第一篇：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)心得體會

通過本學(xué)期學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化，我知道了數(shù)學(xué)專業(yè)知識與歷史知識是互補(bǔ)的，專業(yè)知識的學(xué)習(xí)需要?dú)v史知識幫助分析與思考。這門課提高了我對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與積極性。

作為數(shù)學(xué)專業(yè)的人，我們知道數(shù)學(xué)是一門歷史性或者說累積性很強(qiáng)的學(xué)科，這門科學(xué)有悠久的歷史，發(fā)展過程充滿了人類的創(chuàng)造和理性智慧。數(shù)學(xué)史正是數(shù)學(xué)這棵參天大樹的一個分枝，描述研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，及其與社會政治、經(jīng)濟(jì)和一般文化的聯(lián)系，透過數(shù)學(xué)史可以看到數(shù)學(xué)的發(fā)展和數(shù)學(xué)家創(chuàng)造的艱難和喜悅。不了解數(shù)學(xué)史就不可能全面了解數(shù)學(xué)科學(xué)，也就不可能全面了解整個人類文明史。

通過這門課的學(xué)習(xí)我體會到歷史上任何數(shù)學(xué)成果的發(fā)現(xiàn)并不是我們在教科書中看到的那一條條完善的數(shù)學(xué)定理、公式所表現(xiàn)出來的那么自然與完美，他們從萌芽到成熟再到廣為流傳的過程是曲折而又布滿荊棘的。但是，我們的教科書卻將這一過程與成果完全顛倒，從定理到證明再到例題，這一步驟雖然有助于我們對系統(tǒng)知識的掌握，但這同時也意味著歷史上曾經(jīng)存在過的那些生動活潑的思維活動的缺失。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史有助于 我們把握數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)，加深對數(shù)學(xué)概念、方法、思想的理解，體會數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程。有助于培養(yǎng)興趣、開闊視野、造就創(chuàng)新意識，更深刻領(lǐng)會數(shù)學(xué)對人類文明發(fā)展的作用

第二篇：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得體會

“把課堂的精彩還給學(xué)生”

---參加國家名師高效教學(xué)觀摩研討會心得體會

2016年3月19日-20日，我有幸參加了在德州學(xué)院音樂系禮堂舉辦的“國家名師高效教學(xué)觀摩研討會”，聆聽了吳正憲、張齊華、強(qiáng)震球、杜海良、趙震、薛錚等幾位名師的授課，一堂堂生動的示范課讓我們領(lǐng)略到數(shù)學(xué)深邃的思想以及教學(xué)的藝術(shù)魅力，精彩的預(yù)設(shè)與生成，恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥與啟發(fā)，感動著在場的每一位老師。

幾位老師的共同點(diǎn)在于總是在適當(dāng)?shù)臅r候提出一些疑問，引起學(xué)生的思考，從而突破難點(diǎn)。設(shè)計精妙，環(huán)環(huán)相扣，對知識點(diǎn)層層深入、點(diǎn)點(diǎn)剖析，并且非常注重數(shù)學(xué)思想的滲透。下面是我學(xué)習(xí)后的感受：

一、俯下身子與孩子對話

從名師與我們平時和孩子溝通的語言對比中可以知道，他們與孩子對話中有一種無形的拉近距離感，能讓孩子們從乏味的教學(xué)中，主動學(xué)習(xí)起來。每一位名師在與孩子們上課前都會親近的與他們攀談，這樣的課前交談，看似簡單、平淡、多余，實(shí)際上縮短了師生心理距離，營造了寬松和諧、自由活躍的課堂氛圍。

二、以學(xué)生的探究與交流為主，教師適當(dāng)點(diǎn)撥，營造輕松的教學(xué)氛圍

教學(xué)過程是師生間共同參與、交流、互動的過程，是教師指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程。因此教師不應(yīng)該把學(xué)生看成是“容器”，強(qiáng)行灌輸，而應(yīng)把學(xué)生看成是主動的、生動活潑的、發(fā)展著的認(rèn)識的主體。一個教師無論學(xué)識如何廣博，都必須始終站在學(xué)生這個主體位置。而不是站在演員這個角度上去表演。即使你的表演再精彩，如果學(xué)生要是學(xué)不到真正的知識，培養(yǎng)不了解決問題的能力，也是一節(jié)失敗的課。

吳正憲老師執(zhí)教的“小數(shù)除法”一課，圍繞著“剩下的余數(shù)‘1’怎么辦”也就是1元錢到底怎么分的問題，展開了激烈的討論，有的把1元變成10角，把1角變成10分；有的把1元直接變成100分；有的同學(xué)直接看到把1元分成4份，每份就是0.25元；在激烈的討論中，學(xué)生思維迸發(fā)，學(xué)生“活了”，知識也跟著“活了”。

趙震老師執(zhí)教的“加法、乘法交換律”一課，老師引導(dǎo)學(xué)生通過舉例驗(yàn)證的方式得到了加法交換律，趙老師啟發(fā)學(xué)生根據(jù)剛才的學(xué)習(xí)做其他的猜想，學(xué)生猜乘法交換律、減法交換律、除法交換律，老師沒有急于給出答案，而是讓學(xué)生自己討論交流驗(yàn)證，學(xué)生通過自己的努力排除了減法和除法交換律，在這個過程中，學(xué)生不僅學(xué)到了知識，而且學(xué)到了數(shù)學(xué)中一個非常重要的方法——舉例驗(yàn)證。

