，經受鍛煉，嘗試成功，提高學生參與教學過程的積極性。

2、在得到雙曲線的標準方程之后，我和學生共同總結推導雙曲線標準方程的步驟，其目的是進一步強化求曲線方程的一般步驟，同時也讓學生享受成功的喜悅。

3、體現類比推理的思想．培養學生歸納總結和類比推理的能力．

4、在推導過程中我令，一是為了美化方程，使方程具有對稱性，二是為后面幾何性質的學習做鋪墊。

例題解析

例1的教學是為了讓學生清楚：求雙曲線的焦點坐標（或者是方程當中的），必須要把方程化為標準方程。

通過例2讓學生明白，求雙曲線的標準方程主要是確定兩個要素：一是雙曲線的位置，由焦點來決定；二是雙曲線的形狀，由來決定。

例3是雙曲線的實際應用，關鍵是利用雙曲線的定義來解題，要注意焦點的位置。

課堂小結

為了讓學生建構自己的知識體系，我讓學生自己概括所學的內容。我認為這樣既能培養了學生的概括能力，又能營造民主和諧的師生關系。

作業布置上交：人教版高中數學選修2--1

P61習題2、3A組第2，5題

進一步鞏固本節課所學內容

六、板書設計：

一、雙曲線的定義

二、雙曲線的標準方程

1、焦點在x軸上

2、焦點在y軸上

三、例題解析

例1

例2

例3

我選擇這樣的板書設計，其目的是讓學生清楚的認識到本節課的重要內容。

《雙曲線及其標準方程》說課稿2

一、教材分析與處理

（一）教材的地位與作用

學生初步認識圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學習是對其研究內容的進一步深化和提高。如果雙曲線研究的透徹、清楚，那么拋物線的學習就會順理成章。所以說本節課的作用就是縱向承接橢圓定義和標準方程的研究，橫向為雙曲線的簡單性質的學習打下基礎。

（二）學生狀況分析

學生在學習本節課之前，已掌握了橢圓的定義和標準方程，也曾經嘗試過探究式的學習方式，所以說從知識和學習方式上來說學生已具備了自行探索和推導方程的基礎。另外，高二學生思維活躍，敢于表現自己，不喜歡被動地接受別人現成的觀點，但同時也缺乏發現問題和提出問題的意識。

根據以上對教材和學生的分析，考慮到學生已有的認知規律，我希望學生能達到以下三個教學目標。

（三）教學目標

1、知識與技能：理解雙曲線的定義并能獨立推導標準方程；

2、過程與方法：通過定義及標準方程的挖掘與探究 ，使學生進一步體驗類比、數形結合等思想方法的運用，提高學生的觀察與探究能力；

3、情感態度與價值觀：通過教師指導下的學生交流探索活動，激發學生的學習興趣，培養學生用聯系的觀點認識問題。

（四）教學重點、難點依據教學目標，根據學生的認知規律，確定本節課的重點為理解和掌握雙曲線的定義及其標準方程。

難點為雙曲線標準方程的推導。

（五）教材處理

我對教學內容作了一點調整：教材中是借用細繩畫出的雙曲線圖形，而我改用幾何畫板畫出雙曲線圖形。因為相比之下，幾何畫板更為形象直觀。通過幾何畫板，學生不僅可看到雙曲線形成的過程，而且較易看出橢圓與雙曲線的聯系和區別。

二、教學方法與教學手段

（一）教學方法

著名數學家波利亞認為：“學習任何東西最好的途徑是自己去發現。”雙曲線的定義和標準方程與橢圓很類似，學生已經有了一些學習橢圓的經驗，所以本節課我采用了“啟發探究”式的教學方式。

