第一篇：22.3 實際問題與二次函數 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

1.能夠從實際問題中抽象出二次函數關系，并運用二次函數及性質解決面積最大值問題；

2.能根據實際意義求出自變量的取值范圍；

3.在探究二次函數的實際意義中學會分析問題，體會數學建模思想以及數學與生活的緊密聯系性。

2.教學重點/難點

將實際問題轉化為二次函數問題，并能用配方法或公式法求出頂點坐標。

3.教學用具 4.標簽

教學過程

一、設計問題，創設情境

師：八年級我們學習了一次函數，同學們回顧一下：我們都是從哪些方面學習了一次函數？

學生回答

師：仿照一次函數的學習過程，我們已經學習了二次函數的定義、圖像與性質。本節課我們將要學習實際問題與二次函數，在正式學習新課之前，大家做一做下面的問題：

出示問題1：用總長為40m的籬笆圍成矩形場地，（1）怎樣圍成一個面積是75m2的矩形場地？（2）能否圍成一個面積是150m2的矩形場地，若能說出圍法；若不能，說明理由。學生獨立完成，教師巡視指導，完成后，學生講解做法，教師適當引導，若存在問題，其他學生補充。

（3）設矩形一邊的長度為xm，面積為ym2，求矩形的最大面積。

師生活動：引導學生寫出函數關系式，教師出示函數圖像，學生結合圖像求出矩形的最大面積。

追問：能否圍成面積為130m2，80m2的矩形，你能馬上判斷出來嗎？ 學生判斷。

設計說明：學生在接觸實際問題與二次函數之前，已經學習了實際問題與一元二次方程，從一元二次方程實際問題引入，學生比較容易接受，另一方面也讓學生體會到一元二次方程與二次函數之間的聯系。同時，通過解決此問題，能使學生初步了解運用二次函數的知識解決實際問題的一般步驟。

二、信息交流，例題講解

在現實生活中，人們為了節省材料，常常借助墻作為花圃的一邊，此時你能解決這個問題嗎？

問題2：欲用長為60m的籬笆，圍成一個矩形的花圃，花圃一面靠墻，怎樣圍才能使花圃的面積最大？最大面積是多少？

師生活動：１．學生嘗試，教師巡視指導，若做題過程中存在困難，小組討論； 2． 學生嘗試解答題目，初步形成做題思路。如果存在不足或者錯誤的地方，其他同學給予補充或者改正，教師適當引導，如果展示學生沒有錯誤但巡視過程中存在共性的錯誤，注意及時糾正；

3． 師生規范做題過程，教師板書過程。4． 學生修改完善做題。

教學預設：１．學生設AD的長度為xm； 2.學生設AB的長度為xm； 3.學生用公式法求頂點坐標；

4．學生用配方法求頂點坐標。

以上預設，無論出現哪種情況都應該給予學生肯定，并鼓勵學生根據具體問題以及自己對知識的掌握情況，靈活選擇。

設計說明：通過問題1（3），學生已經對該類問題有了大致的了解，首先讓學生自己去做，一方面給了學生自主學習的機會，另一方面，學生通過做題可以意識到自己在做題過程中存在的問題。

三、變式演練，對比學習

師：在我們現實生活中，墻的長度不是無限的，如果我們限定墻長為20m，你如何圍成面積最大的矩形？大家嘗試一下。

師生活動：1.教師出示問題，學生嘗試； 2.如果存在問題，小組內進行討論； 3.師生分析解題過程。

設計說明：在求面積最大問題中，應該有兩種情況：1.頂點取值在自變量的取值范圍內；2.頂點取值不在自變量的取值范圍內。通過追問，讓學生接觸第二種情況，并且對前一道題目進行改編，能形成很好的對比，一方面讓學生認知到這兩種情況，更一方面有利于學生在做題的過程中全面思考。

思考：通過這幾道題目，大家思考一下，如何用二次函數求面積的最大值？ 師生活動：學生自己歸納，若存在問題，教師引導學生由具體例題出發，進行歸納，若不完善，其他同學進行補充。

