第一篇：2014解析幾何訓練題003

解析幾何訓練題003

課標文數8.B5，H2[2011·北京卷] 已知點A(0,2)，B(2,0)．若點C在函數y＝x2的圖象上，則使得△ABC的面積為2的點C的個數為()

A．4B．3C．2D．1

課標文數8.B5，H2[2011·北京卷] A 【解析】 由已知可得|AB|＝22，要使S△ABC＝2，|x＋x2－2|2則點C到直線AB2，設C(x，x)，而lAB：x＋y－2＝0，所以有2，2

所以x2＋x－2＝±2，2當x＋x－2＝2時，有兩個不同的C點；

當x2＋x－2＝－2時，亦有兩個不同的C點．

因此滿足條件的C點有4個，故應選A.

第二篇：2014解析幾何訓練題001（共）

解析幾何訓練題001

課標理數15.H1[2011·安徽卷] 在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數，就稱點(x，y)為整點，下列命題中正確的是________(寫出所有正確命題的編號)．

①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點；

②如果k與b都是無理數，則直線y＝kx＋b不經過任何整點；

③直線l經過無窮多個整點，當且僅當l經過兩個不同的整點；

④直線y＝kx＋b經過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數； ⑤存在恰經過一個整點的直線．

課標理數15.H1[2011·安徽卷] ①③⑤ 【解析】 ①正確，比如直線y＝2x＋3，不與坐標軸平行，且當x取整數時，y始終是一個無理數，即不經過任何整點；②錯，直線y＝3x－3中k與b都是無理數，但直線經過整點(1,0)；③正確，當直線經過兩個整點時，11它經過無數多個整點；④錯誤，當k＝0，b＝時，直線y＝不通過任何整點；⑤正確，比33

如直線y3x3只經過一個整點(1,0)．

第三篇：解析幾何

清華大學校長畢業致辭

字號: 小 中 大 發布: 2009-04-08 23:10:20 查看(1129)/ 評分(6 / 0)/ 我要評論(3)個人分類: 心意小語

清華校長送給畢業生5句話——未來的世界：方向比努力重要，能力比知識重要，健康比成績重要，生活比文憑重要，情商比智商重要！

方向比努力重要

現在是講究績效的時代，公司、企業、政府，需要的是有能力且能與企業方向共同發展的人，而不是一味努力但卻南轅北轍的人。自己適合哪些行業，哪些職業，有很多東西是先天決定的，只有充分地發掘自己的潛力，而不是總與自己的弱點對抗，一個人才能出人頭地，就像現在很多企業招聘的時候，他們相信通過培訓和教育可以讓火雞學會爬樹，但是還是覺得選只松鼠方便一些。方向不對，再努力、再辛苦，你也很難成為你想成為的那種人。

能力比知識重要

知識在一個人的構架里只是表象的東西，就相當于有些人可以在答卷上回答如何管理企業、如何解決棘手的問題、如何當好市長等等，但是在現實面前，他們卻顯得毫無頭緒、不知所措，他們總是在問為什么會是這種情況，應該是哪種情況等等。他們的知識只是知識，而不能演化為能力，更不能通過能力來發掘他們的潛力。現在很多企業都在研究能力模型，從能力的角度來觀察應聘者能否勝任崗位。當然，高能力不能和高績效直接掛鉤，能力的發揮也是在一定的機制、環境、工作內容與職責之內的，沒有這些平臺和環境，再高的能力也只能被塵封。

健康比成績重要

成績只能代表過去，這是很多人已經認同的一句話。對于畢業后走入工作崗位的畢業生，學生階段的成績將成為永久的獎狀貼在墻上，進入一個工作單位，就預示著新的競賽，新的起跑線。沒有健康的身心，如何應對變幻莫測的市場環境和人生變革，如何應對工作壓力和個人成就欲的矛盾？而且在現代社會，擁有強健的身體已經不是最重要的，健康的心理越來越被提上日程，處理復雜的人際關系、承受挫折與痛苦、緩解壓力與抑郁，這些都將成為工薪族乃至學生們常常面對的問題。為了防止英年早逝、過勞死，還是多注意一下身體和心理的健康投資吧。

生活比文憑重要

曾經有一個故事，說有個記者問放羊的小孩，為什么放羊？答：為了掙錢，掙錢干啥？答：蓋房子，蓋房子干啥？答：娶媳婦，娶媳婦干啥？答:生孩子，生孩子干啥？答：放羊！

記得去年在人大聽一個教授講管理學基礎課，他說你們雖然都是研究生，但很多人本質上還是農民！大家驚愕，竊竊私語。他說你們為什么讀研究生，很多人是不是想找個好工作，找好工作為了什么，為了找個好老婆，吃喝住行都不錯，然后生孩子，為了孩子的前途更光明，這些不就是農民的樸素想法嗎？哪個農民父母不希望自己的子女比自己更好？說說你們很多人是不是農民思想，什么時候，你能突破這種思維模式，你就超脫了。當這個社會看重文憑的時候，假文憑就成為一種產業，即使是很有能力的人，也不得不弄個文憑，給自己臉上貼點金。比起生活，文憑還重要嗎？很多人找女朋友或者男朋友，把學歷當作指標之一，既希望對方能夠給他/她伴侶的溫暖與浪漫，又希望他/她知識豐富、學歷相當或更高，在事業上能蒸蒸日上；我想說，你找的是伴侶，不是合作伙伴，更不是同事，生活就是生活，這個人適合你，即使你是博士他/她斗大字不識一個，那也無所謂，適合就會和諧融洽，人比文憑更重要。很多成功的人在回頭的時候都說自己太關注工作和事業了，最遺憾的是沒有好好陪陪父母、愛人、孩子，往往還傷心落淚，何必呢，早意識到這些，多給生活一些空間和時間就可以了。我們沒有必要活得那么累。

情商比智商重要

這個就很有意思了。大家忽然一下子對情商重視了起來，因為在新的世紀，情商將成為成功領導中最重要的因素之一。比如在許多員工和自己的親人因恐怖襲擊喪生的時刻，某公司CEO Mark Loehr讓自己鎮定下來，把遭受痛苦的員工們召集到一起，說：我們今天不用上班，就在這里一起緬懷我們的親人，并一一慰問他們和親屬。在那一個充滿陰云的星期，他用自己的實際行動幫助了自己和他的員工，讓他們承受了悲痛，并把悲痛轉化為努力工作的熱情，在許多企業經營虧損的情況下，他們公司的營業額卻成倍上漲，這就是情商領導的力量，是融合了自我情緒控制、高度忍耐、高度人際責任感的藝術。曾經有個記者刁難一位企業家：聽說您大學時某門課重考了很多次還沒有通過。這位企業家平靜地回答：我羨慕聰明的人，那些聰明的人可以成為科學家、工程師、律師等等，而我們這些愚笨的可憐蟲只能管理他們。要成為卓越的成功者，不一定智商高才可以獲得成功的機會，如果你情商高，懂得如何去發掘自己身邊的資源，甚至利用有限的資源拓展新的天地，滾雪球似得積累自己的資源，那你也將走向卓越。在世界上出人頭地的人，都能夠主動尋找他們要的時勢；若找不到，他們就自己創造出來！

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? ? ? ? ? ? ? 彭艷：美女校長演繹的精彩（原創）（未經許可，請勿轉載）(gong7266, 2009-3-03)轉載：清華大學孫立平教授的《對中國最大的威脅不是社會動蕩而是社會潰敗（更新中）》(馬津龍, 2009-3-06)校長的喟嘆(谷園春草, 2009-3-16)又見老校長(lhuihui, 2009-3-18)[轉發]校長校長，是誰束縛了你的翅膀(李玲瓏, 2009-4-01)關于中國普通高等學校的校長問題(大慶商江, 2009-4-03)高二學生被清華大學“預定”(hubert888, 2009-4-06)

第四篇：《解析幾何》講稿

第一章 矢量與坐標

教學目的

1、理解矢量的有關概念，掌握矢量線性運算的法則及其運算性質;

2、理解矢量的乘法運算的意義，熟悉它們的幾何性質，并掌握它們的運算規律;

3、利用矢量建立坐標系概念，并給出矢量線性運算和乘法運算的坐標表示;

4、能熟練地進行矢量的各種運算，并能利用矢量來解決一些幾何問題。

教學重點 矢量的概念和矢量的數性積，矢性積，混合積。教學難點 矢量數性積，矢性積與混合積的幾何意義。

參考文獻(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學出版社，2000.08 授課課時 10

§1.1

矢量的概念

教學目的

1、理解矢量的有關概念;

2、掌握矢量間的關系。教學重點 矢量的兩個要素：摸與方向。教學難點 矢量的相等 參考文獻(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學出版社，2000.08

授課課時 2

§1.1 矢量的概念

一、有關概念

1.矢量

既有大小又有方向的量叫做矢量，或稱為向量，簡稱矢.而只有大小的量叫做數量，或稱為標量.2.矢量的表示

用有向線段來表示矢量，有向線段的始點與終點分別叫做矢量的始點與終點，有向線段的方向表示矢量的方向，有向線段的長度代表矢量的大小.用3.矢量的模

矢量的大小稱為矢量的模，亦稱長度.用|

二、特殊矢量

1.零矢：模為零，方向不定.2.單位矢 ：模為1，與矢量方向相同.， ,? 或黑體字a, x,? 來記矢量.|，||，||，|a|，|x| , ? 來表示.三、矢量間的關系

1.平行矢：,所在直線平行,記作 //.2.相等矢：模相等，方向相同.3.自由矢：始點任意，只由模與方向確定的矢量.4.相反矢：模相等，方向相反.5.共線矢：平行于同一直線的一組矢量.6.共面矢：平行于同一平面的一組矢量.7.固定矢量: 在解析幾何的大多數問題里，只有矢量的長度和方向發揮主要作用，而與它的起點無關，即為自由矢量.在個別情形下，有時我們只把有同一起點且相等的矢量才看作相等矢量，亦即兩矢量完全重合時才看作相等，這樣規定的矢量叫做固定矢量.需要注意，在應用科學中起點位置不同，所產生的作用也會不同，如圖1-1，同樣的力由于

作用點M1和M2的不同，效果也會不同.例1.設在平面上給了一個四邊形ABCD，點K、L、M、N分別是邊ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中點，求證：＝.當ABCD是空間四邊形時，這等式是否也成立？

證明：如圖1-2，連結AC, 則在?BAC中，KL向相同；在?DAC中，NM且

AC.與方

AC.與方向相同，從而KL＝NM與方向相同，所以＝.由于上述證明不受ABCD是平面四邊形或空間四邊形的影響，即證明過程中并未用到ABCD必須是平面四邊形的限制，故等式對空間情形也成立.例2.回答下列問題：

(1)若矢量//，//,則是否有//？(2)若矢量，共面，，也共面，則，是否也共面？

(3)若矢量，中//，則，是否共面？(4)若矢量，共線，在什么條件下，也共線？

解：(1)由//可知，,所在直線相互平行，同理,所在直線相互平行，從而,所在直線相互平行，從而有//；

(2)，不一定共面.只有當，，,不共面； ,五矢量全部在同一平面上時，共面，否則(3)//，二矢量必共面，從而，必共面；(4)只有當ABDC組成平行四邊形，即

作業題：

＝

時,才共線.1.設點O是正六邊形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、、、、、和中，哪些矢量是相等的？、2.如圖1-3，設ABCD-EFGH是一個平行六面體，在下列各對矢量中，找出相等的矢量和互為相反矢量的矢量：

(1)、;、(2)、、;

(3);

(4)、.;

(5)矢量的線性運算(§1.2 矢量的加法、§1.3 矢量的數乘)教學目的

1、掌握矢量加法的兩個法則、數量與矢量的乘法概念及運算律;

2、能用矢量法證明有關幾何命題。

教學重點 矢量加法的平行四邊形法則、數量與矢量的乘法概念 教學難點 運算律的證明、幾何命題轉化為矢量間的關系 參考文獻(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學出版社，2000.08

授課課時 2

§1.2 矢量的加法

一、概念

1.兩個例子

物理學中的力與位移都是矢量.兩個不共線的力作用于一點的合力，可用“平行四邊形法則”求得，如圖1-4, 兩個力、的合力，就是以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線矢量

.兩個位移的合成可以用“三角形法則”求出，如圖1-5, 連續兩次位移位移.2.矢量的加法法則

(1)三角形法則

設已知矢量、，以空間任意一點O為始點接連作矢量一折線OAB，從折線的端點O到另一端點B的矢量(2)平行四邊形法則

如果以兩個矢量量＝+叫做矢量與的和.、＝,＝得

與的結果, 相當于

＝，叫做兩矢量與的和，記做＝+.為鄰邊組成一個平行四邊形OACB，那么對角線矢

二、性質

1.運算規律

(1)交換律 +＝+;

(2)結合律(+)+＝+(+);(3)+＝;

(4)+(－)＝.2.矢量加法的多邊形法則 有限個矢量，?,相加，自任意點O開始，依次作

＝就是n個矢量

＝即

＝特別地, 當An與O重合時，＝3.矢量減法

＝.+

+?+

.＝, ＝,?,＝，得一折線OA1A2?An，于是矢量，?， 的和

++?+(1)設矢量與的和等于矢量，即+＝，那么矢量叫做矢量與的差，記做＝－，由矢量與求它們的差－的運算叫做矢量減法.(2)減去一個矢量等于加上它的相反矢量，即有

－＝+(－)

4.三角不等式

(1)|+|?||+||, |-|?||-||;

證明：如圖1-4, |+|=||，||+|| ＝|| +||，|-|=|根據“三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”即得.第一個不等式還可以推廣到任意有限多個矢量的情況：

(2)|++?+|?|

|+|

|+?+|

|..|；

例1.從矢量方程組中解出矢量解：類似于二元一次方程組的解法有

例2.用矢量法證明平行四邊形對角線互相平分.證明：如圖1-6，在平行四邊形ABCD中，取BD的中點O，則 ＝＋＝＋

＝

＋|＝|

＝，所以A, O, C三點共線，且|作業題：

|，從而平行四邊形對角線互相平分.1.設兩矢量與共線，試證+＝+.2.證明：四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件是對任一點O有+＝＋.§1.3 數量乘矢量

一、概念

1.數乘的例子

位移、力、速度與加速度等都是矢量，而時間、質量、面積等都是數量，這些矢量與數量之間經常會發生某些結合的關系，如公式

＝m

其中表示力，表示加速度，m表示質量；再如公式

＝t

其中表示位移，表示速度，t表示時間.2.數乘的定義

實數?與矢量的乘積是一個矢量，記做?，它的模|?|＝|?|||；?的方向，當?>0時與相同，當?<0時與相反.?＝的充要條件是?＝0或＝

.設≠，則＝||

二、性質 1.運算規律(1)

1?＝.或＝

.(2)結合律

?(?)＝(??).(3)第一分配律(?+?)＝?+?.(4)第二分配律

?(+)＝?+?.證明：（1）由數乘定義，顯然成立.（2）當＝或?，?中至少有一個為0時，顯然成立；當≠，??≠0時，(?+?)與?+?的模都等于|?|||||，而它們的方向，當?與?同號時，都與同方向，當?與?異號時，都與反方向，即(?+?)與?+?的方向相同，所以有

(?+?)＝?+?.（3）如果＝或?，?及?+?中至少有一個為0，等式顯然成立.因此只須證明當≠，??≠0，(?+?)≠0的情形：（ⅰ）如果??＞0，顯然(?+?)與?+?同向，且

∣(?+?)|＝| ?+? | ||=（| ? |+| ? |）||=|? | ||+|? | ||=| ? |+| ? |=|?+?|，所以(?+?)＝?+?.（ⅱ）如果??＜0，不妨設?＞0，?＜0；再看 ?+?＞0，?+?＜0 的兩種情形.下面只證明前一種情形，后一種情形同理可證.現假定?＞0，?＜0，?+?＞0.這時有（－?）（?+?）＞0，根據（ⅰ）得

(?+?)+(－?)＝﹝(?+?)+(－?)﹞＝?，所以

(?+?)＝－(－?)＝?+?.（4）當?=0或，中至少有一個為時，顯然成立；因此只須證明當≠，≠，?≠0的情形：（ⅰ）如果，共線，取m=此有

（，同向）或m=－

（，反向），則=m,因

?(+)＝?(m+)＝?﹝(m+1)﹞=(?m+?)=(?m)+ ?=?(m)+?=?+?.（ⅱ）如果，不共線，根據矢量加法的三角形法則即可證明?(+)＝?+?.2.由矢量的加法與數乘矢量的運算規律可知，對于矢量也可以像實數及多項式那樣去運算，例如

5(+2)－2(2－)＝5+10－4+2＝+1

2.3.由前節和本節，我們對矢量定義了兩種運算：+和m(m?R)，這兩種運算滿足： I-1.+＝+，I-2.(+)+＝+(+)，I-3.存在一個零矢量，滿足+＝，I-4.每一個矢量都有相反矢量(－)，使+(－)＝;II-1.1＝, II-2.m(n)＝(mn), II-3.(m+n)＝m+n, II-4.m(+)＝m+m.如果僅從運算法則著眼，而不考慮矢量的具體含義，則凡是具有兩種運算加法和數乘，并滿足上述一系列運算規律的元素的集合，叫做實數域上的線性空間（亦稱矢量空間或向量空間）.例1.如圖1-7，設M是平行四邊形ABCD的中心，O是任意一點，證明

+分析：將證明：因為+

+

＝

4.分別看作△OAC與△OBD的中線.＝(＝+（）, +

+＝

(+

+))，所以

2所以

+++＝4.例2.設點O是平面上正多邊形A1A2?An的中心，證明:

+分析：如圖1-8，每一矢量從而求解.證明：因為

＋＋

+?+

＝.倍數，都是其相鄰兩矢量的和矢量的某一

＝?＝?, , ??

+＋

＝?＝?, ，所以

2(＝?(+++?++?+))，所以

(?－2)(++?+)＝.顯然

?≠2, 即 ?－2≠0.所以

作業題： ++?+

＝.可以構1.設L、M、N分別是ΔABC的三邊BC、CA、AB的中點，證明：三中線矢量成一個三角形.2.設L、M、N是△ABC的三邊的中點，O是任意一點，證明

+=++.3.用矢量法證明，四面體對棱中點的連線相交于一點且互相平分., , §1.4 矢量的線性關系與矢量的分解

教學目的

1、理解矢量在直線和平面及空間的分解定理；

2、掌握矢量間的線性相關性及判斷方法。教學重點 矢量的三個分解定理及線性相關的判斷。教學難點 分解定理的證明 參考文獻(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學出版社，2000.08 授課課時 2

§1.4 矢量的線性關系與矢量的分解

一、矢量的分解

1.線性運算: 矢量的加法和數與矢量的乘法統稱為矢量的線性運算.2.線性組合: 由矢量做矢量，?，,?,與數量?1，?2，?，?n所組成的矢量＝?

1，?,+?

