第一篇：平面解析幾何

? 《“平面解析幾何”復(fù)習(xí)教學(xué)的目標(biāo)與設(shè)計》的學(xué)習(xí)心得體會

本人學(xué)習(xí)了《“平面解析幾何”復(fù)習(xí)教學(xué)的目標(biāo)與設(shè)計》的視頻，感觸很深。授課老師能深入淺出的分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)高三復(fù)習(xí)的方法及注意點，并對相關(guān)知識的專題內(nèi)容進(jìn)行分析，并對體系進(jìn)行很好整理。在培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)意識、掌握函數(shù)的思維方法、學(xué)會運(yùn)用函數(shù)思想解決問題方面提出見解。對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題蘊(yùn)含的核心觀點、思想和方法進(jìn)行剖析。通過學(xué)習(xí)，我認(rèn)為在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要努力做好如下幾方面的工作。

? ?

一、《解析幾何》的教育價值

隨著時代的發(fā)展，人們對數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育本質(zhì)的認(rèn)識在不斷地發(fā)展、變化與更新，數(shù)學(xué)已經(jīng)從單純的工具演變提升為所有公民所必備的一種精神、一種文化、一種觀念、一種思維方式，因此數(shù)學(xué)教育純粹向?qū)W生傳授知識和解題方法的單一化目標(biāo)正在被包含“文理融合，德智兼顧，完善人格，提高素養(yǎng)”在內(nèi)的多元化、立體化目標(biāo)所取代.《解析幾何》正是在這些方面顯示出非凡的教育價值.? 美國應(yīng)用數(shù)學(xué)家M·克萊因在他的名著《西方文化中的數(shù)學(xué)》中指出：“數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神.正是這種精神，激發(fā)、促進(jìn)、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度，也正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會生活；試圖回答人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻和最完美的內(nèi)涵.”

? 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》[1]在開頭也明確指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分”，“高中數(shù)學(xué)課程對于認(rèn)識數(shù)學(xué)與自然界、數(shù)學(xué)與人類社會的關(guān)系，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、文化價值，提高提出問題、分析問題、解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識具有基礎(chǔ)性的作用.”

? 提到數(shù)學(xué)的理性精神，不能不說說愛因斯坦震撼人心的論述：“為什么數(shù)學(xué)比其它一切科學(xué)更受到特殊的重視？一個理由是，它的命題是絕對可靠和無可爭議的，而其它一切科學(xué)的命題在某種程度上都是可爭辯的，并且經(jīng)常處于被新發(fā)現(xiàn)的事物推翻的危險之中.”《解析幾何》的所有命題就具有“連上帝”都認(rèn)為“絕對可靠”與“無可爭議”的理性特征.? 世界文明全方位的進(jìn)步越來越離不開數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)技術(shù)與數(shù)學(xué)思維.不僅自然科學(xué)與技術(shù)依靠著數(shù)學(xué)，就是社會人文科學(xué)也大量應(yīng)用著數(shù)學(xué)的理念、方法與思維方式.正如日本著名學(xué)者、數(shù)學(xué)教育家米山國藏所說：“我搞了多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們在初中、高中接受的數(shù)學(xué)知識因畢業(yè)進(jìn)入社會后，幾乎沒有什么機(jī)會應(yīng)用這些作為知識的數(shù)學(xué)，通常是出校門不到

一、兩年就很快忘掉了.然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，惟有深深銘刻于腦中的數(shù)學(xué)精神，數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法和著眼點等，都隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益.”精辟深邃的見解在《解析幾何》中得到淋漓盡致的體現(xiàn).? 文[2]說：“數(shù)學(xué)在人類文明史中一直是一種主要的文化力量.?人類歷史上每一個重大事件的背后都有數(shù)學(xué)的身影：哥白尼的日心說，牛頓的萬有引力定律，無線電波的發(fā)現(xiàn)，三權(quán)分立的政治結(jié)構(gòu)，?等都與數(shù)學(xué)思想有密切的聯(lián)系.” ? 十六、七世紀(jì)，許多數(shù)學(xué)家在思考，能否找到一種可以解決所有數(shù)學(xué)問題的統(tǒng)一方法.雖然許多數(shù)學(xué)家沒有獲得成功，但在長期思索、探尋的過程中孕育著一項超越前人的，數(shù)學(xué)發(fā)展史，乃至科學(xué)發(fā)展史上劃時代、里程碑式的偉大成果，這就是法國數(shù)學(xué)家笛卡兒創(chuàng)立的《解析幾何》.? 笛卡兒長期思考用代數(shù)方法來研究幾何問題.1619年11月10日傍晚，他在朦朧中觀察蜘蛛在墻角結(jié)網(wǎng)，那縱橫交錯的蛛絲網(wǎng)絡(luò)引發(fā)了他的靈感，那不正是“用代數(shù)方法來研究幾何問題”的絕佳工具嗎？基于此種構(gòu)想，平面直角坐標(biāo)系以及解決幾何圖形問題的坐標(biāo)法、解析法應(yīng)運(yùn)而生，“數(shù)”和“形”神奇地結(jié)合了起來，函數(shù)、方程實現(xiàn)了視覺化、形象化；曲線與幾何圖形實現(xiàn)了數(shù)量化.點、線和曲線的運(yùn)動與數(shù)量變化融為一體，并達(dá)到完美的境界，“動”與“靜”的辨證關(guān)系被刻畫得惟妙惟肖.對此，恩格斯給予了極高的評價：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分立刻成為必要的了.”[3]

? 有了平面直角坐標(biāo)系，在函數(shù)的研究中可充分發(fā)揮其圖像的優(yōu)勢，在方程的研究中又可發(fā)揮對應(yīng)圖形的優(yōu)勢，真是數(shù)形結(jié)合，優(yōu)勢互補(bǔ)，如虎添翼、相得益彰.有了平面直角坐標(biāo)系，可以將復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)表示在平面內(nèi)，構(gòu)建出復(fù)平面，使復(fù)數(shù)的研究逐步提升能到一個前所未有的高度.有了平面直角坐標(biāo)系，隨著函數(shù)研究的逐步深入，發(fā)明了導(dǎo)數(shù)，于是推動現(xiàn)代化科學(xué)技術(shù)發(fā)展的微、積分誕生了.有了平面直角坐標(biāo)系，人們又將平面向量表示成坐標(biāo)(x，y)，那么平面向量的所有運(yùn)算都可以實現(xiàn)坐標(biāo)化，使有關(guān)問題的解決變得更加簡捷流暢，這是向量研究的重大突破.平面直角坐標(biāo)系又發(fā)展到空間直角坐標(biāo)系，于是誕生了空間向量、空間解析幾何.完全可以說，對大到宇宙天體中各種星球的運(yùn)行，小到物質(zhì)的分子原子的結(jié)構(gòu)以及電子運(yùn)動的研究，都可以歸結(jié)為對函數(shù)及其圖像、曲線及其方程的研究，都是以坐標(biāo)系為重要工具，都與《解析幾何》結(jié)下了不解之緣.下面的框圖以濃縮的方式揭示的就是源于坐標(biāo)系而發(fā)展成的“一棵參天大樹”.? ? ? ?

