第一篇：小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)總復(fù)習(xí)：數(shù)列求和考點(diǎn)

小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)總復(fù)習(xí)：數(shù)列求和考點(diǎn)

基礎(chǔ)教育一直是最受學(xué)校和家長(zhǎng)關(guān)注的，最為基礎(chǔ)教育重中之重的初等教育，更是得到更多的重視。查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)小升初頻道為大家準(zhǔn)備了小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)總復(fù)習(xí)，希望能幫助大家做好小升初的復(fù)習(xí)備考，考入重點(diǎn)初中院校!小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)總復(fù)習(xí)：數(shù)列求和考點(diǎn) 數(shù)列求和

等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

基本概念：首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用a1表示;項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示;公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示;通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示;數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1 ,an, d, n, sn，通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè);求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。

基本公式：通項(xiàng)公式：an = a1+(n-1)d;通項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)一1)公差;數(shù)列和公式：sn,=(a1+ an)n 數(shù)列和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)

第 1 頁 項(xiàng)數(shù)公式：n=(an+ a1)項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))公差+1;公差公式：d =(an-a1))(n-1);公差=(末項(xiàng)-首項(xiàng))(項(xiàng)數(shù)-1);關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式;小升初考試是小學(xué)生進(jìn)入初等重點(diǎn)初中院校的一次重要考試，希望大家都能夠認(rèn)真復(fù)習(xí)，同時(shí)也希望我們準(zhǔn)備的小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)總復(fù)習(xí)能讓大家在小升初的備考過程助大家一臂之力!

第 2 頁

第二篇：高考數(shù)學(xué)專題-數(shù)列求和

復(fù)習(xí)課：

數(shù)列求和

一、【知識(shí)梳理】

1．等差、等比數(shù)列的求和公式，公比含字母時(shí)一定要討論．

2．錯(cuò)位相減法求和：如：已知成等差，成等比，求．

3．分組求和：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和．

4．合并求和：如：求的和．

5．裂項(xiàng)相消法求和：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差、正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．

常見拆項(xiàng)：，，（理科）．

6．倒序相加法求和：如等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)．

7．其它求和法：歸納猜想法，奇偶法等．

二、【經(jīng)典考題】

【1.公式求和】例1．（浙江）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且成等比數(shù)列．

（1）求；

（2）若，求．

【分析】第一問注意準(zhǔn)確利用等差等比數(shù)列定義即可求解，第二問要注意去絕對(duì)值時(shí)項(xiàng)的正負(fù)討論．

【解答】（1）由已知得到：

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，所以，綜上所述：

．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力．

變式訓(xùn)練：

（重慶文）設(shè)數(shù)列滿足：，．

（1）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；

（2）已知是等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，且，求．

【解答】

（1）由題設(shè)知是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，．

（2），故．

【2.倒序相加法】例2．已知函數(shù)．

（1）證明：；

（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）設(shè)數(shù)列滿足：，若（2）中的滿足對(duì)任意不小于的任意正整數(shù)恒成立，試求的最大值．

【分析】第（1）問，先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)化簡(jiǎn)，后證明左邊=右邊即可；第（2）問，注意利用（1）中的結(jié)論，構(gòu)造倒序求和；第（3）問，由已知條件求出的最小值，將不等式轉(zhuǎn)化為最值問題求解．

【解答】（1）

．

（2）由（1）知，，即，又兩式相加得，即．

（3）由，知對(duì)任意的，則，即，所以．，即數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列．

關(guān)于遞增，時(shí)，．

．

由題意知，即，解得，的最大值為．

【點(diǎn)評(píng)】解題時(shí)，對(duì)于某些前后具有對(duì)稱性的數(shù)列，可以運(yùn)用倒序相加法求和．

變式訓(xùn)練：

已知函數(shù)．

（1）證明：；

（2）求的值．

【解答】（1）

（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，令，兩式相加得：

所以．

【3.錯(cuò)位相減法】例3．（山東理)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，且

(為常數(shù))．令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

【分析】第（1）問利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式列方程組求解及即可；第（2）問先利用與關(guān)系求出，進(jìn)而用乘公比錯(cuò)位相減法求出．

【解答】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由得，解得，．

因此

．

（2）由題意知：，所以時(shí)，故，．

所以，則，兩式相減得，整理得．

所以數(shù)列數(shù)列的前項(xiàng)和．

【點(diǎn)評(píng)】用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：

（1）要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)時(shí)的情形；

（2）在寫出與的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出的表達(dá)式；

（3）利用錯(cuò)位相減法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和時(shí)，若公比是參數(shù)（字母），一般情況要先對(duì)參數(shù)加以討論，主要分公比為和不等于兩種情況分別求和．

變式訓(xùn)練：

(山東文)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．

【解答】（1）同例3．（1）．

（2）由已知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合知，．

又，兩式相減得，．

【4.裂項(xiàng)相消法】例4．(廣東)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且構(gòu)成等比數(shù)列．

（1）證明：；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)，有．

【分析】本題主要考查利用與關(guān)系求出，進(jìn)而用裂項(xiàng)相消法求出和，然后采用放縮的方法證明不等式．

【解答】

（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，是公差的等差數(shù)列．

構(gòu)成等比數(shù)列，，解得，由(1)可知，是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列．

數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

（3）

．

【點(diǎn)評(píng)】

（1）利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后不一定只剩第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前后各剩兩項(xiàng)或若干項(xiàng)；將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等．

（2）一般情況下，若是等差數(shù)列，則；此外，根式在分母上時(shí)可考慮利用分母有理化相消求和．

變式訓(xùn)練：

（大綱卷文）等差數(shù)列中，（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)．

【解答】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則

因?yàn)椋裕?/p>

解得，．

所以的通項(xiàng)公式為．

（2），所以．

【5.分組求和法】例5．（安徽）設(shè)數(shù)列滿足，且對(duì)任意，函數(shù)

滿足

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

【分析】，由可知數(shù)列為等差數(shù)列．

【解答】（1）由，得，所以，是等差數(shù)列．

而，．

（2），．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分組求和法，具體求解過程中一定要注意觀察數(shù)列通項(xiàng)的構(gòu)成特點(diǎn)，將其分成等差、等比或其它可求和的式子，分組求出即可．

變式訓(xùn)練：

（2012山東）在等差數(shù)列中，．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）對(duì)任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

【解答】（1）由可得，則，于是，即

．

（2）對(duì)任意，則，即，，．

于是，即．

【6.奇偶項(xiàng)求和】例6．（2011山東）等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

第一列

第二列

第三列

第一行

第二行

第三行

【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義先判斷出，求出通項(xiàng)；求和時(shí)要對(duì)分奇偶討論．

【解答】（1）由題意知，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以公比為，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．

