第一篇：釘子板上的多邊形教案

釘子板上的多邊形

教學目標：

1.經歷畫圖、填表、分析數據、探索規律的過程，發現皮克公式。

2.初步感悟通過固定某些變量的值來探求其余變量的變化規律的科學思維方法。

3.獲取由簡單到復雜的探究問題的方法和經驗。

4.能類比遷移探求問題的方法，嘗試拓展研究同類新問題。教學重點：

發現、得出多邊形的面積與邊上釘子數和多邊形中間釘子數之間的規律 教學難點：

類比推導出一般規律 教學準備：

作業紙，多媒體課件 教學過程：

一、激趣生疑，直觀感知

1、呈現一個釘子板上的多邊形

說明：每相鄰的四個釘子構成一個正方形，邊長是1，面積是1個面積單位。提問：這個圖形有幾個面積單位？你是怎么知道的？ 組織交流：（1）、面積公式計算；（2）、分割數方格

2、啟發：你能再圍一個面積和剛才不一樣的多邊形嗎？在圍過程中想一想多邊形的面積可能跟什么有關呢？

學生動手圍一圍，同桌相互說一說怎樣求出面積的。

3、追問：跟哪里的釘子數有關？

4、揭題：面積與釘子數之間是否存在一定的規律呢？我們這節課就來研究釘子板上的多邊形面積與釘子數之間的關系。提問：想一想，我們可以怎樣來研究？ 提出猜想——驗證猜想——概括結論

二、簡單入手，探究多邊形內有一枚釘子的情況

1、個例發現，形成猜想

出示：一組釘子板上的多邊形。提問：每個多邊形各有多少個面積單位？邊上的釘子數各有多少枚？先數一數、算一算，把結果填入表中，再和同桌說說你的發現。

生獨立計數，完成表格 出示資源： 提問：（1）校對結果

（2）你有什么發現？

全班交流：（1）多邊形邊上的釘子數越多，面積越大

（2）多邊形的面積等于多邊形邊上釘子數的一半

如果用S表示面積單位的個數，n表示多邊形邊上的釘子數，你能用字母表達式表示這一發現嗎？動手寫一寫。

2、舉例驗證，明確前提

引導：由剛才這四個圖形，有了這樣的發現，這一發現是否也適用于釘子板上的其他圖形呢？我們還要舉例驗證。

要求：在釘子板上畫一些多邊形，驗證剛才的發現。并列呈現學生資源，引導觀察。

（1）符合規律（2）不符合規律

提問：看來剛才的發現并不適合釘子板上的所有圖形，到底怎樣的圖形才具有這樣的規律呢？，它們有什么共同的特點？仔細觀察，把你的發現說給同桌聽聽。

指名交流：多邊形中間只有一枚釘子

3、歸納概括，形成結論

總結：看來要使這一發現成立，還要加個前提，誰能把這個規律完整的說一說？

同桌互相說一說，再指名交流。

當多邊形里面只有1枚釘子時，多邊形的面積等于多邊形邊上釘子數的一半。

如果把多邊形里面的釘子數用a來表示，完善字母表達式。總結：看來釘子板上的多邊形的面積不僅跟多邊形邊上的釘子數有關，還跟多邊形里面的釘子數有關。

正因為面積和兩個量都有關系，所以我們研究是時候先確定一個量（里面的釘子數）

三、運用結構，探究多邊形內有多枚釘子的情況

1、探究形內有2枚釘子的情況

形內只有1枚釘子的情況已經研究了，往下我們應該研究？

當形內有2枚釘子時會有怎樣的規律呢？同學們也像剛才那樣畫一些形內只有2枚釘子的多邊形，老師這里也提供一些，算一算，數一數，多邊形有幾個面積單位？多邊形邊上的釘子數有幾枚？把結果填入表中，再與同桌說說你的發現。

過程指導：也像剛才那樣，把釘子數除以2，再跟面積進行比較。看看有什么規律。

如果用字母表達式來表示這一規律應該怎么寫？ 學生獨立探究，發現規律 個別交流：當多邊形內有2枚釘子時，多邊形的面積等于多邊形邊上的釘子數÷2＋1 同桌互說規律 學生獨立完成

板書：當a=2時，S= n÷2＋1

2、推想形內有2枚以上釘子的情況

提問：比較這兩個規律，你覺得a=3、4時會有怎樣的規律? 如果你能直接推想出規律，那就寫出你的猜想，然后舉例驗證，如果不能，那也像剛才那樣先畫出圖形內有3枚釘子的多邊形，再數一數、算一算，看看有什么規律。左邊同學研究a=3的情況，右邊同學研究a=4的情況。

