第一篇：2014屆高三數學一輪復習《數學證明》理 新人教B版

[第68講 數學證明]

(時間：45分鐘 分值：100分)

基礎熱身

1．下列符合三段論推理形式的為()

A．如果p?q，p真，則q真

B．如果b?c，a?b，則a?c

C．如果a∥b，b∥c，則a∥c

D．如果a＞b，c＞0，則ac＞bc

2．[2013·鄭州檢測] 類比平面內正三角形的“三邊相等，三內角相等”的性質，可推出正四面體的下列性質，你認為比較恰當的是()

①各棱長相等，同一頂點上的任意兩條棱的夾角都相等；②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；③各面都是面積相等的三角形，同一頂點上的任意兩條棱的夾角都相等．

A．①B．②

C．①②③D．③

3．[2013·太原檢測] 已知p是q的充分不必要條件，則綈q是綈p的()

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

22224．[2013·石家莊模擬] 已知ai，bi∈R(i＝1，2，3，?，n)，a1＋a2＋?＋an＝1，b1＋

2b

22＋?＋bn＝1，則a1b1＋a2b2＋?＋anbn的最大值為()

A．1B．2

C．n2D．2n

能力提升

5．[2013·泰州模擬] 設a，b，c是不全相等的正數，給出下列判斷：

222①(a－b)＋(b－c)＋(c－a)≠0；

②a＞b，a＜b及a＝b中至少有一個成立；

③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立．

其中正確判斷的個數為()

A．1個B．2個C．3個D．4個

6．已知c>1，ac＋1－c，b＝cc－1，則正確的結論是()

A．a>bB．a

C．a＝bD．a，b大小關系不定

?1?a＋b?，B＝f(ab)，C＝f?2ab?，則A，B，7．已知函數f(x)＝?，a，b∈R＋，A＝f???a＋b??2??2???

C的大小關系為()

A．A≤B≤CB．A

C．A≥B≥CD．A>B>C

x

8．用反證法證明命題：若整系數一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數時，下列假設中正確的是()

A．假設a，b，c都是偶數 B．假設a，b，c都不是偶數

C．假設a，b，c至多有一個是偶數 D．假設a，b，c至多有兩個是偶數

1212312342

9．觀察數列1，，，?，則數將出現在此數列的第()

2132143216

A．21項B．22項C．23項D．24項

10．[2013·河南示范性高中檢測] 如圖K68－1，對大于或等于2的自然數m的n次冪進行如下方式的“分裂”：

－

1仿此，5的“分裂”中最大的數是________，5的“分裂”中最小的數是________．

1??1?11．[2013·哈爾濱模擬] 已知等比數列{an}中，a2＞a3＝1，則使不等式?a1－?＋?a2－2

?a1??a2?

11??＋?a3－＋?＋?an≥0成立的最大自然數n是________．

aa

?

??

n

?

12．如圖K68－2所示，由若干個點組成形如三角形的圖形，每條邊(包括兩個端點)有

9999

n(n>1，n∈N)個點，每個圖形總的點數記為an，則＋________．

a2a3a3a4a4a5a2 010a2 011

13．[2013·開封模擬] 如果函數f(x)在區間D上是凸函數，那么對于區間D內的任意

f（x1）＋f（x2）＋?＋f（xn）?x1＋x2＋?＋xnx1，x2，?，xn，都有≤f?.若y＝sinx在區間

n

?

n

?

(0，π)上是凸函數，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．

b2a2

14．(10分)已知a＞0，b＞0a＋b.ab

r

15．(13分)[2013·湖北卷](1)已知函數f(x)＝rx－x＋(1－r)(x>0)，其中r為有理數，且0

(2)試用(1)的結果證明如下命題：

設a1≥0，a2≥0，b1，b2為正有理數．若b1＋b2＝1，則ab11ab22≤a1b1＋a2b2；(3)請將(2)中的命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題．

αα－1

注：當α為正有理數時，有求導公式(x)′＝αx.難點突破

16．(12分)[2013·湖南卷] 已知數列{an}的各項均為正數，記A(n)＝a1＋a2＋?＋an，B(n)＝a2＋a3＋?＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋?＋an＋2，n＝1，2，?.*

(1)若a1＝1，a2＝5，且對任意n∈N，三個數A(n)，B(n)，C(n)組成等差數列，求數列{an}的通項公式；

*

(2)證明：數列{an}是公比為q的等比數列的充分必要條件是：對任意n∈N，三個數A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數列．

課時作業(六十八)

【基礎熱身】

1．B [解析] 由三段論的推理規則可以得到B為三段論． 2．C [解析] 由類比原理和思想，①②③都是合理、恰當的．

3．A [解析] 反證法的原理：“原命題”與“逆否命題”同真假，即：若p?q，則綈q?綈p.a2＋c2b2＋d22222

4．A [解析] 此結論為“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，則ac＋bd≤＋

222

a2a2a21＋b12＋b2n＋bn

＝1”的推廣，類比可得a1b1＋a2b2＋?＋anbn≤1.222

【能力提升】

5．B [解析] ①②正確；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同時成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正確的判斷有2個．

6．B [解析] 假設a≥bc＋1－cc－c－1，∴c＋1＋c－1≥c，平方得2c＋2c－1≥4c，2222

2c≤2c－1，cc－1，即c≤c－1，0≤－1，這不可能，∴假設不成立，故a

7．A [解析] ab≥，又f(x)＝??在R上是單調減函數，∴f?2a＋b?2??2?

?2ab.f(ab)≤f??a＋b?

8．B [解析] 至少有一個的否定是一個也沒有，即假設a，b，c都不是偶數．

9．C [解析] 數列中各項的分子是按照(1)，(1，2)，(1，2，3)，(1，2，3，4)，?的規律呈現的，分母是按照(1)，(2，1)，(3，2，1)，(4，3，2，1)，?的規律呈現的，顯然

前五組不可能出現，我們不妨再寫幾個對應的數組(1，2，3，4，5，6)，(1，2，3，4，5，6

6，7)，(6，5，4，3，2，1)，(7，6，5，4，3，2，1)，可以發現第六組也不可，故只能是第七組的第二個．故這個數是第(1＋2＋?＋6＋2)項，即第23項．

10．9 21 [

解析] 由已知中“分裂”可得，a＋b

故“5”的“分裂”21.a31

11．5 [解析] ∵a2＞a3＝1，∴0＜q＝＜1，a1＝＞1，a2q

?a1－1＋?a2－1?＋?a3－1?＋?＋?an－1? ????a1a2?a3?an?????????

