第一篇：2教案 全等三角形 教師版

2.全等三角形

知識考點：

掌握用三角形全等的判定定理來解決有關的證明和計算問題，靈活運用三角形全等的三個判定定理來證明三角形全等。精典例題：

【例1】如圖，已知AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，AE＝AD，AB＝BC。求證：CE＝CD。分析：作AF⊥CD的延長線（證明略）

評注：尋求全等的條件，在證明兩條線段（或兩個角）相等時，若它們所在的兩個三角形不全等，就必須添加輔助線，構造全等三角形，常見輔助線有：①連結某兩個已知點；②過已知點作某已知直線的平行線；③延長某已知線段到某個點，或與已知直線相交；④作一角等于已知角。

AFDA34E1A12CEBBD2PCBEC例1圖

例2圖

問題一圖

【例2】如圖，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求證：AB＝AC＋CD。

分析：采用截長補短法，延長AC至 E，使AE＝AB，連結DE；也可在AB上截取AE＝AC，再證明EB＝CD（證明略）。探索與創(chuàng)新：

【問題一】閱讀下題：如圖，P是△ABC中BC邊上一點，E是AP上的一點，若EB＝EC，∠1＝∠2，求證：AP⊥BC。

證明：在△ABE和△ACE中，EB＝EC，AE＝AE，∠1＝∠2 ∴△ABE≌△ACE（第一步）

∴AB＝AC，∠3＝∠4（第二步）∴AP⊥BC（等腰三角形三線合一）

上面的證明過程是否正確？若正確，請寫出每一步的推理依據(jù)；若不正確，請指出關鍵錯在哪一步，并寫出你認為正確的證明過程。

略解：不正確，錯在第一步。

正確證法為：∵BE＝CE∴∠EBC＝∠ECB 又∵∠1＝∠2∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC∴△ABE≌△ACE（SAS）∴∠3＝∠4又∵AB＝AC∴AP⊥BC 評注：本題是以考查學生練習中常見錯誤為閱讀材料設計而成的閱讀性試題，其目的是考查學生閱讀理解能力，證明過程中邏輯推理的嚴密性。閱讀理解題是近幾年各地都有的新題型，應引起重視。

【問題二】眾所周知，只有兩邊和一角對應相等的兩個三角形不一定全等，你能想辦法安排和外理這三個條件，使這兩個三角形全等嗎？

請同學們參照下面的方案（1）導出方案（2）（3）（4）。

解：設有兩邊和一角對應相等的兩個三角形，方案（1）：若這個角的對邊恰好是這兩邊中的大邊，則這兩個三角形全等。方案（2）：若這個角是直角，則這兩個三角形全等。方案（3）：若此角為已知兩邊的夾角，則這兩個三角形全等。

評注：這是一道典型的開放性試題，答案不是唯一的。如方案（4）：若此角為鈍角，則這兩個三角形全等。（5）：若這兩個三角形都是銳解（鈍角）三角形，則這兩個三角形全等。能有效考查學生對三角形全等概念的掌握情況，這類題目要求學生依據(jù)問題提供的題設條件，尋找多種途徑解決問題。本題要求學生著眼于弱化題設條件，設計讓命題在一般情況不成立，而特殊情況下成立的思路。跟蹤訓練：

一、填空題：

1、若△ABC≌△EFG，且∠B＝60，∠FGE－∠E＝56，則∠A＝ 度。

2、如圖，AB∥EF∥DC，∠ABC＝90，AB＝DC，那么圖中有全等三角形 對。

3、如圖，在△ABC中，∠C＝90，BC＝40，AD是∠BAC的平分線交BC于D，且DC∶DB＝3∶5，則點D到AB的距離是。

AEDAA0

00

0

EHDCBFCCDBB第4題圖 第3題圖 第2題圖

4、如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點H，請你添加一個適當?shù)臈l件：，使△AEH≌△CEB。

5、如圖，把一張矩形紙片ABCD沿BD對折，使C點落在E處，BE與AD相交于點O，寫出一組相等的線段（不包括AB＝CD和AD＝BC）。

6、如圖，∠E＝∠F＝90，∠B＝∠C，AE＝AF。給出下列結論：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正確的結論是（填序號）。

二、選擇題：

1、如圖，AD⊥AB，EA⊥AC，AE＝AD，AB＝AC，則下列結論中正確的是（）A、△ADF≌△AEG B、△ABE≌△ACD C、△BMF≌△CNG D、△ADC≌△ABE 0EDAFMGEEAODCMD1ABC2FNBBC填空第5題圖

填空第6題圖 選擇第1題圖

0

02、如圖，AE＝AF，AB＝AC，EC與BF交于點O，∠A＝60，∠B＝25，則∠EOB的度數(shù)為（）A、60 B、70 C、75 D、85

3、如果兩個三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對應相等，那么這兩個三角形的第三邊所對的角（）A、相等 B、不相等 C、互余 D、互補或相等

EAFOCBAP0

0

0

0

BCD選擇第2題圖 選擇第4題圖

4、如圖，在△ABC中，AD是∠A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點，設PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，則(m?n)與(b?c)的大小關系是（）

A、m?n＞b?c B、m?n＜b?c

C、m?n＝b?c D、無法確定

三、解答題：

1、如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD。求證：△ABE和△BDC是等腰三角形。

D4E31AB2CFDBACE解答題第1題圖

解答題第2題圖

2、如圖，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，點F是CD的中點。（1）求證：AF⊥CD；

（2）在你連結BE后，還能得出什么新結論？請再寫出兩個。

3、（1）已知，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝100，求證：△ABC≌△DEF；（2）上問中，若將條件改為AB＝DE，BC＝EF，∠BAC＝∠EDF＝70，結論是否還成立，為什么？

4、如圖，已知∠MON的邊OM上有兩點A、B，邊ON上有兩點C、D，且AB＝CD，P為∠MON的平分線

0

0上一點。問：（1）△ABP與△PCD是否全等？請說明理由。

（2）△ABP與△PCD的面積是否相等？請說明理由。

BAPOCDNMCFAEBD解答題第4題圖 解答題第5題圖

5、如圖，已知CE⊥AB，DF⊥AB，點E、F分別為垂足，且AC∥BD。

（1）根據(jù)所給條件，指出△ACE和△BDF具有什么關系？請你對結論予以證明。（2）若△ACE和△BDF不全等，請你補充一個條件，使得兩個三角形全等，并給予證明。

參考答案

一、填空題：

1、32；

2、3；

3、15；

4、AH＝BC或EA＝EC或EH＝EB等；

5、DC＝DE或BC＝BE或OA＝OE等；

6、①②③

二、選擇題：BBDA

三、解答題：

1、略；

2、（1）略；（2）AF⊥BE，AF平分BE等；

3、（1）略；（2）不成立，舉一反例即能說明；

4、（1）不一定全等，因△ABP與△PCD中，只有AB＝CD，而其它角和邊都有可能不相等，故兩三角形不一定全等。（2）面積相等，因為OP為∠MON平分線上一點，故P到邊AB、CD上的距離相等，即△ABP中AB邊上的高與△PCD中CD邊上的高相等，又根據(jù)AB＝CD（即底邊也相等）從而△ABP與△PCD的面積相等。

5、（1）△ACE和△BDF的對應角相等；（2）略

第二篇：全等三角形教案

教學目標 ：

1、知識目標：

（1）熟記邊角邊公理的內(nèi)容；

（2）能應用邊角邊公理證明兩個三角形全等.2、能力目標：

(1)通過“邊角邊”公理的運用，提高學生的邏輯思維能力；

(2)通過觀察幾何圖形，培養(yǎng)學生的識圖能力.3、情感目標：

(1)通過幾何證明的教學，使學生養(yǎng)成尊重客觀事實和形成質(zhì)疑的習慣；

(2)通過自主學習的發(fā)展體驗獲取數(shù)學知識的感受，培養(yǎng)學生勇于創(chuàng)新，多方位審視問題的創(chuàng)造技巧.教學重點：學會運用公理證明兩個三角形全等.教學難點 ：在較復雜的圖形中，找出證明兩個三角形全等的條件.教學用具：直尺、微機