2+?+?n叫的線性組合.我們也說矢量可以用矢量線性表示，或者說，矢量可以分解成矢量，?,的線性組合.3.矢量在直線上的分解：

定理1 如果矢量?，那么矢量與矢量共線的充要條件是可以用矢量線性表示，或者說是的線性組合，即＝x，且系數x被，唯一確定.稱為用線性組合來表示共線矢量的基底.證明 如果 ＝x成立，那么由數乘矢量的定義立刻知與共線.反過來，如果與非零矢量共線，那么一定存在實數x，使得＝x.顯然，如果＝，那么＝0，即x=0.x的唯一性：如果＝x＝，而?，所以 x＝.4.矢量在平面上的分解： 定理2 如果矢量,，那么（x－＝

不共線，那么矢量與, ，共面的充要條件是可以用矢量

+y，且系數x, y被, ，線性唯一表示，或者說矢量可以分解成矢量確定., 的線性組合，即＝x, 稱為平面上矢量的基底., 證明 因為矢量么根據定理1有＝x始點O，并設交于A，B.因為則得

=+不共線，所以+y?，?.設與，共面，如果與(或)共線，那，其中y =0(或x=0)；如果與＝，都不共線，則把它們歸結到共同的=，∥,（i=1，2），那么過的終點分別作OE2，OE1的平行線依次與OE1，OE2∥,那么根據定理1可設

= x，＝y，根據平行四邊形法，即

＝x 反過來，設＝x如果xy≠0，那么x面.最后證明x, y被∥+y, y+y.(或，y)共線，則與,，如果x, y 有一個是零，那么與∥,根據平行四邊形法則得與 x共面.，共面，因此與共, ，唯一確定.假設

＝x+y=

+ ，)

＝（y－）

＝, 那么

(x－如果x≠，那么

=－,即 ∥, 這與定理條件矛盾，所以x=

5.矢量在空間的分解： 定理3 如果矢量, ，.同理y =,因此x, y被唯一確定.不共面，那么空間任意矢量可以由矢量的線性組合，即＝x+y+z, ，線性表示，或者, , 說矢量可以分解成矢量唯一確定., , , ,，且系數x, y, z被, 稱為空間矢量的基底., , 證明

因為矢量如果與,，不共面，所以，≠（i=1，2，3），且被此不共線.(，之中的兩個矢量

+y或

+0，)共面，那么根據定理2有

+z或＝0

+y+z).=，＝x如果與＝,，+0(＝x之中的任意兩個矢量都不共面，則把它們歸結到共同的始點O，并設（i=1，2，3），那么過的終點分別作三個平面分別與平面OE2E3，OE3E1，OE1E2平行，且分別與直、+、，為三棱，=為對角線的平行線OE1，OE2，OE3相交于A，B，C三點，從而作成了以六面體，于是得到：

=由定理1可設= x，= y，= z＝x下面證明x, y, z被, ，+，所以 +y+z., 唯一確定.假設 ＝x+y+z＝

+

+)

，＝（y－）＝(z－)那么

(x－＝，如果

x≠，那么

，＝－＝－有定理2可知因此x, y, z被

1.定義 , , 共面，這與定理條件矛盾，所以x=，.同理，y=，z=., , 唯一確定.二、矢量的線性關系

對于n(n?1)個矢量, , ?,，如果存在不全為零的n個數?1, ?2，?, ?n, 使得 ?

1+?2+?+?n，=, , ?，線性無關是指，只有當?1＝?2＝?那么n個矢量, , ?, ＝?n＝0時，上式才成立.2.判斷方法

叫做線性相關.矢量推論1 一個矢量線性相關的充要條件是=.證明：由矢量線性相關的定義即得.定理4 矢量組合.證明：設, , , ?，(n?2)線性相關的充要條件是其中有一個矢量是其余矢量的線性

+?

2+?+?n，即

=,且?1, ?2，?, ?n 不全為零，不, ?, =－

線性相關，則?1－，－?－, ?, 妨設?n ≠0，那么是其余矢量的線性組合.是其余矢量的線性組合，即 , , ?, 反過來，設n個矢量=?1+?2+?+?n-1，即?1

中有一個矢量，不妨設

+?2+?+(－1)=,且?1, ?2，?,(－1)不全為零,因此線性相關.定理5 如果一組矢量中的一部分矢量線性相關，那么這一組矢量就線性相關.證明：設一組矢量, , ?,，?,(s?r)中，有一部分矢量那么存在不全為零的n個數?1, ?2，?, ?s, 使得

?1, , ?, 線性相關，+?2+0

+?+?s+?+?r=，=,且?1, ?2，?, ?s不全為零.即

?1+?2+?+?s所以這一組矢量, , ?,，?, 線性相關.推論2 一組矢量中如果含有零矢量，那么這組矢量必線性相關.證明：由推論1和定理5即得.根據矢量的分解定理和線性相關概念，可得如下定理： 定理6 兩矢量共線的充要條件是它們線性相關.定理7 三矢量共面的充要條件是它們線性相關.定理8 空間任何四個矢量總是線性相關.推論3 空間四個以上矢量總是線性相關.證明：由定理5和定理8即得.例1.設一直線上三點A, B, P滿足＝

證明：如圖1-11，因為

＝?(??－1),O是空間任意一點，求證： ＝＝所以

(1+?)所以 －－－＝＝, , ＝?(+?.＝，＝，AT是角A的平分線（它與BC交于T點），試將

分－), ，例2.在△ABC中，設解為,的線性組合.分析：如圖1-12，利用三角形的角平分線定理.解：因為 且 與＝，方向相同，所以 ＝由上題結論有.＝＝.+

+

＝

.例3.用矢量法證明：P是△ABC重心的充要條件是分析：如圖1-13，利用三角形重心的性質.證明：)若P為△ABC的重心，則

＝2+＋＝+，從而

+

－

=,即

=.)若+＋=, 則

＝－

＝，+取E，F，G分別為AB，BC，CA之中點，則有

＝，(＝2

+)..故P為△ABC的重心.+2，＝－

3+12

＋11

共面，其從而 ＝2.同理可證

+3

＝2+2例4.證明三個矢量＝－, ＝4－6中能否用,線性表示？如能表示，寫出線性表示關系式.證明：題中的矢量?(－或(－?+4?－3v)由于, , , +3, +2

不共面，即它們線性無關.考慮表達式

?+?+v＝，即)+?（4－6

+2)+v(－3

＝.+12

＋11)＝，+(3?－6?＋12v)+(2?+2?＋11v)線性無關，故有 解得

?＝－10，?＝－1，v＝2.由于

?＝－10?0，所以能用,線性表示

＝－例5.如圖1-14，, 三點共線的充要條件是?+?＝1.證明：有m?－1, 使－(1+m)＝但已知＝??＝

＋.＝?+?，試證A, B, C是三個兩兩不共線的矢量，且

//,)因為

A，B，C共線，從而有＝m＝m(＝＋m＋＋?.由, －，.對，＝1.)，分解的唯一性可得 ，?＝從而

?+?＝+)設?+?＝1.則有

＝?=－所以 ＋?+?(＝?(＝?＝?－－,),), ＋(1－?)從而 //.所以

A，B，C三點共線.例6.梅尼勞(MeneLaus)定理：如圖1-15，A?，B?，C?分別是△ABC三邊BC，CA，AB上的定比分點，如果它們把△ABC的邊分成定比

?＝, ?＝, v＝，那么A?，B?，C?三點共線的充要條件是??v＝－1.證明：由 ?＝可知 ＝?由第1題有 , , ?＝＝?, v＝，＝v, ，＝, ＝

＋

=?, 從而

＝v所以

＝

＝(1+?)＝v(, +, +)，＝由上題結論知三點A?，B?，C?共線的充要條件是

+化簡即得

??v＝－1.作業題：

1.在平行四邊形ABCD中，(1)設對角線＝,＝，求, ＝

.＝1，, , ,;，.，分解為,(2)設邊BC和CD的中點為M和N，且2.在△ABC中，設＝，＝

＝,求, D、E是邊BC的三等分點，將矢量的線性組合.3.用矢量法證明: 三角形三中線共點.4.設G是△ABC的重心，O是空間任意一點，試證

＝

（+).5．設＝(i＝1, 2, 3, 4)，試證P1, P2, P3, P4四點共面的充要條件是存在不全為零的實數?i(i＝1, 2, 3, 4)使

?1+?2+?3+?4=, 且.§1.5 標架與坐標

教學目的

1、能利用矢量建立坐標系概念；

2、理解點的坐標及矢量分量的表示方法；

3、掌握矢量線性運算及線段定比分點的坐標表示方法。

教學重點 標架概念及點和矢量的坐標表示方法 教學難點 矢量的分量 參考文獻(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學出版社，2000.08 授課課時 1

§1.5 標架與坐標

一、空間坐標系

1.空間中的一個定點O，連同三個不共面的有序矢量記做{O;,}.如果, , , ， ,的全體，叫做空間中的一個標架，}叫做笛卡爾標架；, ，, }叫做

都是單位矢量，那么{O;兩兩相互垂直的笛卡爾標架叫做笛卡爾直角標架，簡稱直角標架；在一般情況下，{O;仿射標架.2.對于標架{O;，}，如果, ，間的相互關系和右手拇指、食指、中指相同，那么這個標架叫做右旋標架或稱右手標架；如果, , 間的相互關系和左手的拇指、食指、中指相同，那么這個標架叫做左旋標架或稱左手標架.如圖1-16.3.表達式＝x+y+z中的x, y, z叫做矢量關于標架{O;記做{x, y, z}或{x, y, z}.4.對于取定了標架{O;架{O;z).，，}的空間中任意點P，矢量，，}的分量或稱為坐標，關于標

叫做點P的徑矢，徑矢}的分量x, y, z叫做點P關于標架{O;}的坐標，記做P(x, y, z)或(x, y, 5.當空間取定標架{ O;, , }之后，空間全體矢量的集合或者全體點的集合與全體有序三數組x, y, z的集合具有一一對應的關系，這種一一對應的關系叫做空間矢量或點的一個坐標系.空間坐標系也常用{O;，}來表示，此時點O叫做坐標原點，, , 都叫做坐標矢量.6.由右(左)旋標架決定的坐標系叫做右(左)旋坐標系或右(左)手坐標系；仿射標架、笛卡爾標架與直角標架所確定的坐標系分別叫做仿射坐標系、笛卡爾坐標系與直角坐標系.二、平面坐標系

1.約定用{O;手直角坐標系.}表示直角坐標系，以后在討論空間問題時所采用的坐標系，一般都是空間右2.過點O沿著三坐標矢量, , 的方向引三軸Ox, Oy, Oz,可以用這三條具有公共點O的不共面的軸Ox, Oy, Oz來表示空間坐標系，記做O—x y z，此時點O叫做空間坐標系的原點，三條軸Ox, Oy, Oz都叫做坐標軸，且依次叫做x軸，y軸和z軸，每兩條坐標 軸所決定的平面叫做坐標面，分別叫做xOy平面，yOz平面與

xOz平面.三坐標平面把空間劃分為八個區域，每一個區域都叫做卦限.3.平面上一個定點O, 連同兩個不共線的有序矢量{O;,}，如果, 都是單位矢量，那么{O;， 的全體，叫做平面上的一個標架，記做

與

相互垂直的笛卡爾

}叫做笛卡爾標架；, 標架叫做笛卡爾直角標架，簡稱直角標架；在一般情況下，{O;}叫做仿射標架.4.對于標架{O;,}，將繞O旋轉，使的方向以最近的路徑旋轉到與果旋轉方向是逆時針的，則這種標架叫做右旋標架或稱右手標架；如果旋轉方 的方向相合時，如

向是順時針的，則這種標架叫做左旋標架或稱左手標架.如圖1-17.5.表達式＝x或{x, y}.＋y中的x, y叫做矢量關于標架{O;,}的平面上的任意點P，矢量，}的分量或稱為坐標，記做{x, y}

關于標架6.對于取定了標架{O;{O;,叫做點P的徑矢，徑矢}的分量x, y叫做點P關于標架{O;}的坐標，記做P(x, y)或(x, y).7.當平面上取定標架{O;,}之后，平面上全體矢量的集合或者全體點的集合與全體有序數對x, y的集合具有一一對應的關系，這種一一對應的關系叫做平面上矢量或點的一個坐標系.平面坐標系也常用{O;,}來表示，此時點O叫做坐標原點，, 都叫做坐標矢量.8.由右(左)旋標架決定的坐標系叫做右(左)旋坐標系或右(左)手坐標系；仿射標架、笛卡爾標架與直角標架所確定的坐標系分別叫做仿射坐標系、笛卡爾坐標系與直角坐標系.15.約定用{O;,}表示直角坐標系, 在討論平面問題時所采用的坐標系，一般都是平面右手直角坐標系.9.過點O沿著坐標矢量, 的方向引二軸Ox, Oy,可以用這二條具有公共點O的不共線的軸Ox，Oy來表示平面坐標系，記做O－x y，此時點O叫做平面坐標系的原點，Ox叫做x軸，Oy叫做y軸.兩坐標軸把平面分成四個區域，每一個區域都叫做象限.三、直線坐標系 1.直線上一個定點O，連同直線上一個非零矢量的全體，叫做直線上的一個標架，記做{O;}，如果為單位矢量，那么{O;}叫做笛卡爾標架，在一般情況下，{O;}叫做仿射標架.2.表達式＝x中的x叫做矢量關于標架{O;}的分量或稱為坐標，記做{x}或{x}.3.對于取定了標架{O;}的直線上任意點P，矢量x叫做點P關于標架{O;}的坐標，記做P(x)或(x).叫做點P的徑矢，徑矢

關于標架的分量4.當直線上取定標架{O;}之后，直線上全體矢量的集合或全體點的集合與全體實數x的集合具有一一對應的關系，這種一一對應的關系叫做直線上矢量或點的一個坐標系.直線上的坐標系也常用{O;}來表示，此時點O叫做坐標原點，叫做坐標矢量.5.由仿射標架與笛卡爾標架所確定的坐標系分別叫做仿射坐標系與笛卡爾坐標系.6.取定標架{O;}的直線，叫做坐標軸或簡稱為軸，原點為O，坐標寫成x的軸記做Ox.例1.在空間直角坐標系{O;}下，求P(2,－3,－1)，M(a, b, c)關于(1)坐標平面；(2)坐標軸；(3)坐標原點的各個對稱點的坐標.解：可按照“關于哪軸對稱，哪軸不動，其余變號”的方法去考慮，有 M(a, b, c)關于xOy平面的對稱點坐標為(a, b, －c)，M(a, b, c)關于yOz平面的對稱點坐標為(－a, b, c)，M(a, b, c)關于xOz平面的對稱點坐標為(a,－b, c)，M(a, b, c)關于x軸平面的對稱點坐標為(a,－b,－c)，M(a, b, c)關于y軸的對稱點的坐標為(－a, b,－c)，M(a, b, c)關于z軸的對稱點的坐標為(－a,－b, c).類似考慮P(2,－3，－1)即可.例2.已知矢量, , 的分量如下：

(1)＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，＝{1, 2, －1}；(2)＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，＝{0, 5, 6}.試判別它們是否共面？能否將表成，的線性組合？若能表示，寫出表示式.解:(1)因為 //，但

＝0,所以 , , 三矢量共面, 由于, 的對應坐標成比例，即，故不能將表成, 的線性組合.(2)因為 ＝0,所以 , , 三矢量共面.，故可以將表成, 的線性組合.由于 , 的對應坐標不成比例，即設 ＝?+?, 即

{0, 5, 6}＝?{1, 2, 3}+?{2, －1, 0} 從而

由此解得

?＝2，?＝－1，所以

＝2－.例3.證明：四面體每一個頂點與對面重心所連的線段共點，且這點到頂點的距離是它到對面重心距離的三倍.用四面體的頂點坐標把交點坐標表示出來.證明：設四面體A1A2A3A4,Ai對面重心為Gi, 欲證AiGi交于一點(i＝1, 2, 3, 4).在AiGi上取一點Pi，使則

＝

3, 從而

＝，設Ai(xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，G1G2G3G4所以 , ， ，P1(，)

?P1(，).同理得P2?P3?P4?P1，所以AiGi交于一點P，且這點到頂點距離等于這點到對面重心距離的三倍.作業題：

1.指出坐標滿足下列條件的點(x, y, z)在空間的位置.(1)

x＝y；

(2)

y z<0;

(3)

x y z<0.2.平行于z軸的矢量有什么特點？平行于x軸和y軸的矢量又分別有什么特點？

3.已知線段AB被點C(2, 0, 2)和D(5,－2, 0)三等分，試求這個線段兩端點A與B的坐標.§1.6 矢量在軸上的射影

教學目的

1、掌握射影與射影矢量的概念及矢量線性運算的射影表示；

2、理解矢量在軸上的的射影與坐標的關系。

教學重點 矢量在軸上的射影與射影矢量的概念 教學難點 射影與射影矢量的關系 參考文獻(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學出版社，2000.08 授課課時 1

§1.6 矢量在軸上的射影

一、概念

1.已知空間的一點A與一軸l，通過A作垂直于軸l的平面?，平面?與軸l的交點A叫做點A在軸l上的射影.2.設矢量的始點A和終點B在軸l上的射影

叫做矢量

在軸l上分別為A?和B?，那么矢量的射影矢量，記作射影矢量l.如圖1-18.3.如果在軸上取與軸方向相同的單位矢量，則有射影矢量l＝＝x，其中x叫做矢量，即 ＝x.與射影l分別寫成射影矢量

與射影，且分別叫做矢量

在在軸l上的射影，記作：射影l射影l4.可以把射影矢量l矢量上的射影矢量與在上的射影，兩者之間的關系是

射影矢量

＝(射影

＝,).＝, 把射線OA和OB構成的在0與5.設是兩個非零矢量，自空間任意點O作?之間的角，叫做矢量與的夾角，記做?(,).按規定，若,同向，則?(,)＝0；若,反向，則?(,)＝?；若，則0＜?(,)＜?.時，以矢6．在平面上，可以引進從矢量到矢量的有向角的概念，并記作(,)，當量掃過矢量,之間的夾角?(,)旋轉到與矢量同方向的位置時，如果旋轉方向是逆時針的，則(,)＝?(,)；如果旋轉方向是順時針的，則(,)＝－?(,).當//

時，(,)＝?(,).有向角的值，常可推廣到 ?－π 或 >π，這時我們認為相差2π整數倍的值代表同一角，對于有向角還有下面的等式(,)＝－(,)，(,)+(,)＝().二、性質

1．矢量在軸l上的射影等于矢量的模乘以軸與該矢量的夾角的余弦：

射影i＝|

|cos?, ?＝?(l,).證明：如圖，射影i=||=||cos?.由矢量在軸l上的射影概念容易證得如下性質：

2．相等矢量在同一軸上的射影相等.3．對于任何矢量有

射影l(+)＝射影l+射影l.4．對于任何矢量與任意實數?有

射影l(?)＝?射影l.例題：試證明：射影l(?+?+?n射影l.證明：用數學歸納法來證.當n＝2時，有

射影l(?1?2)＝射影l()+射影l(假設當n＝k時等式成立，即有 射影l(射影l(＝射影l[(＝射影l（）+)+射影l()＝?1射影l)

]))＝?1射影l+?2射影l.?+?+?n)＝?1射影l+射影l

+?+?k射影l.欲證當n＝k+1時亦然.事實上

＝?1射影l+?+?k射影l+?k+1射影l 故等式對自然數n成立.作業題：

1.兩非零矢量的夾角在空間和平面上分別是怎樣定義的？取值范圍如何？ 2.在射影的關系如何？，射影矢量

與射影, 射影矢量

中，若?，＝－, 則它們相互間3.射影相等的兩個矢量是否必相等？射影為0的矢量，是否必為？

§1.7 兩矢量的數性積

教學目的

1、掌握矢量的數性積概念及幾何意義；

2、理解矢量的模、方向余弦和交角及數性積的坐標表示；

3、能證明有關的幾何命題。

教學重點 兩矢量的數性積概念及幾何意義 教學難點 根據數性積理論證明有關的命題 參考文獻(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學出版社，2000.08

授課課時 1

§1.7 兩矢量的數性積

一、概念

1.數性積的例子.一個質點在力的作用下，經過位移

＝，則這個力所作的功為

W＝|其中?＝?(,)，功W是由矢量

|||cos?