? 進(jìn)入高中的學(xué)生，隨著知識、技能、思想和閱歷的逐漸豐富，思維水平的長足提升，審美意識的開始樹立，辨證唯物主義世界觀的逐步形成，將實現(xiàn)從幼稚蒙昧的少年“破繭化蛹成蝶”的巨變，在學(xué)生整個人生發(fā)展的這個非常關(guān)鍵的時期，《解析幾何》的教學(xué)正是促進(jìn)學(xué)生這種巨變的重要推動力.? 數(shù)學(xué)思維是人的綜合素質(zhì)中最重要的組成部分，廣闊性、深刻性、敏捷性、縝密性、創(chuàng)造性、批判性等數(shù)學(xué)思維的各種特性在《解析幾何》中都有極為豐富的背景內(nèi)容.從《解析幾何》中提煉出的各種數(shù)學(xué)思想可在極大的程度上豐富學(xué)生的大腦.從《解析幾何》中反映出的數(shù)學(xué)美是隨處可見的，問題是要能去發(fā)現(xiàn)、揭示和欣賞，并用這種美激發(fā)興趣，引發(fā)思維的創(chuàng)造.數(shù)學(xué)中充滿辨證法，對立統(tǒng)一的法則、矛盾的普遍性與特殊性、偶然性與必然性、矛盾雙方在一定條件可以互相轉(zhuǎn)化、量變到質(zhì)變等哲學(xué)基本原理，在《解析幾何》中都可以找到大量生動鮮活的實例.教師高瞻遠(yuǎn)矚、縱橫捭闔，巧妙地將這些內(nèi)容編織進(jìn)課堂教學(xué)之中，學(xué)生在感到賞心悅目、情趣盎然的同時，更會覺得自己的“思維得以運(yùn)用到最完善的程度”，這是思維與各種能力趨于成熟的標(biāo)志.? ?

二、《解析幾何》的教學(xué)建議

對《解析幾何》教育、教學(xué)價值的深刻理解，可使教師形成一種高屋建瓴的磅礴氣勢，能高瞻遠(yuǎn)矚地洞悉整個教材的體系，以便將《解析幾何》當(dāng)作一部“長篇巨著”，然后再將它創(chuàng)編為一集集既相互獨(dú)立，又有內(nèi)在聯(lián)系的“電視連續(xù)劇”，設(shè)計并實施科學(xué)性與藝術(shù)性雙具的一節(jié)節(jié)教學(xué)精品，以取得最大限度的教育、教學(xué)效益.為此，提出《解析幾何》教學(xué)的一些建議.? ? 1 突出主線 副線交叉 和諧統(tǒng)一

《解析幾何》的靈魂是“解析”，即用代數(shù)方法研究幾何圖形的坐標(biāo)法，這是貫穿于《解析幾何》教學(xué)的一條主線.但這條主線又與多條副線交叉組合，構(gòu)成了和諧統(tǒng)一的有機(jī)系統(tǒng).?(1)認(rèn)識并處理好函數(shù)及其圖像與曲線及其方程的聯(lián)系與區(qū)別.雖然這兩者都是以坐標(biāo)系為紐帶，但函數(shù)y=f(x)與二元方程F(x，y)=0有著本質(zhì)的區(qū)別.直線x=a與函數(shù)y=f(x)的圖像最多只能有一個公共點，而直線x=a與方程F(x，y)=0的曲線的公共點卻可以超過一個.在一定條件下，曲線方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù).如由方程x2+y2=R2可解得，但這卻不能稱為函數(shù)，只有

與

? 才能稱為函數(shù).在這里，函數(shù)與方程、函數(shù)的圖像與方程的曲線實現(xiàn)了溝通.在解決有關(guān)弦長、圖形的面積、直線的斜率、離心率的問題中，常轉(zhuǎn)化為對目標(biāo)函數(shù)的求解與研究.可見函數(shù)與《解析幾何》結(jié)下了不解之緣，函數(shù)堪稱《解析幾何》中的一號副線.?(2)一般方程堪稱《解析幾何》中的二號副線.在研究曲線位置關(guān)系的問題中，常轉(zhuǎn)化為對一元二次方程的討論，判別式△的幾種情況、根與系數(shù)的關(guān)系就成了解決《解析幾何》中的“常客”.?(3)不等式堪稱《解析幾何》中的三號副線.不等式的性質(zhì)、不等式的求解、不等式的證明、均值不等式的應(yīng)用與《解析幾何》的綜合問題常處于各級各類考試試卷的把關(guān)位置.?(4)三角函數(shù)堪稱《解析幾何》中的四號副線.直線傾斜角、直線方程中x、y的系數(shù)中常含三角函數(shù)、圓的方程x2+y2=R2與橢圓方程? ?

a＞b＞0)的參數(shù)形式 等

都與三角函數(shù)有著密切的親緣關(guān)系.(5)平幾知識的頻繁介入.求動點的軌跡、解決有關(guān)圖形的問題，常與平幾圖形聯(lián)袂，“小小的”平幾知識常成為解決大問題的杠桿.直角三角形、等腰直角三角形、平行四邊形、線段的中點常在《解析幾何》問題中扮演著重要“角色”.?(6)《解析幾何》的問題常與平面向量的運(yùn)算、平行、垂直、夾角等攜手組成絢麗多姿的綜合題.(7)《立體幾何》與《解析幾何》的綜合.近年來發(fā)現(xiàn)一些與《立體幾何》有關(guān)的軌跡問題，是“立體”與“解析”兩大幾何的聯(lián)手，值得關(guān)注.在高中數(shù)學(xué)的選修部分，更進(jìn)一步揭示了圓錐曲線與圓錐的淵源關(guān)系，是拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)視野、豐富數(shù)學(xué)手段、發(fā)展思維的良機(jī).?

? ?(8)數(shù)列知識的介入.雖然這類問題不是太多，但也應(yīng)值得重視.2 重研究對象，更重數(shù)學(xué)方法

? 從對象看，《解析幾何》研究的無非是直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線，但在研究它們的各種性質(zhì)與解決有關(guān)問題的過程更要重

? ? ? ? ? 視數(shù)學(xué)方法的構(gòu)建與應(yīng)用.最重要的、處于核心位置的 數(shù)學(xué)方法當(dāng)屬坐標(biāo)法，如右面的 框圖所示.以直角坐標(biāo)系為工具，實現(xiàn)幾何條件的代數(shù)化，得到曲線(動點的軌跡)的方程，又在直角坐標(biāo)系中結(jié)合方程研究曲線的性質(zhì)，深入理解這個方法的精髓，所有研究對象的性質(zhì)將成為顯然的幾何事實，記憶、掌握與運(yùn)用就變得十分自然、順暢.? 以坐標(biāo)法為樞紐，還要輔以若干重要的支線，總結(jié)一些另外的典型方法也是十分必要的.?(1)設(shè)直線l：y=kx+b與曲線 C：F(x，y)=0，常消去y，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，那么研究直線l與曲線C的位置關(guān)系就轉(zhuǎn)化為對這個方程的解的研究.當(dāng)△＞0時，直線l與曲線C有不同的兩個交點A(x1，y1)、B(x2，y2)，則|AB|=

.特別地，當(dāng)k=1時，|AB|=，? =圖形中出現(xiàn)了等腰直角三角形.? 這就是著名的弦長公式，給長度、面積、最值，特別是求范圍等問題的解決提供了方便.但思維不可僵化，有時直線l的方程也可設(shè)為x=my+a，則可巧妙地避免對直線的斜率是否存在的繁瑣討論，當(dāng)然這時的弦長公式就變?yōu)閨AB|=

.?