分工合作，推想規律 個別交流規律

當a=3時，S=n÷2＋2 當a=4時，S=n÷2＋3

3、歸納推理，形成一般公式

像這樣推想下去，當a=m時，s=？ 學生獨立完成 個別交流：

當a=m時，s=n÷2＋m－1 同學們：今天我們通過對形內有1枚、2枚、3枚、4枚釘子數的的多邊形的研究，發現多邊形的面積單位個數與釘子數之間的關系，并歸納推理出一般公式，當a=m時，s=n÷2＋m－1，這一公式對于形內有5、6…甚至更多釘子時是否成立，我們還需舉例驗證，下節課我們就來驗證這一規律。板書設計：

釘子板上的多邊形

當多邊形內只有1枚釘子時，多邊形面積單位的個數等于多邊形邊上的釘子數÷2 當a=1時，S=n÷2

當a=2時，S=n÷2＋1 當a=3時，S=n÷2＋2 當a=m時，s=n÷2＋m－1

第二篇：釘子板上的多邊形教案

基地數學學科《釘子板上的多邊形》教學設計

溧陽市平橋小學

潘紅星

教學目標：

1.經歷畫圖、填表、分析數據、探索規律的過程，讓學生自主發現釘子板上的釘子數與面積之間的關系。

2.初步感悟通過固定某些變量的值來探求其余變量的變化規律的科學思維方法。3.培養學生獲取由簡單到復雜的探究問題的方法和經驗。教學過程：

一、認識釘子板

同學們，大屏幕上的是什么？今天我們要學習與釘子板有關的數學知識，老師沒有帶釘子板，怎么辦，有沒有替代品。

講述：釘子板上的多邊形是用橡皮筋圍的，今天我們就用畫的形式表示好嗎？

二、揭題

1.今天我們學習的數學內容是什么？ 生：釘子板上的多邊形 師板書：釘子板上的多邊形

師：你覺得我們今天會研究多邊形的什么數學問題呢？ 生：面積、周長……

2.師：今天我們就學習多邊形的面積，想一想，今天學習的多邊形面積還可能和什么有關系？ 生：釘子板

師補充：釘子板上的釘子，你覺得會有什么樣的關系呢？ 生：釘子越多，面積越大

師：這只是你的猜想，要想得到證明，我們還要進行操作是嗎？ 師：我們從簡單的圖形學起 師：說一說上面圖形的面積各是多少 說一說你是用什么方法的呢？

根據學生的回答板書：算 說一說你是用什么方法的 根據學生的回答板書：數

3.師提問：剛才我們說多邊形的面積可能和什么有關系啊？ 生：釘子數

4.多媒體出示：多邊形邊上的釘子數 一起讀一讀，我們要數什么 5.一起和老師數，師點生數 6.你發現了什么？

生：釘子數÷2＝面積

…… 讓3－4名學生說一說。

師：很難說，如果我們用字母表示就簡單多了。

用s表示多邊形的面積，用n表示多邊形邊上的釘子數你會表示嗎？ 學生根據自己的理解得到S＝N÷2

三、引發矛盾

師：剛才我們的圖上是不是還有4幅圖形啊，我們一起來驗證一下好嗎？ 師：你有什么想要說的

師：現在我們從不同中找相同，回頭再看看前面4幅圖，你有什么發現？ 生：中間只有一枚釘子 師：點一點

師：你覺得剛才我們的這句話應該怎么說才更合適呢？ 生：當中間只有一枚釘子時，師：如果中間釘子數用字母ａ表示，這個公式應該怎么表示。

四、反思與小結

師：剛才我們研究了什么，你能不能用一句話說一說。生：多邊形的面積等于多邊形邊上的釘子數除以2。

五、遷移研究

師：接下來，我們應該研究什么了，生：A＝2 師出示：兩幅圖，你還記得剛才的數據嗎？說一說

師：現在拿出你的釘子板紙，在上面畫一個中間有兩枚釘子的多邊形，并寫出他的面積與邊上的釘子數。生演示并匯報，師填寫

師：你有什么發現，在小組里和大家說一說。指名說一說你的發現

師：剛才我們又研究了什么，你能不能用一句話說給大家聽一聽。研究A＝3 師：你覺得接下來我們要研究什么了。在你的釘子板上畫一畫，小組里完成表格。遷移知識：如果A＝4、5…..當A＝0的時候呢？

