第一篇：數學建模與應用通選課結課總結

《數學建模與應用》結課總結

數學建模學習心得體會

姓 名： 蕭高 學 號： 系 別： 軟件工程學院 班 級： 201級軟件工程3班 指導老師： 完成時間： 201年6月10日

數學建模學習心得體會

這個學期有幸選到數學建模這門通選課，因為數學功底不夠好，很遺憾沒有選擇競賽班，但是我也從這門課中學到很多東西，原本以為數學就是“紙上談兵”，然而真正接觸這門課后才發現，其實數學不僅是啟發我們思維的藝術，也是我們日常生活中有用的工具，人們的生產生活都離不開數學。從古至今數學與生產生活有著千絲萬縷關系，很多數學知識源自于人們在生產過程對經驗進行科學分析和總結，總結出來的數學知識也不斷促進人日常生產活動。

經過學習我們懂得了生活中很多不好解決的問題都可以用數學模型的量化解決，不可否認這門課很有用，無奈我們的課程學時都很短，老師只能給我們介紹一些最基本的小模型，不過我也很滿足與所看到的冰山一角，了解了跟我們專業相差很大的另一個世界是什么樣子的。現在正著手寫此篇感想，仔細想想，建模課程大概對我有三個方面的促進作用：

第一，在某一程度上訓練了我把純粹的數理理論公式與實際生活相聯系的思維，了解到數原來也可以與生活有這么大的聯系，因為以前覺得微積分線性代數之類的純理論東西似乎也有在不同領域的理論公式的推理中起重要作用，從未想過將其生活化；

第二，課程中讓我了解到很多小例子，我覺得像席位分配問題，控制疾病傳播問題，層次析法都有很大的實用價值，在以后生活中很可能會遇到，特別是層次分析法，對我們以后的生活學習工作會有很大的幫助；

第三，開啟可我對數學建模中的實際生活問題的認識，在上機課中首次接觸了Matlab等軟件，這對我以后解決生活中繁雜的數理計算問題放寬了心態。

總之，學完數學建模使我感觸良多，受益不淺，它所教給我們的不單

是一些數學方面的知識，更多的其實是綜合能力的培養、鍛煉與提高。它培養了我們全面、多角度考慮問題的能力，使我們的邏輯推理能力和 量化分析能力得以到很好的鍛煉和提高。

學了十幾節課的數學建模課，也去學校圖書館借了相應的書對他有了一定的了解加上網百度了一些內容更對之有了基礎程序性的認識，就這我想簡單介紹下數學模型： 一． 數學模型的定義

數學模型是關于部分現實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結構。”具體來說，數學模型就是為了某種目的，用字母、數學及其它數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構表達式。

二．建立數學模型的方法和步驟

第一、模型準備

首先要了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征。第二、模型假設

根據對象的特征和建模目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設，是建模至關重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為，所以高超的建模者能充分發揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡單，應盡量使問題線性化、均勻化。

第三、模型構成

根據所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規律和適當的數學工具，構造各個量間的等式關系或其它數學結構。這時，我們便 會進入一個廣闊的應用數學天地，這里在高數、概率老人的膝下，有許多可愛的孩子們，他們是圖論、排隊論、線性規劃、對策論許多許多，真是泱泱大國，別有洞天。不過我們應當牢記，建立數學模型是為了讓 更多的人明了并能加以應用，因此工具愈簡單愈有價值。

第四、模型求解

可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學方法，特別是計算機技術。一道實際問題的解決往往

需要紛繁的計算，許多時候還得將系統運行情況用計算機模擬出來，因此編程和熟悉數學軟件包能力便舉足輕重。

第五、模型分析

對模型解答進行數學上的分析。橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同"，能否對模型結果作出細致精當的分析，決定了你的模型能否達到更高的檔次。還要記住，不論那種情況都需進行誤差分析，數據穩定性分析。數學模型主要是將現實對象的信息加以翻譯，歸納的產物。通過對數學模型的假設、求解、驗證，得到數學上的解答，再經過翻譯回到現實對象，給出分析、決策的結果。其實，數學建模對我們來說并不陌生，在我們的日常生活和工作中，經常會用到有關建模的概念。例如，我們平時出遠門，會考慮一下出行的路線，以達到既快速又經濟的目的；一些廠長經理為了獲得更大的利潤，往往會策劃出一個合理安排生產和銷售的最優方案這些問題和建模都有著很大的聯系。而在學習數學建模以前，我們面對這些問題時，解決它的方法往往是一種習慣性的思維方式，只知道該這樣做，卻不很清楚為什么會這樣做，現在，我們這種陳 舊的思考方式己經被數學建模中培養出的多角度、層次分明、從本質上區分問題的新穎多維的思考方式所替代。這種凝聚了許多優秀方法為一體的思考方式一旦被你把握，它就轉化成了你自身的素質，不僅在你以后的學習工作中繼續發揮作用，也為你的成長道路印下了閃亮的一頁。數學建模所要解決的問題決不是單一學科問題，它除了要求我們有扎實的數學知識外，還需要我們不停地去學習和查閱資料，除了我們要學習許多數學分支問題外，還要了解工廠生產、經濟投資、保險事業等方面的知識，這些知識決不是任何專業中都能涉獵得到的。它能極大地寬和豐富我們的內涵讓我們感到了知識的重要性，也領悟到了學習是不斷發現真理的過程”這句話的真諦所在這些知識必將為我們將來的學習工作打下堅實的基礎。從現在我們的學習來看，我們都是直接受益者。毫不夸張的說，建模過程挖掘了我們的潛能，使我們對自己的能力有了新的認識，特別是自學能力得到了極大的提高，而且思想的交鋒也迸發出了智慧的火花，從而增加了繼續深入學習數學的主動性和積極性。再次，數學建模也培養了我們的概括力和想象力，也就是要一眼就能抓住問題的本質所在。我們只有先對實際問題進行概括歸納，同時在允許的情況下盡量忽略各種次要因素，緊緊抓住問題的本質方面，使問題盡可能簡單化，這樣才能解決問題。數學建模還能增強我們的抽象能力以及想象力。對實際問題再進行“翻譯”，即進行抽象，要用我們熟悉的數學語言、數學符號和數學公式將它們準確的表達出來。通過學習數學建模，對我的收益不遜于以前所學的文化知識，使我終生難忘。而且，我覺得數學建模活動本身就是教學方法改革的一種探索，它打破常規的那種老師臺上講，學生聽，一味鉆研課本的傳統模式，不拘泥于某種方法，激發學生的多種思維，增強其學習主動性，培養學生獨立思考，積極思維的特性，這樣有利于學生根據自己的特點把握所學知識，形成自己的學習機制，逐步培養很強的自學能力和分析、解決新問題的能力。這對于以后的教育工作也是一個很好的啟發。

