第一篇：函數的表示方法教學設計

《函數的表示方法》教學設計

錢蒙娜

一、教材分析

本節內容為蘇教版《數學必修1》中2.1.2“ 函數的表示方法”。在初中學生已經接觸過較簡單函數的一些不同表示方法，在高中階段繼函數的概念、定義域、值域之后學習函數的表示方法，這部分屬于函數三要素之一，即對應關系的表達方式。函數學習要“多次接觸、反復體會、螺旋上升，逐步加深對函數概念的理解。”在蘇教版《數學必修4》中還會繼續學習的三角函數，也是非常重要的一類函數模型。

學習函數的表示法，不僅是研究函數本身和應用函數解決實際問題所必須涉及的問題，也是加深對函數概念理解所必須的。同時，基于高中階段所接觸的許多函數均可用幾種不同的方式表示，因而學習函數的表示也是領悟數學思想方法（如數形結合、化歸等）、學會根據問題需要選擇表示方法的重要過程。

學生在學習用集合與對應的語言刻畫函數之前，比較習慣于用解析式表示函數，但這是對函數很不全面的認識。在本節中，從引進函數概念開始，就比較注重函數的不同表示方法：解析法、圖象法、列表法。函數的不同表示法能豐富對函數的認識，幫助理解抽象的函數概念。特別是在信息技術環境下，可以使函數在數形結合上得到更充分的表現，使學生更好地體會這一重要的數學思想方法。因此，在研究函數時，應充分發揮圖象直觀的作用；在研究圖象時要注意代數刻畫，以求思考和表述的精確性。

二、教學目標

根據《普通高中數學課程標準》（實驗）和新課改的理念，我從知識與技能、過程與方法和情感態度與價值觀三個維度制訂教學目標。

知識與技能：掌握函數常用的三種表示方法（列表法、圖象法、解析法），了解函數不同表示方法的優缺點并能根據不同需要選擇恰當的方式表示函數；掌握分段函數、復合函數的概念；能根據不同情況求出函數的表達式和定義域。過程與方法：通過實例，分析比較函數三種不同的表示方法；通過分段函數改變的形成過程，培養學生觀察、歸納和抽象的能力，培養數形結合和分類討論的數學思想。

情感態度與價值觀：通過對函數不同表示方法的學習，從中體會數學的簡潔統一美；通過探究函數的表達式，激發學生的學習熱情。

三、學情分析

該班學生是江蘇省常熟中學重點班學生，數學基礎扎實、邏輯思維能力較強并且在之前的學習中對分段函數和復合函數已有初步了解，因此在教學中會加快進程以及更加注重啟發學生讓學生自主回答。若上課進程過快，提前準備一些略有難度的題目作為補充題。

函數這一模塊內容最多，比較抽象，學生學習確有許多困難。基于高中階段所接觸的許多函數都可用不同的方式表示，因此教師要通過設置問題去幫助學生積極主動地感受、分析、歸納三種方法的各自優點及不足，逐步過渡到能合理選用和靈活轉換函數的各種表示形式，這也是向學生滲透數形結合思想方法的重要過程，同時也為后述內容——函數的性質（單調性、奇偶性、周期性）的學習打下良好的基礎。

學生可能在下列三種情形中感到困難：

（一）已知函數是數據較多的表格形式，畫函數圖象時，有點茫然，沒想到是一些離散的點。

（二）已知函數是分段函數，畫函數圖象時，用不準定義域的分段范圍，忙而亂。

（三）學生在做關于換元法的例題時極有可能用平移做或者用配湊法做。

四、教學方法

根據教學內容，結合學生的具體情況，我采用了學生自主探究和教師啟發引導相結合的教學方式。在整個教學過程中讓學生盡可能地動手、動腦，調動學生積極性，充分地參與學習的全過程。倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，逐步培養學生能夠利用函數來處理信息的能力。

五、教學重點與難點

教學重點：掌握函數常用三種表示方法、掌握分段函數與復合函數的概念以及能根據不同情況求出函數表達式并且求出定義域。

教學難點：根據不同情況能求出函數表達式，并且求出定義域。

六、教學準備

直尺、多媒體設備。

七、教學過程

（一）函數的表示方法引入

同學們，今天我們要講《函數的表示方法》這一節。在之前函數的學習中，已經見過或者運用過這些表示方法了，我們一起來看屏幕。

例一：這是我們班學號為1-5的同學的身高，為了清楚的表示我已經把它列成了一個表格的形式。這里面的變量是學號和身高。

Q：請問，這是不是表示一個函數呢？（學生回答）

每一個學號對應著唯一的身高，所以當然是函數。根據這張表格只要我們知道該同學的學號就能知道他對應的身高。像這種，用列表來表示兩個變量之間函數關系的方法，就叫作列表法。

設計意圖：從實際生活中舉例，使學生感到親切，自然引出列表法。

例二：同學們這是一張股市行情圖，Q：這個圖象是否是函數的圖像呢？（學生回答）

自變量是時間，因變量是上證指數，一個時間對應唯一的上證指數所以是函數的圖像。接下來這一張是一天的氣溫變化圖象，同理它也是表示函數的圖象，自變量是時間，因變量是氣溫，一個時間對應唯一的氣溫。

像這一類用圖象來表示兩個變量之間函數關系的方法，就叫作圖象法。設計意圖：函數現象大量存在于生活中，使學生感受到數學在生活中的重要性，引出圖象法。

例三：屏幕上這幾個函數是大家所熟知的，它都是以y=x的式子的形式給出。像這種，用等式來表示兩個變量之間函數關系的方法，就叫作解析法。而這個等式就是我們常見的解析式。

Q：用解析法表示函數的時候，要注意函數的三要素，分別是？（學生回答）設計意圖：學生對于解析法已有認識，強調解析式必須跟上定義域。

（銜接）那函數的表示方法就是以上學習的三種：分別是列表法、圖象法和解析法。

接下來我們來看幾個相關的問題，請同學討論一下。

Q：問題1：圖象法中函數的圖象一定是連續曲線嗎？ 如果不是 舉個例子。Q：問題2：列表法、圖象法和解析法各自的優缺點是什么 ？

Q：問題3：根據優缺點和以往的經驗，我們最常用來表示函數的方法是哪一種？最不常用的呢？

先由學生討論與表述，后由師生歸納三種表示方法的優缺點。

列表法，優點是不是可以直接從表格中看出自變量對應的函數值，很直觀，Q：缺點呢？請同學回答。列表法的缺點是只能表示自變量取值有限的時候，而我們往往遇到的題目中函數自變量取值是無限的，所以列表法很少會用到。

