第一篇：《實際問題與二次函數》教學設計

《實際問題與二次函數》教學設計

教學目標：

21．使學生掌握用待定系數法由已知圖象上一個點的坐標求二次函數y＝ax的關系式。

2.使學生掌握用待定系數法由已知圖象上三個點的坐標求二次函數的關系式。

3．讓學生體驗二次函數的函數關系式的應用，提高學生用數學意識。重點難點：

重點：已知二次函數圖象上一個點的坐標或三個點的坐標，分別求二次函數y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的關系式是教學的重點。

難點：已知圖象上三個點坐標求二次函數的關系式是教學的難點。教學過程：

一、創設問題情境

如圖，某建筑的屋頂設計成橫截面為拋物線型(曲線AOB)的薄殼屋頂。它的拱高AB為4m，拱高CO為0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎樣畫出模板的輪廓線呢? 分析：為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當的直角坐標系，再寫出函數關系式，然后根據這個關系式進行計算，放樣畫圖。

如圖所示，以AB的垂直平分線為y軸，以過點O的y軸的垂線為x軸，建立直角坐標系。這時，屋頂的橫截面所成拋物線的頂點在原點，對稱軸是y軸，2開口向下，所以可設它的函數關系式為：y＝ax(a＜0)(1)因為y軸垂直平分AB，并交AB于點C，所以CB＝錯誤！未指定書簽。＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以點B的坐標為(2，－0.8)。

因為點B在拋物線上，將它的坐標代人(1)，得－0.8＝a×22所以a＝－0.2 因此，所求函數關系式是y＝－0.2x2。

請同學們根據這個函數關系式，畫出模板的輪廓線。

二、引申拓展

問題1：能不能以A點為原點，AB所在直線為x軸，過點A的x軸的垂線為y軸，建立直角坐標系? 讓學生了解建立直角坐標系的方法不是唯一的，以A點為原點，AB所在的直線為x軸，過點A的x軸的垂線為y軸，建立直角坐標系也是可行的。

問題2，若以A點為原點，AB所在直線為x軸，過點A的x軸的垂直為y軸，建立直角坐標系，你能求出其函數關系式嗎? 分析：按此方法建立直角坐標系，則A點坐標為(0，0)，B點坐標為(4，0),OC所在直線為拋物線的對稱軸，所以有AC＝CB，AC＝2m，O點坐標為(2；0．8)。即把問題轉化為：已知拋物線過(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三點，求這個二次函數的關系式。

二次函數的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求這個二次函數的關系式，跟以前學過求一次函數的關系式一樣，關鍵是確定o、6、c，已知三點在拋物線上，所以它的坐標必須適合所求的函數關系式；可列出三個方程，解此方程組，求出三個待定系數。

2解：設所求的二次函數關系式為y＝ax＋bx＋c。因為OC所在直線為拋物線的對稱軸，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m，所以O點坐標為(2，0.8)，A點坐標為(0，0)，B點坐標為(4，0)。

由已知，函數的圖象過(0，0)，可得c＝0，又由于其圖象過(2，0.8)、(4，0)，可得到錯誤！未指定書簽。解這個方程組，得錯誤！未指定書簽。所以，所求的二次函數的關系式為y＝－錯誤！未指定書簽。x2＋錯誤！未指定書簽。x。

問題3：根據這個函數關系式，畫出模板的輪廓線，其圖象是否與前面所畫圖象相同? 問題4：比較兩種建立直角坐標系的方式，你認為哪種建立直角坐標系方式能使解決問題來得更簡便?為什么?(第一種建立直角坐標系能使解決問題來得更簡便，這是因為所設函數關系式待定系數少，所求出的函數關系式簡單，相應地作圖象也容易)請同學們閱瀆P18例7。

三、課堂練習：P18練習1．(1)、(3)2。

四、綜合運用

例1．如圖所示，求二次函數的關系式。

分析：觀察圖象可知，A點坐標是(8，0)，C點坐標為(0，4)。從圖中可知對稱軸是直線x＝3，由于拋物線是關于對稱軸的軸對稱圖形，所以此拋物線在x軸上的另一交點B的坐標是(－2，0)，問題轉化為已知三點求函數關系式。

