第一篇：【華東師大版】九年級數學上冊教案23.2相似圖形

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相似圖形

教學目標：

1.理解相似形的概念，了解相似形是兩個圖形之間的關系.由于需要的不同，要制定出大小不一定相同的圖形，培養學生的觀察能力.2.理解并掌握相似圖形的性質：對應邊成比例，對應角相等.3.知道判別兩個多邊形相似的方法.教學重點：

相似圖形的性質：對應邊成比例，對應角相等.教學難點：

1、如何判別兩個多邊形相似

2、借助相似圖形的性質進行有關的計算 導學過程：

一、導入新課

掛上大小不一樣的中國地圖兩張及兩張大小不同的花朵圖片，供同學觀察，并看課本第57

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頁的圖，提出問題：這幾組圖片有什么相同的地方呢? 這些圖片大小雖然不一樣，但形狀是相同的.兩個相似的平面圖形之間有什么關系呢？為什么有些圖形是相似的，而有些不是呢？相似圖形有什么主要性質呢？【點題】

二、講解新課

由于不同的需要，我們用同一底片沖洗、放大得到的相片有1寸的，也有2寸的，也有更大的，這些大小不一樣的相片，其形狀是相同的.同學們想一想，在畢業證書貼的相片與學籍卡片上的相片、學習證的相片大小不一定一樣，但形狀相同，如果不相同會有什么后果呢? 大小不相同的中國地圖或世界地圖，其形狀也是相同的，只是由于需要的不同，印制成大小不一的圖片.對于某一地區，也經常會繪制成各種大小不同的建筑物、山崗等所處的位置都是相同，同學們想一想，如果兩張地圖(同一地區)的形狀不一樣，那就會給我們許多錯覺，就會產生許多麻煩的事情.在日常生活中我們會看到許多這樣形狀相同，而大小不一定相同的圖形.在數學上，我們把具有相同形狀的圖形稱為相似形.同學們你還能說出哪些相似的圖形嗎?(同學們思考、討論、交換意見)國旗、國旗上的五角星.畫一個圖形放在投影機上映射到屏幕上的圖形與原圖、平面鏡上看到你自己的像等.如圖所示的是一些相似的圖形.想一想：放大鏡下的圖形和原來的圖形相似嗎?

你看過哈哈鏡嗎?哈哈鏡中的形像與你本人相似嗎? 還有一些圖形，看起來有點相像，但它們不是相似的圖形.為什么有一部分圖形看起來相像，但不相似呢?這就是數學上說的相似圖形還有其特征，就是這節要探索的內容.三、做一做

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AA'CBC'B'

1.我們先從這兩張相似的地圖上研究.在地圖上找出北京、上海、福州的位置.如果我們用A、B、C分別表示大地圖上的北京、上海、福州的位置，用A′、B′、C′、分別表示小地圖上的北京、上海、福州的位置.請用刻度尺在大地圖上量一量北京到上海的直線距離，即線段AB＝＿＿cm，上海到福州的直線距離，即線段BC＝＿＿cm，在小地圖上也量一量A′B′＝＿＿cm，B′C′＝＿＿cm.思考：線段AB、A′B′、BC、B′C′之間什么關系呢? 結論：線段AB、A′B′、BC、B′C′是成比例線段，即 ＝.實際上，上面兩張相似的地圖中的對應線段都是成比例的．這樣的結論對一般的相似多邊形是否成立呢？

2.動動手，下圖中兩個四邊形是相似形，仔細算一算它們的邊長，量一量它們的對應角，看看它們的對應邊之間是否有以上的關系呢？對應角之間呢？

ADA'D'B CB'C'

3.再看看下圖中的兩個相似的五邊形，是否也具有同樣的結果呢?

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AEA'BDB'C'C

E'D'結論： 經過觀察、計算、度量、比較，我們得出對應邊，對應角，【兩個相似多邊形的性質：對應邊成比例，對應角相等】

實際上這兩個特征，也是我們識別兩個多邊形是否相似的方法.即如果兩個多邊形的對應邊都成比例，對應角都分別相等，那么這兩個多邊形相似.識別兩個多邊形是否相似的標準有：(邊數相同)，對應邊要(成比例)，對應角要(都相等).四、練一練：