圖象法的優點顯然就是形象、直觀，缺點就是根據函數圖象只能近似求出自變量對應函數值。

解析法是我們最常用來表示函數的，那它肯定有很大的優點。解析法全面的概括出了變量間關系，我們可以通過計算求出任意自變量對應的函數值。一個事物是有兩面性的，和另外兩種方法比較，解析法的缺點是不夠形象直觀，而且不是所有函數都能用解析法表示的。設計意圖：讓學生體會總結三種表示法各自的優缺點。這對培養學生觀察、總結、表達能力是非常好的機會，教師千萬不可代替。

（銜接）函數三種表達方式的優缺點已經明了，那我們在做題中，根據上述優缺點可知最常用的應該是解析法，圖象法作輔助。函數表達方式到這里就結束了。

Q：接下來，我們看一下屏幕上的函數，這是一個什么函數？定義域是多少？能不能用圖象法表示？請同學口頭回答。

像這個分段函數，在第一段定義域內，函數解析式是y=x，在第二段定義域內，函數解析式就是y=-x。我們把在定義域內不同部分上，有不同解析表達式的函數稱為分段函數。

設計意圖：讓學生進一步體會數形結合在理解函數概念中的重要性。引出分段函數的特征。

例題講解：下面我們來看一道分段函數的例題。

（二）函數解析式的求法引入

（銜接）在剛剛所學的三種表示方法中我們講過，函數表達方式中最常用的是？解析式（大家一起回答），那接下來的重點就是來探究求函數解析式的方法。

（1）由例題引入待定系數法

先看例題，請同學們嘗試做題。（在等待同學做題時，不斷提醒同學：這是一個二次函數。那二次函數是什么樣的形式呢？）

先請同學回答，詳細解答過程板書呈現。寫完之后，根據板書內容解釋待定系數法的名稱和總結此方法做法：

首先，這個函數的類型我們已經知道，那順勢我們可以設出這個函數的形式，這個形式中有等待被確定的系數；進而，根據給出的條件，我們可以求出這個形式中等待被確定的系數。所以，我們稱這個方法為：待定系數法。

Q：請問，求函數解析式時用待定系數法的前提是什么？ A：已知函數類型。

Q：那么我們學過的哪些函數可以用待定系數法？ A：一次函數、二次函數和反比例函數。

Q：接著這道題，請問，二次函數除了設成頂點式，（如果一開始同學回答的是一般形式，那這里的頂點式和下面的一般形式互換）我們一般還可以設為什么形式？

A：可以設成一般形式。（板書呈現具體形式）（若有同學回答出兩點式給予表揚）

Q：若我們已知二次函數的兩個交點，我們還可以設為什么形式？ A：兩點式。（板書呈現具體形式）

接下來請同學們繼續做第二題。我請一位同學上黑板完成。

根據同學的板書解答，指出做題過程中出現的格式問題。詳細解答通過ppt呈現。

設計意圖：待定系數法是學生們最能接受的一種求函數表達式的方法，通過旁敲側擊引導學生自己做題，感受待定系數法的過程。通過例題引入待定系數法，再馬上通過一道習題鞏固此方法。并以板書形式呈現給學生，規范學生寫作。最后通過師生互動共同總結該方法，提高學生總結與表達能力。

（2）由例題引入換元法 繼續看例題，請同學回答。

<1>若同學回答用平移法做，先肯定這種解答。進而引出本質相同的換元法。<2>若同學回答用配湊法做，先肯定這種解答，進而提問第二小題用這種方法可以做嗎？試試看。等同學嘗試完后會發現第二題用配方法有問題，進而引出普適性更強的換元法。

解釋換元法的名稱：將括號中整體換成一個新的元，所以就稱為換元法。Q：請同學總結換元法的步驟。

A：將括號中看作整體，令為t，接著用t表示x，代入原函數，成為關于t的函數。

教師補充：由于我們習慣將自變量寫為x，所以最后還要加一步：將t用x代換。

Q：有沒有其它同學要補充？

（若沒有，那么請做第二題，之后再來補充；若有，就及時補充）請同學口頭陳述過程，ppt一步步呈現過程。Q：請問，函數的三要素是指什么？ A：定義域，對應法則，值域。

Q：那求函數解析式同學們漏掉了最重要的什么？ A：定義域。

Q：那再來考慮一下，為何第一道題目不需要寫定義域呢？ A：因為x可以取到一切實數。

Q：很好，那這道題目里面的定義域為多少？

（若有同學回答是原始x的定義域，就指出這是換元法的易錯點，也是重點）（若同學回答正確，繼續追問他此處x的范圍就是什么的范圍？和同學解釋清楚其中的關系，強調換元法的定義域是重點）

并且在此特別強調：求函數解析式，無論是大題還是填空題，都必須寫出定義域，否則就是錯的，會扣分。

設計意圖：通過例題1引入換元法的時候，學生極有可能用平移法或者配湊法做，這時候先對同學會用以前學過的方法做題進行表揚，接著一定要通過例題2讓學生自己意識到那兩種方法的局限性，此時教師才引入學生已接觸過的整體代換思想的換元法。并且，強調換元法的注意點以及考試易錯點是定義域。

（3）通過例題引入解方程組法

Q：這個例題，同學們想想還能不能用上面兩種方法作答？ A：不能

教師引導：遇到這種既不知道函數類型，也不知道一些函數相關形式的題目，我們不妨試一試把x看作整體，所有的x都用1/x替代，同學們動手做做看。

解釋方法名稱：通過題目解答過程，我們會發現這是利用解方程組的方法求函數解析式。所以把這種方法稱為解方程組法。

Q：請問同學們，這種方法適用于什么情況呢？讓學生總結。ppt上強調這種方法的適用范圍：

設計意圖：解方程組法對高一學生來說是一種新解題思路，若完全讓學生自我探索是很難做到的，所以盡可能地引導學生去充分理解此方法，并且由學生總結適用情況，增強學生對此方法的認識與應用。

（3）課堂小結

今天這節課我們主要學習了兩個內容：函數的三種表示方法和求函數解析式的三種方法。那么請問同學們：

1.函數的表示方法是哪些？

2.函數解析式的求法有哪些？注意點分別是什么？

（4）課后作業

1.預先準備好的三道練習題，若有時間則課堂講解；若無時間，則作為課后作業；

2.《功到自然成》函數的表示方法這一節作業； 3.課時訓練函數的表示方法這一節作業。

八、板書設計

九、教學反思

第二篇：函數的表示方法

宜賓市翠屏區龍鳳教育培訓學校主講人：楊老師

函數的概念及表示方法

重點、難點：

1.對應、函數、映射

2.函數的三要素：定義域、值域、對應法則

3.定義域、值域計算的基本方法

4.計算的基本方法

5.分段函數與復合函數

1.函數

設A、B是非空數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么稱f:

A到集合B的一個函數，記作：y?f(x),x?A.A?B為從集合其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫作定義域；與x的值對應的y值叫函數值，函數值的集合{f(x)|x?A}叫值域。

[注意] ①構成函數的三要素：__________、_________、_________。②A、B都是非空數集，因此定義域（或值域）為空集的函數不存在。

③函數符號f(x)的含義：f(x)表示一個整體，一個函數，而記號“f”可以看做是對“x”施加某種法則（或運算），如f(x)?x2?2x?3，當x?2時，可看做對“2”施加了這樣的運算法則：先平方，再減去它與2的積，再加上3；

當x為某一個代數式（或某一個函數記號）時，則左右兩邊的所有x都用同一個代數式（或函數記號）代替，如f(2x?1)?(2x?1)2?2(2x?1)?3?[g(x)]2?2g(x)?3等等。

④f(x)與f(a)的區別于聯系。教師寄語：親愛的同學，學習路上雷厲風行，沒有什么不可能，老師相信你能行的，祝你學習輕松愉快！

電話：0831-***195553地址：翠屏區上江北紅豐東路20號地財大廈二樓

f(a)表示當x?a時，函數f(x)的值，是一個常量；而f(x)是自變量x的函數，在一般情況下，它是一個變量，f(a)是f(x)的一個特征值。如一次函數f(x)?3x?5，當x?8時，f(x)?3?8?5?29是一個常量。

⑤定義域，在實際問題中受到實際意義的制約。如函數y?的定義域為?x|x?0?；圓半徑r與圓面積S的函數關系為S??r2的定義域為?r|r?0?。

例1 已知函數f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-

例2函數

同一函數的判斷：

兩個函數當且僅當定義域與對應法則分別相等時，才是同一個函數，這說明：

(1)定義域不同，兩個函數也就不同；

(2)對應關系不同，兩個函數也是不同；

(3)即使是定義域和值域都分別相同的兩個函數，它們也不一定是同一個函數。因為函數的定義域和值域不能唯一地確定函數的對應關系。例如，y=2x+1與y=x+1 例3 判斷下列函數f（x）與g（x）是否表示同一個函數，說明理由？

A.f(x)=(x －1)0；g(x)= 1B.f(x)= x； g(x)=

C．f(x)= x 2；f(x)=(x + 1)2D.f(x)= | x | ；

g(x)=

[注意]00無意義！

x23x2y＝x2)、f(a)、f(a+1)與y＝3x是不是同一個函數？為什么？

2.區間及寫法

設a、b是兩個實數，且a

{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫閉區間；{x|a

①符號：“∞”讀“無窮大”；“－∞”讀“負無窮大”；“+∞”讀“正無窮大” ②區間左端點值要小于區間右端點值；區間符號里面兩個字母（或數字）之間用“，”隔開；

例4 練習用區間表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x

例5 用區間表示：函數y＝x的定義域，值域是。（觀察法）

3.由函數的解析式求定義域

例6 求下列函數的定義域（用區間表示）

f(x)=

例7 f(x)

＝x?2x?3 x?3x2?2；

f(x)=x?1－x2?xf(x)

例8

f(x)；f(x)?1 1?1/x

4.函數的值域

例9 求值域（用區間表示）：y?x2?2x?4；y?

【方法、技巧】求函數值域的方法：

(1)觀察法。一些簡單的函數，可通過定義域及對應法則，用觀察的方法來確定函數的值域。

例10 求下列函數的值域：(1)f(x)?2x?1,x??1,2,3,4,5?；

(2)y?1

(2)配方法。通過函數解析式配方，由非負實數的意義確定函數的值域。

例11 求函數y?x2?4x?6的值域

[解析]y?x2?4x?6定義域為R，是二次函數，首先考慮配方法。

函數的定義域為R，∵y?x2?4x?6?(x?2)2?2,x?R時，(x?2)2?0∴該函數的 值域為?y|y?2??[2,??)

(3)分離常數法。當自變量有一定的取值范圍時，利用不等式的性質求出因變量的取值集合。

2x?1(1?x?2)的值域。x?1

3[解析] ∵y?2?，又1?x?2,?2??x1?3,?1?x?1?5x?2；f(x)? ；f(x)? x?

3x?3例12 求函數y?331?yx?122，故所求值域~~.(4)換元法。通過換元化簡函數解析式，從而順利地求出函數的值域。

例13

求函數y?x?【較難】

t2?11?t2[解析]

設t?則x?且t?0，問題轉化為求y??t(t?0)的值域。22

1?t211?y??t?(t?1)2(t?0)，又∵t?0,?(t?1)2?1,∴y值的范圍為y? 222

[注意]輔助元的取值范圍，如在本例題中，要確定t的取值范圍，如忽視了這一點，就會錯誤。

5.練習一

1.函數f(x)?1(x?R)的值域1?x2

A.（0,1）B.(0，1]C.[0，1）D.[0，1]

2.求函數y?x?3的值域

x2?x3.求函數y?2的值域為x?x?1

4.求函數y?x?

5.已知函數f(x)?x2，求f(x?1)；

6.已知函數f(x?1)?x2，求f(x)；（換元法）

7.若x?R,f(x)是y?2?x2,y?x這兩個函數中教小者，則f(x)的最大值________

A.2B.1C.-1D.無最大值

8.若函數y?f(x)的定義域是?x|0?x?1?，則y?f(x2)的定義域是________

A.(-1,0)B.（-1,0）∪（0,1）C.(0,1)D.[0,1]

9.若函數y?f(3x?1)的定義域是[1,3]，則y?f(x)的定義域是_____

A.[1,3]B.[2,4]C.[2,8]D.[3,9]

10.求下列函數的定義域(1)y?2?3；

(2)y?；x?2

(3)y?(x?1)0?

11.12.求函數y?x2?4x?6(0?x?5)的值域。[2,11)下列四組中的函數f(x)與g(x)，表示相同函數的一組為________.A.f(x)?|x|,g(x)?2；

B.f(x)?g(x)?C.f(x)?x0,g(x)?；

D.f(x)?x,g(x)?

xx

第三篇：函數及其表示方法教案

函數及其表示方法

一、目標認知

學習目標：

(1)會用集合與對應的語言刻畫函數；會求一些簡單函數的定義域和值域，初步掌握換元法的簡單運用.(2)能正確認識和使用函數的三種表示法：解析法，列表法和圖象法．了解每種方法的優點．在實際情

境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數；

(3)求簡單分段函數的解析式；了解分段函數及其簡單應用．

重點: 函數概念的理解，函數關系的三種表示方法．分段函數解析式的求法． 難點: 對函數符號的理解；對于具體問題能靈活運用這三種表示方法中的某種進行分析，什么才算“恰當”？分段函數解析式的求法．

二、知識要點梳理

1.函數的三種表示法：

解析法：用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系． 優點：簡明，給自變量求函數值.圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應關系． 優點：直觀形象，反應變化趨勢.列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系． 優點：不需計算就可看出函數值.2.分段函數：

分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫函數幾種不同的表達式并用個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．

知識點

二、映射與函數 1.映射定義：

設A、B是兩個非空集合，如果按照某個對應法則f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，這樣的對應叫做從A到B的映射；記為f：A→B.象與原象：如果給定一個從集合A到集合B的映射，那么A中的元素a對應的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：

(1)A中的每一個元素都有象，且唯一；

(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象記為f(a).2.函數：

設A、B是兩個非空數集，若f：A→B是從集合A到集合B的映射，這個映射叫做從集合A到集合B的函數，記為y=f(x).注意：

(1)函數一定是映射，映射不一定是函數；

(2)函數三要素：定義域、值域、對應法則；

(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定義域，值域=象集合.7.求函數的解析式

(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；

(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路點撥：求函數的表達式可由兩種途徑.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，則?t?1?