1?11

＝(a1＋a2＋?＋an)－?＋?＋

an??a1a2

111－a1（1－qn）a1?q?a1（1－qn）q（1－qn）

＝

1－q

－

11－

＝

1－q

－

a1（1－q）q0，q

a1（1－qn）q（1－qn）∴≥1－qa1（1－q）q因為0＜q＜1，所以，化簡得a1≥

q

－1

q≤q

4n－1，∴4≥n－1，n≤5，所以n的最大值為5.00912.[解析] an＝3(n－1)，anan＋1＝9n(n－1)，裂項求和即可． 2 01033A＋B＋Cπ313.[解析] sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝2332

b2??a2?b2a2?14．證明：(a＋b)＝?－a?＋?b?

ab?a??b?

（b＋a）（b－a）（a＋b）（a－b）＝ab

?1112

＝(a－b)(a＋b)?＝(a－b)(a＋b)，?ba?ab

b2a2

∵a＞0，b＞0＋a＋b.ab

r－1r－1

15．解：(1)f′(x)＝r－rx＝r(1－x)，令f′(x)＝0，解得x＝1.當0＜x＜1時，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，1)內是減函數； 當x＞1時，f′(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)內是增函數． 故函數f(x)在x＝1處取得最小值f(1)＝0.r

(2)由(1)知，當x∈(0，＋∞)時，有f(x)≥f(1)＝0，即x≤rx＋(1－r)． ① 若a1，a2中有一個為0，則ab11ab22≤a1b1＋a2b2成立； 若a1，a2均不為0，又b1＋b2＝1，可得b2＝1－b1，于是

a1?b1a1a1?在①中令x＝，r＝b1，可得??≤b1·＋(1－b1)，a2a2?a2?

即ab11a1－b12≤a1b1＋a2(1－b1)，亦即ab11ab22≤a1b1＋a2b2.綜上，對a1≥0，a2≥0，b1，b2為正有理數且b1＋b2＝1，總有ab11ab22≤a1b1＋a2b2.②

(3)(2)中命題的推廣形式為：

若a1，a2，?，an為非負實數，b1，b2，?，bn為正有理數． 若b1＋b2＋?＋bn＝1，則ab11ab22?abnn≤a1b1＋a2b2＋?＋anbn.③ 用數學歸納法證明如下：

①當n＝1時，b1＝1，有a1≤a1，③成立．

②假設當n＝k時，③成立，即若a1，a2，?，ak為非負實數，b1，b2，?，bk為正有理數，且b1＋b2＋?＋bk＝1，則ab11ab22?abkk≤a1b1＋a2b2＋?＋akbk.當n＝k＋1時，已知a1，a2，?，ak，ak＋1為非負實數，b1，b2，?，bk，bk＋1為正有理數，且b1＋b2＋?＋bk＋bk＋1＝1，此時0＜bk＋1＜1，即 1－bk＋1＞0，于是ab11ab22?abkkabk＋1k＋1＝(ab11ab22?abkk)abk＋1k＋1

＝(a1a2?ak)1－bk＋1abk＋1k＋1.1－bk＋11－bk＋11－bk＋1

b1b2bk

b1b2bk

1，由歸納假設可得

1－bk＋11－bk＋11－bk＋1

b1b2bkb1b2bk

a＋a2·＋?＋ak·＝1a2?ak≤a1·1－bk＋11－bk＋11－bk＋11－bk＋11－bk＋11－bk＋1

a1b1＋a2b2＋?＋akbk，1－bk＋1

a1b1＋a2b2＋?＋akbk1－bk＋1?從而ab11ab22?abkkabk＋1k＋1≤?abk＋1k＋1.1－bk＋1??

又因(1－bk＋1)＋bk＋1＝1，由②得

1－bk＋1

a1b1＋a2b2＋?＋akbk?a1b1＋a2b2＋?＋akbkabk＋1k＋1≤·(1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1＝a1b1＋?1－bk＋11－bk＋1??

因

a2b2＋?＋akbk＋ak＋1bk＋1，從而ab11ab22?abkkabk＋1k＋1≤a1b1＋a2b2＋?＋akbk＋ak＋1bk＋1.故當n＝k＋1時，③成立．

由①②可知，對一切正整數n，所推廣的命題成立． 說明：(3)中如果推廣形式中指出③式對n≥2成立，則后續證明中不需討論n＝1的情況．

【難點突破】

*

16．解：(1)對任意n∈N，三個數A(n)，B(n)，C(n)是等差數列，所以B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)，即an＋1－a1＝an＋2－a2，亦即an＋2－an＋1＝a2－a1＝4.故數列{an}是首項為1，公差為4的等差數列． 于是an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.*

(2)①必要性：若數列{an}是公比為q的等比數列，則對任意n∈N，有an＋1＝anq.由an

＞0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是

B（n）a2＋a3＋?＋an＋1q（a1＋a2＋?＋an）

＝q，A（n）a1＋a2＋?＋ana1＋a2＋?＋an

C（n）a3＋a4＋?＋an＋2q（a2＋a3＋?＋an＋1）

＝＝q，B（n）a2＋a3＋?＋an＋1a2＋a3＋?＋an＋1

B（n）C（n）即＝＝q.所以三個數A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數列． A（n）B（n）

*

②充分性：若對任意n∈N，三個數A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數列，則B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)．

于是C(n)－B(n)＝q[B(n)－A(n)]，得an＋2－a2＝q(an＋1－a1)，即an＋2－qan＋1＝a2－qa1.由n＝1有B(1)＝qA(1)，即a2＝qa1，從而an＋2－qan＋1＝0.an＋2

錯誤!＝q.an＋1

故數列{an}是首項為a1，公比為q的等比數列．

*

綜上所述，數列{an}是公比為q的等比數列的充分必要條件是：對任意n∈N，三個數A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數列．

因為an＞0，所以

第二篇：高三數學一輪復習法

隨著高考日子的臨近，高中數學的復習范圍廣，知識量多。所以令廣大考生感到焦慮和枯燥，下面給大家分享一些關于高三數學一輪復習法，希望對大家有所幫助。

高三數學一輪復習法

1.制訂一個合理的預習計劃。

從整體上把握高中數學教材內容，仔細揣摩教材字里行間所蘊含的玄機，完成課后練習，爭取帶著疑問入校，激發入校后的求知欲，盡快地讓數學成為你的知心朋友。

2.做好新舊知識的對比。

應力求做到新的概念、定理，都要先復習之前高中數學學過的知識，把它貫穿在高中課程中，使新舊知識互相促進，共同鞏固，達到知識的深化與能力的培養。獨立思考初中階段感興趣的高中數學難題，回顧老師擴展的數學知識，在沒有任何壓力的情況下享受攻難克艱的樂趣，感受高中數學的魅力。