總之，本學期數周十幾課時對數學建模的聽講確實讓我對曾經所學的數理方面的東西可謂刮目相看，同時也對我們以前所接受的教育機制產生

了懷疑，我們的教育應結合實際生活，“實踐才是檢驗真理的唯一標準”,這也許對我們來說說大了，但我感嘆實在，我想不管這選修課學分多少或我能否最終拿到，我現轉變的是更看重的是他的過程。“不經一事不長一智”，學習的過程才是實的。

201*級軟件3班

第二篇：通選課企業文化結課論文

私營企業的文化建設

姓名：古海泉

班級：通信一班

學號：***5

【摘要】

私營企業經濟作為國民經濟的重要組成部分，為其健康快速發展做出了重大貢獻。為適應經濟全球化的潮流，私企必須注重企業文化建設。企業文化內聚人心、外樹形象，是企業的靈魂和經營法寶。如果說我國私企早期創業靠的是勤勞、勇氣和機遇，那么后期的發展壯大則必須依靠企業的群體斗志和凝聚力，也就得依靠企業文化的建設。盡管我國私企有了較大的發展，但如何實現可持續發展成為其發展的新難題。基于此本文就私營企業可持續發展難題提出了私營企業文化建設的重要性，同時文章深入分析了民營企業文化建設中存在的問題，提出了民營企業文化建設的需求及發展思路。

【關鍵詞】

私營企業 企業文化 企業文化建設

經過二十多年的發展，私營企業經濟在我國國民經濟中占五分之二的比例并呈增大趨勢，是其重要組成部分，為其健康快速發展做出了重大貢獻。但伴隨著經濟全球化步伐的加快，私營經濟如何在全球經濟中擁有自己的一席之地，繼續做大、做強、做久企業文化建設勢在必行！企業的生產經營呼吁文化創新，市場營銷依靠文化宣傳，大眾消費依托文化引導，文化幾乎涵蓋了整個經濟領域。甚至有學者認為，先進文化是推動社會經濟發展的強大動力，誰擁有先進的、優秀的企業文化，誰就能在激烈的競爭中立于不敗之地。

一、企業文化對于企業的作用

1.引導作用

企業文化能對企業整體和企業的每個成員的價值取向及行為取向起引導作用。具體表現在兩個方面：一是對企業成員個體的思想行為起導向作用；二是對企業整體的價值取向和行為起導向作用。

2.約束和規范作用

企業文化對企業員工的思想、心理和行為具有約束和規范作用。企業文化的約束不是制度式 的硬約束，而是一種軟約束，這種約束產生于企業的企業文化氛圍、群體行為準則和道德規范，而形成這樣的軟約束力需要企業每個成員的努力和建設。

3.凝聚力作用

企業文化的凝聚功能是指當一種價值觀被企業員工共同認可后，它就會成為一種黏合力，從各個方面把其成員聚合起來，從而產生一種巨大的向心力和凝聚力，有了這種凝聚力，企業發展會突飛猛進的。

4.樹立企業形象

企業文化一旦形成較為固定的模式，它不僅會在企業內部發揮作用，對本企業員工產生影響，而且也會通過各種渠道（宣傳、交往等）對社會產生影響。企業文化的傳播對樹立企業在公眾中的形象很有幫助，優秀的企業文化對社會文化的發展有很大的影響。

5.輔助企業經濟發展

企業文化和企業經濟實力是構成企業品牌形象的兩大基本要素，它們是相輔相成的。企業品牌是展示一個企業的形象，企業形象是企業經濟實力和企業文化內涵的綜合體現。企業文化是企業發展過程中逐步形成和培育起來的具有本企業特色的企業精神、發展戰略、經營思想和管理理念，是企業員工普遍認同的企業價值觀、企業道德觀及其行為規范。企業如果形成了一種與市場經濟相適應的企業精神、發展戰略、經營思想和管理理念，即企業品牌，就能產生強大的團體向心力和凝聚力，從而激發員工的積極性和創造精神，然后推動企業經濟實力持續發展。企業文化（軟實力）與企業的經濟實力（硬實力）具有緊密關聯性，無論是世界著名的跨國公司，如“微軟”、“通用電氣”、“可口可樂”，還是國內知名的企業集團，如“海爾”、“華為”等，都具有獨特的企業文化和強大的經濟實力。好品牌的價值在于時間的積累，也是企業文化的積累，是企業長期經營與管理積累的價值所在。因此，要建設具有綜合競爭力的大型企業，就必須堅持兩手抓，一手抓經濟發展，一手抓企業文化建設。健康的企業文化可以隨時為企業發展增添后勁，及時發現企業存在的經營誤區及錯誤的經營理念，幫助企業盡快轉變思路，解決存在的問題，制定出相應的措施手段，促進企業快速發展。

然而從整體上說，我國企業家中認識到企業文化重要性的還比較少，有能力建設好企業文化的更是少之又少。即使在比較成功的企業當中，在企業文化的定位、企業文化的創新機制、企業文化與企業制度的磨合等方面，也存在這樣那樣的問題。中國企業家是企業文化建設的首要主體，也就肩負著企業文化在相對落后的土地上重新構建與繼續改善的重任。

二、建設企業文化對私營企業的重要性

1.成功的企業文化能夠對企業的發展產生有利的影響。就短期影響來說，它能夠有效地鼓舞員工士氣，幫助企業渡過暫時的難關，從而帶來企業經濟效益的回升。從長遠發展來看，企業文化對于一個企業的成長壯大更是起到了極大的作用，雖然這種作用常常看起來并不是很直接，但卻在潛移默化中發揮效用，是企業發展最持久的決定因素。