三、今后努力的方向

1、備課前需要思考的問題。

課前設(shè)計教案設(shè)計課要多思考為什么教材編寫者要以這樣的方式呈現(xiàn)這個內(nèi)容;學(xué)生之前的認(rèn)知程度;教材在整個小學(xué)教學(xué)體系中所處的位置;明白孩子在學(xué)習(xí)這個知識的過程中的軟肋，而不是照搬別人設(shè)計精彩的環(huán)節(jié)，精彩的習(xí)題。

2、找到學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知和數(shù)學(xué)知識增長之間的連接點(diǎn)。整體把握教材中知識點(diǎn)之間本質(zhì)的聯(lián)系，站在一個整體聯(lián)系的層次去審視和處理教材，向?qū)W生傳遞一個完整的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生建立一個融會貫通的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。還應(yīng)鼓勵學(xué)生學(xué)會聯(lián)系看問題的思維習(xí)慣，他們應(yīng)被鼓勵尋找聯(lián)系以幫助他們理解和解決問題。

第三篇：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)心得體會

讀《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)》心得

北市成功高中 游經(jīng)祥老師

一、前言

數(shù)學(xué)教學(xué)可說是一種藝術(shù)，而且也是教師一直在自我調(diào)整，自我成長的一門學(xué)問。筆者對數(shù)學(xué)教育可說是門外漢，有幸參與研讀Richard Skemp所著的《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)》，讓筆者從中體會到一些數(shù)學(xué)教育的大略。這是一本結(jié)合心理學(xué)理論和數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的好書，在研讀討論過程中，讓筆者不時常有『心有戚戚焉』的感覺，也讓筆者感到『教學(xué)』專業(yè)之中，還有這麼多細(xì)密的內(nèi)涵存在，進(jìn)而對數(shù)學(xué)教學(xué)的價值觀以及數(shù)學(xué)教學(xué)的意義，有更進(jìn)一步的體會。由於本書內(nèi)容豐富，筆者便以分段式的方式提出心得，並期望在每一段落中，給出高中教材的相關(guān)例子，以參照這幾年來筆者自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。換句話說，在本文中，筆者一方面肯定本書所提出的概念，另一方面，則也要強(qiáng)調(diào)筆者教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的自我印證。在此，我很感謝同事杜雲(yún)華老師、蘇意雯老師、蘇慧珍老師的集思廣義，以及洪萬生教授的問題討論。

二、數(shù)學(xué)概念

我們數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)從無到有，頇經(jīng)過多少歲月學(xué)習(xí)，及許多師長的引導(dǎo)啟發(fā)，再加上我們?nèi)祟惖闹橇π袨椋鞣矫嬉蚓壍臅郏瑪?shù)學(xué)方能達(dá)到如今成熟的地步。人類由活動中吸取經(jīng)驗(yàn)，由經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)而化為行為；因此，人類的智力行為乃從經(jīng)驗(yàn)，再由經(jīng)驗(yàn)、事物的分類、歸類之中，而產(chǎn)生心智中的『歸檔』。在這種心智活動過程中，我們由語言經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)分類、歸納，進(jìn)而將之抽象化，而這抽象化後的事物存在心中，便稱之為『概念』。平常數(shù)學(xué)中所謂的『定義』，即是將某一數(shù)學(xué)概念的範(fàn)圍更加精確地顯示出來。因此，數(shù)學(xué)中的『定義』，乃是前人心血累積所成的數(shù)學(xué)概念。

在此，筆者提出高中數(shù)學(xué)教材中的例子，來對數(shù)學(xué)概念作一印證。在高一上學(xué)期的數(shù)系中，有一單元目標(biāo)是為了幫助學(xué)生認(rèn)識複數(shù)系，即C={a+bi|a，b?R，i=?1}。在此之前，高一學(xué)生的心中對於數(shù)的概念只有：自然數(shù)系Ｎ，整數(shù)系Ｚ，有理數(shù)系Ｑ，與實(shí)數(shù)系Ｒ。因此，要引進(jìn)複數(shù)系時，筆者便從國中時代的一元二次方程式ax2?bx?c?0的公式解及判別式開始引起動機(jī)，順便讓學(xué)生回憶一下往事，亦即，希望喚醒學(xué)生以往的數(shù)學(xué)概念。進(jìn)而對判別式D?b2?4ac的正負(fù)及實(shí)根的個數(shù)做個複習(xí)。最後，才進(jìn)入Ｄ＜０時，公式解中?b?D的D是何物？以此來引進(jìn)負(fù)數(shù)平方根的存在性。在解決這些存疑之前，筆者又2a引進(jìn)十六世紀(jì)義大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)（Girolamo Cardano）所提出的問題：把10分成兩個數(shù)，使x?它們乘積是40。

當(dāng)時卡當(dāng)解出的東西為5??15，他很迷惑5??15到底是不是『數(shù)』。但是，他又大膽地『認(rèn)定』如果5??15這種東西如果可以合符『數(shù)的運(yùn)算規(guī)則』做計算，則5??15就是此問題的解。不過，這問題困擾數(shù)學(xué)家二百多年，到了十八世紀(jì)以後，經(jīng)過尤拉（Euler）、高斯（Gauss）等偉大數(shù)學(xué)家的努力探索，吾人才日漸揭開複數(shù)系的神祕面紗。

經(jīng)過如此介紹，在一方面，我們可讓數(shù)學(xué)史『告訴』學(xué)生，數(shù)系得之不易；另一方面，也可讓學(xué)生了解新數(shù)系要『如何』建立。根據(jù)數(shù)學(xué)史，了解一個新數(shù)系的建立，對超級數(shù)學(xué)家而言已經(jīng)不容易了，更何況是凡夫俗子呢？由此可見，一個數(shù)學(xué)新概念在學(xué)生的心智活動中要明確建立，實(shí)在相當(dāng)困難。