重點突出以下兩點：

1、以類比思維作為教學的主線

2、以自主探究作為學生的學習方式

（二）教學手段

采用多媒體輔助教學，體現在用幾何畫板畫雙曲線。但不是單純用動畫給學生看，而是通過動畫啟發引導學生進行思考，調動學生學習的積極性。

三、教學過程與設計

為達到本節課的`教學目標，更好地突出重點，分散難點，我將教學過程分為四個階段。

（一） 知識引入---- 知識回顧、觀察動畫、概括定義在課的開始我設置了這樣幾個問題，以幫助學生進行知識回顧：

1、橢圓的第一定義是什么？定義中哪些字非常關鍵？

2、橢圓的標準方程是什么？

3、如何判斷焦點位置？a、b、c是何種關系？

通過回顧，既檢測了學生對前面知識的掌握情況，同時又為下面雙曲線的學習做好鋪墊。之后，告訴學生：今天要學習一種新的曲線。打開幾何畫板，首先通過動畫讓學生再一次回顧橢圓的生成過程，然后改變圖中的條件，將F1,F2距離變大，動畫生成一種新的曲線，學生易看出該曲線為雙曲線。雙曲線的定義其實就是動點所滿足的關系，那么雙曲線的定義是什么？也就是動點所滿足的關系是什么？這個問題可讓學生進行探究。解決這個問題有兩個難點：一是距離的運算關系的得出；二是運算關系的簡化。在探究中，學生類比橢圓會想到動點到兩定點的距離差為定值，會認為這個定值必是正值，而會忽視距離差為負值的情況，其實這只能得到雙曲線的一支。對于這種情況，我會采取啟發引導，把P從一支移到另一支，然后讓學生再次思考自己得到的關系是否正確。在引導下，學生會想到動點到兩定點的距離差為正值或正值的相反數。但這個關系能不能加以簡化？學生這個時候會聯想到可利用絕對值進行簡化。這樣就得到了動點所滿足的較為精煉的關系，也就是得到了雙曲線的定義。這一設計讓學生先形象直觀地看到橢圓與雙曲線的形成過程，在此基礎上，再通過教師的引導，生就可在觀察思考中一步一步地由感性認識上升到理性認識，最終得到雙曲線定義，從而培養了學生的觀察能力及概括能力。另外，這一設計也在形的方面實現了橢圓與雙曲線的比較，也為下面雙曲線定義的挖掘及兩種曲線的對比打下基礎。隨著雙曲線定義的得出，教學進入第二階段---知識探索

（二） 知識探索---- 定義的挖掘、標準方程的推導、方程的對比

1、定義的挖掘

在這一環節中，我們要認識到定義中的絕對值和兩點間距離與常數的大小關系二者對曲線的影響。

首先，我設置了這樣兩個問題：

（1）類比橢圓尋找雙曲線定義中的關鍵字；

（2）若分別去掉這幾個關鍵字曲線會發生怎樣變化？

《雙曲線及其標準方程》說課稿3

一、教材分析與處理

1、教材的地位與作用

學生初步認識圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學習是對其研究內容的進一步深化和提高。如果雙曲線研究的透徹、清楚，那么拋物線的學習就會順理成章。所以說本節課的作用就是縱向承接橢圓定義和標準方程的研究，橫向為雙曲線的簡單性質的學習打下基礎。

2、學生狀況分析：

學生在學習這節課之前，已掌握了橢圓的定義和標準方程，也曾經嘗試過探究式的學習方式，所以說從知識和學習方式上來說學生已具備了自行探索和推導方程的基礎。另外，高二學生思維活躍，敢于表現自己，不喜歡被動地接受別人現成的觀點，但同時也缺乏發現問題和提出問題的意識。

根據以上對教材和學生的分析，考慮到學生已有的認知規律我希望學生能達到以下三個教學目標。

3、教學目標

（1）知識與技能：理解雙曲線的定義并能獨立推導標準方程；

（2）過程與方法：通過定義及標準方程的挖掘與探究 ，使學生進一步體驗類比及數形結合等思想方法的運用，提高學生的觀察與探究能力；

（3）情感態度與價值觀：通過教師指導下的學生交流探索活動，激發學生的學習興趣，培養學生用聯系的觀點認識問題。

4．教學重點、難點

依據教學目標，根據學生的認知規律，確定本節課的重點是理解和掌握雙曲線的定義及其標準方程。難點是雙曲線標準方程的推導。

5、教材處理：

我對教學內容作了一點調整：教材中是借用細繩畫出的雙曲線圖形，而我改用幾何畫板畫出雙曲線圖形。因為相比之下，幾何畫板更為形象直觀。通過幾何畫板，學生不僅可看到雙曲線形成的過程，而且較易看出橢圓與雙曲線形成的聯系和區別。

二、教學方法與教學手段

1、教學方法

著名數學家波利亞認為：“學習任何東西最好的途徑是自己去發現。”

