第一篇：高中數學余弦定理
高中數學余弦定理
[教學設計說明]
一、教案說明：
在進入21世紀的當前，教育正在由應試教育向素質教育轉變，實施素質教育就要求每位教師加強素質教育課堂教學模式和教學策略的研究，這是歷史賦予我們這一代教育工作者的重任，也是一種機遇和挑戰。
《余弦定理》一課教學模式和策略設計就是想讓素質教育如何落實在課堂教學的每一個環節上進行一些探索和研究。旨在通過學生自己的思維活動獲取數學知識，提高學生基礎性學力(基礎能力)，培養學生發展性學力(培養終身學習能力)，誘發學生創造性學力(提高應用能力)，最終達到素質教育目的。為此，我在設計這節課時，采用開放式課堂教學模式，以學生參與為主，教師啟發、點撥的課堂教學策略。
開放式教學模式是充分建立在學生學習過程認識上的一種模式，其充分注重“人”的學習心理，通過設置開放性問題，問題的層次性推進和教師啟發、點撥發展學生有效思維，提高數學能力，達到上述三種學力的提高、培養和誘發。以學生參與為主，教師啟發、點撥教學策略是體現以學生發展為本的現代教育觀，在開放式討論過程中，提高學生的數學基礎能力，發展學生的各種數學需要，使其獲得終身受用的數學基礎能力和創造才能。
根據上述的體會、想法，我在余弦定理第一節教學課的設計上進行一些探索，用圖解說明如下：
二、教學目標：
1．掌握余弦定理及其多種推導過程。
2．通過一題多解，培養學生思維的靈活性，提高數學交流能力。3．綜合運用正弦定理和余弦定理解決有關的實際問題。
三、教學重點、難點：
重點是余弦定理的推導及其應用。難點是綜合運用正弦定理和余弦定理解決有關解斜三角形的應用題。[教學過程]
一、借助直觀，激發興趣，提出問題。
問題一：判別給出的四個三角形模型的形狀(不用測角工具)。
學生在回答過程中發現，有些三角形是很難憑自己經驗知識和直觀感覺就能做出判斷。顯然，我們可測出三角形的三邊長，這個問題就可歸納到這樣的問題：已知三角形三邊長，求三個角(只需求最大角)大小問題。
二、學生思考，小組交流，解決問題。
問題二：在ΔABC中，已知a=7，b=5，c=3，求最大角。
學生不同的解法簡錄：
方法一(方程思想)：如圖，BC2=CD2+BD2
即a2=：(b-ccosA)2十(csinA)2
方法二(解析法)：如圖建立直角坐標系，B(ccosA，csinA)C(b，0)，由│BC│=a可得。
方法三(三角法)：如圖，設∠CAD=α,∠BAD=β AD=x, CD=y，則c2-(a-y)2=b2-y2，2ay：b2+a2-c2，X2+y2=b2
cosA：COS(a十β)：COSaCOSβ—sinasinβ
教師巡視，啟發點撥學生參與一題多解解法探求，組成四人小組交流發言，形成開放性求解研究的趣味，結果發現學生有三種不同的解法。有利于發展學生思維的廣闊性，優化學生思維的品質，提高數學交流能力。
三、讓學生在實踐中歸納整理得到余弦定理。歸納得：
并把這些數學表達式敘述成數學語言。
讓學生掌握由特殊到一般，類比、抽象和歸納等數學思想方法，并探求出一般結論——余弦定理。
四、使學生認識到數學源于實踐，服務實踐。
問題三：如何用余弦定理判別△ABC形狀(已知三邊長a、b、c)。
解:不妨設a a2十b2>，c2<=> △ABC為銳角三角形，a2十b2=c2<=>ABC為直角三角形，a2十b2 問題四：請你設計一種方法，在河的一側測量出對岸某兩點間距離(工具有尺和測角器)。 學生方案實錄： 方案一：如圖一，在A、B所在對岸取點C，使A、B、C三點共線，再測出∠ACD=90°，CD=a，∠CDA=α，∠CDB=α，即可求AB=a(tgβ—tgα)方案二：如圖二，在A、B所在對岸取三點P、C、D，測出∠APC=∠BPD=90°，PC=a，PD=b，∠APB=θ，∠ACP=α，∠PDB=β，則AP=atgα，BP=btgβ，再由余弦定理可求得AB長。方案三：如圖三，在A、B所在對岸取C、D兩點，測出∠BCD=α，∠CDB=β，CD=a，由正弦定理得再測出∠ACD=Φ ,∠ADC=θ，由正弦定理得 在△ABD中, 再由余弦定理求得AB=√AD2+BD2-2AD.BDcos(β-θ)以四人小組展開討論、交流，教師巡視、啟發、點撥，最終出現三種解決問題的方法。通過開放性應用數學問題的解決，讓學生思維得到升華，并在問題解決中感悟到探索價值，發展創造性思維。 五、小結。 增強學生記憶，加深理解，發展思維，培養數學交流能力。在教師啟發、點撥下，讓學生參與完成小結。1．掌握余弦定理表達式、各種變形表達式及語言敘述。2．余弦定理適用范圍，重視正、余弦定理的綜合應用。 1．1．2余弦定理蘄春三中劉芳 1.1.2余弦定理 蘄春三中劉芳 （一）教學目標 1．知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。 2.過程與方法:利用向量的數量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，3．情態與價值：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數、余弦定理、向量的數量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯系與辯證統一。 （二）教學重、難點 重點：余弦定理的發現和證明過程及其基本應用； 難點：勾股定理在余弦定理的發現和證明過程中的作用。 （三）學法與教學用具 學法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題，利用向量的數量積比較容易地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角 教學用具：投影儀、計算器 （四）教學設想 [復習回顧] 1、正弦定理；abc???2RsinAsinBsinC2、可以解決兩類有關三角形的問題： （1）已知兩角和任一邊。 （2）已知兩邊和一邊的對角。 [提出問題] 聯系已經學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？ 用正弦定理試求，發現因A、B均未知，所以較難求邊c。 由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。A ?????????????????如圖1．1-5，設CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，則bc ???????c?c?a?ba?b???????ab?b??2a??bCa??2a??2?a?b?2a?b?2???? 從而c2?a2?b2?2abcosC(圖1．1-5) 同理可證a2?b2?c2?2bccosA b2?a2?c2?2accosB 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角 7的余弦的積的兩倍。即a2?b2?c2?2bccosA b2?a2?c2?2accosB c2?a2?b2?2abcosC 思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？ （由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論： b2?c2?a 2cosA?2bca2?c2?b2 cosB?b2?a2?c2 cosC?[理解定理] 從而知余弦定理及其推論的基本作用為： ①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊； ②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？ （由學生總結）若?ABC中，C=900，則cosC?0，這時c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。 [例題分析] 題型一 已知兩邊及夾角解三角形 例1．在?ABC 中，已知a ?cB?600，求b及A ⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB =2?2?2?cos450 =12?2?1) =8 ∴b? 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： b2?c2?a22221⑵解法一：∵ cosA?,∴A?600.asin450,解法二：∵ sinA?sinB2.4?1.4? 3.8,2?1.8?3.6,∴a＜c，即00＜A＜900,∴A?600.評述：解法二應注意確定A的取值范圍。 題型二 已知三邊解三角形 例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形 （見課本第8頁例4，可由學生通過閱讀進行理解） 解：由余弦定理的推論得： b2?c2?a2 cosA? 87.82?161.72?134.62 ??0.5543,A?56020?； c2?a2?b2 cosB? 134.62?161.72?87.82 ?2?134.6?161.7?0.8398,B?32053?； ? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053) ??90047.題型三 正、余弦定理的應用比較 例3.在△ABC中，已知 b=3，3。B=300，求角A，角C和邊a。 思考：求某角時，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理，兩種方法 有什么利弊呢？ [補充練習] 1、在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200） 2、在△ABC中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,求△ABC的最大內角。（答案：A=1200） [課堂小結] （1）利用余弦定理解三角形 ①．已知三邊求三角； ②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。 （2）余弦定理與三角形的形狀 （五）作業設計 ①課后閱讀：課本第9頁[探究與發現] ②課時作業：第10頁[習題1.1]A組第3，4題。 ③《名師一號》相關題目。 北師大版高中數學必修 52.1.2《余弦定理》教學設計 一、教學目標 認知目標：引導學生發現余弦定理，掌握余弦定理的證明，會運用余弦定解三角形中的兩類 基本問題。 能力目標：創設情境，構筑問題串，在引導學生發現并探究余弦定理過程中,培養學生觀察、類比、聯想、遷移、歸納等能力；在證明定理過程中，體會向量的思想方法；在解決實際問題過程中，逐步培養學生的創新意識和實踐能力。 情感目標：通過自主探究、合作交流，使學生體會到“發現”和“創造”的樂趣，培養學生 學習數學興趣和熱愛科學、勇于創新的精神。 二、教學重難點 重點：探究和證明余弦定理；初步掌握余弦定理的應用。 難點：探究余弦定理，利用向量法證明余弦定理。 三、學情分析和教法設計： 本節課的重點和難點是余弦定理的發現和證明，教學中，我采取“情境—問題”教學法,從情境中提出數學問題,以“問題”為主線組織教學,從特殊到一般，引導學生在解決問題串的過程中，既歸納出余弦定理，又完成了用幾何法對余弦定理的證明，以分散難點；用向量證明余弦定理時，我首先引導學生利用向量證明勾股定，讓學生體會向量解題基本思路、感受到向量方法的便捷，然后鼓勵學生證明余弦定理，最后通過二組例題加深學生對余弦定理的理解，體會余弦定理的實際應用。 四、教學過程 環節一 【創設情境】 1、復習引入 讓學生回答正弦定理的內容和能用這個定理解決哪些類型的問題。 2、情景引入 浙江杭州淳安千島湖(圖片來自于http://image.baidu.com)，A、B、C三島位置如圖所示，根據圖中所給的數據，你能求出A、B兩島之間的距離嗎？ 啟發學生積極思考，嘗試轉化為直角三角形,利用已學知識解決問題解決問題。在三角形ABC中，作AD⊥BC，交BC延長線于D，由∠ACB=120o，則∠ACD=60o，在RtΔADC中，∠CAD=30o，AC=6則CD=3,AD=3.在RtΔADB中,由勾股定理得: AB2=AD2+BD2，AB2=67.96AB≈8.24km 答：島嶼A與島嶼B的距離為8.24 km 探究2:若把上面這個問題變為： 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C為鈍角）求 c.在探究1的解法基礎上，把具體數字用字母替換，結合三角函數知識，不難得出 c2= a2+b2－2abcosC． 探究3:若把上面這個問題變為： 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C為銳角）求 c.如右圖，當∠C為銳角時，作AD⊥BC于D，BD把△ABC分成兩個直角三角形： A 在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2； 在Rt△ADC中，AD=AC·sinC=bsinC，DC=AC·cosC=bcosC． 容易求得：c2=a2+b2－2abcosC． 探究4: :若把上面這個問題變為： C B 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C為直角）求 c.結合前面的探究，你有新的發現嗎？ 222此時，△ABC為直角三角形，由勾股定理得c=a+b;也可以寫成c2=a2+b2－2abcos900 環節三【總結規律，發現新知】 探究1：總結規律。 結合前面的探究，我們容易發現，在△ABC中，無論∠C是銳角、直角還是鈍角，都有 c2=a2+b2－2abcosC 同理可以得到a2=b2+c2－2bccosA． b2=c2+a2－2accosB． 這就是余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余 弦的積的兩倍。 探究2：余弦定理的證明： 余弦定理是三角學中一個重要的定理，上一環節中的探究2—探究4是該定理的一種傳統的方法——幾何證法，歷史上有很多人對余弦定理的證明方法進行研究，建議同學們登陸，在百度文庫中查閱有關三角學的歷史，了解余弦定理證明的一些經典方法，如愛因斯坦的證法、坐標法、用物理的方法以及張景中的《繞來繞去的向量法》和《仁者無敵面積法》等等。其中向量法是最簡潔、最明了的方法之一。 問題①:用向量的方法能證明勾股定理嗎? 222在△ABC中已知∠A=900，BC=a，AB=c,CA=b, 求證：a=b+c B ????????????????證明：如右圖，在△ABC中，設AC?b,AB?c,CB?a.???????????????由向量的減法運算法則可得，AB?AC?CB,即c?b?a ???????????A 222 等式兩邊平方得，c?b?2c?b?a，??????2202222由向量的運算性質得c?b?2c?b?Cos90?a即c?b?a 所以a2=b2+c 2問題②:如何用向量的方法證明余弦定理？ 0把問題①的證明中Cos90換為CosA即可。 教師點評：利用向量來證明勾股定理,讓學生體會向量解題基本思路、感受到向量方法的便捷，激發學生興趣，在此基礎上，可以很簡單的證明余弦定理，讓學生切身體會到向量作為一種工具在證明一些數學問題中的作用。 