與按上式確定的一個數量.如圖1-19.2.兩個矢量與的模和它們夾角的余弦的乘積叫做矢量和的數性積(也稱數積，內積，點積)，記做?或，即

?＝||||cos?(,).二、性質

1.?＝||射影＝||射影

..2.當為單位矢量時 ?＝射影3.?＝||＝22.4.兩矢量和相互垂直的充要條件是?＝0.5.矢量的數性積滿足下面的運算規律(1)交換律 ?＝?.(2)關于數因子的結合律(?)?＝?(?)＝?(?).(3)分配律(+)?＝?+?.三、坐標運算 1.設＝{}, ＝{

}, 則 ?＝

.?＝, ?＝，?＝.2.設＝{X, Y, Z}，則

||＝3.空間兩點P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)間的距離是

..4.矢量與坐標軸(或坐標矢量)所成的角叫做矢量的方向角，方向角的余弦叫做矢量的方向余弦.5.非零矢量＝{X, Y, Z}的方向余弦是

cos?＝cos?＝cos?＝且

cos?+cos?+cos?＝1，（其中的?, ?, ?分別為矢量與x軸，y軸，z軸的交角，即的三個方向角.）并有

6.設空間中兩個非零矢量為{

}，＝{

＝{cos?, cos?, cos?}.},那么它們夾角的余弦是

d＝

＝＝＝, ,.cos?(,)＝7.矢量{}和＝{

＝

}相互垂直的充要條件是

.例1.在實數乘法中消去律成立，即ab＝ac時，則a=0或b＝c.這對矢量的數性積并不成立，舉反例如下：

如圖1-20，設有非零矢量及與其共面的兩矢量和，使得其終點連線BC與OA垂直且交于M，則

?＝||||cos?(,)＝||OM, ?＝||||cos?(,)＝||OM，于是 ?＝?, 但顯然?.例2.在平面上如果證明: 因為 ，＋?),，且

＝?

(i=1,2)，則有＝.所以，對該平面上任意矢量＝?(－)?＝(－)(?＝?＝?((－)+?－

＋?(－)

－)＝0,)+?(故(－)?.由的任意性知 －＝.從而 ＝.例3.用矢量法證明以下各題：

222(1)三角形的余弦定理 a＝b＋c－2bccosA;

(2)三角形各邊的垂直平分線共點且這點到各頂點等距.證明：（1）如圖1-21，△ABC中，設且||＝a，||＝b,||＝c.則＝－，＝(－)＝+－2?＝+－2||||cosA.222此即

a＝b+c－2bccosA.(2)如圖1-22，設AB, BC邊的垂直平分線PD, PE相交于P, 2222

＝,＝,＝，D, E, F為AB, BC, CA的中點, 設＝－＝因為 , ＝－，＝, ＝

－，＝，＝

（＝, 則+)，(＋).?, ?，所以(+)(－)＝（2

－

2)＝0，(+)(－)＝從而有 所以 2

（2

－

2)＝0，2

2＝2＝2

,即 ||＝||＝||,（2(＋)(－)＝－

2)＝0，所以 ?，且 ||＝||＝||.故三角形各邊的垂直平分線共點且這點到各頂點等距.作業題：

1.用矢量法證明對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.2.證明 －||||??

?|||

|.＝，=, ＝，求?

＋

?＋?.3.已知等邊三角形ABC的邊長為1，且4.(1)求兩個共線矢量的數性積；(2)求兩個單位矢量的數性積.§1.8 兩矢量的矢性積

教學目的

1、掌握矢量的矢性積概念及幾何意義；

2、理解矢量矢性積的運算律及坐標表示；

3、會用頂點坐標計算三角形的面積。

教學重點 兩矢量矢性積概念及幾何意義 教學難點 矢性積的幾何意義 參考文獻(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學出版社，2000.08 授課課時 1

§1.8 兩矢量的矢性積

一、概念

1.矢性積的例子

物理學中的力矩是一個矢量，它是兩個矢量的矢性積，如圖1-23，如果力則力矩

＝

.的作用點是A,，2.兩矢量與的矢性積（也稱矢積，外積，叉積）是一個矢量，記做?或[]，它的模是

|?|＝||||sin?(,)，它的方向與,都垂直，并且按，?這個順序構成右手標架{O;，?}.二、性質

定理1.兩不共線矢量與的矢性積的模，在數值上等于以與為鄰邊所構成的平行四邊形的面積.證明：如圖1-24，平行四邊形的面積S=|| h =||||sin?(,)=|?|.定理2.兩矢量與共線的充要條件是 ?＝.證明：當與共線時，sin?(,)=0，從而|?|=0，即?＝；反過來，當?＝時＝或＝或∥，而可以看成與任何矢量共線，所以總有∥.定理3.矢量的矢性積滿足下面的運算規律：

(1)反交換律

?＝－(?).(2)關于數因子的結合律

?(?)＝(?)?＝?(?).(3)分配律

(+)?＝?＋?.證明：只給出反交換律?＝－(?)的證明，其余類似可證：

如果與共線，那么（?）與(?)都是，顯然成立.如果與不共線，那么

|?|＝||||sin?(,)=||||sin?(，)=|?|，而根據矢性積的定義（?）與(?)共線且方向相反，從而?＝－(?).推論.設?, ?為任意實數，有

(?)?(?)＝(??)(?)，?(+)＝?+?.三、坐標運算

1.如果＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2}, 那么

?＝++.或

?＝.2.與中學代數里的方程一樣，我們將含有未知矢量的等式叫做矢量方程.例如?＝l，其中是已知矢量，是未知矢量，l是常數，這就是一個矢量方程.解矢量方程常用兩種方法：其一是對方程實行各種向量運算來求出未知向量；其二是利用坐標化成代數方程再去求解.例1.證明(?)?222?

2，并說明在什么情形下等號成立.22

2證明：(?)＝|?|＝||||sin?(,)

?||||＝22

?

.，即當?時，等號要使等號成立, 必須sin?(,)＝1, 從而sin?(,)＝1, 故?(,)＝成立.例2.證明如果++＝，那么?＝?＝?，并說明它的幾何意義.證明：由++＝, 有(++)?＝?＝, 但 ?＝，于是

?+?＝，所以 ?＝?.同理

由(++)?＝, 有 ?＝?，從而 ?＝?＝?.其幾何意義是以三角形的任二邊為鄰邊構成的平行四邊形的面積相等.例3.如果非零矢量(i＝1,2,3)滿足垂直的單位矢量，并且按這次序構成右手系.證明：由矢性積的定義易知,因為 ＝?，||＝?，|＝|

|||, ,，＝

?，＝?，那么，是彼此

彼此垂直，且構成右手系.下證它們均為單位矢量.所以 ||＝||，|所以 ||＝||||.|＝1，|22由于 ||?0，從而 |同理可證 |

|＝1.|＝1，||＝1.從而，都是單位矢量.例4.用矢量方法證明：（1）三角形的正弦定理

＝＝.（2）三角形面積的海倫(Heron)公式，即三斜求積公式：

?＝p(p－a)(p－b)(p－c).式中p＝(a+b+c)是三角形的半周長，?為三角形的面積.＝，＝，＝，且||＝a，||＝b, ||證明(1)如圖1-25，在△ABC中，設＝c, 則

++＝, 從而有 ?＝?＝?，所以

|?|＝|?|＝|?|，bcsinA＝casinB＝absinC, 于是

＝＝.(2)同上題圖，△ABC的面積為

?＝所以

?＝2

|?|，(?).22

22因為

(?)+(?)＝所以

?＝2，[22－(?)].2由于

++＝，從而

+＝－，(＋)＝所以

2，(c－a－b)，2

2＝(222－2

－

2)＝故有

?＝＝＝＝[ab－222(c－a－b)]

222[2ab－(c－a－b)][2ab+(c－a－b)] [(a+b)－c][222－(a－b)]

2(a+b+c)(a+b－c)(c+a－b)(c－a＋b)＝?2p?(2p－2c)(2p－2b)(2p－2a).2所以

?=p(p?a)(p?b)(p?c), 或

?=例5.試解方程組

., //，其中 ?，l是已知數.解法一：化成坐標式得

a1x1+a2x2+a3x3=l，其中, , x2=，k?0, 解得 , x3=, ，x1=再化成矢量式得解法二：由.得，代入

得，于是

k＝, 從而有作業題：.1.設, , 為三個兩兩不共線的矢量，且?=?= ?，則++=.2.設兩非零矢量3.已知兩非零矢量4.已知積.,，求k值，使兩個向量k，求

與, 其中

和

＋k共線.共線的充要條件.＝5, , ?, 求平行四邊形ABCD的面

第二章 軌跡與方程

教學目的

1、理解曲面與空間曲線方程的意義；

2、掌握求軌跡方程（矢量式與坐標式參數方程及普通方程）的方法；

3、會判斷已知方程所表示的軌跡名稱。

教學重點 曲面和空間曲線的方程求法

教學難點 判斷已知的參數方程或普通方程所表示的圖形 參考文獻(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學出版社，2000.08 《解析幾何》課程教案（第三章）

授課課時 4第二章

軌跡與方程

本章的目的是建立軌跡與其方程的對應，在空間或平面上取定標架之后，空間或平面上的點就與有序實數組(x, y, z)或(x, y)建立了一一對應關系，在此基礎上，進一步建立作為點的軌跡的曲線、曲面與其方程之間的聯系，把研究曲線與曲面的幾何問題，歸結為研究其方程的代數問題，進而為用代數的方法研究曲線和曲面創造了條件，奠定了基礎.空間軌跡與平面軌跡相比要復雜得多，但它的方程的建立，以及對某些問題的處理，兩者卻非常相似.本章的知識結構為：

軌跡

方程

→ 方程

→ 軌跡

§2.1 平面曲線的方程

一、普通方程

1.平面上的曲線（包括直線），都可以看成具有某種特征性質的點的集合.曲線上點的特征性質，包含兩方面的意思：(1)曲線上的點都具有這些性質；(2)具有這些性質的點都在曲線上.因此曲線上點的特征性質，也可以說成是點在曲線上的充要條件.2.當平面上取定了標架之后，如果一個方程F(x, y)= 0或 y =f(x)與一條曲線有著關系：(1)滿足方程的(x, y)必是曲線上某一點的坐標；(2)曲線上任何一點的坐標(x, y)滿足這個方程，那么這個方程F(x, y)= 0就叫做這條曲線的普通方程，而這條曲線叫做這個方程的圖形.3.對于一條給定的曲線，要求出它的方程，實際上就是在給定的坐標系下，將這條曲線上的點的特征性質，用關于曲線上的點的兩個坐標x, y的方程來表示.二、參數方程

1．曲線常可表現為一個動點運動的軌跡，但是運動的規律往往不是直接反映為動點的兩個坐標x與y之間的關系，而是直接表現為動點的位置隨著時間改變的規律.當動點按照某種規律運動時，與它對應的徑矢也將隨著時間t的不同而改變（模與方向的改變），這樣的徑矢，我們稱它為變矢，記做

.，那么2.如果變數t(a?t?b)的每一個值對應于變矢的一個完全確定的值（模與方向）我們就說是變數t的矢性函數，記做

=,(a?t?b)

顯然當t變化時，矢量的模與方向一般也隨著改變.3.設平面上取定的標架為{O;,寫為

其中x(t)，y(t)是

}，矢量就可用它的分量表示，這樣矢性函數== x(t)+y(t),(a?t?b)，就可以的分量，它們分別是變數t的函數.4.若取t(a?t?b)的一切可能取的值，徑矢的終點總在一條曲線上；反過來，在這條曲線上的任意點，總對應著以它為終點的徑矢，而這徑矢可由t 的某一值t0(a?t0?b)完全決定，則把 = x(t)+y(t),(a?t?b)

叫做曲線的矢量式參數方程，其中t為參數.如圖2-1.5.因為曲線上點的徑矢的分量為x(t), y(t)，所以曲線的參數方程也常寫成下列形式

(a?t?b)

把這個表達式叫做曲線的坐標式參數方程.如能從上式中消去參數t（如果可能的話），那么就能得出曲線的普通方程F(x, y)=0.6.曲線的參數方程的表達形式不唯一.例1.有一長度為2a(a>0)的線段，它的兩端點分別在x軸正半軸和y軸正半軸上滑動，求此線段中點的軌跡.解法一：如圖2-2，取? 為參數，設線段中點為M(x, y)，于是A(2acos?, 0)，B(0, 2asin?,), 所以

(0

x2+y2 = a2(x>0, y>0).)

解法二：如圖2-3, 設線段為AB，其中點為P(x, y)，且設(,====(|(+|+|)|))=?，則

[2acos(???)+2asin(???)]

= ?acos?+asin?，所以動點軌跡的坐標式參數方程為

(消去參數? 得所求軌跡的一般方程為

x2+y2 = a2(x>0, y>0).例2.三角形ABC底邊的兩個端點為B(?3, 0)，C(3, 0), 頂點A在直線7x?5y?35=0上移動，求這三角形重心的軌跡.解：設△ABC的重心為G(x, y)，頂點A為(x0, y0)，則有

x==x0, y==y0，從而

x0=3x , y0 =3y.而A(x0, y0)在直線7x?5y?35=0上, 故有

7x0?5y0?35=0 或 21x?15y?35=0.這是一條平行于已知直線7x?5y?35=0的直線.例3.一動點M到A(3, 0)的距離恒等于它到點B(?6, 0)的距離的一半，求此動點M的軌跡方程，并指出此軌跡是什么圖形？

解：設M(x, y)，依題意有

2=，2222兩邊平方得：4((x?3)+y)=(x+6)+y，2224(x?6x+9)+3y?(x+12x+36)=0, 223x+3y?36x=0，22(x?6)+y=36.此即為中心在(6, 0)，半徑為6的圓.2例4.一動點到兩定點距離的乘積等于定值m，求此動點的軌跡(此軌跡叫做卡西尼卵形線).解：設兩定點為F1, F2，且|F1F2|=2c(c>0)，動點為M(x, y)，取直線F1F2為x軸，其中點為坐標原點建立坐標系，則F1=(?c, 0), F2=(c, 0)，依題意有

2|MF1| ? |MF2| =m，=m，化簡得

(x+y)? 2c(x?y)= m ?c.222

442

作業題：

1． 將下面平面曲線的參數方程化為普通方程：

（1）

－∞＜t＜+∞;

（2）

0?t＜2;

（3）0?t＜2.2.把下面平面曲線的普通方程化為參數方程： 2

（1）y= x

(2)

(3),（）;

§2.2 曲面的方程

一、普通方程

如果一個方程F(x, y, z)= 0或z=f(x, y)與一個曲面?有著關系：(1)滿足方程的(x, y, z)是曲面?上點的坐標；(2)曲面?上的任何一點的坐標(x, y, z)滿足方程，則方程F(x, y, z)＝0叫做曲面?的普通方程，而曲面?叫做方程F(x, y, z)＝0的圖形.二、參數方程

1．設在兩個變數u, v的變動區域內定義了雙參數矢函數

=(u, v)或

(u, v)=x(u, v)

+y(u, v)

+z(u, v)，其中x(u, v), y(u, v), z(u, v)是變矢(u, v)的分量，它們都是變數u, v的函數，當u, v取遍變動區域的一切值時，徑矢

=(u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)的終點M(x(u, v), y(u, v), z(u, v))所畫成的軌跡，一般為一張曲面.2.如果取u, v(a?u?b, c?v?d)的一切可能取的值，徑矢

(u, v)的終點M總在一個曲面上；反過來，在這個曲面上的任意點M總對應著以它為終點的徑矢, 而這徑矢可由u, v的值(a?u?b, c?v?d)通過

(u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)

完全決定，那么我們就把上式叫做曲面的矢量式參數方程，其中u, v為參數.3.徑矢(u, v)的分量為{x(u, v), y(u, v), z(u, v)}，從而曲面的參數方程也常寫成

該表達式叫做曲面的坐標式參數方程.4.空間曲面參數方程的表達形式不唯一.例1.一動點移動時，與A(4, 0, 0)及xOy平面等距離，求該動點的軌跡方程.解：設動點為M(x, y, z)，依題意有

=|z|，兩邊平方化簡得(x?4)+y=0.例2.在空間，選取適當的坐標系，求下列點的軌跡方程：(1)到兩定點距離之比等于常數的點的軌跡；(2)到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡；(3)到兩定點距離之差等于常數的點的軌跡；

(4)到一定點和一定平面距離之比等于常數的點的軌跡.解：(1)取兩定點連線為x軸，兩定點連線段中點為原點建立空間直角坐標系，設兩定點為A(?a, 0, 0)，B(a, 0, 0), 常數為m>0，再設動點M(x, y, z)，則依題意有

=m，2222222222222平方得

x + 2ax+a +y+z = mx ?2amx +ma +my +mz，222222

2(m?1)(x+y+z)?2a(m+1)x+a(m?1)=0.此即為所求動點的軌跡.222(2)設坐標系選取同(1)，兩定點間距離為2c(c>0), 常數為2a(a>0)，且b=a?c>0，從而兩定點為A(?c, 0, 0), B(c, 0, 0), 設動點為M(x, y, z)，依題意有 22

＋m移項

222 2

=2a, , =2a ?