再者，筆者想大略談數(shù)學(xué)『抽象化』的例子：在大學(xué)數(shù)中的代數(shù)學(xué)，其中的群（group），環(huán)（ring），體（field）的生成，是由日常生中的自然數(shù)系、整數(shù)系、有理數(shù)系、實(shí)數(shù)系、複數(shù)系中的運(yùn)算性質(zhì)，以及其概念中加以聯(lián)結(jié)，所提煉而成的特性及功用。但是，我們當(dāng)初很難預(yù)測，它們結(jié)合後會產(chǎn)生這麼多的特性，而再進(jìn)一步抽象化後所形成的『近世代數(shù)』之美麗光茫。我們試以下面例子說明，當(dāng)中的提煉過程。

例如：有理數(shù)系中對『加法』、『乘法』有封閉性，這就是群（group）中的二元運(yùn)算的來源，其中的結(jié)合性、反元素、單位元素皆可由0，1的運(yùn)算性質(zhì)推廣得到。因此，經(jīng)過數(shù)系內(nèi)在蘊(yùn)涵的特性及功用，再進(jìn)一步抽象化後便得到『群』定義中的充要條件。最後，再一般化後，便得到更深入的環(huán)、體及近世代數(shù)的發(fā)展，使代數(shù)學(xué)成為現(xiàn)今數(shù)學(xué)領(lǐng)域中重要的一個分支。

由此可見，數(shù)學(xué)概念大都是經(jīng)由人類生活活動、經(jīng)驗(yàn)累積而形成的成果，進(jìn)而人類將之分類、歸檔，由變因中尋找共通性與不變性，再進(jìn)一步抽象化，最後在歷史演化的提煉形過程中，將其『不變』的特質(zhì)再留存歸檔。就如現(xiàn)在的近世代數(shù)學(xué)中的群、環(huán)、體等理論已成熟，數(shù)學(xué)家便將之視為自然的數(shù)學(xué)文化而留存歸檔。

三、基模（schema）的特性

筆者覺得『基模』是數(shù)學(xué)教育上的一個名詞，它大約說明『心理學(xué)中的心智結(jié)構(gòu)情形』。因此，筆者在此只有將基模所具有的一些特性，作以下說明：

?基模可以結(jié)合長期所學(xué)的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)及概念。

?基模可以將概念的關(guān)係加以分類、融合、轉(zhuǎn)化。

?基模是概念之間的縱橫聯(lián)繫網(wǎng)。

?基模可以將多種概念結(jié)合、分析而發(fā)展出難以預(yù)測的特性及功用。

筆者在此以『重複組合』Ｈnm為例，對基模的特性作下列相應(yīng)的說明。

例：袋中有a，b，c三種球，各有10個，從袋中任取5球，請問有幾種不同的取法？（Ａ）對沒有Ｈnm概念的學(xué)生，他可以用以下作法，自然討論可得其解答：

a五同：aaaaa，bbbbb，ccccc，共三種。即Ｃ3種。○13b四同：aaaab，…，有Ｃ3·○22=6種，或Ｐ2種。

3c三同二同：aaabb，…，有Ｃ3·○22=6種，或Ｐ2種。d三同二異：aaabc，…，有Ｃ3=3種。○1e二同二同一異：aabbc，…，有Ｃ3=3種。○1共21種。

n

運(yùn)用這種做法，至少學(xué)生已有Ｃn，Ｐmm的基本概念，以及對５球分類的基本能力。就此nＣnm，Ｐm及對５球分類的三個基本概念來說，它們個別發(fā)揮不出解此題的作用。但當(dāng)學(xué)生的思考中將此三種基本概念結(jié)合與聯(lián)繫，則問題將可以自然地解決。這種結(jié)合與聯(lián)繫，就是基模的特性之一。當(dāng)然，其中也用到自然數(shù)的四則運(yùn)算，這是人類最根本的基模，就不必特別指出。以下，筆者亦是如此對待此根本基模。（Ｂ）、聰明一點(diǎn)的學(xué)生可能會這樣做：

設(shè)a類球取x個，b類球取y個，c類球取z個。則x?y?z?5，0?x,y,z?5且x,y,z為整數(shù)（即此方程式之非負(fù)整數(shù)解。）此時可以列表解之：

ｘ ５ ４ ３ ３ ２

ｙ ０ １ ２ １ ２

ｚ ０ ０ ０ １ １

故共有3!3!3!?3!?3!???21種。2!2!2!n

運(yùn)用這種作法的學(xué)生至少要有Ｃn、Ｐmm、代數(shù)方程式的列式，以及解非負(fù)整數(shù)等概念，其中能將排列、組合的問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)的問題，這頇要很強(qiáng)的『反思』能力，即能跳脫問題本身，提昇到更高階層以觀察之，而得到此一作法，這是基模結(jié)合力更強(qiáng)的展現(xiàn)。由於基模具有這種將多種概念結(jié)合、轉(zhuǎn)化的特性，難怪引導(dǎo)學(xué)生作基模式的學(xué)習(xí)，是一種很有效的數(shù)學(xué)教學(xué)法。此法的進(jìn)行，要提醒學(xué)生有『居高臨下』的視野，在跳脫問題層次之外，能以更宏觀的思考方向思考之。這是非常難得，而且是更高一層的反思，值得學(xué)之。（Ｃ）更聰明的學(xué)生，可能會這樣做：

同（Ｂ）中的假設(shè)，而得求x?y?z?5的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)。此時這類學(xué)生便將５個球，用５個“１”代表而將之排成一列，再用兩個加號“＋”插進(jìn)一群“１”之中，所分成的三部分就分別定為x,y,z的值，而得到

7!7373?5?1?C5，即知H5。?C5?C52!5!

