第一篇：數(shù)學學習心得體會

數(shù)學歷來為大家所頭痛，我的數(shù)學也不是特別的好，所幸的是在本次專升本考試中沒有成為“拖油瓶”。下面是我學習數(shù)學的一點點經(jīng)驗之談，也是我學習數(shù)學的幾個思考總結(jié)。希望可以帶給大家一些幫助。一是基礎(chǔ)一定要學好，一定要重視課本的學習。

過去自己總認為要學好數(shù)學就是要去做難題。所以只是去做題，而不重視很基礎(chǔ)的概念，分析，證明過程。花了很多時間在數(shù)學上，可是數(shù)學就是學不好！后來把過去的課本找出來，一道一道的去做題，去思考。過去想不明白，但很基礎(chǔ)的地方，一定要自己想明白。后來學習感覺到學習數(shù)學不再很難了。

二是要自己思考，想明白，同時自己動手很重要。

做題重在自己多想，多做。只是去看題，沒有用的。一定要去動手做！把所有過程一定要都寫下來！只有這樣才能夠真正是自己的數(shù)學能力得到提高！不然，數(shù)學是學不好的！三是復習要全面，不要留有不懂的知識點。

不要放棄很難的考點，不要認為哪個知識點過去沒考過，就認為一定不再考了。從今年的數(shù)學真題已經(jīng)可以很明白的看出，什么考點最近幾年出少了，它們就會在今年的考試中出現(xiàn)！所以，復習一定不要給自己留有不會的知識。

四是認真對待過去真題。深入分析出題思路。

不要認為考試會出現(xiàn)過去出過的題目，但也不要以此認定真題沒有用！真題的作用，在于它的出題風格，出題規(guī)律。它不見得很難，很偏，但它體現(xiàn)的是出題的方向，所以它一定是最貼近當年的研究生考

試的題！什么模擬題都比不過它！所以，一定能夠要對真題相當重視！五是不要做太多的題，但要保證一定的做題的量。

做題要精，不再多。重在去好好思考。但過少了，也是不好的。因為學習數(shù)學，沒有做一定的題目，也是很難學好的。這要看不同的人的學習基礎(chǔ)了。

六是要定期模擬，檢測自己的學習質(zhì)量。

不要等到快考試了，才發(fā)現(xiàn)自己的效率很不好。定期模擬，可以使自己更容易發(fā)現(xiàn)學習中出現(xiàn)的問題。并在適當?shù)臅r間里進行改正，以使自己的數(shù)學學習保證正確的方向。

數(shù)學的重要性不說大家都知道。這里把我復習數(shù)學的一些思考與大家交流。共同學習，共同進步。最后祝大家在云飛能圓了自己的夢想！

程景

第二篇：數(shù)學學習心得體會

“把課堂的精彩還給學生”

---參加國家名師高效教學觀摩研討會心得體會

2016年3月19日-20日，我有幸參加了在德州學院音樂系禮堂舉辦的“國家名師高效教學觀摩研討會”，聆聽了吳正憲、張齊華、強震球、杜海良、趙震、薛錚等幾位名師的授課，一堂堂生動的示范課讓我們領(lǐng)略到數(shù)學深邃的思想以及教學的藝術(shù)魅力，精彩的預設(shè)與生成，恰當?shù)狞c撥與啟發(fā)，感動著在場的每一位老師。

幾位老師的共同點在于總是在適當?shù)臅r候提出一些疑問，引起學生的思考，從而突破難點。設(shè)計精妙，環(huán)環(huán)相扣，對知識點層層深入、點點剖析，并且非常注重數(shù)學思想的滲透。下面是我學習后的感受：

一、俯下身子與孩子對話

從名師與我們平時和孩子溝通的語言對比中可以知道，他們與孩子對話中有一種無形的拉近距離感，能讓孩子們從乏味的教學中，主動學習起來。每一位名師在與孩子們上課前都會親近的與他們攀談，這樣的課前交談，看似簡單、平淡、多余，實際上縮短了師生心理距離，營造了寬松和諧、自由活躍的課堂氛圍。

二、以學生的探究與交流為主，教師適當點撥，營造輕松的教學氛圍

教學過程是師生間共同參與、交流、互動的過程，是教師指導學生學習的過程。因此教師不應該把學生看成是“容器”，強行灌輸，而應把學生看成是主動的、生動活潑的、發(fā)展著的認識的主體。一個教師無論學識如何廣博，都必須始終站在學生這個主體位置。而不是站在演員這個角度上去表演。即使你的表演再精彩，如果學生要是學不到真正的知識，培養(yǎng)不了解決問題的能力，也是一節(jié)失敗的課。

吳正憲老師執(zhí)教的“小數(shù)除法”一課，圍繞著“剩下的余數(shù)‘1’怎么辦”也就是1元錢到底怎么分的問題，展開了激烈的討論，有的把1元變成10角，把1角變成10分；有的把1元直接變成100分；有的同學直接看到把1元分成4份，每份就是0.25元；在激烈的討論中，學生思維迸發(fā)，學生“活了”，知識也跟著“活了”。