解：觀察圖象可知，A、C兩點的坐標分別是(8，0)、(0，4)，對稱軸是直線x＝3。因為對稱軸是直線x＝3，所以B點坐標為(－2，0)。

設所求二次函數為y＝ax2＋bx＋c，由已知，這個圖象經過點(0，4)，可以得到c＝4，又由于其圖象過(8，0)、(－2，0)兩點，可以得到錯誤！未指定書簽。解這個方程組，得錯誤！未指定書簽。

所以，所求二次函數的關系式是y＝－錯誤！未指定書簽。x2＋錯誤！未指定書簽。x＋4 練習：一條拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點(0，0)與(12，0)，最高點的縱坐標是3，求這條拋物線的解析式。

五、小結：二次函數的關系式有幾種形式，函數的關系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一種常見的形式。二次函數關系式的確定，關鍵在于求出三個待定系數a、b、c，由于已知三點坐標必須適合所求的函數關系式，故可列出三個方程，求出三個待定系數。

六、作業

1．P19習題26．2 4．(1)、(3)、5。2．選用課時作業優化設計，每一課時作業優化設計

1.二次函數的圖象的頂點在原點，且過點(2，4)，求這個二次函數的關系式。2．若二次函數的圖象經過A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三點，求這個二次函數的解析式。

3．如果拋物線y＝ax2＋Bx＋c經過點(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，；求a＋b＋c的值。4．已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，求這個二次函數的關系式；

5．二次函數y＝ax＋bx＋c與x軸的兩交點的橫坐標是－錯誤！未指定書簽。，錯誤！未指定書簽。，與x軸交點的縱坐標是－5，求這個二次函數的關系式。

第二篇：實際問題與二次函數教學設計

人教版《實際問題與二次函數（第2課時）》教學設計

【教材分析】

本節的問題涉及求函數的最大值，要先求出函數的解析式，再求出使用函數值最大的自變量值，在此問題的基礎上引出直接根據函數解析式求二次函數的最大值或最小值的結論，即當a?0時，函

4ac?b2bx??y最小值?2a，4a；當a?0時，函數有最數有最小值，并且當

4ac?b2bx??y最大值?2a4a．得出此結論后，就可以直接大值，并且當，運用此結論求二次函數的最大值或最小值。

接下來，學生通過探究并解決三個問題進一步體會用二次函數解決實際問題。

在探究1中，某商品價格調整，銷售會隨之變化。調整價格包括漲價與降價兩種情況，一般來講，商品價格上漲，銷量會隨之下降；商品價格下降，銷售會隨之增加，這兩種情況都會導致利潤的變化。教科書首先分析漲價的情況，在本題中，設漲價x元，則可以確定銷售量隨x變化的函數式。由此得出銷售額、單件利潤隨x變化的函數式，進而得出利潤隨x變化的函數式，由這個函數求出最大利潤則由學生自己完成。【學情分析】

學生已經學習了二次函數的定義、圖象和性質，學習了列代數式，列方程解應用題，這些內容的學習為本節課奠定了基礎，使學生具備了一定的建模能力，但運用二次函數的知識解決實際問題要求學生能比較靈活的運用知識，對學生來說要完成這一建模過程難度較大。【教學目標】 智能與能力：