探究3：余弦定理的分析 問題①：在△ABC中，當∠C=90°時，有c2=a2+b2．若a，b邊的長度不變，變換∠C的大小時，c2與a2+b2有什么大小關系呢？請同學們思考。 首先，可借助于多媒體動畫演示，讓學生直觀感受，a，b邊的長度不變時，∠C越小，AB的長度越短，∠C越大，AB的長度越長 222其后，引導學生，由余弦定理分析： c=a+b－2abcosC。 當∠C=90°時，cosC=0，則有c2=a2+b2，這是勾股定理，它是余弦定理的特例。當∠C為銳角時，cosC>0，則有c2 2當∠C為鈍角時，cosC<0，則有c2＞a2+b2 問題②余弦定理作用？ 從以上的公式中解出cosA,cosB,cosC,則可以得到余弦定理的另外一種形式： b2?c2?a2 cosA?2bca2?c2?b2cosB?2aca2?b2?c2cosC?2ab 即已知三角形的兩邊和它們的夾角，可求另一邊； 知三求一已知三角形的三條邊，求角。 已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，可求另一邊；（方程的思想）環節四【及時練習，鞏固提高】 下面，請同學們根據余弦定理的這兩種應用，來解決以下例題。O例1①在△ABC中，已知a=5,b=4,∠C=120,求c.②在△ABC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形三個內角的大小及其 面積。Q 環節五【應用拓展，提高能力】 例2：如圖所示，有兩條直線AB和CD相交成800角，交點是O，甲、乙兩人同是從點O分別沿OA，OC方向出發，速度分別是4km/h、4.5km/h，B O P 3小時后兩個相距多遠（結果精確到0.1km）? 分析：經過3時，甲到達點P，OP=4?3=12（12km）乙到達點Q，OQ=4.5?3=13.5(km).問題轉化為在△OPQ，已知OP=12km.，OQ=13.5km,∠POQ=800,求PQ的長。 例3 下圖是公元前約400 ┅的圖形（可登陸http://math.100xuexi.com 查閱詳細資料），試計算圖中線 段BD的長度及∠DAB的大小.1B A 環節六 【課堂反思總結】 通過以上的研究過程，同學們主要學到了那些知識和方法？你對此 有何體會？（先由學生回答總結，教師適時的補充完善） 1、余弦定理的發現從直角三角形入手，分別討論了銳角三角形和鈍角的三角形情況，體現了由特殊到一般的認識過程，運用了分類討 論的數學思想； D C2、用向量證明了余弦定理，體現了數學知識的應用以及數形結合數 學思想的應用； 3、余弦定理表述了三角形的邊與對角的關系，勾股定理是它的一種特例。用這個定理可以解決已知三角形的兩邊及夾角求第三邊和已知三角形的三邊求內角的兩類問題。環節七 【布置課后作業】 1、若三角形ABC的三條邊長分別為a?2，b?3，c?4，則2bccosA?2cacosB?2abcosC?。 2、在△ABC中,若a＝7,b＝8,cosC?13,則最大內角的余弦值為 143、已知△ABC中，acosB=bcos A，請判斷三角形的形狀（用兩種不同的方法）。 4、p52教材習題2-1第6,7題。 五、教學反思 1、余弦定理是解三角形的重要依據。本節內容安排兩節課適宜。第一節，余弦定理的引出、證明和簡單應用；第二節復習定理內容，加強定理的應用。 2、當已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時應注意解的不唯一性。但是這個問題在本節課講給學生，學生不易理解，可以放在第二課時處理。 3、本節課的重點首先是定理的發現和證明，教學中，我采取“情境—問題”教學模式,沿著“設置情境—提出問題—解決問題—總結規律---應用規律”這條主線,從情境中提出數學問題,以“問題”為主線組織教學,形成以提出問題與解決問題攜手并進的“情境—問題”學習鏈,目的使學生真正成為提出問題和解決問題的主體,成為知識的“發現者”和“創造者”,使教學過程成為學生主動獲取知識,發展能力,體驗數學的過程.5、合理的應用多媒體教學，起到畫龍點睛。 6、在實際的教學中，發現學生對于所學的知識（例如向量）不能很好的應用，學生的數學思想（如分類討論、數形結合）也不能靈活的應用，這在以后的教學中還應該加強。 1.2余弦定理 第1課時 知識網絡 三角形中的向量關系→余弦定理 學習要求 1． 掌握余弦定理及其證明； 2． 體會向量的工具性； 3． 能初步運用余弦定理解斜三角形． 【課堂互動】 自學評價 1．余弦定理： (1)a2?b2?c2?2bc?cosA，______________________，______________________.(2)變形：cosA? b 2?c 2?a 2，2bc ___________________，___________________.2．利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題： （１）_______________________________；（２）_______________________________． 