這種做法是經(jīng)兩次反思而得，先將排列組合的問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程式問題，為了要求非

nn?m?1負(fù)整數(shù)解的個數(shù)又轉(zhuǎn)化成重複排列問題，而得到更簡便的求解方法，進(jìn)而驗(yàn)證了Hm。?Cm

筆者分析上述（Ａ），（Ｂ），（Ｃ）這三種作法，主要目的是要說明筆者對基模所列的四種特性，從而使自己對基模的特質(zhì)，有更進(jìn)一步的理解。因此，筆者覺得基模本身已經(jīng)是離開日常經(jīng)驗(yàn)與反應(yīng)，同時，基模可以統(tǒng)合已知知識，進(jìn)而加強(qiáng)對事物的了解，及對事物的批判思考力。因此，基模是產(chǎn)生真正理解事物的一種心智工具，利用它，我們可以獲取意想不到的新知。

然而萬事萬物，有其利亦有其弊。基模亦可能有其缺點(diǎn)，包括建立過程所費(fèi)的時間較長，基模有喜新厭舊、顧此失彼的特性，更嚴(yán)重者，乃是知識『穩(wěn)固性』建立的無形障礙。在此，筆者提出基模穩(wěn)固性的無形障礙，有一個很明確的例子，就是在畢氏發(fā)現(xiàn)無理數(shù)時，當(dāng)時數(shù)學(xué)家們視畢氏的無理數(shù)論點(diǎn)為異端，不在此重述。可見，當(dāng)時數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)中的數(shù)系基模，只穩(wěn)固在有理數(shù)系為其最高階層的數(shù)系，至於對於非有理數(shù)的存在性，自然會有很大的懷疑。

四、思考層次的分析

x?22x2?2x?2??3。

我們先考慮這問題：試解2x?2x?x?1(解一)、一般學(xué)生直觀解之，要先去分母；得到：(x?2)2?(x2?x?1)(2x2?2x?2)?3(x?2)(x2?x?1)

?x2?4x?4?2(x4?x2?1?2x3?2x?2x2)?3(x3?x2?x?2x2?2x?2)

?2x4?4x3?7x2?8x?6?3x3?9x2?9x?6 ?2x4?x3?2x2?x?0

?x?0，2x3?x2?2x?1?0

1?x?0,?1,?。

2(解二)、另外有一些學(xué)生先欣賞一下題目，分析問題特性，方程式中皆有因此，學(xué)生的做法便利用符號代表a?x?2及其倒數(shù)。

x2?x?1x?2x?2，即令=，則原方程式變?yōu)閍22x?x?1x?x?12x?2x?21?3?a2?3a?2?0?a?1或2，即2＝１或2＝２，故得x?0,?1,?。a2x?x?1x?x?

1由上述的兩種解題方法，筆者試圖分析學(xué)生的心智活動結(jié)構(gòu)的大概情形如下：（Ａ）、自動化概念

在學(xué)習(xí)或處理新概念或問題時，基礎(chǔ)概念或基礎(chǔ)理論必頇變得自動化，亦即可以自動浮現(xiàn)心頭。不必重新思考或反映的概念，皆可稱為自動化概念。

在『解一』中的自動化概念，包括分式之去分母，多項(xiàng)式之加減乘及多項(xiàng)式的因式分解。因此，要用“解一”的方法，這些基礎(chǔ)概念頇要已經(jīng)自動化了，如此解此題才方便。

至於在『解二』中的自動化概念，就包括符號代換、分式之去分母、因式分解（十字交義相乘）、解一元二次方程式等。

因此，要運(yùn)用『解二』之法者，先要有更高層次思考，以簡禦繁而得到a=

x?2的代2x?x?1換式；之後便是頇要自動化的概念。（Ｂ）、心智模型的層次

在上述『解一』中，乃是一般性解題的自然操作活動，也是直覺處理問題的想法。亦即直接由自然的規(guī)律（即自動化概念），經(jīng)過操作、抽象、推廣所蘊(yùn)育而成的心智模型。這即是Skemp書中所提到的第一型理論。

在『解二』中，頇要跳脫到問題之外，以居高臨下的觀點(diǎn)先審題目之結(jié)構(gòu)，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)以簡禦繁的精神，以a代表

x?2而得到簡單的分式方程式，進(jìn)而如『解一』之法解之。

x2?x?1這種心智模型較『解一』更為高層次。這類思考層次可說是反思，自己跳脫題外，思考問題，時時知道自己在做什麼。

接著，筆者再以大學(xué)數(shù)學(xué)中『拓樸學(xué)』（topology）的例子，來說明『思考層次』與『思考眼界』有著高低的不同。

記得在國小、國中、高中時代，圓形和三角形是視為完全不一樣的東西，不同的幾何圖形。當(dāng)時的思考，只限於外形的表現(xiàn)，比較不注重其無形的內(nèi)涵。因此，在中學(xué)時代的數(shù)學(xué)，直觀思考，圖形的全等性、相似性乃是主要訴求的重點(diǎn)。但是到了大學(xué)數(shù)學(xué)系中的拓樸學(xué)，已經(jīng)忘記了點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，也跳脫了有形物體的局限。故在拓樸學(xué)家的眼裡，圓、三角形與皆正方形視為同一類圖形；甚至圓與實(shí)心的輪胎也被視為同一類的幾何圖形，而一直線與一點(diǎn)也被視為同樣的幾何圖形。這些觀點(diǎn)，皆已跳脫有形可想像的範(fàn)圍，已經(jīng)走到第二型的更高層的思考，難怪Skemp主張數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論皆是屬於第二型的高層反思。其實(shí)，數(shù)學(xué)高階思考大都屬於二階反思。因此，我們可以理解到，經(jīng)由數(shù)學(xué)層層抽象化過濾的高階概念，雖然已經(jīng)遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)世界，走向無形抽象空間之中，但是，它卻反而引領(lǐng)我們進(jìn)入孫宙的本質(zhì)，一旦賦予科學(xué)的內(nèi)涵，就可以得到實(shí)際世界許多令人驚異的結(jié)論了。