2.企業文化導向下的人力資源管理會使人力資源管理更加有效率，二者是一個互相促進的管理活動。良好的企業環境和優質的產品與服務對企業員工潛移默化的作用，在企業人力資源調配、考核等方面，培養企業員工的企業精神，形成一個和諧向上充滿活力與朝氣的組織目標與員工價值自我實現相一致的利益、文化、精神共同體。

3.企業文化作為企業的核心競爭力的組成部分具有不可模仿性，是企業品牌的內涵。在現代經濟中，消費者選擇某個企業的產品，某種程度上也是選擇該企業的文化，表示他對某種文化的認同。比如選擇麥當勞就是選擇一種美國式的開放、自由、快捷、輕松；購買索尼產品的人，認同的是一種日本式的精巧、創新；而喜歡奔馳的人所傾慕的則是德國式的嚴謹、精細、氣派和古典。因此，企業文化相當于企業的標簽。受歡迎的企業文化使企業贏得了客戶，也就意味著在與對手的競爭中獲勝。美國蓋洛普咨詢公司通過研究發現，決定企業核心競爭力的因素，有三大方面：一是顧客忠誠度的高低和忠誠群體的大小；二是員工忠誠度的高低和忠誠群體的大小；三是品牌影響度的高低和大小。而決定企業這三方面狀況的正是企業文化。一個企業若想長久地站穩腳跟，并在激烈的現代市場經濟競爭中占取優勢地位，就必須培育受廣大消費者歡迎的企業文化。

三、私營企業文化建設目前存在的問題

目前，很多民營企業的文化建設走進了誤區，在一定程度上影響了企業文化在企業發展中的推動作用，甚至阻礙了企業的長遠可持續發展。

1.重形式、輕內涵

企業文化是將企業在創業和發展過程中的基本價值觀灌輸給全體員工，通過教育、整合而形成的一套獨特的價值體系，是影響企業適應市場的策略和處理企業內部矛盾的一系列準則和行為方式，其中滲透著創業者個人在社會化過程中的對人性的基本假設、價值觀和世界觀，也凝結了在創業過程中創業者集體形成的經營理念。但是有資料顯示通過對年產值幾百萬到近兩億的多家私營企業文化調查中發現，許多私營企業在文化建設中往往注重于做表面的文章，而忽略企業文化內涵。很多企業認為企業文化就是表面和虛無的東西，他們的主要目標是希望員工聽話，讓外部人看到企業在感覺上更有很正規正派的感覺。顯然，在這種精神指導下的企業文化建設必然是重口號、重標志等看得見的有形的東西。而就深層次上來說，企業并沒有從理念上建立起獨一無二的企業文化，更不用談轉化為企業發展的精神動力。如果企業只有這些表層的形式而缺乏內在的價值和理念，這樣的企業文化是沒有意義的、難以持續的，并且也不能形成文化的推動力和凝聚力，對企業的發展也不會產生深遠的影響。

2.家族文化牢固

目前，私營企業經營管理模式上看，有相當一部分的企業，仍處在一種“家族式”的管理模式中，小富即安、急功近利的經營思想在相當一部分企業管理者中占據著主導地位，相當一部分企業尚未形成尊重知識、尊重人才的氛圍，管理觀念陳舊。這種狀態下的企業職工隊伍很難維持穩定，責任意識不強，服務意識淡漠，工作、學習動力不足等問題顯而易見。

3.企業家和員工素質低下 企業文化作為一種亞文化，不僅取決于社會既有的文化現狀和發達程度，而且取決于該企業所有的員工的教育程度和文化水平。國家統計局企業調查總隊曾就中國31個地區200多家私營企業進行專項調查，結果顯示：私營企業員工中，大專以下文化的員工人數占八成以上，大專以上的僅有不到18%。我國私營企業員工總體素質較低制約了民營企業文化建設。此外我國私營企業家很多從簡單的作坊做起，處于產業鏈的中下游，企業家文化程度普遍偏低，個人素質和管理水平也亟待提高。

4.企業文化建設缺乏創新

當前私營企業文化建設中一個普遍的問題就是缺乏創新。很多私營企業以為企業文化建設可以一勞永逸，忽視了根據企業所處的宏觀、微觀環境變化，不能及時就變化的形勢做出相應的反應，未能對企業文化進行持續的創新，甚至出現原本對于企業發展起積極作用的文化反而成為企業未來發展的絆腳石。當一種企業文化由于被惰性對待而變成一個封閉的系統時，它很可能會扼殺企業的創造精神。私營企業文化應該是一個開放的、創新的系統，私營企業應重視對自身的文化系統不斷進行調整和完善，與企業加強銜接，提高整體企業文化素質，促進企業持續健康成長。

四、民營企業文化建設的對策與建議

針對民營企業文化建設中存在的問題，提出對民營企業文化建設采取確實有效的措施、策略，使民營企業文化建設走上健康的軌道。具體分析，民營企業可以在以下方面加強建設：

1.要杜絕企業文化中的狹隘觀念 企業文化固然成型于某一企業，但也要與民族優秀的文化相結合，更重要的是符合社會的價值觀念，得到民眾的廣泛認可。前幾年的保健品市場涌現了一些大型企業，但其中很少有能夠站在民族和社會的高度來建構企業文化，很少有能夠將企業文化與“全民健康”、“社會保健意識”等問題聯系起來看待。這些企業中可能有一些已經形成了激勵員工努力工作的企業文化，并使企業效率得到提高，但它們的企業文化是狹隘的，僅僅實現了企業文化有關增強企業效率的內部職能，卻遠未實現用文化體現企業形象的外部職能。這樣的企業難以在人們心中留下深刻而長久的美好形象。

2.防止企業無形的文化與有形的管理制度發生碰撞

我國許多企業家都存在企業文化與企業制度互不相關的錯覺，有些企業家抱著“理想主義”甚至“空想主義”的心態去建設企業文化，完全脫離企業制度的要求，最終的結果是企業文化自我創新能力的喪失和企業制度運行的低效率，文化與制度發生了內耗。事實上，企業制度與文化是緊密相連的，現代化制度本身是一個空殼，人的執行使其具有了客觀和實際的意義。而人在執行過程中的心理、態度、行為方式正是與企業文化息息相關。沒有文化的制度是僵化的，沒有制度的文化也是不合實際的。應該將兩者有機統一起來于企業發展過程中，相互促進并使企業獲得更廣闊的發展領域。

