第一篇：實(shí)驗(yàn)四數(shù)值微積分實(shí)驗(yàn)報告
數(shù)值微積分 實(shí)驗(yàn)報告 姓名：王旭
學(xué)號：AS1010131 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1.掌握各種復(fù)化求積公式，并利用它們求定積分； 2.掌握比較一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值方法； 3.通過用不同復(fù)化求積公式計算定積分，并與精確解得比較，明白各個復(fù)化求積公式的優(yōu)缺點(diǎn)。
二、
實(shí)驗(yàn)題目 1、、本 書本 118 頁 頁 5.1 單數(shù)題 ：
format long fun=inline(“2/(1-x^2)”)matrap(fun,2,3,10)
2、、本 書本 118 頁 頁 5.2 單數(shù)題：
：
fun=inline(“sin(x)/(x)”)masimp(fun,0,1,5)
2、比較一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值方法 利用等距節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值和端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，用不同的方法求下列函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，分析各種方法的有效性，并用繪圖軟件繪出函數(shù)的圖形，觀察其特點(diǎn)。
解：
對于方程3 5611201x x y ? ?，? ? 2 , 0 ? x，利用程序 shiyan2 2 _01.m
內(nèi)容如下：
clear
clc
fun=inline(“x.^5/20--(11./6)*x.^3”);
dfun=inline(“x.^4/4--(11./2)*x.^2”);
ddfun=inline(“x.^3--11*x”);
n=8;h=2/n;
x=0:h:2;x1=x(2:n);
y=feval(fun,x);
dy=feval(dfun,x1);
ddy=feval(ddfun,x1);
for i=2:n
dy1(i)=(y(i+1)--y(i))/h;
dy2(i)=(y(i)--y(i--1))/h;
dy3(i)=(y(i+1)--y(i--1))/(2*h);
ddy1(i)=(y(i+1)--2*y(i)+y(i--1))/(h *h);
end
for i=1:n--1 1
err1(i)=abs(dy1(i)--dy(i));
err2(i)=abs(dy2(i)--dy(i));
err3(i)=abs(dy3(i)--dy(i));
errd2(i)=abs(ddy1(i)--ddy(i));
end
[err1“ err2” err3“ errd2”]
plot(x,y,“r”)
hold on
plot(x1,dy,“y”)
plot(x1,ddy,“k”)
結(jié)果分析：
向前插商不能計算最后一個端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù), 向后插商不能計算第一個端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù), 中心插商和二階求導(dǎo)不能計算第一個和最后一個端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。
第二篇：電子商務(wù)實(shí)驗(yàn)報告實(shí)驗(yàn)四
實(shí)驗(yàn)四 手機(jī)銀行業(yè)務(wù)------招商銀行手機(jī)銀行業(yè)務(wù)及其
安全機(jī)制(選做)
一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>
1、掌握招商銀行手機(jī)銀行業(yè)務(wù)支付流程及相關(guān)概念；
2、了解招商銀行手機(jī)銀行業(yè)務(wù)的服務(wù)內(nèi)容；
3、理解招商銀行手機(jī)銀行業(yè)務(wù)的安全機(jī)制；
二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容
1．瀏覽招商銀行網(wǎng)站（http://www.tmdps.cn/）
2．了解招商銀行手機(jī)銀行業(yè)務(wù)
3．熟悉招商銀行手機(jī)銀行業(yè)務(wù)（http://mobile.cmbchina.com/MobileWeb）的電子支付流程及有關(guān)規(guī)定。瀏覽并理解招商銀行手機(jī)銀行業(yè)務(wù)的安全機(jī)制.先登錄再進(jìn)行各項(xiàng)業(yè)務(wù)的操作，并且記錄操作流程。
三、思考題：
1．思考網(wǎng)上手機(jī)銀行存在哪些安全問題？
手機(jī)銀行遇到的安全問題主要有兩個，一是手機(jī)遺失；二是手機(jī)遭黑客入侵。專家表示，若無動態(tài)密碼，若僅憑借賬號、賬戶的交易密碼和手機(jī)驗(yàn)證碼操作，手機(jī)一旦被盜竊或驗(yàn)證短信被復(fù)制、攔截，那么手機(jī)銀行的賬戶資金安全就會受到威脅。
2．你認(rèn)為影響用戶進(jìn)行手機(jī)支付的因素有哪些？
(1)大多數(shù)手機(jī)用戶都遭遇過垃圾信息(短信、彩信、電話)的騷擾。(2)機(jī)卡分離模式以及難以落實(shí)的手機(jī)實(shí)名制。
(3)手機(jī)支付在我國尚屬初級階段，運(yùn)營商與銀行兩套系統(tǒng)間的業(yè)務(wù)融合一時難以完成。(4)手機(jī)支付利益各方還未達(dá)成統(tǒng)一的結(jié)算標(biāo)準(zhǔn)。
(5)雖然從技術(shù)上已經(jīng)解決了手機(jī)支付的安全問題，但手機(jī)支付標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一仍需一段時間。(6)長期以來使用現(xiàn)金、銀行卡消費(fèi)已經(jīng)成為一種消費(fèi)習(xí)慣.
第三篇：清華大學(xué)數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報告
數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報告
一、實(shí)驗(yàn)3.1
題目：
考慮線性方程組，，編制一個能自動選取主元，又能手動選取主元的求解線性代數(shù)方程組的Gauss消去過程。
（1）取矩陣，則方程有解。取計算矩陣的條件數(shù)。分別用順序Gauss消元、列主元Gauss消元和完全選主元Gauss消元方法求解，結(jié)果如何？
（2）現(xiàn)選擇程序中手動選取主元的功能，每步消去過程都選取模最小或按模盡可能小的元素作為主元進(jìn)行消元，觀察并記錄計算結(jié)果，若每步消去過程總選取按模最大的元素作為主元，結(jié)果又如何？分析實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。
（3）取矩陣階數(shù)n=20或者更大，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)過程，觀察記錄并分析不同的問題及消去過程中選擇不同的主元時計算結(jié)果的差異，說明主元素的選取在消去過程中的作用。
（4）選取其他你感興趣的問題或者隨機(jī)生成的矩陣，計算其條件數(shù)，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)，觀察記錄并分析實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。
1.算法介紹
首先，分析各種算法消去過程的計算公式，順序高斯消去法：
第k步消去中，設(shè)增廣矩陣中的元素（若等于零則可以判定系數(shù)矩陣為奇異矩陣，停止計算），則對k行以下各行計算，分別用乘以增廣矩陣的第行并加到第行，則可將增廣矩陣中第列中以下的元素消為零；重復(fù)此方法，從第1步進(jìn)行到第n-1步，則可以得到最終的增廣矩陣，即；
列主元高斯消去法：
第k步消去中，在增廣矩陣中的子方陣中，選取使得，當(dāng)時，對中第行與第行交換，然后按照和順序消去法相同的步驟進(jìn)行。重復(fù)此方法，從第1步進(jìn)行第n-1步，就可以得到最終的增廣矩陣，即；
完全主元高斯消去法：
第k步消去中，在增廣矩陣中對應(yīng)的子方陣中，選取使得，若或，則對中第行與第行、第列與第列交換，然后按照和順序消去法相同的步驟進(jìn)行即可。重復(fù)此方法，從第1步進(jìn)行到第n-1步，就可以得到最終的增廣矩陣，即；
接下來，分析回代過程求解的公式，容易看出，對上述任一種消元法，均有以下計算公式：
2.實(shí)驗(yàn)程序的設(shè)計
一、輸入實(shí)驗(yàn)要求及初始條件；
二、計算系數(shù)矩陣A的條件數(shù)及方程組的理論解；
三、對各不同方法編程計算，并輸出最終計算結(jié)果。
3.計算結(jié)果及分析
（1）