（2）解法一：

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，故.解法二：令，即

則

．

故

.【點(diǎn)評(píng)】解法一分為奇數(shù)和偶數(shù)對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求和，而解法二直接采用乘公比錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和，只不過此時(shí)的公比

．本題主要意圖還是考查數(shù)列概念和性質(zhì)，求通項(xiàng)公式和數(shù)列求和的基本方法．

變式訓(xùn)練：

已知數(shù)列，求．

【解答】，若，則

若

．

三、【解法小結(jié)】

1．?dāng)?shù)列求和的關(guān)鍵在于分析數(shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征，在具體解決求和問題中，要善于從數(shù)列的通項(xiàng)入手觀察數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征與變化規(guī)律，根據(jù)通項(xiàng)公式的形式準(zhǔn)確、迅速地選擇方法，從而形成“抓通項(xiàng)、尋規(guī)律、定方法”的數(shù)列求和思路是解決這類試題的訣竅．

2．一般地，非等差（比）數(shù)列求和題的通常解題思路是：如果數(shù)列能轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列就用公式法；如果數(shù)列項(xiàng)的次數(shù)及系數(shù)有規(guī)律一般可用錯(cuò)位相減法、倒序相加法來解決；如果每項(xiàng)可寫成兩項(xiàng)之差一般可用裂項(xiàng)法；如果能求出通項(xiàng)，可用拆項(xiàng)分組法；如果通項(xiàng)公式中含有可用并項(xiàng)或分奇偶項(xiàng)求和法．

四、【小試牛刀】

1．?dāng)?shù)列前項(xiàng)的和為（）

A．

B．

C．

D．

2．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（）

A．

B．

C．

D．

3．?dāng)?shù)列中，若前項(xiàng)的和為，則項(xiàng)數(shù)為（）

A．

B．

C．

D．

4．（2013大綱）已知數(shù)列滿足則的前項(xiàng)和等于（）

A．

B．

C．

D．

5．設(shè)首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則（）

A．

B．

C．

D．

6．（2013新課標(biāo)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）

A．

B．

C．

D．

7．．

8．已知數(shù)列，則其前項(xiàng)和為

．

9.（2013江西）某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于棵,若第一天植棵,以后每天植樹的棵樹是前一天的倍,則需要的最少天數(shù)等于

．

10.．

11．(2013江蘇）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則滿足的最大正整數(shù)的值為

．

12．正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足:

.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）令,數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明:對(duì)于任意的,都有.參考答案：

1．B

2．B

3．C

4．C

5．D

6．C

7．8．

9．10.11．，.，..，所以的最大值為.12．（1）由,得.由于是正項(xiàng)數(shù)列,所以.于是時(shí),.綜上,數(shù)列的通項(xiàng).（2）證明:由于.則..

第三篇：數(shù)列求和方法及數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)列求和

一、常用公式法

直接利用公式求和是數(shù)列求和的最基本的方法．常用的數(shù)列求和公式有：

等差數(shù)列求和公式:

等比數(shù)列求和公式:

二、錯(cuò)位相減法

可以求形如 的數(shù)列的和，其中

為等差數(shù)列，為等比數(shù)列.例1：求和：.設(shè)

減法求和.解：，其中 為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比為，利用錯(cuò)位相，兩端同乘以，得，兩式相減得

于是.說明：錯(cuò)位相減法實(shí)際上是把一個(gè)數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問題.三、裂項(xiàng)相消法

適用于 階乘的數(shù)列等 例2

求數(shù)列{1/（＋)}的前n項(xiàng)和 其中{

}是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含解： ∵1/(＋)＝－(n＋1－n＝1)

分母有理化

∴1/（＝

＝＋)＋1/(－－1

＋)＋…＋1/(－

－)－1＋＋…＋說明：對(duì)于分母是兩二次根式的和，且被開方數(shù)是等差數(shù)列，利用乘法公式，使分母上的和變成了分子上的差，從

而Sn又因中間項(xiàng)相消而可求。

四、分組轉(zhuǎn)化法

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，能分為幾個(gè)

等差、等比或常見的數(shù)列，則對(duì)拆開后的數(shù)列分別求和，再將其合并即可求出原數(shù)列的和．

n例3 已知集合A＝{a|a＝2＋9n－4，n∈N且a＜2000}，求A中元素的個(gè)數(shù)，以及這些元素的和

1011解： 由 2＝1024，2＝2048 1010－4＜2000

知 2＋9×1110－4＞2000

2＋9×

∴ A中有10個(gè)元素,記這些元素的和為S10，則

(首項(xiàng)為9，公差為9的等差數(shù)列)

2310

S10＝2＋2＋2＋…＋2＋9＋18＋…＋90－4×

(首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列)

5－40＝2501

＝2(210－1)＋99× 說明：本題中A是一個(gè)集合，集合中的元素是不可重復(fù)的，也是沒有順序，所以集合與數(shù)列是不同的，但在求和時(shí)與10個(gè)元素的順序無關(guān)，所以可借用數(shù)列的方法求和。

五、配對(duì)求和法

對(duì)一些特殊的數(shù)列，若將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，則在數(shù)列求和時(shí)，可考慮把這些項(xiàng)放在一起先配對(duì)求和，然后再求Ｓｎ． 例4, 設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列。

滿足關(guān)系式：

（2）設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列使，求。（3）對(duì)（2）中的數(shù)列求和：。

（1997年上海高考試題）

解: 1）略；（2），（提示：）

（3）

（提示：配對(duì)求和）

六、數(shù)學(xué)歸納法

第一數(shù)學(xué)歸納法：（1）已知命題P(1)成立；

（2）若命題P(k)成立，則P(k?1)成立；

由（1）（2）可知命題P(n)都成立。

簡(jiǎn)單實(shí)例：證明1?2?3?4???2n?22n?1?2n?1(n?N*)； 第二數(shù)學(xué)歸納法：（1）已知命題P(1)成立；

（2）若當(dāng)n?k時(shí)命題P(k)都成立，則P(k?1)成立；

由（1）（2）命題P(n)都成立。

應(yīng)用的注意點(diǎn)：

（1）兩步缺一不可

（2）第二步證明是必須利用歸納假設(shè)；

例5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：。

證明：i)當(dāng)n=2時(shí)，左式=，右式=，∵，∴，即n=2時(shí)，原不等式成立。

ii)假設(shè)n=k(k≥2, k∈Z)時(shí)，不等式成立，即 ，則n=k+1時(shí)，左邊=

右邊=，要證左邊>右邊，只要證，只要證

2，只要證 4k+8k+4>4k+8k+3

只要證4>3。

而上式顯然成立，所以原不等式成立，即n=k+1時(shí)，左式>右式。

由i), ii)可知，原不等式對(duì)n≥2，n∈N均成立。

七.倒序相加法：

如果一個(gè)數(shù)列｛an｝，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法。

例6.求和

解析：據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，將倒序?qū)憺?/p>

以上兩式相加得：

八.待定系數(shù)法

類似等差數(shù)列，如果是關(guān)于的次式，那么它的前項(xiàng)和

次式的各項(xiàng)系數(shù)即可。

是關(guān)于的次式，且不含常數(shù)項(xiàng)。因此，只要求出這個(gè)例7.求和解析：由于通項(xiàng)是的二次式，則是的三次式，且不含常數(shù)項(xiàng)。

