第一篇：公務員行測數量關系知識總結

整除基本法則

其末一位的兩倍，與剩下的數之差，或其末三位與剩下的數之差為7的倍數，則這個數就為7的倍數。奇數位與偶數做差，為11的倍數，則這個數為11的倍數，或末三位與剩下的數之差為11的倍數則這個數為11的倍數。

末三位與剩下的數之差為13的倍數，則這個數為13的倍數。末兩位能被4和25整除，則這個數能被4和25整除。末三位能被8和125整除，則這個數能被8和125整除。有N顆相同的糖，每天至少吃一顆，可以有2N-1種吃法。因式分解公式

平方差公式：.a2－b2＝(a＋b)(a－b)完全平方公式： a2±2ab＋b2＝(a±b)2 立方和公式：a3+b3＝(a+b)(a2-ab+b2).立方差公式：a3-b3＝(a-b)(a2+ab+b2).完全立方公式： a3±3a2b＋3ab2±b3＝(a±b)3 兩位尾數法

指利用計算過程當中，每個數的末兩位來進行運算，求得的最后兩位，過程和結果當中如果是負數，可以反復加100補成0-100之間的數。裂項相加法則 和=（分子11—）×

小=分母種最小的數，大=分母中最大的數

差小大乘方公式

底數留個位，指數末兩位除以4（余數為0看做4）尾數為1、5、6的尾數乘方不變。循環數核心公式

例題：198198198=198*1001001 200720072007=2007*1001 三位數頁碼

頁碼=數字 +36 3同余問題

余同取余，和同加和，差同減差，公倍數做周期

1、余同：一個數除以4余1，除以5余1，除以6余1則取1 60n+1

2、同和：一個數除以4余3，除以5余2，除以6余1則取7 60n+7

3、差同：一個數除以4余1，除以5余2，除以6余3則取-3 60n-3 周期問題

一串數以T為周期，且A=N?a那么A項等同于第a項 N等差數列（如幾層木頭，相連的奇偶數等）

和=(首項?末項）?項數=平均數×項數=中位數×項數

2項數公式:項數=末項?首項?1

公差級差公式：第N項-第M項=（N-M）×公差 調和平均數

2ab a?b十字交叉法

例題重量分別為A與B的溶液，其濃度分別為a與b，混合后濃度為r

Ar?b? ba?r濃度相關問題

溶液=溶質+溶劑

濃度=溶質÷溶液

溶質=溶液×濃度

溶液=溶質÷濃度 多次混合問題核心公式

1、設鹽水瓶中鹽水的質量為M，每次操作中先倒出M0克鹽水，再倒入M0克清水 Cn=C0×(M?M0M)n

（C0 為原濃度，Cn為新濃度，n為共幾次）

2、設鹽水瓶中鹽水的質量為M，每次操作中先倒入M0克清水，再倒出M0克鹽水 Cn=C0×(M)n（C0 為原濃度，Cn為新濃度，n為共幾次）

M?M0行程問題

距離=速度×時間

火車過橋洞時間=（火車長度+橋洞長度）÷火車速度 相對速度

1、相遇追及問題

相遇距離=（大速度+小速度）×相遇時間 追及距離=（大速度-小速度）×追擊時間

2、環形運動問題

環形周長=（大速度+小速度）×反向運動的兩人兩次相遇時間間隔 環形周長=（大速度-小速度）×同向運動的兩人兩次相遇時間間隔

3、隊伍行進問題

隊伍長度=（人速+隊伍速度）×從隊頭到隊尾所需時間 隊伍長度=（人速-隊伍速度）×從隊尾到隊頭所需時間

4、流水行船、風中飛行問題

順流時間=順流速度×順流時間=（船速+水速）×順流時間 逆流時間=逆流速度×逆流時間=（船速-水速）×逆流時間

1、等距平均速度問題核心公式 往返平均速度=2u1u2

u1?u22、沿途數車問題核心公式 沿途時間間隔=2t1t2t?t

車速=人速=21 t1?t2t2?t13、漂流瓶問題核心公式 漂流所需時間=2t逆t順

t逆?t順

4、兩次相遇核心公式 單岸型

S=3s1?s

2兩岸型

S=3S1-S2

S表示兩岸的距離 25、電梯運動問題

能看到的電梯級數=（人速+電梯速度）×沿電梯運動方向運動所需時間

能看到的電梯級數=（人速-電梯速度）×沿電梯運動所需時間

幾何基本公式

圓周長C圓=2πr 圓面積 S圓=πr

2S三角=

11ah S梯=（a+b）h N邊形內角和=（N-2）×180° 22幾何特性：若一個幾何圖形其尺度為原來的M倍則

面積M2倍

體積M3倍

平面圖形周長一定，越接近圓，面積越大平面圖形面積一定，越接近圓，周長越小 立體圖形，表面積一定，越接近球體積越大 立體圖形，體積一定，越接近球體，表面積越小 兩集合標準核心公式

滿足條件Ⅰ的個數+滿足條件Ⅱ的個數-兩者都滿足的個數=總個數-兩者都不滿足的個數 三集合標準核心公式

均如何=甲+乙+丙-（甲和乙）-（甲和丙）-（乙和丙）+都如何 三集合整體重復型核心公式

在三集合的題型中，假設滿足三個條件的元素數量分別為A、B、C，而至少滿足三個條件之一的元素總量為W，滿足一個條件的元素數量為X，滿足兩個條件的數量為Y，滿足三個條件的元素數量為Z，則

W=X+Y+Z

A+B+C=X×1+Y×2+Z×3 排列組合

取其一

①加法原理：分類用加法（要么?要么）排列與順序有關

②乘法原理：分步用乘法（首先?然后）組合與順序無關

3排列

A8=8×7×6 4組合 C10=10?9?8?7

4?3?2?1錯位排列：有幾個信封，且每個信封都不能裝自己的信

D1=0 D2=1 D3=2 D4=9 D5=44 D6=265 傳球問題核心公式

(M?1)N M個人傳N次球即

X=則X最接近的整數為傳給“非自己的某人”的方法，與X第二接近的M正整數便是傳給自己的方法數 比賽問題：N為人數

淘汰賽

①僅需決出冠亞軍

比賽場次=N-1

②需要決出1、2、3、4名

比賽場次=N 循環賽

①單循環（任意兩個打一場）比賽場次=C2N

②雙循環（任意兩個打兩場）比賽場次=A2N 概率問題

1、單獨條件概率=滿足條件的情況數

總的情況數

2、某條件成立概率=1-不成立的概率

3、總體條件概率=滿足條件的各種情況概率之和

4、分步概率=滿足條件的各種情況概率之積

5、條件概率=“A成立”是B成立的概率=A、B同時成立的概率 植樹問題

1、單邊線型植樹公式：棵樹=總長÷間隔+1；總長=（棵樹-1）×間隔

2、單邊環型植樹公式：棵樹=總長÷間隔；總長=棵樹×間隔

3、單邊樓間植樹公式：棵樹=總長÷間隔-1；總長=（棵樹+1）×間隔 裂增計數

如果一個量每個周期后變為原來的A倍，那么，N個周期后就是原來的AN倍 例：10分鐘分裂一次（1個分裂為2個），經過90分鐘，可有1分裂為幾個 周期數為90÷10=9

公式=29 =512 剪繩問題

一根繩子連續對折N次，從中剪M刀，則被剪成了2N×M+1段 方陣問題

21、N 排N列的實心方陣人數為N人

2、M排N列的實心方陣人數為M×N

3、N排N列的方陣，最外層有4N-4人

4、在方陣或者長方陣中相鄰兩圈人數，外圈比內圈多8人

5、空心正M邊形陣中，若每邊有N個人，則共有MN-M個人

26、方陣中：方陣人數=（最外層人數÷4+1）

過河問題

M個人過河，船上能載N個人，1人劃船故需

M?1次，最后一次不用回來 N?1牛吃草問題

草場原有草量=（牛數-每天長草量）×天數

出現M頭牛吃W畝草時，牛數用MW代入，此時代表單位面積上牛的數量，如果計算為負數說明存量不增加而消之 時鐘問題

鐘面上每兩格之間相差30° T=T0+1 11T為追及時間和時針要“達到條件要求”的真實時間，T0為靜態時間，即假設時針不動，分針和時針“達到條件要求”的時間 經濟利潤相關問題

利潤率=利潤÷成本=（售價-成本）÷成本=售價÷成本-1 售價=成本×（1+利潤率）成本=售價÷（1+利潤率）兩位數乘法：

一個數乘以5可以看成乘以10除以2 例：42×48=2016 等于后兩位數相乘，前兩位數也相乘在加上十位上相同的數。相同且互補（和為10）中間兩邊互補除外。

第二篇：行測——數量關系題規律總結

給人改變未來的力量

【導語】在數學題中，我們經常會總結出一些規律。它們可以幫助大家在考試中跟快速的解題，下面總結了十三個規律，希望幫助大家更好地解答行測中的數量提。

一、當一列數中出現幾個整數，而只有一兩個分數而且是幾分之一的時候，這列數往往是負冪次數列。【例】1、4、3、1、1/

5、1/

36、()A.1/92 B.1/124 C.1/262 D.1/343

二、當一列數幾乎都是分數時，它基本就是分式數列，我們要注意觀察分式數列的分子、分母是一直遞增、遞減或者不變，并以此為依據找到突破口，通過“約分”、“反約分”實現分子、分母的各自成規律。

【例】1/16 2/13 2/5 8/7 4()A 19/3 B 8 C 39 D 32

三、當一列數比較長、數字大小比較接近、有時有兩個括號時，往往是間隔數列或分組數列。

【例】33、32、34、31、35、30、36、29、()A.33 B.37 C.39 D.41

四、在數字推理中，當題干和選項都是個位數，且大小變動不穩定時，往往是取尾數列。取尾數列一般具有相加取尾、相乘取尾兩種形式。

【例】6、7、3、0、3、3、6、9、5、()A.4 B.3 C.2 D.1

給人改變未來的力量

五、當一列數都是幾

十、幾百或者幾千的“清一色”整數，且大小變動不穩定時，往往是與數位有關的數列。【例】448、516、639、347、178、()A.163 B.134 C.785 D.896

六、冪次數列的本質特征是：底數和指數各自成規律，然后再加減修正系數。對于冪次數列，考生要建立起足夠的冪數敏感性，當數列中出現6?、12?、14?、21?、25?、34?、51?、312?，就優先考慮43、112(53)、122、63、44、73、83、55。【例】0、9、26、65、124、()A.165 B.193 C.217 D.239

七、在遞推數列中，當數列選項沒有明顯特征時，考生要注意觀察題干數字間的倍數關系，往往是一項推一項的倍數遞推。【例】118、60、32、20、()A.10 B.16 C.18 D.20

八、如果數列的題干和選項都是整數且數字波動不大時，不存在其它明顯特征時，優先考慮做差多級數列，其次是倍數遞推數列，往往是兩項推一項的倍數遞推。【例】0、6、24、60、120、()A.180 B.210 C.220 D.240

九、當題干和選項都是整數，且數字大小波動很大時，往往是兩項推一項的乘法或者乘方的遞推數列。【例】3、7、16、107、()

給人改變未來的力量

A.1707 B.1704 C.1086 D.1072

十、當數列選項中有兩個整數、兩個小數時，答案往往是小數，且一般是通過乘除來實現的。當然如果出現了兩個正數、兩個負數諸如此類的標準配置時，答案也是負數。【例】2、13、40、61、()A.46.75 B.82 C.88.25 D.121

十一、數字推理如果沒有任何線索的話，記得要選擇相對其他比較特殊的選項，譬如：正負關系、整分關系等等。【例】2、7、14、21、294、()A.28 B.35 C.273 D.315

十二、小數數列是整數與小數部分各自呈現規律，日期數列是年、月、日各自呈現規律，且注意臨界點(月份的28、29、30或31天)。

【例】1.01、1.02、2.03、3.05、5.08、()A.8.13 B.8.013 C.7.12 D.7.012

十三、對于圖形數列，三角形、正方形、圓形等其本質都是一樣的，其運算法則：加、減、乘、除、倍數和乘方。三角形數列的規律主要是：中間=(左角+右角-上角)×N、中間=(左角-右角)×上角;圓圈推理和正方形推理的運算順序是：先觀察對角線成規律，然后再觀察上下半部和左右半部成規律;九宮格則是每行或每列成規律。

總之，行測中的數量關系題要多做多練，在以上規律的基礎上，給人改變未來的力量

多總結出屬于自己的解題規律，這樣才能在緊張的答題時間內，讓自己得到高分。

第三篇：2016必備行測數量關系技巧全總結[范文模版]

數量關系隨心筆記

第一部分：數列

1數字敏感性

質數數列：2.3.5.7.11.13.17.19.23.29.合數數列：4.6.8.9.10.12.14.15.16.18.20.21.22.24.25.26.27.28.30.平方數列：1.4.9.16.25.36.49.64.81.100.121.144.169.196.225.256.立方數列：1.8.27.64.125.216.343.512.729.此外還要注意：第一，奇偶性。具備奇偶性質的數列無外乎只有三種情況，全是奇數、全是偶數、奇偶交錯。第二，增減性。第三，整除性。

解題首先要觀察數列的增幅，增幅較小做差，較大做乘除，特大就可能是冪次了。接下來再觀察1：長數列，項數在6項以上。基本解題思路是分組或隔項。2：搖擺數列，數值忽大忽小，呈搖擺狀。基本解題思路是隔項。3：雙括號。一定是隔項成規律！4：分式。（1）：整數和分數混搭，提示做乘除。（2）：全分數。解題思路為：能約分的先約分；能劃一的先劃一；突破口在于不宜變化的分數，稱作基準數；分子或分母跟項數必有關系。5：正負交疊。基本思路是做商。6：根式。（1）數列中出現根數和整數混搭，基本思路是將整數化為根數，將根號外數字移進根號內。（2）根數的加減式，基本思路是運用平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。7：首一項或首兩項較小且接近，第二項或第三項突然數值變大。基本思路是分組遞推，用首一項或首兩項進行五則運算（包括乘方）得到下一個數。8：純小數數列，即數列各項都是小數。基本思路是將整數部分和小數部分分開考慮，或者各成單獨的數列或者共同成規律。9：很像連續自然數列而又不連貫的數列，考慮質數或合數列。10：大自然數，數列中出現3位以上的自然數。因為數列題運算強度不大，不太可能用大自然數做運算，因而這類題目一般都是考察微觀數字結構。