學生利用學習研究單分別研究出A＝2、3、4、5等多邊形的面積與邊上釘子數的關系。

師：象這樣的研究我們還可以繼續，如果你有興趣的話，老師推薦你一本書有兩個人。

出示兩個關于這一數學現象研究的數學家。六：全課小結

這節課，我們一起研究了什么？能不能把你的發現和大家說一說。

第三篇：釘子板上的多邊形 教學設計

釘子板上的多邊形

教學內容：五年級上冊p108-109探索規律“釘子板上的多邊形” 教學目標：

1、使學生探索并發現釘子板上圍城的多邊形的面積，與圍城的多邊形邊上的釘子 數、多邊形內部釘子數之間的關系，并嘗試用字母式子表示關系。

2、使學生經歷探索釘子板上圍城的多邊形面積與相關釘子數間的關系的過程，體 會規律的復雜性和全面性，體會歸納思維，體會用字母表示關系的簡潔性，發展 觀察、比較、推理、綜合和抽象、概括等思維能力。

3、使學生獲得探索規律成功的體驗，樹立學習數學的自信心，感受數學規律的奇 妙，對數學產生好奇心，提高學習數學的興趣和積極性。

教學重點：探索釘子板上多邊形的面積與多邊形邊上釘子數、內部釘子數之間的關系 教學難點：綜合、歸納多邊形的面積與多邊形邊上釘子數、內部釘子數之間的關系 教學過程：

課前活動:每個小組里發一個釘子板實物。并激發他們在釘子板上圍多邊形。玩出精彩！有一位數學家就在小小的釘子板上玩出了精彩。皮克定理是世界上的最重要的100個數學定理之一。今天我們也走進釘子板的世界去看一看。

一：創設情境，引出問題

今天我們研究————釘子板上的多邊形（出示課題）

師：為了研究的方便，我們通常用這樣的點陣圖代替釘子板。每相鄰兩個釘子之間的距離都是1cm，相鄰4個點圍成一個面積是1cm2。你們看現在點陣圖上的點子可以怎么分分類？

邊上的釘子，圖形內的釘子、圖形外的釘子

出示課件：釘子板上的多邊形，共3個不同的多邊形。問題1：你想研究釘子板上的多邊形的哪些項目呢？

生：多邊形的面積、面積的大小和什么有關？······

問題2：你猜想下，釘子板上的多邊形的面積會有什么因素有關？

生：釘子數、多邊形邊上的釘子數、多邊形內的釘子數······

師小結：這些多邊形的面積是否和以上的各個因素有關呢？下面我們就來研究下這些圖形。

二：自主研究，得出猜想

問題1：你想怎樣研究？

生：畫圖、計算、數······

師：很好，下面我們就來研究影響多邊形面積的因素，我們從最簡單的一組圖形開始。

研究1：獨立完成“釘子板上的多邊形”研究單1

1、學生通過算一算、數一數，完成研究單1；

2、師展示學生的研究單，說一說你的研究過程；——學生自己介紹表格中數據的由來。

3、觀察分析表格中的數據，你有什么發現？

——同桌互相說一說

——個別的匯報

4、通常我們用S表示面積，n表示多邊形邊上的釘子數，你能用一個式子表示上面得到的關系嗎？

——S=n÷2

小結：根據學生的研究和匯報，初步得出多邊形的面積等于多邊形邊上的釘子數除以2.三、質疑驗證，歸納結論

S=n÷2這個規律是否對釘子板上所有的多邊形都成立呢？應該怎么辦？————驗證

1、完成研究單1上面的第二題的①②兩個，并填表。

2、出示課件上⑦⑧兩個圖形，再次驗證。

3、通過兩次的驗證，你有什么發現？——發現S=n÷2在其它的多邊形中不成立。

4、思考：為什么呢？

引導學生再次觀察①②③④四個圖形，你有什么發現？同桌互相說一說，再個 別發表看法。————得出：①②③④四個多邊形內部都只有一個點。

5、再次驗證：每位學生再提供的備用點子圖上畫一個內部只有一個點的多邊形，計算并觀察多邊形的面積和邊上的釘子數是否符合S=n÷2？

6、誰能完整的把剛才的規律說一說？

小結：多邊形的面積不僅僅和邊上的釘子數有關，還和多邊形內的釘子數有關。多邊形內的釘子數用a表示，上面的規律可以歸納為：

當a=1時，S=n÷2 數學中的一些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實中歸納出來，但證明卻隱藏的極深。----高斯