教學方法：自學輔導式

教學過程 ：

1、公理的發(fā)現(xiàn)

（1）畫圖：（投影顯示）

教師點撥，學生邊學邊畫圖.（2）實驗

讓學生把所畫的 剪下，放在原三角形上，發(fā)現(xiàn)什么情況？（兩個三角形重合）

這里一定要讓學生動手操作.（3）公理

啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)、總結邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊角邊”或“SAS”）

作用：是證明兩個三角形全等的依據(jù)之一.應用格式：

強調(diào)：

1、格式要求：先指出在哪兩個三角形中證全等；再按公理順序列出三個條件，并用括號把它們括在一起；寫出結論.2、在應用時，怎樣尋找已知條件：已知條件包含兩部分，一是已知中給出的，二時圖形中隱含的（如公共邊，公共角、對頂角、鄰補角、外角、平角等）所以找條件歸結成兩句話：已知中找，圖形中看.3、平面幾何中常要證明角相等和線段相等，其證明常用方法：

證角相等――對頂角相等；同角（或等角）的余角（或補角）相等；兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯角相等；角平分線定義；等式性質(zhì)；全等三角形的對應角相等地.證線段相等的方法――中點定義；全等三角形的對應邊相等；等式性質(zhì).2、公理的應用

（1）講解例1.學生分析完成，教師注重完成后的總結.分析：（設問程序）

“SAS”的三個條件是什么？

已知條件給出了幾個？

由圖形可以得到幾個條件？

解：（略）

（2）講解例2

投影例2：

例2如圖2，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，求證：

學生思考、分析，適當點撥，找學生代表口述證明思路

讓學生在練習本上定出證明，一名學生板書.教師強調(diào)

證明格式：用大括號寫出公理的三個條件，最后寫出

結論.（3）講解例3（投影）

證明：（略）

學生分析思路，寫出證明過程.（投影展示學生的作業(yè)，教師點評）

（4）講解例4（投影）

證明：（略）

學生口述過程.投影展示證明過程.教師強調(diào)證明線段相等的幾種常見方法.（5）講解例5（投影）

證明：（略）

學生思考、分析、討論，教師巡視，適當參與討論.師生共同討論后，讓學生口述證明思路.教師強調(diào)解題格式：在“證明”二字的后面，先將所作的輔助線寫出，再證明.3、課堂小結：

(1)判定三角形全等的方法：SAS

(2)公理應用的書寫格式

(3)證明線段、角相等常見的方法有哪些？

讓學生自由表述，其它學生補充，自己將知識系統(tǒng)化，以自己的方式進行建構.6、布置作業(yè)

a書面作業(yè) P56＃

6、7

b上交作業(yè) P57B組1

思考題：

板書設計 ：

第三篇：全等三角形教案

11．1全等三角形

教學目標：1了解全等形及全等三角形的的概念； 2 理解全等三角形的性質(zhì)

在圖形變換以及實際操作的過程中發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)學生的幾何直覺，學生通過觀察、發(fā)現(xiàn)生活中的全等形和實際操作中獲得全等三角形的體驗在探索和運用全等三角形性質(zhì)的過程中感受到數(shù)學的樂趣

重點：探究全等三角形的性質(zhì)

難點：掌握兩個全等三角形的對應邊，對應角 教學過程：

觀察下列圖案，指出這些圖案中中形狀與大小相同的圖形

問題：你還能舉出生活中一些實際例子嗎？

這些形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合。能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形 能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形 思考：

一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

“全等”用?表示，讀作“全等于”

兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，如?ABC和?DEF全等時，點A和點D，點B和點E，點C和點F是對應頂點，記作?ABC??DEF

把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合 的角叫做對應角

思考：如上圖，11-1?ABC??DEF，對應邊有什么關系？對應角呢？ 全等三角形性質(zhì)：

全等三角形的對應邊相等； 全等三角形的對應角相等。

思考：（1）下面是兩個全等的三角形，按下列圖形的位置擺放，指出它們的對應頂點、對應邊、對應角

BCAoOADBDCACDBCDAB

（2）將?ABC沿直線BC平移，得到?DEF，說出你得到的結論，說明理由？

AADDEBECFBC

DC（3）如圖，?ABE??ACD,AB與AC，AD與AE是對應邊，已知：?A?43,?B?30，求?A的大小。

小結：

作業(yè)：P4—1，2，3

課題：11．2 三角形全等的條件(1)

教學目標

①經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學結論的過程． ②掌握三角形全等的“邊邊邊”條件，了解三角形的穩(wěn)定性． ③通過對問題的共同探討，培養(yǎng)學生的協(xié)作精神． 教學難點

??3

三角形全等條件的探索過程．

一、復習過程，引入新知

多媒體顯示，帶領學生復習全等三角形的定義及其性質(zhì)，從而得出結論：全等三角形三條邊對應相等，三個角分別對應相等．反之，這六個元素分別相等，這樣的兩個三角形一定全等．

二、創(chuàng)設情境，提出問題

根據(jù)上面的結論，提出問題：兩個三角形全等，是否一定需要六個條件呢?如果只滿足上述六個條件中的一部分，是否也能保證兩個三角形全等呢? 組織學生進行討論交流，經(jīng)過學生逐步分析，各種情況逐漸明朗，進行交流予以匯總歸納．

三、建立模型，探索發(fā)現(xiàn)

出示探究1，先任意畫一個△ABC，再畫一個△A'B'C'，使△ABC與△A'B'C'，滿足上述條件中的一個或兩個．你畫出的△A'B'C'與△ABC一定全等嗎? 讓學生按照下面給出的條件作出三角形．(1)三角形的兩個角分別是30°、50°．(2)三角形的兩條邊分別是4cm，6cm．(3)三角形的一個角為30°，—條邊為3cm．

再通過畫一畫，剪一剪，比一比的方式，得出結論：只給出一個或兩個條件時，都不能保證所畫出的三角形一定全等．

出示探究2，先任意畫出一個△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把畫好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐? 讓學生充分交流后，在教師的引導下作出△A'B'C'，并通過比較得出結論：三邊對應相等的兩個三角形全等．

四、應用新知，體驗成功

實物演示：由三根木條釘成的一個三角形的框架，它的大小和形狀是固定不變的． 鼓勵學生舉出生活中的實例．

給出例l，如下圖△ABC是一個鋼架，AB＝AC，AD是連接點A與BC中點D的支架，求證△ABD≌△ACD．

AB

讓學生獨立思考后口頭表達理由，由教師板演推理過程． 例2 如圖是用圓規(guī)和直尺畫已知角的平分線的示意圖，作法如下： DC

①以A為圓心畫弧，分別交角的兩邊于點B和點C；

②分別以點B、C為圓心，相同長度為半徑畫兩條弧，兩弧交于點D； ③畫射線AD．

AD就是∠BAC的平分線．你能說明該畫法正確的理由嗎? 例3 如圖四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四邊形ABCD分成兩個相互全等的三角形嗎?你有幾種方法?你能證明你的方法嗎?試一試．

ABDC

五、鞏固練習

教科書第6頁的思考及練習．

六、反思小結

回顧反思本節(jié)課對知識的研究探索過程、小結方法及結論，提煉數(shù)學思想，掌握數(shù)學規(guī)律．

七、布置作業(yè)

1．必做題：教科書第15頁習題11．2中的第1、2題． 2．選做題：教科書第16頁第9題．

課題：11.2 三角形全等的條件(2)教學目標

①經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，培養(yǎng)學生觀察分析圖形能力、動手能力．

②在探索三角形全等條件及其運用的過程中，能夠進行有條理的思考并進行簡單的推理． ③通過對問題的共同探討，培養(yǎng)學生的協(xié)作精神． 教學難點

指導學生分析問題，尋找判定三角形全等的條件． 知識重點

應用“邊角邊”證明兩個三角形全等，進而得出線段或角相等． 教學過程（師生活動）

一、創(chuàng)設情境，引入課題

多媒體出示探究3：已知任意△ABC，畫△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠A'＝∠A．

教帥點撥，學生邊學邊畫圖，再讓學生把畫好的△A'B'C'，剪下放在△ABC上，觀察這兩個三角形是否全等．

二、交流對話，探求新知

根據(jù)前面的操作，鼓勵學生用自己的語言來總結規(guī)律：

兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等．(SAS)補充強調(diào)：角必須是兩條相等的對應邊的夾角，邊必須是夾相等角的兩對邊．

三、應用新知，體驗成功

出示例2，如圖，有—池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個可以直接到達A和B的點C，連接AC并延長到D，使CD＝CA，連接BC并延長到E，使CE＝CB．連接DE，那么量出DE的長就是A、B的距離，為什么?