設(shè)，令得

解得

所以

九．無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和

符號(hào)：S?a1?a2?...?an?...?limSn

n??n??n??顯然：1）q?1，limSn?limna1不存在

2）q??1,，Sn??,1?a1，n?2m?ilSn不存在(m?N*)mn???0,n?2ma1(1?qn)3）q?1，limSn?lim不存在

n??n??1?qa1(1?qn)a4）q?1，limSn?lim?1

n??n??1?q1?q定義：我們把q?1的無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)的和Sn當(dāng)n??時(shí)的極限叫做無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，并用S表示，即S=

a1(q?1)。1?q注：1.無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與它的各項(xiàng)和S的區(qū)別與聯(lián)系； 2.前n項(xiàng)之和Sn是數(shù)列中有限個(gè)項(xiàng)的和,而無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和Sn是數(shù)列中所有的項(xiàng)的和,它們之間有著本質(zhì)的區(qū)別。

3.對(duì)有無窮多項(xiàng)的等比數(shù)列,我們是不可能把它們所有的項(xiàng)一一相加的,而是通過對(duì)它的前n項(xiàng)之和取極限運(yùn)算而求得,是用有限的手段解決無限的問題。

4.求和前提：0?q?1,q?0；公式表明它只求公比0?q?1,q?0 的無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和.數(shù)學(xué)歸納法

●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n?1)(an2+bn+c).12●案例探究

［例1］試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí)，均有：an+cn＞2bn.命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟.錯(cuò)解分析：應(yīng)分別證明不等式對(duì)等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應(yīng)只證明一種情況.技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.b證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn

qqnn

an?cna?cn(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

a2?c2a?c2?()①當(dāng)n=2時(shí)，由2(a+c)＞(a+c)，∴

22ak?cka?ck?(), ②設(shè)n=k時(shí)成立，即

22ak?1?ck?11?(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)則當(dāng)n=k+1時(shí)，2411＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)44a?cka?ca?ck+1＞()·()=()

2221［例2］在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an,Sn,Sn－成等比數(shù)列.2(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論；(3)求數(shù)列{an}所有項(xiàng)的和.2

22命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識(shí).知識(shí)依托：等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.錯(cuò)解分析：(2)中，Sk=－

1應(yīng)舍去，這一點(diǎn)往往容易被忽視.2k?3111}是以{}為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求得SnS12技巧與方法：求通項(xiàng)可證明{通項(xiàng)公式.11成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)

(*)222(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

3212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－

3315解：∵an,Sn,Sn－

(n?1)?1 2?同理可得：a4=－,由此可推出：an=? 2?(n?1)35?(2n?3)(2n?1)?(2)①當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，由(*)知猜想成立.2②假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，ak=－成立

(2k?3)(2k?1)故Sk2=－21·(Sk－)

2(2k?3)(2k?1)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 11(舍),Sk??2k?12k?311由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

22∴Sk=

2ak?1ak?11122?a??a??ak?1k?1k?12k?12k?12(2k?1)2

?2?ak?1?,即n?k?1命題也成立.[2(k?1)?3][2(k?1)?1]??1(n?1)?由①②知，an=?對(duì)一切n∈N成立.2?(n?2)?(2n?3)(2n?1)?(3)由(2)得數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=

1,∴S=limSn=0.n??2n?1數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

具體常用數(shù)學(xué)歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計(jì)算問題，數(shù)列的通項(xiàng)與和等.

第四篇：高一數(shù)學(xué) 數(shù)列求和教案

湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案：數(shù)列求和

教材：數(shù)列求和

目的：小結(jié)數(shù)列求和的常用方法，尤其是要求學(xué)生初步掌握用拆項(xiàng)法、裂項(xiàng)法和錯(cuò)位法求一些特殊的數(shù)列。

過程：

一、提出課題：數(shù)列求和——特殊數(shù)列求和

常用數(shù)列的前n項(xiàng)和：1?2?3????n?n(n?1)21?3?5????(2n?1)?n2

n(n?1)(2n?1)

6n(n?1)213?23?33????n3?[]

212?22?32????n2?

二、拆項(xiàng)法：

例

一、（《教學(xué)與測(cè)試》P91 例二）

1111?4,2?7,3?10,??,n?1?(3n?2),??的前n項(xiàng)和。aaaa1 解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為an，前n項(xiàng)和為Sn，則 an?n?1?(3n?2)

a111?Sn?(1??2????n?1)?[1?4?7????(3n?2)]

aaa求數(shù)列1?1,(1?3n?2)n3n2?n?當(dāng)a?1時(shí)，Sn?n?

221n(1?3n?2)nan?1(3n?1)na

當(dāng)a?1時(shí)，Sn? ??n?n?1122a?a1?a1?

三、裂項(xiàng)法：

例

二、求數(shù)列6666，,??，??前n項(xiàng)和 1?22?33?4n(n?1)?11?6(?)

n(n?1)nn?1解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為bn，則bn?

11111?Sn?b1?b2????bn?6[(1?)?(?)????(?)]223nn?1?6(1?16n)?n?1n?1 例

三、求數(shù)列111，??，??前n項(xiàng)和 1?21?2?31?2????(n?1)1211??2(?)

1?2????(n?1)(n?1)(n?2)n?1n?211111111n?)?(?)????(?)]?2(?)? 2334n?1n?22n?2n?2 解：?an? ?Sn?2[（四、錯(cuò)位法：

1}前n項(xiàng)和 n21111 解：Sn?1??2??3???????n?n ①

2482111111Sn?1??2??3????(n?1)?n?n?n?1 ② 248162211(1?n)1111112?n 兩式相減：Sn???????n?n?n?1?212248222n?11?21n1n?Sn?2(1?n?n?1)?2?n?1?n

2222例

四、求數(shù)列{n?例

五、設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn?(求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和

解：取n =1，則a1?(an?12)(n?N*)，2a1?12)?a1?1 2又： Sn?n(a1?an)n(a1?an)a?12?(n)

可得：222?an??1(n?N*)?an?2n?1

?Sn?1?3?5????(2n?1)?n2

五、作業(yè)：《教學(xué)與測(cè)試》P91—92 第44課 練習(xí)3，4，5，6，7 補(bǔ)充：1.求數(shù)列?1,4,?7,10,??,(?1)(3n?2),??前n項(xiàng)和

n??3n?1n為奇數(shù)?2(Sn??)