3.關注高中數學思想方法的進一步學習。

高中數學思想方法是數學的靈魂，比如：類比法——引導我們探求新知;歸納猜想——我們創新的基石;分類討論——化難為易的突破口;等價轉化——解決問題的橋梁。

如果在這方面做得好的話，那么從一開始你就走在了前面。成功更是成功之母，如果你比其他同學適應得快，那么無疑你的進步會比別人快，從而形成一個增長的良性循環。

4.高中學習中的常用知識。

如十字相乘法分解因式、二次函數、一元二次方程、平面幾何等，力求在數學知識、方法、思想方面恰當進行初中和高中的銜接(都可以在書上或網上找到)，同學們要自主學習和思考，做一做相關練習題，打好基礎?？傊?，高中數學學習的過程就是理性思維能力培養的過程，希望同學在學習中能夠多思考、多總結，達到為以后的學習奠定堅實的基礎和必備的能力。

高三數學高效復習方法

高三的課一般有兩種形式：復習課和評講課，到高三所有課都進入復習階段，通過高中數學復習，學生要能檢測出知道什么，哪些還不知道，哪些還不會，因此在復習課之前一定要弄清那些已懂那些還不懂，增強聽課的主動性?，F在學生手中都會有一種高中數學復習資料，在老師講課之前，要把例題做一遍，做題中發現的難點，就是聽課的重點。

對高中數學預習中遇到的沒有掌握好的有關的舊知識，可進行補缺，以減少聽課過程中的困難;有助于提高思維能力，自己理解了的東西與老師的講解進行比較、分析即可提高自己思維水平;體會分析問題的思路和解決問題的思想方法，堅持下去，就一定能舉一反三，提高思維和解決問題的能力。此外還要作好筆記，筆記不是記錄而是將上述聽課中的要點，思維方法等作出簡單扼要的記錄，以便復習，消化，思考。

高三數學選擇題秒殺法

1.剔除法

利用已知條件和選擇支所提供的信息，從四個選項中剔除掉三個錯誤的答案，從而達到正確選擇的目的。這是一種常用的方法，尤其是答案為定值，或者有數值范圍時，取特殊點代入驗證即可排除。

2.排除法

數學選擇題的解題本質就是去偽存真，舍棄不符合題目要求的選項，找到符合題意的正確結論.篩選法(又叫排除法)就是通過觀察分析或推理運算各項提供的信息或通過特例，對于錯誤的選項，逐一剔除，從而獲得正確的結論.3.數形結合法

數形結合法是指在處理高考數學選擇題問題時，能準確地將抽象的數學語言與直觀的幾何圖形有機結合起來進行思考，通過“以形助數”、“以數輔形”，使抽象思維與形象思維相結合，從而實現化抽象為直觀、化直觀為精確，并達到簡捷解決問題的方法。數形結合法在解決高考數學選擇題問題中具有十分重要的意義。

4.綜合法

當單一的解題方法不能使試題迅速獲解時，我們可以將多種方法融為一體，交叉使用，試題便能迎刃而解.根據題干提供的信息，不易找到解題思路時，我們可以從選項里找解題靈感.5.測量法

比如遇到幾何選擇題求角度的題，如果不會做，或者沒時間做，只要你能根據標準圖形進行用量角器測量，一般情況下也能做出正確答案，但這種方法一定要確定圖示正確且為符合題設的標準圖，否則量出來的答案就會出問題。

第三篇：2011屆高三數學一輪復習精品教案

2011屆高三數學一輪復習精品教案――排列組合二項式定理概率統計（附高考預測）

二、重點知識回顧 1.排列與組合

? 分類計數原理與分步計數原理是關于計數的兩個基本原理，兩者的區別在于分步計數原理和分步有關，分類計數原理與分類有關.? 排列與組合主要研究從一些不同元素中，任取部分或全部元素進行排列或組合，求共有多少種方法的問題.區別排列問題與組合問題要看是否與順序有關，與順序有關的屬于排列問題，與順序無關的屬于組合問題.? 排列與組合的主要公式 ①排列數公式：(m≤n)

A =n!=n(n―1)(n―2)?…?2?1.②組合數公式：

(m≤n).③組合數性質：①(m≤n).② ③

2.二項式定理 ? 二項式定理

(a +b)n =C an +C an－1b+…+C an－rbr +…＋C bn，其中各項系數就是組合數C，展開式共有n+1項，第r+1項是Tr+1 =C an－rbr.? 二項展開式的通項公式

二項展開式的第r+1項Tr+1=C an－rbr(r=0,1,…n)叫做二項展開式的通項公式。? 二項式系數的性質

①在二項式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即C = C(r=0,1,2,…,n).②若n是偶數，則中間項(第 項)的二項公式系數最大，其值為C ；若n是奇數，則中間兩項(第 項和第 項)的二項式系數相等，并且最大，其值為C = C.③所有二項式系數和等于2n，即C +C ＋C +…+C =2n.④奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數和，即C +C +…=C +C +…=2n―1.3.概率

（1）事件與基本事件：

基本事件：試驗中不能再分的最簡單的“單位”隨機事件；一次試驗等可能的產生一個基本事件；任意兩個基本事件都是互斥的；試驗中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式來表示．

（2）頻率與概率：隨機事件的頻率是指此事件發生的次數與試驗總次數的比值．頻率往往在概率附近擺動，且隨著試驗次數的不斷增加而變化，擺動幅度會越來越?。S機事件的概率是一個常數，不隨具體的實驗次數的變化而變化．

（3）互斥事件與對立事件： 事件 定義 集合角度理解 關系

互斥事件 事件 與 不可能同時發生 兩事件交集為空 事件 與 對立，則 與 必為互斥事件； 事件 與 互斥，但不一是對立事件

對立事件 事件 與 不可能同時發生，且必有一個發生 兩事件互補

（4）古典概型與幾何概型：

古典概型：具有“等可能發生的有限個基本事件”的概率模型．

幾何概型：每個事件發生的概率只與構成事件區域的長度（面積或體積）成比例．

兩種概型中每個基本事件出現的可能性都是相等的，但古典概型問題中所有可能出現的基本事件只有有限個，而幾何概型問題中所有可能出現的基本事件有無限個．

（5）古典概型與幾何概型的概率計算公式：

古典概型的概率計算公式： ．

幾何概型的概率計算公式： ．

兩種概型概率的求法都是“求比例”，但具體公式中的分子、分母不同．

（6）概率基本性質與公式 ①事件 的概率 的范圍為： ．

②互斥事件 與 的概率加法公式： ． ③對立事件 與 的概率加法公式： ．

（7）如果事件A在一次試驗中發生的概率是p，則它在n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率是pn(k)= C pk(1―p)n―k.實際上，它就是二項式[(1―p)+p]n的展開式的第k+1項.（8）獨立重復試驗與二項分布

①．一般地，在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗．注意這里強調了三點：（1）相同條件；（2）多次重復；（3）各次之間相互獨立；

②．二項分布的概念：一般地，在n次獨立重復試驗中，設事件A發生的次數為X，在每次試驗中事件A發生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發生k次的概率為 ．此時稱隨機變量 服從二項分布，記作，并稱 為成功概率．