讓學生充分思考后，書寫推理過程，并說明每一步的依據(jù)．(若學生不能順利得到證明思路，教師也可作如下分析：

要想證AB＝DE，只需證△ABC≌△DEC △ABC與△DEC全等的條件現(xiàn)有??還需要??)明確證明分別屬于兩個三角形的線段相等或者角相等的問題，常常通過證明這兩個三角形全等來解決． 補充例題：

1、已知：如圖AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE

ABCDE5

求證： △ABD≌△ACE 證明:∵∠BAC=∠DAE（已知）

∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD與△ACE AB=AC（已知）

∠BAD= ∠CAE（已證）AD=AE（已知）

∴△ABD≌△ACE（SAS)思考： 求證：1.BD=CE 2.∠B= ∠C 3.∠ADB= ∠AEC 變式1：已知：如圖，AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE.求證： ⑴ △DAC≌△EAB 1.BE=DC 2.∠B= ∠ C 3.∠ D= ∠ E 4.BE⊥CD

四、再次探究，釋解疑惑

出示探究4，我們知道，兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等．由“兩邊及其中一邊的對角對應相等”的條件能判定兩個三角形全等嗎?為什么? 讓學生模仿前面的探究方法，得出結論：兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等．

教師演示：方法(一)教科書98頁圖13.2-7．

方法(二)通過畫圖，讓學生更直觀地獲得結論．

五、鞏固練習

教科書第9頁，練習(1)(2)．

六、小結提高

1．判定三角形全等的方法；

2．證明線段、角相等常見的方法有哪些?讓學生自由表述，其他學生補充，讓學生自己將知識系統(tǒng)化，以自己的方式進行建構．

七、布置作業(yè)

1．必做題：教科書第15頁，習題13．2第3、4題． 2．選做題：教科書第16頁第10題． 3．備選題：

(1)小明做了一個如圖所示的風箏，測得DE＝DF，EH＝FH，你能發(fā)現(xiàn)哪些結淪?并說明理由．(2)如圖，∠1＝∠2，AB＝AD，AE＝AC，求證BC＝DE．

B

AMDFCE

課題： 11.2 三角形全等的條件(3)

教學目標

①探索并掌握兩個三角形全等的條件：“ASA”“AAS”，并能應用它們判別兩個三角形是否全等．

②經(jīng)歷作圖、比較、證明等探究過程，提高分析、作圖、歸納、表達、邏輯推理等能力；并通過對知識方法的總結，培養(yǎng)反思的習慣，培養(yǎng)理性思維．

③敢于面對教學活動中的困難，能通過合作交流解決遇到的困難． 教學重點

理解，掌握三角形全等的條件：“ASA”“AAS”． 教學難點

探究出“ASA”“AAS”以及它們的應用． 教學過程（師生活動）創(chuàng)設情境 復習：

師：我們已經(jīng)知道，三角形全等的判定條件有哪些? 生：“SSS”“SAS”

師：那除了這兩個條件，滿足另一些條件的兩個三角形是否 也可能全等呢?今天我們就來探究三角形全等的另一些條件。探究新知：

一張教學用的三角形硬紙板不小心 被撕壞了，如圖，你能制作一張與原來 同樣大小的新教具？能恢復原來三角形 的原貌嗎？

1．師：我們先來探究第一種情況．(課件出示“探究5??”)(1)探究5 先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠A'＝∠A，∠B'＝∠B(即使兩角和它們的夾邊對應相等)．把畫好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐? 師：怎樣畫出△A'B'C'?先自己獨立思考，動手畫一畫。

在畫的過程中若遇到不能解決的問題．可小組合作交流解決．

生：獨立探究，試著畫△A'B'C'，(有問題的，可以小組內(nèi)交流解決??)??(2)全班討論交流

師：畫好之后，我們看這兒有一種畫法：(課件出示畫法，出現(xiàn)一步，畫一步)你是這樣畫的嗎? 師：把畫好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，看看它們是否全等． 生：(剪△A'B'C'，與△ABC作比較??)師：全等嗎? 生：全等．

師：這個探究結果反映了什么規(guī)律?試著說說你的發(fā)現(xiàn)． 生1：我發(fā)現(xiàn)?? 生2：??

生3：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等． 師：這條件可以簡寫成“角邊角”或“ASA”．至此，我們又增加了—種判別三角形全等的方法．特別應

AA'

EBDC7

注意，“邊”必須是“兩角的夾邊”．

練習：已知：如圖，AB=A’C，∠A=∠A’，∠B=∠C 求證：△ABE≌ △A’CD

例1.已知：點D在AB上，點E在AC上，BE和CD

ADOBCE相交于點O，AB=AC，∠B=∠C。求證：BD=CE

2．探究6 師：我們再看看下面的條件：

在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC與△DEF全等嗎?能利用角邊角條件證明你的結論嗎? ABCEDF

師：看已知條什，能否用“角邊角”條件證明． 生獨立思考，探究??再小組合作完成． 師：你是怎么證明的?(讓小組派代表上臺匯報)小組1：?．

小組2：??投影儀展示學生證明過程(根據(jù)學生的不同探究結果，進行不同的引導)師：從這可以看出，從這些已知條件中能得出兩個三角形全等．這又反映了一個什么規(guī)律? 生l：兩個角和其中一條邊對應相等的兩個三角形全等．

生2：在"ASA”中，“邊”必須是“兩角的夾邊”，而這里，“邊”可以是“其中一個角的對邊”．

師：非常好，這里的“邊”是“其中一個角的對邊”．那怎樣更完整的表述這一規(guī)律? 生1：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．

師：生1很好，這條件我們可以簡寫成“角角邊”或“AAS”，又增加了判定兩個三角形全等的一個條件．

強調(diào)“AAS”中的邊是“其中一個角的對邊”．

多讓幾個學生描述，進一步培養(yǎng)歸納、表達的能力．

例2．教材11頁1題。

師：從這道例題中，我們又得出了證明線段相等的又一方法，先證兩線段所在的三角形全等，這樣，對應邊也就相等了． 探究7：

(1)三角對應相等的兩個三角形全等嗎?(課件出示題目)師：想想，怎樣來探究這個問題? 生1：??

生2：?．

引導學生通過“畫兩個三角對應相等的三角形”，看是否一定全等，或“用兩個同一形狀但大小不同的三角板”等等方法來探究說明．

師：這一規(guī)律我們可以怎樣表達? 生1：?．

生2：三個角對應相等的兩個三角形不一定全等．

(2)師：說得非常好．現(xiàn)在我們來小結一下；判定兩個三角形全等我們已有了哪些方法?