剩下的就是蒙的方法了：第一蒙：選項里有整數也有小數，小數多半是答案。第二蒙：數列中出現負數，選項中又出現負數，負數多半是答案。第三蒙：猜最接近值。有時候貌似找到點規律，算出來的答案卻不在選項中，但又跟某一選項很接近，別再浪費時間另找規律了，直接猜那個最接近的項。第四蒙：利用選項之間的關系蒙。

一、數學運算

1．互補數法

如果兩個數的和正好可以湊成整

十、整百、整千時，就可以認為這兩個加數互為補數，其中一個加數叫做另一個加數的補數。2．湊整法

湊整法是簡便運算中最常用的方法，即根據交換律、結合律把可以湊成10、20、30、50、100、1000?的數字放在一起先湊成整數，再進行運算，從而提高運算速度。例題：ii 3．尾數估算法

3.尾數估算法是簡便運算中常用的一種排除備選項的方法。在四則運算中，如果幾個數的數值較大，運算復雜，又沒有發現運算規律時，可以先利用個位或小數 部分進行運算得到尾數，再與選項中的尾數部分進行對比，如果有唯一的對應項，就可立即找到答案。考生如果遇到備選答案的尾數都不相同的題目時，可以首先考 慮此種方法，快速找出答案。考生應該掌握的尾數變化的基本常識有∶

2n是以“4”為周期變化的，即尾數分別是2，4，8，6? 3n 是以“4”為周期變化的，即尾數分別是3，9，7，1? 4n是以“2”為周期變化的，即4，6? 5n、6”尾數不變。

7n是以“4”為周期變化的，即7，9，3，1? 8n 是以“4”為周期變化的，即8，4，2，6? 9n是以“2”為周期變化的，即9，1? 例題：iii 4．基4.基準數法 當有兩個以上的數相加且這些數相互接近時，可以取一個中間數作為基準數，然后用基準數乘以項數，再加上每個加數與基準數的差，從而求得它們的和。5.棄九法

二、大小判斷

這種類型的題目一般不需要進行具體的數字計算，只要能找到某個判斷標準就可以進行判斷了。比較數大小的方法很多，在解題時，要根據所給試越的特點，選擇合適的比較方法。一般來說，有下列幾種判斷方法∶

(1)對于任意兩個數，如果a－6>0，則a>6；如果a－6<0，則a<6；如果a－b＝0，則a＝b。(2)對于任意兩個數，如果不是很方便比較大小時，常選取中間值C，然后口、b分別與c比較，進而比較口、b的大小。(3)當a、6為任意兩個正數時，如果a/b>1，則a>6；如果b/2<1，則a<6；如果a/b＝1，則a＝6。當 a、6為任意兩個負數時，如果a/b>1，則a<6；如果a/b<1，則a>6；如果a/b＝1，則a＝b。

(4)當a、b為任意兩個正數時，如果a2－b2>0，則a>b。

(5)當a、b為任當a、b為任意兩個正數時，如果1/a>1/b，則a

三、工程問題

工程問題指的大都是兩個人以上合作完成某一項工作，有時還將內容延伸到向水池注水等。解答工程問題時，一般都是把總工作量看作單位“1”，用單位“1”除以工作時間作為工作效率，也就是說，工作效率就是工作時間的倒數。一般情況下，工程問題是公務員考試的必考題型之一。一般常用的數量關系式是 工作總量＝工作效率×工作時間；

工作時間＝工作總量÷工作效率；

工作時間＝工作總量÷工作效率；

工作總量＝各分工作量之和。

四、路程問題

路程問題是數量關系題中常見的典型問題，涉及距離、速度和時間三者之間的關系。其中，距離（s）＝速度（v）×時間（t）。這種問題主要有三種基本類型∶相遇問題、追及問題和流水問題。1．相遇問題

“相遇問題”(或相背問題)是兩個物體以不同的速度從兩地同時出發(或從一地同時相背而行)，經過若干小時相遇(或相離)。若把兩物體速度之和稱之 為“速度和”，從同時出發到相遇(或相距)時止，這段時間叫“相遇時間”；兩物體同時走的這段路程叫“相遇路程”，那么，它們的關系式是∶ 相遇路程＝速度 和×相遇時間； 相遇時間＝相遇路程÷速度和； 速度和一相遇路程÷相遇時間。例題：viii 2．追及問題

追及問題是兩物體以不同速度向同一方向運動，核心是“速度差”的問題。兩物體同時運動，一個在前，一個在后，前后相隔的路程可以稱之為“追及的路程”，那么，在后的追上在前的時間叫“追及時間”。公式為∶追及時間一追及的路程÷速度差。例題：ix 3．流水問題 船速是船在靜水中航行的速度；水速是水流動的速度；順水速度，即船順水航行的實際速度，等于船速加水速；同理，逆水速度等于船速減水速。流水問題具有行程問題的一般性質，即速度、時間、路程，可參照行程問題解法。例題：x

五、比例分配問題

比例分配問題是公務員考試的必考題型，最基本的比例問題是求比或求比值，即從已知一些比或者其他數量關系求出新的比。其關鍵和核心是弄清楚相互變化的關系。

六、植樹和方陣問題

1．植樹問題

一般的出題模式是給一段路，在路的一旁或兩邊種樹(或其他一些事物)，原理其實和小學數學中在線段中標點一樣，在做題時也可以畫一個線段，然后數一下自己所標的點的數量就可以了。

關于植樹問題，主要的關系有∶

(1)如果題目中要求在植樹的路線兩端都植樹，則棵數比段數多1，等于全長除以株距再加上1。

(2)如果題目中要求在路線的一端植樹，則棵數與段數相等，等于全長除以株距。(3)如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數＝段數－1。例題：xii 2．方陣問題

士兵排隊，橫著排叫行，豎著排叫列，若行數與列數都相等，正好排成一個正方形，這就是一個方隊，這種方隊也叫做方陣(亦叫乘方問題)。

(4)空心方陣的總人(或物)數＝[最外層每邊人(或物)數－空心方陣的層數]×空心方陣的層數×4。

七、日歷和年齡問題

1．日歷問題

計算月日要記住以下三條法則∶

(1)每年的1、3、5、7、8、10、12這七個月是31天；(2)每年的4、6、9、11這四個月是30天；

(3)普通年能被4整除不能被100整除則為閏年，則該年的2月是29天(如2008年)，如果該年的年份不能被4整除，則是28天(如2007年).(4)世紀年能被400整除的才是閏年。例題：xiv 2．年齡問題

解答年齡問題，一般要抓住以下三條規律∶

(1)在任何情況下，兩個人的年齡差總是確定不變的；

(2)隨著時間向前(過去)或向后(將來)推移，兩個人或兩個以上人的年齡一定減少或增加相等的數量；

(3)隨著時間的變化，兩個人年齡之間的倍數關系一定會改變。例題：xv

八、牛吃草問題

“牛吃草問題”。牛每天吃草，草每天在不斷均勻地生長。這種類型題目的解題環節主要有四步∶(1)求出每天長草量；(2)求出牧場原有草量；

(3)求出每天實際消耗原有草量(牛吃的草量一生長的草量一消耗原有草量)；(4)最后求出可吃天數。

九、雞兔問題

雞兔問題是我國古代著名數學問題之一，也叫“雞兔同籠”問題。解答雞兔同籠問題，一般采用假設法，假設全部是雞，算出腳數，與題中給出的腳數相比 較，看差多少，每差2(4－2)只腳，就說明有1只兔，將所差的腳數除以(4－2)，就可求出兔的只數。同理，假設全部是兔，可求出雞的只數。

十、和、差問題和倍數問題 1．和、差問題

和、差問題是已知大小兩個數的和與這兩個數的差，求大小兩個數各是多少的應用題。解答這一類問題一般用假設的方法。和、差應用題的解題要點是∶(和＋差)÷2＝較大數 較大數－差＝較小數； 或(和－差)÷2＝較小數，較小數＋差＝較大數。2．倍數問題

倍數應用題的解題要點是∶

和÷(倍數＋1)＝小數(較小的數，即1倍數)； 小數×倍數＝大數(較大的數，即幾倍數)； 或和－小數＝大數。例題：xix

十一、盈虧問題

數字盈虧問題是指在一定范圍內的多組數字間存在一定的數量關系，其中一組數字如發生變化，就必然會引起另一組數字的變化。這種題型的解題關鍵是∶找出這幾組數字間的關系，然后假設其中一組達到最大值，最后根據它們之間的關系和所得的結果，來推算出其他組的數字。

十二、幾何問題

1．周長問題

周長問題關鍵是要學會“轉化”。轉化也就是把題中的某個圖形轉變成我們平時標準的長方形、正方形、圓形或其他規則圖形，以方便計算它們的周長。2．面積問題

要解決面積問題，關鍵是要會正確地“割、補”。通常使用的方法就是添加輔助線，即通過引入新的輔助線將圖形分割或者補全成我們熟悉的規則圖形，從而快速求得面積。3．體積問題

求解體積問題，除了使用體積公式外，有時還可利用補形、分割、轉化等特殊方法。

十三、十三 排列、組合問題

1．初等排列、組合

初等排列、組合指的是加法原理和乘法原理。

(1)加法原理∶完成一件事有n類方式∶A1，A2，?，An，每一類方式A中有Mi種方法，任何兩類方式都互不相同，方法中任何一種都能單獨完成任務，則總的方法數為∶N＝Mi＋M2＋?＋Mn。

(2)乘法原理∶完成一件事分n個步驟∶B1，B2，?，Bn，每一步驟Bi有Mi種方法，則總的方法數為∶N＝Mi×M2×?×Mn。例題：xxi 2．復雜排列、組合 從挖個不同元素中，任取m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號P表示。

從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號C表示。例題：xxii

十四、其他問題

1．統籌與優化問題

統籌與優化問題是在盡可能節省人力、物力和時間的前提下，努力爭取獲得在允許范圍內的最佳效益問題。統籌與優化問題具體有以下內容∶

(1)完成一件事情，怎樣規劃安排才能用時最少、用費最省、路線最近等；(2)任務固定，設計如何使用最少的人力、物力去完成；

(3)人力、物力固定，設計調配方案，獲取最快速度和最佳效果。例題：xxiii 2．容斥問題

在計數時，為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方法的基本思想是∶先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的數 目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數的方法稱為容斥原理。

這是2004年、2005年中央、國家機關公務員考試的一個難點。這種題型的解題要點是兩個公式，即∶

(1)如果被計數的事物有A、B兩類，那么，A＋B＝A＋A∩B。

(2)如果被計數的事物有A、B、C三類，那么，A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C。3．跳井問題

井深M米，蝸牛爬行n米，幾日爬行到井口的問題 4．對分問題

對分問題是數學運算中的典型問題。可設原始長度為S的一個東西，每次分a部分，取其中之一，如果分了n次，那么還剩下S．(1/2)n。5．計算預支問題

對預支問題進行分析，可以發現此類問題與比例問題是相通的。按照比例問題的解法解預支問題同樣實用。6．利潤問題

利潤問題是近幾年來公務員考試的新題型。商店出售商品，目的是要獲得利潤。這樣就涉及進貨價(成本)、售出價(定價)、利潤以及打折、儲運等經濟問題，這樣的問題都可以稱為經濟利潤問題。其基本公式有∶(1)利潤＝銷售價－成本；

(2)利潤率＝利潤÷成本＝(銷售價一成本)÷成本＝銷售價÷成本－1；(3)銷售價＝成本×(1＋利潤率)或者成本＝銷售價÷(1＋利潤率)。7．濃度問題

溶質與溶液質量的比值叫做溶液的濃度(通常用百分數表示)，這三者的關系如下∶

溶液的質量＝溶質的質量＋溶劑的質量； 溶液的濃度＝溶質的質量÷溶液的質量； 溶液的質量＝溶質的質量÷溶液的濃度； 溶質的質量＝溶液的質量×溶液的濃度。

第四篇：行測數量關系備考技巧

公務員考試中，數量關系歷來是考生備感頭疼的題型，其主要有兩大題型，一是數字推理，二是數學運算。

數字推理主要是考察應試者對數字和運算的敏感程度。本質上來看，是考察是考生對出題考官的出題思路的把握，因為在數字推理中的規律并非“客觀規律”，而是出題考官的“主觀規律”，也就是說，在備考過程中，不能僅從數字本身進行思考，還必須深入地理解出題者的思路與規律。

數學運算的知識點繁雜，需要系統梳理，并且要明確考試目的——數學運算題并不一定要把最后的答案算出來，而是要把正確答案“選”出來，因此，掌握做題的技巧十分重要。有時一道題按常規的方法“算”出來可能需要五六分鐘甚至更長的時間，但把正確答案“選”出來只需要20秒鐘。

數學運算基本題型眾多，每一基本題型都有其核心的解題公式或解題思路，應通過練習不斷熟練。在此基礎上，有意識培養自己的綜合分析能力，即在復雜數學運算題面前，能夠透過現象看到本質，挖掘其中深層次的等量關系。

從備考內容來看，無論是數字推理還是數學運算，都需要從思路和技巧兩方面來著手準備。下文從思路和技巧兩方面總結了數量關系備考三階段需要做的事情。

一、數量關系解題思路

思路是指對于各類題型的解題思路，由于數量關系涉及的題型眾多，因而必須對各類題型都達到一個比較熟練的程度，尤其是常見的一些題型。

例1：19991998的末位數字是（）[2005國家公務員考試行政職業能力測驗真題一類-38題]

A.1B.3C.7

D.9

解析：求1999的1998次方的個位數，實際上就是求9的1998次方的個位數，由于對于任何數字的多次方，都呈現四個一循環的規律，因而就是求9的平方的末位數，輕松得到A答案。

對于這類題，如果備考時沒有熟悉掌握做題的方法，考試中很難算出正確的答案。

二、數量關系解題技巧

例2：現有一種預防禽流感藥物配置成的甲、乙兩種不同濃度的消毒的消毒溶液。若從 甲中取 2100 克、乙中取 700 克混合而成的消毒溶液的濃度為 3％；若從甲中取 900 克、乙 中取 2700 克，則混合而成的消毒溶液的濃度為 5％。則甲、乙兩種消毒溶液的濃度分別為（）[2006年浙江公務員考試行政職業能力測驗真題-37題]

A.3％，6％

B.3％，4％

C.2％，6％

D.4％，6％

解析：甲、乙溶液進行兩次混合，兩次得到的溶液的濃度分別為3%和5%，則這兩種溶液只能在3%和5%這個區間之外，因此輕松選C。所以，掌握各種做題技巧，能大大提高解題的速度。

數量關系的復習絕不可能是一朝一夕之功，高效解題必須熟練掌握基礎知識和基本題型，這也是數量關系備考的核心所在。備考過程中，不要急于求成，而應一步一個腳印，腳踏實地，穩步提升。