例 如圖所示的相似四邊形中，求未知邊x的長度和角度α的大?。?/p>

1877°x82°12α117°77°18

分析

利用相似多邊形的性質和多邊形的內角和公式就可以得到所需結果，但利用相似多邊形的性質時，必須分清對應邊和對應角．

解：∵兩個四邊形相似，∴18x?，1218∴x＝27．

∴α＝360°－（77°＋82°＋117°）＝84°．

五、想一想：

1.兩個三角形一定是相似形嗎?兩個等腰三角形呢?兩個等邊三角形呢?兩個等腰直角三角形呢?-2.所有的菱形都相似嗎?所有矩形呢?正方形呢? 【提示：實際上，兩個相似多邊形的性質： 對應邊成比例，對應角相等．也是我們判定兩個多邊形是否相似的方法，即如果_________________，那么這兩個多邊形相似．】

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六、談一談:

談出你的感悟與困惑.七、比一比

1.矩形ABCD與矩形A′B′C′D′中，AB＝1.5cm，BC＝4.5cm，A′B′＝0.8cm，B′C′＝2.4cm，這兩個矩形相似嗎?為什么? 2.矩形ABCD與矩形A′B′C′D′中，已知AB＝16cm，AD＝10cm，A′D′＝6cm，矩形A′B′ C′D′的面積為57cm，這兩個矩形相似嗎?為什么?

3.如圖，四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′是相似的，且C′D′⊥B′C′，根據圖中的條件，求出未知的邊x，y及角?.八、小結

形狀相同而大小不一定相同的圖形稱為相似形，相似形在日常生活中經常碰到.九、自我反思

備用資料：

1.在比例尺為1:400000地圖上，量得甲、乙兩地的距離為15厘米，求甲、乙兩地的實際距離.2

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第二篇：九年級數學知識點歸納：相似圖形

九年級數學知識點歸納：相似圖形

常見考法

（1）判斷某兩個圖形是不是相似；

（2）判斷一組數據是不是成比例線段；

（3）已知圖上距離和比例尺大小求實際距離；

（4）利用比例的性質求值。

誤區提醒

（1）在判斷四條線段是否成比例問題時忽略單位統一；（2）在用圖上距離求實際距離時忽略了單位換算問題。

【典型例題】（XX江蘇淮安）在比例尺為1：200的地圖上，測得A，B兩地間的圖上距離為4，則A，B兩地間的實際距離為．

【解析】4×200=9000=9

相似三角形

一、平行線分線段成比例定理及其推論：

定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

2推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的對應線段成比例。

3推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應線段成比例，那么這條線段平行于三角形的第三邊。

二、相似預備定理：

平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例。

三、相似三角形：

定義：對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三角形。

2性質：（1）相似三角形的對應角相等；

（2）相似三角形的對應線段成比例；

（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。

說明：①等高三角形的面積比等于底之比，等底三角形的面積比等于高之比；②要注意兩個圖形元素的對應。

3判定定理：

（1）兩角對應相等，兩三角形相似；

（2）兩邊對應成比例，且夾角相等，兩三角形相似；

（3）三邊對應成比例，兩三角形相似；

（4）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。四、三角形相似的證題思路：

五、利用相似三角形證明線段成比例的一般步驟：

一“定”：先確定四條線段在哪兩個可能相似的三角形中；

二“找”：再找出兩個三角形相似所需的條；

三“證”：根據分析，寫出證明過程。

如果這兩個三角形不相似，只能采用其他方法，如找中間比或引平行線等。

六、相似與全等：

全等三角形是相似比為1的相似三角形，即全等三角形是相似三角形的特例，它們之間的區別與聯系：

共同點它們的對應角相等，不同點是邊長的大小，全等三角形的對應邊相等，而相似三角形的對應的邊成比例。

2判定方法不同，相似三角形只求形狀相同的，大小不一定相等，所以改“對應邊相等”成“對應邊成比例”。

常見考法

（1）利用判定定理證明三角形相似；（2）利用三角形相似解決圓、函數的有關問題。

誤區提醒

（1）根據相似三角形找對應邊時，出現失誤找錯對應邊，因此在寫比例式時出錯，導致解題錯誤信息；（2）在定理的實際應用中，常常忽視“夾角相等”這個重條，錯誤認為有兩邊對應比相等，再有一組角相等，就能得到兩個三角形相似。