? 類似的結(jié)論固然須牢固掌握，但更重要的是要帶領(lǐng)學(xué)生一起來追尋它們形成的“歷史足跡”，重視與突出其推導(dǎo)過程.(2)增強(qiáng)應(yīng)用圓錐曲線定義的意識.現(xiàn)以橢圓為例.在坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點F1(-c，0)、F2(c，0)，若動點M(x，y)滿足|MF|+|MF|=2a(a＞c＞0)① ? ?

? 經(jīng)代數(shù)化，得 ②

? 則可化得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.? ? 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又可變形為在將②式化為標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，有一個過度式

③，?

? ? 進(jìn)而可化為 ④

結(jié)合圖1，那么①②兩式以不同的形式展示了橢圓的第一定義，④ ? 式展示的是橢圓的第二定義，③式即，展示的是橢圓

? 的另一定義，不妨稱之為橢圓的第三定義.由④式還可得|MF2|=a-ex，其中

? 的就是橢圓的離心率.這樣就將橢圓的三個定義與橢圓的準(zhǔn)線、離心

? 率、橢圓的焦半徑公式融為一體，組成一個完整的知識體系.不過，在③式中，由于x≠±a，所以必須增補(bǔ)點(a，0)與(-a，0)，才能得到一個完整的橢圓.?(3)“將幾何條件代數(shù)化”當(dāng)然是求動點軌跡的最重要的基本方法，但此外還要總結(jié)另外一些典型的方法，如定義法、參數(shù)法、反代法.現(xiàn)僅以反代法為例，闡述其基本形式.? 設(shè)已知曲線C：F(x，y)=0上的一動點P(x0，y0)，Q(x，y)是與P相關(guān)的動點，則求點Q的軌跡方程按以下步驟進(jìn)行：

? 1o正代：由已知得F(x0，y0)=0 ①

?o

求相關(guān)

條件方程組：由P與Q的相關(guān)條件得

?

?

? 3o求反代式：由上述方程組解得用x、y表示x0、y0的反代式 ?

? 4o反代置換：將反代式代入①式，即得Q點的軌跡方程F(h1(x，y)，s1(x，y))=0.?(4)曲線的切線越來越受到重視.圓的切線自不必說，其他曲線的切線，一方面可用上面(1)所說的△=0來解決，但更值得關(guān)注的是有關(guān)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的切線的問題，常用導(dǎo)數(shù)方法來解決.?(5)一個典型奇特的方法，即同構(gòu)式的應(yīng)用.限于篇幅，這里僅舉一例.? A、B是拋物線y=x2的上的兩個動的動點，O是原點，若OA⊥OB，過O作OH⊥AB于H，求H點的軌跡方程.? ? ? ? ? 設(shè)A(t1，)、B(t2，)，由OA⊥OB易得t1t2=-1 ①

.②

③ 以O(shè)A為直徑的圓的方程是化為

同理，由以O(shè)B為直徑的圓的方程，得②③兩式中，只是t的下標(biāo)數(shù)字不同，其余的結(jié)構(gòu)完全相同，兩式一“碰撞”，下標(biāo)消失，得

? ?

④

則t1、t2是關(guān)于t的方程④的兩根，所以t1t2=-(x2+y2)，結(jié)合①式，立即得x2+y2=1(x≠0).這就是欲求的H點的軌跡方程.②③兩式叫做同構(gòu)式，從初中到高中，無數(shù)問題的解答都可以仰仗同構(gòu)式的奇特功能.這里展示的是同構(gòu)式的最單純的形式，當(dāng)然還有許多變化，但再復(fù)雜的相關(guān)問題其基本原理與之是一致的.? ?

? ? 3 體現(xiàn)學(xué)生的“四個主體”

“四個主體”指的是樹立學(xué)生的主體精神，強(qiáng)化學(xué)生的主體意識，確立學(xué)生的主體地位，發(fā)揮學(xué)生的主體作用.弘揚(yáng)學(xué)生的“四個主體”，但決不意味著削弱教師的主導(dǎo)作用，反而對教師的主導(dǎo)作用提出了更高層次的要求.僅舉一個課例：《直線的傾斜角和斜率》.? 在講授選擇傾斜角的什么三角函數(shù)值為直線的斜率時，學(xué)生會質(zhì)疑，為什么不選正弦或余弦，而偏要選正切？教師不可用“這是規(guī)定”來搪塞，而要發(fā)動學(xué)生進(jìn)行深入的討論、爭辯，教師以平等的身份參與其中，用詼諧幽默的語言進(jìn)行點撥、啟發(fā)、誘導(dǎo)和評析.? 直線傾斜角的取值范圍是，現(xiàn)在分別畫出y=sinx、y=cosx、y=tanx在區(qū)間上的圖像(如圖2、3、4)，讓它們來個“公開、公平、公正、透明的競聘”，看到底哪個函數(shù)能“勝出”.? ? y=sinx在區(qū)間上的值都是非負(fù)的，且對于不同的角，可能有相同的函數(shù)值，它失去了“當(dāng)選”的資格；y=cosx在區(qū)間上的值域為-1，1]，且=0，而當(dāng)傾斜角為時，直線垂直于x軸，此時說“直線的斜率為0”，不合情理，它也不具備“勝出”的條件；可是y=tan在與上分別是增函數(shù)，對應(yīng)于直線斜率從負(fù)無窮逐漸增大到0；從0逐漸增大到正無窮，而當(dāng)垂直于x軸，tan情合理地認(rèn)定tan? ?

時，直線

不存在，即直線的斜率不存在，直線就一點也不傾斜了，多么自為直線的斜率.然與和諧！學(xué)生哈哈大笑，在笑聲中領(lǐng)悟了多方面知識的實質(zhì)，并達(dá)成了共識，合4 優(yōu)化思維品質(zhì)是教學(xué)的核心內(nèi)容

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，所有知識、技能、思想的理解、接受、掌握與運(yùn)用都有著思維活動的深刻與豐富的背景，所以在《解析幾何》教學(xué)的始終都要將這個重要目標(biāo)放在首位.? 前文中的所有框圖雖然不必向?qū)W生講述，但只有當(dāng)教師深刻理解后才能做到“底氣足”、理直氣壯.選擇傾斜角的正切函數(shù)作為直線的斜率涉及覆蓋了眾多的知識與技能.體現(xiàn)的是思維廣闊性.? 關(guān)于橢圓的三個定義的討論，將原本似乎彼此無關(guān)的內(nèi)容納入到一個體系之中，反映的是思維的深刻性.在不同的問情境中迅速識別、判斷與檢索，如應(yīng)用反代法、同構(gòu)式，是思維敏捷性的體現(xiàn).在求動點軌跡方程時，需要去掉那些點，補(bǔ)上哪些點，以保證軌跡與方程的完備性與純粹性，反映的是思維的縝密性.直線方程設(shè)為x=my+a、由方程②③判斷t1、t2是關(guān)于t的方程④的兩根，不拘一格、別出心裁，顯示的是思維的創(chuàng)造性.檢驗軌跡和方程是否保證完備性與純粹性、拋物線等圓錐曲線的定義中的“定點”必須在“定直線外”、橢圓定義中的“定長”必須“大于|F1F1|”等，顯示的都是思維的批判性.?

?

?

?