?f?t????,?f?2?2

2?x?1??x????;

?2?

(2)f(x+1)=2x2+1，由對應法則特征可得：f(x)=2(x-1)2+1

即：f(x)=2x-4x+3.2

【變式1】(1)已知f(x+1)=x+4x+2，求f(x)；

(2)已知：

2，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x+4x+2=(x+1)+2(x+1)-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法3)設f(x)=ax+bx+c則

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2

(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4

總結升華：求函數解析式常用方法：

f[f(-1)]=f(4)=16.；

(1)換元法；(2)配湊法；(3)定義法；(4)待定系數法等.注意：用換元法解求對應法則問題時，要關注新變元的范圍.8.作出下列函數的圖象.? y?x?2

y?2x?4x?3?0?x2 ?3

思路點撥：1.首先取不同的點，在圖像上描出，用一條平滑的線連接各點。

（1）y?x?2??2??x?2?x?2???2?x?x?2?為分段函數，圖象是兩條射線；

（2）y?2x?4x?3?0?x?3?圖象是拋物線.所作函數圖象分別如圖所示：

分段函數：

9.已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路點撥：分段函數求值，必須注意自變量在不同范圍內取值時的不同對應關系.解：f(0)=2×02+1=1

f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.??1?x?0??

【變式1】已知f?x?????x?0?，作出f(x)的圖象，求f(1)，f(-1)，f(0)的值.?x?1x?0???

解：由分段函數特點，作出f(x)圖象如下：

∴如圖，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=； 10.某市郊空調公共汽車的票價按下列規則制定：

(1)乘坐汽車5公里以內，票價2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票價增加1元(不足5公里按5公里計算)，已知兩個相鄰的公共汽車站間相距約為1公里，如果沿途(包括起點站和終點站)設20個汽車站，請根據題意，寫出票價與里程之間的函數解析式，并畫出函數的圖象.解：設票價為y元，里程為x公里，?20?x?5??35?x?10?x?N? 由空調汽車票價制定的規定，可得到以下函數解析式：y????410?x?15??515?x?19

根據這個函數解析式，可畫出函數圖象，如下圖所示：

【變式1】移動公司開展了兩種通訊業務：“全球通”，月租50元，每通話1分鐘，付費0.4元；“神州行”不繳月租，每通話1分鐘，付費0.6元，若一個月內通話x分鐘，兩種通訊方式的費用分別為y1，y2(元)，Ⅰ.寫出y1，y2與x之間的函數關系式？

Ⅱ.一個月內通話多少分鐘，兩種通訊方式的費用相同？

Ⅲ.若某人預計一個月內使用話費200元，應選擇哪種通訊方式？

解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；

Ⅱ： 當y1=y2時，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250

∴當一個月內通話250分鐘時，兩種通訊方式費用相同；

Ⅲ： 若某人預計月付資費200元，采用第一種方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分鐘）

采用第二種方式：200=0.6x，x?333

∴應采用第一種(全球通)方式.已知映射f:A→B，在f的作用下，下列說法中不正確的是()

A． A中每個元素必有象，但B中元素不一定有原象

B． B中元素可以有兩個原 C． A中的任何元素有且只能有唯一的象

D． A與B必須是非空的數 ?1?x?1?x

已知f?，求f(x)的解析式。??2?1?x?1?x?1?x?1?x 解：觀察已知函數 f?

??21?x1?x???1?y?1???1?y???1?y?1????1?y?2x1?x213（分鐘）

222我們可以先令y?1?x1?x，則x?1?y1?y。所以f?y??2。從而化簡得出f?y??2y1?y2，在令y=x，則就可以得出f?x??。

總結升華：

(1)由實際問題確定的函數，不僅要確定函數的解析式，同時要求出函數的定義域(一般情況下，都要接受實際問題的約束).(2)根據實際問題中自變量所表示的具體數量的含義來確定函數的定義域，使之必須有實際意義.

第四篇：函數及其表示方法教案

§1.1集合及其表示法 教學目標 知識與技能目標：

（1）使學生初步了解集合的概念，知道常用數集的概念及其記法（2）使學生初步了解“屬于”關系的意義。

（3）使學生初步了解有限集、無限集、空集的意義。（4）.掌握集合的兩種常用表示方法（列舉法和描述法）。.（5）通過實例能使學生選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用。

過程與方法目標：

（1）重視基礎知識的教學、基本技能的訓練和能力的培養；（2）啟發學生能夠發現問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創造地解決問題；

（3）通過教師指導發現知識結論，學會抽象概括和運用邏輯思維的習慣。

（4）通過集合兩種表示方法的相互轉化培養學生的抽象概括和邏輯思維能力

情感態度與價值觀目標：

激發學生學習數學的興趣和積極性，陶冶學生的情操，培養學生堅忍不拔的意志，實事求是的科學學習態度和勇于創新的精神。

教學重點：集合的基本概念及表示方法。

教學難點：運用集合的常用表示方法，正確表示一些簡單的集合。授課方法：講授法 教學過程： 一．集合的概念

1.集合理論創始人康托爾稱集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東

西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個總體。

2.在本書，一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集。

3.集合的正例和反例

（1）{2，3，4}，{（2，3），（3，4）}，{三角形}，{ x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，{51，52，53，…，100}，{2，4，6，8，…}

我們班的男同學；我們班的團員；

（2）“好心的人”，“著名的數學家”，“我們班級中的高個子同學”……這類對象一般不能構成數學意義上的集合，因為找不到用以判別每一具體對象是否屬于集合的明確標準。{1，1，2}由于出現重復元素，也不是集合的正確表示。

4.關于集合的元素的特征

（1）確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。

（2）互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現同一元素。（3）無序性：一般不考慮元素之間的順序，但在表示數列之類的特殊集合時，通常按照習慣的由小到大的數軸順