三、數量關系備考三階段

從備考的過程來看，可以分為三個階段：廣泛積累階段、總結提高階段、模擬沖刺階段。

1、廣泛積累階段

積累階段需要盡可能多地收集各類題型，要深入了解國家公務員考試以及各地公務員考試的出題特點和題型分布情況。這個階段需要的時間長短依據考自身的情況而定，一般需要兩個月左右的時間。

從近兩年國家及各省市公務員考試真題來看，數量關系呈現出以下幾特征：

（1）數列形式數字推理是數字推理的主體形式。國家公務員考試只考查數列形式數字推理，多數省市公務員考試也以考查數列形式數字推理為主，而北京、福建、江蘇等地考試中則常出現圖形形式數字推理。

（2）從各類公務員考試真題來看，等差數列及其變式、多次方數列及其變式出現最廣，如2009年國家公務員考試考查了4道等差數列及其變式、2010年

國家公務員考試又再次考查；浙江公務員考試幾乎每年都會考查等差數列及其變式、多次方數列及其變式。

（3）數學運算的考查地方特色明顯。從真題分析來看，數學運算的考查因地而異，側重點也各不相同。如國家公務員考試幾乎不考間隔組合數列，但幾乎每年都出現牛吃草問題、排列組合問題；浙江公務員考試中數字推理考查的規律極為廣泛，基本數列及其變式幾乎都會涉及，數學運算則穩定有2-3道計算問題。

2、總結提高階段

在積累階段，要逐步各類題型的解題思路。如，對于數字推理就有作差法、作商法、作和法、作積法、轉化法、拆分法、位置分析法，務必使這些解題方法融會貫通、靈活運用。華圖建議考生根據學習、做題過程中發現的問題，找清自己的薄弱環節，尤其要注意“常做常錯”的題型，根據自己的情況，制作“錯題本”或“典型題本”，在最后的備考沖刺階段，這將成為自己的致勝法寶。

3、模擬沖刺階段

勤于練習，舉一反三，有意識地培養數字直覺和運算直覺，這是解決數字推理問題的核心所在。

在模擬沖刺階段，考生需要每天定量做一些相關的模擬題，模仿書中對題的分析，通過解答模擬題來培養對數學運算的感覺，這種感覺不僅能夠提高數學運算的解題速度和正確率，對數字推理部分也很有幫助。

再就是選擇行政職業能力測驗專項教材。通過數量關系的專項訓練，夯實兩大部分的基礎知識，綜合提高才是獲得高分的根本保障。

對于每個考生而言，自身對數量關系的熟悉程度不同，運算的熟練程度也不同，在備考的過程中，必須根據自身的特點，有機地進行積累與總結的輪換，才能在一輪一輪的備考中做到心中有數，才能在考場上立于不敗之地。

第五篇：行測數量關系具體題型技巧

數學復習總綱..................................................................................................................1 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.【分享】數學運算的大致常考類型，大家復習可以參照！.......................2 【分享】數學公式終極總結.......................................................................4 【分享】排列組合基礎知識及習題分析....................................................8 【分享】排列組合新講義........................................................................14 【分享】無私奉獻萬華的排列組合題（系列之二）................................21 【分享】“插板法”的條件模式隱藏運用分析..........................................24 【糾錯】兩個相同的正方體的六個面上分別標有數字的排列組合問題..25 【討論】裴波納契數列的另類運用.........................................................27 【經驗分享】關于臨界點類型算數問題的分析.......................................28 【經驗總結】關于比例法中變量守恒與變化的思路分析........................30 【討論】“五個人的體重之和是423斤,他們的體重都是整數”一題.....33 【經驗分享】淺談mn/(m+n)公式的由來（鹽水交換問題）............34 【周末練習】4道經典習題（已公布解析DONE）..............................37 【分享】關于相遇問題和追擊問題的綜合題目的分析............................40 【分享】“牛吃草”的問題的模式化解題方式總結...................................41 【糾錯】關于計算某個數字在頁碼中出現的次數問題的公式懷疑！......43 【總結】關于頁碼和頁數的題目（剛看到的一個題目順便做個分析）...43 【開會時間分針時針互換問題】新題型的2道問題的解析....................45 【分享】（絕對經典）20道比列及列式計算........................................46 【分享】60道數學題的解析..................................................................51

數學復習總綱

【分享】公考中數學知識部分如何學習的計劃安排和心得！

分配學習時間 我做了這樣一個假設，假如你是一張白紙（對于公務員考試而言）

我建議大家遵循這樣的學習時間安排。比較合適。這是我個人的經驗和看法。僅以參考！

1、數字推理（每天必須練習）

開始的前3周，每周1.5小時, 主要是以看和歸納為主。3周之后要能丟開資料自己可以回憶出數字推理的若干種類型。特別是經典的7大類型

3周之后 看是1周（每天半小時的計時練習。每道題目不得超過53秒），從第5周直到考試，每天都要用10分鐘～15分鐘的時間不停的鞏固和練習這數字推理。主要是保持和培養數字敏感性和了解一些新的題型（新的題型以了解為主，不要強求）

2、數學運算。（我建議集中時間整理和復習準備時間應該是在2個月以上）

首先，先對國考，或者你所參加的地方考試的題型和命題風格做一個了解。看看這些數學運算試題的難度系數如何。總結歸納常見的考試類型。如果你覺得你有足夠的能力，你還可以歸納考察的思維方向是來自哪幾點（這個比較重要。如果不能達到這一點，可以借鑒老師，或者網絡，借鑒別人的與此相關的總結）

其次是平時的練習。應該劃分專項來練習。專項的劃分就是根據第一步你對考試類型的劃分。學會總結方法（方法不是公式，只記住公式那是沒用的，必須去掌握公式的由來）。練習的題源應當以 國家（03～至今），北京（05～至今），山東（04～至今），浙江（05～至今），江蘇（04～至今），輔助于 福建（06～08年）等地的真題為主。

最后通過練習，必須學會做總結歸納，做好筆記。對每種類型都要學會用一句話或者一段簡潔的話寫出你的感受和觀點。

1.【分享】數學運算的大致常考類型，大家復習可以參照！

（一）數字推理

（1）數字性質：奇偶數，質數合數，同余，特定組合表現的特定含義 如∏＝3.1415926，階乘數列。

（2）等差、等比數列,間隔差、間隔比數列。（3）分組及雙數列規律（4）移動求運算數列

（5）次方數列（1、基于平方立方的數列

2、基于2^n次方數列，3冪的2，3次方交替數列等為主體架構的數列）（6）周期對稱數列（7）分數與根號數列（8）裂變數列

（9）四則組合運算數列（10）圖形數列

（二）數學運算（1）數理性質基礎知識。（2）代數基礎知識。

（3）拋物線及多項式的靈活運用（4）連續自然數求和和及變式運用（5）木桶（短板）效應（6）消去法運用

（7）十字交叉法運用（特殊類型）

（8）最小公倍數法的運用（與剩余定理的關系）（9）雞兔同籠運用（10）容斥原理的運用（11）抽屜原理運用

（12）排列組合與概率：（重點含特殊元素的排列組合，插板法已經變式，靜止概率以及先【后】驗概率）（13）年齡問題

（14）幾何圖形求解思路（求陰影部分面積 割補法為主）（15）方陣方體與隊列問題（16）植樹問題（直線和環形）（17）統籌與優化問題（18）牛吃草問題（19）周期與日期問題（20）頁碼問題（21）兌換酒瓶的問題

（22）青蛙跳井（尋找臨界點）問題

（23）行程問題（相遇與追擊，水流行程，環形追擊相遇： 變速行程，曲線（折返，高山，緩行）行程，多次相遇行程，多模型行程對比）

2.【分享】數學公式終極總結

容斥原理

涉及到兩個集合的容斥原理的題目相對比較簡單，可以按照下面公式代入計算：

一的個數+二的個數－都含有的個數＝總數－都不含有的個數

【例3】某大學某班學生總數為 32人，在第一次考試中有 26 人及格，在第二次考試中有 24人及格，若兩次考試中，都及格的有 22 人，那么兩次考試都沒有及格的人數是多少【國 2004B-46】

A.10 B.4 C.6 D.8 應用公式 26+24-22=32-X X=4 所以答案選B

【例9】某單位有青年員工 85人，其中 68 人會騎自行車，62 人會游泳，既不會騎車又不會游泳的有 12人，則既會騎車又會游泳的有多少人。【山東 2004-13】

A.57 B.73 C.130 D.69 應用公式： 68+62-X=85-12 X=57人

抽屜原理：

【例1】在一個口袋里有10個黑球，6 個白球，4 個紅球，至少取出幾個球才能保證其中有白球？【北京應屆2007-15】 A.14 B.15 C.17 D.1849.采取總不利原則 10+4+1=15 這個沒什么好說的剪繩問題核心公式

一根繩連續對折N 次，從中M 刀，則被剪成了(2N×M+1)段

【例5】將一根繩子連續對折三次，然后每隔一定長度剪一刀，共剪6刀。問這樣操作后，原來的繩

子被剪成了幾段？【浙江2006-38】

A.18段 B.49段 C.42段 D.52段

2^3*6+1=49

方陣終極公式

假設方陣最外層一邊人數為N，則

一、實心方陣人數=N×N

二、最外層人數=（N－1）×4

【例 1】某學校學生排成一個方陣，最外層的人數是 60 人，問這個方陣共有學生多少人？ 【國2002A-9】【國2002B-18】

A.256人 B.250人 C.225人 D.196人

（N-1）4=60 N=16 16*16=256 所以選A

【例3】某校的學生剛好排成一個方陣，最外層的人數是 96 人，問這個學校共有學生：【浙 江2003-18】

A.600人 B.615人 C.625 人 D.640人

（N-1）4=96 N=25 N*N=625

過河問題：

來回數=[（總量-每次渡過去的）/（每次實際渡的）]*2+1 次數=[（總量-每次渡過去的）/（每次實際渡的）]+1 【例 1】有 37 名紅軍戰士渡河，現僅有一只小船，每次只能載 5 人，需要幾次才能渡完？ 【廣東2005上-10】

A.7次 B.8次 C.9次 D.10次

37-1/5-1 所以是9次

【例2】49名探險隊員過一條小河，只有一條可乘 7人的橡皮船，過一次河需3 分鐘。全體

隊員渡到河對岸需要多少分鐘？（）【北京應屆 2006-24】

A.54 B.48 C.45 D.39 【（49-7）/6】2+1=15 15*3=45

【例4】有一只青蛙掉入一口深10 米的井中。每天白天這只青蛙跳上 4 米晚上又滑下 3 米，則這只青蛙經過多少天可以從井中跳出? A.7 B.8 C.9 D.10 【（10-4）/1】+1=7

核心提示

三角形內角和180° N 邊形內角和為（N-2）180

【例1】三角形的內角和為180度，問六邊形的內角和是多少度？【國家 2002B-12】

A.720度 B.600度 C.480度 D.360度

（6-2）180=720° 盈虧問題：

（1）一次盈，一次虧：（盈+虧）÷（兩次每人分配數的差）=人數（2）兩次都有盈：（大盈-小盈）÷（兩次每人分配數的差）=人數（3）兩次都是虧：（大虧-小虧）÷（兩次每人分配數的差）=人數（4）一次虧，一次剛好：虧÷（兩次每人分配數的差）=人數（5）一次盈，一次剛好：盈÷（兩次每人分配數的差）=人數

例：“小朋友分桃子，每人10個少9個，每人8個多7個。問：有多少個小朋友和多少個桃子？”

解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（個）………………人數

10×8-9=80-9=71（個）………………桃子

還有那個排方陣，一排加三個人，剩29人的題，也可用盈虧公式解答。

行程問題模塊

平均速度問題 V=2V1V2/V1+V2 【例 1】有一貨車分別以時速 40km 和 60km往返于兩個城市，往返這兩個城市一次的平均

時速為多少？【國家1999-39】

A.55km B.50km C.48km D.45km 2*40*60/100=48 【例 2】一輛汽車從 A 地到 B 地的速度為每小時 30 千米，返回時速度為每小時 20 千米，則它的平均速度為多少千米/時？【浙江 2003-20】

A.24千米／時 B.24.5千米／時 C.25千米／時 D.25.5 千米/時

2*30*20/30+20=24

比例行程問題

路程＝速度×時間（1 2 1 2 12 S vt = 或 或 或）路程比＝速度比×時間比，S1/S2=V1/V2=T1/T2 運動時間相等，運動距離正比與運動速度

運動速度相等，運動距離正比與運動時間

運動距離相等，運動速度反比與運動時間

【例2】 A、B兩站之間有一條鐵路，甲、乙兩列火車分別停在A站和B站，甲火車4分鐘走的路程等于乙火車5分鐘走的路程，乙火車上午8時整從B站開往A站，開出一段時間后，甲火車從A站出發開往B站，上午9時整兩列火車相遇，相遇地點離A、B兩站的距離比是15∶16，那么，甲火車在什么時 刻從A站出發開往B站。【國2007-53】

A.8時12分 B.8時15分 C.8時24分 D.8時30分

速度比是4：5 路程比是15：16 15S：16S 5V : 4V 所以T1:T2=3:4 也就是45分鐘 60-45=15 所以答案是B

在相遇追及問題中：

凡有益于相對運動的用“加”，速度取“和”，包括相遇、背離等問題。

凡阻礙 相對運動的用“減”，速度取“差”，包括追及等問題。

從隊尾到對頭的時間=隊伍長度/速度差 從對頭到隊尾的時間=隊伍長度/速度和

【例 2】紅星小學組織學生排成隊步行去郊游，每分鐘步行 60 米，隊尾的王老師以每分鐘步行 150 米的速度趕到排頭，然后立即返回隊尾，共用 10 分鐘。求隊伍的長度？（）【北京社招2005-20】

A.630米 B.750米 C.900米 D.1500米 X/90+X/210=10 X=630

某鐵路橋長 1000 米，一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全下橋共用 120 秒，整列火車完全在橋上的時間80秒，則火車速度是？【北京社招 2007-21】

A.10米/秒 B.10.7米/秒 C.12.5 米/秒 D.500米/分

核心提示

列車完全在橋上的時間=（橋長-車長）/列車速度

列車從開始上橋到完全下橋所用的時間=（橋長+車長）/列車速度 1000+X=120V 1000-X=80V 解得 10米/秒

為節約用水，某市決定用水收費實行超額超收，標準用水量以內每噸2.5元，超過標準的部

分加倍收費。某用戶某月用水15噸，交水費62.5元，若該用戶下個月用水12噸，則應交水費多少錢？

15頓和12頓都是超額的，所以62.5－（3X5）

[例1]某團體從甲地到乙地，甲、乙兩地相距 100千米，團體中一部分人乘車先行，余下的人步行，先坐車的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分人，已經步行速度為8千米/小時，汽車速度為40千米/小時。問使團體全部成員同時到達乙地需要多少時間？