2平方(x+c)+y+z=4a+(x?c)+y+z?4a化簡

再平方 化簡

即

a=a?cx, 2222224222 a(x?c)+ay+az=a+cx?2acx，2222222222(a?c)x+ay+az=a(a?c)，22222222

bx+ay+az=ab，2，從而

++=1.222(3)假設同(2)，但b=c?a >0，依題意有

?移項

=2a+，2

=2a，平方化簡

a=cx?a，2222222222再平方化簡

(c?a)x－ay－az=a(c?a)，22222222即

bx?ay?az=ab，從而

??=1.(4)取定點為(0, 0, c)，定平面為xOy面，常數為m>0，設動點為M(x, y, z)，依題意有

＝m |z|, 22平方

x+y+z?2cz+c = mz, 即有

22222 x+y+(1?m)z?2cz+c =0.例3.求中心在原點, 半徑為r的球面的參數方程.解：如圖2-4, 設M是球面上的任意一點，M在xOy坐標面上的射影為 P，設?xOP =?(0?? <2?)，?zOM =?(0????), P在x軸上的射影為Q，那么 2

=則

=(r)+（=++)+r，.這就是圓柱面的矢量式參數方程，它的坐標式參數方程為

其中0????, ??? <2?.消去參數得普通方程為

x2 + y2 + z2 = r2.例4.求以z軸為對稱軸，半徑為R的圓柱面的參數方程.解：如圖2-5, 設M是圓柱面上的任意一點，M在xOy坐標面上的射影為 P，設?xOP =?(0?? <2?)，P在x軸上的射影為Q，那么 =

=++，則

=(R)+（）+u.這就是圓柱面的矢量式參數方程，它的坐標式參數方程為

其中的 ? 與u是參數，取值范圍分別是0?? <2?，?? < u < ??.消去參數得普通方程為

x2+y2=R2.作業題：

1.求下列各球面的方程：

（1）中心（2，—1，3），半徑為R=6；

（2）中心在原點，且經過點（6，—2，3）；

（3）一條直徑的兩個端點是（2，—3，5）與（4，1，—3）；（4）通過原點與（4，0，0），（1，3，0），（0，0，—4）.2.求下列球面的中心與半徑：

（1）；

（2）；

（3）

.§2.3 母線平行于坐標軸的柱面方程

假設動點P(x, y, z)的坐標間的關系是不含變數z的方程F(x, y)=0,在空間坐標系中表示一個曲面，它所表示的曲面是由平行于z軸的直線沿xOy平面上一條曲線

L: F(x, y)＝0

移動而成，這樣的曲面叫做柱面，曲線L叫做它的準線，形成柱面的動直線叫做它的母線，即方程F(x, y)=0決定一個母線平行于z軸的柱面.同理，方程F(y,z)=0與F(x, z)=0都表示柱面，它們的母線分別平行于x 軸和y軸.如上一節的例4，方程 x 2 + y 2= R 2 表示母線平行于z軸的柱面，準線L為xOy坐標面上的圓.例題

說出下列方程表示的圖形名稱：

（1），（2），（3）y=2p x.2解：（1）表示一個柱面，母線平行于z軸，準線為xOy坐標面上的橢圓，所以叫做橢圓柱面.（2）表示一個柱面，母線平行于z軸，準線為xOy坐標面上的雙曲線，所以叫做雙曲柱面.（3）表示一個柱面，母線平行于z軸，準線為xOy坐標面上的拋物線.所以叫做拋物柱面.作業題：

指出下列方程表示的軌跡名稱，并畫出圖形：

（1）（2）（3）（4）；

.；

；

§2.4 空間曲線的方程

一、普通方程

1.空間曲線，可以看成兩個曲面的交線.設方程組

是這樣的兩個曲面方程，它們相交于曲線L.上述方程組表示一條空間曲線L的方程，我們稱它為空間曲線的普通方程（一般方程）.2.由代數知識知道，任何方程組的解，也一定是與它等價的方程組的解，所以空間曲線L可以用不同形式的方程組表示.二、參數方程

1.在空間建立了坐標系后, 設矢函數內變動時，的徑矢都可由t的某個值通過?b)為參數.2.因為空間曲線上點的徑矢

或

=x(t)+y(t)

+z(t)，當t在區間a?t?b的終點M(x(t), y(t), z(t))全部都在空間曲線L上；反過來，空間曲線L上的任意點

來表示, 則把它叫做空間曲線L的矢量式參數方程，其中t(a?t的分量為{x(t), y(t), z(t)}，所以空間曲線的參數方程常寫成

(a?t?b)

此表達式叫做空間曲線的坐標式參數方程，其中t為參數.三、射影柱面

通過空間曲線L作柱面，使其母線平行于坐標軸Ox, Oy或Oz軸，設它們的方程分別為

F1(y, z)=0, F2(x, z)=0, F3(x, y)=0

這三個柱面分別叫做曲線L對yOz, xOz與xOy坐標面的射影柱面，因此由所表示的曲線L，可以用它對三個坐標面的任意兩個射影柱面來表示.代數上從兩個三元方程中消去一個元，其幾何意義就是求空間曲線的射影柱面.例1.有一質點，沿著已知圓錐面的一條直母線, 自圓錐的頂點起，作等速直線運動，另一方面這一條母線在圓錐面上，過圓錐的頂點繞圓錐的軸（旋轉軸）作等速的轉動，這時質點在圓錐面上的軌跡叫做圓錐螺線.試建立圓錐螺線的方程.解：如圖2-6，取圓錐頂點為原點，軸線為z軸建立坐標系，設圓錐角為2?，從而?=?，旋轉角速度為?，直線速度為v，動點的初始位置在原點.設經)＝? t, |

|＝v t，時間t后動點到P點，過P作xOy面上的射影Q，則(從而有

(0?t <+?)

例2.有兩條互相直交的直線l1與l2，其中l1繞l2作螺旋運動，即l1一方面繞l2作等速轉動，另一方面又沿著l2作等速直線運動，在運動中l1永遠保持與l2直交，這樣由l1所畫出的曲面叫做螺旋面，試建立螺旋面的方程.解：如圖2-7，取l2為z軸建立坐標系，并設l1在運動到某時刻t0時與x軸重合，令角速度為?，直線速度為v，時間t取作參數.假定在時刻t時l1位置如圖，P(x, y, z)為l1上任意點，其在xOy面上的射影為Q，在z軸上射影（l1與l2在此刻的交點）為R，則 || = vt，|

| =u.從而有

(??

作業題：

1.平面 與 的公共點組成什么軌跡？

2.求下列空間曲線對三個坐標面的射影柱面方程：

（1）

（2）

3．指出下列曲面與三個坐標面的交線是什么曲線？（1）；

（2）；

（3）

.第三章平面與空間直線

教學目的

1、深刻理解在空間直角坐標系下平面方程是一個關于x,y,z的三元一次方程；反過來任何一個關于x,y,z的三元一次方程都表示一個平面。直線可以看成兩個平面的交線，它可以用兩個相交平面的方程構成的方程組來表示；

2、掌握平面與空間直線的各種形式的方程，明確方程中常數（參數）的幾何意義，能根據決定平面或決定直線的各種導出它們的方程，并熟悉平面方程的各種形式的互化與直線各種方程形式的互化；

3、能熟練地根據平面和直線的方程以及點的坐標判別有關點、平面、直線之間的位置關系與計算它們之間的距離和交角。

教學重點平面與空間直線的方程求法及點、平面、直線之間的相關位置 教學難點平面與空間直線各種形式方程的互化

參考文獻(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學出版社，2000.08 授課課時 10

第三章

平面與空間直線

這一章是本課程的主要內容之一，我們將用代數的方法定量地研究空間最簡單而又最基本的圖形——平面與空間直線，建立它們各種形式的方程，導出空間的點、平面與空間直線之間位置關系的解析表達式，給出距離、夾角等計算公式.本章的知識結構為：

平面的方程

直線的方程

相關位置→→

§3.1平面的方程

教學目的

1、理解在空間直角坐標系下平面方程是一個關于x,y,z的三元一次方程，反過來，任何一個關于x,y,z的三元一次方程都表示一個平面；

2、會求平面的各種方程（參數式、點位式、三點式、截距式、一般式、點法式及法式）；

3、掌握平面的一般式與法式方程的互化。

教學重點平面的點位式、一般式和法式方程及其轉化方法 教學難點平面各種方程之間的互化 參考文獻(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學出版社，2000.08 授課課時 2

§3.1 平面的方程

一、平面的點位式方程

1.在空間給定了一點M0(x0, y0, z0)與兩個不共線矢量＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2 }, 那么通過點M0且與矢量,平行的平面?就被唯一確定，矢量, 叫做平面的方位矢量.這個概念與中學幾何中的“兩條相交直線確定一個平面”是一致的.2.如圖3-1, 在空間取標架{O;＝坐標式參數方程為 ，}，則平面的矢量式參數方程為

+u+v，(其中u, v為參數).3.平面?的方程還可表示為(，)＝0和

＝0.它們和2中的方程一起都叫做平面的點位式方程.4.由不共線三點Mi(xi, yi, zi)(i＝1,2,3)確定的平面?的三點式方程為

＝＋u（－)＋v（）.(－,－,)＝0，＝0，或

＝0.5.平面的截距式方程為 ＋＋＝1，其中a, b, c（abc≠0）分別叫做平面在三坐標軸上的截距.二、平面的一般方程

空間平面的基本定理： 空間中任一平面的方程都可表示成一個關于變數x, y, z的一次方程；反過來，每一個關于變數x, y, z的一次方程都表示一個平面.方程

Ax + By + Cz + D = 0

(A, B, C不全為0)

叫做平面的一般方程.證明：因為空間任意平面都可以由它上面的一個點M0(x0, y0, z0)與兩個方位矢量＝{X1, Y1, Z1}，＝{X2, Y2, Z2 }確定，因而方程可以寫為成：

Ax+By+Cz+D=0，＝0.此方程展開就可寫其中A =，B=，C=.因為,不共線，所以A，B，C不全為零，這表明空間中任一平面的方程都可表示成一個關于變數x, y, z的一次方程；

反過來，在方程Ax+By+Cz+D=0中，因為A，B，C不全為零，不妨設A≠0，則有

A2（x+）+Aby +AC z=0，即

顯然，它是由一點M0(的平面.＝0., 0, 0)與兩個方位矢量＝{B, －A, 0}，＝{C, 0, －A }確定

三、平面的點法式方程

1.如果在空間給定一點M0和一個非零矢量，那么通過點M0且與矢量垂直的平面唯一地被確定.把與平面垂直的非零矢量叫做平面的法矢量或簡稱平面的法矢.這個概念與中學幾何中的“過一點與已知直線垂直的平面是唯一確定的”一致.2.如圖3-2, 在空間直角坐標系{O;，}下，設點M0的徑矢＝，平面?上任意一點M的徑矢為＝，且M0(x0, y0, z0), M(x, y, z)，則

?(－)＝0 或 A(x－x0)+B(y－y0)+C(z－z0)＝0 都叫做平面的點法式方程.3.如圖3-3, 如果平面上點M0特殊地取自原點O向平面?所引垂線的垂足P, 而?的法矢量取單位法矢量，當平面不過原點時，則 的正向取為與相同；當平面過原點時，|＝p，的正向在垂直于平面的兩個方向中任取一個，設|?－p＝0

叫做平面的矢量式法式方程.如果設＝{x, y, z}，＝{cos?, cos?, cos?}, 則

xcos? + ycos? + zcos?－p＝0

叫做平面的坐標式法式方程或簡稱法式方程.4.把平面的一般方程 Ax+By+Cz+D＝0化為法式方程的方法如下：

以法式化因子 ?＝

（在取定符號后）乘以方程Ax+By+Cz+D＝0可得法式方程：

.其中?的選取，當D?0時，使?D＝－p<0，即?與D異號；當D＝0時，?的符號可以任意選取（正的或負的，一般選與A同號，若還有A＝0，則選與B同號等等）.例1.求通過M1(1, －1, －5)和M2(2, 3, －1)且垂直于xOz坐標面的平面?的方程.解：取定點為M1(1,－1,－5)，方位矢量為＝{0,1,0}和

＝{1, 4, 4}，故有

＝0，即 4x―z―9＝0.例2.已知兩點A(a1, a2, a3)和B(b1, b2, b3)，求分別過AB的中點、兩個三等分點且與AB垂直的平面方程.解：取＝{a1－b1,a2－b2,a3－b3}為所求平面的法矢量, AB的中點是

M 兩個三等分點是 , ，M2，設P(x, y, z)為平面上任意點，則過M, M1, M2分別與AB垂直的平面的點法式方程為 M

1＝0或 ＝0，＝0或 ＝0，＝0或

化成坐標式方程分別為

＝0.(a1－b1)(a1－b1)+(a2－b2)+(a2－b2)

+(a3－b3)+(a3－b3)

＝0.＝0.(a1－b1)+(a2－b2)+(a3－b3)＝0.例3.已知三角形頂點為A(0, －7, 0), B(2, －1, 1), C(2, 2, 2), 求平行于△ABC所在的平面且與它相距為2個單位的平面方程.解：△ABC所在的平面方程為

＝0 或 3x－2y＋6z－14＝0.設M(x, y, z)為所求平面上的任意一點，依題意有 ，3x－2y＋6z－14＝?14，故所求的平面方程有兩個：

3x－2y＋6z＝0 和3x－2y＋6z－28＝0.例4.求與原點距離為6個單位，且在三坐標軸Ox, Oy與Oz上的截距之比為a:b:c＝－1:3:2的平面.解：依題意可設所求平面為 ，6x－2y－3z＋6k＝0，以法式化因子 ?＝? 乘以上式兩端

從而

?＝6, k＝?7 故所求的平面方程有兩個

6x－2y－3z ? 42＝0.例5.平面 ＝1分別與三個坐標軸交于A, B, C, 求

△ABC的面積.解：依題意有A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c), 則

＝{－a, b, 0}, 所以

S△ABC＝＝||＝

|{bc, ac, －ab}|.＝{－a, 0, c}, 例6.設從坐標原點到平面 ++=1的距離為p，求證 +

+

=

.證明：將++－1=0化為法線式

＋依題意有

＋－＝0，＝p，整理即得 ++=.作業題：

1.如果兩個一次方程(a－3)x+(b+1)y+(c－2)z+8＝0和(b+2)x+(c－9)y+(a－3)z－16＝0表示同一平面，試確定a, b, c的值.2.已知A(a1, a2, a3)及B(b1, b2, b3)，分別求過A、B且與AB垂直的平面的方程.3.原點O在所求平面上的正射影是P(a, b, c)，求平面方程.4.已知一平面過點M0.(x0, y0, z0)，且在x軸、y軸上的截距分別是a、b, 求其方程.§3.2平面與點的相關位置 §3.3 兩平面的相關位置

教學目的

1、理解點與平面的離差與距離概念及求法；

2、掌握判別點與平面、兩平面位置關系的方法；

3、會求兩平面的交角與距離。

教學重點 點與平面的離差和兩平面的位置關系 教學難點 點與平面的離差 參考文獻(1)解析幾何（第三版），呂林根 許子道 等編，高等教育出版社，2001.06(2)解析幾何思考與訓練，梁延堂 馬世祥主編，蘭州大學出版社，2000.08

授課課時 1

§3.2 平面與點的相關位置

一、位置關系

1.空間中兩點Mi(xi, yi, zi)(i=1,2)的位置關系，有且只有兩種情況，就是重合或不重合，重合的條件是兩點的坐標對應相等；在不重合時兩點間的距離為

||＝.2.空間中平面與點的位置關系，有且只有兩種情況，就是點在平面上，或點不在平面上，點在平面上的條件是點的坐標滿足平面方程，點不在平面上時要考慮點到平面的離差，點到平面的距離.二、離差和距離

1.如圖3-4, 如果自點M0到平面?引垂線，垂足為Q，那么矢量射影叫做點M0與平面?的離差（或有向距離），記做?＝射影.2.點M0與平面?：?＝

?

＝0間的離差為 －p.在平面?的單位法矢量

上的其中 ＝.3.點M0(x0, y0, z0)與平面?：xcos+ycos?+zcos?－p＝0間的離差是

?＝x0cos+y0cos?+z0cos?－p.4.點M0(x0, y0, z0)與平面?： Ax+By+Cz+D＝0間的距離為

d＝|?|＝.5.平面?：Ax+By+Cz+D=0把空間劃分為兩部分，對于某一部分的點Ax+By+Cz+D>0；而對另一部分的點則Ax+By+Cz+D<0，在平面?上的點Ax+By+Cz+D＝0.例1.計算點M(－2, 4, 3)與平面?：2x－y＋2z＋3＝0間的離差和距離.解：將?化為法式方程

－所以

? ＝－(－2)+ ?4－

x + y－z－1＝0.，?3－1＝－

.例2.求通過x軸且與點M(5, 4, 13)相距8個單位的平面方程.解：由題意，設所求平面方程為 By + Cz＝0, 則

＝8，22平方化簡

48B－104BC－105C＝0，(12B－35C)(4B+3C)＝0, 得

B＝，或

B＝－C, 故所求平面方程為 35y+12z＝0 及 3y－4z＝0.例3.求原點關于平面6x+2y－9z+121＝0的對稱點的坐標.解：將平面方程法式化

－，d＝| ? |＝則 ＝{, －, }，p＝11.設對稱點為O?(x0, y0, z0)，由對稱點的性質可有＝2p, 即{x0, y0, z0}＝{－12, －4, 18}，故所求對稱點的坐標為O?(－12, －4, 18).例4.判別點M(2, －1, 1)和N(1, 2, 3)在由下列相交平面所構成的同一個二面角內，還是分別在相鄰二面角內，或是分別在對頂二面角內？

(1)?1：3x－y +2z－3＝0與 ?2：x－2y－z＋4＝0；(2)?1：2x－y +5z－1＝0與 ?2：3x－2y+6z－1＝0.解法一：設點M與平面?1, ?2間的離差分別為?M1, ?M2, 點N與平面?1, ?2間的離差分別為?N1, ?N2，則

M與N在同一二面角內當且僅當?M1?N1>0且?M2?N2>0；

M與N在相鄰二面角內當且僅當?M1?N1>0且?M2?N2<0, 或?M1?N1<0且?M2?N2>0;M與N在對頂二面角內當且僅當?M1?N1<0且?M2?N2<0.（1）把?i(i＝1,2)法式化

?1：?2：－

x－x＋

y+y+

z－z－

＝0, ＝0, , 則

?M1＝, ?M2＝－, ?N1＝－, ?N2＝－由于

?M1?N1<0 且 ?M2?N2>0, 所以M, N在相鄰二面角內.（2）把?i(i＝1, 2)法式化

?1：?2：

x－

＝0，y+z－＝0，x－y+z－則

?M1＝, ?M2＝, ?N1＝－, ?N2＝－, 由于

?M1?N1<0 且 ?M2?N2<0, 所以M, N在對頂二面角內.解法二：設f1(x, y, z)＝3x－y+2z－3, f2(x, y, z)＝3x－2y+6z－1.則 M, N在同一二面角內當且僅當f1M f1N>0且f2M f2N>0；

M, N在相鄰二面角內當且僅當f1Mf1N>0且f2M f2N<0, 或f1M f1N<0且f2M f2N>0;M, N在對頂二面角內當且僅當f1M f1N<0且f2M f2N<0.其中f1M表示f1(x, y, z)在M點的函數值，其余類似.(1)由于f1M＝6, f1N＝－8, f2M =7, f2N=4，f1M f1N<0且f2M f2N>0，所以M, N在相鄰二面角內

(2)類似討論得M, N在對頂二面角內.例5.試求由平面?1: 2x－y+2z－3＝0與?2: 3x＋2y－6z－1＝0所構成二面角的角平分面方程，在此二面角內有點M(1, 2,－3).解：設P(x, y, z)為角平分面上任意一點，則依題意

＝，7(2x－y+2z－3)＝?3(3x+2y－6z－1).設f1(x, y, z)＝2x－y+2z－3，f2(x, y, z)＝3x+2y－6z－1.因為所求平分面分點M所在的二面角，所以點P與M或者在同一二面角內或者在對頂二面角內，于是由第4題解法二知

