第一篇：數列的實際應用

一、基本概念：

1、數列的定義及表示方法：

2、數列的項與項數：

3、有窮數列與無窮數列：

4、遞增（減）、擺動、循環數列：

5、數列{an}的通項公式an：

6、數列的前n項和公式Sn:

7、等差數列、公差d、等差數列的結構：

8、等比數列、公比q、等比數列的結構：

9、無窮遞縮等比數列的意義及公比q的取值范圍：

二、基本公式：

?S1(n?1)

12、一般數列的通項an與前n項和Sn的關系：an=? S?S(n?2)n?1?n13、等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)dan=ak+(n-k)d(其中a1為首項、ak為已知的第k項)當d≠0時，an是關于n的一次式；當d=0時，an是一個常數。

14、等差數列的前n項和公式：Sn=na1?n(a1?an)n(n?1)n(n?1)dSn=dSn=nan?222當d≠0時，Sn是關于n的二次式且常數項為0；當d=0時（a1≠0），Sn=na1是關于n的正比例式。

15、等差數列的通項an與前n項和Sn的關系：an=

16、等差中項公式：A=S2n?1 2n?1a?b（有唯一的值）

217、等比數列的通項公式： an= a1 qn-1an= ak qn-k(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)

18、等比數列的前n項和公式：當q=1時，Sn=n a1(是關于n的正比例式)；

a?anqa1(1?qn)當q≠1時，Sn=Sn=1 1?q1?q19、等比中項公式：G=?ab（ab>0，有兩個值）

三、有關等差、等比數列的結論

23、等差數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4mS3m、??仍為等比數列。

25、兩個等差數列{an}與{bn}的和差的數列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數列。

26、兩個等比數列{an}與{bn}的積、商、倒數的數列{an?bn}、??an??1??、??仍為等比數列。

?bn??bn?

27、等差數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。

28、等比數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。

29、三個數成等差的設法：a-d,a,a+d；四個數成等差的設法：a-3d,a-d，a+d,a+3d30、三個數成等比的設法：a/q,a,aq；四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3(為什么？)

31、{an}為等差數列，則c??(c>0)是等比數列。an32、{bn}（bn>0）是等比數列，則{logcbn}(c>0且c?1)是等差數列。

四、其他方法

33、拆項法求數列的和，如an=2n+3n34、錯位相減法求和，如an=(2n-1)2n35、分裂項法求和，如an=1/n(n+1)

n36、反序相加法求和，如an=nC10037、求數列{an}的最大、最小項的方法：

??0??1an?19n(n?1)??2????1(an>0)如an=①an+1-an=????0如an=-2n+29n-3②nan10??1??0??

③ an=f(n)研究函數f(n)的增減性 如an=

n n2?156

“數列的實際應用”專題講練

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.1.某商品價格前兩年每年遞增20％,后兩年每年遞減20％,這四年后的價格與原來的價格相比較,變化的情況是()

A.不增不減B.約增1.4％C.約減9.2％D.約減8％

2.一個工廠的產值平均每月增長率為m,則在一年中十二月份產值比一月份產值增長的百分數是()

A.mB.(1+m)11－1C.12mD.(1+m)1

23.計算機的成本不斷降低,若每隔5年計算機的價格低1/3,現在價格5400元的計算機經過15年的價格為

()

A.200元B.600元C.1600元D.2400元

4.某商品降價10％后,要恢復原價,則應由現價提價()

1A.10％B.9％C.11％D.11％ 9

5.某種細菌在培養過程中每20分鐘分裂一次(一次分裂兩個)，經過3個小時，這種細菌由1個可以繁殖為()

A．511個B．512個C．1023個D．1024個

6.某企業在今年初貸款a萬元，年利率為r(計算復利)，從今年末開始，每年末償還一定金額，預計5年內還清，則每年應償還的金額(萬元)為()

ar(1?r)5ar(1?r)5ara(1?r)

5A．B．C．D．(1?r)5?1(1?r)5(1?r)5?1(1?r)4?

1二、解答題：本題要求寫出解答過程和演算、證明步驟。

7.有200根相同的圓鋼，將其中一些堆放成橫截面為正三角形的垛，要求剩下的盡可能的少，這時剩余的圓鋼有多少根？

8.從盛滿a升(a>1)純酒精的容器里倒出一升酒精,然后用水填滿后攪勻,再倒出一升混合溶液后再用水填滿,如此繼續進行下去.(1)每次用水填滿后的酒精濃度是否依次成等差數列或等比數列?試證明你的結論.(2)若a =2,至少倒幾次后(每次倒過后都用水加滿攪勻)才能使酒精濃度低于10％?

9.已知某市1993年底人口為100萬,人均住房面積為5平方米,如果該市每年人口平均增長率為2％,到2000年底該市人均住房面積要達到8平方米, 那么每年平均新建住房面積約為多少萬平方米?(查表計算.精確到0.01萬平方米)

10.資料表明,2000年我國荒漠化土地占國土陸地總面積960萬平方公里的17％,近二十年來,我國荒漠化土地每年以2460平方公里的速度擴展,若這二十年間我國治理荒漠化土地的面積占前一年荒漠化土地面積的1％,試問:二十年前我國荒漠化土地的面積有多少平方公里?

(精確到1平方公里.lg0.99?1.9956,lg0.8166?1.912)

11.資料表明,2000年我國工業廢棄垃圾達7.4×108噸,共占地740平方公里.若環保部門每回收或處理一噸廢舊物資,則相當于處理和減少了4噸工業廢棄垃圾.設環保部門2001年共回收處理了10噸廢舊物資,且以后每年的回收量遞增20％.(1)2005年能回收多少噸廢舊物資?(2)從2001年到2005年底可節約多少平方公里土地?(精確到1平方公里)

12.某林場有荒山3250畝，從2001年開始，每年春季在荒山上植樹造林，第一年植樹100畝，計劃以后每一年比上一年多植樹50畝（假定全部成活）.(1)在哪一年可將荒山全部綠化?(2)已知新植樹苗每畝木材量2m3,樹木每年的自然增長率為10％,設荒山全部綠化后的那年木材總量為S,求S的最簡表達式,并估算約為多少立方米(精確到1萬立方米)?