先計算系數(shù)矩陣的條件數(shù)，結(jié)果如下，可知系數(shù)矩陣的條件數(shù)較大，故此問題屬于病態(tài)問題，b或A的擾動都可能引起解的較大誤差；
采用順序高斯消去法，計算結(jié)果為：
最終解為x=(1.***,1.***,1.***,1.***,0.***,1.***,0.***,1.***,0.***,1.***)T
使用無窮范數(shù)衡量誤差，得到=2.842***1e-14，可以發(fā)現(xiàn)，采用順序高斯消元法求得的解與精確解之間誤差較小。通過進(jìn)一步觀察，可以發(fā)現(xiàn)，按照順序高斯消去法計算時，其選取的主元值和矩陣中其他元素大小相近，因此順序高斯消去法方式并沒有對結(jié)果造成特別大的影響。
若采用列主元高斯消元法，則結(jié)果為：
最終解為x=(1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***)T
同樣使用無窮范數(shù)衡量誤差，有=0；
若使用完全主元高斯消元法，則結(jié)果為
最終解x=(1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***,1.***)T
同樣使用無窮范數(shù)衡量誤差，有=0；
（2）
若每步都選取模最小或盡可能小的元素為主元，則計算結(jié)果為
最終解x=(1.***
1.***
1.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***)T
使用無窮范數(shù)衡量誤差，有為2.842***1e-14；而完全主元消去法的誤差為=0。
從（1）和（2）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，列主元消去法和完全主元消去法都得到了精確解，而順序高斯消去法和以模盡量小的元素為主元的消去法沒有得到精確解。在后兩種消去法中，由于程序計算時的舍入誤差，對最終結(jié)果產(chǎn)生了一定的影響，但由于方程組的維度較低，并且元素之間相差不大，所以誤差仍比較小。
為進(jìn)一步分析，計算上述4種方法每步選取的主元數(shù)值，并列表進(jìn)行比較，結(jié)果如下：
第n次消元
順序
列主元
完全主元
模最小
6.***
6.***
4.***
4.***
4.***
4.***
4.***3333
4.***3333
4.***
4.***
4.***
4.***
4.0***063
4.0***063
4.***
4.***
4.0039***
4.0039***
4.***
0.0***469
0.0***469
4.***
從上表可以發(fā)現(xiàn)，對這個方程組而言，順序高斯消去選取的主元恰好事模盡量小的元素，而由于列主元和完全主元選取的元素為8，與4在數(shù)量級上差別小，所以計算過程中的累積誤差也較小，最終4種方法的輸出結(jié)果均較為精確。
在這里，具體解釋一下順序法與模最小法的計算結(jié)果完全一致的原因。該矩陣在消元過程中，每次選取主元的一列只有兩個非零元素，對角線上的元素為4左右，而其正下方的元素為8，該列其余位置的元素均為0。在這樣的情況下，默認(rèn)的主元也就是該列最小的主元，因此兩種方法所得到的計算結(jié)果是一致的。
理論上說，完全高斯消去法的誤差最小，其次是列主元高斯消去法，而選取模最小的元素作為主元時的誤差最大，但是由于方程組的特殊性（元素相差不大并且維度不高），這個理論現(xiàn)象在這里并沒有充分體現(xiàn)出來。
（3）
時，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)過程，各種方法的計算結(jié)果如下所示，在這里，仍采用無窮范數(shù)衡量絕對誤差。
順序高斯消去法
列主元高斯消去
完全主元高斯消去
選取模最小或盡可能小元素作為主元消去
X
1.***
1.***
1.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
1.***
1.***
1.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
2.***e-11
0
0
2.***e-11
可以看出，此時列主元和完全主元的計算結(jié)果仍為精確值，而順序高斯消去和模盡可能小方法仍然產(chǎn)生了一定的誤差，并且兩者的誤差一致。與n=10時候的誤差比相比，n=20時的誤差增長了大約1000倍，這是由于計算過程中舍入誤差的不斷累積所致。所以，如果進(jìn)一步增加矩陣的維數(shù)，應(yīng)該可以看出更明顯的現(xiàn)象。
（4）
不同矩陣維度下的誤差如下，在這里，為方便起見，選取2-條件數(shù)對不同維度的系數(shù)矩陣進(jìn)行比較。
維度
條件數(shù)
順序消去
列主元
完全主元
模盡量小
1.7e+3
2.84e-14
0
0
2.84e-14
1.8e+6
2.91e-11
0
0
2.91e-11
5.7e+7
9.31e-10
0
0
9.31e-10
1.8e+9
2.98e-08
0
0
2.98e-08
1.9e+12
3.05e-05
0
0
3.05e-05
3.8e+16
3.28e+04
3.88e-12
3.88e-12
3.28e+04
8.5e+16
3.52e+13
4.2e-3
4.2e-3
3.52e+13
從上表可以看出，隨著維度的增加，不同方法對計算誤差的影響逐漸體現(xiàn)，并且增長較快，這是由于舍入誤差逐步累計而造成的。不過，方法二與方法三在維度小于40的情況下都得到了精確解，這兩種方法的累計誤差遠(yuǎn)比方法一和方法四慢；同樣地，出于與前面相同的原因，方法一與方法四的計算結(jié)果保持一致，方法二與方法三的計算結(jié)果保持一致。
4.結(jié)論
本文矩陣中的元素差別不大，模最大和模最小的元素并沒有數(shù)量級上的差異，因此，不同的主元選取方式對計算結(jié)果的影響在維度較低的情況下并不明顯，四種方法都足夠精確。
對比四種方法，可以發(fā)現(xiàn)采用列主元高斯消去或者完全主元高斯消去法，可以盡量抑制誤差，算法最為精確。不過，對于低階的矩陣來說，四種方法求解出來的結(jié)果誤差均較小。
另外，由于完全選主元方法在選主元的過程中計算量較大，而且可以發(fā)現(xiàn)列主元法已經(jīng)可以達(dá)到很高的精確程度，因而在實(shí)際計算中可以選用列主元法進(jìn)行計算。
附錄：程序代碼
clear
clc;
format
long;
%方法選擇
n=input(＇矩陣A階數(shù):n=＇);
disp(＇選取求解方式＇);
disp(＇1
順序Gauss消元法，2
列主元Gauss消元法，3
完全選主元Gauss消元法，4
模最小或近可能小的元素作為主元＇);
a=input(＇求解方式序號：＇);
%賦值A(chǔ)和b
A=zeros(n,n);
b=zeros(n,1);
for
i=1:n
A(i,i)=6;
if
i>1
A(i,i-1)=8;
end
if
i A(i,i+1)=1; end end for i=1:n for j=1:n b(i)=b(i)+A(i,j); end end disp(＇給定系數(shù)矩陣為：＇); A disp(＇右端向量為：＇); b %求條件數(shù)及理論解 disp(＇線性方程組的精確解：＇); X=(A＼b)＇ fprintf(＇矩陣A的1-條件數(shù): %f ＼n＇,cond(A,1)); fprintf(＇矩陣A的2-條件數(shù): %f ＼n＇,cond(A)); fprintf(＇矩陣A的無窮-條件數(shù): %f ＼n＇,cond(A,inf)); %順序Gauss消元法 if a==1 A1=A;b1=b; for k=1:n if A1(k,k)==0 disp(＇主元為零，順序Gauss消元法無法進(jìn)行＇); break end fprintf(＇第%d次消元所選取的主元：%g＼n＇,k,A1(k,k)) %disp(＇此次消元后系數(shù)矩陣為：＇); %A1 for p=k+1:n l=A1(p,k)/A1(k,k); A1(p,k:n)=A1(p,k:n)-l*A1(k,k:n); b1(p)=b1(p)-l*b1(k); end end x1(n)=b1(n)/A1(n,n); for k=n-1:-1:1 for w=k+1:n b1(k)=b1(k)-A1(k,w)*x1(w); end x1(k)=b1(k)/A1(k,k); end disp(＇順序Gauss消元法解為:＇); disp(x1); disp(＇所求解與精確解之差的無窮-范數(shù)為＇); norm(x1-X,inf) end %列主元Gauss消元法 if a==2 A2=A;b2=b; for k=1:n [max_i,max_j]=find(A2(:,k)==max(abs(A2(k:n,k)))); if max_i~=k A2_change=A2(k,:); A2(k,:)=A2(max_i,:); A2(max_i,:)=A2_change; b2_change=b2(k); b2(k)=b2(max_i); b2(max_i)=b2_change; end if A2(k,k)==0 disp(＇主元為零，列主元Gauss消元法無法進(jìn)行＇); break end fprintf(＇第%d次消元所選取的主元：%g＼n＇,k,A2(k,k)) %disp(＇此次消元后系數(shù)矩陣為：＇); %A2 for p=k+1:n