第三篇：九年級數學圖形的相似

實中數理化教案

圖形的相似

一、教學目標

1． 理解并掌握兩個圖形相似的概念． 2． 了解成比例線段的概念，會確定線段的比．

二、重點、難點

1． 重點：相似圖形的概念與成比例線段的概念． 2． 難點：成比例線段概念． 3． 難點的突破方法

（1）對于相似圖形的概念，可用大量的實例引入，但要注意教材中“把形狀相同的圖形說成是相似圖形”，只是對相似圖形概念的一個描述，不是定義；還要強調：①相似形一定要形狀相同，與它的位置、顏色、大小無關（其大小可能一樣，也有可能不一樣，當形狀與大小都一樣時，兩個圖形就是全等形，所以全等形是一種特殊的相似形）；②相似形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形的情況，如飛機和飛機模型也是相似形；③兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作有另一個圖形放大或縮小得到的，而把一個圖形的部分拉長或加寬得到的圖形和原圖形不是相似圖形．（2）對于成比例線段：

①我們是在學生小學學過數的比，及比例的基本性質等知識的基礎上來學習成比例線段的；②兩條線段的比與所采用的長度單位沒有關系，在計算時要注意統一單位；③線段的比是一個沒有單位的正數；④四條線段a,b,c,d成比例，記作 或a:b=c:d；⑤若四條線段滿足，則有ad=bc（為利于今后的學習，可適當補充：反之，若四條線段滿足ad=bc，則有，或其它七種表達形式）．

三、課堂引入

1．（1）請同學們看黑板正上方的五星紅旗，五星紅旗上的大五角星與小五角星他們的形狀、大小有什么關系？再如下圖的兩個畫面，他們的形狀、大小有什么關系．（還可以再舉幾個例子）（2）教材P36引入．

（3）相似圖形概念：把形狀相同的圖形說成是相似圖形．（強調：見前面）（4）讓學生再舉幾個相似圖形的例子．（5）講解例1．

2．問題：如果把老師手中的教鞭與鉛筆，分別看成是兩條線段AB和CD，那么這兩條線段的長度比是多少？ 歸納：兩條線段的比，就是兩條線段長度的比．

3．成比例線段：對于四條線段a,b,c,d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．

教師：劉夢雅

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咨詢熱線：***

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實中數理化教案

【注意】（1）兩條線段的比與所采用的長度單位沒有關系，在計算時要注意統一單位；（2）線段的比是一個沒有單位的正數；（3）四條線段a,b,c,d成比例，記作 或a:b=c:d；（4）若四條線段滿足，則有ad=bc．

四、例題講解

例2（補充）一張桌面的長a=1.25m，寬b=0.75m，那么長與寬的比是多少？（1）如果a=125cm，b=75cm，那么長與寬的比是多少？（2）如果a=1250mm，b=750mm，那么長與寬的比是多少？ 解：略．（）

小結：上面分別采用m、cm、mm三種不同的長度單位，求得的 的值是相等的，所以說，兩條線段的比與所采用的長度單位無關，但求比時兩條線段的長度單位必須一致．

例3（補充）已知：一張地圖的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的圖上距離大約為3.5cm，求北京到上海的實際距離大約是多少km？

分析：根據比例尺=，可求出北京到上海的實際距離． 解： 略

答：北京到上海的實際距離大約是1120 km．

五、課堂練習

1．下列說法正確的是（）

A．小明上幼兒園時的照片和初中畢業時的照片相似.B．商店新買來的一副三角板是相似的.C．所有的課本都是相似的.D．國旗的五角星都是相似的.2．如圖，請測量出右圖中兩個形似的長方形的長和寬，（1）（?。╅L是_______cm，寬是_______cm；（大）長是_______cm，寬是_______cm；（2）（?。?；（大）．（3）你由上述的計算，能得到什么結論嗎？（答：相似的長方形的寬與長之比相等）

3．在比例尺是1:8000000的“中國政區”地圖上，量得福州與上海之間的距離時7.5cm，那么福州與上海之間的實際距離是多少？

4．AB兩地的實際距離為2500m，在一張平面圖上的距離是5cm，那么這張平面地圖的比例尺是多少？

教師：劉夢雅

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第四篇：2017-2018學年華東師大版數學九年級上冊3A23.3 相似三角形

23.3相似三角形

1.相似三角形

【知識與技能】

1.知道相似三角形的概念；

2.能夠熟練地找出相似三角形的對應邊和對應角；

3.會根據概念判斷兩個三角形相似，能說出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的邊長；

4.掌握利用“平行于三角形一邊的直線，和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交所構成的三角形與原三角形相似”來判斷兩個三角形相似.【過程與方法】