??

13.在一容器內裝有濃度為r％的溶液a升,注入濃度為p％的溶液11a升,攪勻后再倒出溶液a升,這叫一4

4次操作.設第n次操作后容器內溶液濃度為xn(每次注入溶液的濃度都是p％).(1)計算x1 ,x2 , x3;(2)推證xn的公式.14.某單位用分期付款的方式為職工購買40套住房,共需1150萬元.購買當天先付150萬元,以后每月這一天都交付50萬元,并加付欠款利息,月利率1％.(1)若交付150萬元后的第一個月算開始分期付款的第一個月,問分期付款的第十個月應該付多少錢?(2)全部款項付清后,買這40套住房實際花了多少錢?

15.學校食堂定期從某糧店以每噸1500元的價格購買大米,每次購進大米需支付勞務費100元,已知食堂每天需用大米1噸,貯存大米的費用為每噸每天2元,假定食堂每次均在用完大米的當天購買.該食堂每隔多少天購買一次大米,能使平均每天支付的費用最少?

16.某企業向銀行貸款2000萬元投入一項生產設施的建設,年利率為8％(不計復利),期限10年.預計該設施建設時間為2年,建成投產后的八年內第一年可獲利400萬元,以后每年都比上一年增加利潤5％.試問:該企業用這項設施產生的利潤能否如期還清貸款本息?說明理由.17.容器A中盛有12％的食鹽水300克,容器B中盛有6％的食鹽水300克,從A、B中分別取出100克食鹽水,將A中取出的倒入B中, 將B中取出的倒入A中,這樣進行一次,叫做一次“操作”.(1)操作一次后,A、B中含食鹽各多少克?(2)操作n次后, A、B中含食鹽的濃度分別為an％和bn％,證明an+bn為定值.并求an和bn.18.某醫院用100萬元購進一臺醫療儀器,該儀器第n年保養、維修費為an?1.4?0.2(n-1)萬元(n∈N),第n-1n年管理、操作人員的工資費用為bn?5(1?5％)萬元(n∈N).平均每年有1000人次病員用該儀器作檢

查.如果計劃20年收回全部投資(購機、維修、工資等),問每次檢查至少應收多少元?(精確到1元.當0?x?0.05時,可用(1?x)n?1?nx?n(n?1)2x計算)2

第二篇：心理學實際應用

1、有效利用

在宿舍樓的后面，停放著一部爛汽車，大院里的孩子們每當晚上7點時，便攀上車廂蹦跳，嘭嘭之聲震耳欲聾，大人們越管，眾孩童蹦得越歡，見者無奈。這天，一個人對孩子們說：“小朋友們，今**們比賽，蹦得最響的獎玩具手槍一支。”眾童嗚呼雀躍，爭相蹦跳，優者果然得獎。次日，這位朋友又來到車前，說：“今天繼續比賽，獎品為兩粒奶糖。”眾童見獎品直線下跌，紛紛不悅，無人賣力蹦跳，聲音疏稀而弱小。第三天，朋友又對孩子們言：“今日獎品為花生米二粒。”眾童紛紛跳下汽車，皆說：“不蹦了，不蹦了，真沒意思，回家看電視了。”

分析：“正面難攻”的情況下，采用“獎勵遞減法”可起到奇妙心理效應。

2、反例

小剛大學畢業后分到一個單位工作，剛一進單位，他決心好好地積極表現一番，以給領導和同事們留下非常好的第一印象。于是，他每天提前到單位打水掃地，節假日主動要求加班，領導布置的任務有些他明明有很大的困難，也硬著頭皮一概承攬下來。

本來，剛剛走上工作崗位的青年人積極表現一下自我是無可厚議的。但問題是小剛的此時表現與其真正的思想覺悟、為人處世的一貫態度和行為模式相差甚遠，夾雜著“過分表演” 的成分。因而就難以有長久的堅持性。沒過多久，小剛水也不打了，地也不拖了，還經常遲到，對領導布置的任務更是挑肥揀瘦。結果，領導和同事們對他的印象由好轉壞，甚至比那些剛開始來的時候表現不佳的青年所持的印象還不好。因為大家對他已有了一個“高期待、高標準”，另外，大家認為他剛開始的積極表現是“裝假”，而“誠實”是我們社會評定一個人所運用的“核心品質”。

3暗示效應

暗示效應是指在無對抗的條件下，用含蓄、抽象誘導的間接方法對人們的心理和行為產生影響，從而誘導人們按照一定的方式去行動或接受一定的意見，使其思想、行為與暗示者期望的目標相符合。一般說來，兒童比XXXXX更容易接受暗示。管理中常用的是語言暗示，如班主任在集體場合對好的行為進行表揚，就是對其他同學起到暗示作用。也可以使用手勢、眼色、擊桌、停頓、提高音量或放低音量等等。有經驗的班主任還常常針對學生的某一缺點和錯誤，選擇適當的電影、電視、文學作品等同學生邊看邊議論，或給學生講一些有針對性的故事，都能產生較好的效果。

4安泰效應

安泰是古希臘神話中的大力神，他力大無窮，無往不勝。因為他只要靠在大地上，就能從大地母親那里汲取無窮的力量。他的對手發現了這個秘密，便誘使他離開地面，在空中殺死了他。因此，要學會依靠大家、依靠集體。

5暗示效應

所謂“暗示效應”，即是用含蓄的、間接的方式對別人的心理和行為施加影響，從而使被暗示者不自覺地按照暗示者的意愿行動??此稱之為“暗示效應”。少年兒童較XXXXX更易于接受暗示。在音樂課堂教學過程中，教師可以通過語言暗示、動作暗示，表情暗示、自我暗示等方法提高教學效果。