3n?n為偶數(shù)?22n?32n?1 2.求數(shù)列{n?3}前n項(xiàng)和(8?n?3)3.求和：(1002?992)?(982?972)????(22?12)(5050)4.求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n×(n + 1)(5.求數(shù)列1，(1+a)，(1+a+a)，……，(1+a+a+……+a

22n(n?1)(n?5))

3n

1)，……前n項(xiàng)和

a?0時(shí)，Sn?n a?1時(shí)，Sn?n(n?1)2

n(n?1)a?an?1a?1、0時(shí)，Sn?(1?a)2

第五篇：小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)畢業(yè)總復(fù)習(xí)試卷

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小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)畢業(yè)總復(fù)習(xí)試卷

數(shù)和數(shù)的運(yùn)算

1、整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)

一、填空題 1、5060086540讀作（）。

2、二百零四億零六十萬零二十寫作（）。3、5009000改寫成用“萬”作單位的數(shù)是（）。4、960074000用“億”作單位寫作（）；用“億”作單位再保留兩位小數(shù)（）。

5、把3/

7、3/8和4/7從小到大排列起來是（）。6、0，1，54，208，4500都是（）數(shù)，也都是（）數(shù)。

7、分?jǐn)?shù)的單位是1/8的最大真分?jǐn)?shù)是（），它至少再添上（）個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位就成了假分?jǐn)?shù)。8、0.045里面有45個(gè)（）。

9、把0.58萬改寫成以“一”為單位的數(shù)，寫作（）。

10、把一根5米長(zhǎng)的鐵絲平均分成8段，每一段的長(zhǎng)度是這根鐵絲的（），每段長(zhǎng)（）米。11、6/13的分?jǐn)?shù)單位是（），它里面有（）個(gè)這樣的單位。12（）個(gè)1/7是5/7；8個(gè)（）是 0.08。

13、把12.5先縮小10倍后，小數(shù)點(diǎn)再向右移動(dòng)兩位，結(jié)果是（）。

14、分?jǐn)?shù)單位是1/11的最大真分?jǐn)?shù)和最小假分?jǐn)?shù)的和是（）。

二、判斷（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“?#8221;）

1、所有的小數(shù)都小于整樹。（）

2、比7/9小而比5/9大的分?jǐn)?shù)，只有6/9一個(gè)數(shù)。（）2、120/150不能化成有限小數(shù)。（）3、1米的4/5與4米的1/5同樣長(zhǎng)。（）

4、合格率和出勤率都不會(huì)超過 100％。（）5、0表示沒有，所以0不是一個(gè)數(shù)。（）6、0.475保留兩位小數(shù)約等于0.48。（）

7、因?yàn)?/5比5/6小，所以3/5的分?jǐn)?shù)單位比5/6的分?jǐn)?shù)單位小。（）

8、比3小的整數(shù)只有兩個(gè)。（）9、4和0.25互為倒數(shù)。（）

10、假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)都小于1。（）

11、去掉小數(shù)點(diǎn)后面的0，小數(shù)的大小不變。（）12、5.095保留一位小數(shù)約是5.0。（）

三、選擇（將正確答案的序號(hào)填在括號(hào)里）1、1.26里面有（）個(gè)百分之一。（1）26（2）10（3）126

2、不改變0.7的值，改寫成以千分之一為單位的數(shù)是（）。（1）0.007（2）0.70（3）7.00(4)0.700

3、一個(gè)數(shù)由三個(gè)6和三個(gè)0組成，如果這個(gè)數(shù)只讀出兩個(gè)零，那么這個(gè)數(shù)是（）。（1）606060（2）660006（3）600606（4）660600

4、把0.001的小數(shù)點(diǎn)先向右移動(dòng)三位后，再向左移動(dòng)兩位，原來的數(shù)就（）。

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（1）擴(kuò)大10倍（2）縮小100倍（3）擴(kuò)大100倍 5、3.3時(shí)是（）

（1）3小時(shí)30分（2）3小時(shí)18分（3）3小時(shí)3分 6、2.85里有（）個(gè)百分之一。（1）5（2）85（3）285

7、最大的三位數(shù)比最小的三位數(shù)大（）（1）899（2）900（3）100

8、在9.9的末尾添上一個(gè)0，原數(shù)的計(jì)數(shù)單位就（）。（1）擴(kuò)大10倍（2）不變（3）縮小10倍

9、一個(gè)數(shù)的2/3是15，這個(gè)數(shù)是（）。（1）10（2）22.5（3）30

10、甲數(shù)的1/2等于乙數(shù)的1/3，那么甲數(shù)（）乙數(shù)。（1）大于（2）等于（3）小于

11、一個(gè)數(shù)，它的最高位是是十億位，這個(gè)數(shù)是（）位數(shù)。（1）八（2）九（3）十 4）十一 能力素質(zhì)提高

□里中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使第一個(gè)數(shù)最接近368萬，第二個(gè)數(shù)最接近10億。

368□700≈368萬

9□2600000≈10億

1、在下面的2、一個(gè)多位數(shù)，省略萬位后面的的尾數(shù)約是6萬，估計(jì)這個(gè)多位數(shù)在省略前最大只能是（），最小只能是（）。滲透拓展創(chuàng)新

1、根據(jù)前面三個(gè)數(shù)的規(guī)律，寫出后面那一個(gè)數(shù)來。2345、3452、4523、2、找規(guī)律填數(shù)。（1）1、2、4、（）、16、（）、64（2）有一列數(shù)，2、5、8、11、14、……問104在這列數(shù)中是第（）個(gè)數(shù)。

3、一本書共500頁，編上頁碼1、2、3、4、……499、500。問數(shù)字“2”在頁碼中一共出現(xiàn)了（）次？

智能趣題欣賞

從1、3、4、5、6、9中選取幾個(gè)數(shù)字替換“北京申辦奧運(yùn)”，使下面的算式成立。北＝（），京=（），申＝（）辦＝（）、奧＝（），運(yùn)＝（）。北京申辦 ＋ 奧運(yùn)

數(shù)學(xué)整除

一、填空題 1、24和8，（）是（）的約數(shù)，（）是（）的倍數(shù)。

2、在1、2、3、9、24、41和51中，奇數(shù)是（），偶數(shù)是（），質(zhì)數(shù)是（），合數(shù)是

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（），（）是奇數(shù)但不是質(zhì)數(shù)，（）是偶數(shù)但不是合數(shù)。