5.集合中的每個對象叫做這個集合的元素，元素與集合的關系用“屬于”和“不屬于”表

示；

（1）如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作a?A 例如：1∈{1，2，3}； 2.5?{1，2，3} 6．常用數集及其記法

非負整數集（或自然數集），記作N 整數集，記作Z 有理數集，記作Q 實數集，記作R 例如：1∈Z，1.2?Z，0∈N； 例題1：課本P7 7． 有限集和無限集的概念

自然數集N，{1，2，3，4，5，??}；{x|2x-3>0}；{鈍角三角形}，??；

無限集：含有無限個元素的集合。有限集：含有有限個元素的集合。{x/x=3 },{我們班的全體同學}，{我們班中年齡小于10歲的同學} 空集：規定空集，不含元素。記作?； 二．集合的表示方法

問題1：在初中學正數和負數時，是如何表示正數集合和負數集合的? 如表示下列數中的正數 4.8,-3,2,-0.5, 方法1: 方法2: {4.8,2,1,+73,3.1 31,+73,3.1} 3 問題2：在初中學習不等式時,如何表示不等式x+3<6的解集?（可表示為:x<3）

問題1中，方法1為圖示法，方法2為列舉法.1.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號里的方法.說明：(1)書寫時，元素與元素之間用逗號分開； 一般不必考慮元素之間的順序；

(3)在表示數列之類的特殊集合時,通常仍按慣用的次序；

(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能時，可以列出該集合的一部分元素,以提供某種規律,其余元素以省略號代替；

例1．用列舉法表示下列集合：

第2 / 6頁

(1)小于5的正奇數組成的集合；

(2)能被3整除而且大于4小于15的自然數組成的集合；(3)從51到100的所有整數的集合；(4)小于10的所有自然數組成的集合；(5)方程x?x的所有實數根組成的集合；(6)由1~20以內的所有質數組成的集合。

問題6：能否用列舉法表示不等式x-7<3的解集? 由此引出描述法。2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共屬性描述出來, 寫在大括號里的方法)。

表示形式：A={x∣p}，其中豎線前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共屬性；A={x∣p}表示集合A是由所有具有性質P的那些元素x組成的，即若x具有性質p，則x?A；若x?A,則x具有性質p。

說明:(1)有些集合的代表元素需用兩個或兩個以上字母表示；(2)應防止集合表示中的一些錯誤。

如，把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{x∣1,2}，用{實數集}或{全體實數}表示R。

例2．用描述法表示下列集合：(1)由適合x-x-2>0的所有解組成的集合;(2)到定點距離等于定長的點的集合;(3)拋物線y=x上的點;(4)拋物線y=x上點的橫坐標;(5)拋物線y=x上點的縱坐標;例3．試分別用列舉法和描述法表示下列集合：（1）方程x?2?0的所有實數根組成的集合；（2）由大于10小于20的所有整數組成的集合。

（二）集合的分類

例4．觀察下列三個集合的元素個數

1.{4.8, 7.3, 3.1,-9};2.{x?R∣0

?有限集:含有有限個元素的集合?集合的分類?無限集:含有無限個元素的集合

?空集:不含有任何元素的集合?(empty?set)?

（三）文氏圖

集合的表示除了上述兩種方法以外，還有文氏圖法，敘述如下： 畫一條封閉的曲線,用它的內部來表示一個集合，如圖所示：

第3 / 6頁

表示任意一個集合A 表示{3，9，27} 說明：邊界用直線還是曲線，用實線還是虛線都無關緊要，只要封閉并把有關元素統統包含在里邊就行，但不能理解成圈內每個點都是集合的元素.三．課堂練習一 例1.用“?”或者“?”填空 0 N 0 Z?

?2 Z 1* N ?2 R 2 例2.用適當的方法表示下列集合：

(1)大于0且不超過6的全體奇數組成的集合；(2)被3除余1的自然數全體組成的結合；(3)方程組??x?y?5的解集； ?x?y??1(4)直角坐標系內第一象限的點組成的集合.四．課堂練習二

1.元素與集合的關系用符號表示：

①a屬于集合A___________；②a不屬于集合A___________.2.常用數集記法：

字母N表示______________；用_______表示正整數集；Z表示_____________；用______ 表示有理數集；R表示_________________.3.空集是不含任何_________的集合，記作______________.第4 / 6頁

4.集合常用的表示方法有 和.【基礎訓練】

1.列舉法表示下列集合：(1)10以內的質數組成的集合.(2){y|y?x2?1,?1?x?3,x?Z} 2.已知M為所有大于?2且小于1的實數組成的集合，則下列關系式正確的是（M

B.M C.1?M D.?? 2?M 3.下列寫法正確的是（）

A.0?{(0,1)};B.1?{(0,1)};C.(0,1)?{(0,1)};D.(0,1)?{0,1}.4.在平面直角坐標系中畫出集合{(x,y)|xy?0,x?R,y?R}內的點所在的區域.5.用適當的方法表示下列集合：(1)關于x的方程x2?ax?2?0,a?R的解集;(2)兩直線y?2x?1和y?x?2的交點組成的集合.6.方程(x?2)3(x?1)(x?3)(x?4)?0的解集含有________個元素.7.已知方程ax2?ax?1?0的解集是空集，則實數a的取值范圍是___________.【鞏固提高】

8.已知集合A?{2,(a?1)2,a2?3a?3}，且1?A，求實數a的值.9.已知集合M含有三個元素0,1,x(x?R)，且x2?M，求實數x的值.(選做)10.(1)已知方程x2?px?4?0的解集是A，且6?A，）

第5 / 6頁

求實數p的值；

(2)已知方程x2?px?q?0的解集是{6}，求實數p,q的值.【課堂例題答案】 例1.?;?;?;?;?;?

例2.(1){1,3,5};(2){x|x?3k?1,k?N};(3){(x,y)|?(4){(x,y)|x?0,y?0,x?R,y?R} 【知識再現答案】 1.a?A;a?A 2.自然數集；N或Z；整數集；Q；實數集 *??x?y?5}或者{(2,3)} x?y??1?

3.元素；? 4.列舉法；描述法 【習題答案】

1.(1){2,3,5,7};(2){?1,0,3} 2.D 3.C 4.第一、三象限及坐標軸 y 陰影區域，含邊界 a

5.(1)

當a??{}；當a??

a?

