第一篇：函數的表示法教學設計

“函數的表示法”教學設計

南京師大附中 陶維林

一、內容和內容解析

函數的表示法是“函數及其表示”這一節的主要內容之一．

學習函數的表示法，不僅是研究函數本身和應用函數解決實際問題所必須涉及的問題，也是加深對函數概念理解所必須的．同時，基于高中階段所接觸的許多函數均可用幾種不同的方式表示，因而學習函數的表示也是領悟數學思想方法（如數形結合、化歸等）、學會根據問題需要選擇表示方法的重要過程．

學生在學習用集合與對應的語言刻畫函數之前，比較習慣于用解析式表示函數，但這是對函數很不全面的認識．在本節中，從引進函數概念開始，就比較注重函數的不同表示方法：解析法、圖象法、列表法．函數的不同表示法能豐富對函數的認識，幫助理解抽象的函數概念．特別是在信息技術環境下，可以使函數在數形結合上得到更充分的表現，使學生更好地體會這一重要的數學思想方法．因此，在研究函數時，應充分發揮圖象直觀的作用；在研究圖象時要注意代數刻畫，以求思考和表述的精確性．

解析法有兩個優點：一是簡明、精確地概括了變量間的關系；二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應的函數值．中學階段所研究的主要是能夠用解析式表示的函數．

圖象法的優點是，直觀形象地表示自變量的變化，相應的函數值變化的趨勢，有利于我們通過圖象來研究函數的某些性質．圖象法在生產和生活中有許多應用，如企業生產圖，股票指數走勢圖等．

列表法的優點是，不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數值，簡潔明了．列表法在實際生產和生活中也有廣泛應用．如成績表、銀行的利率表等．

在研究函數時，根據問題的特點，往往需要同時借助幾種不同的函數表示法研究函數，如同時采用解析法和圖象法表示函數，加強數形結合，這是研究函數的常用方法．

分段函數是一類重要的函數．所謂分段函數，就是在同一個定義域的不同子集上對應關系不同的函數．這類似于，同一個國家的不同地區可以實行不同的社會制度．

二、目標和目標解析

1．掌握函數的三種表示方法（圖象法、列表法、解析法），會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數．

通過具體的實例，在不同的表示法的選擇、轉化中，逐步學會用恰當的方法表示一個函數，逐步養成用不同方法表示一個函數的習慣，尤其是增強數與形結合的意識．

2．了解簡單的分段函數，并能簡單的應用．

通過具體實例（如出租車資費、郵件資費等），以及畫出含絕對值函數的圖象，或者求含絕對值的函數的值域，認識分段函數是一種普遍存在的函數．

3．會用列表、描點、連線的三步作圖法畫一些簡單函數的圖象，并能通過幾何直觀得到函數的有關信息（性質）．

三、教學問題診斷分析

1．初中已經接觸過函數的三種表示法：解析法、列表法和圖象法．高中階段重點是讓學生在了解三種表示法各自優點的基礎上，使學生會根據實際情境的需要選擇恰當的表示方法．因此，教學中應該多給出一些具體問題，讓學生在比較、選擇函數模型表示方式的過程中，加深對函數概念的整體理解，而不再誤以為函數都是可以寫出解析式的．

（2）讓學生用借助計算器，列表描點，畫出給出解析式的函數的圖象，加強各種表示法之間的聯系．有條件的，可使用信息技術，利用計算機軟件畫出圖象，為學生創設豐富的數形結合環境，幫助學生更深刻地理解函數概念及其表示法．如可補充如下函數：

上述四個函數的圖象如圖1所示，依次為：

圖1

（3）分段函數大量存在，但比較繁瑣．一方面，要加強用分段函數模型刻畫實際問題的實踐，另一方面，可以畫含絕對值號的函數的圖象，促使學生根據絕對值的意義把函數分段寫出來，然后分段畫出圖象．還可以通過求分段函數的值域，讓學生體驗到，分段函數的問題應該分段解決，然后再綜合．這也為下一步研究分段函數的單調性等性質打下伏筆．