四、合作探究，得出規律

引入：多邊形內有一枚釘子的情況，同學們已經研究過了，而且找出了一般規律，那下面你們想研究什么呢？——————多邊形內有2枚釘子的時候，面積和釘子數的關系。

合作交流,完成研究單1的第二題。

1、首先獨立畫一個內部兩個點的多邊形，得出S和n；

2、同桌交流，完善表格。

3、觀察表格中的S與n的 值，再互相說一說，你有什么發現？

4、個別同學匯報發現，其他同學根據自己的圖形驗證發現是否正確。

小結：多邊形的面積不僅僅和邊上的釘子數有關，還和多邊形內的釘子數有關。多邊形內的釘子數用a表示，上面的規律可以歸納為：

當a=2時，S=n÷2+1

五、推想、驗證，得出規律

引入：當a=1時，S=n÷2 當a=2時，S=n÷2+1 猜想：當a=3、4、5······時，S與n之間有什么關系呢？

學生猜想：當a=3時，S=n÷2+2 當a=4時，S=n÷2+3 學生驗證：分組研究，分成4人小組

1、組內確定研究主題：a=3或者a=4.2、三人每人分別畫一個，并且得出S與n的值，第四個人匯總并匯報小組的研究成果。

3、觀察比較分析，研究的結果和猜想的結論是否一致？

小 結： 根據剛才同學們的研究，我們得到了這些規律

當a=1時，S=n÷2 當a=2時，S=n÷2+1 當a=3時，S=n÷2+2 當a=4時，S=n÷2+3

請你說一說

當a=5時，S=

······

當a=10時，S=

·······

問題：你能用一個含有S、n、a的式子概括出以上所有的規律嗎？

——————

S=n÷2+a-1

六：拓展研究，形成體系

出示：釘子板上的多邊形實物圖形，觀察這些多邊形有什么特點？

——內部的釘子數為0.即a=0

問題：當a=0時，上面的規律還成立嗎？你是怎么想的？說一說你的想法和結論。

七：總結收獲，形成方法。

說明：我們今天研究的規律，就是數學上著名的皮克定理（適當介紹）。有興趣的同學，可以在網絡上或書籍里了解皮克定理。如果有進一步認識的要求，那記住這本書：閔酮鶴的著作《格點和面積》，以后有興趣、有條件了，可以去閱讀。

回顧過程，交流體會。

提問：回顧剛才探索和發現規律的過程，你有什么體會和收獲？ 追問：還有什么疑問嗎？

小結：今天我們一起研究了釘子板上多邊形面積與釘子數之間的關系。在研究的過程中，我們從簡單情形入手，通過畫一畫、數一數、算一算等方法，經歷觀察、比較、猜想、驗證等活動，發現了規律。從上面的過程中我們發現，要從各種不同情況的多邊形中研究，要善于發現不同多邊形中的共同點，比如形狀、大小不同的多邊形中都有幾個釘；發現的不同關系式中的共同規律等。在探索規律時，一定要注意認真觀察、反復比較，舉例驗證。表示數學規律一般用含有字母的式子，它具有簡潔、明了、易記的特點。

第四篇：釘子板上的多邊形面積說課稿

《釘子板上的多邊形》說課稿 橫板橋鎮中心小學 廖為火

一、說教學內容：

蘇教版（新版）五年級上冊第8單元108-109探索規律“釘子板上的多邊形”

二、說教學目標：

1、使學生探索并發現釘子板上圍城的多邊形的面積，與圍城的多邊形邊上的釘子數、多邊形內部釘子數之間的關系，并嘗試用字母式子表示關系。

2、使學生經歷探索釘子板上圍城的多邊形面積與相關釘子數間的關系的過程，體會規律的復雜性和全面性，體會歸納思維，體會用字母表示關系的簡潔性，發展觀察、比較、推理、綜合和抽象、概括等思維能力。