；

2當??a?時，? 6.4 7.0?a?4 8.a??1或0 9.x??1 10.(1)p?? 20;(2)p??12,q?36 3

第五篇：函數及其表示方法教案

函數及其表示方法

一、目標認知 學習目標：

(1)會用集合與對應的語言刻畫函數；會求一些簡單函數的定義域和值域，初步掌握換元法的簡單運用.(2)能正確認識和使用函數的三種表示法：解析法，列表法和圖象法．了解每種方法的優點．在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數；

(3)求簡單分段函數的解析式；了解分段函數及其簡單應用．

重點:

函數概念的理解，函數關系的三種表示方法．分段函數解析式的求法．

難點:

對函數符號y?f(x)的理解；對于具體問題能靈活運用這三種表示方法中的某種進行分析，什么才算“恰當”？分段函數解析式的求法．

二、知識要點梳理

知識點

一、函數的概念

1．函數的定義

設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作：y?f(x)，xA．

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|xA}叫做函數的值域.2．構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域

①構成函數的三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全—致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數)；

②兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全—致，而與表示自變量和函數值的字母無關.3．區間的概念

(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；

(2)無窮區間；

(3)區間的數軸表示．

區間表示：

{x|a≤x≤b}=[a，b]； ；

.； 知識點

二、函數的表示法

1．函數的三種表示方法：

解析法：用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系．優點：簡明，給自變量求函數值.圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應關系． 優點：直觀形象，反應變化趨勢.列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系． 優點：不需計算就可看出函數值.2．分段函數：

分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫函數幾種不同的表達式并用個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況． 知識點

三、映射與函數 1.映射定義：

設A、B是兩個非空集合，如果按照某個對應法則f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，這樣的對應叫做從A到B的映射；記為f：A→B.象與原象：如果給定一個從集合A到集合B的映射，那么A中的元素a對應的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：

(1)A中的每一個元素都有象，且唯一；

(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象記為f(a).2.函數：

設A、B是兩個非空數集，若f：A→B是從集合A到集合B的映射，這個映射叫做從集合A到集合B的函數，記為y=f(x).注意：

(1)函數一定是映射，映射不一定是函數；

(2)函數三要素：定義域、值域、對應法則；

(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定義域，值域=象集合.三、規律方法指導 1.函數定義域的求法

(1)當函數是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數解析式有意義的自變量的取值的集合.具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數、式大于或等于零，零次冪的底數不為零以及我們在后面學習時碰到的所有有意義的限制條件.(2)當函數是由實際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實際意義.(3)求函數的定義域，一般是轉化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結果必須用集合或區間來表示.2.如何確定象與原象

對于給出原象要求象的問題，只需將原象代入對應關系中，即可求出象.對于給出象，要求原象的問題，可先假設原象，再代入對應關系中得已知的象，從而求出原象；也可根據對應關系，由象逆推出原象.3.函數值域的求法

實際上求函數的值域是個比較復雜的問題，雖然給定了函數的定義域及其對應法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：

觀察法：通過對函數解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數的值域，或利用函數的圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數的值域；

配方法：對二次函數型的解析式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數的值域方法求函數的值域；

判別式法：將函數視為關于自變量的二次方程，利用判別式求函數值的范圍，常用于一些“分式”函數等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；

換元法：通過對函數的解析式進行適當換元，將復雜的函數化歸為幾個簡單的函數，從而利用基本函數的取值范圍來求函數的值域.求函數的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數形結合法等.總之，求函數的值域關鍵是重視對應法則的作用，還要特別注意定義域對值域的制約.經典例題透析

類型

一、函數概念

(1)1.下列各組函數是否表示同一個函數？

(不同)

(2)

(不同)

(3)

(4)

(相同)

(相同)

思路點撥：對于根式、分式、絕對值式，要先化簡再判斷，在化簡時要注意等價變形，否則等號不成立.總結升華：函數概念含有三個要素，即定義域，值域和對應法則法則，其中核心是對應，它是函數關系的本質特征.只有當兩個函數的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數才是同一函數，換言之就是：

(1)定義域不同，兩個函數也就不同；

(2)對應法則不同，兩個函數也是不同的.(3)即使定義域和值域都分別相同的兩個函數，它們也不一定是同一函數，因為函數的定義域和值域不能唯一地確定函數的對應法則.舉一反三：

【變式1】判斷下列命題的真假

(1)y=x-1與

(2)

(3)

是同一函數；

與y=|x|是同一函數；

是同一函數；

(4)

與g(x)=x2-|x|是同一函數.答：從函數的定義及三要素入手判斷是否是同一函數，有(1)、(3)是假命題，(2)、(4)是真命題.2.求下列函數的定義域(用區間表示).(1)；

(2)；

(3).思路點撥：由定義域概念可知定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍.解：(1)

；

(2)；

(3).總結升華：使解析式有意義的常見形式有①分式分母不為零；②偶次根式中，被開方數非負.當函數解析式是由多個式子構成時，要使這多個式子對同一個自變量x有意義，必須取使得各式有意義的各個不等式的解集的交集，因此，要列不等式組求解.舉一反三：

【變式1】求下列函數的定義域：

(1)；(2)；(3).思路點撥：(1)中有分式，只要分母不為0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意義；(3)只要使得兩個根式都有意義即可．

解：(1)當|x-2|-3=0，即x=-1或x=5時，無意義，當|x-2|-3≠0，即x≠-1且x≠5時，分式有意義，所以函數的定義域是(-∞，-1)∪(-1，5)∪(5，+∞)；

(2)要使函數有意義，須使

所以函數的定義域是

；，(3)要使函數有意義，須使，所以函數的定義域為{-2}.總結升華：小結幾類函數的定義域：

(1)如果f(x)是整式，那么函數的定義域是實數集R；

(2)如果f(x)是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合；

(3)如果f(x)是二次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數的集合；

(4)如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合；(即求各集合的交集)

(5)滿足實際問題有意義.3.已知函數f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，f(a)，f(a+1).思路點撥：由函數f(x)符號的含義，f(3)表示在x=3時，f(x)表達式的函數值.解：f(3)=3332+533-2=27+15-2=40；

舉一反三：

；

.；

【變式1】已知函數.(1)求函數的定義域；(2)求f(-3)，f()的值；

(3)當a＞0時，求f(a)3f(a-1)的值.2

3解：(1)由；

(2)；

；

(3)當a＞0時，.【變式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：

(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x))

思路點撥：根據函數符號的意義，可以知道f(g(2))表示的是函數f(x)在x=g(2)處的函數值，其它同理可得．

解：(1)f(2)=2322-332-25=-23；g(2)=232-5=-1；

(2)f(g(2))=f(-1)=23(-1)2-33(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=23(-23)-5=-51；

(3)f(g(x))=f(2x-5)=23(2x-5)2-33(2x-5)-25=8x2-46x+40；

g(f(x))=g(2x2-3x-25)=23(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.總結升華：求函數值時，遇到本例題中(2)(3)(這種類型的函數稱為復合函數，一般有里層函數與外層函數之分，如f(g(x))，里層函數就是g(x)，外層函數就是f(x)，其對應關系可以理解為，類似的g(f(x))為，類似的函數，需要先求出最里層的函數值，再求出倒數第二層，直到最后求出最終結果.4.求值域(用區間表示)：

(1)y=x2-2x+4；

思路點撥：求函數的值域必須合理利用舊知識，把現有問題進行轉化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域為[3，+∞)；

.(2)；

(3)；

(4)1)∪(1，+∞).，∴函數的值域為(-∞，類型

二、映射與函數

5.下列對應關系中，哪些是從A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成為映射?