設計說明：根據新課標要求，課堂不應該是單純的教師教，學生學，學生通過自己進行歸納，不僅能進一步明確做題過程，而且相對于老師直接給出歸納，更有利于學生進行理解與掌握。

四、鞏固訓練，當堂檢測

1.某地區要建一個矩形的養雞場，雞場的一邊靠墻（墻長 14m），如果用50m長的柵欄圍成該養雞場，設靠墻的柵欄長度為xm，則x的取值范圍是。設計說明：本節課中，自變量的取值范圍作為一個難點，好多同學考慮不全面，通過練習，進一步提高學生思考問題的全面性。

2.如圖，有長為30m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為18m），圍成中間隔有一道籬笆的矩形花圃，請求出矩形花圃的最大面積。

設計說明：通過練習，讓學生學會舉一反三，進一步鞏固本節課的學習內容，再次體會用二次函數相關的數學知識來解決實際問題，加深對二次函數的認識。

師生活動：

1.教師出示問題，學生獨立完成。

2.學生根據問題答案小組內互批，交流，并改錯。

設計說明:本環節放在小結前，起到練習，檢測雙用的效果，前面學生已經思考了用二次函數解決實際問題的一般過程，并且接觸了相關內容。讓學生帶著相關知識獨立完成，在鞏固本節課知識的基礎上，能夠很好的檢測學生在本節課的學習情況，同時采取小組內互批的形式，一方面及時糾正在學習中存在的問題，另一方面有利于學生在發現別人問題的同時提醒自己，加深學生對題目的理解。

四、反思小結，觀點提煉

我的收獲（知識，方法）； 我出現的錯誤 ； 我應注意 ；

設計說明：通過談收獲，使學生梳理本節所學知識，在梳理的過程中，找出自己出現的錯誤，并及時反思自己自己做題過程中應注意的問題，既能讓學生很好的發現自己的不足，及時改正，也能通過在班內共交流，提醒其他學學習中容易出現的失誤。

五、推薦作業，分層演練： 必做題：

1.課本51頁第1題

2.用長20m的籬笆，一面靠墻圍成一個長方形的園子(墻長12m），求園子的最大面積是多少？

選做題：用一段長為40米的籬笆圍成一邊靠墻的草坪，墻長16米，當這個矩形的長和寬分別為多少時，草坪面積最大？最大面積為多少？

課外實踐：尋找你身邊與本節課相關的問題,自編一題,組內交流.。

設計說明：作業分為必做題與選做題。既保證所有的學生在學習過程中有的吃，也保證了學有余力的同學吃的飽。必做題中，1.鞏固求頂點坐標；2.繼續鞏固加強本節課的練習。

本節課作為實際問題與二次函數的初始課，考慮到學生們的學習能力與接受能力，并沒有過多設計到頂點不在取值范圍內的提醒，因此在作業中設計為選做題，讓學有余力的學生鞏固此類問題，也為以后學習做鋪墊。課外實踐活動題，充分讓學生體會數學與生活息息相關，同時，通過組內互相交流，進一步鞏固本節課所學知識。

板書

第二篇：《實際問題與二次函數》教學設計

《實際問題與二次函數》教學設計

教學目標：

21．使學生掌握用待定系數法由已知圖象上一個點的坐標求二次函數y＝ax的關系式。

2.使學生掌握用待定系數法由已知圖象上三個點的坐標求二次函數的關系式。

3．讓學生體驗二次函數的函數關系式的應用，提高學生用數學意識。重點難點：

重點：已知二次函數圖象上一個點的坐標或三個點的坐標，分別求二次函數y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的關系式是教學的重點。

難點：已知圖象上三個點坐標求二次函數的關系式是教學的難點。教學過程：

一、創設問題情境

如圖，某建筑的屋頂設計成橫截面為拋物線型(曲線AOB)的薄殼屋頂。它的拱高AB為4m，拱高CO為0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎樣畫出模板的輪廓線呢? 分析：為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當的直角坐標系，再寫出函數關系式，然后根據這個關系式進行計算，放樣畫圖。