語言暗示——積極的語言能使人產生積極的情緒，改變消極的心態，因而教師可以有意識地用“你真聰明”“你一定行”等語言為孩子打氣，還可以讓學生之間相互鼓勵，比如：

領：我很棒！（X X）眾：你很棒！（X X）

領：你也行！(XX X)眾：我也行！(XX X)動作暗示——音樂是一種看不見摸不著的抽象藝術，低段學生對音樂作品的情緒、思想內涵更不容易把握，這時候動作暗示就顯得尤為重要了。教師能用肢體動作暗示學生，使學

生更快地理解音樂作品。例如在表現音樂情緒方面，教師可以用左右輕輕擺動身體來表示輕柔舒展的音樂，用小幅度的點頭來表示歡快活潑的音樂。

表情暗示——小學低段音樂教學中有許多的表演環節，包括唱歌表演、律動表演、樂器表演，形式上又包括集體表演、小組表演、個人表演等。在這些環節中教師就要充分發揮表情暗示的作用。當學生在表演時，教師如果是微笑的注視著他們，那么對學生來說就是一種莫大的鼓勵，他們能看到老師眼里的肯定和贊許。而在對學生音準的訓練過程中，可運用柯達伊手勢的動作暗示，讓學生對抽象的音高有比較直觀的理解。有一個班在學習歌曲《可愛的羊群》的第三句“水草豐盛羊兒壯”時，總是把最后一個音“5”漏掉。所以當唱到這幾小節時我就用手勢作出旋律高低的走向，到了最后一個音“5”時，我的手向上一帶，學生的自然的就唱到位了，幾遍之后便能完全掌握。

自我暗示——教師還要教育學生學會自我暗示，使學生在音樂學習體驗中更好的發揮自主性。有的學生每當遇上聽辨練習就會有“慘了！慘了！”“好難啊！”等自我暗示，在學習上維持著焦慮狀態，從而干擾正常水平發揮。這種思維習慣一旦形成就會嚴重阻礙教學的效果。所以教師要讓學生學會積極的自我暗示，想著自己一定能一定做的到。另外教師的課堂展示也是一個客觀實在的態度暗

示，具體體現在教師的精神狀態以及對音樂作品表現的投入程度上。

安慰劑效應

所謂安慰劑，是指既無藥效、又無毒副作用的中性物質構成的、形似藥的制劑。安慰劑多由葡萄糖、淀粉等無藥理作用的惰性物質構成。安慰劑對那些渴求治療、對醫務人員充分信任的病人能產生良好的積極反應，出現希望達到的藥效，這種反應就稱為安慰劑效應。使用安慰劑時容易出現相應的心理和生理反應的人，稱為“安慰劑反應者”。這種人的特點是：好與人交往、有依賴性、易受暗示、自信心不足，經常注意自身的各種生理變化和不適感，有疑病傾向和神經質。

7巴納姆效應（暗示效應）

朋友一次問我世界上什么事最難。我說掙錢最難，他搖頭。哥德巴赫猜想？他又搖頭。我說我放棄，你告訴我吧。他神秘兮兮地說是認識你自己。的確，那些富于思想的哲學家們也都這么說。

我是誰，我從哪里來，又要到哪里去，這些問題從古希臘開始，人們就開始問自己，然而都沒有得出令人滿意的結果。

然而，即便如此，人從來沒有停止過對自我的追尋。正因為如此，人常常迷失在自我當中，很容易受到周圍信息的暗示，并把他人的言行作為自己行動的參照，從眾心理便是典型的證明。

其實，人在生活中無時無刻不受到他人的影響和暗示。比如，在公共汽車上，你會發現 這樣一種現象：一個人張大嘴打了個哈欠，他周圍會有幾個人也忍不住打起了哈欠。有些人不打哈欠是因為他們受暗示性不強。哪些人受暗示性強呢？可以通過一個簡單的測試檢查出來。

讓一個人水平伸出雙手，掌心朝上，閉上雙眼。告訴他現在他的左手上系了一個氫氣球，并且不斷向上飄；他的右手上綁了一塊大石頭，向下墜。三分鐘以后，看他雙手之間的差距，距離越大，則暗示性越強。

認識自己，心理學上叫自我知覺，是個人了解自己的過程。在這個過程中，人更容易受到來自外界信息的暗示，從而出現自我知覺的偏差。

在日常生活中，人既不可能每時每刻去反省自己，也不可能總把自己放在局外人的地位來觀察自己。正因為如此，個人便借助外界信息來認識自己。個人在認識自我時很容易受外界信息的暗示，從而常常不能正確地知覺自己。心理學的研究揭示，人很容易相信一個籠統的、一般性的人格描述特別適合他。即使這種描述十分空洞，他仍然

認為反映了自己的人格面貌。曾經有心理學家用一段籠統的、幾乎適用于任何人的話讓大學生判斷是否適合自己，結果，絕大多數大學生認為這段話將自己刻畫得細致入微、準確至極。下面一段話是心理學家使用的材料，你覺得是否也適合你呢？

你很需要別人喜歡并尊重你。你有自我批判的傾向。你有許多可以成為你優勢的能力沒有發揮出來，同時你也有一些缺點，不過你一般可以克服它們。你與異XXXXX往有些困難，盡管外表上顯得很從容，其實你內心焦急不安。你有時懷疑自己所做的決定或所做的事是否正確。你喜歡生活有些變化，厭惡被人限制。你以自己能獨立思考而自豪，別人的建議如果沒有充分的證據你不會接受。你認為在別人面前過于坦率地表露自己是不明智的。你有時外向、親切、好交際，而有時則內向、謹慎、沉默。你的有些抱負往往很不現實。

這其實是一頂套在誰頭上都合適的帽子。

一位名叫肖曼·巴納姆的著名雜技師在評價自己的表演時說，他之所以很受歡迎是因為節目中包含了每個人都喜歡的成分，所以他使得“每一分鐘都有人上當受騙”。人們常常認為一種籠統的、一般性的人格描述十分準確地揭示了自己的特點，心理學上將這種傾向稱為“巴納姆效應”。有位心理學家給一群人做完明尼蘇達多項人格檢查表

（MMPI）后，拿出兩份結果讓參加者判斷哪一份是自己的結果。事實上，一份是參加者自己的結果，另一份是多數人的回答平均起來的結果。參加者竟然認為后者更準確地表達了自己的人格特征。

