圓錐曲線與方程--橢圓

知識點

一．橢圓及其標準方程

1．橢圓的定義：平面內與兩定點F1，F2距離的和等于常數的點的軌跡叫做橢圓，即點集M={P|

|PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；

這里兩個定點F1，F2叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫橢圓的焦距2c。

（時為線段，無軌跡）。

2．標準方程：

①焦點在x軸上：（a＞b＞0）；

焦點F（±c，0）

②焦點在y軸上：（a＞b＞0）；

焦點F（0,±c）

注意：①在兩種標準方程中，總有a＞b＞0，并且橢圓的焦點總在長軸上；

②兩種標準方程可用一般形式表示：

或者

mx2+ny2=1

二．橢圓的簡單幾何性質：

1.范圍

（1）橢圓（a＞b＞0）

橫坐標-a≤x≤a,縱坐標-b≤x≤b

（2）橢圓（a＞b＞0）

橫坐標-b≤x≤b,縱坐標-a≤x≤a

2.對稱性

橢圓關于x軸y軸都是對稱的，這里，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心

3.頂點

（1）橢圓的頂點：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）

（2）線段A1A2，B1B2

分別叫做橢圓的長軸長等于2a，短軸長等于2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。

4．離心率

（1）我們把橢圓的焦距與長軸長的比，即稱為橢圓的離心率，記作e（），是圓；

e越接近于0

（e越小），橢圓就越接近于圓;

e越接近于1

（e越大），橢圓越扁；

注意：離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關，與其所處的位置無關。

小結一：基本元素

（1）基本量：a、b、c、e、（共四個量），特征三角形

（2）基本點：頂點、焦點、中心（共七個點）

（3）基本線：對稱軸（共兩條線）

5．橢圓的的內外部

（1）點在橢圓的內部.（2）點在橢圓的外部.6.幾何性質

（1）點P在橢圓上，最大角

（2）最大距離，最小距離

7.直線與橢圓的位置關系

（1）

位置關系的判定：聯立方程組求根的判別式；

（2）

弦長公式：

（3）

中點弦問題：韋達定理法、點差法

例題講解：

一.橢圓定義：

１．方程化簡的結果是

2．若的兩個頂點，的周長為，則頂點的軌跡方程是

3.已知橢圓=1上的一點P到橢圓一個焦點的距離為3,則P到另一焦點距離為

二．利用標準方程確定參數

1.若方程+=1（1）表示圓，則實數k的取值是

.（2）表示焦點在x軸上的橢圓，則實數k的取值范圍是

.（3）表示焦點在y型上的橢圓，則實數k的取值范圍是

.（4）表示橢圓，則實數k的取值范圍是

.2.橢圓的長軸長等于，短軸長等于,頂點坐標是,焦點的坐標是,焦距是，離心率等于,3．橢圓的焦距為，則=。

4．橢圓的一個焦點是，那么。

三．待定系數法求橢圓標準方程

1．若橢圓經過點，則該橢圓的標準方程為。

2．焦點在坐標軸上，且，的橢圓的標準方程為

3．焦點在軸上，橢圓的標準方程為

4.已知三點P（5，2）、（－6，0）、（6，0），求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程；