3、使學生獲得探索規律成功的體驗，樹立學習數學的自信心，感受數學規律的奇妙，對數學產生好奇心，提高學習數學的興趣和積極性。

三、說教學重點難點：

探索釘子板上多邊形的面積與多邊形邊上釘子數、內部釘子數之間的關系

綜合、歸納多邊形的面積與多邊形邊上釘子數、內部釘子數之間的關系

四、說教學過程：

一、問題引入，揭示課題

1.設疑激趣。

PPT出示點子板上圍成的多邊形，提出問題：不準分割你能迅速計算出下列方格圖中每個多邊形的面積嗎（說明：這里的每個格子面積1cm2的正方形）？

在學生學習了常見多邊形面積計算后，咋一看以為用常規方法能解答以上問題，但仔細一看題目要求，這些圖形的面積計算就比較困難，這樣就激發起學生強烈的求知欲。此時教師提出：用數格點的方法可以解決。此時學生腦里想的是：格點是什么？怎么數？與圖形面積有什么關系？帶著這一系列疑問，我出示第二組圖形（圖1-圖3）

2.引入課題。

談話：釘子板上多邊形的面積與哪里的釘子數有關，有怎樣的關系呢？我們這節課就來研究這個問題，看看到底有怎樣的關系。

二、分層探索，發現規律

（一）引導嘗試，初步感知。

1.引導學生觀察 圖1-圖3。

引導：請大家觀察PPT上面的多邊形，按上面要求數一數，在教材第108頁的表格里填一填。

（1）數一數或算一算每個多邊形的面積各是多少平方厘米；

（2）數一數每個多邊形上的釘子各有多少枚；

（3）想一想多邊形的面積和邊上的釘子數有怎樣的關系。

2.學生交流，完成第108頁的表格。

3.觀察數據，比較發現。

引導：你能看出這些多邊形的面積和邊上釘子數的關系嗎？同桌先說一說。

交流：你發現這里的多邊形面積和邊上的釘子數有什么關系？（板書：多邊形的面積=多邊形上的釘子數÷2）

說明：為了更簡潔、方便地表示出這個規律，我們可以用字母來表示。如果用n表示多邊形上的釘子數，用S表示多邊形的面積，那上面發現的這個規律可以怎樣表示？

教師確認、說明字母表示的關系式，PPT出示：

S=n÷2 4.觀察比較，反思質疑。

（二）繼續研究，拓展認識。

1.提出問題，引發思考。PPT出示圖4-圖6：

引導：如果多邊形內部都有2枚釘子，多邊形面積與它邊上的釘子數又有什么關系呢？現在請大家自己在方格紙中畫圖，數一數、比一比，看看有沒有規律。

2.小組合作，探究規律。

引導：現在請你們四人小組合作，按照下面的辦法研究多邊形的面積。

出示活動要求：

（1）每人在方格紙中畫一個內部有2枚釘子的多邊形，數出邊上的釘子數，算出它的面積；

（2）每人把獲得的數據在小組內交流，并記錄在課本第109頁的表格里；

（3）觀察表格中的數據，小組討論交流：你有什么發現？

學生操作、填表、比較、思考，教師巡視。

3.交流引導，發現規律。

PPT 出示圖4-圖6及表格，指名學生交流結果，在表格里呈現。

引導：我們剛才已經知道，這里的面積不等于n÷2，但和n÷2 有點什么關系嗎？同桌互相討論，看看有什么發現。

提問：通過數據比較，你有什么發現？

小結：通過這里的多邊形的比較，可以發現，當多邊形內部釘子數a=2時，面積S=n÷2+1。（板書：a=2 S=n÷2+1）

追問：檢查你畫的內部有2個釘子的多邊形，面積符合這個規律嗎？如果不符合，把你的例子在全班交流。

指出：現在沒有學生提出反例，所以的都符合這里的規律。從大家的圖形和數據可以發現，當多邊形內部有2個釘子時，也就是a=2時，S=n÷2+1。

（三）引導猜想，概括規律。

1.引發學生猜想。

提問：上面發現圖形內部釘子數a=1時，S=n÷2；a=2時，S=n÷2+1。你能聯系這里的規律，猜一猜，如果多邊形內部有3枚釘子，它的面積與邊上釘子數又有怎樣的關系呢？先想一想，再告訴大家你的猜想。

交流：你猜想的規律是怎樣的？（板書：a=3 S=n÷2+2 ？）怎樣想的？

2.畫圖舉例，驗證猜想。

讓學生在點子圖上畫出圖形，驗證上面的猜想。

交流：你畫出的是怎樣的圖形，驗證的結果有什么結論？（指名學生呈現圖形驗證結論）

PPT出示圖7-圖9，引導學生完成表格。

確認：當多邊形內釘子數是3時，面積S就等于n÷2+2。

追問：現在我們又有什么發現？

3.拓展延伸，揭示規律。

引導學生觀察關系式：a=1 S=n÷2

a=2 S=n÷2+1

a=3 S=n÷2+2

引導：你覺得如果a=4，會有什么規律？a=5呢？

那你能任選一個a等于幾，畫一畫、算一算來驗證嗎？自己畫圖驗證。指名學生交流，呈現不同例子的圖形用數據驗證，并板書關系式。

提問：你現在能發現釘子板上多邊形面積的規律了嗎？

指出：如果用a表示多邊形內部的釘子數，n表示多邊形邊上的釘子數，那么，多邊形的面積S就等于邊上的釘子數n除以2，再加上內部的釘子數a，然后減1。（板書：S=n÷2+a-1）