巴納姆效應在生活中十分普遍。拿算命來說，很多人請教過算命先生后都認為算命先生說的“很準”。其實，那些求助算命的人本身就有易受暗示的特點。當人的情緒處于低落、失意的時候，對生活失去控制感，于是，安全感也受到影響。一個缺乏安全感的人，心理的依賴性也大大增強，受暗示性就比平時更強了。加上算命先生善于揣摩人的內心感受，稍微能夠理解求助者的感受，求助者立刻會感到一種精神安慰。算命先生接下來再說一段一般的、無關痛癢的話便會使求助者深信不疑

8巴霖效應

源自於馬戲團經理巴霖先生的一句名言：每分鐘都有一名笨蛋誕生。”巴霖效應” 多少解釋了為什麼有些星座或生肖書刊能夠”準確的”指出某人的性格。原因在此,那些用來描述性格的詞句,其實根本屬”人之常情”或基本上適用於大部分人身上的。換言之,那些詞句的適用范圍是如此的空泛，以至往往”說了等於沒說。例如:水瓶座理性而愛好自由，巨蟹座感性而富愛心；然而巨蟹座的人就永遠沒理性，水瓶座的人就缺乏愛心嗎？我們不去否定星座存在的價值，畢竟它存有統計的基礎在。但如果你想成為一個聰明人，不去迷信星座，我又得告訴你，你又錯了！知道什麼叫做”天醉人亦醉”嗎?既然身旁有超過半數的人相信星座，你又何苦試著去推翻那根植於心的觀念(實際上也不太可能)?如果一對情侶在星座學中是不甚相配的，即使兩人都不迷信，但他們的心理必然會承受一股不小的壓力，在往後交往的時間中，若有了沖突磨擦，心中既存的那種”原來真的不合適”的預設就會被強迫成立，最終難逃分手命運!

9半途效應

半途效應是指在激勵過程中達到半途時，由于心理因素及環境因素的交互作用而導致的對于目標行為的一種負面影響。大量的事實表明，人的目標行為的中止期多發生在“半途”附近，在人的目標行為過程的中點附近是一個極其敏感和極其脆弱的活躍區域。導致半途效應的原因主要有兩個，一是目標選擇的合理性，目標選擇的越不合理越容易出現半途效應；二是個人的意志力，意志力越弱的人越容易出現半途效應。這就要求班主任在平時教育學生時多注意學習各方面的知識，培養多方面的能力，同時多注意進行意志力的磨練。行為學家提出了“大目標、小步子”的方法，對于防止半途效應的發生具有積極的意義。

10貝爾效應

英國學者貝爾天賦極高。有人估計過他畢業后若研究晶體和生物化學，定會贏得多次諾貝爾獎。但他卻心甘情愿地走了另一條道路 把一個個開拓性的課題提出來，指引別人登上了科學高峰，此舉被稱為貝爾效應。這一效應要求領導者具有伯樂精神、人梯精神、綠地精神，在人才培養中，要以國家和民族的大業為重，以單位和集體為先，慧眼識才，放手用才，敢于提拔任用能力比自己強的人，積極為有才干的下屬創造脫穎而出的機會。

11貝爾納效應

英國學者貝爾納勤奮刻苦，同時又有很高的天賦。如果他畢生研究晶體學或生物化學，很有可能獲得諾貝爾獎。但他卻心甘情愿地走另一條路——為他人去做一架云梯，把一個個富有開拓性的課題提出來，指引別人登上科學的高峰，這一舉動被科學家們稱為“貝爾納效應”。作為班主任，不一定有貝爾納的天賦，也不一定是某學科的專家學者，但與學生相比，總在一些方面占有一定的優勢。班主任只要認真地把自己的優勢加以發揮和利用，就能逐步培養學生廣泛的興趣愛好，進一步激發學生的求知欲，從而促使學生更快地進步，產生“青出于藍而勝于藍”的效果。

12貝勃規律

第一次刺激能緩解第二次的小刺激即“貝勃規律”。實驗表明，人們對報紙售價漲了50元或汽車票由200元漲到250元會十分敏感，但如果房價漲了100甚至200萬元，人們都不會覺得漲幅很大。人們一開始受到的刺激越強，對以后的刺激也就越遲鈍。“貝勃規律”經常應用于經營中的人事變動或機構改組等。一家公司要想趕走被視為眼中釘的人，應該先對與這些人無關的部門進行大規模的人事變動或裁員，使其他職員習慣于這種沖擊。然后在第三或第四次的人事變動和裁員時再把矛頭指向原定目標。很多人受到第一次沖擊后，對后來的沖擊已經麻木了。

13比馬龍效應

評價主體低估被評價者能力，認定被評價者是不求上進的、行為差勁的，以致被評價者將這種觀念內化，促使被評價者表現不良行為。

14彼得原理

彼得原理是美國學者勞倫斯?彼得在對組織中人員晉升的相關現象研究后得出的一個結論；在各種組織中，由于習慣于對在某個等級上稱職的人員進行晉升提拔，因而雇員總是趨

向于晉升到其不稱職的地位。彼得原理有時也被稱為“向上爬”原理。這種現象在現實生活中無處不在：一名稱職的教授被提升為大學校長后無法勝任；一個優秀的運動員被提升為主管體育的官員，而無所作為。對一個組織而言，一旦組織中的相當部分人員被推到了其不稱職的級別，就會造成組織的人浮于事，效率低下，導致平庸者出人頭地，發展停滯。因此，這就要求改變單純的“根據貢獻決定晉升”的企業員工晉升機制，不能因某個人在某一個崗位級別上干得很出色，就推斷此人一定能夠勝任更高一級的職務。要建立科學、合理的人員選聘機制，客觀評價每一位職工的能力和水平，將職工安排到其可以勝任的崗位。不要把崗位晉升當成對職工的主要獎勵方式，應建立更有效的獎勵機制，更多地以加薪、休假等方式作為獎勵手段。有時將一名職工晉升到一個其無法很好發揮才能的崗位，不僅不是對職工的獎勵，反而使職工無法很好發揮才能，也給企業帶來損失。心理解析：對個人而言，雖然我們每個人都期待著不停地升職，但不要將往上爬作為自己的惟一動力。與其在一個無法完全勝任的崗位勉力支撐、無所適從，還不如找一個自己能游刃有余的崗位好好發揮自己的專長。