(1)A=R，B=R，對應法則f：取倒數；

(2)A={平面內的三角形}，B={平面內的圓}，對應法則f：作三角形的外接圓；

(3)A={平面內的圓}，B={平面內的三角形}，對應法則f：作圓的內接三角形．

思路點撥：根據定義分析是否滿足“A中任意”和“B中唯一”．

解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中沒有元素與之對應，不滿足“A中任意”；若把A改為

A={x|x≠0}或者把對應法則改為“加1”等就可成為映射；

(2)是映射，集合A中的任意一個元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(該三角形的外接圓)與

之對應，這是因為不共線的三點可以確定一個圓；

(3)不是映射，集合A中的任意一個元素(圓)，在集合B中有無窮多個元素(該圓的內接三角形有無

數個)與之對應，不滿足“B中唯一”的限制；若將對應法則改為：以該圓上某定點為頂點作正

三角形便可成為映射．

總結升華：將不是映射的對應改為映射可以從出發集A、終止集B和對應法則f三個角度入手．

舉一反三：

【變式1】判斷下列兩個對應是否是集合A到集合B的映射？

①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，對應法則

②A=N*，B={0，1}，對應法則f:x→x除以2得的余數；

③A=N，B={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余數；

④設X={0，1，2，3，4}，思路點撥：判斷是否構成映射應注意：①A中元素的剩余；②“多對一”“一對一”構成，而“一對多”不構成映射.解：①構成映射，②構成映射，③構成映射，④不構成映射，0沒有象.【變式2】已知映射f：A→B，在f的作用下，判斷下列說法是否正確？

(1)任取x∈A，都有唯一的y∈B與x對應；

(2)A中的某個元素在B中可以沒有象；

(3)A中的某個元素在B中可以有兩個以上的象；

(4)A中的不同的元素在B中有不同的象；

(5)B中的元素在A中都有原象；

(6)B中的元素在A中可以有兩個或兩個以上的原象.答：(1)、(6)的說法是正確的，(2)、(3)、(4)、(5)說法不正確.【變式3】下列對應哪些是從A到B的映射？是從A到B的一一映射嗎？是從A到B的函數嗎？

(1)A=N，B={1，-1}，f：x→y=(-1)x；

(2)A=N，B=N+，f：x→y=|x-3|；

(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：x→y=|x|；

(5)A=N，B=Z，f：x→y=|x|；

(6)A=N，B=N，f：x→y=|x|.答：(1)、(4)、(5)、(6)是從A到B的映射也是從A到B的函數，但只有(6)是從A到B的一一映射；(2)、(3)不是從A到B的映射也不是從A到B的函數.6.已知A=R，B={(x，y)|x，yR}，f：A→B是從集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素

解：

∴A中元素的象為的象，B中元素的原象.故.舉一反三：

【變式1】設f：A→B是集合A到集合B的映射，其中

(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，則A中元素的象及B中元素-1的原象分別為什么？

(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x-y，x+y)，則A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分別為什么？

解：(1)由已知f：x→x2-2x-1，所以A中元素的象為

；

又因為x2-2x-1=-1有x=0或x=2，因為A={x|x＞0}，所以B中元素-1的原象為2；

(2)由已知f:(x，y)→(x-y，x+y)，所以A中元素(1，3)的象為(1-3，1+3)，即(-2，4)；

又因為由

有x=2，y=1，所以B中元素(1，3)的原象為(2，1).類型

三、函數的表示方法

7.求函數的解析式

(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；

(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路點撥：求函數的表達式可由兩種途徑.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，則

；

(2)f(x+1)=2x2+1，由對應法則特征可得：f(x)=2(x-1)2+1

即：f(x)=2x2-4x+3.舉一反三：

【變式1】(1)已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；

(2)已知：，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法3)設f(x)=ax2+bx+c則

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2

；

(2)∵-1＜0，∴f(-1)=22(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.總結升華：求函數解析式常用方法：

(1)換元法；(2)配湊法；(3)定義法；(4)待定系數法等.注意：用換元法解求對應法則問題時，要關注新變元的范圍.(1)8.作出下列函數的圖象.；

(2)

；

(3)；

(4).思路點撥：(1)直接畫出圖象上孤立的點；(2)(3)先去掉絕對值符號化為分段函數.解：(1)，∴圖象為一條直線上5個孤立的點；

(2)為分段函數，圖象是兩條射線；

(3)

(4)圖象是拋物線.為分段函數，圖象是去掉端點的兩條射線；

所作函數圖象分別如圖所示：

類型

四、分段函數

9.已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路點撥：分段函數求值，必須注意自變量在不同范圍內取值時的不同對應關系.解：f(0)=2302+1=1

f[f(-1)]=f[23(-1)+3]=f(1)=2312+1=3.舉一反三：

【變式1】已知，作出f(x)的圖象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.解：由分段函數特點，作出f(x)圖象如下：

∴如圖，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；

f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.舉一反三：

【變式1】移動公司開展了兩種通訊業務：“全球通”，月租50元，每通話1分鐘，付費0.4元；“神州行”不繳月租，每通話1分鐘，付費0.6元，若一個月內通話x分鐘，兩種通訊方式的費用分別為y1，y2(元)，Ⅰ.寫出y1，y2與x之間的函數關系式？

Ⅱ.一個月內通話多少分鐘，兩種通訊方式的費用相同？

Ⅲ.若某人預計一個月內使用話費200元，應選擇哪種通訊方式？

解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；

Ⅱ： 當y1=y2時，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250

∴當一個月內通話250分鐘時，兩種通訊方式費用相同；

Ⅲ： 若某人預計月付資費200元，采用第一種方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分鐘）

采用第二種方式：200=0.6x，∴應采用第一種(全球通)方式.學習成果測評 基礎達標

一、選擇題

1．判斷下列各組中的兩個函數是同一函數的為()

⑴，；

⑵，；

⑶，；

⑷，；

⑸，．

A．⑴、⑵

B．⑵、⑶

C．⑷

D．⑶、⑸

2．函數y=的定義域是()

A．-1≤x≤

1B．x≤-1或x≥1

C．0≤x≤1

3．函數的值域是()

A．(-∞，)∪(，+∞)

B．(-∞，)∪(，+∞)

C．R

D．(-∞，)∪(，+∞)