或

此即

或

因為

f1(1, 2, －3)＝2×1－2＋2×(－3)－3＝－9<0，f2(1, 2, －3)＝3×1+2×2－6×(－3)－1＝24>0.所以無論何種情況，f1(x, y, z)與f2(x, y, z)符號相反，從而

7(2x－y+2z－3)＝－3(3x+2y－6z－1)，整理得

23x－y－4z－24＝0.作業題：

1.證明點M0(x0, y0, z0)到平面?：Ax+By+Cz+D＝0的距離是

d＝.2.求與平面2x－y－z＋3＝0的離差等于－2的點的軌跡.3.在z軸上求一點，使它到M(1, －2, 0)與到平面3x－2y＋6z－9＝0的距離相等.4.求到平面2x－y＋z－7＝0和平面x＋y＋2z－11＝0距離相等的點的軌跡.§3.3 兩平面的相關位置

一、位置關系

1.兩平面的位置關系有：相交，平行，重合三種.2.設兩平面?i：

Aix+Biy+Ciz+Di＝0(i=1,2), 則?1, ?2的法矢量為

＝{A1, B1 ,C1}，＝{A2, B2, C2}.與

不平行）.(1)?1, ?2相交的充要條件是: A1:B1:C1 ? A2:B2:C2（(2)?1, ?2平行的充要條件是:

(3)?1, ?2重合的充要條件是:

二、夾角

＝＝

＝＝

?＝

(（∥∥).).1.如圖3-5, 在{O;，}下，兩平面的夾角為：?(?1, ?2)＝? 或(?－?)，其中?＝?(,), 量，從而

(i＝1, 2)是平面?i的法矢cos?(?1, ?2)＝?cos?＝?＝?2.兩平面?1與?2相互垂直的充要條件是：

A1A2＋B1B2＋C1C2＝0..⊥

即

例1.由cos?(?1, ?2)＝?，?1//?2的充要條件

是

＝

＝.證明：因為

?1//?2（∠(?1, ?2)＝0或?），所以 cos?(?1, ?2)＝±1, 所以

±＝±1，2222222平方得

(A1A2+B1B2+C1C2)＝(A1+B1+C1)(A2+B2+C2)，A21A22+B12B22+C21C22+2A1A2B1B2+2B1B2C1C2+2C1C2A1A2 ***222＝A1A2+B1B2+C1C2+A1B2+A1C2+A2B1+A2C1+B1C2+B2C1，整理得

222(A1B2－A2B1)＋(B1C2－B2C1)＋(C1A2－C2A1)＝0，所以

A1B2－A2B1＝0, B1C2－B2C1＝0, C1A2－C2A1＝0,

第五篇：《解析幾何》教案

《解析幾何》教案

第一章 向量與坐標

本章教學目的：通過本章學習，使學生掌握向量及其運算的概念，熟練掌握線性運算和非線性運算的基本性質、運算規律和分量表示，會利用向量及其運算建立空間坐標系和解決某些幾何問題，為以下各章利用代數方法研究空間圖形的性質打下基礎.本章教學重點：（1）向量的基本概念和向量間關系的各種刻劃。（2）向量的線性運算、積運算的定義、運算規律及分量表示.本章教學難點：（1）向量及其運算與空間坐標系的聯系；（2）向量的數量積與向量積的區別與聯系；（3）向量及其運算在平面、立體幾何中的應用.本章教學內容：

§1.1 向量的基本概念

一、定義：既有大小又有方向的量稱為向量，如力、速度、位移等.二、表示：在幾何上，用帶箭頭的線段表示向量，箭頭表示向量的方向，線段長度代表向量的大小；向量的大小又叫向量的模（長度）.始點為A，終點為B的向量，記作，其模記做.注：為方便起見，今后除少數情形用向量的始、終點字母標記向量外，我們一般用小寫黑體字母a、b、c??標記向量，而用希臘字母λ、μ、ν??標記數量.三、兩種特殊向量：

1、零向量：模等于0的向量為零向量，簡稱零向量，以0記之.注：零向量是唯一方向不定的向量.2、單位向量：模等于1的向量稱為單位向量.特別地，與非0向量同向的單位向量稱為的單位向量，記作.四、向量間的幾種特殊關系：

1、平行（共線）：向量a平行于向量b，意即a所在直線平行于b所在直線，記作a∥b，規定：零向量平行于任何向量.2、相等：向量a等于向量b，意即a與b同向且模相等，記作a=b.注：二向量相等與否，僅取決于它們的模與方向，而與其位置無關，這種與位置無關的向量稱為自由向量，我們以后提到的向量都是指自由向量.3、反向量：與向量a模相等但方向相反的向量稱為a的反向量，記作-a，顯然，零向量的反向量還是其自身.4、共面向量：平行于同一平面的一組向量稱為共面向量.易見，任兩個向量總是共面的，三向量中若有兩向量共線，則三向量一定共面，零向量與任何共面向量組共面.注意：應把向量與數量嚴格區別開來：

①向量不能比較大小，如

沒有意義； ②向量沒有運算，如類似的式子沒有意義.§1.2 向量的加法

一 向量的加法： 定義1 設、為，以與

與

為鄰邊作一平行四邊形，取對角線向量，記，如圖1-1，稱之和，并記作（圖1-1）

這種用平行四邊形的對角線向量來規定兩個向量之和的方法稱作向量加法的平行四邊形法則.如果向量若與與向量在同一直線上，那么，規定它們的和是這樣一個向量： 的指向相同時，和向量的方向與原來兩向量相同，其模等于兩向量的模之和.若與的指向相反時，和向量的模等于兩向量的模之差的絕對值，其方向與模值大的向量方向一致.由于平行四邊形的對邊平行且相等，可以這樣來作出兩向量的和向量： 定義2 作，以的終點為起點作，聯接

（圖1-2）得

（1-2）

該方法稱作向量加法的三角形法則.（圖1-2）向量加法的三角形法則的實質是：

將兩向量的首尾相聯，則一向量的首與另一向量的尾的連線就是兩向量的和向量.據向量的加法的定義，可以證明向量加法具有下列運算規律： 定理1 向量的加法滿足下面的運算律：

1、交換律 ,（1.2-2）

2、結合律.（1.2-3）證 交換律的證明從向量的加法定義即可得證.下證結合律.自空間任一點O開始依次作

所以

由定理1知，對三向量.二 向量的減法 定義3 若，則我們把叫做與的差，記為，.，只要把與、長度相同而方向相反的向量，以

與

加到向量上去.由平行，則

.相加，不論其先后順序和結合順序如何，結果總是相同的，可以簡單的寫作

，則有

顯然，特別地，由三角形法則可看出：要從減去四邊形法可如下作出向量對角線向量..設

為鄰邊作一平行四邊形例1 設互不共線的三向量、與，試證明順次將它們的終點與始點相連而成一個三角形的充要條件是它們的和是零向量.證 必要性 設三向量、、可以構成三角形

（圖1-3），（圖1-3），那么, 即 充分性 設

.，作

那么，所以，從而，所以、、可以構成三角形.例2 用向量法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.證 設四邊形因此從圖可看出：所以，∥，且，即四邊形的對角線、交于

點且互相平分（圖1-4），為平行四邊形.（圖1-4）

定義1.3.1 設是一個數量，向量與

§1.3 數量乘向量 的乘積是一向量，記作時，向量的方向與，其模等于的方向相同；當的倍，即時，向量

是.；且方向規定如下：當零向量，當時，向量的方向與的方向相反.特別地，取，則向量的模與的模相等，而方向相反，由負向量的定義知： 據向量與數量乘積的定義，可導出數乘向量運算符合下列運算規律： 定理1.3.1.數量與向量的乘法滿足下面的運算律： 1)122)結合律 3)分配律 =,(1.3-1),(1.3-2)

4)證 1)據定義顯然成立.2)顯然，向量且 = 或、=、=

.(1.3-3)的方向是一致，.3）分配律 如果反之 ⅰ)若 ,中至少有一個為0，等式顯然成立；

顯然同向，且

所以ⅱ）若若所以不妨設則有

由ⅰ)可得，對的情形可類似證明.一個常用的結論： 定理3.若行且設由于即，則是非零向量，用與(為數量)，則向量(是數量).同方向的單位向量.與

亦同方向，而且，與向量

平行，記作

；反之，若向量

與向量

平表示與同方向，從而.我們規定：若，.于是.這表明：一個非零向量除以它的模是一個與原向量同方向的單位向量.請注意：向量之間并沒有定義除法運算，因此決不能將式子十分顯然，這種錯誤是受實數運算法則的“慣性作用”所造成.例1 設AM是三角形ABC的中線，求證

.改寫成形式.（圖1-5）

證 如圖1-5，因為，所以

但 因而，即.例2 用向量法證明：連接三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半.證 設△ABC兩邊AB,AC中點分別為M，N，則所以，且.§1.4 向量的線性關系與向量的分解

定義1.4.1 由向量

與數量

所組成的向量

線性表示,或稱可以分解成向量

叫做向量的的線性組合,或稱可以用向量線性組合.定理1.4.1 如果向量使得 并且系數證 若存在實數再證，那么向量與向量共線的充要條件是可用向量線性表示，即存在實數，(1.4-1)被，唯一確定.成立，那么由定義1.3.1知向量與向量共線.反之，如果向量與向量共線，那么一定使得（見1.3節中1.3.5的證明）.，那么不共線，那么向量與，而，所以，.線性表示，即 的唯一性：如果定理1.4.2 如果向量 并且系數證： 被

共面的充要條件是可用向量，(1.4-2)，唯一確定.（圖1-6）因與不共線，由定義1.1.4知，其中，并設

.設與都不共線，中之一共線，那么由定理1.4.1有中有一個為零；如果與，于，把它們歸結共同的始點別作設反之，設如果共面.最后證，那么，那么經過的終點分，由定理 1.4.1，可.的平行線依次交直線（圖1-6），因，即，那么

與，所以由平行四邊形法則得，如果

中有一個為零，如

共線，因此與共面.，從向量加法的平行四邊形法則知與

=，，將有，這與假設矛盾，所以

都共面，因此與的唯一性.因為那么 如果，那么，這就證明了唯一性.定理1.4.3 如果向量數

.同理

不共面，那么空間任意向量可以由向量線性表示，即存在一組實使得，(1.4-3)

并且系數x,y,z被，唯一確定.證明方法與定理1.4.2類似.定義1.4.2 對于個向量，若存在不全為零的實數，(1.4-4)

則稱向量線性相關.線性無關：.定理1.4.4 在組合.證 設向量時，向量

線性相關的充要條件是其中至少有一個向量是其余向量的線性，使得

不是線性相關的向量叫做線性無關，即向量線性相關，則存在不全為零的實數，且

使得，中至少有一個不等于0，不妨設則 反過來，設向量 即 中有一個向量，不妨設為

；，它是其余向量的線性組合，即，.因為數，-1不全為0，所以向量線性相關.定理1.4.5 如果一組向量中的部分向量線性相關，那么這一組向量就線性相關.證 設使得中有一部分，不妨設前r個向量線性相關，即存在不全為零的實數

.則有，因為，不全為零，所以線性相關.推論 如果一組向量中含有零向量，那么這一組向量就線性相關 類似地可證明下面的定理： 定理1.4.6 兩向量與共線

線性相關.定理1.4.7 三向量與共面線性相關.定理1.4.8 空間任意四個或四個以上的向量總是線性相關的.例1 試證明：點，其中在線段

上的充要條件是：存在非負實數，使得，且是任意取定的一點.在線段.，證（先證必要性）設所以 任取一點所以，取，所以，上，則與同向，且，.，則，，使得

.，且，（充分性）若對任一點則 所以 有非負實數

與共線，即在直線上.又，所以在線段上.例2設證 為兩不共線向量，證明共線,線性相關，使，共線的充要條件是.即存在不全為0的實數即，(1.4-5)

.又因為不共線 即線性無關，故方程有非零解

.§1.5 標架與坐標

一 空間點的直角坐標:

平面直角坐標系使我們建立了平面上的點與一對有序數組之間的一一對應關系，溝通了平面圖形與數的研究.為了溝通空間圖形與數的研究，我們用類似于平面解析幾何的方法，通過引進空間直角坐標系來實現.1、空間直角坐標系

過空間一定點，作三條互相垂直的數軸，它們以為原點，且一般具有相同的長度單位，這三條軸分別叫軸(橫軸)、軸(縱軸)、軸(豎軸)，且統稱為坐標軸.通常把軸，軸配置在水平面上，而

軸則是鉛垂線，它們的正方向要符合右手規則：

(圖1-7)右手握住軸，當右手的四個指頭從三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系，點

角度轉向軸與

軸正向時，大拇指的指向就是軸正向.左右.當然，它們的實

軸的正向以

叫做坐標原點.軸間的夾角畫成注：為使空間直角坐標系畫得更富于立體感，通常把際夾角還是.2、坐標面與卦限

三條坐標軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統稱為坐標面.由軸與軸所決定的坐標面稱為面，另外還有面與三個坐標面把空間分成了八個部分，這八個部分稱為卦限.面.(圖1-8)

3、空間點的直角坐標

取定空間直角坐標系之后，我們就可以建立起空間點與有序數組之間的對應關系.7 設為空間的一已知點，過點分別作垂直于

點的坐標.軸、軸、軸的三個平面，它們與軸、軸、軸的交點依次為了一個有序數組依次稱，，這三點在軸、，這組數叫為點

軸、軸的坐標依次為

.的點，于是：空間點就唯一地確定的橫坐標、縱坐標和豎坐標，記為，我們可以在、、軸上取坐標為

軸、反過來，若已知一有序數組在軸取坐標為的點，在軸上取坐標為的點，然后過分別作軸、軸的垂直平面，這三個平面的交點就是以有序數組為坐標的空間點.和有序數組

之間的一一對應關系..這樣，通過空間直角坐標系，我們建立了空間點定義1 我們把上面有序數組

二 空間兩點間的距離公式 定理1 設、叫點

在此坐標系下的坐標，記為

為空間的兩點，則兩點間的距離為

(1.5-1)

證 過、體，如圖所示 各作三個分別垂直于三坐標軸的平面，這六個平面圍成一個以為對角線的長方

(圖1-9)

是直角三角形，故因為是直角三角形，故

；，，故 特別地，點與坐標原點的距離為.三 空間向量的坐標

.，從而 而

定義2 設使得標，記為定理

2設向量是與坐標軸，同向的單位向量，對空間任意向量都存在唯一的一組實數，，那么我們把這組有序的實數或

.、叫做向量在此坐標系下的坐的始終點坐標分別為，那么向量

.(1.5-2)的坐標為

證 由點及向量坐標的定義知所以

=由定義知

定理3 兩向量和的分量等于兩向量對應的分量的和.證 設，==所以

類似地可證下面的兩定理： 定理

4設定理5 設，則，則+，.(1.5-3)，那么

..，.共線的充要條件是

定理6

三非零向量，.(1.5-4)，共面的充要條件是 證 因為.(1.5-5)

不共面，所以存在不全為0的實數

使得，由此可得

因為不全為0，所以.§1.6 向量在軸上的射影

一、空間點在軸上的投影：

設已知點及軸，過點作軸的垂直平面，則平面

與軸的交點叫做點

在軸

上的投影.(圖1-10)

二、向量在軸上的投影： 定義1 設向量叫做向量的始點在軸與終點

在軸的投影分別為、，那么軸稱為投影軸.上的有向線段的值上的投影，記作，軸(圖1-11)這里，(1)的值是這樣的一個數： 即，數的絕對值等于向量

；當的模.的方向與

(2)當的方向與軸的正向一致時，三、空間兩向量的夾角：

軸的正向相反時，.設有兩向量、交于點(若、不相交，可將其中一個向量平移使之相交)，將其中一向量繞點在兩向量所決定的平面內旋轉，使它的正方向與另一向量的正方向重合，這樣得到的旋轉角度(限定)稱為、間的夾角，記作

.(圖1-12)

若、平行，當它們指向相同時，規定它們之間的夾角為；當它們的指向相反時，規定它們的夾角為.類似地，可規定向量與數軸間的夾角.將向量平行移動到與數軸相交，然后將向量繞交點在向量與數軸所決定的平面內旋轉，使向量的正方向與數軸的正方向重合，這樣得到的旋轉角度四 投影定理： 定理1.6.1 向量在軸上的投影等于向量的模

稱為向量與數軸的夾角.乘以軸與向量的夾角的余弦.即 ,(1.6-1)

(圖1-13)證 過向量等于軸的始點引軸，且軸

與軸

平行且具有相同的正方向，那未軸

與向量的夾角與向量的夾角，而且有

故 由上式可知：向量當非零向量在軸

上的投影是一個數值，而不是向量.成銳角時，向量

都有，設，.分別是的投影為正..(1.6-2)

在軸上的投影，那么顯然與投影軸定理1.6.2 對于任何向量證 取有 因為 所以 即 類似地可證下面的定理：，那么定理1.6.3 對于任何向量與任何實數

有.(1.6-3)

§1.7 兩向量的數性積

定義1.7.1 對于兩個向量a和b?把它們的模|a|,|b|及它們的夾角 的余弦的乘積稱為向量和的數量積?記作ab,即 ab=|a||b|cos.由此定義和投影的關系可得?ab|b|Prjb a=|a|Prjab?.數量積的性質?

2(1)a2a=|a|,記a2aa，則a|a|.(2)對于兩個非零向量 a、b?如果 a2?b=0?則 ab? 反之?如果ab?則a2?b?0.定理1.7.1 如果認為零向量與任何向量都垂直?則a?b?a2?b?0.定理1.7.2 數量積滿足下面運算律：?(1)交換律? a2?b= b2a?(2)分配律(??ab)cacbc

(?(3)a)2?b a2(b?)(a2b)?(a)2(b?)(a2b)??

證（1）由定義知顯然.(2)的證明

因為當c0時 上式顯然成立

當c0時 有

(ab)c|c|Prjc(ab)|c|(PrjcaPrjcb)|c|Prjca|c|Prjcb acbc

（3）可類似地證明.例1 試用向量證明三角形的余弦定理

證 設在ΔABC中?∠BCA c 記2|c| 2

2||=a ||=b |?

|=c 要證

a 2+b 22 a b cos a?b?=c??則有 cc

c(ab)(ab)a2-2 2 2

ab 從而???

2ab+b|a|2+|b|22|a||b|cos(a^b)

即 ca+b2 a b cos ?

數量積的坐標表示?:

定理1.7.3 設a{ax ay az }?b{bx by bz } 則

a2baxbxaybyazbz

證 a2?b(ax ?i ay j az k)2(bx i by j bz k)ax bx i2i ax by i2j ax bz i2k

ay bx j 2i ay by j 2j ay bz j2k

az bx k2i az by k2j az bz k2k ax bx ay by az bz ?

定理1.7.4 設a={ |a|=證 由定理1.7.2知

|a|=a=2

},則向量a的模

.，所以 |a|=.向量的方向角和方向余弦：向量與坐標軸所成的角叫做向量的方向角，方向角的余弦叫向量的方向余弦.定理1.7.5 設a={

}，則a的方向余弦為

cos =, cos，cos且 其中

；，分別是向量a與x軸，y軸,z軸的夾角.證 因為 ai=|a|cos

且ai==，所以 |a|cos從而 cos=.同理可證 cos

cos且顯然

兩向量夾角的余弦的坐標表示?

