第一篇：高中數學新課程創新教學設計案例50篇___32_任意角的三角函數

任意角的三角函數

教材分析

這節課是在初中學習的銳角三角函數的基礎上，進一步學習任意角的三角函數．任意角的三角函數通常是借助直角坐標系來定義的．三角函數的定義是本章教學內容的基本概念和重要概念，也是學習后續內容的基礎，更是學好本章內容的關鍵．因此，要重點地體會、理解和掌握三角函數的定義．在此基礎上，這節課又進一步研討了三角函數的定義域，函數值在各象限的符號，以及誘導公式

（一），這既是對三角函數的簡單應用，也是為學習后續內容做了必要準備．

教學目標

1.讓學生認識三角函數推廣的必要性，經歷三角函數的推廣的過程，增強對數的理解能力．

2.理解和掌握三角函數的定義，在此基礎上探索與研究三角函數定義域、三角函數值的符號和誘導公式

（一），并能初步應用它們解決一些問題．

3.通過對任意角的三角函數的學習，初步體會數學知識的發生、發展和運用的過程，提高學生的科學思維水平．

任務分析

在初中，我們只是學習了銳角三角函數，現在學習的是任意角的三角函數．定義的對象從銳角三角函數推廣到任意角的三角函數，從四種三角函數增加到六種三角函數．定義的媒介則從直角三角形改為平面直角坐標系．為了便于學生體會和理解，突出定義適用于任意角，通常要把終邊出現在四個象限的情況都畫出來（注意表示角時不用箭頭），學習時，必須弄清并強調：

這六個比值的大小都與點P在角的終邊上的位置無關，只與角的大小有關，即它們都是以角為自變量，以比值為函數值的函數，符合函數的定義，從而歸納和總結出任意角的三角函數的定義．對于三角函數的定義域、函數值在各象限內的符號和誘導公式

（一），可放手讓學生探索、研究、討論和歸納，用以培養學生的數學思維能力．

教學設計

一、情景設置 了當α

初中我們學習過銳角三角函數，知道它們都是以銳角為自變量，由其所在的直角三角形的對應邊的比值為函數值，并且定義角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函數．這節課，我們研究是一個任意角時的三角函數的定義．

在初中，三角函數的定義是借助直角三角形來定義的．如圖32-1，在Rt△ABC中，現在，把三角形放到坐標系中．如圖32-2，設點B的坐標為（x，y），則OC＝b＝x，CB＝a＝y，OB＝，從而

即角α的三角函數可以理解為坐標的比值，在此意義下對任意角α都可以定義其三角函數．

二、建立模型

一般地，設α是任意角，以α的頂點O為坐標原點，以角α的始邊的方向作為ｘ軸的正方向，建立直角坐標系xOy．P（x，y）為α終邊上不同于原點的任一點．如圖：

那么，OP＝，記作r，（r＞0）． 對于三個量x，y，r，一般地，可以產生六個比值：.當α確定時，根據初中三角形相似的知識，可知這六個比值也隨之相應的唯一確定．根據函數的定義可以看出，這六個比值都是以角為自變量的函數，分別把角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函數，記為

稱之為α

對于定義，思考如下問題：

1.當角α確定后，比值與P點的位置有關嗎？為什么？

2.利用坐標法定義三角函數與利用直角三角形定義三角函數有什么關系？ 3.任意角α的正弦、余弦、正切都有意義嗎？為什么？

三、解釋應用 ［例 題］

1.已知角α的終邊經過P（－2，3），求角α的六個三角函數值． 思考：若P（－2，3）變為（－2m，3m）呢？（m≠0）2.求下列角的六個三角函數值．

注：強化定義． ［練習］

1.已知角α的終邊經過下列各點，求角α的六個三角函數值．（1）P（3，－4）．（2）P（m，3）． 2.計 算．

（1）5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°．

四、拓展延伸

1.由于角的集合與實數集之間可以建立一一對應的關系，三角函數可以看成以實數為自變量的函數，如sina＝，不論α取任何實數，恒有意義，所以sina的定義域為｛α｜α∈R｝．類似地，研究cosa，tana，cota的定義域．

2.根據三角函數的定義以及x，y，r在不同象限內的符號，研究sina，cosa，tana，cota的值在各個象限的符號．

3.計算下列各組角的函數值，并歸納和總結出一般性的規律．（1）sin30°，sin390°．

（2）cos45°，cos（－315°）．

規律：終邊相同的角有相同的三角函數值，即sin（α＋k360°）＝sina，cos（α＋k·360°）＝cosa，tan（α＋k·360°）＝tana，（k∈Z）．

五、應用與深化 ［例 題］

1.確定下列三角函數值的符號．

2.求證：角α為第三象限角的充要條件是sinθ＜0，并且tanθ＞0． 證明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ為第三象限角．

∵sinθ＜0成立，所以θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的負半軸上． 又∵tanθ＞0成立，∴θ角的終邊可能位于第一或第三象限． ∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的終邊只能位于第三象限．

必要性：若θ為第三象限角，由三角函數值在各個象限的符號，知sinθ＜0，tanθ＞0． 從而結論成立． ［練習］

1.設α是三角形的一個內角，問：在sina，cosa，tana，tan取負值？為什么？

中，哪些三角函數可能2.函數的值域是 ____________ ．

點 評

這節課在設計上特別注意了以下幾點：①前后知識的聯系，知識的產生、發展過程，如任意角的三角函數的定義，由初中所講“0°～360°”的情況逐漸過渡到“任意角”的情況，講清了推廣的必要性及意義．②注重了知識的探究，如三角函數值在各象限的符號，及誘導公式

（一）．這里由學生自己去研究，討論，探索得出一般性結論，培養了學生獲取知識、探究知識的能力，強化了自主學習的意識．③注意了跟蹤練習的設計．

例題典型，練習有層次和變化，鞏固知識到位．

總體來說，這是一節實用較強，形式又不乏新穎的較好案例．

第二篇：任意角的三角函數教學設計

《任意角的三角函數》教學設計

一、教學內容分析

本節課是三角函數這一章里最重要的一節課，它是本章的基礎，主要是從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數的定義。在《課程標準》中：三角函數是基本初等函數，它是描述周期現象的重要數學模型，在數學和其他領域中具有重要的作用。《課程標準》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數（正弦、余弦、正切）的定義。

二、學生情況分析

本課時研究的是任意角的三角函數，學生在初中階段曾經研究過銳角三角函數，其研究范圍是銳角；其研究方法是幾何的，沒有坐標系的參與；其研究目的是為解直角三角形服務。以上三點都是與本課時不同的，因此在教學過程中要發展學生的已有認知經驗，發揮其正遷移。