4．下列從集合A到集合B的對應中：

①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；

②

③

④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；

D．{-1，1}

⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|

其中，不是從集合A到集合B的映射的個數是()

A． 1

B． 2

C． 3

D． 4

5．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列說法中不正確的是()

A． A中每個元素必有象，但B中元素不一定有原象

B． B中元素可以有兩個原象

C． A中的任何元素有且只能有唯一的象

D． A與B必須是非空的數集

6．點(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求點(4，6)在f下的原象()

A．(，1)

B．(1，3)

C．(2，6)

D．(-1，-3)

7．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表達式中不表示從P到Q的映射的是()

A．y=

B．y=

C．y=x

D．y=

x2

8．下列圖象能夠成為某個函數圖象的是()

9．函數的圖象與直線的公共點數目是()

A．

B．

C．或

D．或 10．已知集合和

A．中的元素對應，則

C．，且的值分別為()

D．，使

中元素

B．11．已知，若，則的值是()

A．

B．或12．為了得到函數

C．，或

D． 的圖象，可以把函數的圖象適當平移，這個平移是()

A．沿軸向右平移個單位

B．沿軸向右平移個單位

C．沿軸向左平移個單位

D．沿軸向左平移

二、填空題

個單位

1．設函數則實數的取值范圍是_______________．

2．函數的定義域_______________．

上的值域是_________． 的圖象與x軸交于，且函數的最大值

3．函數f(x)=3x-5在區間

4．若二次函數為，則這個二次函數的表達式是_______________．

5．函數

6．函數

三、解答題 的定義域是_____________________． 的最小值是_________________．

1．求函數

2．求函數的定義域． 的值域．

3．根據下列條件，求函數的解析式：

(1)已知f(x)是一次函數，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；

(2)已知f(x)是二次函數，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；

(4)已知；

(5)已知f(x)的定義域為R，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x).能力提升

一、選擇題

1．設函數

A．

B．

C．，則的表達式是()

D．

2．函數

A．3

B．-3

C．

滿足

D．

則常數等于()

3．已知

A．15

B．1

C．3

D．30

4．已知函數

定義域是，那么等于()，則的定義域是()

A．

5．函數

A．

B．

C． 的值域是()

D．

B．

C．

D．

6．已知，則的解析式為()

A．

二、填空題

B．

C．

D．

1．若函數

2．若函數，則，則

=_______________． =_______________．

3．函數的值域是_______________．

4．已知

5．設函數，則不等式，當的解集是_______________．

時，的值有正有負，則實數的范圍________．

三、解答題

1．設是方程的兩實根，當

為何值時，有最小值?求出這個最小值．

2．求下列函數的定義域

(1)

3．求下列函數的值域

；(2)．

(1)；(2)．

綜合探究

1．某學生離家去學校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下圖中，縱軸表示離學校的距離，橫軸表示出發后的時間，如圖四個圖象中較符合該學生走法的是()

2.如圖所表示的函數解析式是()

A.B.C.D.3．函數的圖象是()

4.如圖，等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直線MN⊥AD交AD于M，交折線ABCD于N，記AM=x，試將梯形ABCD位于直線MN左側的面積y表示為x的函數，并寫出函數的定義域.答案與解析：

基礎達標

一、選擇題

1．C．(1)定義域不同；(2)定義域不同；(3)對應法則不同；(4)定義域相同，且對應法則相同；(5)定義域不同．

2．D．由題意1-x2≥0且x2-1≥0，-1≤x≤1且x≤-1或 x≥1，∴x=±1，選D．

3．B．法一：由y=，∴x= ∴y≠，應選B．

法二：

4．C．提示：①④⑤不是，均不滿足“A中任意”的限制條件．

5．D．提示：映射可以是任何兩個非空集合間的對應，而函數是要求非空數集之間．

6．A．設(4，6)在f下的原象是(x，y)，則，解之得x=，y=1，應選A．

7．C．∵0≤x≤4，∴0≤

8．C．

x≤=2，應選C．

9．C．有可能是沒有交點的，如果有交點，那么對于

10．D．按照對應法則

而，∴，僅有一個函數值．

．，而

11．D．該分段函數的三段各自的值域為

∴

∴

．

12．D．平移前的“”，平移后的“”，用“”代替了“”，即

二、填空題，左移．

1．.當，這是矛盾的；當

.2．

設

.提示：，對稱軸

.3．，當

時，.4．

..5．

三、解答題

1．解：∵..6．.．，∴定義域為

2．解：∵ ∴，∴值域為

3．解：(1).提示：利用待定系數法；

(2).提示：利用待定系數法；

(3)f(x+3)=x2+14x+49.提示：利用換元法求解，設x-3=t，則x=t+3，于是f(x-3)=x2+2x+1變為f(t)=(t+3)2+2(t+3)+1=(t+4)2，故f(x+3)=[(x+3)+4]2；

(4)f(x)=x2+2.提示：整體代換，設

；

(5).提示：利用方程，用-x替換2f(x)+f(-x)=3x+1中所有的x得到一個新的式子2f(-x)+f(x)=-3x+1，于是有，聯立得

能力提升

一、選擇題

1．B.∵

∴

；

2．B.3．A.令

4．A.；

5．C.；

6．C.令

二、填空題

1．2．.令..．

.3．..4．.當

當，∴.5．

得

三、解答題

1．解：.2．解：(1)∵∴定義域為；

(2)∵∴定義域為．

3．解：(1)∵，∴值域為；

(2)∵

∴值域為

.∴

綜合探究

1.D．因為縱軸表示離學校的距離，橫軸表示出發后的時間，所以當

時，縱軸表示家到學校的距離，不能為零，故排除A、C；又由于一開始是跑步，后來是走完余下的路，所以剛開始圖象下降的較快，后來下降的較慢，故選D.2.B．本題考查函數圖象與解析式之間的關系.將x=0代入選項排除A、C，將x=1代入選項排除D，故選B.3.D．.，就需準確揭示x、y之間的變化關系.依題意，4.思路點撥：要求函數的表達式可知隨著直線MN的移動，點N分別落在梯形ABCD的AB、BC及CD邊上，有三種情況，所以需要分類解答.解析：作BH⊥AD，H為垂足，CG⊥AD，G為垂足，依題意，則有

(1)當M位于點H的左側時，由于AM=x，∠BAD=45°.(2)當M位于HG之間時，由于AM=x，；

(3)當M位于點G的右側時，由于AM=x，MN=MD=2a-x.綜上：

總結升華：

(1)由實際問題確定的函數，不僅要確定函數的解析式，同時要求出函數的定義域(一般情況下，都要接受實際問題的約束).(2)根據實際問題中自變量所表示的具體數量的含義來確定函數的定義域，使之必須有實際意義.