生：SSS SAS ASA AAS 小結提高

師：這節(jié)課通過對兩個三角形全等條件的進一步探究，你有什么收獲? 鞏固練習

教科書第11頁，練習2． 布置作業(yè)

1。必做題：教科書第13頁習題11.2第6、11題

2．如圖，小明不慎將一塊三角形模具打碎為兩塊，他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去，就能配一塊與原來一樣的三角形模具呢?如果可以，帶哪塊去合適?為什么? ⑵⑴

課題： 11.2 三角形全等的條件(4)

教學目標

①探索并掌握兩個直角三角形全等的條件：HL，并能應用它判別兩個直角三角形是否全等．

②經(jīng)歷作圖、比較、證明等探究過程，提高分析、作圖、歸納、表達、邏輯推理等能力；并通過對知識方法的總結，培養(yǎng)反思的習慣，培養(yǎng)理性思維． ③提高應用數(shù)學的意識． 教學重點

理解，掌握三角形全等的條件：HL． 教學過程: 提問：

1、判定兩個三角形全等方法有：，。創(chuàng)設情境：

（顯示圖片），舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量.（1）你能幫他想個辦法嗎？

方法一：測量斜邊和一個對應的銳角.(AAS)方法二：測量沒遮住的一條直角邊和一個對應的銳角.(ASA)或(AAS)⑵ 如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務嗎？

工作人員測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別對應相等，于是他就肯定“兩個直角三角形是全等的”.你相信他的結論嗎？ 下面讓我們一起來驗證這個結論。新課：

已知線段a、c(a﹤c)和一個直角α，利用尺規(guī)作一個Rt△ABC,使∠C= ∠ α，CB=a，AB=c.想一想，怎樣畫呢？ 按照下面的步驟做一做： ⑴ 作∠MCN=∠α=90°;⑵ 在射線CM上截取線段CB=a ⑶ 以B為圓心,C為半徑畫弧，交射線CN于點A;⑷ 連接AB.⑴ △ABC就是所求作的三角形嗎？

⑵ 剪下這個三角形，和其他同學所作的三角形進行比較，它們能重合嗎？

直角三角形全等的條件

斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”.想一想

你能夠用幾種方法說明兩個直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不僅有一般 三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，還有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.練一練：

1.如圖，兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個木樁上，兩個木樁離旗 桿底部的距離相等嗎？請說明你的理由。

2.如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC 與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾 斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么關系？ 解：∠ABC+∠DFE=90°.理由如下： 在Rt△ABC和Rt△DEF中, 則 BC=EF, AC=DF.∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠ABC=∠DEF(全等三角形對應角相等).又 ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°.小結：這節(jié)課你有什么收獲呢？與你的同伴進行交流 作業(yè)：14頁7、8。

§11．3．1 角的平分線的性質(zhì)

（一）教學目標

（一）教學知識點

角平分線的畫法．

（二）能力訓練要求

1．應用三角形全等的知識，解釋角平分線的原理． 2．會用尺規(guī)作一個已知角的平分線．

（三）情感與價值觀要求

在利用尺規(guī)作圖的過程中，培養(yǎng)學生動手操作能力與探索精神． 例如圖，AC?BC,BD?AD,AC?BD求證：BC?AD.10

教學重點

利用尺規(guī)作已知角的平分線．

教學難點

角的平分線的作圖方法的提煉．

教學方法

講練結合法．

教具準備

多媒體課件（或投影）．

教學過程

Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設情境

問題1：三角形中有哪些重要線段．

問題2：你能作出這些線段嗎？

[生甲]三角形中有三條重要線段，它們分別是：三角形的高，三角形的中線，三角形的角的平分線．

過三角形的頂點作這個頂點的對邊的垂線，交對邊于一點，頂點與垂足的連線就是這個三角形的高．

取三角形一邊的中點，此中點與這個邊對應頂點的連線就是這條邊的中線．

用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度線與這個角的一邊重合，這個角一半所對應的線就是這個角的角平分線．

[生乙]我不同意你對角平分線的描述，三角形的角平分線是一條線段，而一個已知角的平分線是一條射線，這兩個概念是有區(qū)別的．

[師]你補充得很好．數(shù)學是一門嚴密性很強的學科，你的這種精神值得我們學習．

如果老師手里只有直尺和圓規(guī)，你能幫我設計一個作角的平分線的操作方案嗎？

Ⅱ．導入新課

[生]我記得在學直角三角形全等的條件時做過這樣一個題：

在∠AOB的兩邊OA和OB上分別取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC與NC交于C點．

求證：∠MOC=∠NOC．

通過證明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可證明∠MOC=∠NOC，所以射線OC就是∠AOB的平分線．

受這個題的啟示，我們能不能這樣做：

在已知∠AOB的兩邊上分別截取OM=ON，再分別過M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC?與NC交于C點，連接OC，那么OC就是∠AOB的平分線了． [師]他這個方案可行嗎？

（學生思考、討論后，統(tǒng)一思想，認為可行）

[師]這位同學不僅給了操作方法，而且還講明了操作原理．這種學以致用，?聯(lián)想遷移的學習方法值得大家借鑒．

議一議：下圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC．將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線．你能說明它的道理嗎？

教師活動：

播放多媒體課件，演示角平分儀器的操作過程，使學生直觀了解得到射線AC的方法．

學生活動：

觀看多媒體課件，討論操作原理．

[生1]要說明AC是∠DAC的平分線，其實就是證明∠CAD=∠CAB． [生2]∠CAD和∠CAB分別在△CAD和△CAB中，那么證明這兩個三角形

全等就可以了．

[生3]我們看看條件夠不夠．

?AB?AD? ?BC?DC

?AC?AC? 所以△ABC≌△ADC（SSS）．

所以∠CAD=∠CAB．

即射線AC就是∠DAB的平分線．

[生4]原來用三角形全等，就可以解決角相等．線段相等的一些問題．看來溫故是可以知新的．

老師再提出問題：

通過上述探究，能否總結出尺規(guī)作已知角的平分線的一般方法．自己動手做做看．然后與同伴交流操作心得．

（分小組完成這項活動，教師可參與到學生活動中，及時發(fā)現(xiàn)問題，給予啟發(fā)和指導，使講評更具有針對性）

討論結果展示：

作已知角的平分線的方法：

已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分線．

作法：

（1）以O為圓心，適當長為半徑作弧，分別交OA、OB于M、N．

（2）分別以M、N為圓心，大于

12MN的長為半徑作弧．兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C．

（3）作射線OC，射線OC即為所求．

（教師根據(jù)學生的敘述，作多媒體課件演示，使學生能更直觀地理解畫法，提高學習數(shù)學的興趣）．

議一議：

1．在上面作法的第二步中，去掉“大于

12MN的長”這個條件行嗎？

2．第二步中所作的兩弧交點一定在∠AOB的內(nèi)部嗎？

（設計這兩個問題的目的在于加深對角的平分線的作法的理解，培養(yǎng)數(shù)學嚴密性的良好學習習慣）

學生討論結果總結： 1．去掉“大于12MN的長”這個條件，所作的兩弧可能沒有交點，所以就找不到角的平分線．

2．若分別以M、N為圓心，大于

12MN的長為半徑畫兩弧，兩弧的交點可能在∠AOB?的內(nèi)部，也可能在∠AOB的外部，而我們要找的是∠AOB內(nèi)部的交點，?否則兩弧交點與頂點連線得到的射線就不是∠AOB的平分線了．

3．角的平分線是一條射線．它不是線段，也不是直線，?所以第二步中的兩個限制缺一不可．

4．這種作法的可行性可以通過全等三角形來證明．

練一練：

任意畫一角∠AOB，作它的平分線．

Ⅲ．隨堂練習

課本P16練習．

練后總結：

平角∠AOB的平分線OC與直線AB垂直．將OC反向延長得到直線CD，直線CD與AB?也垂直．

Ⅳ．課時小結

本節(jié)課中我們利用已學過的三角形全等的知識，?探究得到了角平分線儀器的操作原理，由此歸納出角的平分線的尺規(guī)畫法，進一步體會溫故而知新是一種很好的學習方法．

Ⅴ．課后作業(yè)

1．課本P18習題11．2─1、2． 2．預習課本P16～18內(nèi)容．

第四篇：全等三角形教案

第十一章 全等三角形

11．1全等三角形

教學目標：1了解全等形及全等三角形的的概念；

理解全等三角形的性質(zhì)

在圖形變換以及實際操作的過程中發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)學生的幾何直覺，學生通過觀察、發(fā)現(xiàn)生活中的全等形和實際操作中獲得全等三角形的體驗在探索和運用全等三角形性質(zhì)的過程中感受到數(shù)學的樂趣 重點：探究全等三角形的性質(zhì)

難點：掌握兩個全等三角形的對應邊，對應角

教學過程：觀察下列圖案，指出這些圖案中中形狀與大小相同的圖形

問題：你還能舉出生活中一些實際例子嗎？

這些形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合。能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形 思考：

一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

“全等”用?表示，讀作“全等于”

兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，如?ABC和?DEF全等時，點A和點D，點B和點E，點C和點F是對應頂點，記作?ABC??DEF