趙震老師執(zhí)教的“加法、乘法交換律”一課，老師引導學生通過舉例驗證的方式得到了加法交換律，趙老師啟發(fā)學生根據(jù)剛才的學習做其他的猜想，學生猜乘法交換律、減法交換律、除法交換律，老師沒有急于給出答案，而是讓學生自己討論交流驗證，學生通過自己的努力排除了減法和除法交換律，在這個過程中，學生不僅學到了知識，而且學到了數(shù)學中一個非常重要的方法——舉例驗證。

三、今后努力的方向

1、備課前需要思考的問題。

課前設(shè)計教案設(shè)計課要多思考為什么教材編寫者要以這樣的方式呈現(xiàn)這個內(nèi)容;學生之前的認知程度;教材在整個小學教學體系中所處的位置;明白孩子在學習這個知識的過程中的軟肋，而不是照搬別人設(shè)計精彩的環(huán)節(jié)，精彩的習題。

2、找到學生學習認知和數(shù)學知識增長之間的連接點。整體把握教材中知識點之間本質(zhì)的聯(lián)系，站在一個整體聯(lián)系的層次去審視和處理教材，向?qū)W生傳遞一個完整的數(shù)學思想，幫助學生建立一個融會貫通的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。還應鼓勵學生學會聯(lián)系看問題的思維習慣，他們應被鼓勵尋找聯(lián)系以幫助他們理解和解決問題。

第三篇：學習數(shù)學心得體會

讀《數(shù)學學習心理學》心得

北市成功高中 游經(jīng)祥老師

一、前言

數(shù)學教學可說是一種藝術(shù)，而且也是教師一直在自我調(diào)整，自我成長的一門學問。筆者對數(shù)學教育可說是門外漢，有幸參與研讀Richard Skemp所著的《數(shù)學學習心理學》，讓筆者從中體會到一些數(shù)學教育的大略。這是一本結(jié)合心理學理論和數(shù)學教學經(jīng)驗的好書，在研讀討論過程中，讓筆者不時常有『心有戚戚焉』的感覺，也讓筆者感到『教學』專業(yè)之中，還有這麼多細密的內(nèi)涵存在，進而對數(shù)學教學的價值觀以及數(shù)學教學的意義，有更進一步的體會。由於本書內(nèi)容豐富，筆者便以分段式的方式提出心得，並期望在每一段落中，給出高中教材的相關(guān)例子，以參照這幾年來筆者自己的教學經(jīng)驗。換句話說，在本文中，筆者一方面肯定本書所提出的概念，另一方面，則也要強調(diào)筆者教學經(jīng)驗的自我印證。在此，我很感謝同事杜雲(yún)華老師、蘇意雯老師、蘇慧珍老師的集思廣義，以及洪萬生教授的問題討論。

二、數(shù)學概念

我們數(shù)學的學習從無到有，頇經(jīng)過多少歲月學習，及許多師長的引導啟發(fā)，再加上我們?nèi)祟惖闹橇π袨椋鞣矫嬉蚓壍臅郏瑪?shù)學方能達到如今成熟的地步。人類由活動中吸取經(jīng)驗，由經(jīng)驗中學習而化為行為；因此，人類的智力行為乃從經(jīng)驗，再由經(jīng)驗、事物的分類、歸類之中，而產(chǎn)生心智中的『歸檔』。在這種心智活動過程中，我們由語言經(jīng)驗，經(jīng)分類、歸納，進而將之抽象化，而這抽象化後的事物存在心中，便稱之為『概念』。平常數(shù)學中所謂的『定義』，即是將某一數(shù)學概念的範圍更加精確地顯示出來。因此，數(shù)學中的『定義』，乃是前人心血累積所成的數(shù)學概念。

在此，筆者提出高中數(shù)學教材中的例子，來對數(shù)學概念作一印證。在高一上學期的數(shù)系中，有一單元目標是為了幫助學生認識複數(shù)系，即C={a+bi|a，b?R，i=?1}。在此之前，高一學生的心中對於數(shù)的概念只有：自然數(shù)系Ｎ，整數(shù)系Ｚ，有理數(shù)系Ｑ，與實數(shù)系Ｒ。因此，要引進複數(shù)系時，筆者便從國中時代的一元二次方程式ax2?bx?c?0的公式解及判別式開始引起動機，順便讓學生回憶一下往事，亦即，希望喚醒學生以往的數(shù)學概念。進而對判別式D?b2?4ac的正負及實根的個數(shù)做個複習。最後，才進入Ｄ＜０時，公式解中?b?D的D是何物？以此來引進負數(shù)平方根的存在性。在解決這些存疑之前，筆者又2a引進十六世紀義大利數(shù)學家卡當（Girolamo Cardano）所提出的問題：把10分成兩個數(shù)，使x?它們乘積是40。

當時卡當解出的東西為5??15，他很迷惑5??15到底是不是『數(shù)』。但是，他又大膽地『認定』如果5??15這種東西如果可以合符『數(shù)的運算規(guī)則』做計算，則5??15就是此問題的解。不過，這問題困擾數(shù)學家二百多年，到了十八世紀以後，經(jīng)過尤拉（Euler）、高斯（Gauss）等偉大數(shù)學家的努力探索，吾人才日漸揭開複數(shù)系的神祕面紗。