五、代數(shù)與幾何的結(jié)合

筆者提出以下例子：

x2y2??1之兩頂點(diǎn)，Ｐ是橢圓上之一點(diǎn)，求△ＡＢＰ的例：設(shè)A(-3,0)，B(0,-2)為橢圓94最大面積。

這例題是高中數(shù)學(xué)教材中，常出現(xiàn)在圓錐曲線單元中的例子；而且也算是較難的例題之一。我們提出兩種解法，再進(jìn)一步分析這兩種解法過程中與Skemp書中的理論相應(yīng)之處。

解法一：利用代數(shù)方法解之。

設(shè)Ｐ（3cos?,2sin?），1|?3203cos?2sin?1021| 1則△ＡＢＰ面積＝

1|?6?6cos??6sin?| ＝|3sin??3cos??3|

＝

＝|32sin(??

故sin(???4)?3|

?4)??1時，得最大值 32?3。

解法二：利用幾何觀點(diǎn)解之。

△ＡＢＰ中AB底固定，故只要高最大，則△ＡＢＰ之面積就會最大。因此，利用平行線間之距離固定的特性；再 作Ｌ//AB且與橢圓相切於P，則可得最大的高。利用橢圓切線公式得：

242L:y??x??9?4??x?22

39而d(A,L)?6?6213。

16?6213?3?32。213

這個問題屬於難題，一般學(xué)生不易求解，這是因?yàn)樗櫼S多概念的結(jié)合，才能推導(dǎo)出這題的答案，其中包括橢圓的參數(shù)化、面積的行列式表示（亦可以用面積的向量表示）、三角函數(shù)疊合性質(zhì)、最大值如何取值等。一般而言，一個問題頇要三個或以上的概念結(jié)合才能解決，便可說是一個難題。何況此問題至少要用到四、五個以上的概念，難怪對學(xué)生而言，這是一難題，以上是『解法一』的計算過程分析。然而，對於『解法二』而言，它所頇要的概念有：幾何平行概念，三角形面積求法，橢圓切線公式，點(diǎn)到直線之距離等。也就是頇要四、五個以上的概念結(jié)合，才能處理這一問題。然而『解法二』的方法是代數(shù)與幾何的結(jié)合，也就是兩個大系統(tǒng)的結(jié)合。Skemp在本書中提到視覺系統(tǒng)及言辭系統(tǒng)。言辭系統(tǒng)不只包含口中發(fā)出的聲音，還包含寫在紙上的字；而視覺系統(tǒng)最好的例子就是圖形。然而，兩種系統(tǒng)若能結(jié)合，則處理問題的能力便可以更具威力。難怪諾貝爾獎得主Bragg在其八十歲生日時說：他自己總是先有視覺印象然後才產(chǎn)生新靈感。從這些數(shù)學(xué)教育專家的言談之中，可見以幾何觀點(diǎn)處理代數(shù)問題是很有幫助的，筆者提出這例題便是一例。因此，代數(shù)與幾何的結(jié)合是很重要的後射思考能力。

筆者近日對這三年來的『指定或聯(lián)考試題』作分析，發(fā)現(xiàn)九十一年指定考科有關(guān)幾何或利用幾何概念可處理的問題佔(zhàn)了29%；九十年聯(lián)考題這種題目佔(zhàn)了52%；八十九年聯(lián)考這種題目佔(zhàn)了46%。筆者所推定的百分比，可能見仁見智，雖然可能有誤差，但是，我們相信平均而言，與幾何相關(guān)或利用幾何可以處理的問題佔(zhàn)35%~40%是很自然的。這令筆者也深深感到，現(xiàn)今中學(xué)教材幾何的份量實(shí)在太少了。我希望數(shù)學(xué)教學(xué)家者能正視此一問題，也希望有改善幾何教學(xué)的教材出現(xiàn)。平心而論，幾何中的作圖、作法、推論與證明，可以說對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是很重要的訓(xùn)諫，不知為何當(dāng)今編寫數(shù)學(xué)教材大綱的所謂『專家』，為何對幾何的內(nèi)容做如此的取捨？現(xiàn)今的教育『專家』到底在想什麼？筆者想不通！故△ＡＢＰ之面積＝

六、理解方式

在Skemp書中的理解方式分為：機(jī)械式理解、因果式理解，與邏輯式理解。本書中對此三種理解方式有大略敘述，我們分述如下。

?機(jī)械式理解：能夠?qū)⒂脖车墓健⒄袛?shù)應(yīng)用於特定問題，但不知背後原因、原理。?因果式理解：知道數(shù)學(xué)概念的原因、原理，並能自行推理、推廣。?邏輯式理解：能夠老練地以數(shù)學(xué)化符號、術(shù)語搭配邏輯推理規(guī)則，以進(jìn)行形式化的數(shù)學(xué)概念證明或推演。

為了說明這三種不同的理解方式，筆者舉以下例子，來對照三種理解的情形。例：設(shè)二次函數(shù)f(x)?(x?1.1)2?(x?1.2)2?(x?1.3)2?(x?1.4)