在探索活動中，發展發現問題、解決問題的意識和合作交流的習慣.【情感態度】

培養學生嚴謹的數學思維習慣.【教學重點】

掌握相似三角形的定義、表示法，并能根據定義判斷兩個三角形是否相似.【教學難點】

熟練找出對應元素，在此基礎上根據定義求線段長或角的度數.一、情境導入，初步認識

復習：什么是相似形？識別兩個多邊形是否相似的標準是什么？

二、思考探究，獲取新知 1.相似三角形的有關概念：

由復習中引入，如果兩個多邊形的對應邊成比例，對應角都相等，那么這兩個多邊形相似.三角形是最簡單的多邊形.由此可以說什么樣的兩個三角形相似？

如果兩個三角形的三條邊都成比例，三個角對應相等，那么這兩個三角形相似，如在△ABC與△A′B′C′中，∠A=A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′，ABBCAC??，那么△ABCA?B?B?C?A?C?與△A′B′C′相似，記作△ABC∽△A′B′C′.“∽”是表示相似的符號，讀作“相似于”，這樣兩個三角形相似就讀作“△ABC相似于△A′B′C′”.由于∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′，所以A與A′是對應頂點，B與B′是對應頂點，C與C′是對應頂點，書寫相似時，通常把對應頂點寫在對應位置上，以便比較容易找到相似三角形中的對應角、對應邊.如果記

ABBCAC??=k，那么這個比值k就表示這兩A?B?B?C?A?C?個相似三角形的相似比.相似比就是它們的對應邊的比，它有順序關系.如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比為k，即指

ABAB=k，那么△A′B′C′與△ABC的相似比應是，就不A?B?A?B?ABBCAC??=1，所A?B?B?C?A?C?是k了，應為多少呢？同學們想一想.如果△ABC∽△A′B′C′,相似比k=1，你會發現什么呢？以可得AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′，因此這兩個三角形不僅形狀相同，而且大小也相同，這樣的三角形稱之為全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例.試問：①全等的兩個三角形一定相似嗎？②相似的兩個三角形會全等嗎？

2.△ABC中，D是AB上任意一點，過D作DE∥BC,交AC邊于E，那么△ADE與△ABC是否相似？

【分析】判斷它們是否相似，由①對應角是否相等，②對應邊是否成比例去考慮.能否得對應角相等？根據平行線性質與一個公共角可以推出①，而對應邊是否成比例呢？可根據平行線分線段成比例的基本事實，推得判斷出△ADE與△ABC相似.AEDEDEAD??，通過度量發現，所以可以ACBCBCAB

思考（1）你能否通過演繹推理證明你的猜想？

（2）若是DE∥BC,DE與BA、CA延長線交于E、D，那么△ADE與△ABC還會相似嗎？試試看，如果相似寫出它們對應邊的比例式.【歸納結論】平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交所構成的三角形與原三角形相似.例1 如圖，在△ABC中，點D是邊AB的三等分點，DE∥BC，DE=5，求BC的長.解：∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=13，∴BC=3DE=15.三、運用新知，深化理解 1.如圖所示，DE∥BC.（1）如果AD=2,DB=3，求DE∶BC的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的長.2.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC,點E是邊AD的中點，連接BE交AC于點F，BE的延長線交CD的延長線于點G.（1）求證：GEAE?;GBBC（2）若GE=2,BF=3，求線段EF的長.【答案】1.（1）DE∶BC=2∶5（2）AE=6,BC=35.2GEED?.又∵ED=AE, GBBC2.（1）證明：∵AD∥BC，∴△GED∽△GBC，∴∴GEAE?.GBBCGEAE?, GBBC（2）設EF的長為x,則由（1）知又∵AEGEGEEF??,∴,即 BCGBGBBF2x?,解得x1=-6（舍去）,x2=1, 2?x?33∴EF=1.【教學說明】第2題教師適當點撥，小組討論后獨立完成.四、師生互動，課堂小結

你這節課學到了哪些知識？還有哪些疑問？

五、教學反思

本節課通過復習相似多邊形的性質與判定引入三角形相似的概念，表示方法及判定方法，通過思考探究、動手測量、猜想、演繹證明推導出相似三角形的判定的預備定理，即平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交所構成的三角形與原三角形相似，并通過例題練習運用新知，深化理解.2.相似三角形的判定