3、一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是12，這個(gè)數(shù)有（）個(gè)約數(shù)。4、21的所有約數(shù)是（），21的全部質(zhì)因數(shù)有（）

5、一個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)是10以內(nèi)所有的質(zhì)數(shù)，這個(gè)合數(shù)是（）。

6、a=2?? ,b=2??,a、b兩數(shù)的最大公約數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。

7、a與b是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)是（），它們的最小公倍數(shù)是（）。8、20以內(nèi)，既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)是（），是奇數(shù)但不是質(zhì)數(shù)的數(shù)是（）。

9、把171分解質(zhì)因數(shù)是（）。

二、判斷（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“?#8221;）

1、任何自然數(shù)都有兩個(gè)約數(shù)。（）

2、互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)沒有公約數(shù)。（）

3、所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。（）

4、一個(gè)自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)。（）

5、因?yàn)?1?＝3，所以21是倍數(shù)，7是約數(shù)。（）

6、質(zhì)數(shù)可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)。（）

7、因?yàn)?0＝3??，所以3、4、5都是60的質(zhì)因數(shù)。（）8、8能被0.4整除。（）9、18既是18的約數(shù)，又是18的倍數(shù)。（）

10、有公約數(shù)1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。（）

11、因?yàn)?和13的公約數(shù)只有1，所以8和13是互質(zhì)數(shù)。（）

12、所有偶數(shù)的公約數(shù)是2。（）

三、選擇（將正確答案的序號(hào)填在括號(hào)里）

1、下面各組數(shù)中，第一個(gè)數(shù)能整除第二個(gè)數(shù)的是（）（1）0.2和0.24（2）35和5（3）5和25

2、下面各組數(shù)，一定不能成為互質(zhì)數(shù)的一組是（）（1）質(zhì)數(shù)與合數(shù)（2）奇數(shù)與偶數(shù)（3）質(zhì)數(shù)與質(zhì)數(shù)（4）偶數(shù)與偶數(shù)

3、把210分解質(zhì)因數(shù)是（）（1）210＝2（2）210＝2??1（3）210＝3?2?

4、兩個(gè)奇數(shù)的和（）

（1）是奇數(shù)（2）是偶數(shù)（3）可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)

5、如果a、b都是自然數(shù)，并且a鱞=4,那么數(shù)a和數(shù)b的最大公約數(shù)是（）。（1）4（2）a（3）b

6、一個(gè)合數(shù)至少有（）個(gè)約數(shù)。（1）1（2）2（3）3 7、6是36和48的（）

（1）約數(shù)（2）公約數(shù)（3）最大公約數(shù)

8、有4、5、7、8這四個(gè)數(shù)，能組成（）組互質(zhì)數(shù)。（1）3（2）4（3）5

9、一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)正方形的周長(zhǎng)一定是（）（1）質(zhì)數(shù)（2）奇數(shù)（3）偶數(shù)

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10、下面各數(shù)中能被3整除的數(shù)是（）（1）84（2）8.4（3）0.6

11、下列各數(shù)中，同時(shí)能被2、3和5整除的最小數(shù)是（）（1）100（2）120（3）300 12、8和5是（）

（1）互質(zhì)數(shù)（2）質(zhì)數(shù)（3）質(zhì)因數(shù)

13、已知a能整除23，那么a是（）（1）46（2）23（3）1或23

14、如果用a表示自然數(shù)，那么偶數(shù)可以表示為（）（1）a+2(2)2a(3)a-1(4)2a-1

15、一個(gè)能被9、12、15整除的最小數(shù)是（）（1）3（2）90（3）180

能力素質(zhì)提高

1、甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是3，最小公倍數(shù)是30，已知甲數(shù)是6，乙數(shù)是（）。

2、一個(gè)數(shù)被6、7、8除都余1，這個(gè)數(shù)最小是（）。

3、有9、7、2、1、0五個(gè)數(shù)字，用其中的四個(gè)數(shù)字，組成能同時(shí)被2、3、5整除的最小的四位數(shù)是（）。

4、某公共汽車始發(fā)站，1路車每5分鐘發(fā)車一次，2路車每10分鐘發(fā)車一次，3路車每12分鐘發(fā)車一次。這三路汽車同時(shí)發(fā)車后，至少再經(jīng)過（）分鐘又同時(shí)發(fā)車？ 滲透拓展創(chuàng)新

1、五1班同學(xué)上體育課，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人。問上體育課的同學(xué)最少多少名？

2、小紅在操場(chǎng)周圍種樹，開始時(shí)每隔3米種一棵，種到9棵后，發(fā)現(xiàn)樹苗不夠，于是決定重種，改為每隔4米一棵，這時(shí)重種時(shí)，不必再拔掉的樹有多少棵？ 智能趣題欣賞

一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，結(jié)果學(xué)生中1/7獲得一等獎(jiǎng)，1/3獲得二等獎(jiǎng)，1/2獲得三等獎(jiǎng)，其余獲紀(jì)念獎(jiǎng)。已知參加這次競(jìng)賽的學(xué)生不滿50人，問獲紀(jì)念獎(jiǎng)的有多少人？

3、四則運(yùn)算和四則混合運(yùn)算

代數(shù)初步知識(shí)

一、填空題

用含有字母的式字表示下面的數(shù)量。

1、圖書館原有書x本，又買來240本。圖書館現(xiàn)在有圖書（）本。

2、每個(gè)方格本x元，小明買了6本，應(yīng)付款（）元。

3、蘋果的重量是a千克，梨的重量是蘋果的3倍，那么，3a表示（）。

4、甲數(shù)減去乙數(shù)，差是8，甲數(shù)是a,乙數(shù)是（）。

5、邊長(zhǎng)為b厘米的正方形的周長(zhǎng)是（）厘米，面積是（）厘米。

6、一列火車每小時(shí)行78.5千米，x小時(shí)行（）千米。

7、說出每個(gè)式子所表示的意義。

（1）某班同學(xué)每天做數(shù)學(xué)題a道，7a表示。

（2）四年級(jí)同學(xué)訂《中國(guó)少年報(bào)》120份，比五年級(jí)多訂x份，120-x表示。每份《中國(guó)

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少年報(bào)》a 元，120a表示，（120-x)a表示。

（3）一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)a厘米，4a表示（），a2表示（）。（4）張老師買了3個(gè)排球，每個(gè)排球x元，付給售貨員245元，245 －3x表示（）。8、0.9∶0.6＝9∶（）

9、如果y=5x，那么x和y成（）比例。10把1/2∶3/4化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比是（）。