3.實現產品的本地化

一個企業要在激烈的市場競爭中獲勝，就必須研究市場、研究顧客，迎合顧客的心理，實現產品的本地化。取之于本地，用之于本地，才能得到當地顧客的認同，更深一層地融入本地，得到更豐厚的回報。以人為本，員工是企業的核心，這一企業文化價值理念越來越成為企業的共識。員工是企業產品的生產者，企業產品要做到真正本地化，人才的本地化應首當其沖。公司文化的當地化包括建立清晰的公司目標和招聘規范，建立培訓和整合體系，提供公司內部支持。

4.準確定位，建立特色文化

塑造企業文化要注重結合自身實際情況，“定位”準確，形成獨具特色的模式。我國的企業一直有著學習楷模的好傳統。因此，很多企業開始學習國外大企業的企業文化。但應該注意的事我們應該學習什么。就目前的情況看，很多企業更多的注重表面華麗用語的學習，并沒有真正學習到國外成功企業發展企業文化的精華。不僅僅是模仿國外企業的企業文化，而且國內企業也是互相模仿。所以也就出現了我國很多企業的企業文化大都擁有一樣的詞匯，如“團結”、“求實”、“創新”??這是一個讓人尷尬而汗顏的局面。塑造企業文化至少要考慮以下因素：行業特征、企業家特質、國內國際企業文化新潮、追求獨特模式、長期形成等。最忌流于形式、趨于雷同。要做到有的放矢，因地制宜，因時而異。

5.營造人才兼容環境

營造人才兼容環境，可以規避風險，激活競爭，創造效益。反之，人才兼容環境的缺失，會造成人為的厚此薄彼，影響企業協調，從而危及全局。就拿聯想集團來說吧，聯想讓產品開發者上主席臺介紹產品，擔任形象代表。給每個員工都壓上略重于現有能力的擔子，并經常性地變換工種，讓最好的工人來搞技術，讓最差的技術人員去當車間工人，打破界限，能上能下，使每一個員工的潛能都得到最大程度的開發，實現人盡其才。

6.提高績效與培養人才

重視人力資源，善于運用激勵手段。公司的報酬決策有三個要點：

1、重視職工需要安全感和職業保障的心理需求；

2、報酬必須有很強的刺激性和鼓勵性；

3、對特別值得嘉獎的職工一定要錦上添花。

公司要建立一個自下而上了解職工工作情況，并結合職工工作性質、職位、工作經驗等作出 正確而合理的評價系統。這個系統用以衡量職工的工作績效，然后據此給予適當報酬。公司不但注重物質鼓勵、還要注重精神鼓勵手段。

7.注意在延續中整合和發展

延續指的是企業文化在企業領導者更替過程中保持穩定，防止企業形象不穩定對企業造成的傷害；整合指的是企業文化要隨變化著的社會環境、文化氣息、企業制度而變化；發展指的是企業文化的內容要不斷充實，追趕甚至領跑于社會文化。在這一個過程的三個特征中。要堅決杜絕企業文化的內部沖突。

俗話說，“水可載舟，亦可覆舟”，而企業文化也是一樣的道理。成功的企業文化可以成就一個企業，失敗的企業文化也可以毀滅一個企業。企業文化絕不是裝點門面的擺設，而是每個成功企業必須具有的理念，它在市場大潮中發揮著無可替代的作用，是企業的核心競爭力。如今的社會，形成好的企業文化、受歡迎的企業文化已經成為全球各大企業追求的目標。中國的企業同樣要跟上時代潮流，充分發揮企業文化的作用，贏得自身更健康持續的發展，并帶動整個中國企業界的發展。

8.注重培育創新精神

企業文化一旦形成就具有相對的穩定性，對企業發展產生持久的影響，但是又具有動態變化性。企業在發展、壯大各不同發展階段，由于所處的環境發生變化，相應地企業文化也應進行變革，以適應企業發展的需要，否則就會成為企業發展的阻力。知識經濟時代就是創新經濟的時代，文化創新是企業可持續發展的不竭動力。企業參與市場角逐就必須不斷地實現創新工程，建設企業創新文化。企業要緊緊把握時代脈搏，了解自身所處環境的變化并把握其本質，必須具有創新的思維，環境變則對企業文化進行相應的創新和調整。企業在文化建設中，切忌沉迷于原有的成功和喜悅中。具體而言，培育民營企業的創新文化，應從觀念創新、技術創新、管理創新、制度創新四個方面進行。

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第三篇：數學建模公選課作業

數學建模概述

經過一個學期公選課的學習，我第一次接觸到了數學建模這個概念。通過課上老師一些數學模型的介紹，我學到了很多知識，下面就來講講我獨特的收獲。首先，什么是數學建模呢？數學建模是把數學應用于實際中去，把實際問題譯成數學語言。對于一個實際問題，主要由：建立模型（是由數字，字母和數學符號組成的，描述對象數量規律的公式，圖表），解問題，將計算結果帶回到實際中去檢驗。當人們設計產品參數，規劃交通網絡，制定生產計劃，控制工藝過程，預報經濟增長，確定投資方案時，都需要將研究對象的內在規律用數學的語言和方法表達出來，并將求解得到的數量結果返回到實際對象的問題中去，這種解決問題的全過程就稱為建立數學模型，簡稱數學建模。

那么如何進行數學建模呢？經過學習，我了解到數學建模分為以下六個階段

第一階段：模型準備

對原始實際問題進行調查了解，抽象出語言敘述的模型及相應的數據條件等，常稱為原始模型。實際上抽象出原始模型時常常已對模型的進一步建立及求解有了一些想法，比如采用哪種類型模型等。此步驟注意要將所有搜集到信息表述出來，不得遺漏。

第二階段： 模型的假設

這是非常關鍵的步驟，不同的假設將導致不同的模型。利用合理的、必要的假設，可簡化模型使很難的無法下手的問題變的易于解決。但過度的簡化而得到模型可能無實用價值，舍不得簡化又可能導致得到一個無法求解的模型或模型的解非常復雜，以致無法應用。到底簡化到什么程度要看問題的性質與建模的目的以及建立模型中的某些需要。這里要提醒注意的是：對于一個假設，最重要的是它是否符合實際情況，而不是為了解決問題的方便。