A.5.5小時 B.5小時 C.4.5小時 D.4小時

假設有m個人（或者m組人），速度v1，一個車，速度v2。

車只能坐一個/組人，來回接人，最短時間內同時到達終點。總距離為S。

T=(S/v2)*[(2m-1)v2+v1]/[v2+(2m-1)v1]

3.【分享】排列組合基礎知識及習題分析

在介紹排列組合方法之前 我們先來了解一下基本的運算公式！

C5取3＝（5×4×3）/（3×2×1）C6取2＝（6×5）/（2×1）

通過這2個例子 看出

CM取N 公式 是種子數M開始與自身連續的N個自然數的降序乘積做為分子。以取值N的階層作為分母

P53＝5×4×3 P66＝6×5×4×3×2×1

通過這2個例子

PMN＝從M開始與自身連續N個自然數的降序乘積 當N＝M時 即M的階層

排列、組合的本質是研究“從n個不同的元素中，任取m(m≤n)個元素，有序和無序擺放的各種可能性”.區別排列與組合的標志是“有序”與“無序”.解答排列、組合問題的思維模式有二：

其一是看問題是有序的還是無序的？有序用“排列”，無序用“組合”；

其二是看問題需要分類還是需要分步？分類用“加法”，分步用“乘法”.分 類：“做一件事，完成它可以有n類方法”，這是對完成這件事的所有辦法的一個分類.分類時，首先要根據問題的特點確定一個適合于它的分類標準，然后在這個 標準下進行分類；其次，分類時要注意滿足兩條基本原則：①完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；②分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法.分步：“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，這是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個步驟.分步時，首先要根據問題的特點，確定一個可行的分步標準；其次，步驟的設

置要滿足完成這件事必須并且只需連續完成這n個步驟后，這件事才算最終完成.兩 個原理的區別在于一個和分類有關，一個與分步有關.如果完成一件事有n類辦法，這n類辦法彼此之間是相互獨立的，無論那一類辦法中的那一種方法都能單獨完 成這件事，求完成這件事的方法種數，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n個步驟，缺一不可，即需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成每一個 步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事的方法種類就用乘法原理.在解決排列與組合的應用題時應注意以下幾點：

1．有限制條件的排列問題常見命題形式：

“在”與“不在” “鄰”與“不鄰”

在解決問題時要掌握基本的解題思想和方法：

⑴“相鄰”問題在解題時常用“合并元素法”，可把兩個以上的元素當做一個元素來看，這是處理相鄰最常用的方法.⑵“不鄰”問題在解題時最常用的是“插空排列法”.⑶“在”與“不在”問題，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.⑷元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后，利用規定順序的實情求出結果.2．有限制條件的組合問題，常見的命題形式：

“含”與“不含”

“至少”與“至多”

在解題時常用的方法有“直接法”或“間接法”.3． 在處理排列、組合綜合題時，通過分析條件按元素的性質分類，做到不重、不漏，按事件的發生過程分步，正確地交替使用兩個原理，這是解決排列、組合問題的最基本的，也是最重要的思想方法.*****************************************************************************

提供10道習題供大家練習

1、三邊長均為整數，且最大邊長為11的三角形的個數為（C）

(A)25個(B)26個(C)36個(D)37個

-----------------------【解析】

根據三角形邊的原理 兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

可見最大的邊是11

則兩外兩邊之和不能超過22 因為當三邊都為11時 是兩邊之和最大的時候

因此我們以一條邊的長度開始分析

如果為11，則另外一個邊的長度是11，10，9，8，7，6。。。1

如果為10 則另外一個邊的長度是10，9，8。。。2，（不能為1 否則兩者之和會小于11，不能為11，因為第一種情況包含了11，10的組合）

如果為9 則另外一個邊的長度是 9，8，7。。。。3（理由同上，可見規律出現）

規律出現 總數是11＋9＋7＋。。1＝（1＋11）×6÷2＝36

2、（1）將4封信投入3個郵筒，有多少種不同的投法？

-----------------------------【解析】 每封信都有3個選擇。信與信之間是分步關系。比如說我先放第1封信，有3種可能性。接著再放第2封，也有3種可能性，直到第4封，所以分步屬于乘法原則 即3×3×3×3＝3^

4（2）3位旅客，到4個旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？

------------------------------

【解析】跟上述情況類似 對于每個旅客我們都有4種選擇。彼此之間選擇沒有關系 不夠成分類關系。屬于分步關系。如：我們先安排第一個旅客是4種，再安排第2個旅客是4種選擇。知道最后一個旅客也是4種可能。根據分步原則屬于乘法關系 即 4×4×4＝4^3

（3）8本不同的書，任選3本分給3個同學，每人一本，有多少種不同的分法？

------------------------------【解析】分步來做

第一步：我們先選出3本書 即多少種可能性 C8取3＝56種

第二步：分配給3個同學。P33＝6種

這 里稍微介紹一下為什么是P33，我們來看第一個同學可以有3種書選擇，選擇完成后，第2個同學就只剩下2種選擇的情況，最后一個同學沒有選擇。即3×2×1 這是分步選擇符合乘法原則。最常見的例子就是 1，2，3，4四個數字可以組成多少4位數？ 也是滿足這樣的分步原則。用P來計算是因為每個步驟之間有約束作用 即下一步的選擇受到上一步的壓縮。

所以該題結果是56×6＝336

3、七個同學排成一橫排照相.（1）某甲不站在排頭也不能在排尾的不同排法有多少種？（3600）

--------------【解析】

這個題目我們分2步完成

第一步： 先給甲排 應該排在中間的5個位置中的一個 即C5取1＝5 第二步： 剩下的6個人即滿足P原則 P66＝720 所以 總數是720×5＝3600

（2）某乙只能在排頭或排尾的不同排法有多少種？（1440）

------------------【解析】

第一步：確定乙在哪個位置 排頭排尾選其一 C2取1＝2 第二步：剩下的6個人滿足P原則 P66＝720 則總數是 720×2＝1440

（3）甲不在排頭或排尾，同時乙不在中間的不同排法有多少種？（3120）

--------------------【解析】特殊情況先安排特殊

第一種情況：甲不在排頭排尾 并且不在中間的情況

去除3個位置 剩下4個位置供甲選擇 C4取1＝4，剩下6個位置 先安中間位置 即除了甲乙2人，其他5人都可以 即以5開始，剩下的5個位置滿足P原則 即5×P55＝5×120＝600 總數是4×600＝2400

第2種情況：甲不在排頭排尾，甲排在中間位置

則 剩下的6個位置滿足P66＝720

因為是分類討論。所以最后的結果是兩種情況之和 即 2400＋720＝3120

（4）甲、乙必須相鄰的排法有多少種？（1440）

----------------【解析】相鄰用捆綁原則 2人變一人，7個位置變成6個位置，即分步討論

第1： 選位置 C6取1＝6

第2： 選出來的2個位置對甲乙在排 即P22＝2 則安排甲乙符合情況的種數是2×6＝12 剩下的5個人即滿足P55的規律＝120 則 最后結果是 120×12＝1440

（5）甲必須在乙的左邊（不一定相鄰）的不同排法有多少種？（2520）

------------------------【解析】

這個題目非常好,無論怎么安排甲出現在乙的左邊 和出現在乙的右邊的概率是一樣的。所以我們不考慮左右問題 則總數是P77＝5040 ,根據左右概率相等的原則 則排在左邊的情況種數是5040÷2＝25204、用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的數.（1）能組成多少個四位數？（300）

-------------------------【解析】 四位數 從高位開始到低位 高位特殊 不能排0。則只有5種可能性

接下來3個位置滿足P53原則＝5×4×3＝60 即總數是 60×5＝300

（2）能組成多少個自然數？（1631）

--------------------------【解析】自然數是從個位數開始所有情況

分情況

1位數： C6取1＝6

2位數： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25 3位數： C5取3×P33＋C5取2×P22×2＝100 4位數： C5取4×P44＋C5取3×P33×3＝300

5位數： C5取5×P55＋C5取4×P44×4＝600

6位數： 5×P55＝5×120＝600 總數是1631

這里解釋一下計算方式 比如說2位數： C5取2×P22＋C5取1×P11＝25

先從不是0的5個數字中取2個排列 即C5取2×P22 還有一種情況是從不是0的5個數字中選一個和0搭配成2位數 即C5取1×P11 因為0不能作為最高位 所以最高位只有1種可能

（3）能組成多少個六位奇數？（288）

--------------------

【解析】高位不能為0 個位為奇數1，3，5 則 先考慮低位，再考慮高位 即 3×4×P44＝12×24＝288

（4）能組成多少個能被25整除的四位數？（21）

---------------------【解析】 能被25整除的4位數有2種可能

后2位是25： 3×3＝9

后2位是50： P42＝4×3＝12 共計9＋12＝21

（5）能組成多少個比201345大的數？（479）

-----------------【解析】

從數字201345 這個6位數看 是最高位為2的最小6位數 所以我們看最高位大于等于2的6位數是多少？

4×P55＝4×120＝480 去掉 201345這個數 即比201345大的有480－1＝479

（6）求所有組成三位數的總和.（32640）

--------------【解析】每個位置都來分析一下

百位上的和：M1=100×P52(5+4+3+2+1)十位上的和：M2=4×4×10(5+4+3+2+1)個位上的和：M3=4×4(5+4+3+2+1)總和 M＝M1+M2+M3=326405、生產某種產品100件，其中有2件是次品，現在抽取5件進行檢查.（1）“其中恰有兩件次品”的抽法有多少種？（152096）

【解析】 也就是說被抽查的5件中有3件合格的，即是從98件合格的取出來的所以 即C2取2×C98取3＝152096

（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少種？（7224560）

【解析】同上述分析，先從2件次品中挑1個次品，再從98件合格的產品中挑4個

C2取1×C98取4＝7224560

（3）“其中沒有次品”的抽法有多少種？（67910864）

【解析】則即在98個合格的中抽取5個 C98取5＝67910864

（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少種？（7376656）

【解析】全部排列 然后去掉沒有次品的排列情況 就是至少有1種的C100取5－C98取5＝7376656

（5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少種？（75135424）

【解析】所有的排列情況中去掉有2件次品的情況即是至多一件次品情況的C100取5－C98取3＝75135424

6、從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要有甲型和乙型電視機各1臺，則不同的取法共有（）

(A)140種(B)84種(C)70種(D)35種

-------------------------【解析】根據條件我們可以分2種情況

第一種情況：2臺甲＋1臺乙 即 C4取2×C5取1＝6×5＝30 第二種情況：1臺甲＋2臺乙 即 C4取1×C5取2＝4×10＝40 所以總數是 30＋40＝70種

7、在50件產品中有4件是次品，從中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有__種.------------------------【解析】至少有3件 則說明是3件或4件

3件：C4取3×C46取2＝4140 4件：C4取4×C46取1＝46

共計是 4140＋46＝41868、有甲、乙、丙三項任務, 甲需2人承擔, 乙、丙各需1人承擔.從10人中選派4人承擔這三項任務, 不同的選法共有（C）

(A)1260種(B)2025種(C)2520種(D)5040種

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】分步完成

第一步：先從10人中挑選4人的方法有：C10取4＝210

第二步：分配給甲乙并的工作是C4取2×C2取1×C1取1＝6×2×1＝12種情況

則根據分步原則 乘法關系 210×12＝2520 9、12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有__

C(4,12)C(4,8)C(4,4)

___種

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】每個路口都按次序考慮

第一個路口是C12取4

第二個路口是C8取4 第三個路口是C4取4

則結果是C12取4×C8取4×C4取4

可能到了這里有人會說 三條不同的路不是需要P33嗎 其實不是這樣的 在我們從12人中任意抽取人數的時候，其實將這些分類情況已經包含了對不同路的情況的包含。如果再×P33 則是重復考慮了

如果這里不考慮路口的不同 即都是相同路口 則情況又不一樣 因為我們在分配人數的時候考慮了路口的不同。所以最后要去除這種可能情況 所以在上述結果的情況下要÷P3310、在一張節目表中原有8個節目，若保持原有節目的相對順序不變，再增加三個節目，求共有多少種安排方法？ 990

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】

這是排列組合的一種方法 叫做2次插空法

直接解答較為麻煩，故可先用一個節目去插9個空位，有P(9,1)種方法；再用另一個節目去插10個空位，有P(10,1)種方法；用最后一個節目去插11個空位，有P(11,1)方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為P(9,1)×P(10,1)×P(11,1)=990種。

另解：先在11個位置中排上新添的三個節目有P(11,3)種，再在余下的8個位置補上原有的8個節目，只有一解，所以所有方法有P311×1=990種。

4.【分享】排列組合新講義

作者：徐克猛（天字1號）2009-2-19

一、排列組合定義

1、什么是C 公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列（即不排序）。例如：編號1～3的盒子，我們找出2個來使用，這里就是運用組合而不是排列，因為題目只是要求找出2個盒子的組合。即C（3，2）＝3

2、什么是P或A 公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列(即排序)。

例如：1～3，我們取出2個數字出來組成2位數，可以是先取C（3，2）后排P22，就構成了 C（3，2）×P（2，2）＝A（3，2）

3、A和C的關系

事實上通過我們上面2個對定義的分析，我們可以看出的是，A比C多了一個排序步驟，即組合是排列的一部分且是第一步驟。

4、計算方式以及技巧要求

組合：C（M，N）＝M！÷（N！×（M－N）！）

條件：N<=M

排列：A（M，N）＝M！÷（M－N）！

條件：N<=M 為了在做排列組合的過程中能夠對速度有必要的要求，我需要大家能夠熟練的掌握1～7的階乘，當然在運算的過程中，我們要學會從逆向思維角度考慮問題，例如C（M，N）當中N取值過大，那么我們可以看M－N的值是否也很大。如果不大。我們可以求C（M，[M－N]），因為 C（M，N）＝C（M，[M－N]）