定理1.7.6

設(a ^ b)則當a

0、b0時?有

.證 ?因為 a2b|a||b|cos

，所以

.例2 已知三點M(11?1)?、A(22?1)?和B(21?2)??求AMB ?

解 從M到A的向量記為a 從M到B的向量記為b 則AMB 就是向量a與b的夾角?.a{11?0}??b{10?1}??

因為

ab1110011?

所以 從而.? ?

?

§1.8 兩向量的向量積

定義1.8.1 兩個向量a與b的向量積(也稱外積)是一個向量,記做ab或,它的模|ab||a||b|sin,它的方向與a和b垂直并且按a,b, ab確定這個順序構成右手標架｛O;a,b,ab｝.從定義知向量積有下列性質：(1)aa0

(2)對于兩個非零向量a，b如果ab0則a//b；反之如果a//b則ab 0.定理1.8.1 兩不共線向量a與b 的向量積的模,等于以a與b為邊所構成的平行四邊形的面積.定理1.8.2 兩向量a與b共線的充要條件是ab0.證 當a與b共線時，由于sin(a、b)=0，所以|ab|=|a||b| sin(a、b)=0，從而ab0；反之，當ab0時，由定義知，a =0，或b =0，或a//b，因零向可看成與任向量都共線，所以總有a//b，即a與b共線.定理1.8.3 向量積滿足下面的運算律

(1)反交換律 abba，(2)分配律(ab)cacbc，(3)數因子的結合律(a)ba(b)(ab)().證（略）.推論: c(ab)c a c b

定理1.8.4 設a ax i ay j az kb bx i by j bz k，則 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k

證 由向量積的運算律可得

ab(ax iay jaz k)(bx iby j bz k)axbx iiaxby ij axbz ik

aybx jiayby jjaybz jkazbx kiazby k azbz kk

由于 iijjkk0ijkjkikij 所以 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k.為了幫助記憶利用三階行列式符號上式可寫成

aybzi+azbxj+axbykaybxkaxbzjazbyi

(ay bz az by)i(az bx ax bz)j(ax by ay bx)k

例1 設a(2 1 1)b(11 2)計算ab

解 =2ij2kk4ji i5j 3k

例2 已知三角形ABC的頂點分別是A(123)、B(345)、C(247)求三角形ABC的面積

解 根據向量積的定義可知三角形ABC的面積

由于(222)(124)因此

4i6j2k

于是

例3 設剛體以等角速度 繞l 軸旋轉計算剛體上一點M的線速度

解 剛體繞l 軸旋轉時我們可以用在l 軸上的一個向量n表示角速度它的大小等于角速度的大小它即以右手握住l 軸當右手的四個手指的轉向與剛體的旋轉方向一致時大姆指的指向就是n的方向

設點M到旋轉軸l的距離為a 再在l軸上任取一點O作向量r并以 表示n與r的夾角那么

a|r| sin

設線速度為v那么由物理學上線速度與角速度間的關系可知v的大小為

|v||n|a |n||r| sin

v的方向垂直于通過M點與l軸的平面即v垂直于n與r又v的指向是使n、r、v符合右手規則因此有

vnr

§1.9 三向量的混合積

定義1.9.1 給定空間的三個向量或.定理1.9.1 三個不共面向量且當右手系時構成右手系時混合積為正；當,當構成左手系時的混合積的絕對值等于以

為棱的平行六面體的體積

=

當，并構成，我們把

叫做三向量的混合積，記做

構成左手系時混合積為負,也就是.可構成以證 由于向量的底面是以不共面，所以把它們歸結到共同的試始點，它的高為，為棱的平行六面體，它

.為邊的平行四邊形，面積為，體積是根據數性積的定義其中是當與的夾角.構成右手系時，.，.共面的充要條件是共面，由定理1.9.1知，因而可得

當構成左手系時，因而可得

定理1.9.2 三向量證 若三向量.反過來，如果，即

.，所以，從而，那么根據定理1.7.1有，另一方面，有向性積的定義知，所以共面.定理1.9.3輪換混合積的三個因子，并不改變它的值；對調任何倆因子要改變混合積符號，即

.證 當共面時，定理顯然成立；當

不共面時，混合積的絕對值等于以

為棱的平行六面體的體積，又因輪換的順序時，不改變左右手系，因而混合積不變，而對調任意兩個之間的順序時，將右手系變為左，而左變右，所以混合積變號.推論: 定理1.9.4設

.，，那么

證 由向量的向性積的計算知

.再根據向量的數性積得，==

=推論: 三向量

.共面的充要條件是

例1 設三向量證明：由

且所以例2 已知四面體，求它的體積。，即

滿足

.，證明：

兩邊與做數量積，得：，共面。

共面。，，的頂點坐標解：

，，所以，§1.10三向量的雙重外積

定義1.10.1 給定空間三向量，先做其中兩個的向量積，再把所得的向量與第三個向量做向量積，那么，最后的結果仍然是一個向量，叫做三個向量的雙重向量積。

就是三向量也垂直，所以定理1.10.1 證 若中有一個是零向量，或定理顯然成立。

現設都為非零向量，且的一個雙重向量積。且和

共面。

（1.10.1）

共線，或與

都垂直，則（1.10.1）兩邊都是零向量，與

都垂直，與

不共線，為了證明（1.10.1）成立，先證

（1）

由于（2）式兩邊分別與，解得，即（1）式成立。共面，而

不共線，故可設，（2）

作數量積可得

下證（1.10.1）成立。由于則有利用（1）式可得例1.試證: 證明：

三式相加得例2． 證明： 證明：設，則

不共面，對任意，可設。

。，小 結

知識點回顧：

解析幾何的基本思想就是用代數的方法來研究幾何問題，為了把代數運算引到幾何中來，最根本的做法就是把空間的幾何結構有系統地代數化，數量化。因此在本章中主要引入了向量及它的運算，并通過向量了坐標系，從而使得空間中的點都和三元有序數組建立了一一對應的關系，為空間的幾何結構代數化打好了基礎。

通過本章的學習，應掌握向量及其各種運算的概念，熟練掌握線性運算和非線性運算的基本性質、運算規律和分量表示，會利用向量及其運算建立空間坐標系和解決某些幾何問題，如利用兩向量的數量積為零來判斷各種垂直關系，兩向量的向量積為零向量來判斷各種平行問題，三向量的混合積為零來判斷共面問題，以及在空間直角坐標系下，利用向量積的模求面積，混合積來求體積等問題。

1.向量加法的運算規律：

（1）

（2）（3）

（4）

2.數乘的運算規律：

（1）12（2）

（3）（4），.=，.3.兩向量的數量積

（1）ab=|a||b|cos.（2）a?b?a2?b?0.（3）在空間直角坐標系下，設a a2b 4．兩向量的向量積

{ax ay az }?baxbxaybyazbz

{bx by bz } 則

（1）兩個向量a與b的向量積(也稱外積)是一個向量,記做ab或,它的模|ab||a||b|sin,它的方向與a和b垂直并且按a,b, ab確定這個順序構成右手標架｛O;a,b,ab｝

（2）兩向量a與b共線的充要條件是ab0..（3）在空間直角坐標系下設a ax i ay j az kb bx i by j bz k，則 ab(aybz azby)i(azbx axbz)j（axby aybx）k

（4）兩不共線向量a與b 的向量積的模,等于以a與b為邊所構成的平行四邊形的面積

5.三向量的混合積

（1）三個不共面向量并且當也就是

.（2）三向量

共面的充要條件是，.，的混合積的絕對值等于以構成右手系時混合積為正；當=

當

構成右手系時

為棱的平行六面體的體積，構成左手系時混合積為負，當

構成左手系時（3）在空間直角坐標系下設那么

.典型習題

1.已知四面體ＡＢＣＤ的頂點坐標Ａ（４，３，０），Ｂ（６，０，６），Ｃ（０，０，０），Ｄ。

求（１）△ＢＣＤ的面積。

（２）四面體ＡＢＣＤ的體積。（３）Ｃ到△ＢＣＤ的距離。解：（1）

所以 △BCD的面積，-------2分

（2）四面體ABCD的體積為

（3）設C到BCD平面的距離為h,則

從而有。

．，即

2.用向量法證明：P是ΔABC重心的充要條件為證明：設P為△ABC的重心，D為BC邊中點，則 又因為PD為△PBC的中線，所以 所以有 設D為BC邊中點，則，即。

又因為，與共線，即P在BC邊的中線上，同理可得P也在AB，AC邊的中線上，從而有P為△ABC的重心。

3.證明：四面體每一個頂點與對面重心所連的線段共點，且這點到頂點的距離是它到對面重心距離的三倍.用四面體的頂點坐標把交點坐標表示出來.[證明]：設四面體A1A2A3A4,Ai對面重心為Gi, 欲證AiGi交于一點(i＝1, 2, 3, 4).在AiGi上取一點Pi，使＝3, 從而設Ai(xi, yi, zi)(i＝1, 2, 3, 4)，則

＝，G1G2G3G4所以 , ， ，P1(P1(同理得P24.在四面體，,)

P3P

4,).P1，所以AiGi交于一點P，且這點到頂點距離等于這點到對面重心距離的三倍.是的重心（三中線之交點），求矢量

對于矢量 中，設點的分解式。

解：是的重心。連接并延長與BC交于P 同理

（1）

由（1）（2）（3）得

（2）

（3）

即

第二章 軌跡與方程

本章教學目的：通過本章學習，使學生理解空間坐標系下曲面與空間曲線方程之定義及表示，熟悉空間中一些特殊曲面、曲線的方程.本章教學重點：空間坐標系下曲面與空間曲線方程的定義.本章教學難點：（1）空間坐標系下母線平行于坐標軸的柱面方程與平面坐標系下有關平面曲線方程的區別；（2）空間坐標系下，空間曲線一般方程的規范表示.本章教學內容：

§2.1平面曲線的方程

在平面上或空間取定了坐標系之后，平面上或空間的點就與有序數組(坐標):或建立了一一對應的關系.曲線、曲面(軌跡)就與 方程

或建立一一對應的關系.1.平面上的曲線: 具有某種特征性質的點的集合(軌跡).曲線的方程:1 曲線上的點都具有這些性質.2具有這些性質的點都在曲線上.2.曲線的方程, 方程的圖形

定義2.1.1 當平面上取定了坐標系之后,如果一個方程與一條曲線有著關系:1滿足方程的線上某一點的坐標;2曲線上任何一點的坐標這條曲線叫做這個方程的圖形.例1.求圓心在原點,半徑為R的圓的方程.必是曲

滿足這個方程,那么這個方程叫做這條曲線的方程,而解: 任意點類似地, 圓心在 例2.已知兩點解: 動點在圓上,半徑為R的圓的方程為和在軌跡上,求滿足條件

..的動點的軌跡方程.即

平方整理得

再平方整理得

.為所求軌跡方程.注: 在求曲線的方程時,化簡過程中可能造成范圍 的變化,得到的方程所代表曲線上的點與條件并不

完全相符,必須補上或除去.3.曲線的參數方程 變向量: 隨的變化而變化的向量.:對每一個

都唯一確定的一個.（）叫做曲線的向量式 向量函數= 定義2.1.2 在坐標系上,向量函數==參數方程.曲線的坐標式參數方程: 曲線的普通方程:.21

例3.一個圓在一直線上無滑動地滾動,求圓周上一點的軌跡.(圖2-3)

解:取直角坐標系,設半徑為的圓在軸上滾動,開始時點P恰好在原點O(圖2-3),經過一段時間的滾動,圓與直線軸的切點移到A點,圓心移到C點,這時有

.設為到的有向角,則到的角為,則

.又

, ,這即是P點軌跡的向量式參數方程.其坐標式參數方程為:取時,消去參數,得其在的一段的普通方程: 這種曲線叫做旋輪線或稱為擺線.例4.已知大圓半徑為,小圓半徑為,設大圓不動,而小圓在大圓內無滑動地滾動,動圓周上某一點P的軌跡叫做內旋輪線(或稱內擺線),求內旋輪線的方程.解:

設運動開始時動點P與大圓周上的A點重合，并取大圓中心O為原點，OA為x軸，過O與OA垂直的直線為y軸建立坐標系，經過某一過程后，小圓與大圓的接觸點為B，小圓中心為C，則C一定在OB上，且有，設為到則有又由弧AB等于弧BP可得所以

.的有向角，為

到的有向角，從而有到的有向角為，23 即為P點的向量式參數方程，其坐標式參數方程為

（-∞﹤<+∞）

例5 把線繞在一個固定的圓周上，將線頭拉緊后向反方向旋轉，以把線從圓周上解放出來，使放出來的部分成為圓的切線，求線頭的軌跡.解 設圓的半徑為是圓周上的點，如右圖，建立坐標系，那么 設 且矢量 所以 =從而得，，那么，對軸所成的有向角為，線頭的最初位置

，這就是所求點軌跡的矢量式參數方程.由上式可得該軌跡的坐標式參數方程為

該曲線叫漸伸線或切展線.一、曲面的方程：

§2.2 曲面的方程

定義2.2.1 設Σ為一曲面，F（x，y，z）=0或以后，若Σ上任一點P（x,y,z）的坐標都滿足F（x，y，z）=0或都在曲面Σ上，則稱F（x，y，z）=0或

為一三元方程，空間中建立了坐標系，而且凡坐標滿足方程的點

為曲面Σ的方程，而曲面Σ叫做方程F（x，y，z）=0或的圖形.不難看出，一點在曲面Σ上〈═〉該點的坐標滿足Σ的方程，即曲面上的點與其方程的解之間是一一對應的 ∴Σ的方程的代數性質必能反映出Σ的幾何性質.三元方程的表示的幾種特殊圖形：

空間中任一曲面的方程都是一三元方程，反之，是否任一三元方程也表示空間中的一個曲面呢？一般而言這是成立的，但也有如下特殊情況

1° 若F（x，y，z）=0的左端可分解成兩個（或多個）因式F1（x，y，z）與F2（x，y，z）的乘積，即F（x，y，z）≡F1（x，y，z）F2（x，y，z），則

F（x，y，z）=0〈═〉F1（x，y，z）=0或F2（x，y，z）=0，此時 F（x，y，z）=0表示兩葉曲面與，它們分別以F1（x，y，z）=0，F2（x，y，z）=0為其方程，此時稱F（x，y，z）=0表示的圖形為變態曲面.如

即為三坐標面.2方程 僅表示坐標原點和點（1，2，3）3°方程可能表示若干條曲線，如

0

即表示z軸和x軸 4°方程 不表示任何實圖形，如，此時，稱所表示的圖形為虛曲面 3 求法：

例1：求平行于坐標面的平面的方程.解：設平行于 面的平面為π，π與z軸的交點為∈π〈═〉

共面，則

=0 即

同理，平行于其他兩坐標面的平面的方程為

例2：求作兩定點A（1，-2，1），B（0，1，3）等距離的點的軌跡.解：

（圖2.1）

設所求軌跡為Σ，則

=

〈═〉-2x+4y-2z+6=-2y-6z+10

〈═〉2x-6y-4z+4=0〈═〉x-3y-2z+2=0

即所求軌跡為x-3y-2z+2=0

例3：求半徑為R的球面的方程

解：建立直角坐標系{O；i,j,k}，并設球心 P（x,y,z）球面Σ〈═〉∣

（a,b,c），則

∣=R〈═〉

特別地，若M.（a,b,c）為坐標原點，則球面Σ的方程為 x2+y2+z2=R2

綜合上述條例，可歸納出求曲面方程的一般步驟如下： 1°建立適當的坐標系；（方程易求且求出的方程簡單）

2°設動點Σ坐標為P（x,y,z），并根據已知條件，推出曲面上的點的坐標應滿足的方程； 3°對方程作同解化簡.二、曲面的參數方程：

定義2.2.2 設DR2為有序數對集，若對任意（u，v）∈D，按照某對應規則，有唯一確定的向量r與之對應，稱這種對應關系為D上的一個二元向量函數，記作

r=r（u，v），（u，v）∈D

定義2.2.3 設Σ為一曲面，r=r（u，v），（u，v）∈D為一二元向量函數，在空間坐標系下，若對任意（u，v）∈D，徑向

=r（u，v）的終點P總在曲面Σ上，而且對任意P∈Σ，也必能找到（u，v）∈D，使=r

（u，v），則 稱r=r（u，v）為Σ的向量式參數方程，記作Σ：r=r（u，v），（u，v）∈D.若令 r（u，v）={x（u，v），y（u，v），z（u，v）}，則 稱

（u，v）∈D

為Σ的坐標式參數方程，記作Σ：（u，v）∈D

(圖2.2)(圖2.3)例：建立球面的參數方程：

解：為簡單起見，設坐標原點位于球心，球面半徑為R，如圖

對任意M（x,y,z）∈球面Σ；令P為M 在x.y面上投影，并令=∠（r= =，），則

∣cos

i+∣

∣sin

j+∣∣sin sinj +Rcos

∣cos

j+∣

∣cos =∣ =∣∣sin cos i+ ∣ =Rsin cos i+Rsin sin ∴球面的參數方程 為： 0π 0<2π

三、球坐標系與柱坐標系

定義2.2.4 空間中建立了直角坐標系之后，對空間中任一點M（x,y,z），設∣OM∣=ρ 則M在以O為中心，以ρ為半徑的球面上，從而存在φ，θ，使

（*）

反之，對任意ρ（ρ?0），φ（0π），θ（0<2π），通過（*）也能確定空間中一點M（x,y,z），我們稱有序三數組ρ，φ，θ為M點 的球坐標（空間極坐標），記作M（ρ，φ，θ）

注：1°空間中的點與其球坐標間并非一一對應.2°已知M點的球坐標，通過（*）可求其直角坐標，而若已知M的直角坐 標，則

（**）

便可求其球坐標.定義2.2.5 空間中建立了直角坐標系之后，對

M（x,y,z），設其到z軸的距離為ρ，則 M落在以z軸為中心軸，以ρ為半徑的圓柱面上，從而θ，u，使

（*）

反之，對給的ρ（ρ?0），θ（0≦θ<2π），u（∣u∣<）,依據（*）式

也可確定空間中一點M（x,y,z），稱有序三數組ρ，θ，u為M點的柱坐標，記作M（ρ，θ，u）.注：1°空間中的點與其柱坐標并非一一對應.2°由柱面坐標求直角坐標,利用(*)即可,而由直角坐標求柱坐標,則需按下式進行.例：在直角坐標系下，圓柱面的圖形如下：，雙曲柱面，平面

和拋物柱面 27

(圖2.4)

(圖2.5)

(圖2.6)(圖2.7)

§2.3 空間曲線的方程

一、空間曲線的一般方程

1.定義2.3.1 設L為空間曲線,為一三元方程組,空間中建立了坐標系之后,若L上任一點M(x,y,z)的坐標都滿足方程組,而且凡坐標滿足方程組的點都在曲線L上,則稱

為曲線L的一般方程,又稱普通方程,記作L:

28(圖2.8)

注: 1°在空間坐標系下,任一曲線的方程定是兩方程聯立而成的方程組;