【精典范例】 【例1】在?ABC中，（1）已知b?3，c?1，A?600，求a；（2）已知a?4，b?5，c?6，求A（精確到0.10）． 【解】 點評: 利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：（１）已知三邊，求三個 用心愛心角；（２）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角． 【例2】A,B兩地之間隔著一個水塘，聽課隨筆 擇另一點C，測CA?182m,CB?126m,?ACB?630，求A,B兩地之間的距離確到1m）． 【解】 【例3】用余弦定理證明：在?ABCC為銳角時，a2?b2?c2；當Ca2?b2?c2 ． 【證】 點評:余弦定理可以看做是勾股定理的推廣． 追蹤訓練一 １．在△ＡＢＣ中，求a； （２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，２．若三條線段的長為５，６，７，則用這 三條線段（）Ａ．能組成直角三角形 Ｂ．能組成銳角三角形 Ｃ．能組成鈍角三角形 專心 Ｄ．不能組成三角形 ３．在△ＡＢＣ中，已知a2?b2?ab?c2，試求∠Ｃ的大小． ４．兩游艇自某地同時出發，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行駛，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏東４５°的方向行駛，問：經過４０ｍｉｎ，兩艇相距多遠？ 【選修延伸】 【例4】在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2 ?23x?2?0的兩根，2cos?A?B??1。 （1）求角C的度數； （2）求AB的長；（3）求△ABC的面積。【解】 用心愛心 【例5】在△ABC中，角A、B、C聽課隨筆 分別為a，b，c，證明： a 2?b2 ?A?B?。 c 2? sinsinC 追蹤訓練二 1．在△ABC中，已知b?2，c?1，B=450則a?（）A2B 6?2C 6?2 6?22 D2 2．在△ABC中，已知AB=5，AC=6，BC=31則A=（） A?2??? B 3C6D 43．在△ABC中，若b?10，c?15，C=? 6則此三角形有解。 4、△ABC中，若a2 ?c2 ?bc?b2，則A=_______.專心 【師生互動】 用心愛心 專心3 第2課時余弦定理 【學習導航】 知識網絡 余弦定理?航運問題中的應用 ? ?判斷三角形的形狀 學習要求 1．能把一些簡單的實際問題轉化為數學問題； 2．余弦定理的教學要達到“記熟公式”和“運算正確”這兩個目標； 3．初步利用定理判斷三角形的形狀。【課堂互動】 自學評價 1．余弦定理： (1)_______________________，_______________________，_______________________.(2)變形：____________________，_____________________，_____________________.2．利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：（１）_______________________________；（２）______________________________． 【精典范例】 【例1】在長江某渡口處，江水以5km/h的速度向東流，一渡船在江南岸的A碼頭出發，預定要在0.1h后到達江北岸B碼頭，???? 設AN為正北方向，已知B碼頭在A碼頭的北偏東150，并與A碼頭相距1.2km．該渡船應按什么方向航行？速度是多少（角度 精確到0.10，速度精確到0.1km/h）？ 【解】 用心愛心 聽課隨筆 【例2】在?ABC中，已知 sinA?2sinBcosC，試判斷該三角形的形狀． 【解】 【例3】如圖，AM是?ABC中BC 中線，求證： AM? ． 【證明】 追蹤訓練一 1.在△ＡＢＣ中，如果sinA:sinB:sinC＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（Ａ．Ｂ．?2 Ｃ．?1 Ｄ．?13 2.如圖，長７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯腳與壁基相距１．５ｍ，梯頂在沿著壁向上 專心 ６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精確到０.１°）． 3.在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，試證明此三角形為銳角三角形． 【選修延伸】 3【例4】在△ABC中，設 a?b3?c3 a?b?c ?c2，且sinAsinB?34，請判斷三角形的形狀。 【解】 用心愛心聽課隨筆 專心第二篇：高中數學必修五1.1.2余弦定理
第三篇：北師大版高中數學必修5余弦定理
第四篇：高中數學《余弦定理》教案1 蘇教版必修5
第五篇：高中數學《余弦定理》教案2 蘇教版必修5
點擊咨詢 