15邊際效應

有時也稱為邊際貢獻，是指消費者在逐次增加1個單位消費品的時候，帶來的單位效用是逐漸遞減的（雖然帶來的總效用仍然是增加的）。舉一個通俗的例子，當你肚子很餓的時候，有人給你拿來一籠包子，那你一定感覺吃第一個包子的感覺是最好的，吃的越多，單個包子給你帶來的滿足感就越小，直到你吃撐了，那其它的包子已經起不到任何效用了。邊際效應的應用非常廣泛，例如經濟學上的需求法則就是以此為依據，即：用戶購買或使用商品數量越多，則其愿為單位商品支付的成本越低（因為后購買的商品對其帶來的效用降低了）。當然也有少數例外情況，例如嗜酒如命的人，是越喝越高興，或者集郵愛好者收藏一套文革郵票，那么這一套郵票中最后收集到的那張郵票的邊際效應是最大的。了解邊際效應的概念，你就可以嘗試去在實際生活中運用它，例如：你是公司管理層，要給員工漲工資，給 3K 月薪的人增加 1K 帶來的效應一般來說是比 6K 月薪增加 1K 大的，可能和 6K 月薪的人增加 2K 的相當，所以似乎給低收入的人增加月薪更對公司有利；另外，經常靠增加薪水來維持員工的工作熱情看來也是不行的，第一次漲薪 1K 后，員工非常激動，大大增加了工作熱情；第二次漲薪 1K，很激動，增加了一些工作熱情；第三次漲薪 2K，有點激動，可能增加工作熱情；第四次......，直至漲薪已經帶來不了任何效果。如果想避免這種情況，每次漲薪都想達到和第一次

漲薪 1K 相同的效果，則第二次漲薪可能需要 2K，第三次需要 3K......，或者使用其它激勵措施，例如第二次可以安排其參加職業發展培訓，第三次可以對其在職位上進行提升，雖然花費可能想當，但由于手段不同，達到了更好的效果。研究經濟學其實也很有意思，只是對很多人來說，與 IT 這個行業不可完全兼得。

16邊際效益遞減效應

邊際效益遞減是經濟學的一個基本概念，它說的是在一個以資源作為投入的企業，單位資源投入對產品產出的效用是不斷遞減的，換句話，就是雖然其產出總量是遞增的，但是其二階倒數為負，使得其增長速度不斷變慢，使得其最終趨于峰值，并有可能衰退。

最明顯的詮釋，就是非線性函數，例如二次曲線。在生活中，我們可以看到許多例子：給你一個可愛多，你高興的亂跳以為賺了，接下來是第二個??可是一直給你，你會覺得開始惡心了。這有兩個原因：一，你吃飽了，生理不需要了，二，你吃膩了，刺激受夠了。你希望有個機會表白自己“老大，給個哈根啊好啊？” 所謂的新官上任三把火，講的也是這個道理：剛來了要混個臉熟，所以拼盡全力在所不辭。日子一久，也就淡了。一般的教材會這樣解釋：神秘莫測的心理學和社會學。

如果我們建立一個映射，使得各種效用是可比的（比如，我們定義跑得快比跑得穩好，這并非沒有意義，賽車界就是個例子），那么在一個時間序列上，投入和產出（以及累積投入和累計產出）就可以作為模型。通過上面兩個例子可見，這個概念可以理解成兩個特點：一，t=0比t->無窮時候的產出大的多（這是序列函數的像）。二，t->T和t->T+1在T->無窮時候的變化不大（這是像的一階倒數）。前者說明總體趨勢遞減，后者說明遞減速度趨緩。

我們可以想想，邊際效用遞減式一個無處不在的規律，你想過四級，于是找了本寶書，從A背起，不錯，一會兒就背完呢（當然，本來A就不太多，我就是這種人），然后是B，然后是??B part2，然后是B part 2 1/2...級數的概念有了應用。當然你可以選擇從Z開始背回頭（當然，我也是這種人）。可見，投入和產出是相同的概念，由于投入了就要求有產出，所以邊際效益遞減的逆仍然適用。我們可以拓展到離開效用這個概念。讓我們看一個實際中的問題： 昨天打掃房間衛生，發現剛剛擦過的桌子一層灰又上去了，和旁邊的一個小支架看上去沒什么區別。實際上，后者上次被美容的時候我還沒在南京?? 一個東西從干凈到漲很快，可是從臟到很臟是一個多么漫長的過程阿，指望考古隊？（盡管也有評價的因素）大家還可以想到很多很多，比如，人文一點，“失去的才是真”。

我們如何利用這個規律呢？經濟學的解釋是資源的最優配置。因為投入的太多使得最終的收益攤的太薄。再好的東西也有個限度。理工科的更加清楚，所謂的各種高級操作都是某種程度上的吃力不討好，最有效的往往是那些基本操作。更高深的是當然一些數學上的游戲。然而我覺得，這個現象的起源絕對是一個哲學問題，那就是我們為什么進步和發展。想想，如果邊際效益遞增，我們還需要創新嗎？我們還需要堅持嗎？同志們，可愛多足夠了，不，涼水就行！魅力這個詞，永遠的就失去了意義。

17波紋效應

是指在學習的集體中，教師對有影響力的學生施加壓力，實行懲罰，采取諷刺、挖苦等損害人格的作法時，會引起師生對立，出現抗拒現象，有些學生甚至會故意搗亂，出現一波未平，一波又起的情形。這時教師的影響力往往下降或消失不見，因為這些學生在集體中有更大的吸引力。這種效應對學生的學習、品德發展、心理品質和身心健康會產生深遠而惡劣的影響。

18布里丹毛驢效應

決策過程中這種猶豫不定、遲疑不決的現象稱之為“布里丹毛驢效應”