2?(x?8.6)2?(x?8.7)2?(x?8.8)2?(x?8.9)2，且當(dāng)x?x0時，f(x)有最小值為m，則(x0,m)＝。

（A）機(jī)械式理解的學(xué)生，可能作以下解答方式。

取 1.1，1.2，1.3，1.4，8.6，8.7，8.8，8.9的中位數(shù)得5，則f(5)?112.6，故答(5,112.6)。

此答案正確。但學(xué)生只記得老師提醒：當(dāng)遇到這種問題時，便取以上各數(shù)之中位數(shù)代入，即得最小值。

（B）因果式理解的學(xué)生可能作以下解答方式。

將f(x)化為二次函數(shù)：

f(x)?8x2?2(1.1?1.2?1.3?1.4?8.6?8.7?8.8?8.9)x?D

?f(x)?8x2?80x?D?8(x?5)2?D?200，其中D?1.12?1.22?1.32?.142?8.62?8.72?8.82?8.92，故得當(dāng)x?5時，f(x)有最小值112.6。

在運(yùn)用這種解法時，學(xué)生一眼看出f(x)為一元二次函數(shù)，故經(jīng)化簡便可以得到，且可求得最小值。可見，他對二次函數(shù)、配方、求極值等基本概念皆明白在心理，而可以自行推導(dǎo)得答案。

（C）為了引進(jìn)邏輯式理解，我們提出以下例子。

1?tan??sec??tan??sec?，有學(xué)生如此證明：

1?tan??sec???nse??c(1?ta??nse?)c(?t?asne?)c

1?ta 例：求證：

22?se?c?ta??nta?n?ta?sne??cse??cta?sne??cse?c

1?ta?n2?se?c?ta

1?ta?n??nse??c(s2?e?cta?n)?se?c?1?ta?n?se? c

1?ta?n

故得證。

運(yùn)用這種證法的學(xué)生，筆者承認(rèn)他已經(jīng)對三角函數(shù)恆等式證明，已有了因果式的理解。因?yàn)椋缽牡谝坏仁降阶钺岬仁剑鋵?shí)皆是一樣的意義，而最後一個等式是顯然成立，故原等式得證。看到學(xué)生如此解，便可以了解其對等式證明的因果過程皆理解。因此，筆者認(rèn)為他已達(dá)到因果式理解。但是，他的數(shù)學(xué)邏輯表達(dá)卻有不當(dāng)之處。如果改寫如下：

此一恆等式與1?tan??sec??(1?tan??sec?)(tan??sec?)同義，故我們只證明後一恆等式就行了。它的右式＝(1?tan??sec?)(tan??sec?)

=tan??tan2??tan?sec??sec??tan?sec??sec2? =tan??sec??(sec2??tan2?)=1?tan??sec?=左式

得證。

經(jīng)過如此修正，整個邏輯語氣才通順，而且符合敘述證明的邏輯思考理解。若學(xué)生能接受如此的訓(xùn)練，便可以得到邏輯式理解的學(xué)習(xí)目標(biāo)，而使基模或解題過程能很圓滿地呈現(xiàn)出來。因此，邏輯式理解有一項(xiàng)很重要的誘因，就是來自同儕或師長的批評與建議，如此，方能達(dá)到數(shù)學(xué)完美的邏輯式理解與因果式理解的效應(yīng)與動力，而達(dá)到追求更廣泛、更有力、更一致、更完備的數(shù)學(xué)知識。

七、數(shù)學(xué)教學(xué)的省思

回想起十多年來的數(shù)學(xué)教學(xué)情況，可說是『教學(xué)相長』的最佳寫照。在最初教學(xué)之時，筆者比較愛教理論，亦即常以定義方式，直接引入數(shù)學(xué)概念，這種方法最簡捷。但是，學(xué)生卻不易了解，易生枯燥之感。因?yàn)椋P者在大學(xué)數(shù)學(xué)系時專業(yè)上的訓(xùn)練，常以定義、性質(zhì)、引理、定理、推理，一連串的引出數(shù)學(xué)的概念；因此，剛開始教學(xué)之時，亦承襲此一教學(xué)方式。後來，筆者日漸了解學(xué)生吸收不良的情形，也體會到中學(xué)生不比大學(xué)數(shù)學(xué)系的學(xué)生。因此，漸漸了解引起動機(jī)的重要，而在教學(xué)之時，慢慢轉(zhuǎn)變成以例子為起頭，引用日常生活化的例子，來引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，然後，再進(jìn)一步抽象化，而教授一般化的數(shù)學(xué)概念。經(jīng)過Skemp這本書的啟示，筆者覺得一位好老師至少要具備以下的特質(zhì)：

? 提出問題，解答問題。

? 體察出學(xué)生基模進(jìn)展的方式，並適時提出適當(dāng)實(shí)物以供參考。? 幫助學(xué)生更深入掌握其所學(xué)。? 逐步減低學(xué)生對老師的依賴。? 培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析事物的能力。

? 教材之選取，以及問題之提出，要合符學(xué)生的思考方式。? 培養(yǎng)學(xué)生反映內(nèi)涵能力及推理綜合能力。? 確時掌握學(xué)生心智自我建設(shè)之過程及特徵。

由於Skemp的概念啟發(fā)，筆者也提議下列一套『數(shù)學(xué)教學(xué)的原則』，筆者覺得它們是一位數(shù)學(xué)教師至少應(yīng)該具備的共識：

?先引起學(xué)習(xí)動機(jī)，以例子為起頭說明。

?舉例子要確定學(xué)生已經(jīng)形成例子所應(yīng)該具備的預(yù)先概念。?定義不可超過已知的高階概念。?以好例子引出定義。

?對所要教的例子要有充分了解，要有創(chuàng)造力、啟發(fā)力。?概念結(jié)構(gòu)分析過程中，不可錯一步。?先前概念必頇回顧複習(xí)，使學(xué)生隨手可得。