通常作出合理假設的依據：一是處于對問題內在規律的認識；二是來自對數據或現象的分析，也可是兩者的綜合。作假設時既要運用與問題相關的物理、化學、生物、經濟等方面的知識，又要充分發揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別問題的主次，抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量使問題簡化（比如線形化、均勻化等）。經驗在這里也常起重要作用。有些假設在建模過程中才會發現。因此在建模是要注意調整假設。

第三階段：模型的建立

根據所做的假設，利用適當的數學工具，建立各個量之間的等式或不等式關系，列出表格，畫出圖形或確定其他數學結構，是建立數學模型的第三步。為了完成這項數學模型的主體工作，人們常常需要廣闊的應用數學知識，除了微積分、微分方程、線形代數及概率統計等基礎知識外，還會用到諸如規劃論、排隊論、圖與網絡及對策論等。推而廣之，可以說任何一個數字分支都可能應用到建模過程中。當然，這并非是要求你對數學的各個分支都精通，事實上，建模時還有一個原則，即盡量采用簡單的數學工具，以便更多的人了解和使用。當然建模時需要有靈活、清醒的頭腦和創造性思維的能力。

第四階段：模型的求解

根據模型的性質，選擇適當方法去解。可能是解析方式，也可是求近似解。再根據建模目的對系統進行預測，決策與控制。

第五階段：模型的檢驗

把上述結果翻譯回原問題，并與實際數據進行比較，檢驗模型的適用性與合理性。如果模型不實用，必須從模型假設那里重新開始，直到得到可用模型。

第六階段：模型的推廣

在一個領域里解決問題時建立的模型，常常摁扣簡單的稍加處理推廣到其他領域。討論一下這方面內容常可增加模型的應用價值。

經過這六個階段就可以建構成一個完整的數學模型，非常奇妙。無可置否，數學建模這樣過程絕對非常鍛煉人的思維能力，以后我得踴躍參加，并且把這種積極動腦的思想用到生活中來。

知識的海洋是無窮無盡的，我會揚起我的帆，在知識的海洋中乘風破浪，在未來的時間里闖出一片屬于我的天地。

第四篇：數學建模課設

摘 要

汽車作為現代化的交通工具，即對人類社會文明的進步發揮了積極的作用，也對人類的健康和財產安全造成了負面效應。在某些國家的一些司機培訓課程中規定了一些規則，司機在駕駛過程中遇到突發事件會緊急剎車，從司機決定剎車到汽車完全停止住汽車行駛的距離稱為剎車，車速越快，剎車距離越長。

就要對剎車距離與車速進行分析，它們之間有怎樣的數值關系？

美國的某些司機培訓課程中有這樣的規則：在正常駕駛條件下車速每增加10英里/小時，后面與前面一輛車的距離應增加一個車身長度。按照“一車長度準則”，車速每增加10mph，前后車距應增加一個車身的長度，這表明前后車距與車速成正比例關系。試判斷“一個車身準則”是否安全？

所以我們還要對剎車距離與車速做更仔細的分析，通過各種分析（主要通過數據分析）以及各種假設，我們提出了更加合理的建議。

在道路上行駛的汽車保持足夠安全的前后車距是非常重要的，為了自己的生命安全，也為了他人的生命安全，所以謹慎駕車。

關鍵詞： 剎車距離

車速

一車身長度準則

汽車剎車距離

一、問題提出

司機在駕駛過程中遇到突發事件會緊急剎車，從司機決定剎車到車完全停住，汽車行駛的距離稱為剎車距離,車速越快，剎車距離越長，請問剎車距離與車速之間具有怎樣的數量關系？

二、問題分析

問題要求建立剎車距離與車速之間的數量關系，一方面車速是剎車距離的主要影響因素，車速越快，剎車距離越長；另一方面，還有很多其他的因素會影響剎車距離，包括車型、車重、剎車系統的機0械狀況、輪胎類型的狀況、路面類型的狀況、天氣的狀況、駕駛員的操作技術和身體狀況等。若果所有可能的因素都考慮到，就無法建立車速與剎車距離之間的數量關系，所以需要對問題提出合理的簡化假設，使得問題可以僅僅考慮車速對剎車距離的影響，從而建立剎車距離與車速之間的函數關系。

需要提出哪幾條合理的簡化假設？

可以假設車型、輪胎類型、路面條件都相同；假設汽車沒有超載；假設剎車系統的機械狀況、輪胎狀況、天氣狀況以及駕駛員狀況都良好；假設汽車在平直道路上行駛，駕駛員緊急剎車，一腳把剎車踏板踩到底，汽車在剎車過程沒有轉方向。

這些假設都是為了使得問題可以僅僅考慮車速對剎車距離的影響，這些假設是初步的和粗糙的，在下面的建立數學模型的過程中，還可能隨著問題的深入理解而提出新的假設，或者修改原有的假設。至于假設的合理性，一方面可以根據題意和常識來判斷，另一方面，還可以等模型建立和求解完畢以后，對其進行檢驗分析，首先，仔細分析剎車的過程，發現剎車決定經歷兩個階段。

在第一階段，司機意識到危險，做出剎車決定，并踩下剎車踏板使剎車系統開始起作用，這一瞬間可以稱為“反應時間”，非常短暫，但是對于高速行駛的汽車而言，汽車在這一瞬間行駛的距離卻不容忽略，汽車在反應時間行駛的距離稱為“反應距離”。

在第二階段，從剎車踏板被踩下、剎車系統開始起作用，到汽車完全停住，這是汽車的制動過程，汽車在制動過程“行駛”（輪胎滑動摩擦地面）的距離為“制動距離”。

根據以上分析，得到剎車距離的初步的數量關系如下：

剎車距離=反應距離+制動距離

（1.1）于是用文字表達的數量關系式（1.1）可以用數學符號表示為

d?d1?d

2(1.2)

三、基本假設

提出如下的簡化假設：

（1）假設道路、天氣和駕駛員等條件相同，汽車沒有超載，也沒有故障；（2）假設汽車在平直道路上行駛，駕駛員緊急剎車，一腳把剎車踏板踩到底，汽車在剎車過程沒有轉方向；