4、統計

（1）三種抽樣方法

①簡單隨機抽樣

簡單隨機抽樣是一種最簡單、最基本的抽樣方法．抽樣中選取個體的方法有兩種：放回和不放回．我們在抽樣調查中用的是不放回抽?。?/p>

簡單隨機抽樣的特點：被抽取樣本的總體個數有限．從總體中逐個進行抽取，使抽樣便于在實踐中操作．它是不放回抽取，這使其具有廣泛應用性．每一次抽樣時，每個個體等可能的被抽到，保證了抽樣方法的公平性．

實施抽樣的方法：抽簽法：方法簡單，易于理解．隨機數表法：要理解好隨機數表，即表中每個位置上等可能出現0，1，2，…，9這十個數字的數表．隨機數表中各個位置上出現各個數字的等可能性，決定了利用隨機數表進行抽樣時抽取到總體中各個個體序號的等可能性．

②系統抽樣

系統抽樣適用于總體中的個體數較多的情況．

系統抽樣與簡單隨機抽樣之間存在著密切聯系，即在將總體中的個體均分后的每一段中進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣．

系統抽樣的操作步驟：第一步，利用隨機的方式將總體中的個體編號；第二步，將總體的編號分段，要確定分段間隔，當（Ｎ為總體中的個體數，n為樣本容量）是整數時，；當 不是整數時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的個體個數Ｎ能被n整除，這時 ；第三步，在第一段用簡單隨機抽樣確定起始個體編號，再按事先確定的規則抽取樣本．通常是將 加上間隔k得到第2個編號，將 加上k，得到第3個編號，這樣繼續下去，直到獲取整個樣本．

③分層抽樣

當總體由明顯差別的幾部分組成時，為了使抽樣更好地反映總體情況，將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不重疊的部分，每一部分叫層；在各層中按層在總體中所占比例進行簡單隨機抽樣．

分層抽樣的過程可分為四步：第一步，確定樣本容量與總體個數的比；第二步，計算出各層需抽取的個體數；第三步，采用簡單隨機抽樣或系統抽樣在各層中抽取個體；第四步，將各層中抽取的個體合在一起，就是所要抽取的樣本．

（2）用樣本估計總體

樣本分布反映了樣本在各個范圍內取值的概率，我們常常使用頻率分布直方圖來表示相應樣本的頻率分布，有時也利用莖葉圖來描述其分布，然后用樣本的頻率分布去估計總體分布，總體一定時，樣本容量越大，這種估計也就越精確．

①用樣本頻率分布估計總體頻率分布時，通常要對給定一組數據進行列表、作圖處理．作頻率分布表與頻率分布直方圖時要注意方法步驟．畫樣本頻率分布直方圖的步驟：求全距→決定組距與組數→分組→列頻率分布表→畫頻率分布直方圖．

②莖葉圖刻畫數據有兩個優點：一是所有的信息都可以從圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，但數據位數較多時不夠方便．

③平均數反映了樣本數據的平均水平，而標準差反映了樣本數據相對平均數的波動程度，其計算公式為 ． 有時也用標準差的平方———方差來代替標準差，兩者實質上是一樣的．

（3）兩個變量之間的關系

變量與變量之間的關系，除了確定性的函數關系外，還存在大量因變量的取值帶有一定隨機性的相關關系．在本章中，我們學習了一元線性相關關系，通過建立回歸直線方程就可以根據其部分觀測值，獲得對這兩個變量之間的整體關系的了解．分析兩個變量的相關關系時,我們可根據樣本數據散點圖確定兩個變量之間是否存在相關關系，還可利用最小二乘估計求出回歸直線方程．通常我們使用散點圖，首先把樣本數據表示的點在直角坐標系中作出，形成散點圖．然后從散點圖上，我們可以分析出兩個變量是否存在相關關系：如果這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，那么就說這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線，其對應的方程叫做回歸直線方程．在本節要經常與數據打交道，計算量大，因此同學們要學會應用科學計算器．

（4）求回歸直線方程的步驟：

第一步：先把數據制成表，從表中計算出 ；

第二步：計算回歸系數的a，b，公式為

第三步：寫出回歸直線方程 ．（4）獨立性檢驗

① 列聯表：列出的兩個分類變量 和，它們的取值分別為 和 的樣本頻數表稱為 列聯表1 分類 1 2 總計 1 2

總計

構造隨機變量（其中）

得到 的觀察值 常與以下幾個臨界值加以比較：

如果，就有 的把握因為兩分類變量 和 是有關系； 如果

就有 的把握因為兩分類變量 和 是有關系； 如果

就有 的把握因為兩分類變量 和 是有關系；

如果低于，就認為沒有充分的證據說明變量 和 是有關系．

②三維柱形圖：如果列聯表1的三維柱形圖如下圖

由各小柱形表示的頻數可見，對角線上的頻數的積的差的絕對值

較大，說明兩分類變量 和 是有關的，否則的話是無關的．

重點：一方面考察對角線頻數之差，更重要的一方面是提供了構造隨機變量進行獨立性檢驗的思路方法。

③二維條形圖（相應于上面的三維柱形圖而畫）

由深、淺染色的高可見兩種情況下所占比例，由數據可知 要比 小得多，由于差距較大，因此，說明兩分類變量 和 有關系的可能性較大，兩個比值相差越大兩分類變量 和 有關的可能性也越的．否則是無關系的．

重點：通過圖形以及所占比例直觀地粗略地觀察是否有關，更重要的一方面是提供了構造隨機變量進行獨立性檢驗的思想方法。

④等高條形圖（相應于上面的條形圖而畫）

由深、淺染色的高可見兩種情況下的百分比；另一方面，數據

要比 小得多，因此，說明兩分類變量 和 有關系的可能性較大，否則是無關系的．

重點：直觀地看出在兩類分類變量頻數相等的情況下，各部分所占的比例情況，是在圖２的基礎上換一個角度來理解。

三、考點剖析 考點一：排列組合 【方法解讀】

1、解排列組合題的基本思路：

① 將具體問題抽象為排列組合問題，是解排列組合應用題的關鍵一步 ② 對“組合數”恰當的分類計算是解組合題的常用方法；

③ 是用“直接法”還是用“間接法”解組合題，其前提是“正難則反”；

2、解排列組合題的基本方法：

（1）優限法：元素分析法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素； 位置優先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；

（2）排異法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。（3）分類處理：某些問題總體不好解決時，常常分成若干類，再由分類計數原理得出結論；注意：分類不重復不遺漏。

（4）分步處理：對某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計數原理解決；在解題過程中，常常要既要分類，以要分步，其原則是先分類，再分步。

（5）插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間。

（6）捆綁法：把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列。

（7）窮舉法：將所有滿足題設條件的排列與組合逐一列舉出來；這種方法常用于方法數比較少的問題。

【命題規律】排列組合的知識在高考中經常以選擇題或填空題的形式出現，難度屬中等。例

1、(2008安徽理)12名同學合影，站成前排4人后排8人，現攝影師要從后排8人中抽2人調整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調整方法的總數是()A．