2°用方程組去表達曲線,其幾何意義是將曲線看成了二曲面的交線（如圖2.8）;3°空間曲線的方程不唯一(但它們同解),如

與 均表示z軸

2.用曲線的射影柱面的方程來表達曲線

以曲線L為準線,母線平行于坐標軸的柱面稱為L的射影柱面,若記L的三射影柱面的方程為

(x,y)=0，(y,z)=0，(z,x)=0,則

，便是L的用射影柱面表達的方程

若已知曲線L:的方程(y,z)=0, ,只需從L的方程中,分別消去x,y,z便三射影柱面(z,x)=0，(x,y)=0

例:設有曲線L: ,試求L的射影柱面,并用射影柱面方程表達曲線.解:從L的方程中分別消去x,y,z得到 z2-4y=4z,x2+z2=4z,x2+4z=0 它們即為L的射影柱面,而

(1),便均是L的用射影柱面表達的方程

注:利用方程(2)即可作出L的草圖 二、空間曲線的參數方程:

(2),(3)

1.定義2.3.2 設L為一空間曲線，r=r(t),t∈A為一元向函數,在空間坐標系下，若對P∈L，t∈A，使 =r（t），而且對t∈A，必有P∈L，使r（t）=，則稱r=r（t），t∈A為曲線L的向量式參數方程，記作L=r=r（t），t∈A，t ——參數

若點r（t）={x（t），y（t），z（t）}

則稱 t∈A

為L的坐標式參數方程

注：空間曲線的參數方程中，僅有一個參數，而曲面的參數方程中，有兩個參數，所以習慣上，稱曲線是單參數的，而曲面是雙參數的。

2.求法： 例：一質點，在半徑=a的圓柱面上，一方面繞圓柱面的軸作勻速轉動，一方面沿圓柱面的母線方向作勻速直線運動，求質點的運動軌跡。

解：以圓柱面的軸作為z軸，建立直角坐標系{O；i，j，k}，如圖，不妨設質點的起始點在x軸上，質點的角速率與線速率分別為ω。，ν。，質點的軌跡為L，則對∈L，在x。y面上的投影為′，(圖2.9)r= = +，=acos=b，則

i+asin

j+

k

若令 r=acos i+asin j+b k ————L的向量式參數方程

而

小結

知識點回顧：

在平面上或空間取定了坐標系后，平面上或空間的點就與有序實數組（x,y）或(x,y,z)建立了一一對應的關系，在此基礎上，把平面上的曲線或空間的曲面都看成具有某種特征性質的點的集合，而其特征性質在坐標系中反映為它的坐標之間的某種特定關系，把這種關系找出來，就是它的方程，而圖形的方程和圖形間有一一對應的關系，這樣就把研究曲線與曲面的幾何問題轉化為了代數問題。如曲面的方程為F（x，y，z）=0，要研究空間中三曲面是否有公共點的問題就可歸結為求三曲面方程的公共解，也就是解三元聯立方程組的問題。例如方程組

如果有實數解，則三曲面點的坐標。若方程組無實數解，三曲面就沒有公共點。

平面曲線的普通方程為

就有公共點，方程組的解就是公共，參數，參數方程為單參數的；曲面的普通方程為方程為雙參數的；空間曲線的普通方程為，參數方程為單參數的。

參數方程若能消去參數可得到普通方程，普通方程化為參數方程時形式卻是不唯一的，但一定要保證與原方程等價。典型習題：

1.有一長度為段中點的軌跡。解：設 ＞0）的線段，它的兩端點分別在軸正半軸與，為兩端點，為此線段的中點。

.在中有

軸的正半軸上移動，是求此線

:.則即.∴此線段中點的軌跡為.2.有一質點，沿著已知圓錐面的一條直母線自圓錐的頂點起，作等速直線運動，另一方面這一條母線在圓錐面上，過圓錐的頂點繞圓錐的軸（旋轉軸）作等速的運動，這時質點在圓錐面上的軌跡叫做圓錐螺線，試建立圓錐螺線的方程.解：取圓錐面的頂點為坐標原點，圓錐的軸為z軸建立直角坐標系，并設圓錐頂角為，旋轉角速度為，直線運動速度為V，動點的初始位置在原點，而且動點所在直母線的初始位置在xoz面上，t秒后質點到達P點，P點在xoy面上的射影為N，N在x軸上的射影為M，則有

而

所以，圓錐螺旋線的向量式參數方程為

坐標式參數方程為

（﹣∞

本章教學目的： 通過本章的學習，使學生掌握空間坐標系下平面、直線方程的各種形式，掌握確定平面與直線的條件，熟練掌握點、平面與空間直線間各種位置關系的解析條件及其幾何直觀概念.本章教學重點：（1）空間坐標系下平面方程的點位式和點法式、直線方程點向式與標準式；（2）點、平面與空間直線間各種位置關系的解析條件；（3）平面與空間直線各種度量關系的量化公式.本章教學難點：（1）異面直線的公垂線方程；（2）綜合運用位置關系的解析條件求平面、空間直線方程.本章教學內容：

§3.1平面的方程

1．平面的點位式方程

在空間給定了一點M0與兩個不共線的向量a，b后，通過點M0且與a，b平行的平面? 就惟一被確定.向量a，b叫平面? 的方位向量.任意兩個與?平行的不共線的向量都可作為平面? 的方位向量.取標架==，設點M0的向徑，平面? 上任意一點M的向 = {x，y，z}（如圖）.點M在徑為r =平面?上的充要條件為向量與向量a，b共面.由于a，b不共線，這個共面的條件可以寫成

= ua＋vb

而= r －r0，所以上式可寫成

r = r0＋ua＋vb(3.1－1)

此方程叫做平面? 的點位式向量參數方程，其中u，v為參數.31 若令a = {，}，b = {，}，則由(3.1－1)可得

(3.1－2)

此方程叫做平面? 的點位式坐標參數方程，其中u，v為參數.(3.1－1)式兩邊與a3b作內積，消去參數u，v得

(r －r0，a，b)=

0(3.1-3)

此即

=0(3.1－4)

這是? 的點位式普通方程.例1：已知平面?上三非共線點

（i = 1，2，3）.求通過

={，（i = 1，2，3）的平面方程。}，i = 1，2，3.對動點M，設r =

={x，解： 建立坐標系{O；e1, e2, e3}，設ri = y，z}，取次為 和為方位向量，M1為定點，則平面?的向量參數方程，坐標參數方程和一般方程依r = ＋u(－)＋v(－r1)(3.1－5)

(3.1－6)

= 0(3.1－7)

(3.1－5)，(3.1－6)和(3.1－7)統稱為平面的三點式方程.特別地，若是? 與三坐標軸的交點，即≠0，則平面? 的方程就是

(a，0，0)，(0，b，0)，(0，0，c)，其中abc=0(3.1－8)

即

(3.1－9)

此方程叫平面?的截距式方程，其中a，b，c稱為? 在三坐標軸上的截距.2．平面的一般方程

在空間，任一平面都可用其上一點M0(x0，y0，z0)和兩個方位向量a = {，}，b = {，}確定，因而任一平面都可用方程(3.1－4)表示.將(3.1－4)展開就可寫成

Ax＋By＋Cz＋D =

0(3.1－10)其中 A =，B =，C =

由于a = {，}與b = {，}不共線，所以A，B，C不全為零，這說明空間任一平面都可用關于a，b，c的一三元一次方程來表示.32 反之，任給一三元一次方程(3.1－10)，不妨設A≠0，則(3.1－10)可改寫成

即

它顯然表示由點M0(－D / A，0，0)和兩個不共線的向量{B，－A，0}和{C，0，－A }所決定的平面.于是有

定理3.1.1 空間中任一平面的方程都可表為一個關于變數x，y，z的三元一次方程；反過來，任一關于變數x，y，z的三元一次方程都表示一個平面.方程(3.1－10)稱為平面? 的一般方程.現在先來討論幾種特殊的平面方程（平面對于坐標系來講具有某種特殊位置）： 1.D=0的平面都通過原點。

2.A、B、C中有一個為0，例如C=0，則平面通過Z軸。

3.A、B、C中有兩個為0，若D，B=C=0，平面平行于yoz坐標面。.其余情況同學們自己討論。

3．平面的法式方程。

若給定一點M0和一個非零向量n，則過M0且與n垂直的平面?也被惟一地確定.稱n為?的法向量.在空間坐標系{O；i，j，k}下，設={x，y，z}，則因總有

=

={x0，y0，z0}，n = {A，B，C}，且平面上任一點M的向徑r =⊥n，有

n(r－r0)=

0(3.1－11)也就是 A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.1－12)

方程(3.1－11)和(3.1－12)叫平面? 的點法式方程.(3.1－12)中的系數A，B，C有簡明的幾何意義，它們就是平面? 的一個法向量的分量.特別地，取M0為自O向? 所作垂線的垂足，而n為單位向量.當平面不過原點時，取n為與00的單位向量n，當平面過原點時取n的正向為垂直與平面的兩個方向中的任一個.設|| = p，則0n(r－p n0)= 0 = p n，由點P和n確定的平面的方程為，上式可寫成 n0r－p =

0(3.1－13)

0

0

同向式中r是平面的動向徑.由于此方程叫平面的向量式法式方程.0若設r = {x，y，z}，n = {cos?，cos?，cos?}，則由(3.1－13)得

x cos?＋y cos?＋z cos?－p = 0(3.1－14)

此為平面的坐標法式方程，簡稱法式方程.平面的坐標法式方程有如下特征：

1°一次項系數是單位向量的分量，其平方和等于1； 2°常數項－p?0（意味著p ? 0）.3°p是原點到平面的距離.例3: 求通過點

且平行于z軸的平面方程。，所以有2A 解：設平行于z軸的平面方程為Ax＋By＋D = 0，因為它又要通過－B＋D = 0，3A－2B＋D = 0，由上兩式得A:B:C= 所以所求平面方程為x＋y－1= 0

4．化一般方程為法式方程

在直角坐標系下，若已知?的一般方程為Ax＋By＋Cz＋D = 0，則n = {A，B，C}是?的法向量，Ax＋By＋Cz＋D = 0可寫為

nr＋D =

0(3.1－15)

與(3.1－13)比較可知，只要以

去乘(3.1－15)就可得法式方程

?Ax＋?By＋?Cz＋?D = 0(3.1－16)

其中正負號的選取，當D≠0時應使(3.1－16)的常數項為負，D＝0時可任意選.以上過程稱為平面方程的法式化，而將例2：已知兩點解： 中點坐標為：

化為法式方程，并求出原點指向平面的單位法向量。，，求線段

叫做法化因子.垂直平分面的方程。

平面的點法式方程為： 整理后得：例3：把平面 解： ：所以

法式方程為：

§3.2平面與點的相關位置

平面與點的位置關系，有兩種情形，就是點在平面上和點不在平面上.前者的條件是點的坐標滿足平面方程.點不在平面上時，一般要求點到平面的距離，并用離差反映點在平面的哪一側.1．點到平面的距離 定義3.2.1 自點M0向平面? 引垂線，垂足為Q.向量面?之間的離差，記作

? = 射影

n0

在平面?的單位法向量n0上的射影叫做M0與平

(3.2－1)

顯然 ? = 射影n0當0.0

= 2n =∣

0

0

∣cos∠(，n)=±∣

0

∣

與n同向時，離差? > 0；當與n反向時，離差? < 0.當且僅當M0在平面上時，離差? =

顯然，離差的絕對值就是點M0到平面? 的距離.定理3.2.1 點M0與平面（3.1－13）之間的離差為 ? = n0r0－p(3.2－2)證：根據定義3.2.2和上圖得? = 射影n0 其中q== n（0

0

-）= n（r0－q）= nr0－n q

0

000，而Q在平面（3.1-13）上，因此n q= p，所以? = nr0－p。，則

與?間的離差 推論1 若平面? 的法式方程為

3)

推論2 點與平面Ax＋By＋Cz＋D = 0間的距離為

(3.2－

(3.2－4)

2．平面劃分空間問題 三元一次不等式的幾何意義 設平面的一般方程為

Ax＋By＋Cz＋D = 0 則空間中任一點M（x，y，z）與間的離差為

= ?(Ax＋By＋Cz＋D)式中?為平面的法化因子，由此有

Ax＋By＋Cz＋D

=(3.2－5)

對于平面同側的點，? 的符號相同；對于在平面的異側的點，? 有不同的符號，而?一經取定，符號就是固定的.因此，平面：Ax＋By＋Cz＋D = 0把空間劃分為兩部分，對于某一部分的點M(x，y，z)Ax＋By＋Cz＋D > 0；而對于另一部分的點，則有Ax＋By＋Cz＋D < 0，在平面上的點有Ax＋By＋Cz＋D = 0.§3.3 兩平面的相關位置

空間兩平面的相關位置有3種情形，即相交、平行和重合.設兩平面?1與?2的方程分別是

?1：(1)

?2：(2)

則兩平面?1與?2相交、平行或是重合，就決定于由方程（1）與（2）構成的方程組是有解還是無解，或無數個解，從而我們可得下面的定理.定理3.3.1兩平面（1）與（2）相交的充要條件是

(3.3－1)

平行的充要條件是

(3.3－2)

重合的充要條件是

(3.3－3)

由于兩平面?1與?2的法向量分別為，當且僅當n1不平行于n2時?1與?2相交，當且僅當n1∥n2時?1與?2平行或重合，由此我們同樣能得到上面3個條件.下面定義兩平面間的夾角.設兩平面的法向量間的夾角為?，稱?1與?2的二面角∠(?1，?2)=? 或?－?為兩平面間的夾角.顯然有

=±cos? =±定理3.3.2兩平面（1）與（2）垂直的充要條件是

(3.3－5)

例 一平面過兩點 和且垂直于平面x＋y＋z = 0，求它的方程.解 設所求平面的法向量為n = {A，B，C}，(3.3－4)

由于在所求平面上，有，即.又n垂直于平面x＋y＋z = 0的法線向量{1，1，1}，故有A＋B＋C = 0 解方程組 得

所求平面的方程為，約去非零因子C得，即 2x－y－z =0，§3.4 空間直線的方程

1．直線的點向式方程 在空間給定了一點與一個非零向量v = {X，Y，Z}，則過點M0且平行于向量v的直線l就惟一地被確定.向量v叫直線l的方向向量.顯然，任一與直線l上平行的飛零向量均可作為直線l的方向向量.下面建立直線l的方程.如圖，設M(x，y，z)是直線l上任意一點，其對應的向徑是r = { x，y，z }，而對應的向徑是r0，則因有 //v，有t∈R，= t v.即r－r0= t v

所以得直線l的點向式向量參數方程

r = r0＋t v(3.4－1)

以諸相關向量的分量代入上式，得

根據向量加法的性質就得直線l的點向式坐標參數方程為

－∞ < t < ＋∞(3.4－2)

消去參數t，就得直線l的點向式對稱方程為

(3.4－3)

此方程也叫直線l的標準方程.今后如無特別說明，在作業和考試時所求得的直線方程的結果都應寫成對稱式.例1 設直線L通過空間兩點M1(x1，y1，z1)和M2(x2，y2，z2)，則取M1為定點，就得到直線的兩點式方程為

(3.4－4)

根據前面的分析和直線的方程(3.4－1)，可得到

為方位向量，這個式子清楚地給出了直線的參數方程(3.4－1)或(3.4－2)中參數的幾何意義：參數t的絕對值等于定點M0到動點M之間的距離與方向向量的模的比值，表明線段M0M的長度是方向向量v的長度的 |t| 倍.0特別地，若取方向向量為單位向量v = {cos?，cos?，cos?} 則(3.4－1)、(3.4－2)和(3.4－3)就依次變為

0 r = r0＋t v(3.4－5)

－∞ < t < ＋∞(3.4－6)

和

(3.4－7)

此時因 |v| = 1，t的絕對值恰好等于l上兩點M0與M之間的距離.直線l的方向向量的方向角?，?，? cos?，cos?，cos? 分別叫做直線l的方向角和方向余弦.由于任意一個與v平行的非零向量v'都可作為直線l的方向向量，而二者的分量是成比例的，我們一般稱X ：Y ：Z為直線l的方向數，用來表示直線l的方向.2．直線的一般方程

空間直線l可看成兩平面?1和?2的交線.事實上，若兩個相交的平面?1和?2的方程分別為

?1：

那么空間直線l上的任何一點的坐標同時滿足這兩個平面方程，即應滿足方程組 ?2：

(3.4－8)

反過來，如果點不在直線l上，那么它不可能同時在平面?1和?2上，所以它的坐標不滿足方程組(3.4－8).因此，l可用方程組(3.4－8)表示，方程組(3.4－8)叫做空間直線的一般方程.一般說來，過空間一直線的平面有無限多個，所以只要在無限多個平面中任選其中的兩個，將它們的方程聯立起來，就可得到空間直線的方程.直線的標準方程(3.4－3)是一般方程的特殊形式.將標準方程化為一般式，得到的是直線的射影式方程.將直線的一般方程化為標準式，只需在直線上任取一點，然后取構成直線的兩個平面的兩個法向量的向量積為直線的方向向量即可.例 將直線的一般方程

化為對稱式和參數方程.解 令y = 0，得這直線上的一點（1，0，－2）.兩平面的法向量為

a = {1，1，1}，b = {2，－1，3}

因a3b = {4，－1，－3}，取為直線的法向量，即得直線的對稱式方程為

令，則得所求的參數方程為

§3.5 直線與平面的相關位置

直線與平面的相關位置有直線與平面相交，直線與平面平行和直線在平面上3種情形.設直線l與平面? 的方程分別為

l：(1）

? ：Ax＋By＋Cz＋D = 0(2)

（1）也就是

.將（2）代入（1），整理可得

(AX＋BY＋CZ)t = －(Ax0＋By0＋Cz0＋D)(3)

當且僅當AX＋BY＋CZ≠0時，（3）有惟一解

這時直線l與平面? 有惟一公共點；當且僅當AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0時，（3）無解，直線l與平面? 沒有公共點；當且僅當AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D = 0時，（3）有無數多解，直線l在平面? 上.于是有

定理3.5.1 關于直線（1）與平面（2）的相互位置，有下面的充要條件： 1）相交： AX＋BY＋CZ≠0

2）平行： AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0 3）直線在平面上： AX＋BY＋CZ = 0，Ax0＋By0＋Cz0＋D = 0

以上條件的幾何解釋：就是直線l的方向向量v與平面? 的法向量n之間關系.1）表示v與n不垂直；

2）表示v與n垂直且直線l上的點（x0，y0，z0）不在平面? 上； 3）表示v與n垂直且直線l上的點（x0，y0，z0）在平面? 上.當直線l與平面? 相交時，可求它們的交角.當直線不與平面垂直時，直線與平面的交角? 是指直線和它在平面上的射影所構成的銳角；垂直時規定是直角.設v = {X，Y，Z}是直線l的方向向量，n = {A，B，C}是平面? 的法向量，則