經(jīng)過如此介紹，在一方面，我們可讓數(shù)學史『告訴』學生，數(shù)系得之不易；另一方面，也可讓學生了解新數(shù)系要『如何』建立。根據(jù)數(shù)學史，了解一個新數(shù)系的建立，對超級數(shù)學家而言已經(jīng)不容易了，更何況是凡夫俗子呢？由此可見，一個數(shù)學新概念在學生的心智活動中要明確建立，實在相當困難。

再者，筆者想大略談數(shù)學『抽象化』的例子：在大學數(shù)中的代數(shù)學，其中的群（group），環(huán)（ring），體（field）的生成，是由日常生中的自然數(shù)系、整數(shù)系、有理數(shù)系、實數(shù)系、複數(shù)系中的運算性質(zhì)，以及其概念中加以聯(lián)結(jié)，所提煉而成的特性及功用。但是，我們當初很難預測，它們結(jié)合後會產(chǎn)生這麼多的特性，而再進一步抽象化後所形成的『近世代數(shù)』之美麗光茫。我們試以下面例子說明，當中的提煉過程。

例如：有理數(shù)系中對『加法』、『乘法』有封閉性，這就是群（group）中的二元運算的來源，其中的結(jié)合性、反元素、單位元素皆可由0，1的運算性質(zhì)推廣得到。因此，經(jīng)過數(shù)系內(nèi)在蘊涵的特性及功用，再進一步抽象化後便得到『群』定義中的充要條件。最後，再一般化後，便得到更深入的環(huán)、體及近世代數(shù)的發(fā)展，使代數(shù)學成為現(xiàn)今數(shù)學領(lǐng)域中重要的一個分支。

由此可見，數(shù)學概念大都是經(jīng)由人類生活活動、經(jīng)驗累積而形成的成果，進而人類將之分類、歸檔，由變因中尋找共通性與不變性，再進一步抽象化，最後在歷史演化的提煉形過程中，將其『不變』的特質(zhì)再留存歸檔。就如現(xiàn)在的近世代數(shù)學中的群、環(huán)、體等理論已成熟，數(shù)學家便將之視為自然的數(shù)學文化而留存歸檔。

三、基模（schema）的特性

筆者覺得『基模』是數(shù)學教育上的一個名詞，它大約說明『心理學中的心智結(jié)構(gòu)情形』。因此，筆者在此只有將基模所具有的一些特性，作以下說明：

?基模可以結(jié)合長期所學的相關(guān)經(jīng)驗及概念。

?基模可以將概念的關(guān)係加以分類、融合、轉(zhuǎn)化。

?基模是概念之間的縱橫聯(lián)繫網(wǎng)。

?基模可以將多種概念結(jié)合、分析而發(fā)展出難以預測的特性及功用。

筆者在此以『重複組合』Ｈnm為例，對基模的特性作下列相應的說明。

例：袋中有a，b，c三種球，各有10個，從袋中任取5球，請問有幾種不同的取法？（Ａ）對沒有Ｈnm概念的學生，他可以用以下作法，自然討論可得其解答：

a五同：aaaaa，bbbbb，ccccc，共三種。即Ｃ3種。○13b四同：aaaab，…，有Ｃ3·○22=6種，或Ｐ2種。

3c三同二同：aaabb，…，有Ｃ3·○22=6種，或Ｐ2種。d三同二異：aaabc，…，有Ｃ3=3種。○1e二同二同一異：aabbc，…，有Ｃ3=3種。○1共21種。

n

運用這種做法，至少學生已有Ｃn，Ｐmm的基本概念，以及對５球分類的基本能力。就此nＣnm，Ｐm及對５球分類的三個基本概念來說，它們個別發(fā)揮不出解此題的作用。但當學生的思考中將此三種基本概念結(jié)合與聯(lián)繫，則問題將可以自然地解決。這種結(jié)合與聯(lián)繫，就是基模的特性之一。當然，其中也用到自然數(shù)的四則運算，這是人類最根本的基模，就不必特別指出。以下，筆者亦是如此對待此根本基模。（Ｂ）、聰明一點的學生可能會這樣做：

設(shè)a類球取x個，b類球取y個，c類球取z個。則x?y?z?5，0?x,y,z?5且x,y,z為整數(shù)（即此方程式之非負整數(shù)解。）此時可以列表解之：

ｘ ５ ４ ３ ３ ２

ｙ ０ １ ２ １ ２

ｚ ０ ０ ０ １ １

故共有3!3!3!?3!?3!???21種。2!2!2!n

運用這種作法的學生至少要有Ｃn、Ｐmm、代數(shù)方程式的列式，以及解非負整數(shù)等概念，其中能將排列、組合的問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)的問題，這頇要很強的『反思』能力，即能跳脫問題本身，提昇到更高階層以觀察之，而得到此一作法，這是基模結(jié)合力更強的展現(xiàn)。由於基模具有這種將多種概念結(jié)合、轉(zhuǎn)化的特性，難怪引導學生作基模式的學習，是一種很有效的數(shù)學教學法。此法的進行，要提醒學生有『居高臨下』的視野，在跳脫問題層次之外，能以更宏觀的思考方向思考之。這是非常難得，而且是更高一層的反思，值得學之。（Ｃ）更聰明的學生，可能會這樣做：

同（Ｂ）中的假設(shè)，而得求x?y?z?5的非負整數(shù)解的個數(shù)。此時這類學生便將５個球，用５個“１”代表而將之排成一列，再用兩個加號“＋”插進一群“１”之中，所分成的三部分就分別定為x,y,z的值，而得到

7!7373?5?1?C5，即知H5。?C5?C52!5!