l=A2(p,k)/A2(k,k); A2(p,k:n)=A2(p,k:n)-l*A2(k,k:n); b2(p)=b2(p)-l*b2(k); end end x2(n)=b2(n)/A2(n,n); for k=n-1:-1:1 for w=k+1:n b2(k)=b2(k)-A2(k,w)*x2(w); end x2(k)=b2(k)/A2(k,k); end disp(＇列主元Gauss消元法解為:＇); disp(x2); disp(＇所求解與精確解之差的無窮-范數(shù)為＇); norm(x2-X,inf) end %完全選主元Gauss消元法 if a==3 A3=A;b3=b; for k=1:n VV=eye(n); [max_i,max_j]=find(A3(k:n,k:n)==max(max(abs(A3(k:n,k:n))))); if numel(max_i)==0 [max_i,max_j]=find(A3(k:n,k:n)==-max(max(abs(A3(k:n,k:n))))); end W=eye(n); W(max_i(1)+k-1,max_i(1)+k-1)=0; W(k,k)=0; W(max_i(1)+k-1,k)=1; W(k,max_i(1)+k-1)=1; V=eye(n); V(k,k)=0; V(max_j(1)+k-1,max_j(1)+k-1)=0; V(k,max_j(1)+k-1)=1; V(max_j(1)+k-1,k)=1; A3=W*A3*V; b3=W*b3; VV=VV*V; if A3(k,k)==0 disp(＇主元為零，完全選主元Gauss消元法無法進(jìn)行＇); break end fprintf(＇第%d次消元所選取的主元：%g＼n＇,k,A3(k,k)) %disp(＇此次消元后系數(shù)矩陣為：＇); %A3 for p=k+1:n l=A3(p,k)/A3(k,k); A3(p,k:n)=A3(p,k:n)-l*A3(k,k:n); b3(p)=b3(p)-l*b3(k); end end x3(n)=b3(n)/A3(n,n); for k=n-1:-1:1 for w=k+1:n b3(k)=b3(k)-A3(k,w)*x3(w); end x3(k)=b3(k)/A3(k,k); end disp(＇完全選主元Gauss消元法解為:＇); disp(x3); disp(＇所求解與精確解之差的無窮-范數(shù)為＇); norm(x3-X,inf) end %模最小或近可能小的元素作為主元 if a==4 A4=A;b4=b; for k=1:n AA=A4; AA(AA==0)=NaN; [min_i,j]=find(AA(k:n,k)==min(abs(AA(k:n,k)))); if numel(min_i)==0 [min_i,j]=find(AA(k:n,k)==-min(abs(AA(k:n,k:n)))); end W=eye(n); W(min_i(1)+k-1,min_i(1)+k-1)=0; W(k,k)=0; W(min_i(1)+k-1,k)=1; W(k,min_i(1)+k-1)=1; A4=W*A4; b4=W*b4; if A4(k,k)==0 disp(＇主元為零，模最小Gauss消元法無法進(jìn)行＇); break end fprintf(＇第%d次消元所選取的主元：%g＼n＇,k,A4(k,k)) %A4 for p=k+1:n l=A4(p,k)/A4(k,k); A4(p,k:n)=A4(p,k:n)-l*A4(k,k:n); b4(p)=b4(p)-l*b4(k); end end x4(n)=b4(n)/A4(n,n); for k=n-1:-1:1 for w=k+1:n b4(k)=b4(k)-A4(k,w)*x4(w); end x4(k)=b4(k)/A4(k,k); end disp(＇模最小Gauss消元法解為:＇); disp(x4); disp(＇所求解與精確解之差的無窮-范數(shù)為＇); norm(x4-X,inf) end 二、實(shí)驗(yàn)3.3 題目： 考慮方程組的解，其中系數(shù)矩陣H為Hilbert矩陣： 這是一個著名的病態(tài)問題。通過首先給定解（例如取為各個分量均為1）再計算出右端的辦法給出確定的問題。 （1）選擇問題的維數(shù)為6，分別用Gauss消去法（即LU分解）、J迭代法、GS迭代法和SOR迭代法求解方程組，其各自的結(jié)果如何？將計算結(jié)果與問題的解比較，結(jié)論如何。 （2）逐步增大問題的維數(shù)，仍用上述的方法來解它們，計算的結(jié)果如何？計算的結(jié)果說明的什么？ （3）討論病態(tài)問題求解的算法。 1.算法設(shè)計 對任意線性方程組，分析各種方法的計算公式如下，（1）Gauss消去法： 首先對系數(shù)矩陣進(jìn)行LU分解，有，則原方程轉(zhuǎn)化為，令，則原方程可以分為兩步回代求解： 具體方法這里不再贅述。 （2）J迭代法： 首先分解，再構(gòu)造迭代矩陣，其中，進(jìn)行迭代計算，直到誤差滿足要求。 （3）GS迭代法： 首先分解，再構(gòu)造迭代矩陣，其中，進(jìn)行迭代計算，直到誤差滿足要求。 （4）SOR迭代法： 首先分解，再構(gòu)造迭代矩陣，其中，進(jìn)行迭代計算，直到誤差滿足要求。 2.實(shí)驗(yàn)過程 一、根據(jù)維度n確定矩陣H的各個元素和b的各個分量值； 二、選擇計算方法（Gauss消去法，J迭代法，GS迭代法，SOR迭代法），對迭代法設(shè)定初值，此外SOR方法還需要設(shè)定松弛因子； 三、進(jìn)行計算，直至滿足誤差要求（對迭代法，設(shè)定相鄰兩次迭代結(jié)果之差的無窮范數(shù)小于0.0001；
3.計算結(jié)果及分析
（1）時，問題可以具體定義為
計算結(jié)果如下，Gauss消去法
第1次消元所選取的主元是：1
第2次消元所選取的主元是：0.0833333
第3次消元所選取的主元是：0.00555556
第4次消元所選取的主元是：0.000357143
第5次消元所選取的主元是：2.26757e-05
第6次消元所選取的主元是：1.43155e-06
解得X=(0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***)T
使用無窮范數(shù)衡量誤差，可得=4.***e-10；
J迭代法
設(shè)定迭代初值為零，計算得到
J法的迭代矩陣B的譜半徑為4.30853＞1，所以J法不收斂；
GS迭代法
設(shè)定迭代初值為零，計算得到GS法的迭代矩陣G的譜半徑為：0.999998＜1，故GS法收斂，經(jīng)過541次迭代計算后，結(jié)果為X=(1.001***6
0.***
0.***
1.***
1.***
0.***)T
使用無窮范數(shù)衡量誤差，有=0.***；
SOR迭代法
設(shè)定迭代初值為零向量，并設(shè)定，計算得到SOR法迭代矩陣譜半徑為0.***，經(jīng)過100次迭代后的計算結(jié)果為
X=(1.***
0.***
1.03***59
1.06***81
1.***
0.9***527)T；
使用無窮范數(shù)衡量誤差，有=0.***；
對SOR方法，可變，改變值，計算結(jié)果可以列表如下
迭代次數(shù)
迭代矩陣的譜半徑
0.***
0.***
0.***
0.***
X
1.***
0.***
1.01***40
1.***
1.0***681
0.***
1.***
0.***
1.***
1.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
1.***
0.***
0.***
1.05***66
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
0.***
0.***
0.***
0.***
可以發(fā)現(xiàn)，松弛因子的取值對迭代速度造成了不同的影響，上述四種方法中，松弛因子=0.5時，收斂相對較快。
綜上，四種算法的結(jié)果列表如下：
算法
Gauss消去法
Jacobi法
GS法
SOR法（取）
迭代次數(shù)
--
不收斂
541
迭代矩陣的譜半徑
--
4.30853
0.999998
0.***
X
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
--
1.001***6
0.***
0.***
1.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.03***59
1.06***81
1.***
0.9***527
4.***e-10
--
0.***
0.***
計算可得，矩陣H的條件數(shù)為>>1，所以這是一個病態(tài)問題。由上表可以看出，四種方法的求解都存在一定的誤差。下面分析誤差的來源：
LU分解方法的誤差存在主要是由于Hilbert矩陣各元素由分?jǐn)?shù)形式轉(zhuǎn)換為小數(shù)形式時，不能除盡情況下會出現(xiàn)舍入誤差，在進(jìn)行LU分解時也存在這個問題，所以最后得到的結(jié)果不是方程的精確解，但結(jié)果顯示該方法的誤差非常小；
Jacobi迭代矩陣的譜半徑為4.30853，故此迭代法不收斂；
GS迭代法在迭代次數(shù)為541次時得到了方程的近似解，其誤差約為0.05，比較大。GS迭代矩陣的譜半徑為0.999998，很接近1，所以GS迭代法收斂速度較慢；