四、教學基本流程

五、教學過程設計

1．用三種表示法表示同一個函數

我們在初中就已經知道函數的三中表示法：解析法，圖象法，列表法．

問題1 某種筆記本的單價是5元，買x（x∈{1，2，3，4，5}）本筆記本需要y元．試用函數的三種表示法表示函數y＝f（x）．（教科書第19頁例3）

設計意圖：通過具體例子，讓學生用三種不同的表示方法來表示的同一個函數，進一步理解函數概念． 這個函數的圖象由一些離散的點組成，與以前學習過的一次函數、二次函數的圖象是連續的曲線不同．通過本例，進一步讓學生感受到，函數概念中的對應關系、定義域、值域是一個整體．函數y＝5x不同于函數y＝5x（x∈｛1，2，3，4，5｝），前者的圖象是（連續的）直線，而后者是5個離散的點．

由此認識到：“函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點，等等．”（教科書例3的邊空）

讓學生體會到三種表示方法各自的優點．為“問題2”（教科書第20頁）提供一個具體的事例．

解：這個函數的定義域是{1，2，3，4，5}．（1）用解析法表示為

y＝5x，x∈｛1，2，3，4，5｝．（2）用列表法表示為

（3）用圖象法表示，函數y＝f（x）的圖象如圖2所示．

圖2

問題2（教科書第20的“思考”）

（1）比較函數的三種表示法，各自的有哪些優、缺點？

（2）所有的函數都能用解析法表示嗎？舉出一個函數，并分別用三種表示法表示． 設計意圖：通過比較，明確各種表示法的優點；通過舉例，讓學生通過自己的例子說明怎樣用適當的表示法來表示某些函數．

不是所有的函數都能用解析法表示，如心電圖．

討論中，還可以問學生“函數圖象可以是折線嗎”讓學生舉例說明．（如y＝|x|）問題3 圖3能表示某個函數的圖象嗎？為什么？

圖3

設計意圖：這是例3邊空的內容“那么判斷一個圖形是不是函數圖象的依據是什么？”通過討論，進一步理解函數概念中“對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應”． 組織學生討論后，歸納出判斷方法“平行于y軸的直線（或y軸）與圖形至多一個交點”． 2．選擇適當方法表示函數，以便分析其特點

問題4（教科書第20頁例4）下表是高一（3）班三位同學在高一學年度6次數學測試的成績及班級平均分表．

請你對這三位同學在高一學年度的數學學習情況做一個分析．

設計意圖：這里有三個用表格法給出的函數．要“對這三位同學在高一學年度的數學學習情況做一個分析”不太方便，因此需要改變函數表示的方法，選擇圖象法比較恰當．

教學中，先不必直接把圖象法告訴學生，可以讓學生說說自己是如何分析的，選擇了什么樣的方法來表示這三個函數．通過比較各種不同的分析方法，達成共識：用圖象法比較好．培養學生根據實際需要選擇恰當的函數表示法的能力．

能夠從圖象中讀出哪些信息也不要直接告訴學生，讓學生經過觀察、思考獲得結論．比如總體水平（王偉成績好）、變化趨勢（趙磊的成績在逐步提高）、與班級平均分的比較，等等．培養學生的觀察能力、獲取有用信息的能力．

圖4

解：從表中可以知道每位同學在每次測試中的成績，但不太容易分析每位同學的成績變化情況（學習情況）．如果將“成績”與“測試序號”之間的關系用函數圖象表示出來，如圖4，那么就能比較直觀地看到成績變化情況．這對我們進行分析學習情況是有利的．

從圖4中可以看到，王偉同學的學習成績始終高于班級平均水平，學習情況穩定，而且成績優秀．張城同學的學習成績不夠穩定，總是在班級平均水平上下波動，而且波動幅度也比較大．趙磊同學的學習成績低于班級平均水平，但是他的成績呈上升趨勢，表明他的成績在穩步提高．