B．

C． D．

解：從后排8人中選2人共 種選法，這2人插入前排4人中且保證前排人的順序不變，則先從4人中的5個空擋插入一人，有5種插法；余下的一人則要插入前排5人的空擋，有6種插法，故為 ；綜上知選C。

例

2、(2008全國II理)12．如圖，一環形花壇分成A、B、C、D四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊里種一種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法種數為(A)96(B)84(C)60(D)48 解：分三類：種兩種花有 種種法；種三種花有 種種法；種四種花有 種種法.共有.例

3、(2008陜西省理)16．某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產生，則不同的傳遞方案共有 種．（用數字作答）解：分兩類：第一棒是丙有 ,第一棒是甲、乙中一人有

因此共有方案 種 考點二：二項式定理

【內容解讀】掌握二項式定理和二項式系數的性質，并能用它們計算和論證一些簡單問題。對二項式定理的考查主要有以下兩種題型：

1、求二項展開式中的指定項問題：方法主要是運用二項式展開的通項公式；

2、求二項展開式中的多個系數的和：此類問題多用賦值法；要注意二項式系數與項的系數的區別； 【命題規律】

歷年高考二項式定理的試題以客觀題的形式出現，多為課本例題、習題遷移的改編題，難度不大，重點考查運用二項式定理去解決問題的能力和邏輯劃分、化歸轉化等思想方法。為此，只要我們把握住二項式定理及其系數性質，會把實際問題化歸為數學模型問題或方程問題去解決，就可順利獲解。例

4、（2008安徽理）設 則 中奇數的個數為（）A．2 B．3 C．4 D．5 解：由題知，逐個驗證知，其它為偶數，選A。

例

5、(2008上海理)12.組合數Crn（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）

A．r+1n+1Cr-1n-1 B．(n+1)(r+1)Cr-1n-1 C．nr Cr-1n-1 D．nrCr-1n-1 解：由.例

6、(2008浙江文)（6）在 的展開式中，含 的項的系數是（A）-15（B）85（C）-120（D）274 解：本題可通過選括號（即5個括號中4個提供，其余1個提供常數）的思路來完成。故含 的項的系數為

例

7、(2008重慶文)(10)若(x+)n的展開式中前三項的系數成等差數，則展開式中x4項的系數為

(A)6(B)7(C)8(D)9

解：因為 的展開式中前三項的系數、、成等差數列，所以，即，解得： 或（舍）。令 可得，所以 的系數為，故選B。考點三：概率

【內容解讀】概率試題主要考查基本概念和基本公式，對等可能性事件的概率、互斥事件的概率、獨立事件的概率、事件在n次獨立重復試驗中恰發生k次的概率、離散型隨機變量分布列和數學期望等內容都進行了考查。掌握古典概型和幾何概型的概率求法。【命題規律】（1）概率統計試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6％-10％，試題的難度為中等或中等偏易。

（2）概率統計試題通常是通過對課本原題進行改編，通過對基礎知識的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設問巧、并賦予時代氣息、貼近學生實際的問題。這樣的試題體現了數學試卷新的設計理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實際，體現了人文教育的精神。

例

8、(2008江蘇)在平面直角坐標系 中，設D是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構成的區域，E是到原點的距離不大于1的點構成的區域，向D中隨意投一點，則落入E中的概率為。

解：如圖：區域D表示邊長為4的正方形ABCD的內部（含邊界），區域E表示單位圓及其內部，因此。

答案

點評：本題考查幾何概型，利用面積相比求概率。

例

9、(2008重慶文)(9)從編號為1,2,…,10的10個大小相同的球中任取4個，則所取4個球的最大號碼是6的概率為

(A)(B)(C)(D)解：，故選B。

點評：本小題主要考查組合的基本知識及等可能事件的概率。

例

10、(2008山東理)在某地的奧運火炬傳遞活動中，有編號為1，2，3，…，18的18名火炬手.若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成3為公差的等差數列的概率為（A）

（B）

（C）

（D）

解：基本事件總數為。

選出火炬手編號為，時，由 可得4種選法；

時，由 可得4種選法； 時，由 可得4種選法。

點評：本題考查古典概型及排列組合問題。

例

11、(2008福建理)(5)某一批花生種子，如果每1粒發牙的概率為 ,那么播下4粒種子恰有2粒發芽的概率是（）

A.B.C.D.解：獨立重復實驗，例

12、(2008陜西省理)某射擊測試規則為：每人最多射擊3次，擊中目標即終止射擊，第 次擊中目標得 分，3次均未擊中目標得0分．已知某射手每次擊中目標的概率為0.8，其各次射擊結果互不影響．

（Ⅰ）求該射手恰好射擊兩次的概率；

（Ⅱ）該射手的得分記為，求隨機變量 的分布列及數學期望． 解：（Ⅰ）設該射手第 次擊中目標的事件為，則，．

（Ⅱ）可能取的值為0，1，2，3． 的分布列為

0 1 2 3

0.008 0.032 0.16 0.8 例

13、（2008廣東卷17）．隨機抽取某廠的某種產品200件，經質檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設1件產品的利潤（單位：萬元）為 ．

（1）求 的分布列；（2）求1件產品的平均利潤（即 的數學期望）；

（3）經技術革新后，仍有四個等級的產品，但次品率降為，一等品率提高為 ．如果此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？ 解： 的所有可能取值有6，2，1，-2；，故 的分布列為： 2 1-2

0.63 0.25 0.1 0.02（2）

（3）設技術革新后的三等品率為，則此時1件產品的平均利潤為

依題意，即，解得 所以三等品率最多為

考點四：統計 【內容解讀】理解簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣的概念，了解它們各自的特點及步驟．會用三種抽樣方法從總體中抽取樣本．會用樣本頻率分布估計總體分布．會用樣本數字特征估計總體數字特征．會利用散點圖和線性回歸方程，分析變量間的相關關系；掌握獨立性檢驗的步驟與方法。

【命題規律】（1）概率統計試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6％-10％，試題的難度為中等或中等偏易。

（2）概率統計試題通常是通過對課本原題進行改編，通過對基礎知識的重新組合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設問巧、并賦予時代氣息、貼近學生實際的問題。這樣的試題體現了數學試卷新的設計理念，尊重不同考生群體思維的差異，貼近考生的實際，體現了人文教育的精神。

例

14、（2007廣東）下表提供了某廠節能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生

產能耗Y(噸標準煤)的幾組對照數據

y 2.5 3 4 4.5(1)請畫出上表數據的散點圖；

(2)請根據上表提供的數據，崩最小二乘法求出Y關于x的線性回歸方程Y=bx+a；

(3)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤．試根據(2)求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤?(參考數值：32．5+43+54+64．5=66.5)解：(1)散點圖略.(2), , ，由所提供的公式可得 ,故所求線性回歸方程為 10分