SOR迭代法在迭代次數(shù)為100次時誤差約為0.08，誤差較大。SOR迭代矩陣的譜半徑為0.999999，也很接近1，所以時SOR迭代法收斂速度不是很快，但是相比于GS法，在迭代速度方面已經(jīng)有了明顯的提高；另外，對不同的，SOR方法的迭代速度會相應(yīng)有變化，如果選用最佳松弛因子，可以實(shí)現(xiàn)更快的收斂；
（2）
考慮不同維度的情況，時，算法
Gauss消去
J法
GS法
SOR法（w=0.5）
計算結(jié)果
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
--
0.***
1.***
0.***
1.***
1.***
1.***
0.9968***
0.***
1.***
0.9397***
0.***
1.***
1.***
1.***
0.***
0.***
迭代次數(shù)
--
--
356
譜半徑
--
6.04213
0.***
--
時，算法
Gauss消去法
Jacobi法
GS法
SOR法（w=0.5）
計算結(jié)果
0.***
1.***
0.***
1.000***1
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
1.***
0.***
--
0.***
1.***
0.***
0.***
0.***
1.02***91
1.***
1.***
1.***
0.***
0.947***7
1.0***572
0.***
0.***
0.***
1.***
1.***
1.***
1.***
0.***
0.***
0.***
迭代次數(shù)
--
--
1019
譜半徑
--
8.64964
0.***
--
時
算法
Gauss消去法
Jacobi法
GS法
SOR法（w=0.5）
計算結(jié)果
0.***
1.***
0.***
0.***
1.***
0.***
2.***
-2.***
7.***
-7.***
7.***
-1.***
0.***
1.***
0.***
--
不收斂
1.***
1.***
0.907***9
0.***
0.***
1.***
1.09***64
1.***
1.***
1.***
1.0385***
0.***
0.942***3
0.***
0.***
迭代次數(shù)
--
--
262
譜半徑
--
6.04213
＞1
1.***
8.***
--
--
0.***
分析以上結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，隨著n值的增加，Gauss消去法誤差逐漸增大，而且誤差增大的速度很快，在維數(shù)小于等于10情況下，Gauss消去法得到的結(jié)果誤差較小；但當(dāng)維數(shù)達(dá)到15時，計算結(jié)果誤差已經(jīng)達(dá)到精確解的很多倍；
J法迭代不收斂，無論n如何取值，其譜半徑始終大于1，因而J法不收斂，所以J迭代法不能用于Hilbert矩陣的求解；
對于GS迭代法和SOR迭代法，兩種方法均收斂，GS迭代法是SOR迭代法松弛因子取值為1的特例，SOR方法受到取值的影響，會有不同的收斂情況。可以得出GS迭代矩陣的譜半徑小于1但是很接近1，收斂速度很慢。雖然隨著維數(shù)的增大，所需迭代的次數(shù)逐漸減少，但是當(dāng)維數(shù)達(dá)到15的時候，GS法已經(jīng)不再收斂。因此可以得出結(jié)論，GS迭代方法在Hilbert矩陣維數(shù)較低時，能夠在一定程度上滿足迭代求解的需求，不過迭代的速度很慢。另外，隨著矩陣維數(shù)的增加，SOR法的誤差水平基本穩(wěn)定，而且誤差在可以接受的范圍之內(nèi)。
經(jīng)過比較可以得出結(jié)論，如果求解較低維度的Hibert矩陣問題，Gauss消去法、GS迭代法和SOR迭代法均可使用，且Gauss消去法的結(jié)果精確度較高；如果需要求解較高維度的Hibert矩陣問題，只有采用SOR迭代法。
（3）
系數(shù)矩陣的條件數(shù)較大時，為病態(tài)方程。由實(shí)驗(yàn)可知，Gauss法在解上述方程時，結(jié)果存在很大的誤差。而對于收斂的迭代法，可以通過選取最優(yōu)松弛因子的方法來求解，雖然迭代次數(shù)相對較多，但是結(jié)果較為精確。
總體來看，對于一般病態(tài)方程組的求解，可以采用以下方式：
1.低維度下采用Gauss消去法直接求解是可行的；
Jacobi迭代方法不適宜于求解病態(tài)問題；
GS迭代方法可以解決維數(shù)較低的病態(tài)問題，但其譜半徑非常趨近于1，導(dǎo)致迭代算法收斂速度很慢，維數(shù)較大的時候，GS法也不再收斂；
SOR方法較適合于求解病態(tài)問題，特別是矩陣維數(shù)較高的時候，其優(yōu)勢更為明顯。
2.采用高精度的運(yùn)算，如選用雙倍或更多倍字長的運(yùn)算，可以提高收斂速度；
3.可以對原方程組作某些預(yù)處理，從而有效降低系數(shù)矩陣的條件數(shù)。
4.實(shí)驗(yàn)結(jié)論
（1）對Hibert矩陣問題，其條件數(shù)會隨著維度的增加迅速增加，病態(tài)性會越來越明顯；在維度較低的時候，Gauss消去法、GS迭代法和SOR迭代法均可使用，且可以優(yōu)先使用Gauss消去法；如果需要求解較高維度的Hibert矩陣問題，只有SOR迭代法能夠求解。
（2）SOR方法比較適合于求解病態(tài)問題，特別是矩陣維數(shù)較高的時候，其優(yōu)點(diǎn)更為明顯。從本次實(shí)驗(yàn)可以看出，隨著矩陣維數(shù)的增大，SOR方法所需的迭代次數(shù)減少，而且誤差基本穩(wěn)定，是解決病態(tài)問題的適宜方法。
附錄：程序代碼
clear
all
clc;
format
long;
%矩陣賦值
n=input(＇矩陣H的階數(shù):n=＇);
for
i=1:n
for
j=1:n
H(i,j)=1/(i+j-1);
end
end
b=H*ones(n,1);
disp(＇H矩陣為：＇);
H
disp(＇向量b：＇);
b
%方法選擇
disp(＇選取求解方式＇);
disp(＇1
Gauss消去法，2
J迭代法，3
GS迭代法，4
SOR迭代法＇);
a=input(＇求解方式序號：＇);
%Gauss消去法
if
a==1;
H1=H;b1=b;
for
k=1:n
if
H1(k,k)==0
disp(＇主元為零，Gauss消去法無法進(jìn)行＇);
break
end
fprintf(＇第%d次消元所選取的主元是：%g＼n＇,k,H1(k,k))
for
p=k+1:n
m5=-H1(p,k)/H1(k,k);
H1(p,k:n)=H1(p,k:n)+m5*H1(k,k:n);
b1(p)=b1(p)+m5*b1(k);
end
end
x1(n)=b1(n)/H1(n,n);
for
k=n-1:-1:1
for
v=k+1:n
b1(k)=b1(k)-H1(k,v)*x1(v);
end
x1(k)=b1(k)/H1(k,k);
end
disp(＇Gauss消去法解為:＇);
disp(x1);
disp(＇解與精確解之差的無窮范數(shù)＇);
norm((x1-a),inf)
end
D=diag(diag(H));
L=-tril(H,-1);
U=-triu(H,1);
%J迭代法
if
a==2;
%給定初始x0
ini=input(＇初始值設(shè)定:x0=＇);
x0(:,1)=ini*diag(ones(n));
disp(＇初始解向量為:＇);
x0
xj(:,1)=x0(:,1);
B=(D^(-1))*(L+U);
f=(D^(-1))*b;
fprintf(＇(J法B矩陣譜半徑為：%g＼n＇,vrho(B));
if
vrho(B)<1;
for
m2=1:5000
xj(:,m2+1)=B*xj(:,m2)+fj;
if
norm((xj(:,m2+1)-xj(:,m2)),inf)<0.0001
break
end
end
disp(＇J法計算結(jié)果為:＇);
xj(:,m2+1)
disp(＇解與精確解之差的無窮范數(shù)＇);
norm((xj(:,m2+1)-diag(ones(n))),inf)
disp(＇J迭代法迭代次數(shù):＇);
m2
else
disp(＇由于B矩陣譜半徑大于1，因而J法不收斂＇);
end
end
%GS迭代法
if
a==3;
%給定初始x0
ini=input(＇初始值設(shè)定:x0=＇);
x0(:,1)=ini*diag(ones(n));
disp(＇初始解向量為:＇);
x0
xG(:,1)=x0(:,1);
G=inv(D-L)*U;
fG=inv(D-L)*b;
fprintf(＇GS法G矩陣譜半徑為：%g＼n＇,vrho(G));
if
vrho(G)<1
for
m3=1:5000
xG(:,m3+1)=G*xG(:,m3)+fG;
if
norm((xG(:,m3+1)-xG(:,m3)),inf)<0.0001
break;
end
end
disp(＇GS迭代法計算結(jié)果:＇);
xG(:,m3+1)
disp(＇解與精確解之差的無窮范數(shù)＇);
norm((xG(:,m3+1)-diag(ones(n))),inf)
disp(＇GS迭代法迭代次數(shù):＇);
m3
else
disp(＇由于G矩陣譜半徑大于1，因而GS法不收斂＇);