把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合 的角叫做對應角

思考：如上圖，13。1-1?ABC??DEF，對應邊有什么關系？對應角呢？ 全等三角形性質(zhì)：

全等三角形的對應邊相等； 全等三角形的對應角相等。思考：

（1）下面是兩個全等的三角形，按下列圖形的位置擺放，指出它們的對應頂點、對應邊、對應角

BCAoOADBDCACDBCDA

（2）將?ABC沿直線BC平移，得到?DEF，說出你得到的結論，說明理由？

ADBBECF

（3）如圖，?ABE??ACD,AB與AC，AD與AE是對應邊，已知：?A?43?,?B?30?，求?ADC的大小。

ADEBC

隨堂練習注：檢查學生對本節(jié)課的掌握情況.1.全等用符號__表示.讀作__.2.△ABC全等于三角形△DEF，用式子表示為__.3.△ABC≌△DEF，∠A的對應角是∠D，∠B的對應角∠E，則∠C與__是對應角；AB與__是對應邊，BC與__是對應邊，AC與__是對應邊.4.判斷題：

(1)全等三角形的對應邊相等，對應角相等.()(2)全等三角形的周長相等.()(3)面積相等的三角形是全等三角形.()(4)全等三角形的面積相等.()

11．2 三角形全等的條件(1)教學目標

①經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學結論的過程． ②掌握三角形全等的“邊邊邊”條件，了解三角形的穩(wěn)定性． ③通過對問題的共同探討，培養(yǎng)學生的協(xié)作精神． 教學難點

三角形全等條件的探索過程．

一、復習過程，引入新知

多媒體顯示，帶領學生復習全等三角形的定義及其性質(zhì)，從而得出結論：全等三角形三條邊對應相等，三個角分別對應相等．反之，這六個元素分別相等，這樣的兩個三角形一定全等．

二、創(chuàng)設情境，提出問題

根據(jù)上面的結論，提出問題：兩個三角形全等，是否一定需要六個條件呢?如果只滿足上述六個條件中的一部分，是否也能保證兩個三角形全等呢? 組織學生進行討論交流，經(jīng)過學生逐步分析，各種情況逐漸明朗，進行交流予以匯總歸納．

三、建立模型，探索發(fā)現(xiàn)

出示探究1，先任意畫一個△ABC，再畫一個△A'B'C'，使△ABC與△A'B'C'，滿足上述條件中的一個或兩個．你畫出的△A'B'C'與△ABC一定全等嗎? 讓學生按照下面給出的條件作出三角形．(1)三角形的兩個角分別是30°、50°．(2)三角形的兩條邊分別是4cm，6cm．

(3)三角形的一個角為30°，—條邊為3cm．

再通過畫一畫，剪一剪，比一比的方式，得出結論：只給出一個或兩個條件時，都不能保證所畫出的三角形一定全等．

出示探究2，先任意畫出一個△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把畫好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐? 讓學生充分交流后，在教師的引導下作出△A'B'C'，并通過比較得出結論：三邊對應相等的兩個三角形全等．

四、應用新知，體驗成功

實物演示：由三根木條釘成的一個三角形的框架，它的大小和形狀是固定不變的． 鼓勵學生舉出生活中的實例．

給出例l，如下圖△ABC是一個鋼架，AB＝AC，AD是連接點A與BC中點D的支架，求證△ABD≌△ACD．

A

讓學生獨立思考后口頭表達理由，由教師板演推理過程．

例2 如圖是用圓規(guī)和直尺畫已知角的平分線的示意圖，作法如下： BDC

①以A為圓心畫弧，分別交角的兩邊于點B和點C；

②分別以點B、C為圓心，相同長度為半徑畫兩條弧，兩弧交于點D； ③畫射線AD．

AD就是∠BAC的平分線．你能說明該畫法正確的理由嗎?

例3 如圖四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四邊形ABCD分成兩個相互全等的三角形嗎?你有幾種方法?你能證明你的方法嗎?試一試．

ABDC

五、鞏固練習

教科書第96頁的思考及練習．

六、反思小結

回顧反思本節(jié)課對知識的研究探索過程、小結方法及結論，提煉數(shù)學思想，掌握數(shù)學規(guī)律．

七、布置作業(yè)

1．必做題：教科書第103頁習題13．2中的第1、2題． 2．選做題：教科書第104頁第9題．

11.2 三角形全等的條件(2)教學目標

①經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，培養(yǎng)學生觀察分析圖形能力、動手能力．

②在探索三角形全等條件及其運用的過程中，能夠進行有條理的思考并進行簡單的推理．

③通過對問題的共同探討，培養(yǎng)學生的協(xié)作精神． 教學難點

指導學生分析問題，尋找判定三角形全等的條件． 知識重點 應用“邊角邊”證明兩個三角形全等，進而得出線段或角相等． 教學過程（師生活動）

一、創(chuàng)設情境，引入課題

多媒體出示探究3：已知任意△ABC，畫△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠A'＝∠A．

教帥點撥，學生邊學邊畫圖，再讓學生把畫好的△A'B'C'，剪下放在△ABC上，觀察這兩個三角形是否全等．

二、交流對話，探求新知

根據(jù)前面的操作，鼓勵學生用自己的語言來總結規(guī)律：

兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等．(SAS)補充強調(diào)：角必須是兩條相等的對應邊的夾角，邊必須是夾相等角的兩對邊．

三、應用新知，體驗成功

出示例2，如圖，有—池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個可以直接到達A和B的點C，連接AC并延長到D，使CD＝CA，連接BC并延長到E，使CE＝CB．連接DE，那么量出DE的長就是A、B的距離，為什么?

讓學生充分思考后，書寫推理過程，并說明每一步的依據(jù)．(若學生不能順利得到證明思路，教師也可作如下分析：

要想證AB＝DE，只需證△ABC≌△DEC

△ABC與△DEC全等的條件現(xiàn)有??還需要??)

明確證明分別屬于兩個三角形的線段相等或者角相等的問題，常常通過證明這兩個三角形全等來解決． 補充例題：

A1、已知：如圖AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE

求證： △ABD≌△ACE 證明:∵∠BAC=∠DAE（已知）

B ∠ BAC+ ∠ CAD= ∠DAE+ ∠ CAD

∴∠BAD=∠CAE

在△ABD與△ACE

EC AB=AC（已知）D ∠BAD= ∠CAE（已證）AD=AE（已知）

∴△ABD≌△ACE（SAS)B思考：

求證：1.BD=CE 2.∠B= ∠C A3.∠ADB= ∠AEC

變式1：已知：如圖，AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE.M 求證： ⑴ △DAC≌△EAB

DCFE1.BE=DC 2.∠B= ∠ C 3.∠ D= ∠ E 4.BE⊥CD

四、再次探究，釋解疑惑

出示探究4，我們知道，兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等．由“兩邊及其中一邊的對角對應相等”的條件能判定兩個三角形全等嗎?為什么? 讓學生模仿前面的探究方法，得出結論：兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等．

教師演示：方法(一)教科書98頁圖13.2-7．

方法(二)通過畫圖，讓學生更直觀地獲得結論．

五、鞏固練習

教科書第99頁，練習(1)(2)．

六、小結提高

1．判定三角形全等的方法；

2．證明線段、角相等常見的方法有哪些?讓學生自由表述，其他學生補充，讓學生自己將知識系統(tǒng)化，以自己的方式進行建構．

七、布置作業(yè)

1．必做題：教科書第104頁，習題13．2第3、4題． 2．選做題：教科書第105頁第10題． 3．備選題：

(1)小明做了一個如圖所示的風箏，測得DE＝DF，EH＝FH，你能發(fā)現(xiàn)哪些結淪?并說明理由．

(2)如圖，∠1＝∠2，AB＝AD，AE＝AC，求證BC＝DE．

11.2 三角形全等的條件(3)

教學目標

①探索并掌握兩個三角形全等的條件：“ASA”“AAS”，并能應用它們判別兩個三角形是否全等．

②經(jīng)歷作圖、比較、證明等探究過程，提高分析、作圖、歸納、表達、邏輯推理等能力；并通過對知識方法的總結，培養(yǎng)反思的習慣，培養(yǎng)理性思維．