?引導(dǎo)學(xué)生揭開數(shù)學(xué)的發(fā)展結(jié)果，並加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思考。?加強(qiáng)智慧學(xué)習(xí)的過程。

這些有關(guān)教師特質(zhì)與教學(xué)原則的自我省思，將是往後筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)上的重點(diǎn)參考，更是筆者自我期許至少要達(dá)成的目標(biāo)。

八、結(jié)論

數(shù)學(xué)教育對筆者而言千頭萬緒，只是從經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)過程，偶而拾獲的一些心得而已。有幸能得到Skemp書中的許多啟發(fā)，也印證了許多教學(xué)過程中所體會的理念與原則。筆者覺得數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)該著重在要求這些數(shù)學(xué)結(jié)果是如何一步一步被揭開、發(fā)展出來，以及其來龍去脈的全盤了解，而不只是邏輯推理的說服懷疑者，此外，也不只是教授數(shù)學(xué)技巧，而不教數(shù)學(xué)的思考內(nèi)涵而已。

因此，數(shù)學(xué)教學(xué)為了簡捷、精確，而直接以定義方式引導(dǎo)學(xué)生，對學(xué)生而言，這是一種不智之舉。如果能從日常生活經(jīng)驗(yàn)中，引進(jìn)一些美好的例子，加強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，這將是年輕學(xué)子之福。

學(xué)生學(xué)習(xí)的包袱，會隨著學(xué)習(xí)理解方式而不同。機(jī)械式理解者將累積無數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)則、公式，而包袱日漸加重，以至達(dá)到無法負(fù)荷的困境。但對因果式及邏輯式理解的學(xué)生而言，將可以大幅減輕其包袱的負(fù)擔(dān)。故此，對學(xué)生的教學(xué)過程中，時時引導(dǎo)其對數(shù)學(xué)的理解規(guī)定的理由為何？目的何在？這是一種減輕學(xué)生學(xué)習(xí)包袱的重大關(guān)鍵。

我們皆明白分析能力、邏輯論證、社會化思考在數(shù)學(xué)中是相當(dāng)重要的學(xué)習(xí)目標(biāo)。然而，在此之外，我們更需要有個人的思考、內(nèi)在的洞察力以及綜合能力。在某種程度上而言，前者較容易教給學(xué)生，後者只能靠學(xué)生自力開發(fā)。可見，學(xué)生個人思考、洞察力、綜合能力的引導(dǎo)不易。所以，我們只能從旁啟發(fā)，至於達(dá)到何種程度，只有靠學(xué)生自己的造化了。

學(xué)生的學(xué)習(xí)是可以啟發(fā)的，教師本身的角色扮演也相當(dāng)重要。原則上，一個教師既要是軍隊中的訓(xùn)練班長（管理學(xué)生），又要是交響樂團(tuán)的指揮者（以自己的學(xué)識風(fēng)範(fàn)贏得學(xué)生的敬愛），並且必頇在這兩個角色之間取得平衡。

在數(shù)學(xué)教育環(huán)環(huán)相扣的情形下，筆者也深深體認(rèn)到：數(shù)學(xué)是經(jīng)由層層抽象過濾的高階概念，雖然這些高階概念遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)世界，但它們卻反而引領(lǐng)我們接觸孫宙的本質(zhì)。一旦將這些賦予科學(xué)的內(nèi)涵，就可以得到實(shí)際世界中許許多多令人驚異的結(jié)論。現(xiàn)今數(shù)學(xué)教育理論雖然還在蘊(yùn)育之中，但是，顯然也建立了許多值得參考的理論。期待將來我們對於學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)在心智活動及其內(nèi)在自我建構(gòu)的探索，能有更進(jìn)一步的理解。這也是當(dāng)今許多數(shù)學(xué)教育專家要探討的中心問題：教學(xué)時如何兼顧學(xué)習(xí)者心智自我建設(shè)性的特徵？如何理解學(xué)習(xí)者內(nèi)在心智活動的所有過程？

第四篇：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得體會

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得體會

南萬小學(xué) 6.2班 矯彤菲

從小時候?qū)W數(shù)數(shù)，到現(xiàn)在的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，無不是數(shù)學(xué)的范疇。現(xiàn)在我向大家介紹一下我學(xué)數(shù)學(xué)的方法。

一、不要怕數(shù)學(xué)。在我們的生活中，數(shù)學(xué)是無處不在的：我們買東西，付錢要用數(shù)學(xué)；看球賽，比分也是數(shù)學(xué)；勾股定理、黃金分割與優(yōu)選法在我們生活中的應(yīng)用更是比比皆是。其實(shí)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的范圍已大大擴(kuò)大了，包括數(shù)論、圖論、概率、悖論等多方面的內(nèi)容，而圖論、遞推關(guān)系在計算機(jī)中的應(yīng)用也是非常廣泛的。所以，數(shù)學(xué)與我們的生活有著緊密的聯(lián)系，可以說：數(shù)學(xué)是無處不在的。

二、學(xué)數(shù)學(xué)要學(xué)習(xí)什么。一句話，就是學(xué)習(xí)它的思維方法。在我們的現(xiàn)階段，以及我們工作以后，很少能用到具體的數(shù)學(xué)題，但是，數(shù)學(xué)的思維方法是指導(dǎo)我們學(xué)習(xí)、工作的思想，所以，數(shù)學(xué)的思維方法是非常重要的。舉個例子：數(shù)論中有一個著名的問題，就是歌德巴赫猜想。許多科學(xué)家都表示，用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)方法無法解決這個問題。這樣，要想解決歌德巴赫猜想必須用一種新的方法，而這種方法就是我們需要的。這也就是數(shù)學(xué)的精髓所在。