end
end
%SOR迭代法
if
a==4;
%給定初始x0
ini=input(＇初始值設(shè)定:x0=＇);
x0(:,1)=ini*diag(ones(n));
disp(＇初始解向量為:＇);
x0
A=H;
for
i=1:n
b(i)=sum(A(i,:));
end
x_star=ones(n,1);
format
long
w=input(＇松弛因子:w=＇);
Lw=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U);
f=w*inv(D-w*L)*b;
disp(＇迭代矩陣的譜半徑：＇)
p=vrho(Lw)
time_max=100;%迭代次數(shù)
x=zeros(n,1);%迭代初值
for
i=1:time_max
x=Lw*x+f;
end
disp(＇SOR迭代法得到的解為＇);
x
disp(＇解與精確解之差的無窮范數(shù)＇);
norm((x_star-x),inf)
end
pause
三、實(shí)驗(yàn)4.1
題目：
對牛頓法和擬牛頓法。進(jìn)行非線性方程組的數(shù)值求解
（1）用上述兩種方法，分別計算下面的兩個例子。在達(dá)到精度相同的前提下，比較其迭代次數(shù)、CPU時間等。
（2）取其他初值，結(jié)果又如何？反復(fù)選取不同的初值，比較其結(jié)果。
（3）總結(jié)歸納你的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，試說明各種方法適用的問題。
1.算法設(shè)計
對需要求解的非線性方程組而言，牛頓法和擬牛頓法的迭代公式如下，（1）牛頓法：
牛頓法為單步迭代法，需要取一個初值。
（2）擬牛頓法：（Broyden秩1法）
其中，擬牛頓法不需要求解的導(dǎo)數(shù)，因此節(jié)省了大量的運(yùn)算時間，但需要給定矩陣的初值，取為。
2.實(shí)驗(yàn)過程
一、輸入初值；
二、根據(jù)誤差要求，按公式進(jìn)行迭代計算；
三、輸出數(shù)據(jù)；
3.計算結(jié)果及分析
（1）首先求解方程組（1），在這里，設(shè)定精度要求為，方法
牛頓法
擬牛頓法
初始值
計算結(jié)果X
x1
0.***
0.***
x2
1.***
1.0852***
x3
0.***
0.***
迭代次數(shù)
CPU計算時間/s
3.777815
2.739349
可以看出，在初始值相同情況下，牛頓法和擬牛頓法在達(dá)到同樣計算精度情況下得到的結(jié)果基本相同，但牛頓法的迭代次數(shù)明顯要少一些，但是，由于每次迭代都需要求解矩陣的逆，所以牛頓法每次迭代的CPU計算時間更長。
之后求解方程組（2），同樣設(shè)定精度要求為
方法
牛頓法
擬牛頓法
初始值
計算結(jié)果X
x1
0.***
0.***
x2
0.***
0.***
x3
-0.***
-0.***
迭代次數(shù)
CPU計算時間/s
2.722437
3.920195
同樣地，可以看出，在初始值相同情況下，牛頓法和擬牛頓法在達(dá)到同樣計算精度情況下得到的結(jié)果是基本相同的，但牛頓法的迭代次數(shù)明顯要少，但同樣的，由于每次迭代中有求解矩陣的逆的運(yùn)算，牛頓法每次迭代的CPU計算時間較長。
（2）對方程組（1），取其他初值，計算結(jié)果列表如下，同樣設(shè)定精度要求為
初始值
方法
牛頓法
擬牛頓法
計算結(jié)果
0.***
1.***
0.***
9.21***94
-5.***
18.1***205
迭代次數(shù)
CPU計算時間/s
3.907164
4.818019
計算結(jié)果
0.***
1.***
0.***
9.21***91
-5.***
18.1***807
迭代次數(shù)
2735
CPU計算時間/s
8.127286
5.626023
計算結(jié)果
0.***
1.***
0.***
0.***
1.0852***
0.***
迭代次數(shù)
CPU計算時間/s
3.777815
2.739349
計算結(jié)果
0.***
1.***
0.***
0.***
1.***
0.***
迭代次數(shù)
188
CPU計算時間/s
3.835697
2.879070
計算結(jié)果
9.21***22
-5.***
18.1***605
Matlab警告矩陣接近奇異值，程序進(jìn)入長期循環(huán)計算中
迭代次數(shù)
--
CPU計算時間/s
4.033868
--
計算結(jié)果
0.***
1.***
0.***
Matlab警告矩陣接近奇異值，程序進(jìn)入長期循環(huán)計算中
迭代次數(shù)
--
CPU計算時間/s
12.243263
--
從上表可以發(fā)現(xiàn)，方程組（1）存在另一個在(9.2,-5.6,18.1)T附近的不動點(diǎn)，初值的選取會直接影響到牛頓法和擬牛頓法最后的收斂點(diǎn)。
總的來說，設(shè)定的初值離不動點(diǎn)越遠(yuǎn)，需要的迭代次數(shù)越多，因而初始值的選取非常重要，合適的初值可以更快地收斂，如果初始值偏離精確解較遠(yuǎn)，會出現(xiàn)迭代次數(shù)增加直至無法收斂的情況；
由于擬牛頓法是一種近似方法，擬牛頓法需要的的迭代次數(shù)明顯更多，而且收斂情況不如牛頓法好（初值不夠接近時，甚至?xí)霈F(xiàn)奇異矩陣的情況），但由于牛頓法的求解比較復(fù)雜，計算時間較長；
同樣的，對方程組（2），取其他初值，計算結(jié)果列表如下，同樣設(shè)定精度要求為
初始值
方法
牛頓法
擬牛頓法
計算結(jié)果
0.***
0.***
-0.***
0.***
0.***
-0.***
迭代次數(shù)
CPU計算時間/s
2.722437
3.920195
計算結(jié)果
0.***
0.***
-0.***
0.***
-0.***
76.***
迭代次數(shù)
CPU計算時間/s
5.047111
5.619752
計算結(jié)果
0.***
0.***
-0.***
1.0e+02
*
-0.***
-0.000***6
1.754***3
迭代次數(shù)
CPU計算時間/s
3.540668
3.387829
計算結(jié)果
0.***
0.***
-0.***
1.0e+04
*
0.***
-0.***
1.***
迭代次數(shù)
CPU計算時間/s
2.200571
2.640901
計算結(jié)果
0.***
0.***
-0.***
矩陣為奇異值，無法輸出準(zhǔn)確結(jié)果
迭代次數(shù)
--
CPU計算時間/s
1.719072
--
計算結(jié)果
0.***
0.***
-0.***
矩陣為奇異值，無法輸出準(zhǔn)確結(jié)果
迭代次數(shù)
149
--
CPU計算時間/s
2.797116
--
計算結(jié)果
矩陣為奇異值，無法輸出準(zhǔn)確結(jié)果
矩陣為奇異值，無法輸出準(zhǔn)確結(jié)果
迭代次數(shù)
--
--
CPU計算時間/s
--
--
在這里，與前文類似的發(fā)現(xiàn)不再贅述。
從這里看出，牛頓法可以在更大的區(qū)間上實(shí)現(xiàn)壓縮映射原理，可以在更大的范圍上選取初值并最終收斂到精確解附近；
在初始值較接近于不動點(diǎn)時，牛頓法和擬牛頓法計算所得到的結(jié)果是基本相同的，雖然迭代次數(shù)有所差別，但計算總的所需時間相近。
（3）
牛頓法在迭代過程中用到了矩陣的求逆，其迭代收斂的充分條件是迭代滿足區(qū)間上的映內(nèi)性，對于矩陣的求逆過程比較簡單，所以在較大區(qū)間內(nèi)滿足映內(nèi)性的問題適合應(yīng)用牛頓法進(jìn)行計算。一般而言，對于函數(shù)單調(diào)或者具有單值特性的函數(shù)適合應(yīng)用牛頓法，其對初始值敏感程度較低，算法具有很好的收斂性。
另外，需要說明的是，每次計算給出的CPU時間與計算機(jī)當(dāng)時的運(yùn)行狀態(tài)有關(guān)，同時，不同代碼的運(yùn)行時間也不一定一致，所以這個數(shù)據(jù)并不具有很大的參考價值。
4.實(shí)驗(yàn)結(jié)論
對牛頓法和擬牛頓法，都存在初始值越接近精確解，所需的迭代次數(shù)越小的現(xiàn)象；
在應(yīng)用上，牛頓法和擬牛頓法各有優(yōu)勢。就迭代次數(shù)來說，牛頓法由于更加精確，所需的迭代次數(shù)更少；但就單次迭代來說，牛頓法由于計算步驟更多，且計算更加復(fù)雜，因而每次迭代所需的時間更長，而擬牛頓法由于采用了簡化的近似公式，其每次迭代更加迅速。當(dāng)非線性方程組求逆過程比較簡單時，如方程組1的情況時，擬牛頓法不具有明顯的優(yōu)勢；而當(dāng)非線性方程組求逆過程比較復(fù)雜時，如方程組2的情況，擬牛頓法就可以體現(xiàn)出優(yōu)勢，雖然循環(huán)次數(shù)有所增加，但是CPU耗時反而更少。
另外，就方程組壓縮映射區(qū)間來說，一般而言，對于在區(qū)間內(nèi)函數(shù)呈現(xiàn)單調(diào)或者具有單值特性的函數(shù)適合應(yīng)用牛頓法，其對初始值敏感程度較低，使算法具有很好的收斂性；而擬牛頓法由于不需要在迭代過程中對矩陣求逆，而是利用差商替代了對矩陣的求導(dǎo)，所以即使初始誤差較大時，其倒數(shù)矩陣與差商偏差也較小，所以對初始值的敏感程度較小。