必須提醒學生，圖中的虛線不是函數圖象的組成部分，之所以用虛線連接散點，主要是為了區分這三個函數，直觀感受三個函數的圖象具有整體性，也便于分析學習情況，加以比較． 3．分段函數及其表示

問題5 某市出租車資費規定如下：（1）3公里以內（含3公里）9元；（2）3公里以上，每增加1公里，資費增加2.4元（不足1公里按1公里計算）．

某線路總里程為6公里，請根據題意寫出資費與里程之間函數的解析表達式，并畫出函數的圖象．

設計意圖：讓學生嘗試選擇適當表達方式來表示實際問題；學習分段函數及其表示．

解：設資費為y元，里程為x公里．由題意，自變量x的取值范圍是（0，6．

根據解析式畫出的圖象如圖5所示．

圖5

象問題5這樣的函數稱為分段函數． 所謂分段函數，就是在函數的同一個定義域的不同子集上對應關系不同的函數．類似于大陸、臺灣是同一個國家的不同地區，社會制度可以不同．

生活中有許多需要分段表示的函數，請你舉出幾個分段函數的例子，并畫出它的圖象．

如分期付款，郵件資費等．再如 y＝|x|＝

4．課堂練習

教科書第23頁，練習，1，2，3．

5．小結

通過本節課的學習，你的主要收獲有哪些？

大致有：函數的表示方法有三種，各有優、缺點；應該根據不同的問題、不同的要求選擇恰當的方法表示它，以便研究函數某些性質．還學習了什么樣的函數是分段函數．

6．課后作業

教科書第24頁，習題1.2，7，8．

第二篇：1.7 函數的表示法 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

1．知識與技能

（1）明確函數的三種表示方法；

（2）會根據不同實際情境選擇合適的方法表示函數；（3）通過具體實例，了解簡單的分段函數及應用． 2．過程與方法：

學習函數的表示形式，其目的不僅是研究函數的性質和應用的需要，而且是為加深理解函數概念的形成過程．

3．情感態度與價值觀

讓學生感受到學習函數表示的必要性，滲透數形結合思想方法.2.教學重點/難點

教學重點：函數的三種表示方法，分段函數的概念．

教學難點：根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數，什么才算“恰當”？分段函數的表示及其圖象．

3.教學用具

投影儀

4.標簽

函數的表示法

教學過程

（一）創設情景，揭示課題．

我們在前兩節課中，已經學習了函數的定義，會求函數的值域，那么函數有哪些表示的方法呢？這一節課我們研究這一問題．

（二）研探新知

1．函數有哪些表示方法呢？

（表示函數的方法常用的有：解析法、列表法、圖象法三種）2．明確三種方法各自的特點？

（解析式的特點為：函數關系清楚，容易從自變量的值求出其對應的函數值，便于用解析式來研究函數的性質，還有利于我們求函數的值域；列表法的特點為：不通過計算就知道自變量取某些值時函數的對應值；圖像法的特點是：能直觀形象地表示出函數的變化情況）

（三）質疑答辯，排難解惑，發展思維． 例1．某種筆記本的單價是5元，買三種表示法表示函數

．

”有三種含義，它可以是解析表達式，個筆記本需要

元，試用分析：注意本例的設問，此處“可以是圖象，也可以是對應值表． 注意：

①函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等； ②解析法：必須注明函數的定義域； ③圖象法：是否連線；

④列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征．

例2．下表是某校高一（1）班三位同學在高一學幾次數學測試的成績及班級平均分表：

請你對這三位同學在高一學的數學學習情況做一個分析．

分析：本例應引導學生分析題目要求，做學情分析，具體要分析什么？怎么分析？借助什么工具？ 注意：

①本例為了研究學生的學習情況，將離散的點用虛線連接，這樣更便于研究成績的變化特點：

②本例能否用解析法？為什么？

例3．畫出函數的圖象。

例4．某市郊空調公共汽車的票價按下列規則制定：（1）乘坐汽車5公里以內，票價2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票價增加1元（不足5公里按5公里計算），已知兩個相鄰的公共汽車站間相距約為1公里，如果沿途（包括起點站和終點站）設20個汽車站，請根據題意，寫出票價與里程之間的函數解析式，并畫出函數的圖象．