③敢于面對教學活動中的困難，能通過合作交流解決遇到的困難． 教學重點 理解，掌握三角形全等的條件：“ASA”“AAS”． 教學難點

探究出“ASA”“AAS”以及它們的應用． 教學過程（師生活動）創(chuàng)設情境 復習：

師：我們已經(jīng)知道，三角形全等的判定條件有哪些? 生：“SSS”“SAS”

師：那除了這兩個條件，滿足另一些條件的兩個三角形是否 也可能全等呢?今天我們就來探究三角形全等的另一些條件。探究新知：

一張教學用的三角形硬紙板不小心 被撕壞了，如圖，你能制作一張與原來 同樣大小的新教具？能恢復原來三角形 的原貌嗎？

1．師：我們先來探究第一種情況．(課件出示“探究5??”)(1)探究5 先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠A'＝∠A，∠B'＝∠B(即使兩角和它們的夾邊對應相等)．把畫好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐? 師：怎樣畫出△A'B'C'?先自己獨立思考，動手畫一畫。

在畫的過程中若遇到不能解決的問題．可小組合作交流解決．

生：獨立探究，試著畫△A'B'C'，(有問題的，可以小組內(nèi)交流解決??)??(2)全班討論交流

師：畫好之后，我們看這兒有一種畫法：(課件出示畫法，出現(xiàn)一步，畫一步)你是這樣畫的嗎? AA'師：把畫好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，看看它們是否全等． 生：(剪△A'B'C'，與△ABC作比較??)師：全等嗎? 生：全等．

ED師：這個探究結果反映了什么規(guī)律?試著說說你的發(fā)現(xiàn)．

B生1：我發(fā)現(xiàn)?? 生2：??

A生3：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等．

師：這條件可以簡寫成“角邊角”或“ASA”．至此，ED我們又增加了—種判別三角形全等的方法．特別應

注意，“邊”必須是“兩角的夾邊”．

O練習：已知：如圖，AB=A’C，∠A=∠A’，∠B=∠C

求證：△ABE≌ △A’CD BC

例1.已知：點D在AB上，點E在AC上，BE和CD 相交于點O，AB=AC，∠B=∠C。求證：BD=CE

C

2．探究6 師：我們再看看下面的條件：

在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC與△DEF全等嗎?能利用角邊角條件證明你的結論嗎? ABCEDF

師：看已知條什，能否用“角邊角”條件證明． 生獨立思考，探究??再小組合作完成．

師：你是怎么證明的?(讓小組派代表上臺匯報)小組1：?．

小組2：??投影儀展示學生證明過程

(根據(jù)學生的不同探究結果，進行不同的引導)師：從這可以看出，從這些已知條件中能得出兩個三角形全等．這又反映了一個什么規(guī)律? 生l：兩個角和其中一條邊對應相等的兩個三角形全等．

生2：在"ASA”中，“邊”必須是“兩角的夾邊”，而這里，“邊”可以是“其中一個角的對邊”．

師：非常好，這里的“邊”是“其中一個角的對邊”．那怎樣更完整的表述這一規(guī)律? 生1：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．

師：生1很好，這條件我們可以簡寫成“角角邊”或“AAS”，又增加了判定兩個三角形全等的一個條件．

強調(diào)“AAS”中的邊是“其中一個角的對邊”．

多讓幾個學生描述，進一步培養(yǎng)歸納、表達的能力．

例2．教材101頁1題。

師：從這道例題中，我們又得出了證明線段相等的又一方法，先證兩線段所在的三角形全等，這樣，對應邊也就相等了． 探究7：

(1)三角對應相等的兩個三角形全等嗎?(課件出示題目)師：想想，怎樣來探究這個問題? 生1：??

生2：?．

引導學生通過“畫兩個三角對應相等的三角形”，看是否一定全等，或“用兩個同一形狀但大小不同的三角板”等等方法來探究說明．

師：這一規(guī)律我們可以怎樣表達? 生1：?．

生2：三個角對應相等的兩個三角形不一定全等．

(2)師：說得非常好．現(xiàn)在我們來小結一下；判定兩個三角形全等我們已有了哪些方法? 生：SSS SAS ASA AAS 小結提高

師：這節(jié)課通過對兩個三角形全等條件的進一步探究，你有什么收獲? 鞏固練習

教科書第101頁，練習2． 布置作業(yè)

1。必做題：教科書第103頁習題13.2第6、11題

2．如圖，小明不慎將一塊三角形模具打碎為兩塊，他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去，就能配一塊與原來一樣的三角形模具呢?如果可以，帶哪塊去合適?為什么? ⑵⑴

11.2 三角形全等的條件(4)

教學目標

①探索并掌握兩個直角三角形全等的條件：HL，并能應用它判別兩個直角三角形是否全等．

②經(jīng)歷作圖、比較、證明等探究過程，提高分析、作圖、歸納、表達、邏輯推理等能力；并通過對知識方法的總結，培養(yǎng)反思的習慣，培養(yǎng)理性思維． ③提高應用數(shù)學的意識． 教學重點

理解，掌握三角形全等的條件：HL． 教學過程: 提問：

1、判定兩個三角形全等方法有：，。創(chuàng)設情境：（顯示圖片），舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量.（1）你能幫他想個辦法嗎？

方法一：測量斜邊和一個對應的銳角.(AAS)方法二：測量沒遮住的一條直角邊和一個對應的銳角.(ASA)或(AAS)⑵ 如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務嗎？

工作人員測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別對應相等，于是他就肯定“兩個直角三角形是全等的”.你相信他的結論嗎？ 下面讓我們一起來驗證這個結論。新課：

已知線段a、c(a﹤c)和一個直角α，利用尺規(guī)作一個Rt△ABC,使∠C= ∠ α，CB=a，AB=c.想一想，怎樣畫呢？ 按照下面的步驟做一做： ⑴ 作∠MCN=∠α=90°;

⑵ 在射線CM上截取線段CB=a ⑶ 以B為圓心,C為半徑畫弧，交射線CN于點A;⑷ 連接AB.⑴ △ABC就是所求作的三角形嗎？

⑵ 剪下這個三角形，和其他同學所作的三角形進行比較，它們能重合嗎？ 直角三角形全等的條件

斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”.想一想

你能夠用幾種方法說明兩個直角三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不僅有一般 三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，還有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.例如圖，AC?BC,BD?AD,AC?BD

求證：BC?AD.練一練：

1.如圖，兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個木樁上，兩個木樁離旗 桿底部的距離相等嗎？請說明你的理由。

2.如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC 與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾 斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么關系？

解：∠ABC+∠DFE=90°.理由如下： 在Rt△ABC和Rt△DEF中, 則

BC=EF, AC=DF.∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠ABC=∠DEF

(全等三角形對應角相等).又 ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°.小結：這節(jié)課你有什么收獲呢？與你的同伴進行交流 作業(yè)：104頁7、8。

§11．3 角的平分線的性質(zhì) §11．3．1 角的平分線的性質(zhì)

（一）教學目標

（一）教學知識點

角平分線的畫法．

（二）能力訓練要求

1．應用三角形全等的知識，解釋角平分線的原理． 2．會用尺規(guī)作一個已知角的平分線．

（三）情感與價值觀要求

在利用尺規(guī)作圖的過程中，培養(yǎng)學生動手操作能力與探索精神．

教學重點

利用尺規(guī)作已知角的平分線．

教學難點

角的平分線的作圖方法的提煉．

教學方法

講練結合法．

教具準備

多媒體課件（或投影）．

教學過程

Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設情境

問題1：三角形中有哪些重要線段．

問題2：你能作出這些線段嗎？

[生甲]三角形中有三條重要線段，它們分別是：三角形的高，三角形的中線，三角形的角的平分線． 過三角形的頂點作這個頂點的對邊的垂線，交對邊于一點，頂點與垂足的連線就是這個三角形的高．

取三角形一邊的中點，此中點與這個邊對應頂點的連線就是這條邊的中線．

用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度線與這個角的一邊重合，這個角一半所對應的線就是這個角的角平分線．