驗證：請大家用這個規律解決本課開始的問題。PPT返回到本課 最早的三個多邊形圖，用上面的公式迅速計算，體驗成功的快樂。

(四).適當介紹，拓展視野。PPT

說明：我們今天研究的規律，就是數學上著名的皮克定理（一個計算點陣中頂點在格點上的多邊形面積公式：S=a+b÷2-1，其中a表示多邊形內部的點數，b表示多邊形邊界上的點數，s表示多邊形的面積）。有興趣的同學，可以在網絡上或書籍里了解皮克定理。如果有進一步認識的要求，那記住這本書：閔酮鶴的著作《格點和面積》，以后有興趣、有條件了，可以去閱讀。

第五篇：“釘子板上的多邊形”教學設計與評析

“釘子板上的多邊形”教學設計與評析

【教學內容】

蘇教版義務教育數學教科書五年級上冊第108-109頁及相應習題?一、談話引入，產生問題

1．出示釘子板。

同學們，知道我們今天要學習什么嗎？（出示釘子板）釘子板大家都見過嗎？看，這就是一個釘子板。在釘子板上可以圍出各種各樣的多邊形。誰來試著圍一個？（指名上臺操作）

為了研究方便，我們可以把釘子板簡化一下，用這樣點子圖來代替釘子板（出示點子圖），而且規定兩個點子之間的距離是1厘米，這樣一個小方格的面積就是——1平方厘米。在這個點子圖上，老師任意地圍了幾個多邊形，大家一起來看一看。

2．引出問題。

觀察這些多邊形，你覺得我們可以研究什么呢？

預設：

①可以研究釘子板上多邊形的面積（板書：多邊形的面積）；

②可以研究釘子板上多邊形的周長。

今天我們主要研究釘子板上多邊形的面積。再來看一看這些多邊形，它們的面積一樣嗎？（不一樣）。你覺得釘子板上多邊形的面積可能和什么有關系？

引導學生發現多邊形的面積可能和圖形內部的釘子數有關，也可能和圖形邊上的釘子數有關。（板書：內部釘子數，邊上釘子數）

二、嘗試研究，形成思路

看來大家都認為，釘子板上多邊形的面積可能跟它內部的釘子數有關系，也可能跟邊上的釘子數有關系。那它們之間存在怎樣的關系？這個問題有點復雜。遇到復雜的問題，我們不妨從簡單的情況開始研究。

（1）出示：

這個多邊形的面積是多少？（4平方厘米）內部的釘子數呢？（1個）邊上的釘子數呢？（8個）我們一起數一數（演示數邊上釘子數）。

如果把這個多邊形改變一下，就能得了一個新的多邊形。

（2）出示：

現在多邊形的面積是多少？（3平方厘米）內部的釘子數呢？（0個）邊上的釘子數呢？（還是8個）如果再改變一下圖形呢？

（3）出示：

這個多邊形的面積是多少？（4平方厘米）給大家指一指你是怎么算的？內部的釘子數呢？（2個）邊上的釘子數呢？（6個）

引導：觀察上面的數據，能看出多邊形的面積與邊上的釘子數和內部釘子數之間的關系嗎？同時要考慮三個數量的變化比較復雜，有沒有什么好辦法？

預設：

①可以讓其中的一個數量不變，另外兩個數量變化一下，看看有沒有規律。

②可以先把內部釘子數固定不變，改變多邊形面積，看邊上釘子數有沒有變。

三、自主合作，探索交流

1．探索“內部釘子數為1”的情況。

講述：是啊！三個數量都變化，關系太復雜了，我們可以先把其中一個數量控制住。這樣，我們先研究內部釘子數是1的情況，可以嗎？也就是，我們要研究當多邊形的內部釘子數是1時，多邊形的面積和多邊形邊上的釘子數之間的關系。這個問題你會研究嗎？你準備怎樣研究呢？誰來給大家讀一讀研究提示。