如圖所示，以AB的垂直平分線為y軸，以過點O的y軸的垂線為x軸，建立直角坐標系。這時，屋頂的橫截面所成拋物線的頂點在原點，對稱軸是y軸，2開口向下，所以可設它的函數關系式為：y＝ax(a＜0)(1)因為y軸垂直平分AB，并交AB于點C，所以CB＝錯誤！未指定書簽。＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以點B的坐標為(2，－0.8)。

因為點B在拋物線上，將它的坐標代人(1)，得－0.8＝a×22所以a＝－0.2 因此，所求函數關系式是y＝－0.2x2。

請同學們根據這個函數關系式，畫出模板的輪廓線。

二、引申拓展

問題1：能不能以A點為原點，AB所在直線為x軸，過點A的x軸的垂線為y軸，建立直角坐標系? 讓學生了解建立直角坐標系的方法不是唯一的，以A點為原點，AB所在的直線為x軸，過點A的x軸的垂線為y軸，建立直角坐標系也是可行的。

問題2，若以A點為原點，AB所在直線為x軸，過點A的x軸的垂直為y軸，建立直角坐標系，你能求出其函數關系式嗎? 分析：按此方法建立直角坐標系，則A點坐標為(0，0)，B點坐標為(4，0),OC所在直線為拋物線的對稱軸，所以有AC＝CB，AC＝2m，O點坐標為(2；0．8)。即把問題轉化為：已知拋物線過(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三點，求這個二次函數的關系式。

二次函數的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求這個二次函數的關系式，跟以前學過求一次函數的關系式一樣，關鍵是確定o、6、c，已知三點在拋物線上，所以它的坐標必須適合所求的函數關系式；可列出三個方程，解此方程組，求出三個待定系數。

2解：設所求的二次函數關系式為y＝ax＋bx＋c。因為OC所在直線為拋物線的對稱軸，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m，所以O點坐標為(2，0.8)，A點坐標為(0，0)，B點坐標為(4，0)。

由已知，函數的圖象過(0，0)，可得c＝0，又由于其圖象過(2，0.8)、(4，0)，可得到錯誤！未指定書簽。解這個方程組，得錯誤！未指定書簽。所以，所求的二次函數的關系式為y＝－錯誤！未指定書簽。x2＋錯誤！未指定書簽。x。

問題3：根據這個函數關系式，畫出模板的輪廓線，其圖象是否與前面所畫圖象相同? 問題4：比較兩種建立直角坐標系的方式，你認為哪種建立直角坐標系方式能使解決問題來得更簡便?為什么?(第一種建立直角坐標系能使解決問題來得更簡便，這是因為所設函數關系式待定系數少，所求出的函數關系式簡單，相應地作圖象也容易)請同學們閱瀆P18例7。

三、課堂練習：P18練習1．(1)、(3)2。

四、綜合運用

例1．如圖所示，求二次函數的關系式。

分析：觀察圖象可知，A點坐標是(8，0)，C點坐標為(0，4)。從圖中可知對稱軸是直線x＝3，由于拋物線是關于對稱軸的軸對稱圖形，所以此拋物線在x軸上的另一交點B的坐標是(－2，0)，問題轉化為已知三點求函數關系式。

解：觀察圖象可知，A、C兩點的坐標分別是(8，0)、(0，4)，對稱軸是直線x＝3。因為對稱軸是直線x＝3，所以B點坐標為(－2，0)。

設所求二次函數為y＝ax2＋bx＋c，由已知，這個圖象經過點(0，4)，可以得到c＝4，又由于其圖象過(8，0)、(－2，0)兩點，可以得到錯誤！未指定書簽。解這個方程組，得錯誤！未指定書簽。

所以，所求二次函數的關系式是y＝－錯誤！未指定書簽。x2＋錯誤！未指定書簽。x＋4 練習：一條拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點(0，0)與(12，0)，最高點的縱坐標是3，求這條拋物線的解析式。

五、小結：二次函數的關系式有幾種形式，函數的關系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一種常見的形式。二次函數關系式的確定，關鍵在于求出三個待定系數a、b、c，由于已知三點坐標必須適合所求的函數關系式，故可列出三個方程，求出三個待定系數。