附錄：程序代碼
%方程1，牛頓法
tic;
format
long;
%%初值
disp(＇請輸入初值＇);
a=input(＇第1個分量為：＇);
b=input(＇第2個分量為：＇);
c=input(＇第3個分量為：＇);
disp(＇所選定初值為＇);
x=[a;b;c]
%%誤差要求
E=0.0001;
%%迭代
i=0;
e=2*E;
while
e>E
F=[12*x(1)-x(2)^2-4*x(3)-7;x(1)^2+10*x(2)-x(3)-11;x(2)^3+10*x(3)-8];
f=[12,-2*x(2),-4;2*x(1),10,-1;0,3*x(2)^2,10];
det_x=((f)^(-1))*(-F);
x=x+det_x;
e=max(norm(det_x));
i=i+1;
end
disp(＇迭代次數(shù)＇);
i
disp(＇迭代次數(shù)＇);
x
toc;
%方程1，擬牛頓法
tic;
format
long;
%%初值
%%初值
disp(＇請輸入初值＇);
a=input(＇第1個分量為：＇);
b=input(＇第2個分量為：＇);
c=input(＇第3個分量為：＇);
disp(＇所選定初值為＇);
x0=[a;b;c]
%%誤差要求
E=0.0001;
%%迭代
i=0;
e=2*E;
A0=eye(3);
while
e>E
F0=[12*x0(1)-x0(2)^2-4*x0(3)-7;x0(1)^2+10*x0(2)-x0(3)-11;x0(2)^3+10*x0(3)-8];
x1=x0-A0^(-1)*F0;
s=x1-x0;
F1=[12*x1(1)-x1(2)^2-4*x1(3)-7;x1(1)^2+10*x1(2)-x1(3)-11;x1(2)^3+10*x1(3)-8];
y=F1-F0;
A1=A0+(y-A0*s)*s＇/(s＇*s);
x0=x1;
A0=A1;
e=max(norm(s));
i=i+1;
end
disp(＇迭代次數(shù)＇);
i
disp(＇迭代次數(shù)＇);
x0
toc;
%方程2，牛頓法
tic;
format
long;
%%初值
disp(＇請輸入初值＇);
a=input(＇第1個分量為：＇);
b=input(＇第2個分量為：＇);
c=input(＇第3個分量為：＇);
disp(＇所選定初值為＇);
x=[a;b;c]
%%誤差要求
E=0.0001;
%%迭代
i=0;
e=2*E;
while
e>E
F=[3*x(1)-cos(x(2)*x(3))-0.5;x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06;exp(1)^(-x(1)*x(2))+20*x(3)+(10*pi-3)/3];
f=[3,x(3)*sin(x(2)*x(3)),x(2)*sin(x(2)*x(3));2*x(1),-162*x(2)-81/5,cos(x(3));-x(2)*exp(1)^(-x(1)*x(2)),-x(1)*exp(1)^(-x(1)*x(2)),20];
det_x=((f)^(-1))*(-F);
x=x+det_x;
e=max(norm(det_x));
i=i+1;
end
disp(＇迭代次數(shù)＇);
i
disp(＇迭代次數(shù)＇);
x
toc;
%方程2，擬牛頓法
tic;
format
long;
%%初值
%%初值
disp(＇請輸入初值＇);
a=input(＇第1個分量為：＇);
b=input(＇第2個分量為：＇);
c=input(＇第3個分量為：＇);
disp(＇所選定初值為＇);
x0=[a;b;c]
%%誤差要求
E=0.0001;
%%迭代
i=0;
e=2*E;
A0=eye(3);
while
e>E
F0=[3*x0(1)-cos(x0(2)*x0(3))-0.5;x0(1)^2-81*(x0(2)+0.1)^2+sin(x0(3))+1.06;exp(1)^(-x0(1)*x0(2))+20*x0(3)+(10*pi-3)/3];
x1=x0-A0^(-1)*F0;
s=x1-x0;
F1=[3*x1(1)-cos(x1(2)*x1(3))-0.5;x1(1)^2-81*(x1(2)+0.1)^2+sin(x1(3))+1.06;exp(1)^(-x1(1)*x1(2))+20*x1(3)+(10*pi-3)/3];
y=F1-F0;
A1=A0+(y-A0*s)*s＇/(s＇*s);
x0=x1;
A0=A1;
e=max(norm(s));
i=i+1;
end
disp(＇迭代次數(shù)＇);
i
disp(＇迭代次數(shù)＇);
x0
toc;
第四篇：實(shí)驗(yàn)四、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)驗(yàn)報告
實(shí)驗(yàn)
四、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>
通過計算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)并驗(yàn)證RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的曲線擬合及模式分類能力。
二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容
1）用Matlab實(shí)現(xiàn)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并對給定的曲線樣本集實(shí)現(xiàn)擬合； 2）通過改變實(shí)驗(yàn)參數(shù)，觀察和分析影響RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果與收斂速度的因素；
三、實(shí)驗(yàn)原理、方法和手段
RBF網(wǎng)絡(luò)能夠逼近任意的非線性函數(shù)，可以處理系統(tǒng)內(nèi)的難以解析的規(guī)律性，具有良好的泛化能力，并有很快的學(xué)習(xí)收斂速度，已成功應(yīng)用于非線性函數(shù)逼近、時間序列分析、數(shù)據(jù)分類、模式識別、信息處理、圖像處理、系統(tǒng)建模、控制和故障診斷等。
簡單說明一下為什么RBF網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)收斂得比較快。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的一個或多個可調(diào)參數(shù)（權(quán)值或閾值）對任何一個輸出都有影響時，這樣的網(wǎng)絡(luò)稱為全局逼近網(wǎng)絡(luò)。由于對于每次輸入，網(wǎng)絡(luò)上的每一個權(quán)值都要調(diào)整，從而導(dǎo)致全局逼近網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)速度很慢。BP網(wǎng)絡(luò)就是一個典型的例子。
如果對于輸入空間的某個局部區(qū)域只有少數(shù)幾個連接權(quán)值影響輸出，則該網(wǎng)絡(luò)稱為局部逼近網(wǎng)絡(luò)。常見的局部逼近網(wǎng)絡(luò)有RBF網(wǎng)絡(luò)、小腦模型（CMAC）網(wǎng)絡(luò)、B樣條網(wǎng)絡(luò)等。
徑向基函數(shù)解決插值問題
完全內(nèi)插法要求插值函數(shù)經(jīng)過每個樣本點(diǎn)，即有P個。
RBF的方法是要選擇P個基函數(shù)，每個基函數(shù)對應(yīng)一個訓(xùn)練數(shù)據(jù)，各基函數(shù)形式為，由于距離是徑向同性的，因此稱為徑向基函數(shù)。
。樣本點(diǎn)總共||X-Xp||表示差向量的模，或者叫2范數(shù)。
基于為徑向基函數(shù)的插值函數(shù)為：
輸入X是個m維的向量，樣本容量為P，P>m。可以看到輸入數(shù)據(jù)點(diǎn)Xp是徑向基函數(shù)φp的中心。
隱藏層的作用是把向量從低維m映射到高維P，低維線性不可分的情況到高維就線性可分了。
將插值條件代入：
寫成向量的形式為維度無關(guān)，當(dāng)Φ可逆時，有，顯然Φ是個規(guī)模這P對稱矩陣，且與X的。
對于一大類函數(shù)，當(dāng)輸入的X各不相同時，Φ就是可逆的。下面的幾個函數(shù)就屬于這“一大類”函數(shù)：
1）Gauss（高斯）函數(shù)
2）Reflected Sigmoidal（反常S型）函數(shù)
3）Inverse multiquadrics（擬多二次）函數(shù)
σ稱為徑向基函數(shù)的擴(kuò)展常數(shù)，它反應(yīng)了函數(shù)圖像的寬度，σ越小，寬度越窄，函數(shù)越具有選擇性。
完全內(nèi)插存在一些問題：
1）插值曲面必須經(jīng)過所有樣本點(diǎn)，當(dāng)樣本中包含噪聲時，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將擬合出一個錯誤的曲面，從而使泛化能力下降。
由于輸入樣本中包含噪聲，所以我們可以設(shè)計隱藏層大小為K，K