（3）假設駕駛員的反映時間為常數，汽車在反應時間內做勻速直線運動；（4）假設汽車在制動的過程做勻減速直線運動，減速度a為常數，制動力所做的功等于汽車動能的損失；

（5）假設剎車距離等于反應距離加速制距離。

四、符號約定

引入以下符號，并說明單位：

； v~車速（m/s）

d~剎車距離（m）；

； d1~反應距離（m）； k1~反應時間（s）； d2~制動距離（m）

五、建立模型

其次，考慮反應距離的子模型，根據常識，可以假設汽車在反應的時間內車速沒有改變，也就是說，在此瞬間汽車做勻速直線運動。

反應時間取決于駕駛員狀況和汽車制動系統的靈敏性，司機駕駛員的狀況包含反應、警覺、視力等，因人而異，可以考慮平均值，即視為常數；在正常情況下，汽車制動系統的靈敏性都非常的好，與駕駛員狀況相比，可以忽略，所以再多增加一條簡化假設；駕駛員每一次剎車的反應時間都一樣長，于是反應距離的子模型為

d1?k1v

（1.3）

再次，考慮制動距離的子模型，在制動過程，汽車的輪胎滑動摩擦地面，車速從v迅速減慢，直到車速變為0，汽車完全停住，用物理的語言來描述，即汽車制動力使汽車做減速運動，汽車制動力做導致汽車功能的損失，引入以下符號：

a~汽車制動減速度（m/s2）；

F~汽車制動力（N）；

M~汽車質量（kg）；

為了建立簡單的數學模型，可以假設汽車在制動過程中做勻減速直線運動，減速度為a是常數，根據牛頓第二定律有

F?Ma

根據功能定理，汽車制動力所做的功等于汽車動能的損失，即

所以

d2?v2/(2a)令k2?1/(2a)，得到制動的距離的子模型為

Fd2?Mv2/2

d2?k2v（1.4）最后，由（1.2）~（1.4）式，剎車距離的數學模型為

d?k1v?k2v2

（1.5）

即剎車距離與車速之間的二次函數關系。

到目前為止，所思考的都限于同一款車型，究竟模型（1.5）的兩個系數會不會隨著車型而改變？回顧以上的建模過程，不難發現，反應距離的子模型的系數k1是駕駛員的反應時間，與車型無關；而制動距離的子模型的k2?1/(2a)只與制動過程的的減速度a有關系，那么減速度a與車型有關嗎？其實按照汽車的設計原則，所有車型在額定載荷范圍內緊急剎車的減速度都相差無幾，也就是說，剎車系統的最大制動力被設計成車重成正比，所以系數k2也可以被認為是車型無關的，換言之，只要對一款車型測試其在不同車速下的剎車距離（當然要盡量保持道路、天氣、駕駛員、載重等條件一樣），然后用測試數據擬合出模型那么所得到的剎車距離與車速之間的二次函數經驗d?k1v?k2v2的系數k1和k2，公式，在相同的道路、天氣和駕駛員等條件下，對所有即沒有超載，也沒有故障的汽車都是有參考作用的。

本小節給出建立汽車剎車距離的數學模型的規范表達。

表2..2.1是為建立剎車距離的數學模型而引入的數學符號說明。根據假設（3），立即得到（2.2.3）；

d1?k1v

根據牛頓第二定律假設（4）有

F?ma

Fd2?mv2/2

所以有（2.2.4）；

d2?kv2

其中k2?1/(2a)

最后，根據假設（5）有（2.2.5）

d?k1v?k2v

（2.2.5）式就是汽車剎車距離的數學模型

六、模型檢驗

利用由美國提供的剎車距離數據（見表2.2）來進行模型的檢驗,，表2.2的數據使用英制單位mph（miles per hour，英里/小時）和ft（英尺），換算率為1mph=0.44704m/s，1ft=0.3048m。

在表2.2的數據中，反應距離是和車速成正比的，很明顯，這樣的數據是基 于反應距離子模型d1?k1v的，其中平均反應時間恰好為k1?0.75秒，所以沒有必要用表2.2中反應距離的數據賴來檢驗反應距離子模型。

而表2.2的制動距離數據則有變化范圍（包括美國公路的局所做測試中85%的觀測結果）以及平均值，由于剎車距離是反應距離和制動距離之和，所以剎車距離也有變化范圍和平均值，應該用表2.2中的制動距離數據來檢測制動距離子模型d2?k2v2，從而達到檢驗剎車距離的數學模型的目的。

首先，注意到子模型d2?k2v2意味著d2與v成二次函數關系，而d2與v2成正比關系。因此，繪制表2.2中的制動距離數據（包括最小值、平均值和最大值）對v和v2的散點圖（見圖2.2）

檢驗二次函數關系150制動距離的最小值、平均值和最大值（m）***車速v（m/s）檢驗正比例關系303540******12001400車速的平方v（m2/s2）

圖 2.2 說明

繪圖命令利用了MATLAB函數plot的語法格式，即如果X和Y是同型矩陣（不止一行），則plot(X,Y)返回Y的列向量對應X的列向量的多重線性圖，另外，通過將MarkerSize設置為2，使得標示符的大小更符合需要。

有圖（2.2）得到的直觀印象是：制動距離子模型d2?k2v2經得起來自表2.2的數據檢驗。

直觀的圖形檢驗顯然粗糙了一些，不夠可靠，下面用最小二乘法，根據表2.2中的車速和制動距離平均值的數據，擬合出制動距離子模型d2?k2v2中的系 數k2，然后詳細考察誤差，由（1.7.1）式，擬合k2的計算公式為

k2??vdi/?vi

4(2.2.6)

2ii?1i?11313其中vi和di為表2.2中的第i行的車速和制動距離平均值，i=1，2，3，…，13，根據（2.2.6）式，在執行圖2.2的繪圖程序后，繼續輸入并執行一下命令： >> k2=sum(v2.*d2(3,:))./sum(v2.*v2)>> r=d2(3,:)-k2.*v.*v 命令窗口顯示的計算結果為： k2 =

0.0827 r =

Columns 1 through 8

-0.5131

-1.7923

-2.5261

-4.2384

-4.4909

-5.2647

-5.3406

-4.7187

Columns 9 through 13

-4.0085

-2.6004

0.1151

3.9857

8.8589 所以依據表2.2的數據得到的剎車距離與車速關系的經驗公式為

d?0.75v?0.082678v2

考察誤差，發現當車速不超過65mph（即104.6km/h）時實際值都略小于理論值，但是當車速更快時，實際值就會大于理論值，而且隨著車速的增加，誤差會越來越大，這就說明制動距離子模型d2?k2v2的模型假設適合較低的車速范圍內；當車速更高時，可能由于漏了某些不容忽略的因素，導致模型解答不那么令人信服。