二、排列組合常見的恒等公式

1、C（n，0）＋C（n，1）＋C（n，2）＋……＋C（n，n）＝2^n

2、C（m，n）＋C（m，n＋1）＝C（m＋1，n＋1）針對這2組公式我來舉例運用

(1)有10塊糖，假設每天至少吃1塊，問有多少種不同的吃法？ 解答：C（9，0）＋C（9，1）＋……＋C（9，9）＝2^9=512

(2)，公司將14副字畫平均分給甲乙篩選出參加展覽的字畫，按照要求，甲比乙多選1副，且已知甲按照要求任意挑選的方法與乙任意挑選的方法 之和為70，求，甲挑選了多少副參加展覽？

C（8，n）＝70

n＝4

即得到甲選出了4副。

三、排列組合的基本理論精要部分（分類和分步）

(1)、加法原理（實質上就是一種分類原則）：一個物件，它是由若干個小塊組成的，我們要知道這個物件有多重，實際上可以分來算，比如，我們知道每一個小塊的重量，然后計算總和就等于這個物件的重量了，這就是我們要談的分類原則。排列組合當中，當我們要求某一個事件發成的可能性種類，我們可以將這個事件分成若干個小事件來看待。化整為零，例如：7個人排座位，其中甲乙都只能坐在邊上。問有幾種方法。根據分類的方法。我們可以看，第一類情況：甲坐在左邊，乙坐在右邊，其他人隨便坐，A（5，5）第二類情況：甲坐在右邊，乙坐在左邊，其他人隨便坐，A（5，5）

我們分別計算出2種情況進而求和即得到答案。這就是分類原則。這樣就是A（5，5）＋A（5，5）＝240

(2)、乘法原理（實質上就是一種分步原則）：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，??，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×m3×?×mn種不同的方法．

例如： 7個人排座位，其中甲乙都只能坐在邊上。問有幾種方法，按照分步原則，第一步：我們先對甲乙之外的5個人先排序座位，把兩端的座位空下來，A（5，5）第二步：我們再排甲乙，A（2，2）這樣就是 A（5，5）×A（2，2）＝240

如何區分兩個原理：

我們知道分類原則也就是加法原則，每一個分類之間沒有聯系，都是可以單獨運算，單獨成題的，也就是說，這一類情況的方法是獨立的，所以我們采用了加法原理。要做一件事，完成它若是有n類辦法，是分類問題，第一類中的方法都是獨立的，因此用加法原理；

我們知道分步原則也就是乘法原則。做一件事，需要分n個步驟，步與步之間是連續的，只有將分成的若干個互相聯系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理．說明其每一個步驟之間都是有必然聯系的。是相互依靠的關系。所以采用了乘法原則。

這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質區別的，因此也將兩個原理區分開來

（3）特殊優先，一般次要的原則

例題：

（1）從1、2、3、……、20這二十個數中任取三個不同的數組成等差數列，這樣的不同等差數列有___個。

第一步構建排列組合的定義模式，如果把數學邏輯轉換的問題。

（2）在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有______種。

第一類：A在第一壟，B有3種選擇；

第二類：A在第二壟，B有2種選擇；

第三類：A在第三壟，B有一種選擇，同理A、B位置互換，共12種。

（3）從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有________。

(A)240

(B)180

(C)120

(D)60 分析：顯然本題應分步解決。

（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有C（6，1）種方法；

（二）從剩下的5雙手套中任選2雙，有C（5，2）種方法。

（三）這2雙可以任意取出其中每雙中的1只，保證各不成雙； 即 C（6，1）*C（5，2）*2^2=240

（4）身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個人都比他同列的身后的人個子矮，則所有不同的排法種數為_______。

分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊方法只與人的選法有關系，共有三縱列，從而有C（6，2）×C（4，2）×C（2，2）=90種。

四、解決排列組合問題的策略

1、逆向思維法：我們知道排列組合都是對一個元素集合進行篩選排序。我們可以把這個集合看成數學上的單位1，那么1＝a＋b 就是我們構建逆向思維的數學模型了，當a不利于我們運算求解的時候，我們不妨從b的角度出發思考，這樣同樣可以求出a＝1－b。

例題：7個人排座，甲坐在乙的左邊（不一定相鄰）的情況有多少種？

例題：一個正方體有8個頂點 我們任意選出4個，有多少種情況是這4個點可以構

成四面體的。

例題：用0，2，3，4，5這五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有（）

A．24個

B．30個

C．40個

D．60個

2、解含有特殊元素、特殊位置的題——采用特殊優先安排的策略：

（1）無關型：兩個特殊位置上分別可取的元素所組成的集合的交是空集

例題：用0，1，2，3，4，5六個數字可組成多少個被10整除且數字不同的六位數?（2）包含型：兩個特殊位置上分別可取的元素所組成集合具有包合關系

例題：用0，1，2，3，4，5六個數字可組成多少個被5整除且數字不同的六位奇數? P55×－P44＝120－24＝96

用0，1，2，3，4，5六個數字可組成多少個被25整除且數字不同的六位數? 25，75（3×3×2×1）×2＋P44＝36＋24＝60（3）影響型：兩個特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。

例題：用1，2，3，4，5這五個數字，可以組成比20000大并且百位數字不是3的沒有重復數字的五位數有多少個?

3、解含有約束條件的排列組合問題一――采用合理分類與準確分步的策略 例題：平面上4條平行直線與另外5條平行直線互相垂直，則它們構成的矩形共有________個。

簡析：按構成矩形的過程可分為如下兩步：第一步．先在4條平行線中任取兩條，有C4取2種取法；第二步再在5條平行線中任取兩條，有C5取2種取法。這樣取出的四條直線構成一個矩形，據乘法原理，構成的矩形共有6×10=60個

4、解排列組臺混合問題——采用先選后排策略

對于排列與組合的混合問題，可采取先選出元素，后進行排列的策略。

例：4個不同小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子，則恰有一個空盒的放法有___種。144

5、插板法

插板法的條件構成： 1元素相同，2分組不同，3必須至少分得1個 插板法的類型：（1）、10塊奶糖分給4個小朋友，每個小朋友至少1塊，則有多少種分法？（典型插板法 點評略）（2）、10塊奶糖分給4個小朋友有多少種方法？（湊數插板法： 這個題目對照插板法的3個條件我們發現 至少滿足1個這個條件沒有，所以我們必須使其滿足，最好的方法 就是用14塊奶糖來分，至少每人1塊，當每個人都分得1塊之后，剩下的10塊就可以隨便分了，就回歸到了原題）（3）、10塊奶糖放到編號為1，2，3的3個盒子里，每個盒子的糖數量不少于其編號數，則有幾種方法？（定制插板法： 已然是最后一個條件不滿足，我們該怎么處理呢，應該學會先去安排 使得每個盒子都差1個，這樣就保證每個盒子必須分得1個，從這個思路出發，跟第二個例題是姊妹題

思路是一樣的 對照條件 想辦法使其和條件吻合！）（4）、8塊奶糖和另外3個不同品牌的水果糖要放到編號為1～11的盒子里面，每個盒子至少放1個，有多少種方法？（多次插空法 這里不多講，見我排列組合基礎講義）

6、遞歸法（枚舉法）

公考也有這樣的類型，排錯信封問題，還有一些郵票問題

歸納法：

例如：5封信一一對應5個信封，其中有3個封信裝錯信封的情況有多少種？

枚舉法：

例如：10張相同的郵票 分別裝到4個相同的信封里面，每個信封至少1張郵票，有多少種方法？ 枚舉： 1，1，1，7 1，1，2，6 1，1，3，5 1，1，4，4 1，2，2，5 1，2，3，4 1，3，3，3 2，2，2，4 2，2，3，3 9種方法！

五、疑難問題

1、如何驗證重復問題

2、關于位置與元素的相同問題，例如： 6個人平均分配給3個不同的班級，跟 6個學生平分成3組的區別

3、關于排列組合里面，充分運用對稱原理。

例題： 1，2，3，4，5 五個數字可以組成多少個十位數小于個位數的四位數？

例題：7個人排成一排，其中甲在乙右邊（可以不相鄰）的情況有多少種？

注解：分析2種對立情況的概率，即可很容易求解。當對立情況的概率相等，即對稱原理。

4、環形排列和線性排列問題。（見我的基礎排列組合講義二習題講解）例如：3個女生和4個男生圍坐在一個圓桌旁。問有多少種方法？

例如：3對夫婦圍坐在圓桌旁，男女間隔的坐法有多少種？

注解：排列組合中，特殊的地方在于，第一個坐下來的人是作為參照物，所以不納入排列的范疇，我們知道，環形排列中 每個位置都是相對的位置，沒有絕對位置，所以需要有一個人坐下來作為參照位置。

5、幾何問題：見下面部分的內容。

例析立體幾何中的排列組合問題

在數學中，排列、組合無論從內容上還是從思想方法上，都體現了實際應用的觀點。1 點

1．1 共面的點

例題： 四面體的一個頂點為A，從其它頂點與棱的中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有（）

A．30種

B．33種

C．36種

D．39種

答案：B 點評：此題主要考查組合的知識和空間相像能力；屬難度中等的選擇題，失誤的主要原因是沒有把每條棱上的3點與它對棱上的中點共面的情況計算在內。

1．2 不共面的點

例2： 四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（）

A．150種

B．147種

C．144種

D．141種

解析：從10 個點中任取4個點有C（10，4）＝210 種取法，其中4點共面的情況有三類：第一類，取出的4個點位于四面體的同一個面內，有C（6，2）＝15種；第二類，取任一條棱上的3個點及對棱的中點，這4點共面有6種；第三類，由中位線構成的平行四邊形，它的4個頂點共面，有3種。

以上三類情況不合要求應減掉，所以不同取法共有210－4×15－6－3＝141 種。答案：D。

點評：此題難度很大，對空間想像能力要求高，很好的考察了立體幾何中點共面的幾種情況；排列、組合中正難則反易的解題技巧及分類討論的數學思想。

幾何型排列組合問題的求解策略

有關幾何型組合題經常出現在各類試題中，它的求解不僅要具備排列組合的有關知識，而且還要掌握相關的幾何知識.這類題目新穎、靈活、能力要求高，因此要求掌握四種常用求解策略.一

分步求解

例1 圓周上有2n個等分點（n＞1），以其中三個點為頂點的直角三角形的個數為______． 解：本題所求的三角形，即為圓的內接直角三角形，由平面幾何知識，應分兩步進行：先從2n個點中構成直徑（即斜邊）共有n種取法；再從余下的(2n－2)個點中取一點作為直角頂點，有(2n－2)種不同取法．故總共有n(2n－2)＝2n(n－1)個直角三角形．故填2n(n－1)．

例2： 從集合{0、1、2、3、5、7、11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的經過坐標原點原直線共有____條（結果用數值來表示）.解：因為直線過原點，所以C＝0.從1、2、3、5、7、11這6個數中任取2個作為A、B，兩數的順序不同，表示的直線也不同，所以直線的條數為 P（6，2）＝30． 二

分類求解

例3 四邊體的一個頂點為A，從其它頂點與各棱的中點中取3點，使它們和A在同一平面上，不同取法有（）

(A)30種

(B)33種

(C)36種

(D)39種

解：符合條件的取法可分三類：① 4個點（含A）在同一側面上，有3 ＝30種；②4個點（含A）在側棱與對棱中點的截面上，有3種；由加法原理知不同取法有33種，故選B.三

排除法求解

例4 從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有（）

(A)8種

(B)12種

(C)16種

(D)20種

解：由六個任取3個面共有 C（6，3）＝20種，排除掉3個面都相鄰的種數，即8個角上3個平面相鄰的特殊情形共8種，故符合條件共有 20－8＝12種，故選(B)．

例5 正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有（）個？

解：從7個點中任取3個點，共有C（7，3）＝35 個，排除掉不能構成三角形的情形．點在同一直線上有3個，故符合條件的三角形共有 35－3＝32個．

四

轉化法求解

例6 空間六個點，它們任何三點不共線，任何四點不共面，則過每兩點的直線中有多少對異面直線？

解：考慮到每一個三棱錐對應著3 對異面直線，問題就轉化為能構成多少個三棱錐.由于這六個點可構成C（6，4）＝15 個三棱錐，故共有3×15 ＝45對異面直線.例7 一個圓的圓周上有10個點，每兩個點連接一條弦，求這些弦在圓內的交點個數最多有幾個？

解：考慮到每個凸四邊形的兩條對角線對應一個交點，則問題可轉化為構成凸四邊形的個數．顯然可構成 C（10，4）＝210個圓內接四邊形，故10個點連成的點最多能在圓中交點210個.6、染色問題：

不涉及環形染色 可以采用特殊區域優先處理的方法來分步解決。環形染色可采用如下公式解決：

An＝（a－1）^n+(a-1)×(-1)^n n表示被劃分的個數，a表示顏色種類

原則：被染色部分編號，并按編號順序進行染色，根據情況分類 在所有被染色的區域，區分特殊和一般，特殊區域優先處理

例題1：將3種作物種植在如圖4所示的5塊試驗田里，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗田不能種同一種作物。則有多少種種植方法？

圖1

例題2：用5種不同顏色為圖中ABCDE五個部分染色，相鄰部分不能同色，但同一種顏色可以反復使用，也可以不使用，則符合要求的不同染色方法有多少種？

圖2

例題3：將一個四棱錐的五個頂點染色，使同一條棱的2個端點不同色，且只由五個顏色可以使用，有多少種染色方法？

圖3

例題4：一個地區分為如圖4所示的五個行政區域，現在有4種顏色可供選擇，給地圖著色，要求相鄰區域不同色，那么則有多少種染色方法？

圖4

例題5：某城市中心廣場建造了一個花圃，分6個部分（如圖5）現在要栽種4種不同的顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能種同樣顏色的花，則有多少種不同栽種方式？

圖5：

5.【分享】無私奉獻萬華的排列組合題（系列之二）

上次發了萬華的數字推理５０道，大家反映良好，現在我把萬華原創的幾道排列組合奉獻給大家．還是那句老話，如果覺得可以的話，看后要回帖！以表示對別人的尊重！

一）1, 2, 3, 4作成數字不同的三位數，試求其總和？但數字不重復。

[解析]

組成3位數 我們以其中一個位置(百位,十位,個位)為研究對象就會發現 當某個位置固定 比如是1,那么其他的2個位置上有多少種組合? 這個大家都知道 是剩下的3個數字的全排列 P32 我們研究的位置上每個數字都會出現P32次

所以每個位置上的數字之和就可以求出來了

個位是:P32*(1+2+3+4)=60 十位是:P32*(1+2+3+4)*10=600 百位是:P32*(1+2+3+4)*100=6000 所以總和是6660

（二）將“PROBABILITY ”11個字母排成一列，排列數有______種，若保持P, R, O次序，則排列數有______種。

[解析]

這個題目就是直線全排列出現相同元素的問題:在我的另外一個帖子里面有介紹:http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-9487547.html