(3)噸.例

15、（2008江蘇模擬）為了研究某高校大學新生學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名進校學生的視力情況，得到頻率分布直方圖,如圖.已知前4組的頻數從左到右依次是等比數列 的前四項，后6組的頻數從左到右依次是等差數列 的前六項．(Ⅰ)求等比數列 的通項公式;（Ⅱ)求等差數列 的通項公式；

(Ⅲ)若規定視力低于5.0的學生屬于近視學生,試估計該校新生的近視率 的大小.解：（I）由題意知：，∵數列 是等比數列，∴公比

∴.(II)∵ =13, ∴，∵數列 是等差數列，∴設數列 公差為，則得，∴ ＝87，，(III)= ,(或 =)答:估計該校新生近視率為91%.例

16、（2008江蘇模擬）某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數多少之間的關系,他們分別到氣象局與某醫院抄錄了1至6月份每月10號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數,得到如下資料: 日 期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日 晝夜溫差x(°C)10 11 13 12 8 6 就診人數y(個)22 25 29 26 16 12 該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數據中選取2組,用剩下的4組數據求線性回歸方程,再用被選取的2組數據進行檢驗.(Ⅰ)求選取的2組數據恰好是相鄰兩個月的概率；(5分)(Ⅱ)若選取的是1月與6月的兩組數據,請根據2至5月份的數據,求出y關于x的線性回歸方程 ；(6分)(Ⅲ)若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2人,則認為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?(3分)(參考公式:)解：(Ⅰ)設抽到相鄰兩個月的數據為事件A.因為從6組數據中選 取2組數據共有15種情況,每種情況都是等可能出現的 其中,抽到相鄰兩個月的數據的情況有5種

所以

(Ⅱ)由數據求得

由公式求得

再由

所以 關于 的線性回歸方程為

(Ⅲ)當 時, , ； 同樣, 當 時, ，所以,該小組所得線性回歸方程是理想的.四、方法總結與2010年高考預測 1.排列組合應用題的處理方法和策略

? 使用分類計數原理還是分步計數原理要根據我們完成某件事情時采取的方式而定，分類來完成這件事情時用分類計數原理，分步驟來完成這件事情時用分步計數原理.怎樣確定是分類，還是分步驟？“分類”表現為其中任何一類均可獨立完成所給事件，而“分步驟”必須把各步驟均完成才能完成所給事情.所以準確理解兩個原理的關鍵在于明確：分類計數原理強調完成一件事情的幾類辦法互不干擾，彼此之間交集為空集，并集為全集，不論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨完成事件；分步計數原理強調各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成事件，步與步之間互不影響，即前一步用什么方法不影響后一步采取什么方法.? 排列與組合定義相近，它們的區別在于是否與順序有關.? 復雜的排列問題常常通過試驗、畫簡圖、小數字簡化等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結果的正確性難以直接檢驗，因而常需要用不同的方法求解來獲得檢驗.? 按元素的性質進行分類、按事件發生的連續過程分步，是處理組合問題的基本思想方法，要注意題設中“至少”“至多”等限制詞的意義.? 處理排列組合的綜合性問題，一般思想方法是先選元素(組合)，后排列，按元素的性質“分類”和按事件發生的連續過程“分步”，始終是處理排列、組合問題的基本方法和原理，通過解題訓練要注意積累分類和分步的基本技能.? 在解決排列組合綜合性問題時，必須深刻理解排列與組合的概念，能夠熟練確定——問題是排列問題還是組合問題，牢記排列數、組合數計算公式與組合數性質.容易產生的錯誤是重復和遺漏計數.常見的解題策略有以下幾種： ①特殊元素優先安排的策略； ②合理分類與準確分步的策略；

③排列、組合混合問題先選后排的策略； ④正難則反、等價轉化的策略； ⑤相鄰問題捆綁處理的策略； ⑥不相鄰問題插空處理的策略； ⑦定序問題除法處理的策略； ⑧分排問題直排處理的策略；

⑨“小集團”排列問題中先整體后局部的策略； ⑩構造模型的策略.2.二項定理問題的處理方法和技巧

? 運用二項式定理一定要牢記通項Tr+1 =C an－rbr，注意(a +b)n與(b+a)n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不相同的，我們一定要注意順序問題.另外二項展開式的二項式系數與該項的(字母)系數是兩個不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分.? 對于二項式系數問題，應注意以下幾點：

①求二項式所有項的系數和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；

②關于組合恒等式的證明，常采用“構造法”——構造函數或構造同一問題的兩種算法； ③證明不等式時，應注意運用放縮法.? 求二項展開式中指定的項，通常是先根據已知條件求r，再求Tr+1，有時還需先求n，再求r，才能求出Tr+1.? 有些三項展開式問題可以變形為二項式問題加以解決；有時也可以通過組合解決，但要注意分類清楚，不重不漏.? 對于二項式系數問題，首先要熟記二項式系數的性質，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項式系數問題的一個重要手段.?近似計算要首先觀察精確度，然后選取展開式中若干項.? 用二項式定理證明整除問題，一般將被除式變為有關除式的二項式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關知識來解決.3.求事件發生的概率的處理方法和技巧

? 解決等可能性事件的概率問題的關鍵是：正確求出基本事件總數和事件A包含的基本事件數，這就需要有較好的排列、組合知識.? 要注意恰有k次發生和指定的k次發生的關系，對獨立重復試驗來說，前者的概率為C pk(1―p)n―k，后者的概率為pk(1―p)n―k.（3）計算古典概型問題的關鍵是怎樣把一個事件劃分為基本事件的和的形式，以便準確計算事件A所包含的基本事件的個數和總的基本事件個數；計算幾何概型問題的關鍵是怎樣把具體問題（如時間問題等）轉化為相應類型的幾何概型問題，及準確計算事件A所包含的基本事件對應的區域的長度、面積或體積．

（4）在古典概型問題中，有時需要注意區分試驗過程是有序還是無序；在幾何概型問題中需注意先判斷基本事件是否是“等可能”的．

（5）幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內不影響所求結果．

4、關于統計

（1）對簡單隨機抽樣公平性的理解，即每一次抽取時每個個體被抽到的可能性相等．

（2）隨機數表產生的隨機性．計算器和許多計算機數學軟件都能很方便地生成隨機數表．

（3）系統抽樣中當總體個數Ｎ不能被樣本容量整除時，應注意如何從總體中剔除一些個體．

（4）用系統抽樣法在第一段抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣，因此第一段內每個個體被抽到的可能性相同，而總體中個體編號也是隨機的，所以保證了整個系統抽樣的公平性．

（5）分層抽樣適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況．每一層抽樣時，采用簡單隨機抽樣或系統抽樣．分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性也是相同的．