1、能夠從實際問題中抽象出二次函數，并運用二次函數的知識解決實際問題。

2、與已有知識綜合運用來解決實際問題，加深對二次函數的認識,體會數學與實際的聯系。

3、通過數學建模思想、轉化思想、函數思想、數形結合思想的綜合運用，提高學生的數學能力。過程與方法：

1、經歷探索具體問題中數量關系和變化規律的過程，并進一步體驗如何從實際問題中抽象出數學模型。

2、注意二次函數和一元二次方程、不等式的聯系和相互轉化，及其在實際問題中的綜合運用，重視對知識綜合應用能力的培養。

3、經歷觀察、推理、交流等過程，獲得研究問題與合作交流的方法與經驗。

4、經歷解決實際問題、再回到實際問題中去的過程，能夠對問題的變化趨勢進行預測。情感、態度與價值觀：

1、結合實際問題研究二次函數，讓學生感受其實際意義，激發學生的學習興趣，讓學生在實際應用中逐步深化對二次函數的理解和認識。

2、設置豐富的實踐機會，引導學生自主學習，對解決問題的基本策略進行反思，培養學生形成良好的教學思維習慣。

3、通過同學之間的合作與交流，讓學生積累和總結經驗。【教學重點及難點】 重點

1、理解數學建模的基本思想，能從實際問題中抽象出二次函數的數學模型。

2、回顧并掌握二次函數最值的求法，在應用基本結論的同時掌握配方法。

3、利用二次函數的性質解決實際問題。難點

從實際情景中抽象出函數模型。【教學設想】

在實際生活有大量的可以表示為二次函數或利用二次函數知識可以解決的實際問題，教師應該充分考慮到教學內容本身的特點和學生的認知規律，從下列三個方面入手；

1、實際問題和通常習慣的數學問題不同，它的條件往往不是顯而易見的，教師需要引導學生分析哪些量是已知的，哪些量是未知的，可以進行怎樣的假設以及如何建立它們之間的關系等，并從實際問題中抽象出數學問題。

2、二次函數的圖象和性質，為本節的學習起著鋪墊作用，將已有知識綜合運用來解決實際問題，能夠讓學生更好地理解和認識二次函數。

3、鼓勵學生把所得到的結果推廣到一般化，或將問題進一步延伸與拓展，學會預測問題的變化趨勢。【教學設備】 多媒體課件 【教學過程】

一、復習舊知 二次函數的性質：

1.二次函數y=-3(x+4)2-1的對稱軸是，頂點 坐標是。當x= 時，函數有最 值，是。

2.二次函數y=2x2-8x+9的對稱軸是，頂點

坐標是.當x= 時，函數有最 值，是。利潤問題：

1.總價、單價、數量的關系 2.利潤、售價、進價的關系 3.總利潤、單件利潤、數量的關系

二、自主探究

問題1：已知某商品的進價為每件40元，售價是每件60元，每星期可賣出300件。市場調查反映：如果調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件。要想獲得6090元的利潤，該商品應定價為多少元？

變式：已知某商品的進價為每件40元。現在的售價是每件60元，每星期可賣出300件。市場調查反映：如調整價格，每漲價一元，每星期要少賣出10件；每降價一元，每星期可多賣出20件。如何定價才能使利潤最大？

學生閱讀題目后，教師提出問題，學生思考后，教師引導學生分析：本題中，商品價格上漲，銷量會之下降；商品價格下降，銷售會隨之增加。這兩種情況都會導致利潤變化，因此本題需考慮兩種情況，即需要分類討論。師生共同完成。

問題2：某商場銷售某種品牌的純牛奶,已知進價為每箱40元,生產廠家要求每箱售價在40元--70元之間.市場調查發現:若以每箱50元銷售,平均每天可售出90箱,價格每降低1元,平均每天多銷售3箱;價格每升高1元,平均每天少銷售3箱.（1)寫出售價x(元/箱)與每天所得利潤Y(元)之間的函數關系式;(2)每箱定價多少元時,才能使平均每天的利潤最大?最大利潤是多少? 教師引導學生整理分析，點名板演，師生共同點評。

問題3：某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結600個橙子.現準備多種一些橙子樹以提高產量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結5個橙子.增種多少棵橙子樹時,總產量最大? 教師引導學生整理分析，點名板演，師生共同點評。三：歸納小結：解這類題目的一般步驟

求出函數解析式，配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值。

第三篇：《實際問題與二次函數》教學設計

《實際問題與二次函數》教學設計

廣厚鄉中心學校 李曉秋

教學目標：

1．復習鞏固用待定系數法由已知圖象上三個點的坐標求二次函數的關系式。

2．使學生掌握已知拋物線的頂點坐標或對稱軸等條件求出函數的關系式。

重點難點：

根據不同條件選擇不同的方法求二次函數的關系式是教學的重點，也是難點。

教學過程：

一、復習鞏固

1．如何用待定系數法求已知三點坐標的二次函數關系式? 2．已知二次函數的圖象經過A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。(1)求二次函數的關系式，(2)畫出二次函數的圖象；(3)說出它的頂點坐標和對稱軸。