六、作業

1．P19習題26．2 4．(1)、(3)、5。2．選用課時作業優化設計，每一課時作業優化設計

1.二次函數的圖象的頂點在原點，且過點(2，4)，求這個二次函數的關系式。2．若二次函數的圖象經過A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三點，求這個二次函數的解析式。

3．如果拋物線y＝ax2＋Bx＋c經過點(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，；求a＋b＋c的值。4．已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，求這個二次函數的關系式；

5．二次函數y＝ax＋bx＋c與x軸的兩交點的橫坐標是－錯誤！未指定書簽。，錯誤！未指定書簽。，與x軸交點的縱坐標是－5，求這個二次函數的關系式。

第三篇：實際問題與二次函數教學設計

人教版《實際問題與二次函數（第2課時）》教學設計

【教材分析】

本節的問題涉及求函數的最大值，要先求出函數的解析式，再求出使用函數值最大的自變量值，在此問題的基礎上引出直接根據函數解析式求二次函數的最大值或最小值的結論，即當a?0時，函

4ac?b2bx??y最小值?2a，4a；當a?0時，函數有最數有最小值，并且當

4ac?b2bx??y最大值?2a4a．得出此結論后，就可以直接大值，并且當，運用此結論求二次函數的最大值或最小值。

接下來，學生通過探究并解決三個問題進一步體會用二次函數解決實際問題。

在探究1中，某商品價格調整，銷售會隨之變化。調整價格包括漲價與降價兩種情況，一般來講，商品價格上漲，銷量會隨之下降；商品價格下降，銷售會隨之增加，這兩種情況都會導致利潤的變化。教科書首先分析漲價的情況，在本題中，設漲價x元，則可以確定銷售量隨x變化的函數式。由此得出銷售額、單件利潤隨x變化的函數式，進而得出利潤隨x變化的函數式，由這個函數求出最大利潤則由學生自己完成。【學情分析】

學生已經學習了二次函數的定義、圖象和性質，學習了列代數式，列方程解應用題，這些內容的學習為本節課奠定了基礎，使學生具備了一定的建模能力，但運用二次函數的知識解決實際問題要求學生能比較靈活的運用知識，對學生來說要完成這一建模過程難度較大。【教學目標】 智能與能力：

1、能夠從實際問題中抽象出二次函數，并運用二次函數的知識解決實際問題。

2、與已有知識綜合運用來解決實際問題，加深對二次函數的認識,體會數學與實際的聯系。

3、通過數學建模思想、轉化思想、函數思想、數形結合思想的綜合運用，提高學生的數學能力。過程與方法：

1、經歷探索具體問題中數量關系和變化規律的過程，并進一步體驗如何從實際問題中抽象出數學模型。

2、注意二次函數和一元二次方程、不等式的聯系和相互轉化，及其在實際問題中的綜合運用，重視對知識綜合應用能力的培養。

3、經歷觀察、推理、交流等過程，獲得研究問題與合作交流的方法與經驗。

4、經歷解決實際問題、再回到實際問題中去的過程，能夠對問題的變化趨勢進行預測。情感、態度與價值觀：

1、結合實際問題研究二次函數，讓學生感受其實際意義，激發學生的學習興趣，讓學生在實際應用中逐步深化對二次函數的理解和認識。

2、設置豐富的實踐機會，引導學生自主學習，對解決問題的基本策略進行反思，培養學生形成良好的教學思維習慣。

3、通過同學之間的合作與交流，讓學生積累和總結經驗。【教學重點及難點】 重點

1、理解數學建模的基本思想，能從實際問題中抽象出二次函數的數學模型。

2、回顧并掌握二次函數最值的求法，在應用基本結論的同時掌握配方法。

3、利用二次函數的性質解決實際問題。難點

從實際情景中抽象出函數模型。【教學設想】

在實際生活有大量的可以表示為二次函數或利用二次函數知識可以解決的實際問題，教師應該充分考慮到教學內容本身的特點和學生的認知規律，從下列三個方面入手；

1、實際問題和通常習慣的數學問題不同，它的條件往往不是顯而易見的，教師需要引導學生分析哪些量是已知的，哪些量是未知的，可以進行怎樣的假設以及如何建立它們之間的關系等，并從實際問題中抽象出數學問題。