? ? 5 用數(shù)學(xué)的人文精神關(guān)懷學(xué)生的人文發(fā)展

數(shù)學(xué)雖然是理科，但其中飽含的人文精神對于學(xué)生綜合素養(yǎng)的提高起著舉足輕重的作用.關(guān)鍵是要做到有機(jī)結(jié)合、潛移默化、潤物無聲.前文談到笛卡兒創(chuàng)立了《解析幾何》，竟將時間精確到年、月、日與“傍晚”時刻，使這個故事更具震撼力與穿透力.教師還可“借題發(fā)揮”：笛卡兒的創(chuàng)造看似偶然，? 但必然性包含在偶然性之中，偶然的創(chuàng)造發(fā)明是長期殫精竭慮、思索探尋的必然結(jié)果.請問笛卡兒是在多大歲數(shù)時作出了這項創(chuàng)造？學(xué)生會回應(yīng)：23歲！那么“有志不在年高，無志空長百歲”的箴言則躍然紙上.? 恩格斯說：“數(shù)學(xué)中充滿辨證法.”又說：“數(shù)學(xué)：辨證的輔助工具和表現(xiàn)形式.”[4]，所以文[1]規(guī)定了高中數(shù)學(xué)教育的一項重要目標(biāo)，那就是樹立學(xué)生的“辯證唯物主義的世界觀.”

? “學(xué)生聽不懂所講解的辯證法”，這種擔(dān)心是多余的，只要你理解透徹了，結(jié)合具體鮮活形象的事例，運(yùn)用通俗淺顯的語言，學(xué)生是能領(lǐng)會的.如直線l：y=kx+b，若k是變量，b是常量，則直線l就在平面內(nèi)圍繞點(0，1)作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動；若b是變量，k是常量，則直線l就在平面內(nèi)作斜率為定值的平行移動.這種“動中寓靜，變中求定”的特征就是對立統(tǒng)一法則的生動體現(xiàn).? 再如“量變到質(zhì)變”的基本原理，在《解析幾何》中可找到無數(shù)生動的事例.點與直線的位置關(guān)系、點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、兩圓的位置關(guān)系、曲線與曲

? ? 線的位置關(guān)系，都能深入淺出地揭示這一原理.再如圖5，設(shè)平面內(nèi)的一 條定直線l以及l(fā)外的一個定點F，平面內(nèi)的動點P、Q、R到直線l的距

? 離分別為PN、QN、RN，若，則P點的軌跡是橢圓；若1，? ? 則Q點的軌跡是拋物線；若，則R點的軌跡是雙曲線.量的不斷

積累，超越一定的界值，就會發(fā)生質(zhì)的變化，或說飛躍，淺顯之中反映的是深刻的道理，且能引發(fā)諸多聯(lián)想.另外，數(shù)學(xué)美對于情操的熏陶、數(shù)學(xué)美對于創(chuàng)造思維的誘發(fā)、優(yōu)良的意志品質(zhì)在解決問題過程的巨大作用、對科學(xué)真理不懈的追求與舍命的堅持、為全球人類造福的獻(xiàn)身精神，都可以巧妙地融入《解析幾何》的教學(xué)之中.?

? 行文至此，深深地感到，通過《解析幾何》的教學(xué)，可實現(xiàn)師生的互惠雙贏。

第二篇：有關(guān)平面解析幾何的心得體會（xiexiebang推薦）

心得體會 有關(guān)平面解析幾何

上周六有幸聽張老師老師的課，感悟頗深。雖然自己一直研究的是數(shù)學(xué)，但并沒有真正思考如何在教學(xué)中灌輸給學(xué)生數(shù)學(xué)思維。同時也發(fā)現(xiàn)自己的知識處于一種混亂的狀態(tài)，雖然每次都能把題解出來，但仔細(xì)一想其實不然。當(dāng)自己不是一個學(xué)生，而是教學(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，如何解決一道數(shù)學(xué)題甚至是一道高考題的時候，自己更應(yīng)深入思考數(shù)學(xué)帶給我們什么，難道僅僅是解對一道題而已嗎？數(shù)學(xué)到底是什么？當(dāng)意識到這個問題后，再次面對數(shù)學(xué)題的時候，我們更應(yīng)該關(guān)注的是題目背后的內(nèi)容，當(dāng)某天不在為了解決一道數(shù)學(xué)題的時候，我們收獲了什么？

在自己之前的教學(xué)中學(xué)生不乏出現(xiàn)這樣的情況：哎呀，這道題昨天還會解呢，今天就忘了；這個知識點怎么不記得了......，而且有時自己碰到一時想不起如何解題的時候，也會這么問自己，聽了張鶴老師的課后，頓然大悟—數(shù)學(xué)不應(yīng)該是用記得，是需要理解的，不存在忘與不忘的問題，只有理解與不理解的問題。當(dāng)一個知識點徹底的搞明白原理和涉及到的數(shù)學(xué)思維時，無論碰到什么樣的變式題，都應(yīng)該做到萬變不離其宗的境界，當(dāng)然了，這個境界對學(xué)生來講是很高的。目標(biāo)很高，難道我們就不去做了嗎？不然，學(xué)生的學(xué)習(xí)和思維過程是一個循序漸進(jìn)的過程，在教學(xué)過程中，我們應(yīng)該不斷的灌輸給學(xué)生的是數(shù)學(xué)思想和思維，讓學(xué)生明白的不僅僅是這個知識點可以解決什么類型的題，而且更應(yīng)該明白的是這個知識點為什么這樣呈現(xiàn)，它所呈現(xiàn)的思維特點和方法是什么。

拿平面解析幾何來說，它的基本思想是用代數(shù)方法解決幾何問題。何為代數(shù)方法？就是將如直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線等這些基本的幾何對象代數(shù)化，在平面直角坐標(biāo)系中建立它們的方程，從幾何特征轉(zhuǎn)化到代數(shù)計算。在這個基本思想指導(dǎo)下，學(xué)生學(xué)完平面解析幾何后，遇到題目，腦子里第一閃過的不應(yīng)該是聯(lián)立方程，解方程這種機(jī)械的解決方法，而應(yīng)該是歸納概括出要解決的幾何對象的幾何特征，從幾何背景、幾何圖形的特征入手，然后在考慮下一步。回到實際情況中，要想讓學(xué)生熟練的歸納出要解決幾何對象的幾何特征，不像說這句話這么容易。在實際教學(xué)中，常常會出現(xiàn)這樣的情況：學(xué)生知道要這么做，要這么思維，在草稿紙上羅列了一堆幾何特征，可就是想不出解決問題所需要的幾何特征！這個問題暴露出來的就是做題量不夠，要想熟練掌握數(shù)學(xué)思維，不能僅僅知道有什么數(shù)學(xué)思維就行了，更重要的是在實踐中感悟這種思維，在題目中它是怎么體現(xiàn)的，這需要學(xué)生做大量的題，從實踐中自己歸納出來，這才是最重要的。

第三篇：高中平面解析幾何有效教學(xué)策略分析オ

高中平面解析幾何有效教學(xué)策略分析オ

平面解析幾何是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，它是一門鍛煉學(xué)生解析能力、計算能力和作圖能力的綜合性學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時也是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題思想的思維鍛煉性學(xué)科.本文通過圖例結(jié)合的方式，聯(lián)系實際教學(xué)，詳細(xì)地闡述了高中平面解析幾何的教學(xué)策略和教學(xué)方式.高中解析幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點和難點，由于它的題目思維鍛煉量大，題型靈活，所以部分同學(xué)難以完全理解平面解析幾何的解題方式，這也給老師的教學(xué)帶來了較大的困難.想要做到有效的教學(xué)，就應(yīng)該做到數(shù)圖結(jié)合，總結(jié)歸納簡潔明了的教學(xué)策略.這樣才能促進(jìn)教學(xué)進(jìn)程的推進(jìn).一、靈活利用平面幾何中的定義進(jìn)行解答