這種做法是經(jīng)兩次反思而得，先將排列組合的問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程式問題，為了要求非

nn?m?1負整數(shù)解的個數(shù)又轉(zhuǎn)化成重複排列問題，而得到更簡便的求解方法，進而驗證了Hm。?Cm

筆者分析上述（Ａ），（Ｂ），（Ｃ）這三種作法，主要目的是要說明筆者對基模所列的四種特性，從而使自己對基模的特質(zhì)，有更進一步的理解。因此，筆者覺得基模本身已經(jīng)是離開日常經(jīng)驗與反應，同時，基模可以統(tǒng)合已知知識，進而加強對事物的了解，及對事物的批判思考力。因此，基模是產(chǎn)生真正理解事物的一種心智工具，利用它，我們可以獲取意想不到的新知。

然而萬事萬物，有其利亦有其弊。基模亦可能有其缺點，包括建立過程所費的時間較長，基模有喜新厭舊、顧此失彼的特性，更嚴重者，乃是知識『穩(wěn)固性』建立的無形障礙。在此，筆者提出基模穩(wěn)固性的無形障礙，有一個很明確的例子，就是在畢氏發(fā)現(xiàn)無理數(shù)時，當時數(shù)學家們視畢氏的無理數(shù)論點為異端，不在此重述。可見，當時數(shù)學家們對數(shù)學中的數(shù)系基模，只穩(wěn)固在有理數(shù)系為其最高階層的數(shù)系，至於對於非有理數(shù)的存在性，自然會有很大的懷疑。

四、思考層次的分析

x?22x2?2x?2??3。

我們先考慮這問題：試解2x?2x?x?1(解一)、一般學生直觀解之，要先去分母；得到：(x?2)2?(x2?x?1)(2x2?2x?2)?3(x?2)(x2?x?1)

?x2?4x?4?2(x4?x2?1?2x3?2x?2x2)?3(x3?x2?x?2x2?2x?2)

?2x4?4x3?7x2?8x?6?3x3?9x2?9x?6 ?2x4?x3?2x2?x?0

?x?0，2x3?x2?2x?1?0

1?x?0,?1,?。

2(解二)、另外有一些學生先欣賞一下題目，分析問題特性，方程式中皆有因此，學生的做法便利用符號代表a?x?2及其倒數(shù)。

x2?x?1x?2x?2，即令=，則原方程式變?yōu)閍22x?x?1x?x?12x?2x?21?3?a2?3a?2?0?a?1或2，即2＝１或2＝２，故得x?0,?1,?。a2x?x?1x?x?

1由上述的兩種解題方法，筆者試圖分析學生的心智活動結(jié)構(gòu)的大概情形如下：（Ａ）、自動化概念

在學習或處理新概念或問題時，基礎(chǔ)概念或基礎(chǔ)理論必頇變得自動化，亦即可以自動浮現(xiàn)心頭。不必重新思考或反映的概念，皆可稱為自動化概念。

在『解一』中的自動化概念，包括分式之去分母，多項式之加減乘及多項式的因式分解。因此，要用“解一”的方法，這些基礎(chǔ)概念頇要已經(jīng)自動化了，如此解此題才方便。

至於在『解二』中的自動化概念，就包括符號代換、分式之去分母、因式分解（十字交義相乘）、解一元二次方程式等。

因此，要運用『解二』之法者，先要有更高層次思考，以簡禦繁而得到a=

x?2的代2x?x?1換式；之後便是頇要自動化的概念。（Ｂ）、心智模型的層次

在上述『解一』中，乃是一般性解題的自然操作活動，也是直覺處理問題的想法。亦即直接由自然的規(guī)律（即自動化概念），經(jīng)過操作、抽象、推廣所蘊育而成的心智模型。這即是Skemp書中所提到的第一型理論。