分析：本例是一個實際問題，有具體的實際意義． 注意：

①本例具有實際背景，所以解題時應考慮其實際意義； ②像例

3、例4中的函數，稱為分段函數．

③分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．

（四）鞏固深化，反饋矯正．

（1）課本P23 練習第1，2，3題

（2）國內投寄信函（外埠），假設每封信函不超過20，付郵資80分，超過20而不超過40付郵資160分，每封（0＜≤100的信函應付郵資為y（單位：分）

課堂小結

理解函數的三種表示方法，在具體的實際問題中能夠選用恰當的表示法來表示函數，注意分段函數的表示方法及其圖象的畫法.課后習題

板書

第三篇：函數的表示方法教學設計

《函數的表示方法》教學設計

錢蒙娜

一、教材分析

本節內容為蘇教版《數學必修1》中2.1.2“ 函數的表示方法”。在初中學生已經接觸過較簡單函數的一些不同表示方法，在高中階段繼函數的概念、定義域、值域之后學習函數的表示方法，這部分屬于函數三要素之一，即對應關系的表達方式。函數學習要“多次接觸、反復體會、螺旋上升，逐步加深對函數概念的理解。”在蘇教版《數學必修4》中還會繼續學習的三角函數，也是非常重要的一類函數模型。

學習函數的表示法，不僅是研究函數本身和應用函數解決實際問題所必須涉及的問題，也是加深對函數概念理解所必須的。同時，基于高中階段所接觸的許多函數均可用幾種不同的方式表示，因而學習函數的表示也是領悟數學思想方法（如數形結合、化歸等）、學會根據問題需要選擇表示方法的重要過程。

學生在學習用集合與對應的語言刻畫函數之前，比較習慣于用解析式表示函數，但這是對函數很不全面的認識。在本節中，從引進函數概念開始，就比較注重函數的不同表示方法：解析法、圖象法、列表法。函數的不同表示法能豐富對函數的認識，幫助理解抽象的函數概念。特別是在信息技術環境下，可以使函數在數形結合上得到更充分的表現，使學生更好地體會這一重要的數學思想方法。因此，在研究函數時，應充分發揮圖象直觀的作用；在研究圖象時要注意代數刻畫，以求思考和表述的精確性。

二、教學目標

根據《普通高中數學課程標準》（實驗）和新課改的理念，我從知識與技能、過程與方法和情感態度與價值觀三個維度制訂教學目標。

知識與技能：掌握函數常用的三種表示方法（列表法、圖象法、解析法），了解函數不同表示方法的優缺點并能根據不同需要選擇恰當的方式表示函數；掌握分段函數、復合函數的概念；能根據不同情況求出函數的表達式和定義域。過程與方法：通過實例，分析比較函數三種不同的表示方法；通過分段函數改變的形成過程，培養學生觀察、歸納和抽象的能力，培養數形結合和分類討論的數學思想。

情感態度與價值觀：通過對函數不同表示方法的學習，從中體會數學的簡潔統一美；通過探究函數的表達式，激發學生的學習熱情。

三、學情分析

該班學生是江蘇省常熟中學重點班學生，數學基礎扎實、邏輯思維能力較強并且在之前的學習中對分段函數和復合函數已有初步了解，因此在教學中會加快進程以及更加注重啟發學生讓學生自主回答。若上課進程過快，提前準備一些略有難度的題目作為補充題。

函數這一模塊內容最多，比較抽象，學生學習確有許多困難。基于高中階段所接觸的許多函數都可用不同的方式表示，因此教師要通過設置問題去幫助學生積極主動地感受、分析、歸納三種方法的各自優點及不足，逐步過渡到能合理選用和靈活轉換函數的各種表示形式，這也是向學生滲透數形結合思想方法的重要過程，同時也為后述內容——函數的性質（單調性、奇偶性、周期性）的學習打下良好的基礎。