[生乙]我不同意你對角平分線的描述，三角形的角平分線是一條線段，而一個已知角的平分線是一條射線，這兩個概念是有區(qū)別的．

[師]你補充得很好．數(shù)學是一門嚴密性很強的學科，你的這種精神值得我們學習．

如果老師手里只有直尺和圓規(guī)，你能幫我設計一個作角的平分線的操作方案嗎？

Ⅱ．導入新課

[生]我記得在學直角三角形全等的條件時做過這樣一個題：

在∠AOB的兩邊OA和OB上分別取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC與NC交于C點．

求證：∠MOC=∠NOC．

通過證明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可證明∠MOC=∠NOC，所以射線OC就是∠AOB的平分線．

受這個題的啟示，我們能不能這樣做：

在已知∠AOB的兩邊上分別截取OM=ON，再分別過M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC?與NC交于C點，連接OC，那么OC就是∠AOB的平分線了． [師]他這個方案可行嗎？

（學生思考、討論后，統(tǒng)一思想，認為可行）

[師]這位同學不僅給了操作方法，而且還講明了操作原理．這種學以致用，?聯(lián)想遷移的學習方法值得大家借鑒．

議一議：下圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC．將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線．你能說明它的道理嗎？

教師活動：

播放多媒體課件，演示角平分儀器的操作過程，使學生直觀了解得到射線AC的方法．

學生活動：

觀看多媒體課件，討論操作原理．

[生1]要說明AC是∠DAC的平分線，其實就是證明∠CAD=∠CAB．

[生2]∠CAD和∠CAB分別在△CAD和△CAB中，那么證明這兩個三角形全等就可以了．

[生3]我們看看條件夠不夠．

?AB?AD? ?BC?DC

?AC?AC? 所以△ABC≌△ADC（SSS）．

所以∠CAD=∠CAB． 即射線AC就是∠DAB的平分線．

[生4]原來用三角形全等，就可以解決角相等．線段相等的一些問題．看來溫故是可以知新的．

老師再提出問題：

通過上述探究，能否總結出尺規(guī)作已知角的平分線的一般方法．自己動手做做看．然后與同伴交流操作心得．

（分小組完成這項活動，教師可參與到學生活動中，及時發(fā)現(xiàn)問題，給予啟發(fā)和指導，使講評更具有針對性）

討論結果展示：

作已知角的平分線的方法：

已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分線．

作法：

（1）以O為圓心，適當長為半徑作弧，分別交OA、OB于M、N．

（2）分別以M、N為圓心，大于

1MN的長為半徑作弧．兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C． 2（3）作射線OC，射線OC即為所求．

（教師根據(jù)學生的敘述，作多媒體課件演示，使學生能更直觀地理解畫法，提高學習數(shù)學的興趣）．

議一議：

1．在上面作法的第二步中，去掉“大于

1MN的長”這個條件行嗎？ 2 2．第二步中所作的兩弧交點一定在∠AOB的內(nèi)部嗎？

（設計這兩個問題的目的在于加深對角的平分線的作法的理解，培養(yǎng)數(shù)學嚴密性的良好學習習慣）

學生討論結果總結： 1．去掉“大于的平分線．

2．若分別以M、N為圓心，大于1MN的長”這個條件，所作的兩弧可能沒有交點，所以就找不到角21MN的長為半徑畫兩弧，兩弧的交點可能在∠AOB2的內(nèi)部，也可能在∠AOB的外部，而我們要找的是∠AOB內(nèi)部的交點，?否則兩弧交點與頂點連線得到的射線就不是∠AOB的平分線了．

3．角的平分線是一條射線．它不是線段，也不是直線，?所以第二步中的兩個限制缺一不可．

4．這種作法的可行性可以通過全等三角形來證明．

練一練：

任意畫一角∠AOB，作它的平分線． Ⅲ．隨堂練習

課本P106練習．

練后總結：

平角∠AOB的平分線OC與直線AB垂直．將OC反向延長得到直線CD，直線CD與AB?也垂直．

Ⅳ．課時小結

本節(jié)課中我們利用已學過的三角形全等的知識，?探究得到了角平分線儀器的操作原理，由此歸納出角的平分線的尺規(guī)畫法，進一步體會溫故而知新是一種很好的學習方法．

Ⅴ．課后作業(yè)

1．課本P108習題13．2─1、2． 2．預習課本P106～107內(nèi)容．

§11．3．2 角的平分線的性質(zhì)

（二）教學目標

（一）教學知識點

角的平分線的性質(zhì)

（二）能力訓練要求

1．會敘述角的平分線的性質(zhì)及“到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”． 2．能應用這兩個性質(zhì)解決一些簡單的實際問題．

（三）情感與價值觀要求

通過折紙、畫圖、文字一符號的翻譯活動，培養(yǎng)學生的聯(lián)想、探索、概括歸納的能力，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣．

教學重點

角平分線的性質(zhì)及其應用．

教學難點

靈活應用兩個性質(zhì)解決問題．

教學方法

探索、歸納的方法．

教具準備

剪刀、折紙、投影片．

教學過程

Ⅰ．創(chuàng)設情境，引入新課

[師]請同學們拿出準備好的折紙與剪刀，自己動手，剪一個角，把剪好的角對折，使角的兩邊疊合在一起，再把紙片展開，你看到了什么？把對折的紙片再任意折一次，然后把紙片展開，又看到了什么？

[生]我發(fā)現(xiàn)第一次對折后的折痕是這個角的平分線；再折一次，又會出現(xiàn)兩條折痕，而且這兩條折痕是等長的．這種方法可以做無數(shù)次，所以這種等長的折痕可以折出無數(shù)對．

[師]你的敘述太精彩了．這說明角的平分線除了有平分角的性質(zhì)，還有其他性質(zhì)，今天我們就來研究這個問題．

Ⅱ．導入新課 角平分線的性質(zhì)即已知角的平分線，能推出什么樣的結論．

操作：

1．折出如圖所示的折痕PD、PE．

2．你與同伴用三角板檢測你們所折的折痕是否符合圖示要求．

畫一畫：

按照折紙的順序畫出一個角的三條折痕，并度量所畫PD、PE是否等長？

拿出兩名同學的畫圖，放在投影下，請大家評一評，以達明確概念的目的．

[生]同學乙的畫法是正確的．同學甲畫的是過角平分線上一點畫角平分線的垂線，而不是過角平分線上一點畫兩邊的垂線段，所以同學甲的畫法不符合要求． [生甲]噢，對于，我知道了．

[師]同學甲，你再做一遍加深一下印象．

問題1：你能用文字語言敘述所畫圖形的性質(zhì)嗎？ [生]角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．

問題2：（出示投影片）

能否用符號語言來翻譯“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”這句話．請?zhí)钕卤恚?/p>

學生通過討論作出下列概括：

已知事項：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E為垂足．

由已知事項推出的事項：PD=PE．

于是我們得角的平分線的性質(zhì)：

在角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等． [師]那么到角的兩邊距離相等的點是否在角的平分線上呢？（出示投影）

問題3：根據(jù)下表中的圖形和已知事項，猜想由已知事項可推出的事項，并用符號語言填寫下表：

[生討論]已知事項符合直角三角形全等的條件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．

由已知推出的事項：點P在∠AOB的平分線上．

[師]這樣的話，我們又可以得到一個性質(zhì)：到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．同學們思考一下，這兩個性質(zhì)有什么聯(lián)系嗎？

[生]這兩個性質(zhì)已知條件和所推出的結論可以互換．

[師]對，這是自己的語言，這一點在數(shù)學上叫“互逆性”．

下面請同學們思考一個問題．

思考：

如圖所示，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路距離相等，?離公路與鐵路交叉處500m，這個集貿(mào)市場應建于何處（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20000）？

1．集貿(mào)市場建于何處，和本節(jié)學的角平分線性質(zhì)有關嗎？用哪一個性質(zhì)可以解決這個問題？

2．比例尺為1：20000是什么意思？

（學生以小組為單位討論，教師可深入到學生中，及時引導）

討論結果展示： 1．應該是用第二個性質(zhì)．?這個集貿(mào)市場應該建在公路與鐵路形成的角的平分線上，并且要求離角的頂點500米處．

2．在紙上畫圖時，我們經(jīng)常在厘米為單位，而題中距離又是以米為單位，?這就涉及一個單位換算問題了．1m=100cm，所以比例尺為1：20000，其實就是圖中1cm?表示實際距離200m的意思．作圖如下：