2）基函數(shù)個數(shù)等于訓(xùn)練樣本數(shù)目，當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物理過程中固有的自由度時，問題就稱為超定的，插值矩陣求逆時可能導(dǎo)致不穩(wěn)定。
擬合函數(shù)F的重建問題滿足以下3個條件時，稱問題為適定的： 解的存在性 解的唯一性 解的連續(xù)性
不適定問題大量存在，為解決這個問題，就引入了正則化理論。正則化理論
正則化的基本思想是通過加入一個含有解的先驗(yàn)知識的約束來控制映射函數(shù)的光滑性，這樣相似的輸入就對應(yīng)著相似的輸出。
尋找逼近函數(shù)F(x)通過最小化下面的目標(biāo)函數(shù)來實(shí)現(xiàn)：
加式的第一項(xiàng)好理解，這是均方誤差，尋找最優(yōu)的逼近函數(shù)，自然要使均方誤差最小。第二項(xiàng)是用來控制逼近函數(shù)光滑程度的，稱為正則化項(xiàng)，λ
是正則化參數(shù)，D是一個線性微分算子，代表了對F(x)的先驗(yàn)知識。曲率過大（光滑度過低）的F(x)通常具有較大的||DF||值，因此將受到較大的懲罰。
直接給出(1)式的解：
權(quán)向量
(2)G(X,Xp)稱為Green函數(shù)，G稱為Green矩陣。Green函數(shù)與算子D的形式有關(guān)，當(dāng)D具有旋轉(zhuǎn)不變性和平移不變性時，類Green函數(shù)的一個重要例子是多元Gauss函數(shù)：
。這
正則化RBF網(wǎng)絡(luò)
輸入樣本有P個時，隱藏層神經(jīng)元數(shù)目為P，且第p個神經(jīng)元采用的變換函數(shù)為G(X,Xp)，它們相同的擴(kuò)展常數(shù)σ。輸出層神經(jīng)元直接把凈輸入作為輸出。輸入層到隱藏層的權(quán)值全設(shè)為1,隱藏層到輸出層的權(quán)值是需要訓(xùn)練得到的：逐一輸入所有的樣本，計算隱藏層上所有的Green函數(shù)，根據(jù)(2)式計算權(quán)值。廣義RBF網(wǎng)絡(luò)
Cover定理指出：將復(fù)雜的模式分類問題非線性地映射到高維空間將比投影到低維空間更可能線性可分。
廣義RBF網(wǎng)絡(luò)：從輸入層到隱藏層相當(dāng)于是把低維空間的數(shù)據(jù)映射到高維空間，輸入層細(xì)胞個數(shù)為樣本的維度，所以隱藏層細(xì)胞個數(shù)一定要比輸入層細(xì)胞個數(shù)多。從隱藏層到輸出層是對高維空間的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性分類的過程，可以采用單層感知器常用的那些學(xué)習(xí)規(guī)則，參見神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)和感知器。
注意廣義RBF網(wǎng)絡(luò)只要求隱藏層神經(jīng)元個數(shù)大于輸入層神經(jīng)元個數(shù)，并沒有要求等于輸入樣本個數(shù)，實(shí)際上它比樣本數(shù)目要少得多。因?yàn)樵跇?biāo)準(zhǔn)RBF網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)樣本數(shù)目很大時，就需要很多基函數(shù)，權(quán)值矩陣就會很大，計算復(fù)雜且容易產(chǎn)生病態(tài)問題。另外廣RBF網(wǎng)與傳統(tǒng)RBF網(wǎng)相比，還有以下不同：
徑向基函數(shù)的中心不再限制在輸入數(shù)據(jù)點(diǎn)上，而由訓(xùn)練算法確定。各徑向基函數(shù)的擴(kuò)展常數(shù)不再統(tǒng)一，而由訓(xùn)練算法確定。
輸出函數(shù)的線性變換中包含閾值參數(shù)，用于補(bǔ)償基函數(shù)在樣本集上的平均值與目標(biāo)值之間的差別。
因此廣義RBF網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計包括： 結(jié)構(gòu)設(shè)計--隱藏層含有幾個節(jié)點(diǎn)合適
參數(shù)設(shè)計--各基函數(shù)的數(shù)據(jù)中心及擴(kuò)展常數(shù)、輸出節(jié)點(diǎn)的權(quán)值。下面給出計算數(shù)據(jù)中心的兩種方法：
數(shù)據(jù)中心從樣本中選取。樣本密集的地方多采集一些。各基函數(shù)采用統(tǒng)一的偏擴(kuò)展常數(shù)：
dmax是所選數(shù)據(jù)中心之間的最大距離，M是數(shù)據(jù)中心的個數(shù)。擴(kuò)展常數(shù)這么計算是為了避免徑向基函數(shù)太尖或太平。
自組織選擇法，比如對樣本進(jìn)行聚類、梯度訓(xùn)練法、資源分配網(wǎng)絡(luò)等。各聚類中心確定以后，根據(jù)各中心之間的距離確定對應(yīng)徑向基函數(shù)的擴(kuò)展常數(shù)。
λ是重疊系數(shù)。
接下來求權(quán)值W時就不能再用行數(shù)大于列數(shù)，此時可以求Φ偽逆。
了，因?yàn)閷τ趶V義RBF網(wǎng)絡(luò)，其
數(shù)據(jù)中心的監(jiān)督學(xué)習(xí)算法
最一般的情況，RBF函數(shù)中心、擴(kuò)展常數(shù)、輸出權(quán)值都應(yīng)該采用監(jiān)督學(xué)習(xí)算法進(jìn)行訓(xùn)練，經(jīng)歷一個誤差修正學(xué)習(xí)的過程，與BP網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)原理一樣。同樣采用梯度下降法，定義目標(biāo)函數(shù)為
ei為輸入第i個樣本時的誤差信號。
上式的輸出函數(shù)中忽略了閾值。
為使目標(biāo)函數(shù)最小化，各參數(shù)的修正量應(yīng)與其負(fù)梯度成正比，即
具體計算式為
上述目標(biāo)函數(shù)是所有訓(xùn)練樣本引起的誤差總和，導(dǎo)出的參數(shù)修正公式是一種批處理式調(diào)整，即所有樣本輸入一輪后調(diào)整一次。目標(biāo)函數(shù)也可以為瞬時值形式，即當(dāng)前輸入引起的誤差
此時參數(shù)的修正值為：
四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果
RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)用于線性回歸，用exp（PI*0.1）作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，然后輸入的測試數(shù)是exp（PI*0.1），其實(shí)際的輸出結(jié)果與預(yù)測的輸出結(jié)果完全一致，預(yù)測效果很好，其圖如下圖所示。
RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)用于分類，其實(shí)際的輸出結(jié)果與預(yù)測的輸出結(jié)果如下圖所示。
第五篇：實(shí)驗(yàn)四 存儲器部件實(shí)驗(yàn)報告
實(shí)驗(yàn)四 存儲器部件實(shí)驗(yàn)
班級：通信111班 學(xué)號：201110324119 姓名：邵懷慷 成績：
一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>
1、熟悉ROM芯片和RAM芯片在功能和使用方法等方面的相同和差異之處；學(xué)習(xí)用編程器設(shè)備向EEPROM芯片內(nèi)寫入一批數(shù)據(jù)的過程和方法。
2、理解并熟悉通過字、位擴(kuò)展技術(shù)實(shí)現(xiàn)擴(kuò)展存儲器系統(tǒng)容量的方案。
3、了解靜態(tài)存儲器系統(tǒng)使用的各種控制信號之間正常的時序關(guān)系。
4、了解如何通過讀、寫存儲器的指令實(shí)現(xiàn)對58C65 ROM芯片的讀、寫操作。
5、加深理解存儲器部件在計算機(jī)整機(jī)系統(tǒng)中的作用。
二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容
1、要完成存儲器容量擴(kuò)展的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，需為擴(kuò)展存儲器選擇一個地址，并注意讀寫和OE等控制信號的正確狀態(tài)。
2、用監(jiān)控程序的D、E命令對存儲器進(jìn)行讀寫，比較RAM（6116）、EEPROM（28系列芯片）、EPROM（27系列芯片）在讀寫上的異同。
3、用監(jiān)控程序的A命令編寫一段程序，對RAM（6116）進(jìn)行讀寫，用D命令查看結(jié)果是否正確。
4、用監(jiān)控程序的A命令編寫一段程序，對擴(kuò)展存儲器EEPROM（28 系列芯片）進(jìn)行讀寫，用D命令查看結(jié)果是否正確；如不正確，分析原因，改寫程序，重新運(yùn)行。
三、實(shí)驗(yàn)步驟
1、檢查擴(kuò)展芯片插座的下方的插針要按下列要求短接：標(biāo)有“/MWR”“RD”的插針左邊兩個短接，標(biāo)有“/MRD”“GND”的插針右邊兩個短接。