出示研究步驟：

為了方便研究，老師為每個小組準備了一張研究單。下面大家開始研究吧！

學生分組進行合作探究，教師巡視指導后交流。

預設：

①我們小組畫了3個不同多邊形，內部釘子數都是1，我們發現多邊形的面積是邊長釘子數的一半。

②我們發現多邊形邊上的釘子數是面積的2倍。邊上的釘子數除以2就是多邊形的面積。

提問：怎樣用算式表示多邊形的面積與邊上釘子數之間的關系？（用字母式表示是S=n÷2。）

總結：通過研究，我們發現多邊形的面積與邊上釘子數之間的關系。這個關系用表示就是S=n÷2。這里S代表什么？n呢？S=n÷2是什么意思？

2．探索“內部釘子數為2”的情況。

講述：通過剛才的研究我們發現，這里S=n÷2是有一個前提的，那就是當內部釘子數就是1的時候。如果內部釘子數是2呢？又會是什么情況呢？下面請大家拿出探究學習單，我們2人一組再來探索一下。

學生同桌合作探究，教師巡視指導后交流。

預設：

①小組畫了3個多邊形。我們發現，多邊形的面積是邊上的釘子數除以2再加1，用字母表示就是S=

n÷2+1。

②我們發現：多邊形邊上釘子數加2的和再除以2等于多邊形的面積。用字母表示是S=(n+2)÷2。

比較指出：其實第2個式子只要簡化一下，與第一個式子是一樣的。

3．舉例驗證。

剛剛我們畫出的多邊形各不相同，不管是內部釘子數為1或者2，為什么每次都是同一個關系式表示呢？經過了剛才我們初步的探索和實驗，初步得出了關系式，也就是初步形成了猜想。那么，有了猜想，我們還需要干什么？（驗證）我們可以怎樣來驗證呢？（可以再畫幾個圖形，看是不是符合上面的規律）。

學生分別選擇一種情況，再任意畫一個圖形，驗證一下，看是否符合如下兩個規律：①當內部釘子數是1時，多邊形的面積就是S=n÷2；②當內部釘子數是2時，面積就是S=n÷2+1。

學生獨立進行舉例驗證，教師巡視反饋。

總結：通過全班同學的舉例驗證，我們發現大家畫的多邊形都符合上面的規律，看來這里規律是正確的。在數學研究就是這樣的一方面要進行大膽的假設，同時，也需要小心的驗證。

四、歸納總結，揭示規律

剛剛我們研究了釘子板上的多邊形面積與釘子數之間的內在規律，已經知道內部釘子數為1和2這兩個情況，如果內部釘子數為3呢？你認為多邊形的面積可以怎么計算呢？（S=n÷2+2）內部釘子數是4呢？(S=n÷2+3)如果圖形內部沒有釘子呢？（S=n÷2-1）

同學都進行了大膽地猜想，當然我們也可以舉例驗證。還記得老師之前任意畫的幾個多邊形，其中就有一個圖形中間沒有釘子，我們一起來看看。我們一起來驗證一下它符號我們猜想的規律嗎？

出示：

指出：12÷2-1=5。看來，這個圖形也是符合規律。

提問：剛剛通過研究，我們發現了釘子板上多邊形存在好多的規律。你能把這些規律概括一下，變成一條規律嗎？（我們用字母S表示多邊形面積，n表示圖形邊上的釘子數，ａ表示圖形內部的釘子數。）

總結：看來大家都認為，可以用S=n÷2+a-1表示，這個公式是什么意思呢？其實，這個公式早在1899年就被奧地利數學家皮克發現了。一起來了解一下。

出示：

五、回顧總結、應用提升

1．解決問題。

你能用上面的公式計算出剛剛老師任意畫的幾個多邊形的面積嗎？

出示：

用一個公式計算簡單嗎？有了這個公式，計算釘子板上多邊形的面積就容易多了！課后感興趣的同學還可以釘子板多畫幾個多邊形，去考考你的同學或家長。

2．回顧小結。

今天，我們一起探索了釘子板上多邊形。回顧探索與發現規律的過程，你有什么體會？

“釘子板上的多邊形”一課是蘇教版數學義務教育教科書五年級上冊“探索規律”內容。這是一次研究平面圖形面積的活動，安排在形成了面積概念、掌握了常用面積單位、能計算簡單圖形面積的基礎上進行的。這也是一次既有趣又有挑戰性的活動，在釘子板上圍圖形、數釘子的枚數、算圖形的面積，這些都是學生喜歡做、能夠做的事情，他們會樂意參與這次活動。然而，釘子板上圍出來的圖形大多數不是規則圖形，也不是簡單圖形，求它們的面積沒有現成的方法可以使用，得出圖形的面積比較難。而且，這次活動要探索圍成的圖形面積與圖形邊上的釘子數、內部釘子數之間的關系，還要用含有字母的式子表達這種關系，有相當的難度。但也正是這些“趣”與“難”，有助于體現活動的教育價值，培養學生探索精神和數學思維能力。