在『解二』中，頇要跳脫到問題之外，以居高臨下的觀點先審題目之結(jié)構(gòu)，進而運用數(shù)學以簡禦繁的精神，以a代表

x?2而得到簡單的分式方程式，進而如『解一』之法解之。

x2?x?1這種心智模型較『解一』更為高層次。這類思考層次可說是反思，自己跳脫題外，思考問題，時時知道自己在做什麼。

接著，筆者再以大學數(shù)學中『拓樸學』（topology）的例子，來說明『思考層次』與『思考眼界』有著高低的不同。

記得在國小、國中、高中時代，圓形和三角形是視為完全不一樣的東西，不同的幾何圖形。當時的思考，只限於外形的表現(xiàn)，比較不注重其無形的內(nèi)涵。因此，在中學時代的數(shù)學，直觀思考，圖形的全等性、相似性乃是主要訴求的重點。但是到了大學數(shù)學系中的拓樸學，已經(jīng)忘記了點與點之間的距離，也跳脫了有形物體的局限。故在拓樸學家的眼裡，圓、三角形與皆正方形視為同一類圖形；甚至圓與實心的輪胎也被視為同一類的幾何圖形，而一直線與一點也被視為同樣的幾何圖形。這些觀點，皆已跳脫有形可想像的範圍，已經(jīng)走到第二型的更高層的思考，難怪Skemp主張數(shù)學學習理論皆是屬於第二型的高層反思。其實，數(shù)學高階思考大都屬於二階反思。因此，我們可以理解到，經(jīng)由數(shù)學層層抽象化過濾的高階概念，雖然已經(jīng)遠離現(xiàn)實世界，走向無形抽象空間之中，但是，它卻反而引領(lǐng)我們進入孫宙的本質(zhì)，一旦賦予科學的內(nèi)涵，就可以得到實際世界許多令人驚異的結(jié)論了。

五、代數(shù)與幾何的結(jié)合

筆者提出以下例子：

x2y2??1之兩頂點，Ｐ是橢圓上之一點，求△ＡＢＰ的例：設(shè)A(-3,0)，B(0,-2)為橢圓94最大面積。

這例題是高中數(shù)學教材中，常出現(xiàn)在圓錐曲線單元中的例子；而且也算是較難的例題之一。我們提出兩種解法，再進一步分析這兩種解法過程中與Skemp書中的理論相應之處。

解法一：利用代數(shù)方法解之。

設(shè)Ｐ（3cos?,2sin?），1|?3203cos?2sin?1021| 1則△ＡＢＰ面積＝

1|?6?6cos??6sin?| ＝|3sin??3cos??3|

＝

＝|32sin(??

故sin(???4)?3|

?4)??1時，得最大值 32?3。

解法二：利用幾何觀點解之。

△ＡＢＰ中AB底固定，故只要高最大，則△ＡＢＰ之面積就會最大。因此，利用平行線間之距離固定的特性；再 作Ｌ//AB且與橢圓相切於P，則可得最大的高。利用橢圓切線公式得：

242L:y??x??9?4??x?22

39而d(A,L)?6?6213。

16?6213?3?32。213

這個問題屬於難題，一般學生不易求解，這是因為它頇要許多概念的結(jié)合，才能推導出這題的答案，其中包括橢圓的參數(shù)化、面積的行列式表示（亦可以用面積的向量表示）、三角函數(shù)疊合性質(zhì)、最大值如何取值等。一般而言，一個問題頇要三個或以上的概念結(jié)合才能解決，便可說是一個難題。何況此問題至少要用到四、五個以上的概念，難怪對學生而言，這是一難題，以上是『解法一』的計算過程分析。然而，對於『解法二』而言，它所頇要的概念有：幾何平行概念，三角形面積求法，橢圓切線公式，點到直線之距離等。也就是頇要四、五個以上的概念結(jié)合，才能處理這一問題。然而『解法二』的方法是代數(shù)與幾何的結(jié)合，也就是兩個大系統(tǒng)的結(jié)合。Skemp在本書中提到視覺系統(tǒng)及言辭系統(tǒng)。言辭系統(tǒng)不只包含口中發(fā)出的聲音，還包含寫在紙上的字；而視覺系統(tǒng)最好的例子就是圖形。然而，兩種系統(tǒng)若能結(jié)合，則處理問題的能力便可以更具威力。難怪諾貝爾獎得主Bragg在其八十歲生日時說：他自己總是先有視覺印象然後才產(chǎn)生新靈感。從這些數(shù)學教育專家的言談之中，可見以幾何觀點處理代數(shù)問題是很有幫助的，筆者提出這例題便是一例。因此，代數(shù)與幾何的結(jié)合是很重要的後射思考能力。

筆者近日對這三年來的『指定或聯(lián)考試題』作分析，發(fā)現(xiàn)九十一年指定考科有關(guān)幾何或利用幾何概念可處理的問題佔了29%；九十年聯(lián)考題這種題目佔了52%；八十九年聯(lián)考這種題目佔了46%。筆者所推定的百分比，可能見仁見智，雖然可能有誤差，但是，我們相信平均而言，與幾何相關(guān)或利用幾何可以處理的問題佔35%~40%是很自然的。這令筆者也深深感到，現(xiàn)今中學教材幾何的份量實在太少了。我希望數(shù)學教學家者能正視此一問題，也希望有改善幾何教學的教材出現(xiàn)。平心而論，幾何中的作圖、作法、推論與證明，可以說對學習數(shù)學是很重要的訓諫，不知為何當今編寫數(shù)學教材大綱的所謂『專家』，為何對幾何的內(nèi)容做如此的取捨？現(xiàn)今的教育『專家』到底在想什麼？筆者想不通！故△ＡＢＰ之面積＝