定義是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，根據(jù)長時間的教學(xué)經(jīng)驗，能夠靈活利用定義并嚴(yán)謹(jǐn)遵循定義進(jìn)行解題的學(xué)生，往往在碰見變化多樣的難度較高的題型時，同樣可以做出漂亮的答案.就以下面的平面解析幾何中的最值問題為例.已知直線a滿足4x-3y+11=0，直線b滿足x=-1，同時，一個動點P在曲線C：y2=4x上運(yùn)動，求動點P到直線a、b距離之和的最小值.根據(jù)定義，我們可以迅速畫出曲線圖.從P點向直線b作垂線段PQ，連結(jié)PF，動點P到直線b的距離可以轉(zhuǎn)化為線段PF，這樣便可看出距離和的最小值為F到直線a的距離d=3.所以，定義法是平面解析幾何中的金鑰匙，因為在定義法中明確的標(biāo)明了定直線與定點以及定點與頂點間距離不變的關(guān)系，想要用最簡潔方便的方法解出這道題的答案，就應(yīng)該熟練掌握定義，并巧妙地加以運(yùn)用，迅速找到最值問題中的突破口.而突破口一旦找到，問題也就迎刃而解.定義在數(shù)學(xué)中是最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇嬖冢磺袉栴}的延伸都依靠著定義的支撐.而定義有時卻是最繞口難懂，讓學(xué)生們最容易忽略的存在.部分老師有時甚至?xí)谡n堂上說“要是定義不懂就算了，能解題就行”之類的話，這樣不僅是給學(xué)生們一個錯誤的導(dǎo)向，更是大大降低了學(xué)生們的探知欲望.由此可見，定義的了解是多么重要，老師們在平時的教學(xué)中同樣也需要加以重視.[HJ]

三、不忽略備課的過程

對于高中平面幾何的教學(xué)，一般老師都擁有較多的參考書，上課講解的題目一般也是直接從參考書上照搬下來，有些老師不進(jìn)行備課，直接按照數(shù)學(xué)書上的步驟講解，不給學(xué)生進(jìn)行解題方法的拓展，甚至有時部分老師會直接讓學(xué)生看著書理解.這樣做不僅不能提高教學(xué)的效率，還會打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.俗話都說“磨刀不誤砍柴工”，想要幫助學(xué)生“砍去”平面解析幾何這棵大樹，就不應(yīng)該荒廢教學(xué)備課這個“磨刀”的過程.同時，也只有備好課，認(rèn)真篩選上課時講解的內(nèi)容，才能在課堂上用最精簡的時間，教出最好的效果，學(xué)生也能最大可能的吸收最多的知識.所以，想要在平面解析幾何中達(dá)到最有效的教學(xué)，備課是不可缺少的部分.高中平面幾何不僅是以后大學(xué)幾何學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)習(xí)近平面幾何更是能夠鍛煉到學(xué)生們的空間能力和思維能力.平面幾何帶給學(xué)生們的有利影響是長久性的.想要學(xué)生學(xué)好平面幾何，除了平時的練習(xí)，更離不開老師的有效教學(xué).老師在引導(dǎo)學(xué)生的道路上任重而道遠(yuǎn).

第四篇：解析幾何

清華大學(xué)校長畢業(yè)致辭

字號: 小 中 大 發(fā)布: 2009-04-08 23:10:20 查看(1129)/ 評分(6 / 0)/ 我要評論(3)個人分類: 心意小語

清華校長送給畢業(yè)生5句話——未來的世界：方向比努力重要，能力比知識重要，健康比成績重要，生活比文憑重要，情商比智商重要！

方向比努力重要

現(xiàn)在是講究績效的時代，公司、企業(yè)、政府，需要的是有能力且能與企業(yè)方向共同發(fā)展的人，而不是一味努力但卻南轅北轍的人。自己適合哪些行業(yè)，哪些職業(yè)，有很多東西是先天決定的，只有充分地發(fā)掘自己的潛力，而不是總與自己的弱點對抗，一個人才能出人頭地，就像現(xiàn)在很多企業(yè)招聘的時候，他們相信通過培訓(xùn)和教育可以讓火雞學(xué)會爬樹，但是還是覺得選只松鼠方便一些。方向不對，再努力、再辛苦，你也很難成為你想成為的那種人。

能力比知識重要

知識在一個人的構(gòu)架里只是表象的東西，就相當(dāng)于有些人可以在答卷上回答如何管理企業(yè)、如何解決棘手的問題、如何當(dāng)好市長等等，但是在現(xiàn)實面前，他們卻顯得毫無頭緒、不知所措，他們總是在問為什么會是這種情況，應(yīng)該是哪種情況等等。他們的知識只是知識，而不能演化為能力，更不能通過能力來發(fā)掘他們的潛力。現(xiàn)在很多企業(yè)都在研究能力模型，從能力的角度來觀察應(yīng)聘者能否勝任崗位。當(dāng)然，高能力不能和高績效直接掛鉤，能力的發(fā)揮也是在一定的機(jī)制、環(huán)境、工作內(nèi)容與職責(zé)之內(nèi)的，沒有這些平臺和環(huán)境，再高的能力也只能被塵封。

健康比成績重要

成績只能代表過去，這是很多人已經(jīng)認(rèn)同的一句話。對于畢業(yè)后走入工作崗位的畢業(yè)生，學(xué)生階段的成績將成為永久的獎狀貼在墻上，進(jìn)入一個工作單位，就預(yù)示著新的競賽，新的起跑線。沒有健康的身心，如何應(yīng)對變幻莫測的市場環(huán)境和人生變革，如何應(yīng)對工作壓力和個人成就欲的矛盾？而且在現(xiàn)代社會，擁有強(qiáng)健的身體已經(jīng)不是最重要的，健康的心理越來越被提上日程，處理復(fù)雜的人際關(guān)系、承受挫折與痛苦、緩解壓力與抑郁，這些都將成為工薪族乃至學(xué)生們常常面對的問題。為了防止英年早逝、過勞死，還是多注意一下身體和心理的健康投資吧。

生活比文憑重要

曾經(jīng)有一個故事，說有個記者問放羊的小孩，為什么放羊？答：為了掙錢，掙錢干啥？答：蓋房子，蓋房子干啥？答：娶媳婦，娶媳婦干啥？答:生孩子，生孩子干啥？答：放羊！