三、教學目標

知識與技能目標:借助單位圓理解任意角的三角函數（正弦、余弦、正切）的定義；能根據任意角的三角函數的定義求出具體的角的各三角函數值；能根據定義探究出三角函數值在各個象限的符號。

方法與過程目標:在定義的學習及概念同化和精致的過程中培養學生類比、分析以及研究問題的能力。

情感態度與價值觀: 在定義的學習過程中滲透數形結合的思想。

四、教學重、難點分析：

重點：理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義。難點：引導學生將任意角的三角函數的定義同化，幫助學生真正理解定義。

五、教學方法與策略：

教學中注意用新課程理念處理教材，采用學生自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程.根據本節課內容、高一學生認知特點，本節課采用“啟發探索、講練結合”的方法組織教學.六、教具、教學媒體準備：

為了加強學生對三角函數定義的理解，幫助學生克服在理解定義過程中可能遇到的障礙，本節課準備在計算機的支持下，利用幾何畫板動態地研究任意角三角函數與它的終邊上點的坐標的關系，構建有利于學生建立概念的“多元聯系表示”的教學情境，使學生能夠更好地數形結合地進行思維．

七、教學過程

（一）教學情景

1．復習銳角三角函數的定義

問題1：在初中，我們已經學過銳角三角函數．如圖（課件2）在直角△ABC中，∠B是直角，那么根據銳角三角函數的定義，銳角A的正弦、余弦和正切分別是什么？

設計意圖：幫助學生回顧初中銳角三角函數的定義．

師生活動：教師提出問題，學生回答． 2．認識任意角三角函數的定義

問題2：在上節教科書的學習中，我們已經將角的概念推廣到了任意角，現在所說的角可以是任意大小的正角、負角和零角．那么任意角的三角函數又該怎樣定義呢？

設計意圖：引導學生將銳角三角函數推廣到任意角三角函數．

師生活動：在教學中，可以根據學生的實際情況，利用下列問題引導學生進行思考：

（1）能不能繼續在直角三角形中定義任意角的三角函數？ 以此來引導學生在平面直角坐標系內定義任意角的三角函數．

（2）在上節教科書中，將銳角的概念推廣到任意角時，我們是把角放在哪里進行研究的？

進一步引導學生在平面直角坐標系內定義任意角的三角函數．在此基礎上，組織學生討論。

（3）如圖2，在平面直角坐標系中，如何定義任意角的三角函數呢？

（4）終邊是OP的角一定是銳角嗎？如果不是，能利用直角三角形的邊長來定義嗎？如圖3，如果角θ的終邊不在第I象限又該怎么辦？

問題3：大家現在能不能給出任意角三角函數的定義了？

設計意圖：引導學生在定義銳角三角函數的基礎上，進一步給出任意角三角函數的定義．

師生活動：由學生給出任意角三角函數的定義，教師進行整理．

問題4：你能否給出正弦、余弦、正切函數在弧度制下的定義域？ 設計意圖：通過利用定義求定義域，既完善了三角函數概念的內容，同時又可幫助學生進一步理解三角函數的概念．

師生活動：學生求出定義域，教師進行整理． 例1：（題目在課件8中）

設計意圖：從最簡單的問題入手，通過變式，讓學生學習如何利用定義求不同情況下函數值的問題，進而加深對定義的理解，加強定義應用中與幾何的聯系，體會數形結合的思想．

3．練習（在課件9中）

設計意圖：通過應用三角函數的定義，加強對三角函數概念的理解． 4．小結

問題5：銳角三角函數與解直角三角形直接相關，初中我們是利用直角三角形邊的比值來表示其銳角的三角函數．通過今天的學習，我們知道任意角的三角函數雖然是銳角三角函數的推廣，但它與解三角形已經沒有什么關系了．你能再回顧一下任意角三角函數的定義嗎？

設計意圖：回顧和總結本節課的主要內容．

八、作業設計：

教科書P106習題1.2題．

設計意圖：根據本節課所涉及到的三角函數定義應用的幾個方面，從教科書中選擇作業題．試圖通過作業，讓學生進一步理解三角函數的概念，并從中評價學生對三角函數概念理解的情況．

九、教學反思：

上述教學設計及具體教學實施過程我認為有以下幾點意義：

1.教學設計緊扣課程標準的要求，重點放在任意角的三角函數的理解上。背景創設符合學生的認知特點和學生的身心發展規律——具體到抽象，現象到本質，特殊到一般，這樣有利學生的思考。

2.情景設計的數學模型很好地融合初中對三角函數的定義，也能很好引入在直角坐標系中，很好將銳角三角函數的定義向任意角的三角函數過渡，同時能夠揭示函數的本質。

3.通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，讓學生在情境中活動，在活動中體驗數學與自然和社會的聯系、新舊知識的內在聯系，在體驗中領悟數學的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學習的策略，使學生在理解數學的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。這和課程標準的理念是一致的。

第三篇：任意角的三角函數教學設計

《任意角的三角函數》第一課時 教學設計

會寧縣第二中學數學教研組

曹蕊

一、教學內容分析

本節課是三角函數這一章里最重要的一節課，它是本章的基礎，主要是從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數的定義。在《課程標準》中：三角函數是基本初等函數，它是描述周期現象的重要數學模型，在數學和其他領域中具有重要的作用。《課程標準》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數（正弦、余弦、正切）的定義。

二、學生情況分析

本課時研究的是任意角的三角函數，學生在初中階段曾經研究過銳角三角函數，其研究范圍是銳角；其研究方法是幾何的，沒有坐標系的參與；其研究目的是為解直角三角形服務。以上三點都是與本課時不同的，因此在教學過程中要發展學生的已有認知經驗，發揮其正遷移。

三、教學目標

知識與技能目標:借助單位圓理解任意角的三角函數（正弦、余弦、正切）的定義；能根據任意角的三角函數的定義求出具體的角的各三角函數值；能根據定義探究出三角函數值在各個象限的符號。

方法與過程目標:在定義的學習及概念同化和精致的過程中培養學生類比、分析以及研究問題的能力。

情感態度與價值觀: 在定義的學習過程中滲透數形結合的思想。

四、教學重、難點分析：

重點：理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義。難點：引導學生將任意角的三角函數的定義同化，幫助學生真正理解定義。

五、教學方法與策略：

教學中注意用新課程理念處理教材，采用學生自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程.根據本節課內容、高一學生認知特點，本節課采用“啟發探索、講練結合”的方法組織教學.六、教具、教學媒體準備：

為了加強學生對三角函數定義的理解，幫助學生克服在理解定義過程中可能遇到的障礙，本節課準備在計算機的支持下，利用幾何畫板動態地研究任意角與其終邊和單位圓交點坐標的關系，構建有利于學生建立概念的“多元聯系表示”的教學情境，使學生能夠更好地數形結合地進行思維．