【知識與技能】

1.掌握相似三角形的判定定理2：有兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似； 2.掌握相似三角形的判定定理

3：三條邊對應成比例的兩個三角形相似.3.能依據條件，靈活應用相似三角形的判定定理，正確判斷兩個三角形相似.【過程與方法】

在推理過程中學會靈活使用數學方法.【情感態度】

培養學生嚴謹的數學證明習慣和對數學的興趣.【教學重點】

相似三角形的判定定理2、3的推導過程，掌握相似三角形的判定定理2、3并能靈活應用.【教學難點】

相似三角形的判定定理的推導及應用.一、情境導入，初步認識

復習：1.現在要判斷兩個三角形相似有哪幾種方法？有兩種方法：(1)根據定義；（2）有兩個角對應相等的兩個三角形相似.2.如圖△ABC中，D、E是AB、AC上三等分點（即AD=ABC相似嗎？你用的是哪一種方法？

11AB,AE=AC)，那么△ADE與△33

由于沒有兩個角對應相等，同學們可以動手量一量，量什么后可以判斷它們是否相似？ 【教學說明】可能有一部分同學用量角器量角，有一部分同學量線段，看看能否成比例，無論哪一種，都應肯定他們是正確的，要求同學說出是應用哪一種方法判斷出的.二、思考探究，獲取新知

同學們通過量角或量線段計算之后，得出：△ADE∽△ABC.從已知條件看，△ADE與△ABC有一對對應角相等，即∠A=∠A(是公共角），而一個條件是AD=

11AB,AE=AC,即是33AD1AE1ADAE?,?，因此?.△ADE的兩條邊AD、AE與△ABC的兩條邊AB、AC會AB3AC3ABAC對應成比例，它們的夾角又相等，符合這樣條件的兩個三角形也會相似嗎？我們再做一次實驗.觀察教材圖23.3.10，如果有一點E在邊AC上，那么點E應該在什么位置才能使△ADE與△ABC相似呢？

1，將點E由點A開始在AC上31ADAE?移動，可以發現當AE=AC時，△ADE與△ABC相似，此時.3ABAC圖中兩個三角形的一組對應邊AD與AB的長度的比值為猜想：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似.你能否用演繹推理的方法證明你的猜想？ 【教學說明】引導學生證明上述猜想.【歸納結論】 相似三角形的判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.強調對應相等的角必須是成比例的邊的夾角，如果不是夾角，它們不一定會相似.你能畫出有兩邊對應成比例，有一個角相等，但它們不相似的兩個三角形嗎？（畫頂角與底角相等的兩個等腰三角形）∠B=∠B′,ABAC?.A?B?A?C?例1（課本中例4）判斷圖中△AEB與△FEC是否相似.例2 如圖△ABC中，D、E是AB、AC上的點，AB=7.8，AD=3，AC=6，CE=2.1，試判斷△ADE與△ABC是否會相似，小張同學的判斷理由是這樣的:

解：因為AC=AE+CE，而AC=6，CE=2.1，故AE=6-2.1=3.9.由于與△ABC不相似.你同意小張同學的判斷嗎？請你說說理由.解：小張同學的判斷是錯誤的.ADAE?，所以△ADEABAC

因為AD3AE3.91ADAE?,??,所以?，而∠A是公共角，∠A=∠A,所以△ADEAC6AB7.82ACAB∽△ACB.請同學再做一次實驗，看看如果兩個三角形的三邊都成比例，那么這兩個三角形是否相似？

看課本69頁“做一做”.通過實驗得出：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似.簡單地說就是，三邊成比例的兩個三角形相似.例3 △ABC和△A′B′C′中，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,A′B′=18cm,B′C′=24cm,A′C′=30cm，試判定它們是否相似，并說明理由.三、運用新知，深化理解

1.如圖，△ADE與△ABC相似嗎？請說明理由.2.如圖，已知ABBCAC??,∠BAD=20°，求∠CAE的大小.ADDEAE

【教學說明】引導學生自主完成，學生代表在黑板上展示，教師點評.四、師生互動，課堂小結

1.相似三角形的判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.2.相似三角形的判定定理3：三邊成比例的兩個三角形相似.3.根據題目的具體情況，選擇適當的方法證明三角形相似.五、教學反思