2、RAM（6116）支持即時讀寫，可直接用A、E 命令向擴(kuò)展的存儲器輸入程序或改變內(nèi)存單元的值。
(1)用E命令改變內(nèi)存單元的值并用D命令觀察結(jié)果。
1)在命令行提示符狀態(tài)下輸入：
E 2020↙
屏幕將顯示： 2020 內(nèi)存單元原值:
按如下形式鍵入：
2020 原值：2222（空格）原值：3333（空格）原值：4444（空格）原值：5555 ↙（1）結(jié)果
2)在命令行提示符狀態(tài)下輸入：
D 2020↙
屏幕將顯示從2020內(nèi)存單元開始的值，其中2020H~2023H的值為：
2222 3333 4444 5555
問題：斷電后重新啟動教學(xué)實(shí)驗(yàn)機(jī)，用D命令觀察內(nèi)存單元2020~2023 的值。會發(fā)現(xiàn)
什么問題，為什么？
答：斷電結(jié)果：
斷電后重新啟動教學(xué)實(shí)驗(yàn)機(jī)，用D命令觀察內(nèi)存單位2020~2023的值。會發(fā)現(xiàn)原來置入到這幾個內(nèi)存單位的值已經(jīng)改變，用戶在使用RAM時，必須每次斷電重啟后豆芽平重新輸入程序或修改內(nèi)存單位的值。(2)用A 命令輸入一段程序，執(zhí)行并觀察結(jié)果。
在命令行提示符狀態(tài)下輸入：
A 2000↙
屏幕將顯示： 2000：
按如下形式鍵入：
2000： MVRD R0，AAAA
MVRD R1，5555
AND R0，R1
RET
問題：采用單步和連續(xù)兩種方式執(zhí)行這段程序，察看結(jié)果，斷電后發(fā)生什么情況？ 答：輸出結(jié)果
分析：從采用但不和連續(xù)兩種方式執(zhí)行這段程序，察看結(jié)果，斷電后發(fā)生什么情況R1的數(shù)據(jù)改變了。
3、將擴(kuò)展的ROM芯片（27或28系列或28的替代產(chǎn)品58C65芯片）插入標(biāo)有“EXTROMH”和“EXTROML”的自鎖緊插座，要注意芯片插入的方向，帶有半圓形缺口的一方朝左插入。如果芯片插入方向不對，會導(dǎo)致芯片燒毀。然后鎖緊插座。
4、將擴(kuò)展的ROM 芯片（27或28系列或28的替代產(chǎn)品58C65芯片）插入標(biāo)有“EXTROMH”和“EXTROML”的插座，要注意芯片插入的方向，帶有半圓形缺口的一方朝左插入。如果芯 片插入方向不對，會導(dǎo)致芯片燒毀。然后鎖緊插座。
5、將擴(kuò)展芯片下方的插針按下列方式短接：將標(biāo)有“/MWR”“ PGM”和“RD”的三個插針左面兩個短接，將標(biāo)有“/MWR”“/OE”“GND”的三個插針左邊兩個短接。
6、將擴(kuò)展芯片上方標(biāo)有EXTROMH和EXTROML的“/CS”信號用自鎖緊線短接，然后短接到MEMDC 138 芯片的上方的標(biāo)有“4000－5fff”地址單元。
注意：標(biāo)有/CS 的圓孔針與標(biāo)有MEM/CS 的一排圓孔針中的任意一個都可以用導(dǎo)線相連；連接的地址范圍是多少，用戶可用的地址空間就是多少。
下面以2764A 為例，進(jìn)行擴(kuò)展EPROM 實(shí)驗(yàn)。
7、EPROM 是紫外線可擦除的電可改寫的只讀存儲器芯片。在對EPROM 進(jìn)行重寫前必須先擦除并判斷芯片是否為空，再通過編程器進(jìn)行編程。
(1)將芯片0000~001F 的內(nèi)存單元的值置成01 02 03 04 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 0D 0E 0F 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F(2)將編程好的芯片插在擴(kuò)展芯片的高位，低位不插，按上面的提示插好插針。問題：
(1)用D命令查看內(nèi)存單元0000~001F的值，結(jié)果是什么？
(2)用E命令向芯片的內(nèi)存單元置入數(shù)值，再用D命令察看，原來的值是否發(fā)生改變？(3)用A命令向芯片所在的地址鍵入程序，用U命令反匯編，發(fā)現(xiàn)什么？為什么會出現(xiàn)這種
情況？
(4)將教學(xué)機(jī)斷電后重啟，用D命令看內(nèi)存單元0000~001F的內(nèi)容，數(shù)值是否發(fā)生變化？ 下面以AT28C64B（或其替代產(chǎn)品58C65 芯片）為例，進(jìn)行擴(kuò)展EEPROM實(shí)驗(yàn)。
8、AT28C64B的讀操作和一般的RAM一樣，而其寫操作，需要一定的時間，大約為1 毫秒。因此，需要編寫一延遲子程序，在對EEPROM進(jìn)行寫操作時，調(diào)用該子程序，以完成正確的讀寫。(1)用E 命令改變內(nèi)存單元的值并用D命令觀察結(jié)果。1)在命令行提示符狀態(tài)下輸入： E 5000↙
屏幕將顯示： 5000 內(nèi)存單元原值： 按如下形式鍵入：
5000 原值：2424（按空格）原值：3636（按空格）原值：4848（按空格）原值：5050↙ 2)在命令行提示符狀態(tài)下輸入： D 5000↙
屏幕將顯示5000H~507FH 內(nèi)存單元的值，從5000 開始的連續(xù)四個內(nèi)存單元的值依次 為2424 3636 4848 5050。
3)斷電后重新啟動，用D命令察看內(nèi)存單元5000~5003的值，會發(fā)現(xiàn)這幾個單元的值沒有發(fā)生改變，說明EEPROM的內(nèi)容斷電后可保存。輸出結(jié)果：
分析：從輸出的結(jié)果來看斷電后重新啟動，用D命令察看內(nèi)存單位500~5003的值，會發(fā)現(xiàn)這幾個單位的值沒有發(fā)生改變，說明EEPROM的內(nèi)容斷電后可保存。
(2)AT28C64B存儲器不能直接用A 命令輸入程序，單字節(jié)的指令可能會寫進(jìn)去，雙字節(jié)指令的低位會出錯（建議試一試），可將編寫好的程序用編程器寫入片內(nèi)；也可將程序放到RAM（6116）中，調(diào)用延時子程序，訪問AT28C64B 中的內(nèi)存地址。
下面給出的程序，在5000H~500FH 單元中依次寫入數(shù)據(jù)0000H、0001H、...000FH。從2000H單元開始輸入主程序：（2000）MVRD R0，0000 MVRD R2，0010 ；R2記錄循環(huán)次數(shù)
MVRD R3，5000 ；R3的內(nèi)容為16 位內(nèi)存地址
（2006）STRR [R3]，R0 ；將R0寄存器的內(nèi)容放到R3 給出的內(nèi)存單元中
CALA 2200 ；調(diào)用程序地址為2200的延時子程序 INC R0 ；R0加1 INC R3 ；R3加1 DEC R2 ；R2減1 JRNZ 2006 ；R2不為0跳轉(zhuǎn)到2006H RET 從2200H 單元開始輸入延時子程序：（2200）PUSH R3 MVRD R3，F(xiàn)FFF（2203）DEC R3 JRNZ 2203 POP R3 RET 運(yùn)行主程序，在命令提示符下輸入：G 2000↙。輸出結(jié)果：
注意：運(yùn)行G命令的時候，必須要將將標(biāo)有“/MWR”“/OE”“GND”的三個插針右邊兩個短接。程序執(zhí)行結(jié)束后，在命令提示符下輸入：D 5000↙； 可看到從5000H開始的內(nèi)存單元的值變?yōu)?5000：0000 0001 0002 0003 0004 0005 0006 0007 5008：0008 0009 000A 000B 000C 000D 000E 000F。
四、思考題
1)為何能用E 命令直接寫AT28C64B的存儲單元，而A命令則有時不正確；
答：E命令是儲存寄存器指令A(yù)時監(jiān)控器指令，而E直接多個程序?qū)懭階T28C64B的存儲單元，寫入的速度快，A命令只能是一次寫入執(zhí)行一條程序，是延遲指令、所以用E命令直接寫A。T28C64B的存儲單元，而A命令則有時不正確。
2)修改延時子程序，將其延時改短，可將延時子程序中R3的內(nèi)容賦成00FF或0FFF等，再看運(yùn)行結(jié)果。
五、實(shí)驗(yàn)心得與體會
通過本次試驗(yàn)的難度在于怎樣弄清楚ROM芯片和RAM芯片在功能和使用方法等方面的同和差異之處：學(xué)習(xí)編程器設(shè)備向EEPROM芯片內(nèi)寫入一批數(shù)據(jù)的過程跟方法的工作原理，我在我預(yù)習(xí)做試驗(yàn)的時候，閱讀到計算機(jī)存儲器系統(tǒng)由ROM和RAM兩個存儲區(qū)組成，分別由EPROM芯片（或EEPROM芯片）和RAM芯片構(gòu)成。TEC-XP教學(xué)極端及中還了另外幾個存儲器器件插座，可以插上相應(yīng)儲存器芯片成存儲器容量擴(kuò)展的教學(xué)實(shí)驗(yàn)，為此必須比較清楚的了解：是我們做實(shí)驗(yàn)的一大難點(diǎn)，同時也是我們計算機(jī)組成原理 的重點(diǎn)。同時在做實(shí)驗(yàn)的時候也遇到一些相應(yīng)的疑問，RAM和EPROM、EEPROM存儲器芯片在讀寫控制跟寫入時間等方面的同異之處，并正確建立連接關(guān)系和在過程中完成正確的讀寫過程。
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