11、甲數(shù)是乙數(shù)的5倍，甲數(shù)與乙數(shù)的比是（）。

12、一個(gè)比的比值是3/4，它的前項(xiàng)是12，后項(xiàng)是（）。

13、如果7x=8y，那么x∶y=（）∶（）

14、在比例尺是1∶5000000的地圖上，量的甲乙兩地的距離是8厘米，甲乙兩地的實(shí)際距離是（）千米。15、1/7∶0.04化成最簡(jiǎn)整數(shù)比是（）。

16、大圓的半徑與小圓半徑的比是3∶1，則大圓的面積是小圓的面積的（）倍。

二、判斷（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“?#8221;）1、3+4x=23是方程。（）

2、含有未知數(shù)的式子叫做方程。（）

3、a譨=2a。（）

4、c+c=2c。（）5、3千克西紅柿a元，求1千克西紅柿多少元的算式是a?。（）

6、比例尺一定，圖上距離和實(shí)際距離成正比例。（）

7、a是b的5/7，數(shù)a和數(shù)b成正比例。（）

8、在比例里，如果兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的乘積是1，那么，組成比例外項(xiàng)的兩個(gè)數(shù)一定互為倒數(shù)。（）

9、如果4a=3b,那么a∶b=3∶4。（）

10、圓的周長(zhǎng)一定，直徑和圓周率成反比例。（）

三、選擇題（將正確答案的序號(hào)填在括號(hào)里）

1、下列各式中，（）是方程。

（1）4x+5（2）5?＝15?（3）30+2x＝80 2、4x+8錯(cuò)寫成4（x+8)結(jié)果比原來（）（1）多4（2）少4（3）多24（4）小6

3、x=25是（）方程的解。（1）100鱴=4(2)x?2.5=3(3）25+3x=90

4、把1.2噸∶300千克化成最簡(jiǎn)整數(shù)比是（）（1）1∶250（2）1200∶300(3)4∶1(4)4

5、把5克鹽放入50克水中，鹽和水的比是（）。（1）1∶9（2）1∶8（3）1∶10（4）1∶11

6、圓的半徑與面積（）。

（1）成正比例（2）成反比例（3）不成比例

7、在一幅地圖上，甲、乙兩地之間的距離是3厘米，甲、乙兩地的實(shí)際距離是150千米。

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這幅地圖的比例尺是（）

（1）1∶50（2）1∶50000（3）1∶500000

8、在比例尺是1∶100000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是3厘米。甲、乙兩地的實(shí)際距離是（）。

（1）300千米（2）30千米（3）3千米（4）0.3千米

四、解比例 1、1.25∶0.25＝x∶1.6 2、3/4∶x=3∶12

五、列出方程，并求出方程的解。1、54減去某數(shù)的4倍等于6，求某數(shù)。

2、一個(gè)數(shù)的3/5加上16的和是28，求這個(gè)數(shù)。

六、解答應(yīng)用題

1、某實(shí)驗(yàn)小學(xué)男女教師人數(shù)的比是2∶5，女教師有35人，男教師有多少人？

2、配制一種農(nóng)藥，其中藥與水的比為1∶150。

①要配制這種農(nóng)藥755千克，需要藥和水各多少千克？

②有藥3千克，能配制這種農(nóng)藥多少千克？

③如果有水525千克，要配制這種農(nóng)藥，需要放進(jìn)多少千克的藥？

3、童樂幼兒園共有150本圖書，其中的40％分給大班，剩下的圖書按4∶5分給小班和中班，小班和中班各分到多少本？

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4、兩個(gè)車間共有150人，如果從一車間調(diào)出50人，這時(shí)一車間人數(shù)是二車間的2/3，二車間原有多少人？

能力素質(zhì)提高

1、一套課桌椅的價(jià)錢是105元，其中椅子的價(jià)錢是課桌的5/7。椅子的價(jià)錢是多少元？（用不同的知識(shí)解答）

2、楓葉服裝廠接到生產(chǎn)一批襯衫的任務(wù)，前5天生產(chǎn)600件，完成了任務(wù)的40％。照這樣計(jì)算，完成這項(xiàng)任務(wù)一共需要多少天？（用不同的知識(shí)解答）

3、一架飛機(jī)所帶的燃料最多可以用6小時(shí)，飛機(jī)去時(shí)順風(fēng)，每小時(shí)可以飛行1500千米，飛回時(shí)逆風(fēng)，每小時(shí)可以飛行1200千米，問這架飛機(jī)最多能飛行多少千米就需要往回飛？

滲透拓展創(chuàng)新

1、學(xué)校買來8個(gè)足球和60根跳繩，共用去274.2元。每個(gè)足球的價(jià)錢比32根跳繩的價(jià)錢還多0.7元，每個(gè)足球多少元？

2、當(dāng)甲在60米賽跑中沖過終點(diǎn)線時(shí)，比乙領(lǐng)先10米，比丙領(lǐng)先20米，如果乙和丙按原來的速度繼續(xù)沖向終點(diǎn)，那么當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)侯，將比丙領(lǐng)先多少米？

智能趣題欣賞

甲、乙兩袋糖的重量比是4∶1，從甲袋中取出10千克糖放入乙袋，這時(shí)兩袋糖的重量比為7∶5，求兩袋糖的重量之和。

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應(yīng)用題

1、簡(jiǎn)單應(yīng)用題、復(fù)合應(yīng)用題

1、下面的列式哪一個(gè)是正確的，請(qǐng)?jiān)谒闶缴洗蚬础?/p>

（1）一個(gè)修路隊(duì)要筑一條長(zhǎng)2100米的公路，前5天平均每天修240米，余下的任務(wù)要求3天完成，平均每天要修多少米？

①2100－240?? ②（2400－240）? ③（2100－240?）?

（2）一個(gè)裝訂小組要裝訂2640本書，3小時(shí)裝訂了240本。照這樣計(jì)算，剩下的書還需要多少小時(shí)能裝訂完？

①（2640－240）?40 ②2640?#65288;240?）③（2640－240）?#65288;240?)

（3）一個(gè)機(jī)耕隊(duì)用拖拉機(jī)耕6.8公頃棉田，用了4天。照這樣計(jì)算，再耕13.6公頃棉田，一共要用多少天？

①13.6?6.8?)②13.6?6.8?)+4 ③(13.6+6.8)?6.8?)