學生可能在下列三種情形中感到困難：

（一）已知函數是數據較多的表格形式，畫函數圖象時，有點茫然，沒想到是一些離散的點。

（二）已知函數是分段函數，畫函數圖象時，用不準定義域的分段范圍，忙而亂。

（三）學生在做關于換元法的例題時極有可能用平移做或者用配湊法做。

四、教學方法

根據教學內容，結合學生的具體情況，我采用了學生自主探究和教師啟發引導相結合的教學方式。在整個教學過程中讓學生盡可能地動手、動腦，調動學生積極性，充分地參與學習的全過程。倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，逐步培養學生能夠利用函數來處理信息的能力。

五、教學重點與難點

教學重點：掌握函數常用三種表示方法、掌握分段函數與復合函數的概念以及能根據不同情況求出函數表達式并且求出定義域。

教學難點：根據不同情況能求出函數表達式，并且求出定義域。

六、教學準備

直尺、多媒體設備。

七、教學過程

（一）函數的表示方法引入

同學們，今天我們要講《函數的表示方法》這一節。在之前函數的學習中，已經見過或者運用過這些表示方法了，我們一起來看屏幕。

例一：這是我們班學號為1-5的同學的身高，為了清楚的表示我已經把它列成了一個表格的形式。這里面的變量是學號和身高。

Q：請問，這是不是表示一個函數呢？（學生回答）

每一個學號對應著唯一的身高，所以當然是函數。根據這張表格只要我們知道該同學的學號就能知道他對應的身高。像這種，用列表來表示兩個變量之間函數關系的方法，就叫作列表法。

設計意圖：從實際生活中舉例，使學生感到親切，自然引出列表法。

例二：同學們這是一張股市行情圖，Q：這個圖象是否是函數的圖像呢？（學生回答）

自變量是時間，因變量是上證指數，一個時間對應唯一的上證指數所以是函數的圖像。接下來這一張是一天的氣溫變化圖象，同理它也是表示函數的圖象，自變量是時間，因變量是氣溫，一個時間對應唯一的氣溫。

像這一類用圖象來表示兩個變量之間函數關系的方法，就叫作圖象法。設計意圖：函數現象大量存在于生活中，使學生感受到數學在生活中的重要性，引出圖象法。

例三：屏幕上這幾個函數是大家所熟知的，它都是以y=x的式子的形式給出。像這種，用等式來表示兩個變量之間函數關系的方法，就叫作解析法。而這個等式就是我們常見的解析式。

Q：用解析法表示函數的時候，要注意函數的三要素，分別是？（學生回答）設計意圖：學生對于解析法已有認識，強調解析式必須跟上定義域。

（銜接）那函數的表示方法就是以上學習的三種：分別是列表法、圖象法和解析法。

接下來我們來看幾個相關的問題，請同學討論一下。

Q：問題1：圖象法中函數的圖象一定是連續曲線嗎？ 如果不是 舉個例子。Q：問題2：列表法、圖象法和解析法各自的優缺點是什么 ？

Q：問題3：根據優缺點和以往的經驗，我們最常用來表示函數的方法是哪一種？最不常用的呢？

先由學生討論與表述，后由師生歸納三種表示方法的優缺點。

列表法，優點是不是可以直接從表格中看出自變量對應的函數值，很直觀，Q：缺點呢？請同學回答。列表法的缺點是只能表示自變量取值有限的時候，而我們往往遇到的題目中函數自變量取值是無限的，所以列表法很少會用到。

圖象法的優點顯然就是形象、直觀，缺點就是根據函數圖象只能近似求出自變量對應函數值。

解析法是我們最常用來表示函數的，那它肯定有很大的優點。解析法全面的概括出了變量間關系，我們可以通過計算求出任意自變量對應的函數值。一個事物是有兩面性的，和另外兩種方法比較，解析法的缺點是不夠形象直觀，而且不是所有函數都能用解析法表示的。設計意圖：讓學生體會總結三種表示法各自的優缺點。這對培養學生觀察、總結、表達能力是非常好的機會，教師千萬不可代替。