（6）分層抽樣充分利用了已知信息，使樣本具有較好的代表性，在各層抽樣時，根據具體情況可采用不同的抽樣方法，因此分層抽樣在實踐中有著廣泛的應用．

2010高考預測

2010年高考中，本節的內容還是一個重點考查的內容，因為這部分內容與實際生活聯系比較大，隨著新課改的深入，高考將越來越重視這部分的內容，排列、組合、概率、統計都將是重點考查內容，至少會考查其中的兩種類型。

五、復習建議

1.對于一些容易混淆的概念，如排列與排列數、組合與組合數、排列與組合、二項式系數與二項展開式中各項的系數等，應注意弄清它們之間的聯系與區別.2.復習中，對于排列組合應用題，注意從不同的角度去進行求解，以開闊思維，提高解題能力.3.注意體會解決概率應用題的思考方法，正向思考時要善于將較復雜的問題進行分解，解決有些問題時還要學會運用逆向思考的方法.4、注意復習求線性回歸方程的方法，回歸分析方法，獨立性檢驗的方法及其應用問題。

第四篇：2021高三數學一輪復習攻略

第一輪復習一般從8月到12月，以教材的知識體系作為復習的主要線索，以幫助同學們回憶、回顧以前學習過的知識為主，下面給大家分享一些關于2021高三數學一輪復習攻略，希望對大家有所幫助。

2021高三數學一輪復習攻略11、適用條件：[直線過焦點]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A為直線與焦點所在軸夾角，是銳角。x為分離比，必須大于1。注上述公式適合一切圓錐曲線。如果焦點內分(指的是焦點在所截線段上)，用該公式;如果外分(焦點在所截線段延長線上)，右邊為(x+1)/(x-1)，其他不變。

2、函數的周期性問題(記憶三個)：

(1)若f(x)=-f(x+k)，則T=2k;

(2)若f(x)=m/(x+k)(m不為0)，則T=2k;

(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，則T=6k。注意點：a.周期函數，周期必無限b.周期函數未必存在最小周期，如：常數函數。c.周期函數加周期函數未必是周期函數，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函數。

3、關于對稱問題(無數人搞不懂的問題)總結如下：

(1)若在R上(下同)滿足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，對稱軸為x=(a+b)/2;

(2)函數y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關于x=(b-a)/2對稱;

(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，則f(x)圖像關于(a，b)中心對稱

4、函數奇偶性：

(1)對于屬于R上的奇函數有f(0)=0;

(2)對于含參函數，奇函數沒有偶次方項，偶函數沒有奇次方項

(3)奇偶性作用不大，一般用于選擇填空

5、數列爆強定律：1，等差數列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7為下角標);2等差數列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3，等比數列中，上述2中各項在公比不為負一時成等比，在q=-1時，未必成立4，等比數列爆強公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q6、數列的終極利器，特征根方程。(如果看不懂就算了)。首先介紹公式：對于an+1=pan+q(n+1為下角標，n為下角標)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，則數列通項公式為an=(a1-x)p2(n-1)+x，這是一階特征根方程的運用。二階有點麻煩，且不常用。所以不贅述。希望同學們牢記上述公式。當然這種類型的數列可以構造(兩邊同時加數)

7、函數詳解補充：

(1)復合函數奇偶性：內偶則偶，內奇同外

(2)復合函數單調性：同增異減

(3)重點知識關于三次函數：恐怕沒有多少人知道三次函數曲線其實是中心對稱圖形。它有一個對稱中心，求法為二階導后導數為0，根x即為中心橫坐標，縱坐標可以用x帶入原函數界定。另外，必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切。

8、常用數列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2記憶方法：前面減去一個1，后面加一個，再整體加一個29、適用于標準方程(焦點在x軸)爆強公式：k橢=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k雙={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k拋=p/yo注：(xo，yo)均為直線過圓錐曲線所截段的中點。

10、強烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技：已知直線L1：a1x+b1y+c1=0直線L2：a2x+b2y+c2=0若它們垂直：(充要條件)a1a2+b1b2=0;若它們平行：(充要條件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[這個條件為了防止兩直線重合)注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直接必殺!

2021高三數學一輪復習攻略21、經典中的經典：相信鄰項相消大家都知道。下面看隔項相消：對于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]注：隔項相加保留四項，即首兩項，尾兩項。自己把式子寫在草稿紙上，那樣看起來會很清爽以及整潔!

2、爆強△面積公式：S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m，n)，向量BC=(p，q)注：這個公式可以解決已知三角形三點坐標求面積的問題!

3、你知道嗎?空間立體幾何中：以下命題均錯：1，空間中不同三點確定一個平面;2，垂直同一直線的兩直線平行;3，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;4，如果一條直線與平面內無數條直線垂直，則直線垂直平面;5，有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱;6，有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐注：對初中生不適用。

4、一個小知識點：所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。

5、求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n為正整數)的最小值。答案為：當n為奇數，最小值為(n2-1)/4，在x=(n+1)/2時取到;當n為偶數時，最小值為n2/4，在x=n/2或n/2+1時取到。

6、√〔(a2+b2)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b為正數，是統一定義域)

7、橢圓中焦點三角形面積公式：S=b2tan(A/2)在雙曲線中：S=b2/tan(A/2)說明：適用于焦點在x軸，且標準的圓錐曲線。A為兩焦半徑夾角。

8、爆強定理：空間向量三公式解決所有題目：cosA=|{向量a.向量b｝/[向量a的?！料蛄縝的模]|一：A為線線夾角，二：A為線面夾角(但是公式中cos換成sin)三：A為面面夾角注：以上角范圍均為[0，派/2]。

9、爆強公式12+22+32+…+n2=1/6(n)(n+1)(2n+1);123+223+323+…+n23=1/4(n2)(n+1)21、爆強切線方程記憶方法：寫成對稱形式，換一個x，換一個y。舉例說明：對于y2=2px可以寫成y×y=px+px再把(xo，yo)帶入其中一個得：y×yo=pxo+px

2021高三數學一輪復習攻略31、爆強定理：(a+b+c)2n的展開式[合并之后]的項數為：Cn+22，n+2在下，2在上

2、[轉化思想]切線長l=√(d2-r2)d表示圓外一點到圓心得距離，r為圓半徑，而d最小為圓心到直線的距離。

3、對于y2=2px，過焦點的互相垂直的兩弦AB、CD，它們的和最小為8p。爆強定理的證明：對于y2=2px，設過焦點的弦傾斜角為A.那么弦長可表示為2p/〔(sinA)2〕，所以與之垂直的弦長為2p/[(cosA)2]，所以求和再據三角知識可知。(題目的意思就是弦AB過焦點，CD過焦點，且AB垂直于CD)

4、關于一個重要絕對值不等式的介紹爆強：∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣

5、關于解決證明含ln的不等式的一種思路：爆強：舉例說明：證明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)把左邊看成是1/n求和，右邊看成是Sn。解：令an=1/n，令Sn=ln(n+1)，則bn=ln(n+1)-lnn，那么只需證an>bn即可，根據定積分知識畫出y=1/x的圖。an=1×1/n=矩形面積>曲線下面積=bn。當然前面要證明1>ln2。注：僅供有能力的童鞋參考！另外對于這種方法可以推廣，就是把左邊、右邊看成是數列求和，證面積大小即可。說明：前提是含ln。

6、爆強簡潔公式：向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的數量積〕/[向量b的模]。記憶方法：在哪投影除以哪個的模

7、說明一個易錯點：若f(x+a)[a任意]為奇函數，那么得到的結論是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右邊不是-f(-x-a)〕，同理如果f(x+a)為偶函數，可得f(x+a)=f(-x+a)牢記!