六、理解方式

在Skemp書中的理解方式分為：機械式理解、因果式理解，與邏輯式理解。本書中對此三種理解方式有大略敘述，我們分述如下。

?機械式理解：能夠?qū)⒂脖车墓健⒄袛?shù)應用於特定問題，但不知背後原因、原理。?因果式理解：知道數(shù)學概念的原因、原理，並能自行推理、推廣。?邏輯式理解：能夠老練地以數(shù)學化符號、術(shù)語搭配邏輯推理規(guī)則，以進行形式化的數(shù)學概念證明或推演。

為了說明這三種不同的理解方式，筆者舉以下例子，來對照三種理解的情形。例：設(shè)二次函數(shù)f(x)?(x?1.1)2?(x?1.2)2?(x?1.3)2?(x?1.4)

2?(x?8.6)2?(x?8.7)2?(x?8.8)2?(x?8.9)2，且當x?x0時，f(x)有最小值為m，則(x0,m)＝。

（A）機械式理解的學生，可能作以下解答方式。

取 1.1，1.2，1.3，1.4，8.6，8.7，8.8，8.9的中位數(shù)得5，則f(5)?112.6，故答(5,112.6)。

此答案正確。但學生只記得老師提醒：當遇到這種問題時，便取以上各數(shù)之中位數(shù)代入，即得最小值。

（B）因果式理解的學生可能作以下解答方式。

將f(x)化為二次函數(shù)：

f(x)?8x2?2(1.1?1.2?1.3?1.4?8.6?8.7?8.8?8.9)x?D

?f(x)?8x2?80x?D?8(x?5)2?D?200，其中D?1.12?1.22?1.32?.142?8.62?8.72?8.82?8.92，故得當x?5時，f(x)有最小值112.6。

在運用這種解法時，學生一眼看出f(x)為一元二次函數(shù)，故經(jīng)化簡便可以得到，且可求得最小值。可見，他對二次函數(shù)、配方、求極值等基本概念皆明白在心理，而可以自行推導得答案。

（C）為了引進邏輯式理解，我們提出以下例子。

1?tan??sec??tan??sec?，有學生如此證明：

1?tan??sec???nse??c(1?ta??nse?)c(?t?asne?)c

1?ta 例：求證：

22?se?c?ta??nta?n?ta?sne??cse??cta?sne??cse?c

1?ta?n2?se?c?ta

1?ta?n??nse??c(s2?e?cta?n)?se?c?1?ta?n?se? c

1?ta?n

故得證。

運用這種證法的學生，筆者承認他已經(jīng)對三角函數(shù)恆等式證明，已有了因果式的理解。因為，他知道從第一等式到最後等式，其實皆是一樣的意義，而最後一個等式是顯然成立，故原等式得證。看到學生如此解，便可以了解其對等式證明的因果過程皆理解。因此，筆者認為他已達到因果式理解。但是，他的數(shù)學邏輯表達卻有不當之處。如果改寫如下：

此一恆等式與1?tan??sec??(1?tan??sec?)(tan??sec?)同義，故我們只證明後一恆等式就行了。它的右式＝(1?tan??sec?)(tan??sec?)

=tan??tan2??tan?sec??sec??tan?sec??sec2? =tan??sec??(sec2??tan2?)=1?tan??sec?=左式

得證。

經(jīng)過如此修正，整個邏輯語氣才通順，而且符合敘述證明的邏輯思考理解。若學生能接受如此的訓練，便可以得到邏輯式理解的學習目標，而使基模或解題過程能很圓滿地呈現(xiàn)出來。因此，邏輯式理解有一項很重要的誘因，就是來自同儕或師長的批評與建議，如此，方能達到數(shù)學完美的邏輯式理解與因果式理解的效應與動力，而達到追求更廣泛、更有力、更一致、更完備的數(shù)學知識。

七、數(shù)學教學的省思

回想起十多年來的數(shù)學教學情況，可說是『教學相長』的最佳寫照。在最初教學之時，筆者比較愛教理論，亦即常以定義方式，直接引入數(shù)學概念，這種方法最簡捷。但是，學生卻不易了解，易生枯燥之感。因為，筆者在大學數(shù)學系時專業(yè)上的訓練，常以定義、性質(zhì)、引理、定理、推理，一連串的引出數(shù)學的概念；因此，剛開始教學之時，亦承襲此一教學方式。後來，筆者日漸了解學生吸收不良的情形，也體會到中學生不比大學數(shù)學系的學生。因此，漸漸了解引起動機的重要，而在教學之時，慢慢轉(zhuǎn)變成以例子為起頭，引用日常生活化的例子，來引發(fā)學生的學習興趣，然後，再進一步抽象化，而教授一般化的數(shù)學概念。經(jīng)過Skemp這本書的啟示，筆者覺得一位好老師至少要具備以下的特質(zhì)：

? 提出問題，解答問題。

? 體察出學生基模進展的方式，並適時提出適當實物以供參考。? 幫助學生更深入掌握其所學。? 逐步減低學生對老師的依賴。? 培養(yǎng)學生獨立分析事物的能力。

? 教材之選取，以及問題之提出，要合符學生的思考方式。? 培養(yǎng)學生反映內(nèi)涵能力及推理綜合能力。? 確時掌握學生心智自我建設(shè)之過程及特徵。