計算k2以及擬合誤差的另一種方法是用統計工具箱函數nlinfit計算，在執行圖2.2的繪圖程序之后，繼續輸入并執行一下命令，所得到的計算結果和第一種方法相同：

>> f=@(k,x)k.*x.*x;>> [k2,r]=nlinfit(v,d2(3,:),f,1)命令執行的結果：

k2 =

0.0827

r =

Columns 1 through 8

-0.5131

-1.7923

-2.5261

-4.2384

-4.4909

-5.2647

-5.3406

-4.7187

Columns 9 through 13

-4.0085

-2.6004

0.1151

3.9857

8.8589

最后，可以再圖2.2的兩幅子圖中分別添加擬合得到的子模型d2?k2v2的理論值的二次曲線或直線，使得剛才的分析更直觀，更容易理解（見圖2.3）。

檢驗二次函數關系150制動距離的最小值、平均值和最大值（m）***車速v（m/s）檢驗正比例關系303540******12001400車速的平方v（m2/s2）

圖 2.3

七、模型應用

在道路行駛的汽車保持足夠安全的前后車距是非常重要的，人們為此提出了五花八門的建議，在美國，有人建議“一車長度準則”，即車速每增加10mph，前后車距應增加一個車身的長度；也有人建議“兩秒準則”，即后車司機從前車經過某一標志開始，默數2秒之后到達同一標志，而不管車速如何，剛才建立的剎車距離模型可以用來建議是否足夠安全。

按照“一車長度準則”，車速每增加10mph，前后車距應增加一個車身的長度，這表明前后車距與車速成正比例關系，引入以下符號：

D~前后車距（m）；

v~車速（m/s）;

K1~按照“一車長度準則”，D與v之間的比例系數（s）。于是“一車長度準則”的數學模型為：

D?K1v

(2.2.7)考慮家庭用的小型汽車，不妨設一車長度為5m，則

K1?5m5m??1.1185s

10mph4.4704m/sD?1.1185s 所以（2.2.7）式即為

比較（2.2.5）式與（2.2.7）式得

d?D?v[k2?(K1?k1)]

所以當v?(K1?k1)/k2時有d?D，即前后車距大于剎車距離的理論值，可認為足夠安全；當v?(K1?k1)/k2時有d?D，即前后車距小于剎車距離的理論值，不足夠安全。

代入k1?0.75，k2=0.082678以及K1?1.1185，計算得到當車速超過4.5m/s（約合16km/h）時，“一車長度準則”就不夠安全了，也就是說，“一車長度準則”只適用車速很慢的情況。

另外，還可以通過繪圖直觀的解釋為什么“一車長度準則” 不夠安全，用以下程序把表2.2的剎車車距離實測數據和“一車長度準則”都畫在同一幅圖中（見圖2.4）：

比較剎車距離實測數據、理論值和一車長度準則***0距離(m)一車長度準則剎車距離理論值剎車距離的最小值、平均值和最大值***01520車速v(m/s)25303540

圖 2.4

八、模型評價

1.模型優點

此模型主要是針對司機在駕駛的過程中，出現突發緊急情況剎車距離的一種評估分析方法，在現實的情況當中，能夠很好地反應客觀現實。司機應注意在駕駛的過程中，速度不應該過大，隨著速度的增大，剎車距離越長，越容易出現交通事故。所以應根據自己的駕駛經驗，控制好駕駛速度，保障自己和他人的生命安全。2.模型缺點

此模型考察誤差，發現當車速更快時，實際值就會大于理論值，而且隨著車速的增加，誤差會越來越大，這就說明制動距離子模型d2?k2v2的模型假設適合較低的車速范圍內當車速更高時，可能由于漏了某些不容忽略的因素，導致模型解答不那么令信服。所以此模型考慮的因素不夠全面，導致在實際的應用當中，有誤差。

參考文獻

[1] 姜啟源，謝金星，葉俊，數學模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.[2]韓中庚，數學建模方法及其應用，北京：高等教育出版社，2005 [3]吳建國，數學建模案例精編，北京：中國水利水電出版社，2005 [4]袁紹輝，數學建模，北京：科學出版社，2010 [5]王樹禾，數學模型選講，北京：科學出版社，2008

附錄

表2.1 符號說明

符 號

單 位

名 稱

說

明 v

m/s

車速

d

m

剎車距離

從司機決定剎車到車完全停住汽車行駛距離

dm

反應距離

從司機決定剎車到踩下剎車踏板行駛距離 d

2m

制動距離

從司機踩下剎車踏板到車完全停住行駛距離 k1

s

反應時間

從司機決定剎車到踩下剎車踏板的時間

a

m/s2

減速度

汽車制動過程的減速度

F

N

制動力

汽車制動過程的制動力

M

kg

汽車質量

k2

s2/m

k2?1/(2a)

表2.2 反應距離和制動距離的實際觀測值

車速/mph

反應距離/ft

制動距離/ft

剎車距離/ft 范圍*

平均值

范圍

平均值 20 22

18~22

40~44

25 27.5

25~31

52.5~58.5

55.5 30 33

36~45

40.5

69~78

73.5 35 38.5

47~58

52.5

85.5~96.5

40 44

64~80

108~124

45 49.5

82~103

92.5

131.5~152.5

50 55

105~301

118

160~186

173 55 60.5

132~165

148.5

192.5~225.5

209 60 66

162~202

182

228~268

248 65 71.5

196~245

220.5

267.5~316.5

292 70 77

237~295

266

314~372

343 75 82.5

283~353

318

365.5~435.5

400.5 80 88

334~418

376

422~506

464

*范圍包括了美國公路局所測試中85%的觀測結果 圖2.2，程序如下： >> v=(20:5:80).*0.44704;>> v2=v.*v;>> d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334