記得去年在人大聽一個教授講管理學(xué)基礎(chǔ)課，他說你們雖然都是研究生，但很多人本質(zhì)上還是農(nóng)民！大家驚愕，竊竊私語。他說你們?yōu)槭裁醋x研究生，很多人是不是想找個好工作，找好工作為了什么，為了找個好老婆，吃喝住行都不錯，然后生孩子，為了孩子的前途更光明，這些不就是農(nóng)民的樸素想法嗎？哪個農(nóng)民父母不希望自己的子女比自己更好？說說你們很多人是不是農(nóng)民思想，什么時候，你能突破這種思維模式，你就超脫了。當(dāng)這個社會看重文憑的時候，假文憑就成為一種產(chǎn)業(yè)，即使是很有能力的人，也不得不弄個文憑，給自己臉上貼點金。比起生活，文憑還重要嗎？很多人找女朋友或者男朋友，把學(xué)歷當(dāng)作指標(biāo)之一，既希望對方能夠給他/她伴侶的溫暖與浪漫，又希望他/她知識豐富、學(xué)歷相當(dāng)或更高，在事業(yè)上能蒸蒸日上；我想說，你找的是伴侶，不是合作伙伴，更不是同事，生活就是生活，這個人適合你，即使你是博士他/她斗大字不識一個，那也無所謂，適合就會和諧融洽，人比文憑更重要。很多成功的人在回頭的時候都說自己太關(guān)注工作和事業(yè)了，最遺憾的是沒有好好陪陪父母、愛人、孩子，往往還傷心落淚，何必呢，早意識到這些，多給生活一些空間和時間就可以了。我們沒有必要活得那么累。

情商比智商重要

這個就很有意思了。大家忽然一下子對情商重視了起來，因為在新的世紀(jì)，情商將成為成功領(lǐng)導(dǎo)中最重要的因素之一。比如在許多員工和自己的親人因恐怖襲擊喪生的時刻，某公司CEO Mark Loehr讓自己鎮(zhèn)定下來，把遭受痛苦的員工們召集到一起，說：我們今天不用上班，就在這里一起緬懷我們的親人，并一一慰問他們和親屬。在那一個充滿陰云的星期，他用自己的實際行動幫助了自己和他的員工，讓他們承受了悲痛，并把悲痛轉(zhuǎn)化為努力工作的熱情，在許多企業(yè)經(jīng)營虧損的情況下，他們公司的營業(yè)額卻成倍上漲，這就是情商領(lǐng)導(dǎo)的力量，是融合了自我情緒控制、高度忍耐、高度人際責(zé)任感的藝術(shù)。曾經(jīng)有個記者刁難一位企業(yè)家：聽說您大學(xué)時某門課重考了很多次還沒有通過。這位企業(yè)家平靜地回答：我羨慕聰明的人，那些聰明的人可以成為科學(xué)家、工程師、律師等等，而我們這些愚笨的可憐蟲只能管理他們。要成為卓越的成功者，不一定智商高才可以獲得成功的機(jī)會，如果你情商高，懂得如何去發(fā)掘自己身邊的資源，甚至利用有限的資源拓展新的天地，滾雪球似得積累自己的資源，那你也將走向卓越。在世界上出人頭地的人，都能夠主動尋找他們要的時勢；若找不到，他們就自己創(chuàng)造出來！

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? ? ? ? ? ? ? 彭艷：美女校長演繹的精彩（原創(chuàng)）（未經(jīng)許可，請勿轉(zhuǎn)載）(gong7266, 2009-3-03)轉(zhuǎn)載：清華大學(xué)孫立平教授的《對中國最大的威脅不是社會動蕩而是社會潰敗（更新中）》(馬津龍, 2009-3-06)校長的喟嘆(谷園春草, 2009-3-16)又見老校長(lhuihui, 2009-3-18)[轉(zhuǎn)發(fā)]校長校長，是誰束縛了你的翅膀(李玲瓏, 2009-4-01)關(guān)于中國普通高等學(xué)校的校長問題(大慶商江, 2009-4-03)高二學(xué)生被清華大學(xué)“預(yù)定”(hubert888, 2009-4-06)

第五篇：《高中數(shù)學(xué)平面解析幾何教學(xué)研討》學(xué)習(xí)小結(jié)

《高中數(shù)學(xué)平面解析幾何教學(xué)研討》學(xué)習(xí)小結(jié)

一、對“解析幾何”數(shù)學(xué)知識的深層次理解

（一）感悟解析幾何的學(xué)科特點

解析幾何學(xué)科的特點是運(yùn)用代數(shù)的方法來研究幾何圖形的性質(zhì).具體的說：過去研究兩條直線是否平行，我們通常是使用平行線的判定定理：同位角相等，則兩直線平行；內(nèi)錯角相等，則兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則兩直線平行.在解析幾何中，判斷兩條直線的位置關(guān)系，則是依據(jù)兩條直線的斜率，當(dāng)兩條直線的斜率存在時，依據(jù)斜率與截距就可以判斷兩條直線是否平行；再例如，過去判斷直線與圓是否相切，依據(jù)切線的判定定理；現(xiàn)在則可以通過聯(lián)立直線與圓的方程，通過解方程組，得出方程組的解得個數(shù)確定直線和圓的位置關(guān)系.平面直角坐標(biāo)系不僅能夠使平面上的點與有序數(shù)對建立一一對應(yīng)的關(guān)系，還可以將曲線與方程之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系，這種關(guān)系可以進(jìn)一步將圖形的幾何性質(zhì)和一些數(shù)量之間的關(guān)系建立起一種對應(yīng)的、必然的、因果的關(guān)系.（二）“解析幾何”知識結(jié)構(gòu)

解析幾何是17世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重大成果之一，是高中數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容．其實質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的重要思想．高中解析幾何的學(xué)習(xí)大致分成三個階段：學(xué)生在高一階段的必修2中學(xué)習(xí)“平面解析幾何初步”，進(jìn)入高二年級，在選修1-1或2-1中學(xué)習(xí)“圓錐曲線與方程”．理科還要學(xué)習(xí)選修 4-4“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”，高三階段，我們還對這些構(gòu)成解析幾何的經(jīng)典內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)的梳理和復(fù)習(xí)．可以看出，對解析幾何的學(xué)習(xí)不是一步到位的，體現(xiàn)了循序漸進(jìn)的原則，符合認(rèn)知規(guī)律的螺旋上升．那么，貫穿解析幾何的教學(xué)的主線在每個學(xué)段如何體現(xiàn)？如何讓學(xué)生從接觸解析幾何的第一天起，就感受到其內(nèi)容的核心與精華，了解這段內(nèi)容的學(xué)習(xí)方法和研究方法？通過學(xué)習(xí)《高中數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)研討》這門課程后，我學(xué)到很多理論，并結(jié)合平日的教學(xué)實際，對以上的幾個問題我有了更深層次的想法。

二、“解析幾何初步”的教學(xué)策略以及學(xué)生學(xué)習(xí)中常見的錯誤與問題的分析與解決策略

（一）重視曲線與方程的教學(xué)

曲線與方程的概念是解析幾何學(xué)科的理論基礎(chǔ).這部分內(nèi)容在教材中的位置是發(fā)生過變化的.課標(biāo)之前的教材基本上是將這部分內(nèi)容安排在直線的方程之后.學(xué)生對曲線與方程的概念有了初步的直觀的認(rèn)識之后再提出理論上的要求.新的課程標(biāo)準(zhǔn)是將這部分移到選修 2列.這樣的做法目的有兩個，首先是讓學(xué)生增加了直觀感受，在正式學(xué)習(xí)概念之前，有大量的實例作鋪墊.在學(xué)習(xí)了直線和圓的方程之后，才接觸曲線方程的概念.這樣學(xué)生在理論上認(rèn)識曲線與方程的概念之前就已經(jīng)有兩種曲線的感性的認(rèn)識.認(rèn)識的基礎(chǔ)比以前更加雄厚了.第二個目的就是改變了文、理科學(xué)生相同的要求的現(xiàn)象.課程標(biāo)準(zhǔn)之前的教學(xué)大綱對文科、理科的學(xué)生在這方面的要求是相同的.現(xiàn)在文科學(xué)生的選修 1-1 中刪去了曲線與方程的內(nèi)容，一方面不影響文科學(xué)生對圓錐曲線的研究，另一方面體現(xiàn)了文科、理科學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上要求的差異.對于理科學(xué)生從理論上盡可能的完善，而對文科學(xué)生的要求則側(cè)重在具體的曲線特性的研究.曲線與方程的概念一共兩句話，曲線上每一個點的坐標(biāo)都適合方程；以方程的任一組解為坐標(biāo)的點都在曲線上.在學(xué)習(xí)曲線與方程的概念的時候，教師一般都會注意純粹性與完備性，會從各個不同的角度設(shè)計例題，來鞏固落實概念.然而在結(jié)合具體的曲線學(xué)習(xí)的時候，教師對曲線與方程的概念的強(qiáng)調(diào)會有不同程度的削弱.（二）體會用代數(shù)的方法研究幾何圖形的過程