19不值得定律

不值得定律最直觀的表述是：不值得做的事情，就不值得做好，這個定律似乎再簡單不過了，但它的重要性卻時時被人們疏忘。不值得定律反映出人們的一種心理，一個人如果從事的是一份自認為不值得做的事情，往往會保持冷嘲熱諷，敷衍了事的態度。不僅成功率小，而且即使成功，也不會覺得有多大的成就感。哪些事值得做呢？一般而言，這取決于三個因素。1.價值觀。關于價值觀我們已經談了很多，只有符合我們價值觀的事，我們才會滿懷熱情去做。2.個性和氣質。一個人如果做一份與他的個性氣質完全背離的工作，他是很難做好的，如一個好交往的人成了檔案員，或一個害羞者不得不每天和不同的人打交道。3.現實的處境。同樣一份工作，在不同的處境下去做，給我們的感受也是不同的。例如，在一家大公司，如果你最初做的是打雜跑腿的工作，你很可能認為是不值得的，可是，一旦你被提升為領班或部門經理，你就不會這樣認為了。

心理解析：值得做的工作是：符合我們的價值觀，適合我們的個性與氣質，并能讓我們看到期望。如果你的工作不具備這三個因素，你就要考慮換一個更合適的工作，并努力做好它。

因此，對個人來說，應在多種可供選擇的奮斗目標及價值觀中挑選一種，然后為之而奮斗。“選擇

你所愛的，愛你所選擇的”，才可能激發我們的奮斗毅力，也才可以心安理得。而對一個企業或組織來說，則要很好地分析員工的性格特性，合理分配工作，如讓成就欲較強的職工單獨或牽頭來完成具有一定風險和難度的工作，并在其完成時給予定時的肯定和贊揚；讓依附欲較強的職工更多地參加到某個團體XXXXX同工作；讓權力欲較強的職工擔任一個與之能力相適應的主管。同時要加強員工對企業目標的認同感，讓員工感覺到自己所做的工作是值得的，這樣才能激發職工的熱情。

20財富效應

財富效應指人們資產越多，消費意欲越強。這個理論的前提為人們的財富及可支配收入會隨著股價上升而增加。因此，人們更愿意消費 21蔡格尼克效應 蔡格尼克命被試去做20件指定的工作，半數工作允許完成，半數工作則中途加以阻止，不予完成。被試共32人。實驗結果發現示完成工作的回憶要優于已完成的工作的回憶。如以RC代表已完成的工作的回憶要所得的件數，RU代表示完成工作所得的件數，P為兩種回憶件數的比例，即RU/RC，用以在數量上表明哪一種工作易于回憶。若是P等 于1，則兩種工作的回憶量一樣；若是P大于1，則示完成的工作易于回憶；若是P小于1，則已完成的工作易于回憶。實驗的結果P從0。8至3。5

不等，平均為1。9，即RU的回憶量差不多等于RC的兩倍。為什么未完成的回憶量優于已完成的工作？也許有人認為這是由于未完成的工作引起情緒上的震動所致。但若把工作用三種方式處理：一種是允許完成，一種是中途加以阻止不予完成。結果表明，中途阻止后再給予完成的工作的回憶量卻優于上述兩者，這就不是中途阻止產生的情緒只能用心理的緊張系統是否得到解除來加以說明。已完成工作所引起的心理 緊張系統還沒有得到解除，因而回憶量較多。中途加以阻止的未完成的工作不僅易于回憶，并且在做了其他工作之后

第三篇：數列的應用教案

第十四教時

教材：數列的應用

目的：引導學生接觸生活中的實例，用數列的有關知識解決具體問題，同時了解處

理“共項” 問題。

過程：

一、例題：

1．《教學與測試》P93 例一）大樓共n層，現每層指定一人，共n人集中到設

在第k層的臨時會議室開會，問k如何確定能使n位參加人員上、下樓梯所走的路程總和最短。（假定相鄰兩層樓梯長相等）解：設相鄰兩層樓梯長為a，則

S?a(1?2????k?1)?0?[1?2????(n?k)]

?a[k?(n?1)k?n2?n

2]

當n為奇數時，取k?n?

1S達到最小值

當n為偶數時，取k?n2或n?

2S達到最大值

2．在［1000，2000］內能被3整除且被4除余1的整數有多少個？

解：不妨設an?3n,bm?4m?1(m,n?N*)，則{cp}為{ an }與{ bn }的公共項構成的等差數列(1000≤cp≤2000)

∵an = bm ,即：3n=4m+1令n=3 , 則m=2∴c1=9且有上式可知：d=12 ∴cp=9+12(p?1)(p?N*)

由1000≤cn≤2000解得：83

712?p?1661112

∴p取84、85、??、166共83項。

3．某城市1991年底人口為500萬，人均住房面積為6 m2，如果該城市每年人

口平均增長率為1%，每年平均新增住房面積為30萬m2，求2000年底該城市人均住房面積為多少m2？(精確到0.01)解：1991年、1992年、??2000年住房面積總數成AP

a1 = 6×500 = 3000萬m2，d = 30萬m2，a10 = 3000 + 9×30 = 3270

1990年、1991年、??2000年人口數成GP

b1 = 500 , q = 1% ,b910?500?1.01?500?1.0937?546.8

∴2000年底該城市人均住房面積為：

3270

.8

?5.98m2546 4．（精編P175例3）從盛有鹽的質量分數為20%的鹽水2 kg的容器中倒出1

kg鹽水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg鹽水，然后再加入1 kg水，問：1.第5次倒出的的1 kg鹽水中含鹽多少g？

2.經6次倒出后，一共倒出多少k鹽？此時加1 kg水后容器內鹽水的鹽的質量分數為多少？

解：1.每次倒出的鹽的質量所成的數列為{an}，則：

a1= 0.2 kg ,a2=1×0.2 kg ,a3=(1)222×0.2 kg

由此可見：an=(12)n?1×0.2 kg ,a5=(11

2)5?1×0.2=(2)4×0.2=0.0125 kg

2.由1.得{an}是等比數列a1=0.2 ,q=

1?Sa(1?q6)0.2(1?1

6?16)1?q

??0.3937kg1?1

50.4?0.3937?50.00625

0.0062?52?0.003125

二、作業：《教學與測試》P94練習3、4、5、6、7

《精編》P1775、6

第四篇：(教案)數列綜合應用

專題三：數列的綜合應用

備課人：陳燕東 時間： 備課組長

[考點分析]