七、教學過程

（一）教學情景

1．復習銳角三角函數的定義

問題1：在初中，我們已經學過銳角三角函數．如圖1（課件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根據銳角三角函數的定義，∠O的正弦、余弦和正切分別是什么？

設計意圖：幫助學生回顧初中銳角三角函數的定義．

師生活動：教師提出問題，學生回答． 2．認識任意角三角函數的定義

問題2：在上節教科書的學習中，我們已經將角的概念推廣到了任意角，現在所說的角可以是任意大小的正角、負角和零角．那么任意角的三角函數又該怎樣定義呢？

設計意圖：引導學生將銳角三角函數推廣到任意角三角函數．

師生活動：在教學中，可以根據學生的實際情況，利用下列問題引導學生進行思考：

（1）能不能繼續在直角三角形中定義任意角的三角函數？ 以此來引導學生在平面直角坐標系內定義任意角的三角函數．

（2）在上節教科書中，將銳角的概念推廣到任意角時，我們是把角放在哪里進行研究的？

進一步引導學生在平面直角坐標系內定義任意角的三角函數．在此基礎上，組織學生討論。

（3）如圖2，在平面直角坐標系中，如何定義任意角θ的三角函數呢？

（4）終邊是OP的角一定是銳角嗎？如果不是，能利用直角三角形的邊長來定義嗎？如圖3，如果角θ的終邊不在第I象限又該怎么辦？

問題3：大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？ 設計意圖：為引入單位圓進行鋪墊．

師生活動：教師提出問題后，可組織學生展開討論．在學生不能正確回答時，可啟發他們思考下列問題：

我們在定義1弧度的角的時候，利用了一個什么圖形？所用的圓與半徑大小有關嗎？用半徑多大的圓定義起來更簡單易懂些？

問題4：大家現在能不能給出任意角三角函數的定義了？

設計意圖：引導學生在借助單位圓定義銳角三角函數的基礎上，進一步給出任意角三角函數的定義．

師生活動：由學生給出任意角三角函數的定義，教師進行整理． 例1：（題目在課件中）

設計意圖：從最簡單的問題入手，通過變式，讓學生學習如何利用定義求不同情況下函數值的問題，進而加深對定義的理解，加強定義應用中與幾何的聯系，體會數形結合的思想．

問題5：你能否給出正弦、余弦、正切函數在弧度制下的定義域？ 設計意圖：通過利用定義求定義域，既完善了三角函數概念的內容，同時又可幫助學生進一步理解三角函數的概念．

師生活動：學生求出定義域，教師進行整理． 問題6：上述三種函數的值在各象限的符號會怎樣？

設計意圖：通過定義的應用，讓學生了解三種函數值在各象限的符號的變化規律，并從中進一步理解三角函數的概念，體會數形結合的思想．

師生活動：學生回答，教師整理． 例2：（題目在課件中）

設計意圖：通過問題的解決，熟悉和記憶函數值在各象限的符號的變化規律，并進一步理解三角函數的概念．

師生活動：在完成本題的基礎上，可視情況改變題目的條件或結論，作變式訓練．

問題7：既然我們知道了三角函數的函數值是由角的終邊的位置決定的，那么角的終邊每繞原點旋轉一周，它的大小將會怎樣變化？它所對應的三角函數值又將怎樣變化？

設計意圖：引出公式一，突出函數周期變化的特點，以及數形結合的思想． 師生活動：在教師引導下，由學生討論完成． 例3：（題目在課件中）

設計意圖：將確定函數值的符號與求函數值這兩個問題合在一起，通過應用公式一解決問題，讓學生熟悉和記憶公式一，并進一步理解三角函數的概念．

例

4、例5（題目在課件中）3．練習（在課件中）

設計意圖：通過應用三角函數的定義，熟悉和記憶特殊角的三角函數值、三角函數值的符號、公式一，以及求三角函數值，加強對三角函數概念的理解．

4．小結

問題8：銳角三角函數與解直角三角形直接相關，初中我們是利用直角三角形邊的比值來表示其銳角的三角函數．通過今天的學習，我們知道任意角的三角函數雖然是銳角三角函數的推廣，但它與解三角形已經沒有什么關系了．我們是利用單位圓來定義任意角的三角函數，借助直角坐標系中的單位圓，我們建立了角的變化與單位圓上點的變化之間的對應關系，進而利用單位圓上點的坐標或坐標的比值來表示圓心角的三角函數．你能再回顧一下我們是如何借助單位圓給出任意角三角函數的定義嗎？

設計意圖：回顧和總結本節課的主要內容．

八、作業設計：

教科書P.24習題1.2A組第6、8題．

設計意圖：根據本節課所涉及到的三角函數定義應用的幾個方面，從教科書中選擇作業題．試圖通過作業，讓學生進一步理解三角函數的概念，并從中評價學生對三角函數概念理解的情況．

九、教學反思：

上述教學設計及具體教學實施過程我認為有以下幾點意義：

1.教學設計緊扣課程標準的要求，重點放在任意角的三角函數的理解上。背景創設符合學生的認知特點和學生的身心發展規律——具體到抽象，現象到本質，特殊到一般，這樣有利學生的思考。

2.情景設計的數學模型很好地融合初中對三角函數的定義，也能很好引入在直角坐標系中，很好將銳角三角函數的定義向任意角的三角函數過渡，同時能夠揭示函數的本質。

3.通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，讓學生在情境中活動，在活動中體驗數學與自然和社會的聯系、新舊知識的內在聯系，在體驗中領悟數學的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學習的策略，使學生在理解數學的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。這和課程標準的理念是一致的。

第四篇：任意角的三角函數教學設計

任意角的三角函數（1）

一、教學內容分析：

高一年《普通高中課程標準教科書·數學（必修4）》（人教版A版）第12頁1.2.1任意角的三角函數第一課時。

本節課是三角函數這一章里最重要的一節課，它是本章的基礎，主要是從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數的定義。在《課程標準》中：三角函數是基本初等函數，它是描述周期現象的重要數學模型，在數學和其他領域中具有重要的作用。《課程標準》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數（正弦、余弦、正切）的定義。

在本模塊中，學生將通過實例學習三角函數及其基本性質，體會三角函數在解決具有變化規律的問題中的作用。

二、學生學習情況分析

我們的課堂教學常用“高起點、大容量、快推進”的做法，忽略了知識的發生發展過程，以騰出更多的時間對學生加以反復的訓練，無形增加了學生的負擔，泯滅了學生學習的興趣。我們雖然刻意地去改變教學的方式，但仍太多舊時的痕跡，若為了新課程而新課程又會使得美景變成了幻影，失去新課程自然與清純之味。所以如何進行《普通高中數學課程標準(實驗)》(以下簡稱課程標準)的教學設計就很值得思考探索。如何讓學生把對初中銳角三角函數的定義及解直角三角形的知識遷移到學習任意角的三角函數的定義中？