前面已經(jīng)提到教師可以適當(dāng)增加平面幾何問題的解析法證明.有一些教師因為工作需要一直在高中任教，缺乏對整個中學(xué)教材的全面了解.在對教材的把握上很難做到得心應(yīng)手，翻轉(zhuǎn)自如的境地.特別是數(shù)學(xué)的許多內(nèi)容，初中、高中的教學(xué)內(nèi)容有千絲萬縷的聯(lián)系，把握不好，教學(xué)中教師就陷入被動的地步.例如：初中階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的知識，對于上述函數(shù)的圖像已經(jīng)比較熟悉，如果我們在高中講解直線方程的幾種形式時，把學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)當(dāng)成零來處理教材，顯然是不恰當(dāng)?shù)?如果我們適量的引入一些幾何證明的問題，學(xué)生會覺得親切，與以往的知識建立了聯(lián)系.如果題目選的恰當(dāng)，恰當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)是所選的題目使用傳統(tǒng)的、學(xué)生熟悉的演繹推理的方法很難解決，但是使用解析法很簡單，想要做到這一點，需要教師研究初中的教材，積累相應(yīng)的資料，才能在教學(xué)中得心應(yīng)手.三、通過課例來談?wù)劜煌瑢W(xué)段對解析幾何思想方法的探究實踐

我們重溫了課標(biāo)對解析幾何的教學(xué)要求，在此基礎(chǔ)上討論了教材體系和教學(xué)內(nèi)容與過去大綱版的變化。如教材的分層設(shè)計，這種處理方式體現(xiàn)了循序漸進(jìn)的原則，關(guān)注學(xué)生初高中的銜接．我們認(rèn)真揣摩各學(xué)段的教學(xué)要求，在此基礎(chǔ)上，以解析幾何的思想方法為主線，以課例為載體，增加一線教師操作的可行性和實效性，對各學(xué)段解析幾何的教學(xué)內(nèi)容、要求、教法進(jìn)行具體、深入的探索研究．把理性的思考和具體的課例結(jié)合起來，開展了此次校本教研活動．三個年級的研究課題是的課題分別為：高一：直線與圓的位置關(guān)系；高二：直線與圓錐曲線；高 三：解析幾何專題研究

設(shè)計例說：

課例1：直線與圓的位置關(guān)系 研究教材：

“平面解析幾何初步”的重點是幫助學(xué)生初步體會解析幾何的思想歷程：將幾何問題代數(shù)化——處理代數(shù)問題——分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義——解決幾何題．在平面直角坐標(biāo)系中，點、直線和圓都有了代數(shù)形式，我們就可以用代數(shù)的方法來研究幾何問題了．這與初中階段我們直接借助幾何圖形來研究其形狀、大小、位置關(guān)系不同．實際上我們是在用代數(shù)方法研究平面幾何問題．另一方面，用代數(shù)方法研究問題也不是全新的、沒見過的，初中已經(jīng)將點和有序?qū)崝?shù)對建立了一一對應(yīng)關(guān)系，只是沒有系統(tǒng)地接觸解析幾何的思想方法罷了．在這里體現(xiàn)了初高中在知識上的的銜接．

教法學(xué)法分析：

在本章的前半部分，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的方程，知道在直角坐標(biāo)系中，直線和圓可以用方程表示，（從形到數(shù)）．通過方程，我們研究了直線間的位置關(guān)系，點到直線的距離等，（用數(shù)研究形）．這些處理問題的方法的共性是都需要把幾何問題代數(shù)化，先用方程表示直線和圓，然后再通過代數(shù)運(yùn)算解決有關(guān)問題.結(jié)合對例題的講解分析，我們突出用坐標(biāo)方法解決幾何問題的“三步曲”：第一步：建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.對解析幾何的思想方法有了初步體驗．這是我們繼續(xù)研究直線與圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)．

作為承上啟下的部分，這也是后面學(xué)習(xí)圓錐曲線的基礎(chǔ)．由于學(xué)習(xí)內(nèi)容由低到高有遞進(jìn)關(guān)系，我們希望前一層級的學(xué)習(xí)對后一層級有積極影響，即學(xué)生遇到新問題時，能在已有知識的基礎(chǔ)上展開探究，找到新舊的聯(lián)系，主動解決后面問題．

主要教學(xué)環(huán)節(jié)：

1、對解析幾何的研究對象、研究方法的回顧：

讓學(xué)生初步體驗解析幾何的研究方法，為以后學(xué)習(xí)圓錐曲線奠定基礎(chǔ)．

2、設(shè)置情境、問題新知：

（1）在初中，怎樣判斷直線和圓的位置關(guān)系？

這個問題是與初中知識的銜接，回憶平面幾何中如何判定直線與圓的位置關(guān)系的．

（2）通過直線和圓的方程怎樣判斷它們的位置關(guān)系？

讓學(xué)生認(rèn)識到我們是用代數(shù)方法研究幾何問題．有利于保持學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的連續(xù)性，同時開拓視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．也讓學(xué)生體驗研究位置關(guān)系的方法的多樣性．平面直角坐標(biāo)系成為溝通平面幾何、解析幾何的紐帶，對同一個問題可以從不同的角度去認(rèn)識.我們總結(jié)出兩種判斷方法：

從幾何角度，圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系刻畫直線與圓位置關(guān)系；這樣把幾何位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為距離的代數(shù)計算．

從方程觀點．利用直線與圓的方程組是否有解研究曲線間的位置關(guān)系． 本質(zhì)上說，兩種方法都是用坐標(biāo)法解決問題．

我們認(rèn)為兩種方法無所謂優(yōu)劣，強(qiáng)調(diào)在掌握共性（方程的方法）的基礎(chǔ)上注意個性（圓心距與半徑的關(guān)系）．前者更好地挖掘了圓特有的幾何特征，簡化了代數(shù)運(yùn)算，比聯(lián)立方程組的方法快捷．可以看出用解析法解幾何題時，對幾何對象的幾何特征的不同挖掘，轉(zhuǎn)化的代數(shù)形式不盡相同，帶來的解法是互異的，這在學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)中體現(xiàn)得更明顯．聯(lián)立方程組的解法有著很好的認(rèn)知基礎(chǔ)和可持續(xù)發(fā)展性．學(xué)生可以根據(jù)求兩條直線交點問題的經(jīng)驗，想到判斷直線與圓的交點個數(shù)也可以通過研究方程組的解來解決．把形的問題（求直線和圓的交點）轉(zhuǎn)化為方程組的實數(shù)解的問題（數(shù)的問題）．充分體現(xiàn)了解析幾何中利用代數(shù)方法解決幾何問題的思想方法．這個解法又成為后續(xù)研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的“通法”．