2、二次函數的圖象和性質，為本節的學習起著鋪墊作用，將已有知識綜合運用來解決實際問題，能夠讓學生更好地理解和認識二次函數。

3、鼓勵學生把所得到的結果推廣到一般化，或將問題進一步延伸與拓展，學會預測問題的變化趨勢。【教學設備】 多媒體課件 【教學過程】

一、復習舊知 二次函數的性質：

1.二次函數y=-3(x+4)2-1的對稱軸是，頂點 坐標是。當x= 時，函數有最 值，是。

2.二次函數y=2x2-8x+9的對稱軸是，頂點

坐標是.當x= 時，函數有最 值，是。利潤問題：

1.總價、單價、數量的關系 2.利潤、售價、進價的關系 3.總利潤、單件利潤、數量的關系

二、自主探究

問題1：已知某商品的進價為每件40元，售價是每件60元，每星期可賣出300件。市場調查反映：如果調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件。要想獲得6090元的利潤，該商品應定價為多少元？

變式：已知某商品的進價為每件40元。現在的售價是每件60元，每星期可賣出300件。市場調查反映：如調整價格，每漲價一元，每星期要少賣出10件；每降價一元，每星期可多賣出20件。如何定價才能使利潤最大？

學生閱讀題目后，教師提出問題，學生思考后，教師引導學生分析：本題中，商品價格上漲，銷量會之下降；商品價格下降，銷售會隨之增加。這兩種情況都會導致利潤變化，因此本題需考慮兩種情況，即需要分類討論。師生共同完成。

問題2：某商場銷售某種品牌的純牛奶,已知進價為每箱40元,生產廠家要求每箱售價在40元--70元之間.市場調查發現:若以每箱50元銷售,平均每天可售出90箱,價格每降低1元,平均每天多銷售3箱;價格每升高1元,平均每天少銷售3箱.（1)寫出售價x(元/箱)與每天所得利潤Y(元)之間的函數關系式;(2)每箱定價多少元時,才能使平均每天的利潤最大?最大利潤是多少? 教師引導學生整理分析，點名板演，師生共同點評。

問題3：某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結600個橙子.現準備多種一些橙子樹以提高產量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結5個橙子.增種多少棵橙子樹時,總產量最大? 教師引導學生整理分析，點名板演，師生共同點評。三：歸納小結：解這類題目的一般步驟

求出函數解析式，配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值。

第四篇：《實際問題與二次函數》教學設計

《實際問題與二次函數》教學設計

廣厚鄉中心學校 李曉秋

教學目標：

1．復習鞏固用待定系數法由已知圖象上三個點的坐標求二次函數的關系式。

2．使學生掌握已知拋物線的頂點坐標或對稱軸等條件求出函數的關系式。

重點難點：

根據不同條件選擇不同的方法求二次函數的關系式是教學的重點，也是難點。

教學過程：

一、復習鞏固

1．如何用待定系數法求已知三點坐標的二次函數關系式? 2．已知二次函數的圖象經過A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。(1)求二次函數的關系式，(2)畫出二次函數的圖象；(3)說出它的頂點坐標和對稱軸。

答案：(1)y＝x＋x＋1，(2)圖略，(3)對稱軸x＝－，頂點坐標為(－，)。

3．二次函數y＝ax＋bx＋c的對稱軸，頂點坐標各是什么? [對稱軸是直線x＝－，頂點坐標是(－，)]

二、范例

2例1．已知一個二次函數的圖象過點(0，1)，它的頂點坐標是(8，9)，求這個二次函數的關系式。

分析：二次函數y＝ax＋bx＋c通過配方可得y＝a(x＋h)＋k的形式稱為頂點式，(－h，k)為拋物線的頂點坐標，因為這個二次函數的圖象頂點坐標是(8，9)，因此，可以設函數關系式為：y＝a(x－8)＋9 由于二次函數的圖象過點(0，1)，將(0，1)代入所設函數關系式，即可求出a的值。

請同學們完成本例的解答。練習：P18練習1．(2)。

例2．已知拋物線對稱軸是直線x＝2，且經過(3，1)和(0，－5)兩點，求二次函數的關系式。

解法1：設所求二次函數的解析式是y＝ax＋bx＋c，因為二次函數的圖象過點(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函數的圖象過點(3，1)，且對稱軸是直線x＝2，可以得