本節課通過復習上節課學習的相似三角形的判定定理入手，提出新問題引入新課，再通過學生動手測量、猜想結論并證明等活動中的體驗，完成對相似三角形的判定定理2、3的認識，加深對判定定理的理解.教學過程中，強調學生自主探究和合作交流，經歷觀察、實驗、猜想、證明等思維過程，從中獲得知識與技能，培養學生的綜合能力.3.相似三角形的性質

【知識與技能】

會說出相似三角形的性質：對應角相等，對應邊成比例，對應中線、角平分線、高的比等于相似比，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.【過程與方法】

培養學生演繹推理的能力.【情感態度】

感受數學來源于生活，來源于實踐.【教學重點】

1.相似三角形中的對應線段比值的推導；

2.相似多邊形的周長比、面積比與相似比關系的推導； 3.運用相似三角形的性質解決實際問題.【教學難點】

相似三角形性質的靈活運用，相似三角形周長比、面積比與相似比關系的推導及運用.一、情境導入，初步認識

復習：1.判定兩個三角形相似的簡便方法有哪些？

2.在△ABC與△A′B′C′中，AB=10cm,AC=6cm,BC=8cm,A′B′=5cm,A′C′=3cm,B′C′=4cm，這兩個三角形相似嗎？說明理由.如果相似，它們的相似比是多少?

二、思考探究，獲取新知

上述兩個三角形是相似的，它們對應邊的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′,相似比為AC=2.A?C?相似的兩個三角形，它們的對應角相等，對應邊會成比例，除此之外，還會得出什么結果呢？

一個三角形內有三條主要線段——高線、中線、角平分線，如果兩個三角形相似，那么這些對應的線段有什么關系呢？我們先探索一下它們的對應高之間的關系.同學畫出上述的兩個三角形，作對應邊BC和B′C′邊上的高，用刻度尺量一量AD與A′D′的長，AD等于多少呢？與它們的相似比相等嗎？得出結論：相似三角形對應高的比??AD

等于相似比.我們能否用說理的方法來說明這個結論呢？

△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，且∠B=∠B′.∴△ABD∽△A′B′D′,∴

ADAB?=k A?D?A?B?思考：相似三角形面積的比與相似比有什么關系? 【教學說明】引導學生通過演繹推理來證明.歸納：相似三角形面積的比等于相似比的平方.同學們用上面類似的方法得出：相似三角形對應邊上的中線的比等于相似比；相似三角形對應角平分線的比等于相似比；相似三角形的周長之比等于相似比.例1 S△AOD.如梯形ABCD的對角線交于點O，DC2?,已知S△DOC=4，求S△AOB、AB3

【分析】∵DC∥AB,∴△DOC∽△BOA，由相似三角形的性質可求出S△AOB、S△AOD.解：∵DC∥AB，∴△DOC∽△BOA，三、運用新知，深化理解

1.如圖，這是圓桌正上方的燈泡（看作一個點）發出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圖形）的示意圖.已知桌面的直徑為1.2m，桌面距離地面為1m，若燈泡距離地面3m，則地面上陰影部分的面積為.【教學說明】運用相似三角形對應高的比等于相似比是解決本題的關鍵.2.如圖,△ABC中，BC=24cm，高AD=12cm，矩形EFGH的兩個頂點E、F在BC上，另兩個頂點G、H分別在AC、AB上，且EF∶EH=4∶3，求EF、EH的長.【答案】1.0.81πm 2.HG=9.6cm;EH=7.2cm 【教學說明】充分運用矩形邊長的比來建立方程，可使問題得到解決.四、師生互動，課堂小結

1.相似三角形對應角相等，對應邊成比例.2.相似三角形對應中線、角平分線、高的比等于相似比，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.五、教學反思

本課時從復習已經學習過的相似三角形的性質入手，提出問題繼續探究相似三角形的有關性質，通過動手測量，猜想出結論，并加以證明，加深對知識的理解，提高學生分析、歸納、表達、邏輯推理等能力，并通過對知識方法的總結，培養反思問題的習慣，形成理性思維.24.相似三角形的應用