趙兆兵老師設計執教的這節課，很好地處理了“趣”與“難”之間的關系，體現了其本源性教學的特色追求。本課主要有以下三個方面的教學特色：

01從簡單出發，向本質邁進。

“釘子板上的多邊形”是修訂后的蘇教版教材新增加的內容，屬于探索給定情境中隱含的規律和變化趨勢。在釘子板上用線圍圖形，圍成的平面圖形一定是多邊形，頂點一定是釘子板的釘子。每個小正方形都表示1平方厘米，圍成圖形的面積是幾平方厘米能夠數出來或者算出來。圍成的多邊形邊上有幾枚釘子，與圖形的面積是否有關，如果有關，是什么關系，這些都是要探索的規律。

趙老師在教學過程中，從簡單的規則圖形出發，進而逐步演變為不規則圖形，從不規則圖形再轉變為規則圖形；從內部釘子數1出發，到內部釘子數是2的，再到內部釘子數3、4、0的……，由淺入深；從簡單的列舉開始，到規律猜想和規律表達，進而抽象為字母表達規律。這樣的教學設計，層層遞進，絲絲入扣，從規律直觀感知到規律抽象表達，從初步規律尋找到規律原因探尋，逐步走向規律本質，有效地培養了學生的探索意識。

ENTER

TITLE02從直觀出發，用模型表達。

大數學家華羅庚曾經說過：“數無形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事非。”本課雖然探尋的是圖形規律，但是圖形面積需要測算，圖形面積與釘子數量之間的關系需要表達，因此形離不開數，數蘊涵于形，通過數形結合可以幫助學生完成從動作思維到形象思維的過渡，再從形象思維到抽象思維的發展。

由于“皮克定理”的基礎是S=n÷2-1，趙老師采取“特殊化”的教學策略，讓學生從內部有1個釘子的圖形開始研究，符合學生的認知規律和數學自身發展的規律。趙老師設計的教學過程中，并沒有始終停留在直觀圖形的釘子個數或者面積測算上，而是先讓學生操作與觀察，初步尋找圖形面積與內部釘子個數之間的聯系，進而提出假設與猜想，再舉例驗證。在這一探究過程中，巧妙運用數形結合的思想，以數助形，以形輔數，充分利用圖形理解用邊上的釘子數計算出圖形的面積的算理，從而巧妙化解了教學的“難點”。尤其是在分別探索了內部釘子數不同的情況規律之后，引導學生把幾個不同的計算公式進行簡化，從而建立了更為一般性的數學模型。同時，適度的數學文化介紹，既深化了學生對數學知識的理解，又豐富學生的數學感受，增加了數學學習的情趣。

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TITLE03從猜想出發，以實驗求證。

猜想和驗證是探索規律需要著力培養與經歷的重要目標與過程，而由此積累的數學活動經驗又是提高學生數學素養的重要標志。數學活動經驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數學學習活動過程中逐步積累的。

趙老師在教學過程中沒有一味地深陷于形象的圖形測算或抽象的字母公式，而是結合學生的探索與表達，抓住“猜想”和“求證”兩個環節，讓學生合理猜想，小心求證，并及時組織學生回顧探索發現規律的過程，交流活動的體會，分享探索的經驗。這是激發數學學習興趣和積累數學活動經驗的重要環節，也是數學課程改革以來十分重視的教學方式。趙老師主要設計了三次猜想與求證的環節：首先是在課始，讓學生觀察釘子板上的多邊形，猜測面積與釘子數的關系，然后初步驗證；其次是分別動手實驗，探索內部釘子數為1、2的規律，歸納后形成猜想，并分別再次驗證；而在初步發現規律后進一步猜想釘子數與面積之間的一般關系式，并繼續實驗求證。

讓我們重溫中國現代思想家胡適談治學方法時說過一句簡單扼要的話：“大膽假設，小心求證”。