第一步：尺規(guī)作圖法作出∠AOB的平分線OP．

第二步：在射線OP上截取OC=2.5cm，確定C點，C點就是集貿(mào)市場所建地了．

總結：應用角平分線的性質(zhì)，就可以省去證明三角形全等的步驟，?使問題簡單化．所以若遇到有關角平分線，又要證線段相等的問題，?我們可以直接利用性質(zhì)解決問題． [例]如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P．

求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等．

[師生共析]點P到AB、BC、CA的垂線段PD、PE、PF的長就是P點到三邊的距離，?也就是說要證：PD=PE=PF．而BM、CN分別是∠B、∠C的平分線，?根據(jù)角平分線性質(zhì)和等式的傳遞性可以解決這個問題．

證明：過點P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足為D、E、F．

因為BM是△ABC的角平分線，點P在BM上．

所以PD=PE．

同理PE=PF．

所以PD=PE=PF．

即點P到三邊AB、BC、CA的距離相等．

Ⅲ．隨堂練習

1．課本P107練習．

2．課本P108習題13．3─2．

在這里要提醒學生直接利用角平分線的性質(zhì)，無須再證三角形全等．

Ⅳ．課時小結 今天，我們學習了關于角平分線的兩個性質(zhì)：①角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；②到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．它們具有互逆性，可以看出，隨著研究的深入，解決問題越來越簡便了．像與角平分線有關的求證線段相等、角相等問題，我們可以直接利用角平分線的性質(zhì)，而不必再去證明三角形全等而得出線段相等．

Ⅴ．課后作業(yè)

課本習題13．3─3、4、5題．

第五篇：全等三角形教案

15.1 全 等 三 角 形

教材內(nèi)容分析：

本節(jié)課內(nèi)容是全章學習的開篇課，也是本章學習的主線，主要介紹全等三角形的概念和性質(zhì)。通過對生活中的全等圖形和抽象的幾何圖形的觀察，使學生對全等有一個感性的認識，建立對應的概念，掌握尋找全等三角形中對應元素的方法，理解全等三角形的性質(zhì)，為學習判定兩個三角形全等以及第十六章軸對稱圖形提供了必要的理論基礎。

全等三角形中嚴密的對應關系能夠鍛煉學生的觀察力和推理能力，對它的深入研究有助于學生理解數(shù)學的本質(zhì)，提升思維水平。

教學目標：

1.了解全等形、全等三角形的概念；理解全等三角形的性質(zhì)； 2.能夠準確找出全等三角形的對應元素，逐步培養(yǎng)學生的識圖 能力；

3.讓學生通過觀察生活中的全等形和動手操作獲得全等三角形 的體驗，在探究和運用全等三角形性質(zhì)的過程中感受到數(shù)學活動的樂趣。

教學重難點及突破：

重點：全等三角形的概練和性質(zhì)；

難點：能在全等變換中準確找到對應角、對應邊。

教學突破：通過生活中的實例觀察、感受全等形和全等三角形，動手操作、合作交流，親身體驗創(chuàng)造全等三角形，加深全等三角形的有關概念的理解。

教學準備：

1.教師準備：多媒體課件、剪刀、白紙等； 2.學生準備：白紙、剪刀等。

教學流程： 創(chuàng)設情境，引入新知→合作交流，探索新知→手腦并用，理解新知→合作交流，應用新知→課堂練習，鞏固新知→師生互動，小結新知。

教學過程設計：

一、創(chuàng)設情境，引入新課。

1、與學生談話，努力走近學生之中。

2、游戲情景，引入新課 出示課件：大家來找茬游戲

引導：

1、觀察兩副圖形在形狀、大小、位置方面的共同點

2、兩副圖形形狀、大小若相同該如何檢驗？

引導：什么樣的圖形叫做全等形？

定義：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形； 列舉生活中的實例（一百元人民幣）感知全等形。

二、合作交流，探索新知。

1、手腦并用，感受新知

用剪刀在一張紙上剪出兩個形狀、大小完全一樣的三角形，引出全等三角形教學。

2、觀察誘導，探究新知。（1）全等三角形相關概念

引導觀察：課件操作演示兩個三角形完全重合。引導學生類比得出全等三角形定義；

中國人民郵政

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形 引導學生概括對應頂點、對應邊、對應角定義；

全等三角形中，互相重合的頂點叫對應頂點.互相重合的邊叫對應邊.互相重合的角叫對應角。

（2）全等三角形的表達式

引導學生書寫全等三角形的表達式：△ABC≌△DEF，讀作 ：△ABC全等于△DEF。

溫馨提示：

①記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。②全等符號“≌”中“∽”表示形狀相同，“=”表示大小相等，合起來就是形狀相同、大小相等，即全等。

引導學生感悟：三角形全等表達式充分體現(xiàn)出數(shù)學的秩序性和精確性，使用規(guī)范的表達式將有助于解決相關的問題

（3）全等三角形性質(zhì)

引導學生觀察并概括全等三角形性質(zhì)

全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應邊相等，對應角相等。用幾何語言表達全等三角形性質(zhì)： ∵△ABC≌△DEF(已知)∴AB=DE，AC=DF，BC=EF；

∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的對應邊相等，對應角相等）

3、合作交流，探究新知（1）手腦并用，體驗新知

利用剛才剪下的兩個全等三角形，在課桌上擺出不同形狀的圖形，再與同伴合作交流，探究如何通過操作其中一個三角形使它們再次重合？

通過課件展示引導學生理解只要兩個三角形的形狀大小相同，不管位置怎樣變化，都能通過平移旋轉(zhuǎn)翻折的方式使之重合。

（2）觀察交流，探究新知

引導學生觀察，交流探索規(guī)律。在全等三角形中，一般是： 1．有公共邊，則公共邊為對應邊； 2．有公共角，則公共角為對應角；

3．最大邊與最大邊（最小邊與最小邊）為對應邊；最大角與最大角（最小角與最小角）為對應角；

引導學生觀察，交流發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

針對所得的對應角、對應邊情況引導學生總結：規(guī)范地寫出全等三角形表達式具有重要的意義，根據(jù)表達式中字母的對應情況就能夠，準確判斷出全等三角形的對應頂點、對應邊、對應角。

三、合作交流，應用新知。

例：如圖，△ABO≌△DCO，指出所有的對應邊和對應角。

解：∵△ABO≌△DCO(已知)∴AB=DC，BO=CO，AO=DO（全等三角形的對應邊相等）

∠A=∠D，∠ABO=∠DCO，∠AOB=∠DOC（全等三角形的對應角相等）變式：若上圖中△ABC≌△DCB，試寫出這兩個三角形中相等的邊和相等的角。

解： ∵△ABC≌△DCB(已知)∴AB=DC，BC=CB，AC=BD（全等三角形的對應邊相等）

∠A=∠ D，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC（全等三角形的對應角相等）

四、課堂練習，鞏固新知。

（1）如圖,△ABD≌△EBC，AB=3cm,BC=5cm, 求DE的長.解：∵△ABD≌△EBC，且AB=3cm,BC=5cm（已知）

∴AB=EB=3cm，BC=BD=5cm（全等三角形的對應邊相等）∴DE=BD-EB=5-3=2cm

（2）如圖，已知△ABC≌△ADE, 想一想: ∠ BAD= ∠ CAE嗎?為什么?

解:相等，∵△ABC≌△ADE(已知)∴∠BAC=∠DAE(全等三角形對應角相等)∴∠BAC—∠DAC=∠DAE—∠DAC(等式性質(zhì))即∠BAC=∠DAE

五、師生互動，小結新知。

學習了這堂課你有哪些收獲？并把它與同伴一起分享。

1、全等形的定義：能夠完全重合的兩個圖形，叫做全等形。

2、全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。

3、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對應邊相等，對應角相等。

4、尋找全等三角形的對應邊、對應角得規(guī)律。（1）觀察圖形特點；

（2）觀察表達式（對應關系）

六、布置作業(yè)。

課本P92習題15.1，第2、4題。

七、教 后 感

······

板書設計：

15.1 全 等 三 角 形

定義：

表示 性質(zhì)：

（學生板書）