(1)我們首先把相同元素找出來,B有2個, I 有2個 我們先看作都是不同的11個元素全排列 這樣就簡單的多是P11,11 然后把相同的元素能夠形成的排列剔除即可 P11/(P2,2*P2,2)=9979200。

(2)第2個小問題 因要保持PRO的順序，就將PRO視為相同元素（跟B，I類似的性質），則其排列數有11！/（2！×2！×3！）= 166320種。

（三）李先生與其太太有一天邀請鄰家四對夫婦共10人圍坐一圓桌聊天，試求下列各情形之排列數：



（1）男女間隔而坐。

（2）主人夫婦相對而坐。

（3）每對夫婦相對而坐。



（4）男女間隔且夫婦相鄰。

（5）夫婦相鄰。

（6）男的坐在一起，女的坐在一起。

[解析]

(1)這個問題也在http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-9487547.html介紹過

先簡單介紹一下環形排列的特征,環形排列相對于直線排列缺少的就是參照物.第一個坐下來的人是沒有參照物的,所以無論做哪個位置都是一樣的.所以從這里我們就可以看出 環形排列的特征是 第一個人是做參照物,不參與排列.下面就來解答6個小問題:

(1)先讓5個男的或5個女的先坐下來 全排列應該是 P44, 空出來的位置他們的妻子(丈夫), 妻子(丈夫)的全排列這個時候有了參照物所以排列是P55 答案就是 P44*P55=2880種

(2)先讓主人夫婦找一組相對座位入座 其排列就是P11(記住不是P22),這個時候其他8個人再入座,就是P88,所以此題答案是 P88

(3)每對夫婦相對而坐,就是捆綁的問題.5組相對位置有一組位置是作為參照位置給第一個入

座的夫婦的,剩下的4組位置就是P44, 考慮到剩下來的4組位置夫婦可以互換位置即 P44*2^4=384

(4)夫婦相鄰,且間隔而坐.我們先將每對夫婦捆綁 那么就是5個元素做環形全排列 即P44 這里在從性別上區分 男女看作2個元素 可以互換位置 即答案是P44*2=48種(值得注意的是,這里不是*2^4 因為要互換位置,必須5對夫婦都得換 要不然就不能保持男女間隔)

(5)夫婦相鄰 這個問題顯然比第4個問題簡單多了,即看作捆綁 答案就是P44 但是這里卻是每對夫婦呼喚位置都可以算一種方法的.即 最后答案是P44*2^5

(6)先從大方向上確定男女分開座,那么我們可以通過性別確定為2個元素做環形全排列.即P1,1 , 剩下的5個男生和5個女生單獨做直線全排列 所以答案是P1,1 *P55*P55

（四）在一張節目表中原有8個節目，若保持原有節目的相對順序不變，再增加三個節目，求共有多少種安排方法？

[解析]

這個題目相信大家都見過 就是我們這次2008年國家公務員考試的一道題目: 這是排列組合的一種方法 叫做2次插空法或多次插空法

直接解答較為麻煩，我們知道8個節目相對位置不動,前后共計9個間隔,故可先用一個節目去插9個空位，有C9取1種方法；這樣9個節目就變成了10個間隔,再用另一個節目去插10個空位，有C10取1種方法；同理用最后一個節目去插10個節目形成的11個間隔中的一個，有C11取1方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為9*10*11=990種。

方法2: 我們先安排11個位置,把8個節目按照相對順序放進去,在放另外3個節目,11個位置選3個出來進行全排列 那就是P11,3=11*10*9=990

（五）0，1，2，3，4，5五個數字能組成多少個被25整除的四位數？

[解析] 這里考察了一個常識性的問題 即 什么樣數才能被25整除 即這個數的后2位必須

是25或者50，或者75或者00 方可.后兩位是25的情況有:千位只有3個數字可選(0不能)百位也是3個可選 即3*3=9種

后兩位是50的情況有:剩下的4個數字進行選2位排列 P4,2=12種

75不可能，因為數字中沒有7 00也不可能，因為數字不能重復 共計 9+12=21種

6.【分享】“插板法”的條件模式隱藏運用分析

在說這2 道關于“插板法”的排列組合題目之前，我們需要弄懂一個問題：

插板法排列組合是需要什么條件下才可以使用？這個問題清楚了，我們在以后的答題中 就可以盡量的變化題目使其滿足這個條件。

這個條件就是： 分組或者分班等等 至少分得一個元素。注意條件是 至少分得1個元素！

好我們先來看題目，例題1：某學校四、五、六三個年級組織了一場文藝演出，共演出18個節目，如果每個年級至少演出4個節目，那么這三個年級演出節目數的所有不同情況共有幾種？ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】

這個題目是Q友出的題目，題目中是不考慮節目的不同性 你可以視為18個相同的節目 不區分！

發現3個年級都是需要至少4個節目以上！跟插板法的條件有出入，插板法的條件是至少1個，這個時候對比一下，我們就有了這樣的思路，為什么我們不把18個節目中分別給這3個年級各分配3個節目。

這樣這3個班級就都少1個，從而滿足至少1個的情況了

3×3＝9 還剩下18－9＝9個

剩下的9個節目就可以按照插板法來解答。9個節目排成一排共計8個間隔。分別選取其中任意2個間隔就可以分成3份（班級）！C8取2＝28

練習題目：

有10個相同的小球。分別放到編號為1，2，3的盒子里 要使得每個盒子的小球個數不小于其編號數。那么有多少種放法？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】

還是同樣的原理。每個盒子至少的要求和插板法有出入 那么我們第一步就是想辦法滿足插板法的要求。

編號1的盒子是滿足的 至少需要1個，編號2至少需要2個，那么我們先給它1個，這樣就差1個 編號3至少需要3個，那么我們先給它2個，這樣就差1個

現在三個盒子都滿足插板法的要求了 我們看還剩下幾個小球 ？ 10－1－2＝7 7個小球6個間隔 再按照插板法來做 C6，2＝15種！

7.【糾錯】兩個相同的正方體的六個面上分別標有數字的排列組合問題

有兩個相同的正方體，每個正方體的六個面上分別標有數字1、2、3、4、5、6。將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數字之和為偶數的有多少種情形？（）

A．9 B．12 C．18 D．24

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

很多教材給出的答案是18

這里我更正以下：

請大家注意紅色字體 “相同”

如果一個顯示3，一個顯示1，交換以下 是 1，3是否是2種呢？

顯然不是 是1種

這是這個題目存在的陷阱

－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 方法一：

為偶數的情形 分2種情況

（1）、奇數＋奇數：（1，3，5）

C（3，1）×C（3，1）注意因為這里是相同的兩個色子。所以 3，1和1，3是不區分的 要去掉C3，2＝3種 實際上是6種，（2）、偶數＋偶數（2，4，6）偶數的情況跟奇數相同 也是6種！答案是 6＋6＝12

方法二：

當然我們也可以算總的，那么就是 C6，1×C6，1－C6，2＝36－15＝21種（為什么要減去C（6，2），因為任意2個數字顛倒都是一種情況）看奇數： 奇數＝奇數＋偶數 C3，1×C3，1＝9種 所以答案是 21－9＝12種

8.【討論】裴波納契數列的另類運用

先說典型的裴波納契數列：

圖片：

裴波納契數列 就是移動求和A＋B＝C

因為第一個月這對小兔長成大兔 所以第一個月還是1對 即A從1開始。第2個月開始剩下一對小兔 合計2對 B從2開始。

1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，23

3小明家住二層，他每次回家上樓梯時都是一步邁兩級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有16級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？

A：54 B：64 C：57 D：37

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

這個題目剛剛看到討論 我也用排列組合的辦法參與了討論 現在我再來說說裴波納契數列的解法

樓梯級數：1，2，3，4，5，6........走法情況：0，1，1，1，2，2........這是一個裴波納契的間隔運用 因為他沒有走1步的情況

即A＋B＝D

0，1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，28，37

在舉例1題：小明家住二層，他每次回家上樓梯時都是一步邁一級，兩級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有10級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？

因為是1，2，3級都可以所以可以采用

A＋B＋C＝D的 裴波納契數列變式！

列舉前3個 分別是1，2，3

則 10個是 1，2，4，7，13，24，44，81，149，27

4練習題目：小明家住二層，他每次回家上樓梯時都是一步邁一級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有10級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？

9.【經驗分享】關于臨界點類型算數問題的分析

所謂臨界點問題 我們也可看作是青蛙跳井問題，這類問題的特征是 將2次具有結果上互斥（相反）的操作看作1組操作的運算

例如典型的青蛙跳井，每跳上去5米 會滑下來3米 5米和3米的2個結果對應的操作就是互斥操作。

對于這樣的類型問題 其考查的要點是： 我們最終要求的結果 有可能是在某一組互斥操作的上半部分的操作時就已經達到目的或者說已經完成任務。如果仍然看作一組來結果 就會使其從到達目的得位置上被互斥操作得另一個相反操作給拖回去。所以不對最后一組臨界點情況做提前判斷 就容易產生結果變大得情況！

下面我們結合3個例題來看這個類型的題目！

例一： 一個數是20 現在先加30，再減20，再加30，再減20，反復這樣操作 請問至少經過多少次操作 結果是500？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

我們先找最后一組達到500的臨界點 也就是我們把＋30，－20 2次操作看作1組，我們必須看＋30的時候是否能夠達到500

先找臨界點

最后一次增加 是需要＋30 基數是20 每一組操作是增加10

那么計算是這樣的（500－30－20）/10=45 組 也就是說經過45組即90次操作達到了470

答案就是91次

例二：小明的爸爸在高山上工作,那里的氣溫白天和夜晚相差很大,他的手表由于受氣溫的影響走得不正常,白天快1/2分鐘,夜里慢1/3分鐘,他10月1日白天對準時間,問到哪一天手表正好快5分鐘?()

A 10月25日 B10月28日 C10月26日 D10月29日

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

我們知道 白天 和晚上 為一組 即一天 整體情況是 可以塊1/2-1/3=1/6分鐘

要得結果是快5分鐘 即我們必須最后一個白天情況進行判斷

即我們找出臨界點是 5－1/2=4.5天

按照每天快1/6 則要快4.5天 需要4.5/（1/6）=27天 這時候 我們發現此時再加上一個白天即可完成 說明經過了28天快了5分鐘

答案就是10月28日。

例三：機場上停著10架飛機，第一架起飛后，每隔4分鐘就有一架飛機接著起飛，而在第一架飛機起飛后2分鐘，又有一架飛機在機場上降落，以后每隔6分鐘就有一架飛機在機場上降落，降落在飛機場上的飛機，又依次隔4分鐘在原10架之后起飛。那么，從第一架飛機起飛之后，經過多少分鐘，機場上第一次沒有飛機停留？

A 104 B 108 C 112 D 116

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

這個題目類似于“青蛙跳井”問題，我們不能直接求最終結果，否則我們會忽略在臨界點狀態的一些變化。

碰到這種問題 首先就是求臨界點是在什么時候發生，發生時的狀況怎么樣。這樣才好判斷。

例如“青蛙跳井”問題，10米深的井，青蛙每次跳5米 就會下滑4米。問幾次能夠跳上來。這個題目的臨界點就是當青蛙最后一次跳5米的時候剛好到井口！也就是說我們只需研究到青蛙跳到10－5＝5米的地方，這里都是常規計算（10－5）/(5-4)=5次。最后一次的時候 我們就無需考慮下滑了 因為已經到頂了。

同樣這個題目很多人做出116分鐘，其原因就是犯了這個錯誤。我們必須先求臨界點。

所謂的臨界點就是

當機場剩下1架飛機的時候

假設是N分鐘剩下一架飛機！

N/4 +1=(N-2)/6 + 1 +（10-1）

為什么兩邊都＋1 那是因為這是植樹問題。從0分鐘開始計算的 所以要多加1次

解得N＝104分鐘

所以我們知道104分鐘的時候是臨界點 飛機場只有1架飛機沒有起飛。

當108分鐘的時候，飛機起飛了。而下一架飛機到機場則是在110分鐘的時候，所以從108～110這段時間是機場首次出現沒有飛機的現象！

答案應該選B

10.【經驗總結】關于比例法中變量守恒與變化的思路分析

這個帖子主要是討論在一些存在三個變量公式中，由于某個變量守恒，另外兩個變量之間的關系引出的 通過變量發生改變的部分縮小范圍和數值來求解的方法，簡稱比例法

比例法我粗略分為2類

（一）變量變化之比例

這部分大家可以參考上面鏈接的習題 常識去掌握這部分的題目

（二）變量守恒之比例

這部分是通過 我們求解的試題中 某個變量恒定的把握。通過這個恒量在整個比例中所得的比例點的不同參照物下的變化 來反向了解整體變化 或者是與之相關聯的變量變化的情況。

下面我們通過試題來了解這樣的類型

【2008年安徽真題】

一個袋子里放著各種顏色的小球，其中紅球占四分之一，后來又往袋子里放了10個紅球，這時紅球占總數的三分之二，問原來袋子里有多少小球？

A8 B12 C16 D20

―――――――――――――――――――――――

這個題目中我們可以直接看出不變的部分 是除紅色小球以外的部分 我們稱之為 非紅色部分

小球個數＝紅色＋非紅色

剛開始 非紅色：整體＝3：4

添加10個紅球之后是

非紅色：整體＝1：3

這兩個比例的參照對象是不同的他們相差10個球

我們可以將表示同一恒量的比例值統一起來看

3：4

1：3＝3：9

我們發現 整體的比例值發生了變化 變化了多少 9－4＝5個比例點 對應的就是10個小球

所以每個比例點是2個小球 則答案應該是 2×4＝8個小球

【習題二】某校六年級有甲,乙兩個班,甲班學生人數是乙班的5/7,如果從乙班調3人到甲班,甲班人數是乙班的4/5,則乙班原有學生多少人? A.49 B.63 C.72 D.84

――――――――――――――――――――――――――

這個題目的恒量是甲乙兩個班級的總人數，我們發現題目所有的變動 只是內部活動 沒有外界的加入和整體的流失。所以總人數就是一個恒定量

開始的時候

乙班人數：總人數＝7：12

從乙班調3人進入甲班 則比例發生變化為

乙班人數：總人數＝5：9

總人數分別是12和9個比例點 是不統一的 即每個比例單位值不相同了 所以我們首先進行的就是統一比例值

12和9的最小公倍數是 36

那么調動前后的比例就可以表示為

21：36 和 20：36 我們發現甲班的人數多了一個比例點 那么這1個比例點就是對應的調入的3人 總人數是36個比例點 則總人數3×36＝108人 而乙班人數則是3×21＝63人