（銜接）函數三種表達方式的優缺點已經明了，那我們在做題中，根據上述優缺點可知最常用的應該是解析法，圖象法作輔助。函數表達方式到這里就結束了。

Q：接下來，我們看一下屏幕上的函數，這是一個什么函數？定義域是多少？能不能用圖象法表示？請同學口頭回答。

像這個分段函數，在第一段定義域內，函數解析式是y=x，在第二段定義域內，函數解析式就是y=-x。我們把在定義域內不同部分上，有不同解析表達式的函數稱為分段函數。

設計意圖：讓學生進一步體會數形結合在理解函數概念中的重要性。引出分段函數的特征。

例題講解：下面我們來看一道分段函數的例題。

（二）函數解析式的求法引入

（銜接）在剛剛所學的三種表示方法中我們講過，函數表達方式中最常用的是？解析式（大家一起回答），那接下來的重點就是來探究求函數解析式的方法。

（1）由例題引入待定系數法

先看例題，請同學們嘗試做題。（在等待同學做題時，不斷提醒同學：這是一個二次函數。那二次函數是什么樣的形式呢？）

先請同學回答，詳細解答過程板書呈現。寫完之后，根據板書內容解釋待定系數法的名稱和總結此方法做法：

首先，這個函數的類型我們已經知道，那順勢我們可以設出這個函數的形式，這個形式中有等待被確定的系數；進而，根據給出的條件，我們可以求出這個形式中等待被確定的系數。所以，我們稱這個方法為：待定系數法。

Q：請問，求函數解析式時用待定系數法的前提是什么？ A：已知函數類型。

Q：那么我們學過的哪些函數可以用待定系數法？ A：一次函數、二次函數和反比例函數。

Q：接著這道題，請問，二次函數除了設成頂點式，（如果一開始同學回答的是一般形式，那這里的頂點式和下面的一般形式互換）我們一般還可以設為什么形式？

A：可以設成一般形式。（板書呈現具體形式）（若有同學回答出兩點式給予表揚）

Q：若我們已知二次函數的兩個交點，我們還可以設為什么形式？ A：兩點式。（板書呈現具體形式）

接下來請同學們繼續做第二題。我請一位同學上黑板完成。

根據同學的板書解答，指出做題過程中出現的格式問題。詳細解答通過ppt呈現。

設計意圖：待定系數法是學生們最能接受的一種求函數表達式的方法，通過旁敲側擊引導學生自己做題，感受待定系數法的過程。通過例題引入待定系數法，再馬上通過一道習題鞏固此方法。并以板書形式呈現給學生，規范學生寫作。最后通過師生互動共同總結該方法，提高學生總結與表達能力。

（2）由例題引入換元法 繼續看例題，請同學回答。

<1>若同學回答用平移法做，先肯定這種解答。進而引出本質相同的換元法。<2>若同學回答用配湊法做，先肯定這種解答，進而提問第二小題用這種方法可以做嗎？試試看。等同學嘗試完后會發現第二題用配方法有問題，進而引出普適性更強的換元法。

解釋換元法的名稱：將括號中整體換成一個新的元，所以就稱為換元法。Q：請同學總結換元法的步驟。

A：將括號中看作整體，令為t，接著用t表示x，代入原函數，成為關于t的函數。

教師補充：由于我們習慣將自變量寫為x，所以最后還要加一步：將t用x代換。

Q：有沒有其它同學要補充？

（若沒有，那么請做第二題，之后再來補充；若有，就及時補充）請同學口頭陳述過程，ppt一步步呈現過程。Q：請問，函數的三要素是指什么？ A：定義域，對應法則，值域。

Q：那求函數解析式同學們漏掉了最重要的什么？ A：定義域。

Q：那再來考慮一下，為何第一道題目不需要寫定義域呢？ A：因為x可以取到一切實數。

Q：很好，那這道題目里面的定義域為多少？

（若有同學回答是原始x的定義域，就指出這是換元法的易錯點，也是重點）（若同學回答正確，繼續追問他此處x的范圍就是什么的范圍？和同學解釋清楚其中的關系，強調換元法的定義域是重點）