所以這里的講授突出了兩點：幾何要素（確定直線和圓的幾何要素、確定直線與圓位置關(guān)系的幾何要素）以及在幾何要素引導(dǎo)下的代數(shù)變形，最終要回到幾何上，體現(xiàn)對幾何問題的研究．例題圍繞這兩點設(shè)計：

3、例題研究： 例1．（1）直線：（2）直線：（3）直線：圍

對于（3），分析優(yōu)解：直線與圓恒有公共點圓上或圓內(nèi)．突出對圖形的認(rèn)識．

本題的設(shè)計意圖是讓學(xué)生熟知直線和圓中參數(shù)的幾何意義體會參數(shù)對求法的影響．強(qiáng)調(diào)畫圖．不是純代數(shù)的推導(dǎo)．

我們還可以引導(dǎo)學(xué)生思考：圍繞直線和圓，還會產(chǎn)生哪些新問題（如求切線、弦長等）如何解決等．

課例2：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 研究教材：

我們繼續(xù)采用高一學(xué)段研究直線與圓所用的坐標(biāo)法，通過方程組研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．直線和圓的位置關(guān)系作為直線和圓錐曲線的位置關(guān)系中的一種，在必修學(xué)段已經(jīng)做了比較系統(tǒng)的研究，其研究方法、研究思路、研究內(nèi)容等可以類比、借鑒，用來處理直線與其他圓錐曲線的位置關(guān)系．

橢圓作為三種圓錐曲線的重要代表，直線與橢圓的位置關(guān)系更是解析幾何的經(jīng)典內(nèi)容．由于它的幾何性質(zhì)比圓更復(fù)雜，所以直線與橢圓的位置關(guān)系比直線與圓的位置關(guān)系更難把握．

鑒于高三階段我們還要對這部分知識做系統(tǒng)的復(fù)習(xí)和提煉，所以這節(jié)課肩負(fù)著承上啟下的任務(wù)．

研究學(xué)生：

在學(xué)習(xí)了平面解析幾何初步的基礎(chǔ)上，學(xué)生已經(jīng)掌握了直線和圓的幾何要素和它們的代數(shù)表示．掌握了確定這些基本圖形位置關(guān)系的幾何要素，以及如何運(yùn)用代數(shù)的方法討論這些圖形之間的位置關(guān)系，學(xué)生積累了一定的用坐標(biāo)法研究幾何圖形的經(jīng)驗．

直線經(jīng)過的定點（0，1）在和和

和C：C：

C：，判斷直線與圓的位置關(guān)系． 的位置關(guān)系（）恒有公共點，求m的范在本模塊中，學(xué)生完成了橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)，再次體驗了幾何要素代數(shù)化的過程．體會了幾何直觀帶來的好處．

主要教學(xué)環(huán)節(jié)：

1、回顧復(fù)習(xí)，喚醒回憶：

（1）在必修2中我們研究了直線與圓的哪幾種位置關(guān)系？如何判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？

前一學(xué)段的學(xué)習(xí)是后一學(xué)段的基礎(chǔ)，前面的知識會在后續(xù)學(xué)習(xí)中得到鞏固、拓展和深化．學(xué)生的學(xué)習(xí)就是在這種多次反復(fù)、螺旋上升中完成的．

（2）用解析幾何的方法研究問題的思路是什么？

一節(jié)數(shù)學(xué)課應(yīng)該體現(xiàn)知識的核心內(nèi)容，包括思想方法的滲透，也是數(shù)學(xué)作為一種理性文化的核心所在．上述流程圖是解析幾何最核心的部分，理應(yīng)沉淀下來并在后續(xù)的學(xué)習(xí)中體現(xiàn)認(rèn)識的螺旋上升．

2、例題選講與練習(xí)：

我們擬從直線與封閉曲線（圓、橢圓）、直線與非封閉曲線（拋物線、雙曲線）兩方面探索直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．

例

1、已知直線：位置關(guān)系．，橢圓：，試判斷直線和橢圓的意圖1：體會幾何特征是怎樣轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式的；

意圖2：通過實例總結(jié)判斷直線與圓錐曲線交點個數(shù)的方法： 直線與圓錐曲線交點個數(shù)

直線與圓錐曲線組成的方程組解的個數(shù)．最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的個數(shù)問題．

練習(xí)：已知直線，橢圓 的長；（1）試判斷直線和橢圓的位置關(guān)系；（2）若相交，求弦分析：（1）點（0，-2）在橢圓上．與高一的課例1中，處理圓的相關(guān)問題類似．說明直線與圓錐曲線的位置關(guān)系還可以利用數(shù)形結(jié)合、以形助數(shù)的方法來解決．體現(xiàn)銜接．

（2）方法1：求出交點坐標(biāo)，用兩點間距離公式求弦長 方法2：設(shè)對交點設(shè)而不求，簡化運(yùn)算．

回顧處理圓中弦長問題的方法：由于橢圓沒有圓的完美對稱性，故在圓中利用半徑、半弦、邊心距組成的直角三角形求弦長的方法失效了．但弦長公式也適用于求與圓有關(guān)的弦長．，推導(dǎo)弦長公式，弦長

=

，例2：已知直線中點為，橢圓，相交于A、B兩點，若弦的，求中點P的軌跡方程．

思考1：如果是直線與雙曲線或拋物線，位置關(guān)系如何判斷？ 思考2：對例2的進(jìn)一步研究．如，直線和橢圓的方程不變，繼續(xù)提問:（2）若（3）若弦為坐標(biāo)原點，且的中點為，且，求直線的方程；，求直線的方程.（4）當(dāng)k=1時，問橢圓上是否存在一點，它到直線的距離的最小？最小距離是多少？

設(shè)計意圖：再次體會如何用代數(shù)方法研究幾何問題．以點帶面，解決多種相關(guān)問題．

課例3：直線與圓錐曲線復(fù)習(xí)背景分析：

高三的復(fù)習(xí)是在高

一、高二學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的再認(rèn)識．本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計應(yīng)從整體、系統(tǒng)的高度把握知識，注重知識之間的聯(lián)系，建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．我們可以以專題研究的方式避免復(fù)習(xí)在低思維層次上重復(fù)：

專題1：幾何對象如何代數(shù)化

分析體驗對幾何特征的不同角度的挖掘，轉(zhuǎn)化成的代數(shù)問題不同，解決問題的難易程度也不同．2010年北京高考題就是很好的示范． 專題2：化解代數(shù)運(yùn)算的常見思路

思想方法的學(xué)習(xí)是一個“漸悟”的過程，經(jīng)過前兩個學(xué)段潤物細(xì)無聲的滲透，力求高三階段有所“頓悟”．以專題的形式突破難點，徹底解決學(xué)生“聽得懂、想不到”、見到解析幾何題就聯(lián)立方程組，算到最后無疾而終的問題．讓學(xué)生在實踐中體會解一道解析幾何題，如何在前面的流程圖的指引下，不僅知道該做什么，更知道怎樣做！效果立竿見影。

總之，解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，對它的研究時，我們應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)起點和生長點，強(qiáng)調(diào)教學(xué)資源的整合和教學(xué)目標(biāo)層級要求的落實，這樣才能使學(xué)生真正掌握好此塊內(nèi)容。