解這個方程組，得：所以所求的二次函數的關系式為y＝－2x＋8x－5。

解法二；設所求二次函數的關系式為y＝a(x－2)＋k，由于二次函數的圖象經過(3，1)和(0，－5)兩點，可以得到解這個方程組，得：

所以，所求二次函數的關系式為y＝－2(x－2)＋3，即y＝－2x＋8x－5。

例3。已知拋物線的頂點是(2，－4)，它與y軸的一個交點的縱坐標為4，求函數的關系式。

解法1：設所求的函數關系式為y＝a(x＋h)＋k，依題意，得y＝a(x－2)－4 因為拋物線與y軸的一個交點的縱坐標為4，所以拋物線過點(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。所以，所求二次函數的關系式為y＝2(x－2)－4，即y＝2x－8x＋4。

解法2：設所求二次函數的關系式為y＝ax＋bx＋c?依題意，得解這個方程組，得：所以，所求二次函數關系式為y＝2x－8x＋4。

三、課堂練習

1.已知二次函數當x＝－3時，有最大值－1，且當x＝0時，y＝－3，求二次函數的關系式。

解法1：設所求二次函數關系式為y＝ax＋bx＋c，因為圖象過點(0，3)，所以c＝3，又由于二次函數當x＝－3時，有最大值－1，可以得到：解這個方程組，得：

所以，所求二次函數的關系式為y＝x＋x＋3。解法2：所求二次函數關系式為y＝a(x＋h)＋k，依題意，得y＝a(x＋3)－1 因為二次函數圖象過點(0，3)，所以有3＝a(0＋3)－1解得a＝

所以，所求二次函數的關系為y＝44/9(x＋3)－1，即y＝x＋x＋3．

小結：讓學生討論、交流、歸納得到：已知二次函數的最大值或最小值，就是已知該函數頂點坐標，應用頂點式求

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解方便，用一般式求解計算量較大。

2．已知二次函數y＝x＋px＋q的圖象的頂點坐標是(5，－2)，求二次函數關系式。

簡解：依題意，得解得：p＝－10,q＝23 所以，所求二次函數的關系式是y＝x－10x＋23。

四、小結

1，求二次函數的關系式，常見的有幾種類型? [兩種類型：(1)一般式：y＝ax＋bx＋c(2)頂點式：y＝a(x＋h)＋k，其頂點是(－h，k)] 2．如何確定二次函數的關系式? 讓學生回顧、思考、交流，得出：關鍵是確定上述兩個式子中的待定系數，通常需要三個已知條件。在具體解題時，應根據具體的已知條件，靈活選用合適的形式，運用待定系數法求解。

五、作業：

1.已知拋物線的頂點坐標為(－1，－3)，與y軸交點為(0，－5)，求二次函數的關系式。

2．函數y＝x＋px＋q的最小值是4，且當x＝2時，y＝5，求p和q。

3．若拋物線y＝－x＋bx＋c的最高點為(－1，－3)，求b和c。

4．已知二次函數y＝ax＋bx＋c的圖象經過A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函數的關系式是______。如果y隨x的增大而減少，那么自變量x的變化范圍是______。

5．已知二次函數y＝ax＋bx＋c的圖象過A(0，－5)，B(5，0)兩點，它的對稱軸為直線x＝2，求這個二次函數的關系式。

6．如圖是拋物線拱橋，已知水位在AB位置時，水面寬4米，水位上升3米就達到警戒線CD，這時水面寬4米，若2洪水到來時，水位以每小時線后幾小時淹到拱橋頂?