并且在此特別強調：求函數解析式，無論是大題還是填空題，都必須寫出定義域，否則就是錯的，會扣分。

設計意圖：通過例題1引入換元法的時候，學生極有可能用平移法或者配湊法做，這時候先對同學會用以前學過的方法做題進行表揚，接著一定要通過例題2讓學生自己意識到那兩種方法的局限性，此時教師才引入學生已接觸過的整體代換思想的換元法。并且，強調換元法的注意點以及考試易錯點是定義域。

（3）通過例題引入解方程組法

Q：這個例題，同學們想想還能不能用上面兩種方法作答？ A：不能

教師引導：遇到這種既不知道函數類型，也不知道一些函數相關形式的題目，我們不妨試一試把x看作整體，所有的x都用1/x替代，同學們動手做做看。

解釋方法名稱：通過題目解答過程，我們會發現這是利用解方程組的方法求函數解析式。所以把這種方法稱為解方程組法。

Q：請問同學們，這種方法適用于什么情況呢？讓學生總結。ppt上強調這種方法的適用范圍：

設計意圖：解方程組法對高一學生來說是一種新解題思路，若完全讓學生自我探索是很難做到的，所以盡可能地引導學生去充分理解此方法，并且由學生總結適用情況，增強學生對此方法的認識與應用。

（3）課堂小結

今天這節課我們主要學習了兩個內容：函數的三種表示方法和求函數解析式的三種方法。那么請問同學們：

1.函數的表示方法是哪些？

2.函數解析式的求法有哪些？注意點分別是什么？

（4）課后作業

1.預先準備好的三道練習題，若有時間則課堂講解；若無時間，則作為課后作業；

2.《功到自然成》函數的表示方法這一節作業； 3.課時訓練函數的表示方法這一節作業。

八、板書設計

九、教學反思

第四篇：1.2 函數及其表示 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

1、知識與技能：

函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型．高中階段不僅把函數看成變量之間的依

賴關系，同時還用集合與對應的語言刻畫函數，高中階段更注重函數模型化的思想與意識．

2、過程與方法：

（1）通過實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；

（2）了解構成函數的要素；

（3）會求一些簡單函數的定義域和值域；

（4）能夠正確使用“區間”的符號表示函數的定義域；

3、情感態度與價值觀，使學生感受到學習函數的必要性和重要性，激發學習的積極性.2.教學重點/難點

重點：理解函數的模型化思想，用集合與對應的語言來刻畫函數； 難點：符號“y=f(x)”的含義，函數定義域和值域的區間表示；

3.教學用具

多媒體

4.標簽

函數及其表示

教學過程

（一）創設情景，揭示課題

1、復習初中所學函數的概念，強調函數的模型化思想；

2、閱讀課本引例，體會函數是描述客觀事物變化規律的數學模型的思想：（1）炮彈的射高與時間的變化關系問題；（2）南極臭氧空洞面積與時間的變化關系問題；

（3）“八五”計劃以來我國城鎮居民的恩格爾系數與時間的變化關系問題.3、分析、歸納以上三個實例，它們有什么共同點；

4、引導學生應用集合與對應的語言描述各個實例中兩個變量間的依賴關系；

5、根據初中所學函數的概念，判斷各個實例中的兩個變量間的關系是否是函數關系．

（二）研探新知

1、函數的有關概念（1）函數的概念：

設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數（function）． 記作：y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域（domain）；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域（range）． 注意：

① “y=f(x)”是函數符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ②函數符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應的函數值，一個數，而不是f乘x．

（2）構成函數的三要素是什么？ 定義域、對應關系和值域（3）區間的概念

①區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間； ②無窮區間； ③區間的數軸表示．

（4）初中學過哪些函數？它們的定義域、值域、對應法則分別是什么？ 通過三個已知的函數：y=ax+b

(a≠0)

y=ax2+bx+c

(a≠0)

y=

(k≠0)比較描述性定義和集合，與對應語言刻畫的定義，談談體會.師：歸納總結

（三）質疑答辯，排難解惑，發展思維。

1、如何求函數的定義域 例1：已知函數f(x)=（1）求函數的定義域；（2）求f（－3），f（）的值；

+

（3）當a＞0時，求f（a）,f(a－1)的值.分析：函數的定義域通常由問題的實際背景確定，如前所述的三個實例.如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，那么函數的定義域就是指能使這個式子有意義的實數的集合，函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式． 例