答案：(1)y＝x＋x＋1，(2)圖略，(3)對稱軸x＝－，頂點坐標為(－，)。

3．二次函數y＝ax＋bx＋c的對稱軸，頂點坐標各是什么? [對稱軸是直線x＝－，頂點坐標是(－，)]

二、范例

2例1．已知一個二次函數的圖象過點(0，1)，它的頂點坐標是(8，9)，求這個二次函數的關系式。

分析：二次函數y＝ax＋bx＋c通過配方可得y＝a(x＋h)＋k的形式稱為頂點式，(－h，k)為拋物線的頂點坐標，因為這個二次函數的圖象頂點坐標是(8，9)，因此，可以設函數關系式為：y＝a(x－8)＋9 由于二次函數的圖象過點(0，1)，將(0，1)代入所設函數關系式，即可求出a的值。

請同學們完成本例的解答。練習：P18練習1．(2)。

例2．已知拋物線對稱軸是直線x＝2，且經過(3，1)和(0，－5)兩點，求二次函數的關系式。

解法1：設所求二次函數的解析式是y＝ax＋bx＋c，因為二次函數的圖象過點(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函數的圖象過點(3，1)，且對稱軸是直線x＝2，可以得

解這個方程組，得：所以所求的二次函數的關系式為y＝－2x＋8x－5。

解法二；設所求二次函數的關系式為y＝a(x－2)＋k，由于二次函數的圖象經過(3，1)和(0，－5)兩點，可以得到解這個方程組，得：

所以，所求二次函數的關系式為y＝－2(x－2)＋3，即y＝－2x＋8x－5。

例3。已知拋物線的頂點是(2，－4)，它與y軸的一個交點的縱坐標為4，求函數的關系式。

解法1：設所求的函數關系式為y＝a(x＋h)＋k，依題意，得y＝a(x－2)－4 因為拋物線與y軸的一個交點的縱坐標為4，所以拋物線過點(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。所以，所求二次函數的關系式為y＝2(x－2)－4，即y＝2x－8x＋4。

解法2：設所求二次函數的關系式為y＝ax＋bx＋c?依題意，得解這個方程組，得：所以，所求二次函數關系式為y＝2x－8x＋4。

三、課堂練習

1.已知二次函數當x＝－3時，有最大值－1，且當x＝0時，y＝－3，求二次函數的關系式。

解法1：設所求二次函數關系式為y＝ax＋bx＋c，因為圖象過點(0，3)，所以c＝3，又由于二次函數當x＝－3時，有最大值－1，可以得到：解這個方程組，得：

所以，所求二次函數的關系式為y＝x＋x＋3。解法2：所求二次函數關系式為y＝a(x＋h)＋k，依題意，得y＝a(x＋3)－1 因為二次函數圖象過點(0，3)，所以有3＝a(0＋3)－1解得a＝

所以，所求二次函數的關系為y＝44/9(x＋3)－1，即y＝x＋x＋3．

小結：讓學生討論、交流、歸納得到：已知二次函數的最大值或最小值，就是已知該函數頂點坐標，應用頂點式求

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解方便，用一般式求解計算量較大。

2．已知二次函數y＝x＋px＋q的圖象的頂點坐標是(5，－2)，求二次函數關系式。

簡解：依題意，得解得：p＝－10,q＝23 所以，所求二次函數的關系式是y＝x－10x＋23。

四、小結

1，求二次函數的關系式，常見的有幾種類型? [兩種類型：(1)一般式：y＝ax＋bx＋c(2)頂點式：y＝a(x＋h)＋k，其頂點是(－h，k)] 2．如何確定二次函數的關系式? 讓學生回顧、思考、交流，得出：關鍵是確定上述兩個式子中的待定系數，通常需要三個已知條件。在具體解題時，應根據具體的已知條件，靈活選用合適的形式，運用待定系數法求解。

五、作業：

1.已知拋物線的頂點坐標為(－1，－3)，與y軸交點為(0，－5)，求二次函數的關系式。

2．函數y＝x＋px＋q的最小值是4，且當x＝2時，y＝5，求p和q。

3．若拋物線y＝－x＋bx＋c的最高點為(－1，－3)，求b和c。

4．已知二次函數y＝ax＋bx＋c的圖象經過A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函數的關系式是______。如果y隨x的增大而減少，那么自變量x的變化范圍是______。

5．已知二次函數y＝ax＋bx＋c的圖象過A(0，－5)，B(5，0)兩點，它的對稱軸為直線x＝2，求這個二次函數的關系式。

6．如圖是拋物線拱橋，已知水位在AB位置時，水面寬4米，水位上升3米就達到警戒線CD，這時水面寬4米，若2洪水到來時，水位以每小時線后幾小時淹到拱橋頂?