（4）一個(gè)筑路隊(duì)鋪一段鐵路，原計(jì)劃每天鋪3.2千米，15天鋪完。實(shí)際每天比原計(jì)劃多鋪0.8千米，實(shí)際多少天就鋪完了這段鐵路？

①3.2?5?.8 ②3.2?5?#65288;3.2－0.8）③3.2?5?#65288;3.2+0.8）

（5）某化工廠采用新技術(shù)后，每天用原料14噸。這樣，原來7天用的原料，現(xiàn)在可以用10天。這個(gè)廠現(xiàn)在比過去每天節(jié)約多少噸原料？ ①14??0－14 ②14?0?－14 ③14－14?0? ④14－14??0

2、解答下列應(yīng)用題。

（1）昌盛農(nóng)場(chǎng)要收割小麥16.4公頃，已經(jīng)收割了3天，每天收割1.8公頃。如果從第四天起，每天收割2.2公頃，那么剩下的小麥還需多少天收割完？

（2）食堂運(yùn)來120噸煤，已經(jīng)燒了40天，每天燒1.2噸，余下的要30天燒完，平均每天燒多少噸？

（3）某班存放科技書150本，故事書比科技書的2倍少50本，故事書有多少本？

（4）5臺(tái)粉碎機(jī)3小時(shí)可粉碎飼料37.5噸。照這樣計(jì)算，12臺(tái)同樣的粉碎機(jī)每小時(shí)可粉碎飼料多少噸？

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（5）甲乙兩汽車從相距600千米的兩城市相對(duì)開出，甲汽車每小時(shí)行65千米，乙汽車每小時(shí)行55千米，兩車開出幾小時(shí)后相遇？

（6）甲、乙兩艘軍艦，從兩個(gè)港口對(duì)開，甲艦每小時(shí)行42千米，乙艦每小時(shí)行38千米。乙艦開出1小時(shí)后，甲艦才開出。再經(jīng)過4小時(shí)兩艦相遇。兩個(gè)港口相距多少千米？

（7）張明家原來每月用水28噸，使用節(jié)水龍頭后，原來一年用的水，現(xiàn)在可以多用2個(gè)月。現(xiàn)在每個(gè)月用水多少噸？

（8）有一桶油，已經(jīng)用去了全部的2/5，桶里還剩48千克。這桶油重多少千克？

（9）某園林廠去年載樹4500棵，今年計(jì)劃比去年多載20％，今年計(jì)劃載樹多少棵？

能力素質(zhì)提高

1、黃河號(hào)貨輪從甲港開往乙港，已經(jīng)航行了85千米，正好航行了甲乙兩港航道的5/7。這只貨輪離乙港還有多少千米？

2、鋪路隊(duì)鋪一條路，每天鋪2.5千米，7天鋪好全長(zhǎng)的5/8。這條路全長(zhǎng)多少千米？

滲透拓展創(chuàng)新

1、五年級(jí)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，女生有12人，相當(dāng)于男生參賽人數(shù)的2/3。比賽結(jié)果，獲獎(jiǎng)人數(shù)占參賽人數(shù)的70％，獲獎(jiǎng)的有多少人？

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2、李阿姨想買兩袋米（每袋35.4元）、14.8元的肉、6.7元的蔬菜和12.8元的魚。李阿姨帶了100元，夠嗎？

智能趣題欣賞

小紅和小強(qiáng)同時(shí)從家里出發(fā)相向而行。小紅每分走52米，小強(qiáng)每分走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分出發(fā)，且速度不變，小強(qiáng)每分走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強(qiáng)兩人的家相距多少米？

列方程解應(yīng)用題和用比例知識(shí)解應(yīng)用題

1、找出下面數(shù)量間的相等關(guān)系。

（1）某班男生人數(shù)比女生人數(shù)多7人。

（2）籃球的個(gè)數(shù)是足球個(gè)數(shù)的4倍。

（3）梨樹比蘋果樹的3倍多15棵。

（4）買3支鋼筆比買5支圓珠筆多花1.5元。

（5）兩根同樣長(zhǎng)的鐵絲，一根圍成正方形，一根圍成圓。

2、列方程解答下列應(yīng)用題。

（1）一種收音機(jī)每臺(tái)售價(jià)今年比去年降低25％，今年每臺(tái)售價(jià)36元，去年每臺(tái)售價(jià)多少元？

（2）兩地相距120千米，甲、乙兩人騎自行車同時(shí)從兩地相對(duì)出發(fā)，甲車每小時(shí)行14千米，經(jīng)過4小時(shí)后與乙車相遇，乙車每小時(shí)行多少千米？

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（3）學(xué)校書畫節(jié)的展品共有800件。其中美術(shù)展品與書法展品的比是5∶3，兩種展品各有多少件？

（4）甲、乙兩城市間的實(shí)際距離是120千米，在比例尺1∶4000000的地圖上，這兩個(gè)城市間的圖上距離是多少？

（5）在比例尺是1∶4000000的中國(guó)地圖上，量得北京到韶山的距離是35厘米。北京到韶山的實(shí)際距離是多少千米？

（6）一臺(tái)織布機(jī)4小時(shí)可以織布24米，照這樣計(jì)算，要織布54米，需要幾小時(shí)？（用比例解）

（7）王剛從家去學(xué)校，每分走60米，15分可以走到學(xué)校。如果每分走75米，幾分可以走到學(xué)校？（用比例解）

（8）有兩桶油，甲桶油的重量是乙桶油的1.2倍，如果再往乙桶里倒入5千克油，兩桶油就一樣重了。原來兩桶油各有多少千克？

能力素質(zhì)提高

1、修一條路，原計(jì)劃15天完成，實(shí)際每天修300米，結(jié)果提前3天完成，原計(jì)劃每天修多少米？

2、一輛汽車油箱里儲(chǔ)油102升，行使了56千米正好耗油8升。照這樣計(jì)算，剩下的油還可以行使多少千米？

3、某人步行4小時(shí)走了22.4千米，照這樣的速度，如果再走3小時(shí)，一共可以走多少千米？(用比例解）

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4、童樂幼兒園共有150本圖書，其中的40％分給大班，剩下的圖書按4∶5分給小班和中班，小班和中班各分到多少本？

5、一套課桌椅的價(jià)錢是105元，其中椅子的價(jià)錢是課桌的5/7。椅子的價(jià)錢是多少元？（用不同的知識(shí)解答）

6、楓葉服裝廠接到生產(chǎn)一批襯衫的任務(wù)，前5天生產(chǎn)600件，完成了任務(wù)的40％。照這樣計(jì)算，完成這項(xiàng)任務(wù)一共需要多少天？（用不同的知識(shí)解答）

滲透拓展創(chuàng)新

1、某車間原有鋅和銅共84千克，現(xiàn)在要把鋅和銅按1∶2熔鑄成一種合金，需要添加12千克銅。原有銅多少千克？

2、一個(gè)長(zhǎng)方體的模型，所有棱長(zhǎng)的和是72分米，長(zhǎng)、寬、高的比是4∶3∶2，這個(gè)長(zhǎng)方體模型的體積是多少立方分