《普通高中數學課程標準(實驗)解讀》中在三角函數的教學中，教師應該關注以下兩點：

第一、根據學生的生活經驗，創設豐富的情境，例如單調彈簧振子，圓上一點的運動，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實例，使學生感受周期現象的廣泛存在，認識周期現象的變化規律，體會三角函數是刻畫周期現象的重要模型以及三角函數模型的意義。

第二、注重三角函數模型的運用即運用三角函數模型刻畫和描述周期變化的現象（周期振蕩現象），解決一些實際問題，這也是《課程標準》在三角函內容處理上的一個突出特點。

根據《課程標準》的指導思想，任意角的三角函數的教學應該幫助學生解決好兩個問題：

其一：能從實際問題中識別并建立起三角函數的模型；

其二：借助單位圓理解任意角三角函數的定義并認識其定義域、函數值的符號。

三、設計理念：

本節課通過多媒體信息技術展示摩天輪旋轉及生成的圖像，讓學生感受到數學來源于生活，數學應用于生活，激發同學們學習的樂趣。并通過問題的探究，體驗“數學是過程的思想”，改變課程實施過程于強調接受學習，死記硬背，機械訓練的現狀，倡導學生主動參與，樂于探究，勤于動手，培養學生學生收集和處理信息的能力，獲得新知識的能力，分析與解決問題的能力以及交流合作的能力。

四、教學目標：

1.借助摩天輪的情景問題很好地融合初中對三角函數的定義，也能很好入在直角坐標系中，很好將銳角三角函數的定義向任意角的三角函數過渡，從通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數的定義；

2.從任意角的三角函數的定義認識其定義域、函數值的符號； 3.能初步應用定義分析和解決與三角函數值有關的一些簡單問題。

五、教學重點和難點：

1.教學重點：任意角三角函數的定義. 2.教學難點：正弦、余弦、正切函數的定義域.具體設計如下：

OPA

六、教學過程

第一部分——情景引入

問題1:如圖是一個摩天輪，假設它的中心離地面的高度為ho，它的直徑為2R，逆時針方向勻速轉動，轉動一周需要360秒，若現在你坐在座艙中，從初始位置OA出發（如圖1所示），過了30秒后，你離地面的高度h為多少？過了45秒呢？過了t秒呢？

圖1 【設計意圖】：高中學生已經具有豐富的生活經驗和一定的科學知識，因此選擇感興趣的、與其生活實際密切相關的素材，此情景設計應該有助于學生對知識的發生發展的理解。這個數學模型很好融合初中對三角函數的定交，也能放在直角坐標系中，很好地將銳角三角函數的定義向任意角三角函數過渡，揭示函數的本質。

第二部分——復習回顧銳角三角函數

讓學生自主思考如何解決問題：“過了30秒后，你離地面的高度為多少？”

【分析】：作圖如圖2很容易知道：從起始位置OA運

BNOMPA圖2 H動30秒后到達P點位置，由題意知?AOP?300，作PH垂直地面交OA于M，又知MH＝ho，所以本問題轉變成求PH再次轉變為求PM。

要求PM就是回到初中所學的解直角三角形的問題即銳角的三角函數。問題2：銳角?的正弦函數如何定義？ 【學生自主探究】：學生很容易得到

sin??|MP||MP|??|MP|?Rsin??|PH|?h0?Rsin? |OP|R?h?h0?Rsin?

所以學生很自然得到“過了30秒后，過了45秒,你離地面的高度h為多少？”

Ph1?h0?Rsin300 h2?h0?Rsin450

【教師總結】：t0在銳角的范圍中，OaYMPOMAXh?h0?Rsint0

第三部分——引入新課

問題3：請問t的范圍呢？隨著時間的推移，你離地面的高度h為多少？能不能猜想

Bh?h0?Rsint0？

【分析】：若想做到這一點，就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦。今天我們就要來學習任意角的三函數角函數。

問題4：如圖建立直角坐標系，設點P(xP,yP)，能你用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角?的正弦函數的定義嗎？能否也定義其它函數（余弦、正切）？

【學生自主探究】：sin??|MP|yP? R|OP|cos??|MP|yP|OM|xP，tan?? ??|OP|R|OM|xP問題5：改變終邊上的點的位置，這三個比值會改變嗎？為什么？ 【分析】：先由學生回答問題，教師再引導學生選幾個點，計算比值，獲得具體認識，并由相似三角形的性質證明。

【設計意圖】：讓學生深刻理解體會三角函數值不會隨著終邊上的點的位置的改變而改變，只與角有關系。

通過摩天輪的演示，讓學生感受到第一象限角的正弦可以跟銳角正弦的定義一樣。

問題6：大家根據第一象限角的正弦函數的定義，能否也給出第二象限角的定義呢？

【學生自主探究】：學生通過上面已知知識得到sin??|MP|yP? R|OP|PxyO學生定義好第二象限角后，讓學生自己算出摩天輪座艙在第150秒時，離地面的高度h？

通過摩天輪知道：

圖3h?h0?Rsin1500?h1?h0?Rsin300

由此得到：sin1500?1 2【設計意圖】：通過這個，讓學生檢驗sin??正確？

問題7：sin??|MP|yP?在第二象限角是否R|OP||MP|在第三象限角或第四象限能成立嗎？ |OP|【設計意圖】：讓學生通過模型，檢驗定義是否正確，從中讓學生自己發現正、負符號的偏差。

（可以讓學生取t?210，從而h?h0?Rsin2100,得到sin2100＝?這與sin??|MP|?|MP|不相符，實際上是sin??）|OP||OP|1，發現2【教師總結】：我們通過個模型知道如何在某些范圍內如何計算自已此時離地面的高度，用數學模型h?h0?Rsint0來表示，當摩天輪轉動，角度的概念也不知不覺地推廣到任意角，對于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角形中的對邊的長度比斜邊長度了，我更應該用點P的橫坐標來代替|MP|或?|MP|，那么這樣就能夠很好表示出正弦的函數任意角的定義。

第三部分——給出任意角三角函數的定義

如圖3,已知點P(x,y)為角?終邊上的點，點P到頂點O的距離為R，則

ysin??（??R）

Rxcos??（??R）

Ry?tan??（???k?）

x2【分析】：讓學生通過剛才的模型進一步體驗任意角三角函數的定義要點：點、點的坐標、點到頂點的距離。

問題8：當摩天輪的半徑R＝1時，三角函數的定義會發生怎樣的變化。【學生自主探究】：sin??y，cos??x，tan??y。x教師引導學生進行對比，學生通過對比發現取到原點的距離為1的點可以使表達式簡化。

教師進一步給出單位圓的定義 給出下列表格，讓學生自己補充完整。三角函數

sin? 定義一：|OP|?1

y

定義二：|OP|?R

y Rx Ry x定義域

??R ??R cos?

tan?

x

y x???2?k?