雙曲線的定義和標準方程與橢圓很類似，學生已經有了一些學習橢圓的經驗， 所以本節課我

采用了“啟發探究”式的教學方法，重點突出以下兩點：

（1）以類比思維作為教學的主線

（2）以自主探究作為學生的學習方法

2、教學手段

采用多媒體輔助教學。體現在用幾何畫板畫雙曲線。但不是單純用動畫演示給學生看，而是用動畫啟發引導學生思考，調動學生學習的積極性。

三、教學過程與設計

為達到本節課的教學目標，更好地突出重點，分散難點，我把教學過程分為四個階段。

（一）知識引入---- 知識回顧、觀察動畫、概括定義

在課的開始我設置了這樣幾個問題，以幫助學生進行知識回顧：

（1）橢圓的第一定義是什么？定義中哪些字非常關鍵？

（2）橢圓的標準方程是什么？

雙曲線及其標準方程（第一課時）

教學目標：

1．掌握雙曲線的定義，能說出其焦點、焦距的意義；

2．能根據定義，按照求曲線方程的步驟推導出雙曲線的標準方程，熟練掌握兩類標

準方程；

3．能解決較簡單的求雙曲線標準方程的問題； 4．培養學生觀察、分析、歸納和邏輯推理能力。

教學重點：雙曲線的定義和標準方程。

教學難點：雙曲線標準方程的推導過程。

教學過程：

一、創設情景，引入新課： 師：我們先來思考這樣一個問題：（打開幾何畫板）已知定點F1(?1,0)和F2(1,0)，定圓C1的圓心為F1，且半徑為r，動圓C2過定點F2，且與定圓相切。

（1）若r?4，試求動圓圓心的軌跡；（2）若r?1，試求動圓圓心的軌跡。（教師結合幾何畫板演示分析）：

師：當r?4時，我們得到的軌跡是什么？

生：是橢圓。

是：為什么？

生：因為當r?4時動圓C2內切于定圓C1，所以兩個圓的圓心距MF1滿足

MF1?4?MF2，移項后可以得到：MF1?MF2?4滿足橢圓的定義，所以得到的軌跡是一個以F1、F2為定點，4為定長的橢圓。

師：很好。那么，當r?1呢，此時動圓C2與定圓C1相切有幾種情況？

生：有兩種情況：內切和外切。

師：我們先來考察兩圓外切時的情況（演示），我們得到的軌跡滿足什么條件？

生（同時教師板書）：由于兩圓外切，所以兩個圓的圓心距MF1滿足 MF1?1?MF2，移項后可以得到：MF1?MF2?1。(教師演示軌跡)師：我們再來考察兩圓內切時的情況（演示），我們得到的軌跡又滿足什么條件？

生（同時教師板書）：由于兩圓內切，所以兩個圓的圓心距MF1滿足 MF1?MF2?1，移項后可以得到：MF1?MF2??1。(教師演示軌跡)師（同時演示兩種情況下的軌跡）：我們可以得到與定圓相切且過定點的動圓的圓心滿足MF1?MF2??1即MF1?MF2?1，圓心的軌跡我們稱之為雙曲線。

二、新課講解：

1、定義給出

師：今天我們來學習雙曲線。同學們能否結合剛才的問題給雙曲線下個一般定義？

生：雙曲線是到平面上兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數的點的軌跡。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距。