【知識與技能】

會應用相似三角形的有關性質，測量簡單的物體的高度或寬度.自己設計方案測量高度,體會相似三角形在解決實際問題中的廣泛應用.【過程與方法】

通過利用相似解決實際問題，進一步提高學習應用數學知識的能力.【情感態度】

讓學生體會數學來源于生活，應用于生活，體驗數學的功用.【教學重點】

構建相似三角形解決實際問題.【教學難點】

把實際問題抽象為數學問題，利用相似三角形來解決.一、情境導入，初步認識 復習

1.相似三角形有哪些性質？

2.如圖，B、C、E、F是在同一直線上，AB⊥BF,DE⊥BF,AC∥DF.（1）△DEF與△ABC相似嗎？為什么？

（2）若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？（（1）△DEF∽△ABC.（2）AB=5）

二、思考探究，獲取新知

第二題我們根據兩個三角形相似，對應邊成比例，列出比例式計算出AB的長.人們從很早開始，就懂得應用這種方法來計算那些不能直接測量的物體的高度或寬度.例1 古代的數學家想出了一種測量金字塔高度的方法：為了測量金字塔的高度OB，先豎一根已知長度的木棒O′B′，比較木棒的影長A′B′與金字塔的影長AB，即可近似算出

金字塔的高度OB，如果O′B′=1米,A′B′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.【分析】因為太陽光是互相平行的，易得△A′O′B′∽△AOB，從而求得OB的長度.解：∵太陽光是平行光線即O′A′∥OA, ∴∠OAB=∠O′A′B′.又∵∠ABO=∠A′B′O′=90°, ∴△OAB∽△O′A′B′.答：金字塔的高度OB為137米.例2 如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一這一邊上選定點B和C，使AB⊥BC，然后選定點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D，此時如果測得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求兩岸間的大致距離AB.解：∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD∽△ECD（兩角分別相等的兩個三角形相似），∴ABEC=BDCD,解得AB=

BD?EC120?50?=100（米）.CD60答：兩岸間的大致距離為100米.這些例題向我們提供了一些利用相似三角形進行測量的方法.例3 如圖，已知D、E是△ABC的邊AB、AC上的點，且∠ADE=∠C.求證：AD·AB=AE·AC.【分析】把等積式化為比例式證明.ADAC?,猜想△ADE與△ABC相似，從而找條件加以AEAB

證明：∵∠ADE=∠C,∠A=∠A, ∴△ADE∽△ACB（兩角分別相等的兩個三角形相似）.∴ADAE?, ACAB∴AD·AB=AE·AC.三、運用新知，深化理解

1.如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，兩岸岸邊各有一排樹，每排樹相鄰兩棵的間隔都是10m，在這岸離開岸邊16m處看對岸，看到對岸的兩棵樹的樹干恰好被這岸兩棵樹的樹干遮住，這岸的兩棵樹之間有一棵樹，但對岸被遮住的兩棵樹之間有四棵樹，這段河的河寬是多少米？

【教學說明】先由實際問題建立相似的數學模型，可先證得△ABE∽△ACD,再根據對應線段成比例可求出河寬，即線段BC的長.2.亮亮和穎穎住在同一幢住宅樓，兩人用測量影子的方法測算其樓高，但恰逢陰天，于是兩人商定改用下面方法：如圖，亮亮蹲在地上，穎穎站在亮亮和樓之間，兩人適當調整自己的位置，當樓的頂部M，穎穎的頭頂B及亮亮的眼睛A恰好在一條直線上時，兩人分別標定自己的位置C、D，然后測出兩人之間的距離CD=1.25m，穎穎與樓之間的距離DN=30m（C、D、N在一條直線上），穎穎的身高BD=1.6m，亮亮蹲地觀測時眼睛到地面的距離AC=0.8m，你能根據以上測量數據幫助他們求出住宅樓的高度嗎？

【答案】1.24m 2.20.8m 【教學說明】過點A作MN的垂線段，構造相似三角形.四、師生互動，課堂小結

這節課你學習了哪些知識，有哪些收獲？還有哪些疑問？

【教學說明】學生小組討論，分小組陳述演示，教師歸納板書.五、教學反思

本節課以生活實例為情境，引導學生探究如何建立相似的數學模型，構造相似三角形，把實際問題轉化為數學問題（相似）來解決,進一步提高學生應用數學知識的能力.