及時歸納總結有利學生對所學知識的鞏固和掌握。第三部分——例題講解

例1.（課本P14例2）已知角?終邊經過點P0(?3,?4)，求角?的正弦、余弦和正切值。

【分析】：讓學生現學現賣，得用上面的定義二就可以得到答案。

5?例2.（課本P14例1）求的正弦、余弦和正

3切值。

【學生自主探究】：讓學生自己思考并獨立完成。然后與課本的解答相對比一下，發現本題的難

OMxyP圖4點。

【教師講解】：本題題意很簡單，但是如何入手卻是難點，關鍵是對本節課的三角函數定義的要點有沒有領會清楚（任意角三角函數的定義要點：點、點的坐標、點到頂點的距離），因此本題的重點之處是如何利用單位圓找到這個點P，如圖4可以知道?POM?很容易得到本題答案。

不妨讓學生取R?|OP|?4，能否也得到點P的坐標，得到的三角函數值是否與單位圓的一樣。這樣可以讓學生更深刻體驗三角函數的定義。

第四部分——鞏固練習練習1.例2變式求

7?的正弦、余弦和正切值。6?13，又點P在第四象限，得到P(,?)，這樣就可以322練習2.問題9：通過觀察摩天輪的旋轉，三角函數的角的終邊所在象限不同，請說說三角函數在各個象限內的三角函數值的符號?獨立完成課本P15的“探究”。

【設計意圖】：練習

1、練習2的設計與例

2、例3銜接，主要目的是幫助學生鞏固三角函數的本質特征，引導學生從定義出發利用坐標平面內的點的坐標特征自主探究三角函數的有關問題的思想方法。并在特殊情形中體會數形結合的思想方法。

第五部分——小結與作業 學生自我總結

作業：P23習題1.2A組 1,2,3

七、教學反思

上述教學設計及具體教學實施過程我認為有以下幾點意義：

1.教學設計緊扣課程標準的要求，重點放在任意角的三角函數的理解上。背景創設是學生熟悉的摩天輪，認知過程符合學生的認知特點和學生的身心發展規律——具體到抽象，現象到本質，特殊到一般，這樣有利學生的思考。

2.情景設計的數學模型很好地融合初中對三角函數的定義，也能很好引入在直角坐標系中，很好將銳角三角函數的定義向任意角的三角函數過渡，同時能夠揭示函數的本質。

3.通過問題引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，讓學生在情境中活動，在活動中體驗數學與自然和社會的聯系、新舊知識的內在聯系，在體驗中領悟數學的價值，它滲透了蘊涵在知識中的思想方法和研究性學習的策略，使學生在理解數學的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。這和課程標準的理念是一致的。

4.《標準》把發展學生的數學應用意識和創新意識作為其目標之一, 在教學中不僅要突出知識的來龍去脈還要為學生創設應用實踐的空間, 促進學生在學習和實踐過程中形成和發展數學應用意識,提高學生的直覺猜想、歸納抽象、數學地提出、分析、解決問題的能力, 發展學生的數學應用意識和創新意識,使其上升為一種數學意識,自覺地對客觀事物中蘊涵的一些數學模式作出思考和判斷。在解答問題的過程中體驗到從數學的角度運用學過的數學思想、數學思維、數學方法去觀察生活、分析自然現象、解決實際問題的策略, 使學生認識到數學原來就來自身邊的現實世界, 是認識和解決我們生活和工作中問題的有力武器, 同時也獲得了進行數學探究的切身體驗和能力。增進了他們對數學的理解和應用數學的信心。

點評

本節課以新穎背景“摩天輪”引課，從直角三角形的銳角入手，引導學生嘗試探究，逐次深入引出任意角的三角函數的定義，以問題形式鞏固深化任意角三角函數值的計算，結合平位圖直觀作用，使學生經歷了由淺入深，由易到難，清楚展現了任意角三角函數的生成過程，加深了對任意角三角函數的認識。

新課程教材強調了學生的探究能力的培養，但不意味著每個知識點都需要人為創設情景加以探究，現實的教學由于受教學時數限制，總是希望課堂教學效率高些，任意角的三角函數的定義是否一定要創設情景讓學生探究？只要讓學生理解有必要引入任意角三角函數概念，然后直接下定義，從課堂教學效率而言，可能會更好些。

第五篇：高中數學新課程創新教學設計案例50篇31-34_三角函數

角的概念的推廣

教材分析

這節課主要是把學生學習的角從不大于周角的非負角擴充到任意角，使角有正角、負角和零角．首先通過生產、生活的實際例子闡明了推廣角的必要性和實際意義，然后又以“動”的觀點給出了正、負、零角的概念，最后引入了幾個與之相關的概念：象限角、終邊相同的角等．在這節課中，重點是理解任意角、象限角、終邊相同的角等概念，難點是把終邊相同的角用集合和符號語言正確地表示出來．理解任意角的概念，會在平面內建立適當的坐標系，通過數形結合來認識角的幾何表示和終邊相同的角的表示，是學好這節的關鍵．

教學目標

1.通過實例，體會推廣角的必要性和實際意義，理解正角、負角和零角的定義． 2.理解象限角的概念、意義及表示方法，掌握終邊相同的角的表示方法．

3.通過對“由一點出發的兩條射線形成的圖形”到“射線繞著其端點旋轉而形成角”的認識過程，使學生感受“動”與“靜”的對立與統一．培養學生用運動變化的觀點審視事物，用對立統一規律揭示生活中的空間形式和數量關系．

教學設計

一、問題情境 ［演 示］ 1.觀覽車的運動．

2.體操運動員、跳臺跳板運動員的前、后轉體動作． 3.鐘表秒針的轉動． 4.自行車輪子的滾動． ［問 題］

1.如果觀覽車兩邊各站一人，當觀覽車轉了兩周時，他們觀察到的觀覽車上的某個座位上的游客進行了怎樣的旋轉，旋轉了多大的角？

2.在運動員“轉體一周半動作”中，運動員是按什么方向旋轉的，轉了多大角？ 3.鐘表上的秒針（當時間過了1.5min時）是按什么方向轉動的，轉動了多大角？ 4.當自行車的輪子轉了兩周時，自行車輪子上的某一點，轉了多大角？

顯然，這些角超出了我們已有的認識范圍．本節課將在已掌握的0°～360°角的范圍的基礎上，把角的概念加以推廣，為進一步研究三角函數作好準備．

二、建立模型

1.正角、負角、零角的概念

在平面內，一條射線繞它的端點旋轉有兩個方向：順時針方向和逆時針方向．習慣上規定，按逆時針旋轉而成的角叫作正角；按順時針方向旋轉而成的角叫作負角；當射線沒有旋轉時，我們也把它看成一個角，叫作零角．