令 ∠(l，?)=，∠(v，n)= ?，就有 =? 或= ?－（? 為銳角）

(3.5－1)因而,sin =∣cos?∣==從這個公式也可直接得到定理3.5.1中的條件.§3.6 空間直線與點的相關位置

任給一條直線l的方程和一點M0，則l和M0的位置關系只有兩種：點在直線上和點不在直線上。從代數上，這兩種情況對應點的坐標滿足方程和點的坐標不滿足方程.當點不在直線上時，可求此點到直線的距離.設空間中有一點M0(x0，y0，z0)，和一條直線l：

l：

此處M1(x1，y1，z1)是l上的一點，v = {X，Y，Z}是l的方向向量.以v和

為鄰邊作一平行四變形，則其面積為 | v3|，點M0到直線l的距離d就是此平行四變形的對應于底 | v | 的高，所以

=(3.7－1)

在實際計算中，記憶上式的第二個等號后面的部分是沒有實際意義的.只需根據公式的前半部分計算即可.§3.7空間兩直線的相關位置 1．空間兩直線的位置關系：

空間兩直線的相關位置有異面與共面，共面時又有相交、平行和重合3種情形.設二直線的方程為

：

i = 1，2

此處直線l1是由點和方向向量v1 = {X1，Y1，Z1}決定的，而直線l2是由點和方向向量v2 = {X2，Y2，Z2}決定的.由圖容易看出，兩直線的相關位置決定于三向量，v1，v2的相互關系.當且僅當這三個向量異面時，兩直線異面；當且僅當這三個向量共面時，兩直線共面.共面時，若v1，v2不平行，則l1和l2相交，若v1∥v2但不與平行，則l1和l2平行，v1∥v2∥則l1和l2重合.因此有

定理3.6.1 空間兩直線l1和l2的相關位置有下面的充要條件 1）異面：

(3.6－1)

2）相交：(3.6－2)3）平行：(3.6－3)4）重合：(3.6－4)2．空間兩直線的夾角

平行于空間兩直線的兩向量間的夾角，叫空間兩直線的夾角.顯然，若兩直線間的夾角是?，則也可認為它們之間的夾角是?－?.定理3.6.2 空間兩直線l1和l2的夾角的余弦為

(3.6－5)，推論 兩直線l1與l2垂直的充要條件是

X1X2＋Y1Y2＋Z1Z2 =

0(3.6－6)

3．二異面直線間的距離與公垂線的方程

空間兩直線的點之間的最短距離叫這兩條直線之間的距離.兩相交或兩重合直線間的距離為零；兩平行直線間的距離等于其中一直線上的任意一點到另一直線的距離.與兩條異面直線都垂直相交的直線叫兩異面直線的公垂線.兩異面直線間的距離就等于它們的公垂線夾在兩異面直線間的線段的長.39 設兩異面直線l1和l2的方程如前，l1和l2與它們的公垂線的交點分別為N1和N2，則l1和l2之間的距離

也就是

(3.6－6)

現在求兩異面直線l1和l2的公垂線的方程.如上圖，公垂線l0的方向向量可取作= {X，Y，Z}，而公垂線l0可看作兩個平面的交線，這兩個平面一個通過點M1，以v1和

和為方向向量，另一個平面通過點M2，以v2和

和為方向向量.因此公垂線l0的一般方程可寫為(3.6－7).例1求通過點方程。

解：設直線方程為：由條件可得： 而與平面平行，且與直線相交的直線的即

從而，且所以，直線方程為：例2 已知兩直線：

與

⑴ 證明它們為異面直線；

⑵ 求它們公垂線的方程

解： ⑴ ⑵ 公垂線方向為：，所以，兩直線異面。

公垂線方程為：，化簡得： 即：

§3.8平面束

1．平面束

定義3.8.1 空間中過同一直線l的所有平面的集合稱為有軸平面束，l稱為這平面束的軸.定義3.8.2 空間中平行于一定平面?的所有平面的集合稱為平行平面束.有軸和平行平面束統稱為平面束.定理3.8.1 如果兩個平面

?1：x＋y＋z＋= 0（1）

?2：x＋y＋z＋= 0（2）

交于一條直線L，那么以直線L為軸的有軸平面束的方程是

?(x＋y＋z＋)＋?(x＋y＋其中? 和 ? 是不全為零的任意實數.證 先證(3.8－1)表示過L的平面.z＋)= 0(3.8－1)

(3.8－1)即為(?+?)x＋(?+?)y＋(?+? 上式中x，y，z的系數必不全為零，若不然，則有

－?：? =

：

=

：)z＋?=

：

＋? = 0

這與與相交矛盾.故表示(3.8－1)一平面?，?顯然通過與的交線L.再證明對于過L的任一平面?，必存在不全為零的實數?，?，使?的方程為(3.8－1).首先，若?是一般地，若?≠件是，取? = 1，? = 0；若?是，取? = 0，? =1即可.，i = 1，2，取?上一點A(a，b，c)L，則由于(3.8－1)表示的平面要通過L的條?(a+b+c+)＋?(a+b+

b+c+

c+)= 0

即 ?：? =－(a+)：(a+b+c+)

不妨取 ? =－(a+b+c+)，? =a+b+c+

則由于A不在L上，? 和 ? 不全為零，因而過L且過A的平面? 的方程必可寫成(3.8－1)的形式.例 求過二平面4x－y＋3z－1 = 0與x＋5y－z＋2 = 0的交線，且過原點的平面的方程.解 略（講解時實推）.定理3.8.2 如果兩個平面

?1：x＋y＋z＋= 0（1）

?2：x＋y＋z＋= 0（2）

為平行平面，那么方程

41)＋?(x＋y＋z＋)= 0(3.8－1)

為平行平面束，平面束中任一平面都和?1或?2平行.式中? 和 ? 是不全為零的任意實數，且

－? ：?≠A1 ：A2 = B1 ：B2 = C1 ：C2

定理3.8.3平行于平面?：Ax＋By＋Cz＋D = 0的所有平面的方程可表為

Ax＋By＋Cz＋? = 0(3.8－2)

例 求與平面3x＋y－z＋4 = 0平行，且在z軸的截距等于－6的平面的方程.解 設所求的平面是3x＋y－z＋t = 0，則由于點(0，0，－6)在平面上，有

t＋6 = 0, t =－6

所求的平面方程為 3x＋y－z－6 = 0

2．平面把

定義3.8.3 空間中過一定點的所有平面的集合稱為平面把，稱為把心.?(x＋y＋z＋定理3.8.4 過定點(，)的所有平面的方程為

A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.8－3)

其中A，B，C是任意不全為零的實數.更一般地，我們有

定義3.8.3 空間中過一定點的所有平面的集合稱為平面把，稱為把心.定理3.8.5 過定點(，)的所有平面的方程為

A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)= 0(3.8－4)

其中A，B，C是任意不全為零的實數.定理3.8.6 對任意不全為0的? , ?，?，方程

(3.8－5)

表示過三平面

：的（惟一）交點(，?，使? 的方程為(3.8－4).)的一個平面?；反之，對任意過, 3 的平面?，必存在不全為零的? , ?，小結

知識點回顧：

通過本章的學習，使學生掌握空間坐標系下平面、直線方程的各種形式，掌握確定平面與直線的條件，熟練掌握點、平面與空間直線間各種位置關系的解析條件及其幾何直觀概念.（1）空間坐標系下平面方程的點位式和點法式.在空間取仿射坐標系則平面設點的向量式參數方程為的坐標分別為，并設點的向徑其中，那么，平面

為參數。

；并設

上任意一點的向徑為

則平面的坐標式參數方程為，為參數。

平面的點位式方程為

空間中任一平面的方程都可以表示成一個關于變量 x,y,z 的一次方程；反過來，每一個關于變量 x,y,z 的一次方程都表示一個平面，Ax+By+Cz+D=0 叫做平面的一般方程 取空間直角坐標系，設點的向徑為

，平面上的任意一點的向徑為，則平面的點法式方程.（2）空間直線的各種方程.42 在空間取仿射坐標系則其向量式參數方程為，已知直線上一點。，動點，方向向量.坐標式參數方程為：對稱式方程或標準方程為：

.。

設有兩個平面的方程為中的系數行列式

（＊）如果，即方程組（＊）

不全為零，那么相交，它們的交線設為，因為 上的任意一點同在這兩平面上，所以它的坐標必滿足方程組（＊）；反過來，坐標滿足方程組（＊）的點同在兩平面上，因而一定在這兩平面的交線即直線 上，因此方程組（＊）表示直線的方程，把它叫做直線的一般方程（3）點的離差和點到平面的距離； 如果自點與平面到平面引垂線，其垂足為，那么向量

在平面的單位法向量

上的射影叫做點之間的離差，記做點到平面距離公式：（4）點到直線的的距離：.（5）異面直線的公垂線方程

兩異面直線 典型習題：

1、一平面過兩點 和，求它的方程.解 設所求平面的法線向量為 顯然，故 即 又垂直于平面故有

；

且垂直于平面，在所求平面上，，.的法線向量，43

解方程組

得 據點法式方程有，約去非零因子

得，故所求方程為

2、用對稱式方程及其參數方程硎局畢?/span>

解 先找出這直線上的一點，如：取

代入方程組得

解此二元一次方程組得 于是，得到直線上的一點 再找該直線的一個方向向量都垂直，可取

.，由于兩平面的交線與兩平面的法線向量，因此，所給直線的對稱式方程為

；

直線的參數方程為

3分別在下列條件下確定（1）使（2）使與的值：

和

表示二平行平面；

表示同一平面；

（3）使與表示二互相垂直的平面。解：（1）欲使所給的二方程表示同一平面，則：

即：

從而：。

（2）欲使所給的二方程表示二平行平面，則：

所以：。

所以：

：

。（3）欲使所給的二方程表示二垂直平面，則：4.試驗證直線：解：

直線與平面相交。

與平面

相交，并求出它的交點和交角。

又直線的坐標式參數方程為： 設交點處對應的參數為，從而交點為（1，0，-1）。又設直線與平面的交角為，則：，5.給定兩異面直線：解：因為公垂線方程為：，與，試求它們的公垂線方程。

即，亦即

第四章 柱面、錐面、旋轉曲面及常見二次曲面

本章教學目的： 使學生掌握柱面、錐面和旋轉曲面的定義、方程求法和方程特征；熟練掌握五種常見二次曲面的定義、標準方程及幾何特征，了解它們的性質，會畫它們的草圖.本章教學重點：（1）常見二次曲面的定義、標準方程及圖形的特征；（2）坐標面上的曲線繞坐標軸旋轉時所產生旋轉曲面方程的求法.（3）通過求柱面、錐面和旋轉曲面的方程，理解動曲線產生曲面的思想方法.本章教學難點 ：（1）柱面及錐面方程的求法中消去參數的幾何意義的理解；（2）雙曲拋物面的幾何性質的分析；（3）二次曲面直紋性的證明.本章教學內容：

§4.1 柱面

一 柱面

定義4.1.1 在空間，由平行于定方向且與一條定曲線相交的一族平行直線所產生的曲面叫做柱面.其中定方向叫柱面的方向，定曲囈兄條都叫柱面的母線.注：1°一個柱面的準線不惟一（舉例）.2°平面和直線也是柱面.以下建立柱面的方程.設在給定的坐標系下，柱面S的準線為

(1)

母線的方向數為X，Y，Z.若M1(x1，y1，z1)為準線上任一點，則過M1的母線方程為

(2)

且有(3)

從（2）、（3）4個等式中消去參數x1，y1，z1，最后得一個三元方程

F(x，y，z)= 0

就是以（1）為準線，以{X，Y，Z}為方向的柱面的方程.這里需要特別強調的是，消去參數的幾何意義，就是讓點M1遍歷準線上的所有位置，就是讓動直線（1）“掃”出符合要求的柱面.例1 已知一個柱面的準線方程為，其母線的方向數是－1，0，1，求該柱面的方程.解 設M1(x1，y1，z1)是準線上的點，過M1(x1，y1，z1)的母線為

(1)

且有

(2)(3)

由(1)得

將(4)代入(2)和(3)得

(4)

(5)

(6)

由（5）和（6）得

(7)

將（7）代入（5）（或（6））得所求柱面方程為即.例2 已知圓柱面的軸為，點M1(1，－2，1)在此柱面上，求這個圓柱面的方程.解法一 記所求的圓柱面為S.因S的母線平行于其軸，母線的方向數為1，－2，－2，若能求得圓柱面的準線圓，則用例1的方法即可解題.空間的圓總可看成某一球面與某一平面的交線，故圓柱面的準線圓可看成以軸上的點.M0(0，1，－1)為中心，為半徑的球面的交線，即準線圓 是

設為 上的任意點，則

（1）（2）

與過已知點M1(1，－2，1)且垂直于軸的平面S的過的母線為

（3）

由（1）、（2）、（3）消去參數x1，y1，z1，得S的方程為.將圓柱面看成動點到軸線等距離點的軌跡，這里的距離就是圓柱面的半徑，那么例2就有下面的第二種解法.解法二 因軸的方向向量為v = {1，－2，－2}，軸上的定點為M0(0，1，－1)，M1(1，－2，1)是S上的定點，點M1到l的距離

.設M(x，y，z)是圓柱面上任意一點，則M到軸l的距離為，即

化簡整理就得S的方程為

二、柱面的判定定理 定理4.1.1

在空間直角坐標系中，只含有兩個元（坐標）的三元方程所表示的曲面是一個柱面，它的母線平行于所缺元（坐標）的同名坐標軸。

在空間直角坐標系里，因為這些柱面與 xoy坐標面的交線分別是橢圓，雙曲線與拋物線，所以它們依次叫做橢圓柱面，雙曲柱面，拋物柱面，統稱為二次柱面.三、空間曲線的射影柱面

空間曲線L:(15),如果我們從（15）中依次消去一個元，可得，任取其中兩個方程組，比如（16）那么方成這樣（16）和（15）是兩個等價的 方程組，也就是（16）表示的曲線和（15）是同一條，從而曲面都通過已知曲線(15)；同理方程知，曲面

表示的曲面也通過已知曲線(15)。有定理4.1.1表示一個母線平行于z軸的柱面，在直角坐標系下，起母線垂直于xoy坐標面，我們把曲面叫做空間曲線（15）對xoy坐標面射影的射影柱面，而曲線曲線（15）在xoy坐標面上的射影曲線。同理，與

叫做空間

分別叫做曲線（15）對xoz坐標面與yoz坐標面射影的射影柱面，而曲線和叫做空間曲線（15）在xoz坐標面與yoz坐標面上的射影曲線。

§4.2 錐面

定義4.2.1 在空間，通過一定點且與一條定曲線相交的一族直線所產生的曲面叫做錐面.這里定點叫做錐面的頂點，定曲線叫錐面的準線，直線族中的每一條都叫錐面的母線.注：1°一個錐面的準線不惟一（舉例）.2°平面既是柱面也是錐面.3°一條直線也是錐面.4°若將柱面的母線看成在無窮遠處相交的話，則柱面是一個頂點在無窮遠點的錐面.以下建立錐面的方程.設錐面S的準線為

(1)

頂點為A(x0，y0，z0).若M1(x1，y1，z1)為準線上任一點，則過M1的錐面的母線方程為

(2)

且有(3)

從（2）、（3）4個等式中消去參數x1，y1，z1，最后得一個三元方程F(x，y，z)= 0 就是以（1）為準線，以A為頂點的錐面的方程.這里消去參數的幾何意義與柱面的情形類似，就是讓點M1跑遍準線上的所有點，從而讓動直線（2）“掃”出符合要求的錐面.下面的定理給出了錐面方程的特征.先介紹齊次函數的概念.設為實數，對于函數，若

此處t的取值應使有確定的意義，則稱為n元次齊次函數，對應的方程= 0為次齊次方程.22例 u = xy＋2yz＋xyz為三次齊次函數.定理4.2.1 一個關于x，y，z的齊次方程總表示一個頂點在原點的錐面.48 證： 由齊次方程的定義有當設直線的方程為 時有，故曲面S：為S上非原點的任意點，則

.過原點.滿足，即有

.而

代入= 0，得，即直線

上的所有點的坐標滿足曲面S的方程.因此直線在曲面S：上，故曲面S：是由這種通過坐標原點的直線組成，因而是以原點為頂點的錐面.推論 一個關于x－x0，y－y0，z－z0的齊次方程總表示一個頂點在(x0，y0，z0)的錐面.證 設有x－x0，y－y0，z－z0的齊次方程

F(x－x0，y－y0，z－z0)=0(*)

作坐標變換(**)為齊次方程，故表示頂點在點的錐面.的齊次方程可能只表示原點.例如

.這樣的曲面，表示以，則(*)化為(**)

為頂點的錐面.從而

注 在特殊情況下，一個關于一般稱為有實頂點的虛錐面.例1 錐面的頂點為原點，準線為解 設，求錐面的方程.為準線上任意一點，則過M1的母線為：

(4)

且有(5)

(6)

將(6)代入(4)得(7)

將(7)代入(3)得(4.2－1)這就是所求的錐面，稱為為二次錐面.二次錐面的方程(4.2－1)所表示的圖形，當a = b時就是我們熟悉的圓錐面.例2 已知一圓錐面的頂點為A(1，2，3)，軸l垂直于平面30°的角，試求該圓錐面的方程.解 設，母線與軸l組成為所求曲面S的任一母線上的任一點，則過M的母線的方向向量為

n = {2，2，－1}.由題，圓錐的軸線的方向向量即為平面根據題意v和n的夾角是30°或150°，故有

即 化簡整理得圓錐面的方程是

這是一個關于x－1，y－2，z－3的二次齊次方程.此結果也是對定理4.2.1的推論的一個直接驗證.因圓錐面是一種特殊的錐面，上面的解法是一種適合于圓錐面的特殊方法.我們當然可以先求出圓錐面的準線，再利用頂點與準線求出該圓錐面的方程.§4.3 旋轉曲面

1．一般的旋轉曲面方程 定義4.3.1 在空間，一條曲線 繞一定直線l旋轉一周所產生的曲面S叫做旋轉曲面（或回轉曲面）.叫做S的母線，l稱為S的的旋轉軸，簡稱為軸.設為旋轉曲面S的母線上的任一點，在 繞軸l旋轉時，也繞l旋轉而形成一個圓，稱其為S的緯圓、緯線或平行圓.以l為邊界的半平面與S的交線稱為S的經線.S的緯圓實際上是過母線 上的點且垂直于軸l的平面與S的交線.S的所有緯圓構成整個S.S的所有經線的形狀相同，且都可以作為S的母線，而母線不一定是經線.這里因為母線不一定為平面曲線，而經線為平面曲線.在直角坐標系下，設旋轉曲面S的母線為

：旋轉軸為

(1)

l這里為l上一點，X，Y，Z為l的方向數.(2)

設M1(x1，y1，z1)為母線 上的任意點，過M1的緯圓總可看成過中心，(3)

為半徑的球面的交線.故過M1的緯圓的方程為

且垂直于軸l的平面與以P0為

(4)

當M1跑遍整個母線時，就得出旋轉曲面的所有緯圓，所求的旋轉曲面就可以看成是由這些緯圓構成的.由于M1(x1，y1，z1)在母線 上，有

(5)

從（3）、（4）、（5）4個等式消去參數x1，y1，z1得一個方程

F(x，y，z)= 0

即為S的方程.例1 求直線 ：繞直線旋轉所得的旋轉曲面S的方程.解 設M1(x1，y1，z1)為母線 上的任一點，因旋轉軸過原點，過M1的緯圓方程為

(7)