【習題三】有銀銅合金10公斤，加入銅后，其中含銀2份，含銅3份。如加入的銅增加1倍，那么銀占3份，銅占7份，試問初次加入的銅是多少公斤？

A 3 B 4 C 5 D 6

――――――――――――――――――――

此題的恒量我們可以看得出來是銀，最初的一次 銀：銅＝2：3

再次加入銅后，銀：銅＝3：7

我們根據銀是固定的 統一一下比例

2：3＝6：9

3：7＝6：14

我們發現銅增加了14－9＝5個比例點 那么增加的部分 很容易就可以從選項里面看到5這個答案了

如果要具體求值 再繼續思考

我么知道 2次增加的銅是一樣多。

那么回歸到10公斤的時候 銅應該是9－5＝4個比例點 4＋6＝10 每個比例點就是1公斤

自然我們就知道準確的值就是5公斤了

總結： 很多問題其實其實就是學會尋找一個折中 或者學會抓住一個特質

比例法就是讓我學會在都在變化的變量中找準變化比例規律。進而找出變化的環境和范圍。

或者 找出守恒的變量 通過它找到對等的關系

11.【討論】“五個人的體重之和是423斤,他們的體重都是整數”一題

五個人的體重之和是423斤,他們的體重都是整數,并且各不相同.則體重最輕的人,最重可能是()斤

A.80 B.82 C.84 D.86

有人說這個題目少條件，其實不少條件，為什么這么說呢，這是需要來根據題目的提問分析的我們能夠知道的就是5個人的總重量是固定的 還有就是他們的體重都是整數，且各不相同，注意看提問“體重最輕的人 最重是多少？”

首先你這樣想 因為體重各不相同，肯定有人最輕，但是我們要想辦法讓他輕也要盡可能的重些。

舉個簡單的例子，就說2個人把 體重是150，那么你說是不是只有當2個人的體重無限接近的時候，最輕的人的體重才是可能性中最重的。最重的人的體重也就被拖低了，同樣這個道理。5個人也是。當他們5個體重無限接近的時候 重的人的優勢不明顯了 因為這些優勢都在輕的人身上，但是卻沒有超出。無限接近且保證是整數，那么自然就是連續自然數這樣的情況了

所以我們直接考慮連續自然數 423/5=84 余數是3 中間重量是84斤

那么這個連續自然數就是 82，83，84，85，86 這時候有人問 那多余的3斤怎么辦 很簡單 我們把這3斤分配給最重的3人其中的一個或者2個人都可以。因為這對輕者的體重

無影響。如果分配給輕者，那么就會出現體重輕的人加上1～3斤的時候 和后面的某一個人的體重重復，所以我們只要看連續自然數最小的一個自然數即可

同樣我們來看一個姊妹題

例題：現有鮮花21朵分給5人，若每個人分得的鮮花數目各不相同，則分得鮮花最多的人至少分得（）朵鮮花。

A.7 B.8 C、9 D.10

這個題目提問的是 最多的人至少分得多少

道理是一樣的。只有連續自然數才能讓 少的人盡可能多，多的人盡可能少

所以21/5=4 余數是1 注意這里余數是必須要考慮的

我們知道中間數是4，這個連續自然數是 2，3，4，5，6 最大的是6 剩下的1 只能分給最大的 否則分給其他的 都會出現重復數字。

答案就是6＋1＝7

不管余數是多少 答案就是最大數＋1 為什么這么說，我們來看 假如鮮花數量是24 也是分給5個人

24/5=4 余數是4 連續自然數序列是 2，3，4，5，6 余數就分給最多的4個人 變成 2，4，5，6，7

所以這里余數是多少不重要 直接用最大數＋1 即可

12.【經驗分享】淺談mn/(m+n)公式的由來（鹽水交換問題）

有甲乙兩杯含鹽率不同的鹽水，甲杯鹽水重１２０克，乙杯鹽水重８０克．現在從兩杯倒出等量的鹽水，分別交換倒入兩杯中．這樣兩杯新鹽水的含鹽率相同．從每杯中倒出的鹽水是多少克？

公式： mn/(m+n)=120*80/(120＋80)＝48

公式的由來是通過2個十字交叉法得到的你假設交換的部分是a克鹽水

假設120克的鹽水 濃度是P1，80克的鹽水濃度是P2，那么對于120克的鹽水來講 建立十字交叉法

120－a（P1）

P－P2

P

a（P2）

P1－P

我們得到

（120－a）：a＝（P－P2）：（P1－P）

那么對于80克的鹽水來講 建立十字交叉法

80－a（P2）

P1－P

P

a（P1）

P－P2

交換混合后相同的濃度是P

我們得到

（80－a）：a＝（P1－P）：（P－P2）

根據這2個比例的右邊部分我們可以得到

（120－a）：a＝a：（80－a）

化簡得到 a＝120×80/(120+80)說明跟各自的濃度無關！

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

補充方法：

因為2種溶液的混合濃度相等。其實可以看作是先將2種溶液直接混合，在按照比例分開成2部分。

所以我們假設交換了a克

a克相對于120克的溶液剩下部分的比例也就是滿足濃度之間的差值比例 跟原始的參照質量也是同一比例。即

(120－a)/a=120/80 a=48克 或者

（80－a）/a=80/120 a=48克

13.【周末練習】4道經典習題（已公布解析DONE）

習題一：.1到500這500個數字 最多可取出多少個數字 保證其取出的任意三個數字之和不是7的倍數。

-------------【萬華解析】

每7個數字1組，余數都是1，2，3，4，5，6，0，要使得三個數字之和不是7的倍數，那么其余數之和就不是7的倍數。我們應該挑選 0，1，2，或者0，5，6

因為7/3=2 也就是說最大的數字不能超過2，例如 如果是1，2，3 那么 我們可以取3，3，1 這樣的余數，其和就是7

500/7=71 余數是3，且剩下的3個數字余數是1，2，3

要得去得最多，那么我們取0，1，2比較合適 因為最后剩下的是1，2，3 所以這樣就多取了2個

但是還需注意 0 不能取超過2個 如果超過2個 是3個以上的話 3個0就可以構成7的倍數 0也能被7整除

所以答案是71個1，2 和剩下的一組1，2 外加2個0 71×2＋2＋2＝146

習題二： 將50個蘋果分成相同的3堆，每堆至少1個，有多少種分法？ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【萬華解析】

這個題目 我們可以先將其看作插孔法來研究

那么就是 C49取2＝1176 事實上插孔法是針對的不同組不同分類的情況來做的，這里是相同的堆。所以計算重復了

我們按照三個堆各不相同為標準 恢復到這個狀態來做。我們少算了多少個 1，1，48 2，2，46，3，3，44 4，4，42.。。。50/2=25 所以直到 24，24，2

這樣的情況少算了 P33-P33/P22=3次

所以一共少算了 24×3＝72

按照標準情況來看應該是 1176＋72＝1248種

所以我們每組都需要扣除6種情況變為1種 因為不區分組 所以答案是

1248/P33=208種

習題三：1～1998，有多少個數字其各個位置上的數字之和能被4整除？ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【萬華解析】

差不多每個4個數字都可以滿足題目的條件 我距離每40個數字1組就是一個周期

例如：12不行 13可以，20不行22可以，32不行 35可以。40～50之間都滿足。這就是一個周期

所以我們看最后一個倍數是多少

1996 這是最后一個4的倍數 1＋9＋9＋6＝25 不行 還差3個 應該是1999補上它 所以答案是 1996/4=499 但是 1999不含在其中 所以答案是 499－1＝498

習題四：有一批長度分別為1、2、3、4、5、6、7、8、9、10和11厘米的細木條，它們的數量都足夠多，從中適當選取3根本條作為三條邊，可圍成一個三角形。如果規定底邊是11厘米長，你能圍成多少個不同的三角形？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【萬華解析】

看看這個題目 你就覺得簡單了

1、三邊長均為整數，且最大邊長為11的三角形的個數為（C）

(A)25個

(B)26個

(C)36個

(D)37個 【解析】

根據三角形邊的原理 兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

可見最大的邊是11 則兩外兩邊之和不能超過22 因為當三邊都為11時 是兩邊之和最大的時候 因此我們以一條邊的長度開始分析

如果為11，則另外一個邊的長度是11，10，9，8，7，6。。。1 如果為10 則另外一個邊的長度是10，9，8。。。2，（不能為1 否則兩者之和會小于11，不能為11，因為第一種情況包含了11，10的組合）

如果為9 則另外一個邊的長度是 9，8，7。。。。3（理由同上，可見規律出現）

規律出現 總數是11＋9＋7＋。。1＝（1＋11）×6÷2＝36

14.【分享】關于相遇問題和追擊問題的綜合題目的分析

一條街上，一個騎車人和一個步行人相向而行，騎車人的速度是步行人的3倍，每個隔10分鐘有一輛公交車超過一個行人。每個隔20分鐘有一輛公交車超過一個騎車人，如果公交車從始發站每隔相同的時間發一輛車，那么間隔幾分鐘發一輛公交車？

A 10

B 8 C 6

D 4---------------------------我們知道這個題目出現了2個情況，就是（1）汽車與騎自行車的人的追擊問題，（2）汽車與行人的追擊問題

追擊問題中的一個顯著的公式 就是 路程差＝速度差×時間

我們知道這里的2個追擊情況的路程差都是 汽車的間隔發車距離。是相等的。因為我們要求的是關于時間 所以可以將汽車的間隔距離看作單位1.那么根據追擊公式

(1)(V汽車－V步行)=1/10(2)(V汽車－3V步行)=1/20

(1)×3－(2)=2V汽車＝3/10-1/20 很快速的就能解得 V汽車＝1/8 答案顯而易見是8

再看一個例題：小明在商場的一樓要乘扶梯到二樓。扶梯方向向上，小芳則從二樓到一樓。已知小明的速度是小芳的2倍。小明用了2分鐘到達二樓，小芳用了8分鐘到達一樓。如果我們把一個箱子放在一樓的第一個階梯上 問多長時間可以到達二樓？

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

跟上面一題一樣。這個題目也是2個行程問題的比較（1）小明跟扶梯之間是方向相同

(1)(V小明＋V扶梯)=1/2（2）小芳跟扶梯的方向相反

(2)(V小芳－V扶梯)=1/8

(1)-2×(2)=3V扶梯＝1/4 可見扶梯速度是 1/12 答案就顯而易見了。

總結：在多個行程問題模型存在的時候。我們利用 其速度差，速度和的關系將未知的變量抵消。可以很輕松的一步求得結果！

習題：

1、電扶梯由下往上勻速行駛.男孩以每秒2個梯級的速度沿電扶梯往上走,40秒種可達電扶梯頂部.一女孩以每2秒3個梯級的速度往上走,50秒可以達到頂部.則靜止時電扶梯的梯級數為（）

A 80

B 75

C 100

D 1202、2、某人沿電車線路行走,每12分鐘有一輛電車從后面追上,每4分鐘有一輛電車迎面而來.2個起點站的發車間隔相同,那么這個間隔是多少

15.【分享】“牛吃草”的問題的模式化解題方式總結

“牛吃草”的問題 主要抓住草每天的增長速度這個變量。至于其原本有多少 ？不是我們關心的內容，為什么這么說，因為在我們計算的時候，實際上是根據差值求草長速度，那么原有的草量都是一樣，有些題目可能面積不一樣，但是每畝地的原始草量確實一樣的。！廢話少說，就下面2個題目來討論一下：

1．一片牧草，可供16頭牛吃20天，也可以供80只羊吃12天，如果每頭牛每天吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃這一片草，幾天可以吃完？（）

A.10 B.8 C.6 D.4 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 我們先要確定一個單位，即一頭牛每天吃的草量為1個標準單位，或者叫做參照單位 因為此題中出現了牛和羊，這兩個吃草效率不等，轉化一下 4羊＝1牛。看題目

（1）“一片牧草，可供16頭牛吃20天”

說明 這片牧草 吃了20天即原有的草和20天長出來的草共計是20×16＝320個單位（2）“也可以供80只羊吃12天”相當于“20頭牛吃12天”

說明這片牧草吃了12天即原來的草和12天長出來的草共計是12×20＝240個單位 兩者相減 320－240＝80 就是多出的8天所長的草量 即每天草長速度是80÷8＝10個單位 現在是“10頭牛與60只羊一起吃這一片草”相當于“10＋60÷4＝25頭牛吃草” 牛多了，自然吃的天數就少了

我們還是可以根據上面的方法，挑選（1）或者（2）來做比較。就挑選（1）

320－25a＝（20－a）×10 這個等式，a表示我們要求的結果 即可解得 a＝8天。

3．22頭牛吃33公畝牧場的草，54天可以吃盡，17頭牛吃同樣牧場28公畝的草，84天可以吃盡。請問幾頭牛吃同樣牧場40公畝的草，24天吃盡？（）A.50 B.46 C.38 D.35 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

再看這個有面積的題目

其實道理是一樣的。我們只要將不同的轉化為相同的，面積不一樣，但是沒公畝的原有量和每天每畝草長的量是相同的。根據這個 條件1：

(22×54)/33 這是每公畝的情況

條件2：

(17×84)/28 這是每公畝的情況

相減(17×84)/28 －(22×54)/33＝（84－54）×a a表示每畝草長速度 解得a＝0.5 單位依舊是沒頭牛每公畝吃草的單位作為標準單位

最后我們假設x頭牛24天可以吃完40公畝草 那么挑選上面的一個情況拿過來做對比：(22×54)/33－24x/40＝(54-24)×0.5 即可解得x＝35頭牛

16.【糾錯】關于計算某個數字在頁碼中出現的次數問題的公式懷疑！

一本書有400頁，問數字1 在這本書里出現了多少次？

解析:關于含“1”的頁數問題，總結出的公式就是：總頁數的1/5，再加上100 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