2.象限角

當角的頂點與坐標原點重合、角的始邊與ｘ軸正半軸重合時，角的終邊在第幾象限，就把這個角叫作第幾象限的角．如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限．

3.終邊相同的角

在坐標系中作出390°，－330°角的終邊，不難發現，它們都與30°角的終邊相同，并且這兩個角都可以表示成0°～360°角與k個（k∈Z）周角的和，即

390°＝30°＋360°，（k＝1）； －330°＝30°－360°，（k＝－1）．

設S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，則390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此時k＝0）．容易看出，所有與30°角終邊相同的角，連同30°角在內，都是S中的元素；反過來，集合S中的任一元素均與30°角終邊相同．一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一與α終邊相同的角，都可以表求成角α與整數個周角的和．

三、解釋應用 ［例 題］

1.在0°～360°范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角．（1）－150°．

（2）650°．

（3）－950°5′．

2.分別寫出與下列角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β＜720°的元素寫出來．

（1）60°．（2）－21°．（3）363°14′． 3.寫出終邊在y軸上的角的集合．

解：在0°～360°范圍內，終邊在ｙ軸上的角有兩個，即90°，270°．因此，與這兩個角終邊相同的角構成的集合為

S1＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝，而所有與270°角終邊相同的角構成的集合為

S2＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝＝ ｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝． 于是，終邊在y軸上的角的集合為

S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z｝．

注：會正確使用集合的表示方法和符號語言． ［練習］

1.寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來．

（1）45°．（2）－30°．（3）420°．（4）－225°． 2.辨析概念．（分別用集合表示出來）

（1）第一象限角．（2）銳角．（3）小于90°的角．（4）0°～90°的角． 3.一角為30°，其終邊按逆時針方向旋轉三周后的角度數為．

4.終邊在x軸上的角的集合為；終邊在第一、三象限的角的平分線上的角集合為．

四、拓展延伸

1.若角α與β終邊重合，則α與β的關系是；若角α與β的終邊互為反向延長線，則角α與β的關系是．

2.如果α在第二象限時，那么2α，是第幾象限角？

注：（1）不能忽略2α的終邊可能在坐標軸上的情況．

（2）研究在哪個象限的方法：討論k的奇偶性．（如果是呢？）

任意角的三角函數

教材分析

這節課是在初中學習的銳角三角函數的基礎上，進一步學習任意角的三角函數．任意角的三角函數通常是借助直角坐標系來定義的．三角函數的定義是本章教學內容的基本概念和重要概念，也是學習后續內容的基礎，更是學好本章內容的關鍵．因此，要重點地體會、理解和掌握三角函數的定義．在此基礎上，這節課又進一步研討了三角函數的定義域，函數值在各象限的符號，以及誘導公式

（一），這既是對三角函數的簡單應用，也是為學習后續內容做了必要準備．

教學目標

1.讓學生認識三角函數推廣的必要性，經歷三角函數的推廣的過程，增強對數的理解能力．

2.理解和掌握三角函數的定義，在此基礎上探索與研究三角函數定義域、三角函數值的符號和誘導公式

（一），并能初步應用它們解決一些問題．

3.通過對任意角的三角函數的學習，初步體會數學知識的發生、發展和運用的過程，提高學生的科學思維水平．

教學設計

一、情景設置

初中我們學習過銳角三角函數，知道它們都是以銳角為自變量，由其所在的直角三角形的對應邊的比值為函數值，并且定義了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函數．這節課，我們研究當α是一個任意角時的三角函數的定義．

在初中，三角函數的定義是借助直角三角形來定義的．如圖32-1，在Rt△ABC中，現在，把三角形放到坐標系中．如圖32-2，設點B的坐標為（x，y），則OC＝b＝x，CB＝a＝y，OB＝，從而

即角α的三角函數可以理解為坐標的比值，在此意義下對任意角α都可以定義其三角函數．

二、建立模型

一般地，設α是任意角，以α的頂點O為坐標原點，以角α的始邊的方向作為ｘ軸的正方向，建立直角坐標系xOy．P（x，y）為α終邊上不同于原點的任一點．如圖：

那么，OP＝，記作r，（r＞0）．

對于三個量x，y，r，一般地，可以產生六個比值：.當α確定時，根據初中三角形相似的知識，可知這六個比值也隨之相應的唯一確定．根據函數的定義可以看出，這六個比值都是以角為自變量的函數，分別把角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函數，記為

稱之為α

對于定義，思考如下問題：

1.當角α確定后，比值與P點的位置有關嗎？為什么？

2.利用坐標法定義三角函數與利用直角三角形定義三角函數有什么關系？ 3.任意角α的正弦、余弦、正切都有意義嗎？為什么？

三、解釋應用 ［例 題］

1.已知角α的終邊經過P（－2，3），求角α的六個三角函數值． 思考：若P（－2，3）變為（－2m，3m）呢？（m≠0）2.求下列角的六個三角函數值．

注：強化定義． ［練習］

1.已知角α的終邊經過下列各點，求角α的六個三角函數值．（1）P（3，－4）．（2）P（m，3）． 2.計 算．

（1）5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°．

四、拓展延伸 1.由于角的集合與實數集之間可以建立一一對應的關系，三角函數可以看成以實數為自變量的函數，如sina＝，不論α取任何實數，恒有意義，所以sina的定義域為｛α｜α∈R｝．類似地，研究cosa，tana，cota的定義域．

2.根據三角函數的定義以及x，y，r在不同象限內的符號，研究sina，cosa，tana，cota的值在各個象限的符號．

3.計算下列各組角的函數值，并歸納和總結出一般性的規律．（1）sin30°，sin390°．

（2）cos45°，cos（－315°）．

規律：終邊相同的角有相同的三角函數值，即sin（α＋k360°）＝sina，cos（α＋k·360°）＝cosa，tan（α＋k·360°）＝tana，（k∈Z）．

五、應用與深化 ［例 題］

1.確定下列三角函數值的符號．

2.求證：角α為第三象限角的充要條件是sinθ＜0，并且tanθ＞0． 證明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ為第三象限角．

∵sinθ＜0成立，所以θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的負半軸上． 又∵tanθ＞0成立，∴θ角的終邊可能位于第一或第三象限． ∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的終邊只能位于第三象限．