高考關于數列方面的命題主要有以下三個方面；

（1）數列本身的有關知識，其中有等差數列與等比數列的概念、性質、通項公式及求和公式。（2）數列與其它知識的結合，其中有數列與函數、方程、不等式、三角、幾何的結合。（3）數列的應用問題，其中主要是以增長率問題為主。

試題的難度有三個層次，小題大都以基礎題為主，解答題大都以基礎題和中檔題為主，只有個別地方用數列與幾何的綜合與函數、不等式的綜合作為最后一題難度較大。

【例題精講】

【題型1】求和，求通項

例1．設數列?an?的前n項和Sn=2n+1-2，數列?bn?滿足bn?（1）求數列?an?的通項公式；（2）求數列?bn?的前n項和Tn．

1．(n?1)log2an變式訓練1：已知數列?an?是公差不為0的等差數列，a1?2，且a2，a3，a4?1成等比數列．（1）求數列?an?的通項公式；（2）設bn?

2，求數列?bn?的前n項和Sn．

n?an?2?變式訓練2．已知數列{an}的各項均為正數，Sn是數列{an}的前n項和，且4Sn?an?2an?3．（1）求數列{an}的通項公式；

（2）已知bn?2n,求Tn?a1b1?a2b2???anbn的值．

2備選例題1．已知數列?an?的前n項和為Sn，且2Sn?n?n.2（1）求數列{an}的通項公式；（2）若bn?1?2an?1,(n?N*)求數列{bn}的前n項和Sn.anan?

1備選例題2．已知數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。，數列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。．（1）求數列錯誤！未找到引用源。的通項錯誤！未找到引用源。；（2）求數列錯誤！未找到引用源。的通項錯誤！未找到引用源。；

（3）若錯誤！未找到引用源。，求數列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和錯誤！未找到引用源。．

【題型2】證明題

例2.已知數列?an?的前n項和為Sn，a1?1，an?0，anan?1??Sn?1，其中?為常數，（I）證明：an?2?an??；

（II）是否存在?，使得?an?為等差數列？并說明理由.變式訓練．已知函數f?x??123x?x，數列?an?的前n項和為Sn，點?n,Sn??n?N??均在函數22y?f?x?的圖象上.（1）求數列?an?的通項公式an；（2）令cn?

【題型3】創新題型

例

3、設正項等比數列?an?的首項a1?1anan?1，證明：2n?c1?c2???cn?2n?.?2an?1an1，前n項和為Sn，且210S30?(210?1)S20?S10?0。2（Ⅰ）求?an?的通項；（Ⅱ）求?nSn?的前n項和Tn。

備選例題： 1.在等差數列{an}中，公差d?0,a2是a1與a4的等比中項.已知數列a1,a3,ak1,ak2,?,akn,?成等比數列，求數列{kn}的通項kn.【題型4】數列與不等式的綜合題

例

4、已知有窮數列{an}共有2k項（整數k≥2），首項a1＝2．設該數列的前n項和為Sn，且an?1＝，其中常數a＞1．(a?1)Sn＋2（n＝1，2，┅，2k－1）（1）求證：數列{an}是等比數列；（2）若a＝22，┅，2k），求數列{bn}的通項公式；（3）若（2）中的數列{bn}滿足不等式|b1－

【題型5】數列與函數的綜合題

例

5、設數列{an}的前n項和為Sn，點(n,Sn)(n?N?)均在函數y＝3x－2的圖像上。（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn?有n?N都成立的最小正整數m。

本小題主要是考查等差數列、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力。?22k?1，數列{bn}滿足bn＝

1log2(a1a2???an)（n＝1，n3333|＋|b2－|＋┅＋|b2k?1－|＋|b2k－|≤4，求k的值． 2222m3，Tn是數列{bn}的前n項和，求使得Tn?對所

20anan?1

第五篇：數列在生活中的應用

數列在生活中的應用

摘要：

數學是一門源于生活又用于生活的科學，數學研究是亙古以來人類社會生活中不可缺少的一部分。數列計算是數學學習中一個十分重要的分支，并且由于數列的研究與計算同社會經濟、資源生活有著緊密的聯系，使得對于數列研究的重視熱情逐漸高漲，加之具有的靈活多變的計算，趣味橫生的問題等，都使得對于數列的研究受到越來越多人的關注。

關鍵詞：數列應用分期付款資源利用

眾所周知，數列是數學知識中的一個重要環節，以具體問題為基礎，進行答案的解析是數列學習中的一個重要部分，這就注定了數列是以解決實際問題為目的而存在的。數列在經濟生活和資源計算等領域，有著廣泛的使用，在解決投資分配、匯率計算、資源利用分配等方面問題中有著無可比擬的優勢。本文將在簡述數列廣泛應用的基礎上，具體分析數列在以上幾個生活領域中的應用情況。

一、例述數列在生活中的應用

數學不僅僅是我們生活中的工具，更大程度上是我們生活中的必需品，并影響著人們的生活。以生活中的一個常見問題為例：

在對某地超市進行統計調查后發現，每天購買甲乙兩種蔬菜的人數約為200人，且第一天購買甲種蔬菜的第二天會有20%購買乙種蔬菜，第一天購買乙種蔬菜的第二天會有30%購買甲種蔬菜，則據此推算超市應當如何安排甲乙兩種蔬菜的進貨量。

解決方案:設第n天購買甲乙兩種蔬菜的人數分別為An、Bn，則：An+1=0.8An+0.3Bn;

Bn+1=0.2An+0.7Bn;