2、設一個矩形周長為80，其中一邊長為x，求它的面積關于x的函數的解析式，并寫出定義域.分析：由題意知，另一邊長為x，且邊長x為正數，所以0＜x＜40.所以s= =（40－x）x

（0＜x＜40）

引導學生小結幾類函數的定義域：

（1）如果f(x)是整式，那么函數的定義域是實數集R.（2）如果f(x)是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合.（3）如果f(x)是二次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數的集合.（4）如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合.（即求各集合的交集）

（5）滿足實際問題有意義.鞏固練習：課本P19第1

2、如何判斷兩個函數是否為同一函數 例

3、下列函數中哪個與函數y=x相等？

分析： 構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同一函數）兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。解： 課本P18例2

（四）歸納小結

①從具體實例引入了函數的概念，用集合與對應的語言描述了函數的定義及其相關概念；②初步介紹了求函數定義域和判斷同一函數的基本方法，同時引出了區間的概念.（五）設置問題，留下懸念

1、課本P24習題1．2（A組）第1—7題（B組）第1題

2、舉出生活中函數的例子（三個以上），并用集合與對應的語言來描述函數，同時說出函數的定義域、值域和對應關系.課堂小結

課后習題

板書

第五篇：備課資料(函數的表示法)

備課資料

［備選例題］

【例1】2006第十七屆“希望杯”全國數學邀請賽(高一)第一試,8區間[0,m]在映射f:x→2x+m所得的象集區間為[a,b],若區間[a,b]的長度比區間[0,m]的長度大5,則m等于()

A.5B.10C.2.5D.1

分析:函數f(x)=2x+m在區間[0,m]上的值域是[m,3m],則有[m,3m]=[a,b],則a=m,b=3m,又區間[a,b]的長度比區間[0,m]的長度大5,則有b-a=(m-0)+5,即b-a=m+5,所以3m-m=m+5,解得m=5.答案：A

【例2】2005湖南數學競賽,11設x∈R,對于函數f(x)滿足條件f(x2+1)=x4+5x2-3,那么對所有的x∈R,f(x2-1)=_________.分析:(換元法)設x2+1=t,則x2=t-1,則f(t)=(t-1)2+5(t-1)-3=f(t)=t2+3t-7,即f(x)=x2+3x-7.所以f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-7=x4+x2-9.答案：x4+x2-9

［知識總結］

1.函數與映射的知識記憶口訣:

函數新概念,記準要素三;定義域值域,關系式相連;

函數表示法,記住也不難;圖象和列表,解析最常見;

對應變映射,只是變唯一;映射變函數,集合變數集.2.映射到底是什么？怎樣理解映射的概念？

剖析:對于映射這個概念,可以從以下幾點來理解：(1)映射中的兩個集合A和B可以是數集、點集或由圖形組成的集合等;(2)映射是有方向的,A到B的映射與B到A的映射往往是不一樣的;(3)映射要求對集合A中的每一個元素在集合B中都有元素與之對應,而這個與之對應的元素是唯一的,這樣集合A中元素的任意性和在集合B中對應的元素的唯一性構成了映射的核心;(4)映射允許集合B中存在元素在A中沒有元素與其對應;(5)映射允許集合A中不同的元素在集合B中有相同的對應元素,即映射只能是“多對一”或“一對一”,不能是“一對多”;(6)映射是特殊的對應,函數是特殊的映射.3.函數與映射的關系

函數是特殊的映射,對于映射f:A→B,當兩個集合A、B均為非空數集時,則從A到B的映射就是函數,所以函數一定是映射,而映射不一定是函數.(設計者：林大華)