師：由橢圓的定義，一般情況下，我們設該常數為2a。那么什么情況下表示的是雙曲線的右支，什么情況下表示的是雙曲線的左支？

生：當MF1?MF2?2a時，表示的是雙曲線的右支，當MF1?MF2??2a時，表示的是雙曲線的左支。

2、定義探究

（教師引導學生分情況討論）： 師：這個常數2a有沒有限制條件？

生：有。這個常數2a要比焦距F1F2小。師：很好。為什么要有這個限制條件呢？其他情況會是怎樣的呢？我們一起來分析一下：

（1）若a=0，則有MF1?MF2?0即MF1?MF2，此時軌跡為線段F1F2的中垂線；

（2）若2a=F1F2,則有MF1?MF2??F1F2，此時軌跡為直線F1F2上除去線段F1F2中間部分，以F1、F2為端點的兩條射線；

（3）若2a>F1F2,則根據三角形的性質，軌跡不存在。

3、雙曲線標準方程的推導過程：

師：我們學過求曲線的方程的一般步驟，現在我們一起根據定義求雙曲線的標準方程。（師生互動，共同推導之）

第一步：建立直角坐標系；

第二步：設點：設M(x，y)，焦點分別為F1(?c,0)和F2(c,0)，M到焦點的距離差的絕對值等于2a；

第三步：啟發學生根據定義寫出M點的軌跡構成的點集： P?MMF1?MF2??2a；

第四步：建立方程：(x?c)2?y2?(x?c)2?y2??2a；

ab教師強調：我們得到了焦點在x軸上，且焦點是F1(?c,0)和F2(c,0)的雙曲線標準方程為x2a2b2 師：那么如果焦點在y軸上呢？（學生練習）

y2x2 生（練習后）：此時的標準方程應該是2?2?1(a?0,b?0)。

ab 4．雙曲線標準方程的探討：

師：剛才我們共同推導了雙曲線的標準方程。請同學想一下，雙曲線標準方程中字母a、b、c的關系如何？是不是a?b？ ?y2?1(a?0,b?0)，這里c2?a2?b2 ?? 第五步：化簡，得到

x22?y22?1(a?0,b?0)

生：a、b、c滿足等式c2?a2?b2，所以有a2?c2?b2，可以得到a,b?c，但不能判斷a?b。師：很好。我們在求雙曲線標準方程過程中還發現，確定焦點對求雙曲線方程很重要。那么如何根據方程判定焦點在哪個坐標軸上呢？

y2x2x2y2 生：由于焦點在x軸和y軸上標準方程分別為2?2?1和2?2?1，我們發現焦點所在軸相

abab關的未知數的分母總是a，所以可以由a來判定。

x2y2??1，那么你如何尋找a？

師：很好。如果我們知道的方程是32 生：因為a所在的這一項未知數的系數是正的，所以只要找正的系數就可以了。

x2y2???1呢？

師：如果方程是32 生：先化成標準方程。

師：請同學總結一下。生：化標準，找正號。5．運用新知：

y2x2??1表示雙曲線，則m的取值范圍是__________，此時

【練習】已知方程9m?1雙曲線的焦點坐標是________________，焦距是________________；

【變式】若將9改成2?m，則m的取值范圍是________________________。

【例1】已知雙曲線兩個焦點的坐標為F1(?5,0)、F2(5,0)，雙曲線上一點P到F1、F2的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程。

解：因為雙曲線的焦點再x軸上，所以設它的標準方程為 x22ab 因為2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。?y22?1(a?0,b?0)，所以b2?52?32?16，x2y2??1。

所以所求雙曲線的標準方程為916 【變式】已知兩個定點的坐標為F1(?5,0)、F2(5,0)，動點P到F1、F2的距離的差

等于6，求P點的軌跡方程。

解：因為PF1?PF2?6，所以P的軌跡是雙曲線的右支，設雙曲線標準方程為??1(a?0,b?0)，a2b2 因為2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。x2y2 所以b2?52?32?16，x2y2??1(x?3)。

所以所求P點的軌跡方程為916【例2】已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線上兩點P1、P2的坐標分別為

9(3,?42)、(,5)，求雙曲線的標準方程。

4解：因為雙曲線的焦點在y軸上，所以設所求雙曲線的標準方程為

y2x2 2?2?1(a?0,b?0)，ab 因為點P1、P2在雙曲線上，所以點P1、P2的坐標適合方程，代入得： ?(?42)232?2?1?2ab2????a?162 ?可解得：?。?9?2?????b?9425????2?12?b?ay2x2??1。

所以所求雙曲線得標準方程為：169【變式】已知雙曲線的焦點在坐標軸上，并且雙曲線上兩點P1、P2的坐標分別為

9（分情況討論）(3,?42)、(,5)，求雙曲線的標準方程。4 【練習】（1）?ABC一邊兩個端點是B(0,6)和C(0,?6)，頂點A滿足AB?AC?8，求A的軌跡方程。

（2）?ABC一邊的兩個端點是B(0,6)和C(0,?6)，另兩邊所在直線的斜率之積是

4，求頂點9A的軌跡。

三、本課小結：

師：我們總結一下本節課我們學了什么？

生：

1、雙曲線的定義；

2、雙曲線標準方程推導過程；

3、運用已有知識解決一些

簡單的問題。

四、作業：

課本P108：2、3、4 問題：一炮彈在M處爆炸，在F1、F2處聽到爆炸聲。已知兩地聽到爆炸聲的時間差為2s，又知兩地相距800m，并且此時的聲速為340m/s，那么M點一定在哪條曲線上？