米速度上升，求水過警戒

0.25

第四篇：實際問題與二次函數教學反思

實際問題與二次函數教學反思

本節課是有關函數應用題解法的再一次鞏固，尤其是二次函數的實際應用，重點是如何利用二次函數建立數學模型，并利用二次函數的有關性質來解決實際問題。繼續經歷利用二次函數知識解決最值問題;會綜合運用二次函數和其他數學知識解決如有關距離、建立函數模型等問題;發展應用數學知識解決問題的能力,體會數學與生活的密切聯系和數學的應用價值。

二次函數是函數中的重點、難點，它比較復雜，一般來說我們研究它是先研究其本身性質、圖象，進而擴展到應用，它在現實中應用較廣，我們在教學中要緊密結合實際，讓學生學有所用，在教學中應注意以下幾個問題：

（一）把握好課標。九年義務教育初中數學教學大綱卻降低了對二次函數的教學要求,只要求學生理解二次函數和拋物線的有關概念,會用描點法畫出二次函數的圖像;會用配方法確定拋物線的頂點和對稱軸;會用待定系數法由已知圖像上三點的坐標求二次函數的解析式。

（二）把實際問題數學化。首先要深入了解實際問題的背景，了解影響問題變化的主要因素，然后在舍棄問題中的非本質因素的基礎上，應用有關知識把實際問題抽象成為數學問題，并進而解決它。

（三）函數的教學應注意自變量與函數之間的變化對應。函數問題是一個研究動態變化的問題，讓學生理解動態變化中自變量與函數之間的變化對應，可能更有助于學生對函數的學習。

（四）二次函數的教學應注意數形結合。要把函數關系式與其圖像結合起來學習，讓學生感受到數和形結合分析解決問題的優勢。

（五）建立二次函數模型。利用二次函數來解決實際問題，重在建立二次函數模型。但是在解決最值問題時得注意，有時理論上的最大值（或最小值）不是實際生活中的最值，得考慮實際意義。

（六）注重二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的關系。利用二次函數的圖像可以得到對應一元二次方程的解、一元二次不等式的解集。

本節課我有一個收獲，學生思維的活躍讓我興奮。我認識到：只要你相信學生，他就能給你創造奇跡。

第五篇：《實際問題與二次函數》教學反思

《實際問題與二次函數》教學反思

剛剛上完了《實際問題與二次函數》，自我感到滿意的地方是，通過探究“矩形面積”“銷售利潤”問題，激發學生的學習欲望，滲透轉化及分類的數學思想方法，把知識回歸于生活，又從生活走出來。我是這樣設置問題： 現有60米的籬笆要圍成一個矩形場地，若矩形的長分別為10米、15米、20米、30米時，它的面積分別是多少？你能找到籬笆圍成的矩形的最大面積嗎？讓學生能準確的建立函數關系并利用已學的函數知識求出最大面積。又設置問題：我班某同學的父母開了一個小服裝店，出售一種進價為40元的服裝，現每件60元，每星期可賣出300件。該同學對父母的服裝店很感興趣，因此，他對市場作了如下的調查：如調整價格，每降價1元，每星期可多賣出20件。請問同學們，該如何定價，才能使一星期獲得的利潤最大？該同學又進行了調查：如調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件，則此時該如何定價，才能使一星期獲得的利潤最大？通過這樣層層設問，由易到難，符合學生的認知水平，引導學生不斷思考，積極探索，讓學生感受到數學的應用價值。但感到不足的地方是，由于題目設計比較多，在處理起來比較倉促，時間上前松后緊，在今后的教學中要注意這一點。還要盡可能地讓每一個學生參與到學習中，提高學生學習數學的積極性。