由於Skemp的概念啟發(fā)，筆者也提議下列一套『數(shù)學教學的原則』，筆者覺得它們是一位數(shù)學教師至少應該具備的共識：

?先引起學習動機，以例子為起頭說明。

?舉例子要確定學生已經(jīng)形成例子所應該具備的預先概念。?定義不可超過已知的高階概念。?以好例子引出定義。

?對所要教的例子要有充分了解，要有創(chuàng)造力、啟發(fā)力。?概念結(jié)構(gòu)分析過程中，不可錯一步。?先前概念必頇回顧複習，使學生隨手可得。

?引導學生揭開數(shù)學的發(fā)展結(jié)果，並加強學生的數(shù)學邏輯思考。?加強智慧學習的過程。

這些有關(guān)教師特質(zhì)與教學原則的自我省思，將是往後筆者在數(shù)學教學上的重點參考，更是筆者自我期許至少要達成的目標。

八、結(jié)論

數(shù)學教育對筆者而言千頭萬緒，只是從經(jīng)驗，教學過程，偶而拾獲的一些心得而已。有幸能得到Skemp書中的許多啟發(fā)，也印證了許多教學過程中所體會的理念與原則。筆者覺得數(shù)學教學，應該著重在要求這些數(shù)學結(jié)果是如何一步一步被揭開、發(fā)展出來，以及其來龍去脈的全盤了解，而不只是邏輯推理的說服懷疑者，此外，也不只是教授數(shù)學技巧，而不教數(shù)學的思考內(nèi)涵而已。

因此，數(shù)學教學為了簡捷、精確，而直接以定義方式引導學生，對學生而言，這是一種不智之舉。如果能從日常生活經(jīng)驗中，引進一些美好的例子，加強學生的學習動機，這將是年輕學子之福。

學生學習的包袱，會隨著學習理解方式而不同。機械式理解者將累積無數(shù)的數(shù)學規(guī)則、公式，而包袱日漸加重，以至達到無法負荷的困境。但對因果式及邏輯式理解的學生而言，將可以大幅減輕其包袱的負擔。故此，對學生的教學過程中，時時引導其對數(shù)學的理解規(guī)定的理由為何？目的何在？這是一種減輕學生學習包袱的重大關(guān)鍵。

我們皆明白分析能力、邏輯論證、社會化思考在數(shù)學中是相當重要的學習目標。然而，在此之外，我們更需要有個人的思考、內(nèi)在的洞察力以及綜合能力。在某種程度上而言，前者較容易教給學生，後者只能靠學生自力開發(fā)。可見，學生個人思考、洞察力、綜合能力的引導不易。所以，我們只能從旁啟發(fā)，至於達到何種程度，只有靠學生自己的造化了。

學生的學習是可以啟發(fā)的，教師本身的角色扮演也相當重要。原則上，一個教師既要是軍隊中的訓練班長（管理學生），又要是交響樂團的指揮者（以自己的學識風範贏得學生的敬愛），並且必頇在這兩個角色之間取得平衡。

在數(shù)學教育環(huán)環(huán)相扣的情形下，筆者也深深體認到：數(shù)學是經(jīng)由層層抽象過濾的高階概念，雖然這些高階概念遠離現(xiàn)實世界，但它們卻反而引領(lǐng)我們接觸孫宙的本質(zhì)。一旦將這些賦予科學的內(nèi)涵，就可以得到實際世界中許許多多令人驚異的結(jié)論。現(xiàn)今數(shù)學教育理論雖然還在蘊育之中，但是，顯然也建立了許多值得參考的理論。期待將來我們對於學生學習內(nèi)在心智活動及其內(nèi)在自我建構(gòu)的探索，能有更進一步的理解。這也是當今許多數(shù)學教育專家要探討的中心問題：教學時如何兼顧學習者心智自我建設(shè)性的特徵？如何理解學習者內(nèi)在心智活動的所有過程？

第四篇：數(shù)學學習心得體會

數(shù)學學習心得體會

南萬小學 6.2班 矯彤菲

從小時候?qū)W數(shù)數(shù)，到現(xiàn)在的數(shù)學學習，無不是數(shù)學的范疇。現(xiàn)在我向大家介紹一下我學數(shù)學的方法。

一、不要怕數(shù)學。在我們的生活中，數(shù)學是無處不在的：我們買東西，付錢要用數(shù)學；看球賽，比分也是數(shù)學；勾股定理、黃金分割與優(yōu)選法在我們生活中的應用更是比比皆是。其實，現(xiàn)代數(shù)學的范圍已大大擴大了，包括數(shù)論、圖論、概率、悖論等多方面的內(nèi)容，而圖論、遞推關(guān)系在計算機中的應用也是非常廣泛的。所以，數(shù)學與我們的生活有著緊密的聯(lián)系，可以說：數(shù)學是無處不在的。