智能趣題欣賞

小明讀一本書，上午讀了一部分，這時(shí)讀的頁數(shù)與未讀頁數(shù)的比是1∶9；下午比上午多讀6頁，這時(shí)已讀的頁數(shù)與未讀的頁數(shù)的比變成了1∶3。這本書共多少頁？

量的計(jì)量

課內(nèi)四基達(dá)標(biāo)

一、填空題

1、在（）里填上適當(dāng)?shù)挠?jì)量單位。一支鉛筆長(zhǎng)15（）一張課桌寬5（）

一間教室的占地面積是35（）

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一個(gè)火柴盒的體積是24（）一種保溫瓶的容量是1.2（）小亮身高143（）長(zhǎng)江全長(zhǎng)6300（）2、1996年的2月有（）天。3、1997年香港回歸祖國(guó)，這一年有（）天。

4、用棱長(zhǎng)1厘米的小正方體木塊堆成一個(gè)棱長(zhǎng)1分米的正方體，需要（）塊。5、4500米＝（）千米

3.25千米＝（）千米（）米 1噸50千克＝（）噸

1.02立方米=（）立方米（）立方分米 9000克＝（）千克

0.65米＝（）分米＝（）厘米 6、2003年的第一季度有（）天 2008年的二月有（）天

7、某商店每天9∶00—18∶00營(yíng)業(yè)，全天營(yíng)業(yè)（）小時(shí)。

8、老師早上7∶30到校，中午11∶30午休，上午老師在學(xué)校工作的時(shí)間是（時(shí)。

二、判斷（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“?#8221;）

1、每年都有365天。（）

2、一年中有4個(gè)大月，7個(gè)小月。（）

3、小華說：“我表弟是1998年2月29日出生的。”（）4、1900年是平年。（）

5、鐘表上分針轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是時(shí)針的60倍。（）

6、面積單位比長(zhǎng)度單位大。（）7、2時(shí)36分＝2.36時(shí)。（）8、17時(shí)45分也就是下午5時(shí)45分。（）

9、直線比射線長(zhǎng)。（）10、40分＝4時(shí)。（）

11、相鄰的兩個(gè)體積單位間的進(jìn)率是1000。（）

三、選擇（將正確答案的序號(hào)填在括號(hào)里）

1、測(cè)量課桌的長(zhǎng)用（）。

（1）重量單位（2）長(zhǎng)度單位（3）面積單位 2、2000年是（）

（1）平年（2）閏年（3）不能確定

3、一個(gè)正方體的體積是1立方分米，它的棱長(zhǎng)是（），它的一個(gè)面的面積是（（1）1分米（2）10分米（3）1平方分米（4）10平方分米

4、相鄰的兩個(gè)面積單位的進(jìn)率是（）。（1）10（2）100（3）1000 5、2/5時(shí)＝（）分

（1）4分（2）40分（3）24分）。）小

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四、解答應(yīng)用題

1、一塊棉花地長(zhǎng)280米，寬250米，合多少公頃？如果每公頃產(chǎn)棉花960千克，這塊地可產(chǎn)棉花多少公頃？

2、李老師家新買了一套96平方米的單元房，每平方米1200元，李老師買房需要多少錢？

3、河西村有一塊平行四邊形的實(shí)驗(yàn)田，底長(zhǎng)600米，高250米。平均每公頃收稻谷1.2噸，這塊田可收稻谷多少噸？

4、油漆一個(gè)圓柱形鐵皮通風(fēng)管。管長(zhǎng)1.8米，管口直徑1分米，如果每平方米用油漆0.2千克，至少要用油漆多少千克？

5、一輛市內(nèi)公共汽車，從早晨7時(shí)發(fā)車到晚上9時(shí)停止，每隔10分發(fā)一輛車，這一天共發(fā)車多少輛？

能力素質(zhì)提高

1、調(diào)查或查閱資料后填空。（1）一封平信不得超過（）。（2）一輛卡車的載重量是（）。（3）亞洲的面積是（）。

（4）世界最高的珠穆朗瑪峰海拔（）。（5）北京到深圳的鐵路長(zhǎng)（）。（6）你家一年大約用水（），用電（）。（7）你家房子的居住面積是（）。（8）你家每月的生活費(fèi)是（）。

2、（）平方分米＝2.4平方米

（）噸（）千克＝3.05千克（）時(shí)（）分3.4時(shí)

1.75千米＝（）千米（）米

7020立方分米＝（）立方米（）立方分米

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滲透拓展創(chuàng)新

1、測(cè)量大約1000米的路程，你能想出幾種不同的測(cè)量方法？

2、測(cè)量一座摩天大樓所占的空間，你能想出幾種不同的測(cè)量方法？

幾何初步知識(shí)

課內(nèi)四基達(dá)標(biāo)

一、填空題

1、從一點(diǎn)引出（）,就組成一個(gè)角。

2、在鐘面上，6點(diǎn)鐘的時(shí)侯，分針和時(shí)針?biāo)鶌A的角是（）度。

3、一個(gè)圓形花壇，它的直徑是3米，這個(gè)花壇的周長(zhǎng)是（）米，面積是（）平方米。

4、一個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)6厘米，面積是15平方厘米，這個(gè)三角形底邊上的高是（）厘米。

5、用圓規(guī)畫一個(gè)周長(zhǎng)是9.42厘米的圓，圓規(guī)兩腳間的距離是（）。

6、一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大3倍，面積就擴(kuò)大（）。

7、過一點(diǎn)能畫（）條直線；過兩點(diǎn)能畫（）條直線。

8、用一根24厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)最大的正方形，這個(gè)正方形的周長(zhǎng)是（）

9、當(dāng)長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)相等時(shí)，（）的面積較大。

10、把兩個(gè)棱長(zhǎng)都是3厘米的正方體，拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是（），體積是（）。

11、把圓柱的側(cè)面展開，得到一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng) 等于圓柱底面的（），寬等于圓柱的（）。

12、圓錐的底面是（）形，圓錐的側(cè)面是一個(gè)（）面。

13、一根圓柱形鋼材體積是882立方厘米，底面積是42平方厘 米，它的高是（）厘米

14、把一根長(zhǎng)3米，底面半徑5厘米的圓柱形木料鋸成兩段，表面積增加（）平方厘米

15、把一個(gè)圓柱體側(cè)面展開，得到一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱體底面半徑是0.5分米，圓柱體的高是（）分米。

16、小圓的半徑3厘米，大圓的半徑5厘米，大圓面積和小圓 面積最簡(jiǎn)單的整數(shù)比是（）。

17、已知圓柱底面的半徑 r 和高 h，圓柱體積的計(jì)算公式是：（）。

二、判斷（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“?#8221;）

1、一條射線長(zhǎng)50厘米。（）

2、兩個(gè)圓柱的側(cè)面積相等，它們的底面周長(zhǎng)也一定相等（）