三、打好基礎(chǔ)，吃透課本。課本的題目是比較簡單、比較基礎(chǔ)的，卻也不能忽視，這是因?yàn)檎n本的題目為我們提供了一種簡捷的思維方式和比較嚴(yán)密的解題步驟。數(shù)學(xué)是一門要求嚴(yán)密的科學(xué)，需要思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，課本就為我們提供了一個范例。這是一個平行四邊形，求證它的對邊相等。我們想容易想到，連接對角線，用兩個三角形全等來證明。這就提供了一個思路：遇到平行線，可以做截這兩條平行線的直線，把平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為角相等的關(guān)系。這也用到了一種轉(zhuǎn)化思想。掌握簡單題的思路，難題也就能變得簡單了。

四、拓展知識，提高能力。現(xiàn)在，計算機(jī)非常熱門，而計算機(jī)編程就能用到圖論、遞推關(guān)系等數(shù)學(xué)知識，提前了解一下是很有幫助的。我們是21世紀(jì)的學(xué)生，應(yīng)當(dāng)具有寬廣的知識面和較強(qiáng)的綜合能力。學(xué)習(xí)上在課前必須預(yù)習(xí)老師所要講解的內(nèi)容，對于簡單的要自己理解掌握，公理、公式和推論要有意識的去記憶，并劃出自己不懂得地方；（2）客商要認(rèn)真聽講，絕對不能開小差，更要著重聽你在預(yù)習(xí)時感到困惑的地方，并記下經(jīng)典例題；（3）課后認(rèn)真做練習(xí)。對自己把握得不好的地方要加大訓(xùn)練，記熟公式。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方法就是加深理解，在理解之上記憶。總之，數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，它的應(yīng)用是非常廣泛的。我一定會用心去學(xué)好。

第五篇：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心得體會

小學(xué)數(shù)學(xué)外出聽課心得體會

上周二我們在教研室的謝老師和劉老師的帶領(lǐng)下在靈寶二小和實(shí)小聽了4節(jié)非常精彩的數(shù)學(xué)課，讓我感到收獲很大。不僅領(lǐng)略了各位教師出類拔萃的教學(xué)風(fēng)采，也讓我從中感受到小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的靈活多變。下面就從一下幾點(diǎn)談?wù)劚救诉@幾節(jié)課感受最為深刻的地方。

尹娜老師的《平行與垂直》，語言簡潔，思路清晰，引導(dǎo)到位，注重讓學(xué)生動手做，動腦想，動嘴說，給了學(xué)生充分的空間，注重對學(xué)生能力的全面培養(yǎng)，課堂教學(xué)效果很好。

吳香玲老師的《倒數(shù)的認(rèn)識》，語言流暢，干脆利落，問題的指向性強(qiáng)，課堂教學(xué)靈活，讓學(xué)生既學(xué)到了新知識又鍛煉了能力。肖云云老師的《用字母表示數(shù)》，教法靈活，把字母的認(rèn)識與實(shí)際生活相聯(lián)系，加深了學(xué)生對用字母表示數(shù)的認(rèn)識，充實(shí)了課堂教學(xué)內(nèi)容。

李芳老師的《線段﹑直線和射線》，語言精練，思路清晰，注重了學(xué)生的動手、動腦、動嘴的能力，尤其是游戲的運(yùn)用把這節(jié)課推上了高潮。

這些授課的優(yōu)秀教師的教學(xué)讓我學(xué)到了很多，對我以后的教學(xué)幫助很大，我的課堂教學(xué)需要改善的還很多。

⒈扎實(shí)的基本功和駕馭課堂的能力感染了我，俗話說“冰凍三尺，非一日之寒”我們就要有滴水穿石的精神，從點(diǎn)滴做起，堅持不懈積累經(jīng)驗(yàn)。

⒉創(chuàng)設(shè)的情境真正為教學(xué)服務(wù)，如果只是為了情境而情境，那就是一種假的教學(xué)情境。在分析教材時，要適當(dāng)舍取一些教材內(nèi)容，做到靈活運(yùn)用教材，而不是教教材。

⒊教學(xué)課件制作精良，充分發(fā)揮了多媒體技術(shù)在課堂教學(xué)中的重要作用。無論從課題材料的搜集上還是從視聽效果上，都非常富有創(chuàng)意，引人入勝，既形象又生動，吸引著學(xué)生的注意力。充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣更有利于學(xué)生對所學(xué)知識得牢固掌握。

⒋練習(xí)設(shè)計基礎(chǔ)實(shí)效，新課過后的練習(xí)要及時鞏固基礎(chǔ)。只有及時鞏固才能更好的使學(xué)生牢記掌握所學(xué)知識。

⒌注重對學(xué)生分析問題，解決問題的能力，將課堂還給學(xué)生，教師只是起到引導(dǎo)作用，使學(xué)生聯(lián)系實(shí)際和利用生活經(jīng)驗(yàn)，通過觀察﹑操作﹑讓學(xué)生在探索，思考中學(xué)習(xí)，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。⒍加強(qiáng)自己組織語言的能力，既能做到簡潔干脆，又能起到正確引導(dǎo)的作用。

總之，此次的學(xué)習(xí)讓我對自己平時的教學(xué)有了更深刻的反省和更高的要求。“路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索。”在以后的教學(xué)中，我將不斷地提升自身的素質(zhì)，不斷地向有經(jīng)驗(yàn)的老師學(xué)習(xí)，博采眾長，充分利用一切學(xué)習(xí)機(jī)會，多對比，多反思，提高自己駕馭課堂教學(xué)的能力，并真正地達(dá)到教育的理想境界——“寓教于樂”。2016、10﹑16