22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418

20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376 ];>> d2=0.3048.*d2;>> subplot(2,2,1),plot([v;v;v],d2,'o-k','MarkerSize',2)

title('檢驗二次函數關系'),xlabel('車速v（m/s）')

ylabel('制動距離的最小值、平均值和最大值（m）')

subplot(2,1,2),plot([v2;v2;v2],d2,'o-k','MarkerSize',2)

title('檢驗正比例關系'),xlabel('車速的平方v^（m^2/s^2）')

圖2.3的繪圖程序如下：

>> subplot(2,1,1),plot([v;v;v],d2,'-ok','MarkerSize',2)hold on,plot(v,k2.*v2,'k'),hold off

title('檢驗二次函數關系'),xlabel('車速v（m/s）')

ylabel('制動距離的最小值、平均值和最大值（m）')

subplot(2,1,2),plot([v2;v2;v2],d2,'-ok','MarkerSize',2)

hold on,plot(v2,k2.*v2,'k'),hold off

title('檢驗正比例關系'),xlabel('車速的平方v^（m^2/s^2）')

見圖2.4，程序如下：

>> v=(20:5:80).*0.44704;>> d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334

22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418

20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376];>> d2=0.3048.*d2;>> k1=0.75;k2=0.082678;K1=1.1185;>> d1=[v;v;v].*k1;d=d1+d2;>> plot([0,40],[0,K1*40],'k'),hold on

plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k')

plot([v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2),hold off

title('比較剎車距離實測數據、理論值和一車長度準則')

legend('一車長度準則','剎車距離理論值',...'剎車距離的最小值、平均值和最大值',2)

xlabel('車速v(m/s)'),ylabel('距離(m)')

第五篇：數學建模總結

數學建模總結

（河南科技大學 許光輝 李貴濤 蔡亞娟）

數學建模比賽雖然已經結束半年之久，但是整個參賽過程我們依舊歷歷在目。從參加學校的建模比賽，到暑期培訓、全國大賽，到最終的答辯環節，其中的酸甜苦辣如今回味起來都已變成美好的回憶。

經過指導組老師的專業培訓，尤其是郭春娜老師的悉心指導，我們組最終獲得了全國二等。我們收獲的不僅僅是一份榮譽，更多的是知識的積累和能力的提高。現在我們將整個參賽過程的體會作如下的總結：

一、團隊精神。數學建模比賽靠的不是一己之力，拼的是集體的智慧。能堅持到最后參加國家賽，相對而言都是很優秀的隊員，但是“眾人拾柴”才能“火焰高”，只有三個人緊密配合才能做出最優的方案，最終提交的才不是三段互不銜接、支離破碎的論文。數學建模比賽有點累，尤其是到培訓的最后階段，又面臨著被淘汰的壓力，可謂是身心疲憊。此時，大家一定要互相鼓勵和支持。遇到意見不一致的情況，大家要平心靜氣地商討，或者找指導老師請教，萬不能傷和氣；一旦遇到尷尬的僵局，要及時調節。和諧的團隊氛圍能容易出成績。

二、術業有專攻。數學建模考察的是大家的綜合素質，譬如：建模能力、嫻熟應用軟件的能力和語言表達能力等等，3個人最好在平時的模擬時有所側重。但是每個人都要對這幾個方面有所了解，這樣才能在遇到瓶頸時互相探討，或者在一個人出現錯誤時，其他人能及時發現錯誤并糾正。

三、重視基礎。每年的題目都在創新、改變，但萬變不離其宗，考察的不外乎基礎建模知識。所以只有很好地掌握了課堂上老師教授的方法，夯實了基礎，才能在后期厚積薄發，有所圖突破。尤其是如今我們學習專業課時，才發現這些建模方法使用頻率非常高。假期的培訓確實讓我們受益匪淺。

四、廣泛涉獵。正因為每年的題目都在創新，所以我們要不斷涉獵新的知識，武裝自己。在平時模擬的時候，多到萬方數據庫下載相關的文獻看看，了解些學術前。有些這些文章看起來可能會晦澀難懂，我們“不求甚解”即可。看這些文獻我們可能并沒學到什么東西，但是能增強我們的信心。我們在正式比賽時，如果再去看文獻就不會顯得那么盲目和痛苦。

五、慎重選題。本科組有兩個題目，選題是正式比賽的第一步。總所周知，決定成功的不是站的位置，而是所朝的方向。如果選題時出現方向錯誤，結果可想而知了。拿我們組舉例吧，我們3人對經濟的把握略多余物理，并且選擇第2個題目的人比較少，相對競爭壓力小，所以在第一天上午果斷選擇了《上海世博會影響力的定量評估》。

六、注意細節。細節不僅包括論文的格式，更重要的是內容上不能有硬傷。在遇到大家建模思路相同或類似的情況下，老師就會比較誰的細節處理的好，因此，不要忽視任何可能影響建模結果的細節。我們就是在答辯環節，老師直接挑出了一個致命的錯誤。

七、絕對自信。比賽結束之后，我們會發現：其實大家的建模能力相差無幾。從校級比賽到全國大賽，這么長的戰線，中途掉隊的不再少數。掉隊的原因很大一部分就來自不自信，總感覺自己“計不如人”。請在退卻的念頭萌生時，告誡自己：每一個堅持到最后的人都是成功者，每一個堅持到最后的團隊都是勝利的組織。一定要絕對的自信，不能讓自己如在EQ上。

現在我們回憶起暑期培訓的場景，仍然有種意猶未盡的感覺。指導組的老師每一個都認真負責，冒著酷暑、犧牲休息時間給我們上課；同學們個個激情四射，勤奮練習。培訓期間的每一天都是充實和幸福的。不過，我們在此想給老師說兩點改進辦法：

一、希望老師在每次模擬答辯之后，能抽出部分時間分析一下題目。我們每個隊的建模方法可能不同，請老師把比較好的建模方法及建模時的注意事項告訴我們。我們剛做過這個題目，此時的記憶比較深刻，效果會好一些吧。

二、希望老師把模擬題換成新題目，而不是歷年的真題。大家都有惰性，如果用歷年真題，我們很可能會上網直接搜答案，缺少自己的獨立思考環節，除了鍛煉了寫作模式，對建模本身提高不大。

希望我們的這些總結能對下一屆的“數模人”有所幫助。最后，請允許我們在此對建模指導組的所有老師們說一聲：老師，您辛苦了，謝謝您！