由于An+Bn=200，則可推算得An+1=0.8An+0.3（200-An）

=60+0.5An；

則An+1-120=0.5（An-120）；

可得，{An-120}是以A1-120為首項，0.5為公比的等比數列；假設，第一天購買甲種蔬菜的有a人，則

An=0.5^（n-1）*（a-120）+120

當n趨近于無窮時，易得，An趨近于120且與a的值無關。則可知，購買甲種蔬菜的人數穩定在120人，購買一種蔬菜的人數穩定在80人。

上述例題，以生活中常見的一類問題為原型，通過理論求解達到了解決實際問題的目的，這是數列在生活中應用的冰山一角。

二、銀行儲蓄與分期付款中的數列應用

儲蓄與貸款與國計民生、社會生活發展息息相關，大到支援國家建設，小到個人家庭的財政支出管理，處處都嵌套著數列的應用。

在人們日常的生活規劃中，為未來進行資金儲備的零存整取的存儲模式是銀行儲蓄中常見的一種金融計算方式。下面將以某一常見模式為例，進行數列在儲蓄領域應用的解析。

設儲戶每期存入銀行的金額為M，利率設為p，儲戶連續存入n期，那么到第n期期末時，本金數額為nM，在這個過程中，第一期存款利率為pMn，第二期的存款利率為PM(n-1)以此類推，到了第（n-1）期時存款利率為2pM，第n期存款利率為pM。對上述各階段的利息求和可得：

Sn=Mp+2Mp+……+Mp(n-1)+Mpn

=Mp(1+2+……+n-1+n)

=1/2n(n+1)Mp

期間，納稅金額為：1/2n(n+1)Mp*20%=1/10n(n+1)Mp

最后，實際取出金額為：nA*1/2n(n+1)Mp-1/10n(n+1)Mp

=M[n+2/5n(n+1)p]

這是學生在練習中接觸到的一種銀行金融儲蓄計算方式，是數列應用深入生活，影響生活方面的直接體現。隨著社會經濟的發展，人們的理財觀念也漸漸發生了轉變，小額貸款成為了社會生活中的一個熱門話題。這就是數列在生活中的第二個應用。

例：某客戶為購買房屋，向工商銀行貸款n萬元，采用分期還款的方式進行償還，共分m期償還完畢，每一期所償還的本金數額相同，請計算每一期應當償還的貸款數額。

設每期還款x元，各期所付給的款額到貸款全部還清時不會產生利息，貸款期利率為p，則第一期應當付給本金額為n/m元，利息為np，于是：

第一期總共還款金額x=n/m+np元；同理，第二期付本金n/m元，利息（n-n/m）p,第二期所償還的總金額x=n/m+(n-n/m)p=n/m+np-n/m*p元；第三次償還貸款總金額為x=n/m+np-n/m*2p元……以此類推，第m期x=n/m+np-n/m*(m-1)p元。

對上述總金額求和得：

Sn=n/m+np+n/m+np-n/m*p+n/m+np-n/m*2p……n/m+np-n/m*(m-1)p

=n/m*m+np*m-[n/m*p+n/m*2p+n/m*3p……n/m*(m-1)p]

=n/m*m+np*m-n/m*p[1+2+3+……(m-1)]

=n+mnp-n(m-1)/

2另外一種較為常用的還款方式為等額本息還款法，即為：貸款n元，采用分期還款的方式進行償還，每期還款金額相同，分m期還完，則每期應當償還的總金額計算方式為：

設每期還款x元，各期所付款額到貸款全部還清時會產生利息（利息額按期以復利進行計算），每期利率為p，則首付金額為x元；第二期付本金x元，利息xp元，第二次總付款金額為x+xp元；第三期總付款金額為x(1+p)^2元……以此類推，第m期所付款總金額為x(1+p)^(m-1)，各項之間呈現等比數列的樣式，合計付款金額為：x+x(1+p)+x(1+p)^2+……+x(1+p)^(m-1)=n(1+p)^m

經整理得：x[1+(1+p)+(1+p)^2+……+(1+p)^(m-1)]=n（1+p）^m

易得x=np(1+p)^m/[(1+p)^m-1]

則總還款金額為mx=mnp(1+p)^m/[(1+p)^m-1]

三、環境資源利用中的數列應用

進入21世紀以來，能源的短缺成為困擾人類社會發展的主要問題之一，尤其是不可再生資源的合理有效利用問題，更是人類社會進一步發展需要解決的首要問題。在土地資源、森林資源、某些再生資源的利用方面，我們可以運用所學

到的數列知識，通過建立合適的數學模型進行分析，實現對資源的合理分配和有效利用。

在不可再生資源的利用方面，通常會遇到年使用量與年開采量之間的數量關系問題等，通過數列中的建模，可形成相應的等比等差數列關系，從而進行相應的數列計算得到需要的解答；在生物保護方面的植物研究，數列中的斐波那契數列對于植物葉序與深層組織結構關系的研究也提供了相應的指導；數列在土地荒漠化治理、河流污染控制、水資源與森林資源的開采與控制等方面都有著不同程度的應用。

四、總結

除了上文中涉及的幾個方面外，數列在生活的其他領域都有著廣泛的應用。同時，通過對上文數列在生活中應用的幾個方面的分析，教師或學生對數列知識在社會生活方面的廣泛應用及重要地位也有了初步的了解。只要在以后的學習中，善于學習，善于利用已經學習掌握的知識處理生活中的問題，我們的數學教學就達到了學以致用的目標，數學教學因此也就變得生動而有意義。

參考文獻：

[1] 徐繼光.淺談數列在金融投資方面的應用[M].浙江紹興柯橋中學，2007.[2] 李莉.完善融資租賃合同法律制度的探討[J].企業技術開發，2007，（15）.[3] 林志偉.數列在分期付款中應用的教學初探[M].內蒙古：內蒙古師范大學學報，2007.[4] 王志琴.數列在銀行儲蓄中的應用[M].南京：中學數學教學參考，2006.[5] 李樂泉.設備融資租賃巧解電網建設融資難題[J].國家電網，2006，（04）.[6] 柴中林.關于植物葉序規律的斐波那契[J].中國計量學，2005,13（3）：210-213.