第五篇：2015年秋九年級數學上冊 23.3.1 相似三角形教案 (新版)華東師大版

相似三角形

1.相似三角形

【知識與技能】

1.知道相似三角形的概念；

2.能夠熟練地找出相似三角形的對應邊和對應角；

3.會根據概念判斷兩個三角形相似，能說出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的邊長；

4.掌握利用“平行于三角形一邊的直線，和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交所構成的三角形與原三角形相似”來判斷兩個三角形相似.【過程與方法】

在探索活動中，發展發現問題、解決問題的意識和合作交流的習慣.【情感態度】

培養學生嚴謹的數學思維習慣.【教學重點】

掌握相似三角形的定義、表示法，并能根據定義判斷兩個三角形是否相似.【教學難點】

熟練找出對應元素，在此基礎上根據定義求線段長或角的度數.一、情境導入，初步認識

復習：什么是相似形？識別兩個多邊形是否相似的標準是什么？

二、思考探究，獲取新知 1.相似三角形的有關概念：

由復習中引入，如果兩個多邊形的對應邊成比例，對應角都相等，那么這兩個多邊形相似.三角形是最簡單的多邊形.由此可以說什么樣的兩個三角形相似？

如果兩個三角形的三條邊都成比例，三個角對應相等，那么這兩個三角形相似，如在△ABC與△A′B′C′中，∠A=A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′，ABBCAC??，那么△ABC??????ABBCAC1

與△A′B′C′相似，記作△ABC∽△A′B′C′.“∽”是表示相似的符號，讀作“相似于”，這樣兩個三角形相似就讀作“△ABC相似于△A′B′C′”.由于∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′，所以A與A′是對應頂點，B與B′是對應頂點，C與C′是對應頂點，書寫相似時，通常把對應頂點寫在對應位置上，以便比較容易找到相似三角形中的對應角、對應邊.如果記

ABBCAC??=k，那么這個比值k就表示這兩A?B?B?C?A?C?個相似三角形的相似比.相似比就是它們的對應邊的比，它有順序關系.如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比為k，即指

ABAB=k，那么△A′B′C′與△ABC的相似比應是，就不????ABABABBCAC??=1，所A?B?B?C?A?C?是k了，應為多少呢？同學們想一想.如果△ABC∽△A′B′C′,相似比k=1，你會發現什么呢？以可得AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′，因此這兩個三角形不僅形狀相同，而且大小也相同，這樣的三角形稱之為全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例.試問：①全等的兩個三角形一定相似嗎？②相似的兩個三角形會全等嗎？

2.△ABC中，D是AB上任意一點，過D作DE∥BC,交AC邊于E，那么△ADE與△ABC是否相似？

【分析】判斷它們是否相似，由①對應角是否相等，②對應邊是否成比例去考慮.能否得對應角相等？根據平行線性質與一個公共角可以推出①，而對應邊是否成比例呢？可根據平行線分線段成比例的基本事實，推得判斷出△ADE與△ABC相似.AEDEDEAD??，通過度量發現，所以可以ACBCBCAB

思考（1）你能否通過演繹推理證明你的猜想？

（2）若是DE∥BC,DE與BA、CA延長線交于E、D，那么△ADE與△ABC還會相似嗎？試試看，如果相似寫出它們對應邊的比例式.2

【歸納結論】平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交所構成的三角形與原三角形相似.例1 如圖，在△ABC中，點D是邊AB的三等分點，DE∥BC，DE=5，求BC的長.解：∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=13，∴BC=3DE=15.三、運用新知，深化理解 1.如圖所示，DE∥BC.（1）如果AD=2,DB=3，求DE∶BC的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的長.2.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC,點E是邊AD的中點，連接BE交AC于點F，BE的延長線交CD的延長線于點G.（1）求證：GEAE?;GBBC（2）若GE=2,BF=3，求線段EF的長.3

【答案】1.（1）DE∶BC=2∶5（2）AE=6,BC=35.2GEED?.又∵ED=AE, GBBC2.（1）證明：∵AD∥BC，∴△GED∽△GBC，∴∴GEAE?.GBBCGEAE?, GBBC（2）設EF的長為x,則由（1）知又∵AEGEGEEF??,∴,即 BCGBGBBF2x?,解得x1=-6（舍去）,x2=1, 2?x?33∴EF=1.【教學說明】第2題教師適當點撥，小組討論后獨立完成.四、師生互動，課堂小結

你這節課學到了哪些知識？還有哪些疑問？

1.布置作業：從教材相應練習和“習題23.3”中選取.2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業”部分.本節課通過復習相似多邊形的性質與判定引入三角形相似的概念，表示方法及判定方法，通過思考探究、動手測量、猜想、演繹證明推導出相似三角形的判定的預備定理，即平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交所構成的三角形與原三角形相似，并通過例題練習運用新知，深化理解.