變式：求與橢圓共焦點，且過點的橢圓方程。

四．焦點三角形

1．橢圓的焦點為、，是橢圓過焦點的弦，則的周長是。

2．設，為橢圓的焦點，為橢圓上的任一點，則的周長是多少？的面積的最大值是多少？

3．設點是橢圓上的一點，是焦點，若是直角，則的面積為。

變式：已知橢圓，焦點為、，是橢圓上一點．　若，求的面積．

五．離心率的有關問題

1.橢圓的離心率為，則

2.從橢圓短軸的一個端點看長軸兩端點的視角為，則此橢圓的離心率為

3．橢圓的一焦點與短軸兩頂點組成一個等邊三角形，則橢圓的離心率為

4.設橢圓的兩個焦點分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率。

5.在中，．若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率

．

六、最值問題：

1、已知橢圓，A(1，0)，P為橢圓上任意一點，求|PA|的最大值

最小值。

2.橢圓兩焦點為F1、F2，點P在橢圓上，則|PF1|·|PF2|的最大值為_____，七、弦長、中點弦問題

1、已知橢圓及直線．

（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？

（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程．

2已知橢圓，(1)求過點（1,0）且被橢圓截得的弦長為的弦所在直線的方程

（2）求過點且被平分的弦所在直線的方程；

同步測試

1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，動點P滿足|PF1|+|PF2|=16，則點P的軌跡為（）

A

圓

B

橢圓

C線段

D

直線

2、橢圓左右焦點為F1、F2，CD為過F1的弦，則CDF1的周長為______

3已知方程表示橢圓，則k的取值范圍是（）

A

-1

B

k>0

C

k≥0

D

k>1或k<-14、求滿足以下條件的橢圓的標準方程

(1)長軸長為10，短軸長為6

(2)長軸是短軸的2倍，且過點(2，1)

(3)

經過點(5，1)，(3，2)

5.橢圓的左右焦點分別是F1、F2，過點F1作x軸的垂線交橢圓于P點。

若∠F1PF2=60°，則橢圓的離心率為_________

6已知橢圓的方程為，P點是橢圓上的點且,求的面積

7.若橢圓的短軸為AB，它的一個焦點為F1，則滿足△ABF1為等邊三角形的橢圓的離心率為

8.橢圓上的點P到它的左焦點的距離是12，那么點P到它的右焦點的距離是

9．已知橢圓的兩個焦點為、，且，弦AB過點，則△的周長

10、橢圓＋=1與橢圓＋=l(l>0)有

(A)相等的焦距

(B)相同的離心率

(C)相同的準線

(D)以上都不對

11、橢圓與（0

(A)相等的焦距

(B)相同的的焦點

(C)相同的準線

(D)有相等的長軸、短軸

12.點為橢圓上的動點,為橢圓的左、右焦點,則的最小值為__________,此時點的坐標為________________.感受高考

1．分別過橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點F1、F2作兩條互相垂直的直線l1、l2，它們的交點在橢圓的內部，則橢圓的離心率的取值范圍是()

A．(0,1)

B.C.D.2．橢圓＋＝1的焦點為F1、F2，橢圓上的點P滿足∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積是()

A.B.C.D.3．已知橢圓E的短軸長為6，焦點F到長軸的一個端點的距離等于9，則橢圓E的離心率等于()

4已知點F，A分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點、右頂點，B(0，b)滿足·＝0，則橢圓的離心率等于()

A.B.C.D.5．已知橢圓＋＝1的左右焦點分別為F1、F2，過F2且傾角為45°的直線l交橢圓于A、B兩點，以下結論中：①△ABF1的周長為8；②原點到l的距離為1；③|AB|＝；正確結論的個數為()

A．3

B．2

C．1

D．0

6．已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設A為圓上任一點，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是()

A．圓

B．橢圓

C．雙曲線

D．拋物線

7．過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個頂點作圓x2＋y2＝b2的兩條切線，切點分別為A，B，若∠AOB＝90°(O為坐標原點)，則橢圓C的離心率為________．

8若橢圓＋＝1(a>b>0)與曲線x2＋y2＝a2－b2無公共點，則橢圓的離心率e的取值范圍是________．

9．已知△ABC頂點A(－4,0)和C(4,0)，頂點B在橢圓＋＝1上，則＝________.10．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的長軸長為4.(1)若以原點為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y＝x＋2相切，求橢圓C的焦點坐標；

.11．橢圓E經過點A(2,3)，對稱軸為坐標軸，焦點F1，F2在x軸上，離心率e＝.(1)求橢圓E的方程；