二、學數(shù)學要學習什么。一句話，就是學習它的思維方法。在我們的現(xiàn)階段，以及我們工作以后，很少能用到具體的數(shù)學題，但是，數(shù)學的思維方法是指導我們學習、工作的思想，所以，數(shù)學的思維方法是非常重要的。舉個例子：數(shù)論中有一個著名的問題，就是歌德巴赫猜想。許多科學家都表示，用現(xiàn)有的數(shù)學方法無法解決這個問題。這樣，要想解決歌德巴赫猜想必須用一種新的方法，而這種方法就是我們需要的。這也就是數(shù)學的精髓所在。

三、打好基礎(chǔ)，吃透課本。課本的題目是比較簡單、比較基礎(chǔ)的，卻也不能忽視，這是因為課本的題目為我們提供了一種簡捷的思維方式和比較嚴密的解題步驟。數(shù)學是一門要求嚴密的科學，需要思維的嚴謹性，課本就為我們提供了一個范例。這是一個平行四邊形，求證它的對邊相等。我們想容易想到，連接對角線，用兩個三角形全等來證明。這就提供了一個思路：遇到平行線，可以做截這兩條平行線的直線，把平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為角相等的關(guān)系。這也用到了一種轉(zhuǎn)化思想。掌握簡單題的思路，難題也就能變得簡單了。

四、拓展知識，提高能力。現(xiàn)在，計算機非常熱門，而計算機編程就能用到圖論、遞推關(guān)系等數(shù)學知識，提前了解一下是很有幫助的。我們是21世紀的學生，應當具有寬廣的知識面和較強的綜合能力。學習上在課前必須預習老師所要講解的內(nèi)容，對于簡單的要自己理解掌握，公理、公式和推論要有意識的去記憶，并劃出自己不懂得地方；（2）客商要認真聽講，絕對不能開小差，更要著重聽你在預習時感到困惑的地方，并記下經(jīng)典例題；（3）課后認真做練習。對自己把握得不好的地方要加大訓練，記熟公式。學習數(shù)學的主要方法就是加深理解，在理解之上記憶。總之，數(shù)學是一門基礎(chǔ)學科，它的應用是非常廣泛的。我一定會用心去學好。

第五篇：數(shù)學學習心得體會

小學數(shù)學外出聽課心得體會

上周二我們在教研室的謝老師和劉老師的帶領(lǐng)下在靈寶二小和實小聽了4節(jié)非常精彩的數(shù)學課，讓我感到收獲很大。不僅領(lǐng)略了各位教師出類拔萃的教學風采，也讓我從中感受到小學數(shù)學課堂的靈活多變。下面就從一下幾點談談本人這幾節(jié)課感受最為深刻的地方。

尹娜老師的《平行與垂直》，語言簡潔，思路清晰，引導到位，注重讓學生動手做，動腦想，動嘴說，給了學生充分的空間，注重對學生能力的全面培養(yǎng)，課堂教學效果很好。

吳香玲老師的《倒數(shù)的認識》，語言流暢，干脆利落，問題的指向性強，課堂教學靈活，讓學生既學到了新知識又鍛煉了能力。肖云云老師的《用字母表示數(shù)》，教法靈活，把字母的認識與實際生活相聯(lián)系，加深了學生對用字母表示數(shù)的認識，充實了課堂教學內(nèi)容。

李芳老師的《線段﹑直線和射線》，語言精練，思路清晰，注重了學生的動手、動腦、動嘴的能力，尤其是游戲的運用把這節(jié)課推上了高潮。

這些授課的優(yōu)秀教師的教學讓我學到了很多，對我以后的教學幫助很大，我的課堂教學需要改善的還很多。

⒈扎實的基本功和駕馭課堂的能力感染了我，俗話說“冰凍三尺，非一日之寒”我們就要有滴水穿石的精神，從點滴做起，堅持不懈積累經(jīng)驗。

⒉創(chuàng)設(shè)的情境真正為教學服務，如果只是為了情境而情境，那就是一種假的教學情境。在分析教材時，要適當舍取一些教材內(nèi)容，做到靈活運用教材，而不是教教材。

⒊教學課件制作精良，充分發(fā)揮了多媒體技術(shù)在課堂教學中的重要作用。無論從課題材料的搜集上還是從視聽效果上，都非常富有創(chuàng)意，引人入勝，既形象又生動，吸引著學生的注意力。充分激發(fā)學生的學習興趣更有利于學生對所學知識得牢固掌握。

⒋練習設(shè)計基礎(chǔ)實效，新課過后的練習要及時鞏固基礎(chǔ)。只有及時鞏固才能更好的使學生牢記掌握所學知識。

⒌注重對學生分析問題，解決問題的能力，將課堂還給學生，教師只是起到引導作用，使學生聯(lián)系實際和利用生活經(jīng)驗，通過觀察﹑操作﹑讓學生在探索，思考中學習，使學生真正成為學習的主人。⒍加強自己組織語言的能力，既能做到簡潔干脆，又能起到正確引導的作用。

總之，此次的學習讓我對自己平時的教學有了更深刻的反省和更高的要求。“路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索。”在以后的教學中，我將不斷地提升自身的素質(zhì)，不斷地向有經(jīng)驗的老師學習，博采眾長，充分利用一切學習機會，多對比，多反思，提高自己駕馭課堂教學的能力，并真正地達到教育的理想境界——“寓教于樂”。2016、10﹑16