必要性：若θ為第三象限角，由三角函數值在各個象限的符號，知sinθ＜0，tanθ＞0． 從而結論成立． ［練習］

1.設α是三角形的一個內角，問：在sina，cosa，tana，tan取負值？為什么？

中，哪些三角函數可能2.函數 的值域是 ____________ ．

同角三角函數的基本關系式

教材分析

這節課主要是根據三角函數的定義，導出同角三角函數的兩個基本關系式sina＋cosa＝1與＝1與，并初步進行這些公式的兩類基本應用．教學重點是公式sina＋cosa的推導及以下兩類基本應用：

2（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一個，求其余兩個三角函數．（2）化簡三角函數式及證明簡單的三角恒等式．

其中，已知某角的一個三角函數值，求它的其余各三角函數值時，正負號的選擇是本節的一個難點，正確運用平方根及象限角的概念是突破這一難點的關鍵；證明恒等式是這節課的另一個難點．課堂上教師應放手讓學生獨立解決問題，優化自己的解題過程．

教學目標

1.讓學生經歷同角三角函數的基本關系的探索、發現過程，培養學生的動手實踐、探索、研究能力．

2.理解和掌握同角三角函數的基本關系式，并能初步運用它們解決一些三角函數的求值、化簡、證明等問題，培養學生的運算能力，邏輯推理能力．

3.通過同角三角函數基本關系的學習，揭示事物之間的普遍聯系規律，培養學生的辯證唯物主義世界觀．

任務分析 這節課的主要任務是引導學生根據三角函數的定義探索出同角三角函數的兩個基本關系式：sin2a＋cos2a＝1及，并進行初步的應用．由于該節內容比較容易，所以，課堂上無論是關系式的探索還是例、習題的解決都可以放手讓學生獨立完成，即由學生自己把要學的知識探索出來，并用以解決新的問題．必要時，教師可以在以下幾點上加以強調：（1）“同角”二字的含義．（2）關系式的適用條件．（3）化簡題最后結果的形式．（4）怎樣優化解題過程．

教學設計

一、問題情境

教師出示問題：上一節內容，我們學習了任意角α的六個三角函數及正弦線、余弦線和正切線，你知道它們之間有什么聯系嗎？你能得出它們之間的直接關系嗎？

二、建立模型

1.引導學生寫出任意角α的六個三角函數，并探索它們之間的關系

在角α的終邊上任取一點P（x，y），它與原點的距離是r（r＞0），則角α的六個三角函數值是

2.推導同角三角函數關系式

引導學生通過觀察、分析和討論，消元（消去x，y，r），從而獲取下述基本關系．（1）平方關系：sin2a＋cos2a＝1．

（2）商數關系：t：

說明：①當放手讓學生推導同角三角函數的基本關系時，部分學生可能會利用三角函數線，借助勾股定理及相似三角形的知識來得出結論．對于這種推導方法，教師也應給以充分肯定，并進一步引導學生得出｜sinα｜＋｜cosα｜≥1．

②除以上兩個關系式外，也許部分學生還會得出如下關系式：.教師點撥：這些關系式都很對，但最基本的還是（1）和（2），故為了減少大家的記憶負擔，只須記住（1）和（2）即可．以上關系式均為同角三角函數的基本關系式．

教師啟發：（1）對“同角”二字，大家是怎樣理解的？（2）這兩個基本關系式中的角α有沒有范圍限制？

（3）自然界的萬物都有著千絲萬縷的聯系，大家只要養成善于觀察的習慣，也許每天都會有新的發現．剛才我們發現了同角三角函數的基本關系式，那么這些關系式能用于解決哪些問題呢？

三、解釋應用 ［例 題］

1.已知sinα＝，且α是第二象限角，求角α的余弦值和正切值．

2.已知tanα＝－，且α是第二象限角，求角α的正弦和余弦值．

說明：這兩個題是關系式的基本應用，應讓學生獨立完成．可選兩名同學到黑板前板書，以便規范解題步驟．

變式1 在例2中若去掉“且α是第二象限角”，該題的解答過程又將如何？ 師生一起完成該題的解答過程．

解：由題意和基本關系式，列方程組，得

由②，得sinα＝－

cosα，代入①整理，得6cos2α＝1，cos2α＝

．

∵tanα＝－＜０，∴角α是第二或第四象限角．

當α是第二象限角時，cosα＝－，代入②式，得；

當α是第四象限角時，cosα＝，代入②式，得.小結：由平方關系求值時，要涉及開方運算，自然存在符號的選取問題．由于本題沒有具體指明α是第幾象限角，因此，應針對α可能所處的象限，分類討論．

變式2 把例2變為：

已知tanα＝－，求的值．

解法1：由tanα＝－及基本關系式可解得

針對兩種情況下的結果居然一致的情況，教師及時點撥：

觀察所求式子的特點，看能不能不通過求sinα，cosα的值而直接得出該分式的值． 學生得到如下解法：

由此，引出變式3．

已知：tanα＝－，求（sinα－cosα）2的值．

有了上一題的經驗，學生會得到如下解法：

教師歸納、啟發：這個方法成功地避免了開方運算，因而也就避開了不必要的討論．遺憾的是，因為它不是分式形式，所以解題過程不像“變式2”那樣簡捷．那么，能解決這一矛盾嗎？

學生得到如下解法：

教師引導學生反思、總結：（1）由于開方運算一般存在符號選取問題，因此，在求值過程中，若能避免開方的應盡量避免．

（2）當式子為分式且分子、分母都為三角函數的n（n∈N且n≥1）次冪的齊次式時，采用上述方法可優化解題過程．

［練習］

當學生完成了以上題目后，教師引導學生討論如下問題：

（1）化簡題的結果一定是“最簡”形式，對三角函數的“最簡”形式，你是怎樣理解的？（2）關于三角函數恒等式的證明，一般都有哪些方法？你是否發現了一些技巧？

四、拓展延伸

教師出示問題，啟發學生一題多解，并激發學生的探索熱情．

已知sinα－cosα＝－，180°＜α＜270°，求tanα的值．

解法1：由sinα－cosα＝－，得

反思：（1）解法1的結果比解法2的結果多了一個，看來產生了“增根”，那么，是什么原因產生了增根呢？

（2）當學生發現了由sinα－cosα＝－α的范圍變大了時，教師再點撥：

怎樣才能使平方變形是等價的呢？ 由學生得出如下正確答案：

得到sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝的過程中，∵180°＜α＜270°，且sinα－cosα＝－cosα｜，因此｜tanα｜＞1，只能取tanα＝2．

＜0，∴sinα＜0，cosα＜0，且｜sinα｜＞｜強調：非等價變形是解法1出錯的關鍵！

誘導公式 教材分析

這節內容以學生在初中已經學習了銳角的三角函數值為基礎，利用單位圓和三角函數的定義，導出三角函數的五組誘導公式，即有關角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通過運用這些公式，把求任意角的三角函數值轉化為求銳角的三角函數值，從而滲透了把未知問題化歸為已知問題的化歸思想．這節課的重點是后四組誘導公式以及這五組公式的綜合運用．把這五組公式用一句話歸納出來，并切實理解這句話中每一詞語的含義，是切實掌握這五組公式的難點所在．準確把握每一組公式的意義及其中符號語言的特征，并且把公式二、三與圖形對應起來，是突破上述難點的關鍵．