米速度上升，求水過警戒

0.25

第五篇：22.3實際問題與二次函數教案

22.3實際問題與二次函數

一、教學內容

用二次函數解決實際問題

二、教材分析

二次函數的應用本身是學習二次函數的圖象與性質后，檢驗學生應用所學知識解決實際問題能力的一個綜合考查。新課標中要求學生能通過對實際問題的情境的分析確定二次函數的表達式，體會其意義，能根據圖象的性質解決簡單的實際問題。而最值問題又是生活中利用二次函數知識解決最常見、最有實際應用價值的問題之一，它生活背景豐富，學生比較感興趣，面積問題與最大利潤學生易于理解和接受，故而在這兒作專題講座。目的在于讓學生通過掌握求面積、利潤最大這一類題，學會用建模的思想去解決其它和函數有關應用問題，此部分內容既是學習一次函數及其應用后的鞏固與延伸，又為高中乃至以后學習更多函數打下堅實的理論和思想方法基礎。例題和一部分習題，無論是例題還是習題都沒有歸類，不利于學生系統地掌握解決問題的方法，我設計時把它分為面積、利潤最大、運動中的二次函數、綜合應用三課時，本節是第一課時。

三、學情分析

對九年級學生來說，在學習了一次函數和二次函數圖象與性質以后，對函數的思想已有初步認識，對分析問題的方法已會初步模仿，能識別圖象的增減性和最值，但在變量超過兩個的實際問題中，還不能熟練地應用知識解決問題，本節課正是為了彌補這一不足而設計的，目的是進一步培養學生利用所學知識構建數學模型，解決實際問題的能力，這也符合新課標中知識與技能呈螺旋式上升的規律。

四、教學目標

1、知識與技能：

能夠分析和表示實際問題中變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識求出實際問題的最大（小）值，發展解決問題的能力。

2、過程與方法：

應用已有的知識，經過自主探索和合作交流嘗試解決問題。

3、情感態度與價值觀：

在經歷和體驗數學發現的過程中，提高思維品質，在勇于創新的過程中樹立人生的自信心。

五、教學重難點

重點：探究利用二次函數的最大值（或最小值）解決實際問題的方法．

難點：如何將實際問題轉化為二次函數的問題．

六、教學方法和手段

講授法、練習法

七、學法指導

講授指導

八、教學過程

（一）復習舊知

導入新課

1．寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標。(1)y＝6x2＋12x；

(2)y＝－4x2＋8x－10 以上兩個函數，哪個函數有最大值，哪個函數有最小值?說出兩個函數的最大值、最小值分別是多少?

有了前面所學的知識，現在就可以應用二次函數的知識去解決生活中的實際問題。

（二）學習新知

1、應用二次函數的性質解決生活中的實際問題

出示例

1、要用總長為60m的籬笆圍成一個矩形的場地，矩形面積S隨矩形一邊長L的變化而變化，當L是多少時，圍成的矩形面積S最大? 解：設矩形的一邊為Lm，則矩形的另一邊為(30－L)m，由于L＞0，且30－L＞O，所以O＜L＜30。

圍成的矩形面積S與L的函數關系式是

S＝L(30－L)

即S＝－L2＋30L(有學生自己完成，老師點評)

2、引導學生自學P23頁例2

質疑 點評

3、練一練：（1）、某商店將每件進價8元的某種商品按每件10元出售，一天可銷出約100件，該店想通過降低售價,增加銷售量的辦法來提高利潤，經過市場調查，發現這種商品單價每降低0.1元，其銷售量可增加約10件。將這種商品的售價降低多少時，能使銷售利潤最大? 請同學們完成解答；

教師巡視、指導；

師生共同完成解答過程：

解：設每件商品降價x元(0≤x≤2)，該商品每天的利潤為y元。商品每天的利潤y與x的函數關系式是：

y＝(10－x－8)(100＋1OOx)即y＝－1OOx2＋1OOx＋200

配方得y＝－100(x－12)2＋225 因為x＝12時，滿足0≤x≤2。

所以當x＝12時，函數取得最大值，最大值y＝225。

所以將這種商品的售價降低0.5元時，能使銷售利潤最大。

九、課堂小結

小結：讓學生回顧解題過程，討論、交流，歸納解題步驟：(1)先分析問題中的數量關系，列出函數關系式；

(2)研究自變量的取值范圍；

(3)研究所得的函數；

(4)檢驗x的取值是否在自變量的取值范圍內，并求相關的值：

(5)解決提出的實際問題。

十、作業布置

P51第2題

十一、板書設計

22.3實際問題與二次函數

十二、教學反思