對于這個解法我覺得有待商榷！這種公式局限于 1000以內的解法 不適合1000以上

例如 ：

一本書有4000頁，問數字1 在這本書里出現了多少次？

1000＋4000/5=1800 這個答案顯然是錯誤的！

事實上答案是 C（4，1）×C（10，1）×C（10，1）×3＋10^3=2200

在這里我提供一組利用排列組合來解決此題的方法

我們看4000 分為千，百，十，個四個數字位置

千位是1的情況： 那么百、十、個

三個位置的選擇數字的范圍是0～9 共計10個數字

就是10*10*10=1000

百位是1的情況，千位是（0，1，2，3）4個數字可以選擇

十位，個位還是0～9 10個數字可以選擇

即 4×10×10＝400

十位和個位都跟百位一樣分析。那么答案就是 1000＋400×3＝2200

17.【總結】關于頁碼和頁數的題目（剛看到的一個題目順便做個分析）

先從幾個題目開始說

（1）699頁的書頁碼當中含有多少2？

可以采用排列組合來做，我們將這1~999個數字 按照這樣的方式來看

首先 001 表示1，我們把 百位，十位，個位單獨來看

百位如果是2的情況有多少種？

主要是取決于 十位和個位的選擇情況，十位有0~9 10個選擇，個位有0~9十個選擇 即 10*10=100個

十位如果是2的情況有多少種？

百位的選擇 是0~6 即7種選擇，個位0~9這 10個數字選擇，即 7*10=70 個位如果是2的情況有多少種？

百位的選擇0~6，即7種選擇，十位0~9 10個數字可以選擇，即和十位是2的情況一樣 7*10=70

則答案是 100+70*2=240個

注解：例如 522 是含有2個2，當百位是0 十位是2 個位是2的時候 即022 表示的是頁碼22

（2）999頁碼的書有多少頁不含2的頁碼？

這個題目跟上一題不一樣求的是頁碼，比如說522這個頁碼 雖然含有2個2，但是這是一個頁碼

這個題目我們同樣采用排列組合

每個位置不是2的 種類選擇，即都是0~9 排除2，9個數字可以選擇，所以不含2的頁碼是 9*9*9=729 但是當三個位置都是0時，即表示為0，頁碼當中沒有0頁碼，所以最終答案是729-1=728個頁碼 不含2

（3）999頁的書有多少頁含2的頁碼？ 上面我們已經分析了，借助上面做法 含2的頁碼就是 999-728=271個頁碼

18.【開會時間分針時針互換問題】新題型的2道問題的解析

小王去開會，會前會后都看了表，發現前后時鐘和分鐘位置剛好互換，問會開了1小時幾分（）

A.51 B 49 C47 D45

這個題目我剛才做了一下 我是這么做的分針時針互換

因為時間不超過2小時 也就是說。分針轉動的時間不超過120分鐘

我們根據位置互換，可以發現時針走的度數＋分針走的度數是360度×n 要得在大于1小時小于2小時 則 n＝2

根據路程之和可知2者的路程是360×2＝720度

答案是 720÷（6＋0.5）=1小時51分鐘（估算值）

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

會議開始時,小李看了一下表,會議結束時,又看了一下表,結果分針與時針恰好對調了位置.會議在3點至4點之間召開,5點至6點之間結束,請問會議何時召開? 【解析】

首先可以確定 順時針方向 分針在時針的前面。否則 時針要轉大半圈才能到達分針的位置。

其次可以發現分針時針走的路程之和是 360度×N 因為時間是控制在1～2個小時內 則N=2

720÷（6＋0.5）=1440/13分鐘 說明會議時間是這么多分鐘

根據時間的比例 開始時的分針是5～6之間 說明時針在3～4之間還沒有過半 即最后分針停留的位置應該不超過17～18分鐘

那我們按照5點17分－1440/13分鐘 應該是3點26分鐘左右

19.【分享】（絕對經典）20道比列及列式計算

1、某人工作一年的報酬是8400 元和一臺電冰箱，他干了7 個月不干了，得到3900 元和一臺電冰箱。這臺電冰箱價值多少元？（用比例的思維。這題在比列中算是比較簡單的題了）

【解析】

一年的報酬：8400+電冰箱一臺

7個月的報酬：3900+電冰箱

所以5個月的報酬就是：8400-3900=4500 每個月的報酬就是：4500/5=900 一年的報酬就是：900*12=10800 電冰箱就是：10800-8400=24002、甲、乙兩車分別從A，B兩地出發，相向而行，出發時，甲、乙的速度比是 5：4，相遇后，甲的速度減少20%，乙的速度增加20%，這樣，當甲到達B時，乙離A地還有10千米。那么A，B兩地相距多少千米？ 【解析】

方法一（七夜解法）：

假設全程為9份，相遇的時候，甲走5份，乙走了4份，之后速度開始變化，這樣甲到達B地，甲又走了4份

根據速度變化后的比值，乙應該走了4×6/5＝24/5份 所以這樣離A地還有5－（24/5）份 10*9/(1/5)=450 方法二（我的解法）： 假設全程是9份，相遇時，甲走5份，乙走4份 甲乙的路程比就是速度比變為，5：4 之后由于變速甲乙速度比變為，4：4.8 所以當甲到B點時（即走了5+4=9份），乙走了4+4.8=8.8份 乙距離全程還相差9-8.8=0.2份

0.2份對應的是10千米

所以9份對應的是9*10/0.2=450千米（大家覺得七夜的解法和我的解法哪個好點？）

3、小明每天早晨6：50從家出發，7：20到校，老師要求他明天提早6分鐘到校。如果小明明天早晨還是6：50從家出發，那么，每分鐘必須比往常多走25米才能按老師的要求準時到校。問：小明家到學校多遠？ 【解析】 方法一：（小學生的做法，也就是列式計算法）

要提前6分鐘到校，所以用時是30-6=24分鐘

而這6分鐘走的路程正好就是小明每分鐘加快多走25米，走了24分鐘才走好的 因此小明用正常速度走6分鐘的路程就是：24*25=600米

所以小明正常的速度就是：600/6=100米/分鐘（怎么這么慢捏？）所以S=100*30=3000米 方法二：

時間比是30：24=5：4 所以速度就是時間比的反比4：5 5-4=1，1個比例點對應25米，所以4個比例點對應4*25=100米（正常的速度）所以S=100*30=3000米

4、甲讀一本書，已讀與未讀的頁數之比是3：4，后來又讀了33 頁，已讀與未讀的頁數之比變為5：3。這本書共有多少頁？ 【解析】

這題要注意的就是書的頁數始終保持不變（我廢話了=。=）

一開始，已讀與未讀的頁數之比是3：4，所以已讀的頁數與整本書的頁數比就是3：（3+4）=3：7 后來又讀了33頁，已讀與未讀的頁數之比變為5：3，所以已讀的頁數與整本書的頁數比就是5：（5+3）=5：8 因此，整本書的頁數就是： 33/（5/8-3/7）=168（這里我想扯開講講代入法了，因此之前是3/7，之后是5/8，因此整本書的頁數一定就是7、8的公倍數，也就是56的倍數，有選項的話直接秒，嘎嘎）

5、一輛車從甲地開往乙地.如果車速提高20％，可以比原定時間提前一小時到達；如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25％，則可提前40分鐘到達.那么甲、乙兩地相距多少千米？ 【解析】

先看前半句“如果車速提高20％，可以比原定時間提前一小時到達”

得到原速與加速比是5：6，所以時間比就是6：5，6-5=1，1個比例點對應1小時 所以用原速度行駛完全程需要6*1=6小時

再看這句話“如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25％，則可提前40分鐘到達” 提速后，原速與變速比是4：5，時間比是5：4，5-4=1，1個比列點對應2/3小時 所以車子用原速行駛后半程的話就是用了5*2/3=10/3小時 故前面的120千米行駛的路程用時是6-10/3=8/3小時 得到原速度就是120/8/3=45千米/小時 所以S=45*6=270千米

6、甲、乙兩城相距91千米，有50人一起從甲城到乙城，步行的速度是每小時5千米，汽車行駛的速度為35千米／小時，他們有一輛可乘坐五人的面包車，最短用多少時間使50人全部到達乙城？（這題的汽車速度沒有變化，飛飛在這里總結了一種直接可以套上用的類似公式的計算式，希望大家能掌握）【解析】

速度比是35：5=7：1 7-1=6 6/2=3 路程可分成：1+3+9=13份（注，1+3是第一批人下車的路程，9是因為共有50人，5人一組，因此有10組，但每一組人要走10-1=9份路程。當公式記住吧）91*（4/13/35+9/13/5）=67/5=13.4小時

7、一只船從甲碼頭往返一次共用4小時，回來時順水比去時每小時多行12千米，因此后2小時多行16千米。那么甲，乙兩個碼頭距離時多少千米？ 【解析】

這題是個模塊，只要記住這個模塊就行了 順水的時間是：16/12=4/3小時

則逆水時間是：4-4/3=8/3小時

時間比等于速度比的反比，V順：V逆=8/3：4/3=2：1 V順=V逆+12 所以V順=24 所以S=24*4/3=32KM

8、甲乙兩車分別從A、B兩地出發，并在A、B兩地間不間斷往返行駛，已知甲車的速度是15千米/小時，乙車的速度是每小時35千米，甲乙兩車第三車相遇地點與第四次相遇地點差100千米，求A、B兩地的距離

A、200千米 B、250千米 C、300千米 D、350千米 【解析】

速度比是15：35=3：7 全程分成10份

第三次甲行的路程是：3*（2*2+1）=15份 第四次甲行的路程是：3*（2*3+1）=21份 兩次相距5-1=4份，對應100KM 所以10份對應的就是250KM

9、某工程有甲乙合作，剛好按時完成，如果甲工作效率提高20%，哪么2個人只需要規定時間9/10 就可以完成如果乙工作效率降低25%，那么2人就需要延遲2.5小時完成工程，球規定時間。

【解析】

甲提高效率，整體效率提高了10/9-1=1/9，所以甲是1/9/20%=5/9，所以乙是4/9 所以原來甲乙之比是5：4 乙變速后甲乙之比是5：3（做到這里，我覺得方程更直觀，我分兩步做吧）（1）先用方程 可得到方程是： 9T=8*（T+2.5）

T=20小時

（2）用比列做

乙降低1份，對應多用的時間就是2.5

現在共5+3=8份，所以時間就是8*2.5=20小時

10、甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離。【解析】

V甲=50*（6+26）/20=80 S=6*（80+50）=78011、小王和小李合伙投資，年終每人的投資進行分紅，小王取了全部的1/3另加9萬元，小李取了剩下的1/3和剩下的14萬元。問小王比小李多得多少萬元

【解析】

小李取了剩下的1/3和剩下的14萬元

所以14萬就是小李取的2/3，所以在小王取完之后就剩下14/2/3=21萬 小王也一樣，取的2/3就是21+9=30，所以全部的錢錢就是30/2/3=45萬 所以就知道小王是24萬，小李是21萬

12、甲從A地步行到B地，出發1小時40分鐘后，乙騎自行車也從同地出發，騎了10公里時追到甲。于是，甲改騎乙的自行車前進，共經5小時到達B地，這恰是甲步行全程所需時間的一半。問騎自行車的速度是多少公里/小時？ 【解析】

走完全程需要的時間是5*2=10小時 一直騎車需要的時間是5-5/3=10/3小時

所以人的速度與自行車的速度比是10：10/3=3：1 車追上人需要：5/3/(3-1)=5/6小時，對應10公里的路程 所以車子的速度就是：10/5/6=12KM/H

13、甲、乙兩輛清潔車執行東、西城間的公路清掃任務。甲車單獨清掃需要10小時，乙車單獨清掃需要15小時，兩車同時從東、西城相向開出，相遇時甲車比乙車多清掃12千米，問東、西兩城相距多少千米？

【解析】

解析：甲車和乙車的速度比是15：10＝3：2 相遇時甲車和乙車的路程比也是3：2 3-2=1，1個比列對應12千米，共有3+2=5個比例 所以S=12*5=60

14、甲、乙、丙三臺車床加工方形和圓形的兩種零件，已知甲車床每加工3個零件中有2個是圓形的；乙車床每加工4個零件中有3個是圓形的；丙車床每加工5個零件中有4個是圓形的。這天三臺車床共加工了58個圓形零件，而加工的方形零件個數的比為4：3：3，那么這天三臺車床共加工零件幾個？ A.68 B.76 C.78 D.88 【解析】

甲車床加工方形零件4份，圓形零件4*2＝8份 乙車床加工方形零件3份，圓形零件3*3＝9份

丙車床加工方形零件3份，圓形零件3*4＝12份 圓形零件共8＋9＋12＝29份，每份是58÷29＝2份 方形零件有2*（3＋3＋4）＝20個 所以，共加工零件20＋58＝78個

15、一輛車從甲地開往乙地。如果把車速減少10%，那么要比原定時間遲1小時到達，如果以原速行駛180千米，再把車速提高20%，那么可比原定時間早1小時到達。甲、乙兩地之間的距離是多少千米？ A.360 B.450 C.540 D.720 【解析】

原速度：減速度=10：9，所以減時間：原時間=10：9，所以減時間為：1/（1-9/10）=10小時；原時間為9小時； 原速度：加速度=5：6，原時間：加時間=6：5，行駛完180千米后，原時間=1/（1/6）=6小時，所以形式180千米的時間為9-6=3小時，原速度為180/3=60千米/時，所以兩地之間的距離為60*9=540千米

16、一只帆船的速度是60米/分，船在水流速度為20米/分的河中，從上游的一個港口到下游的某一地，再返回到原地，共用3小時30分，這條船從上游港口到下游某地共走了多少米

A.280/3 B.560/3 C.180 D.240 【解析】

船的順水速度：60＋20＝80米／分，船的逆水速度：60－20＝40米／分。因為船的順水速度與逆水速度的比為2：1，所以順流與逆流的時間比為1：2。這條船從上游港口到下游某地的時間為：

3小時30分＊1／（1＋2）＝1小時10分＝7／6小時。（7/6小時＝70分）從上游港口到下游某地的路程為： 80＊7／6＝280／3千米。（80×70＝5600）

17、（先看18題）一輛大轎車與一輛小轎車都從甲地駛往乙地。大轎車的速度是小轎車速度的80%。已知大轎車比小轎車早出發17分鐘，但在兩地中點停了5分鐘，才繼續駛往乙地；而小轎車出發后中途沒有停，直接駛往乙地，最后小轎車比大轎車早4分鐘到達乙地。又知大轎車是上午10時從甲地出發的。那么小轎車是在上午什么時候追上大轎車的 A 11點01分 B11點05分 C11點10分 D.11點15分 【解析】

大轎車行完全程比小轎車多17－5＋4＝16分鐘

所以大轎車行完全程需要的時間是16÷（1－80％）＝80分鐘 小轎車行完全程需要80×80％＝64分鐘

由于大轎車在中點休息了，所以我們要討論在中點是否能追上。

大轎車出發后80÷2＝40分鐘到達中點，出發后40＋5＝45分鐘離開

小轎車在大轎車出發17分鐘后，才出發，行到中點，大轎車已經行了17＋64÷2＝49分鐘。說明小轎車到達中點的時候，大轎車已經又出發了。那么就是在后面一半的路追上的。