教學目標

1.在教師的引導下，啟發學生探索發現誘導公式及其證明，培養學生勇于探求新知、善于歸納總結的能力．

2.理解并掌握正弦、余弦、正切的誘導公式，并能應用這些公式解決一些求值、化簡、證明等問題．

3.讓學生體驗探索后的成功喜悅，培養學生的自信心．

4.使學生認識到轉化“矛盾”是解決問題的有效途徑，進一步樹立化歸思想．

任務分析

誘導公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函數值轉化為求銳角的三角函數值．在五組誘導公式中，關于180°＋α與－α的誘導公式是最基本的，也是最重要的．在推導這兩組公式時，應放手讓學生獨立探索，尋求“180°＋α與角α的終邊”及“－α與角α的終邊”之間的位置關系，從而完成公式的推導．此外，要把90°～360°范圍內的三角函數轉化為銳角的三角函數，除了利用第二、四、五個公式外，還可以利用90°＋α，270°±α與α的三角函數值之間的關系．應引導學生在掌握前五組誘導公式的基礎上進一步探求新的關系式，從而使學生在頭腦中形成完整的三角函數的認知結構．

教學設計

一、問題情境 教師提出系列問題

1.在初中我們學習了求銳角的三角函數值，現在角的概念已經推廣到了任意角，能否把任意角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值呢？

2.當α＝390°時，能否求出它的正弦、余弦和正切值？ 3.由2你能否得出一般性的結論？試說明理由．

二、建立模型 1.分析1 在教師的指導下，學生獨立推出公式

（一），即

2.應用1 在公式的應用中讓學生體會公式的作用，即把任意角的三角函數值轉化為0°～360°范圍內的角的三角函數值．

練習：求下列各三角函數值．

（1）cos3.分析2 π．

（2）tan405°．

如果能夠把90°～360°范圍內的角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值，即可實現“把任意角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值”的目標．例如，能否將120°，240°，300°角與我們熟悉的銳角建立某種聯系，進而求出其余弦值？

引導學生利用三角函數的定義并借助圖形，得到如下結果：

cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－，cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－，cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝4.分析3

．

一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）與cosα的關系如何？你能證明自己的結論嗎？由學生獨立完成下述推導： 設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y）．由于角180°＋α的終邊就是角α的終邊的反向延長線，則角180°＋α的終邊與單位圓的交點P′與點P關于原點O對稱．

由此可知，點P′的坐標是（－x，－y）．

又∵單位圓的半徑r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y，tanα＝（180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝從而得到：

．，cos（180°＋α）＝－x，sin

5.分析4 在推導公式三時，學生會遇到如下困難，即：若α為任意角，180°－α與角α的終邊的位置關系不容易判斷．這時，教師可引導學生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函數值轉化為－α的三角函數值，然后通過尋找－α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系，使原問題得到解決．

由學生獨立完成如下推導：

如圖，設任意角α的終邊與單位圓相交于P（x，y），角－α的終邊與單位圓相交于點P′．∵這兩個角的終邊關于ｘ軸對稱，∴點P′的坐標是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，sin（－α）＝－y，tan（－α）＝從而得到：

進而推出：

注：在問題的解決過程中，教師要注意讓學生充分體驗成功的快樂． 6.教師歸納

公式

（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作誘導公式，利用它們可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函數轉化為α的三角函數．那么，在轉化過程中，發生了哪些變化？這種變化是否存在著某種規律？

引導學生進行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數值，等于α的同名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號．為了便于記憶，還可編成一句口訣“函數名不變，符號看象限”．

三、解釋應用 ［例 題］

1.求下列各三角函數值．

通過應用，讓學生體會誘導公式的作用：

①把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數，其一般步驟為

評注：本題中，若代入cosα·cot3α形式，就須先求得cosα的值．由于不能確定角α所在象限，解題過程將變得煩鎖．以此提醒學生注意選取合理形式解決問題．

四、拓展延伸

教師出示問題：前面我們利用三角函數的定義及對稱性研究了角α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數與角α的三角函數之間的關系，這些角有一個共同點，即：均為180°的整數倍加、減α．但是，在解題過程中，還會遇到另外的情況，如前面遇到的120°角，它既可以寫成180°－60°，也可以寫成90°＋30°，那么90°＋α的三角函數與α的三角函數有著怎樣的關系呢？

學生探究：經過獨立探求后，有學生可能會得到如下結果：

設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y），角90°＋α的終邊與單位圓交于點P′（x′，y′）（如圖），則cosα＝x，sinα＝y，cos（90°＋α）＝x′，sin（90°＋α）＝y′． 過P作PM⊥x軸，垂足為M，過P′作P′M′⊥y軸，垂足為M′，則△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y′，y＝x′．

進而得到cos（90°＋α）＝sinα，sin（90°＋α）＝cosα．對此結論和方法，教師不宜作任何評論，而應放手讓學生展開辯論和交流，最后得到正確結果：

由于OM與OM′，MP與M′P′僅是長度相等，而當點P在第一象限時，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0，又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x． 從而得到：

教師進一步引導：

（1）推導上面的公式時，利用了點P在第一象限的條件．當點Ｐ不在第一象限時，是否仍有上面的結論？

（通過多媒體演示角α的終邊在不同象限的情景，使學生理解公式六中的角α可以為任意角）

（2）推導公式六時，采用了初中的平面幾何知識．是否也能像推導前五組公式那樣采用對稱變換的方式呢？

學生探究：學生先針對α為銳角時的情況進行探索，再推廣到α為任意角的情形． 設角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），（如圖）．由于角α的終邊經過下述變換：2（軸的對稱點P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x．

＋α的終邊與單位圓的交點為P′（x′，y′）－α）＋2a＝，即可得到

＋α的終邊．這是兩次對稱變換，即先作P關于直線y＝x的對稱點M（y，x），再作點M關于y

由此，可進一步得到：

教師歸納：公式六、七、八、九也稱作誘導公式，利用它們可以把90°±α，270°±α的三角函數轉化為α的三角函數．

引導學生總結出：

90°±α，270°±α的三角函數值等于α的余名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號．

兩套公式合起來，可統一概括為 對于k·90°±α（k∈Z）的各三角函數值，當k為偶數時，得α的同名函數值；當k為奇數時，得α的余名函數值．然后，均在前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號．為了便于記憶，也可編成口訣：“奇變偶不變，符號看象限”．