8、離心率爆強公式：e=sinA/(sinM+sinN)注：P為橢圓上一點，其中A為角F1PF2，兩腰角為M，N9、橢圓的參數方程也是一個很好的東西，它可以解決一些最值問題。比如x2/4+y2=1求z=x+y的最值。解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍!

1、[僅供有能力的童鞋參考]]爆強公式：和差化積sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]積化和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

2021高三數學一輪復習攻略

第五篇：高三數學一輪復習學生如何應對

高三學生如何應對數學第一輪復習

河北饒陽中學丁饋欽

我們學生實際情況基礎不好、計算能力差等特點，我想進入高三數學第一輪用時6個月左右，分章節，分專題，象過篩子一樣周密、細致、詳實，經過第一輪的復習，學生的基礎較夯實，知的前面都列出的上一年的高考考試要求，這是從高考考試說明上摘錄的，是今年高考命題的依據，層次要求即使有變化也不會太大。不要眉毛胡子一把抓，平均用力，出力不討好。這一點，同學們放心，老師也會告訴你們。

五、熟記一些常用數據、常用方法、常規題型，對解題大有裨益

識結構較網絡，方法較系統，為后續的復習搭建了一個跳躍平臺。故一輪復習的成敗直接影響總成績的好壞，作為剛入高三的學生應注意哪些問題呢？根據我這幾年帶高三的經驗，提出以下建議供同學們參考：

一、再好的復習資料替代不了課本

盡管我們有一輪復習資料，它歸納不少的知識點、總結了不少的規律。但替代不了教材的基礎性、系統性、可讀性，高考試題絕大多數“源于教材，高于教材”或精心變形得到，所以“以考綱為綱，以本為本”是最根本的制勝之道。但是，同學們大多是棄教材于一邊，只看復習資料，造成定義、定理不熟悉，似是而非。再者，教材上的例題、練習、習題編寫的都很基礎且典型，比如:必修4 三角恒等變換一節習題中題目涉及角的代換：β=α+β-α，2α=(α+β)+(α-β)等，設置就很有代表性。教材上的題目同學們都做過，除少數題目需要做一下外，大部分瀏覽一遍即可，用時較少，通過閱讀教材，既全面了解了基本概念，掌握了一些基本題目，又為復習打好了基礎，所以我們必須看教材。另外我們平常復習過程中，出現概念、公式等不清或混淆，一定要及時查閱教材。反復復習教材，把握清楚每一個知識點，不留死角。

二、建立筆記和錯題本

好記性不如爛筆頭。第一輪復習戰線較長，復習后面的忘著前面的，看筆記可以鞏固復習效果，筆記是一份寶貴資源。整理筆記主要是每課的知識點都條理化形成的一個個知識框架，使之線索清晰，重點突出，內容精煉。要把聽講的重點、難點、疑點、易錯點、體會記錄下來，用不同的符號劃出來，確保筆記的完整性、準確性和可讀性。疑點課下或問老師或問同學抓緊解決，不留“夾生飯”，千萬不要知識“搬家”，只記不看，復習效果就大打折扣。

高三一年，“大考三六九，小考天天有”，周考、月考、模擬考，接連不斷，考點練習、專題練習，試卷鋪天蓋地，有些同學把試卷都放著，每科都有很厚的一摞，最后沒空看，或看不完，棄之可惜，故必須建立錯題本，作對的題目已經起到應有的作用，沒有保存的價值了。關鍵是做錯的和不會的題目，剪下來，粘在本子上，用不同顏色的筆或字體注明錯誤原因、正確答案、補救措施??不要抄題，費時費力。平常用零星時間多看看劃劃，逐步減少錯題數量，提高數學成績。高考前幾天，老師放手讓同學們自己復習，錯漏本是最好的閱讀材料。

三、明確高考要求，避輕就重，有的放矢，注重實效

高考主要考察的能力是：思維能力，運算能力，實踐能力，空間想象能力和創新意識，平常的訓練中要有意識地加強。比如計算能力的培養，不是一朝一夕的事，對一些復雜的推理、化簡，要耐心計算，培養能力，也可以積累一些運算技巧，純算數問題，不要借助于計算器，因為高考不讓用。如果一看會，就過去了，那么就會眼高手低，用時較長，或會而不對，對而不全，空留遺憾，一定要“切合實際”選擇相關幾道題目熟練一下。

每一章節，高考都有明確的要求，要求的層次是了解、理解、應有、綜合應有。每一本資料

1.多記一些數據，熟記教材上有的、，老師補充的和自己歸納的結論。如：

f(a?x)?f(a?x),f(x)?f(2a?x)說明函數關于x?a對稱。f(x)??f(x?a)說明函數周期是2a解題時可 以直接應用，特別是選擇題和填空題，簡捷準確,省時省力。

2.多掌握一些運算技巧、常見方法和常見題型。常用的方法和技巧，每一章節中常見題型并不太多，什么樣的題型應有什么樣的技巧和方法，哪一種方法解決哪一類題目基本上是比較明確的。盡管高考命題專家在命題時把已有的所有題目存入電腦進行排查，以防重題，但是高考題出來后，還是“熟面孔”多。

六、提高做題質量，避免題海戰術

1．知一反三，注重題后反思；知三歸一，善于類比、聯系、歸納、總結。題海戰術在一定程度上能提高成績，但要花費太多的精力和時間，而提高成績不做一定量的題目也達不到“熟能生巧”的 “火候”，因此，我們應該知一題通一類，舉一反三，觸類旁通。做完題目后，要進行多角度反思，多問幾個為什么，如尋找該題的“題眼”、入手方向，考察的知識點和方法，揣摩命題者的意圖，若減少一個條件，或條件和結論換一下，如何求解??通過一題多變充分挖掘典型題目的作用，通過一題多解掌握和熟練常用方法思路，這一道題目發揮到了最大價值，能力也能夠實實在在地提高到一個層次。

相同類型的題目做上2～3道，歸納解法，形成思路，以后不用再重復做了。相似的題目要比較異同，加強聯系。

2.注意解答步驟的完整性、簡潔性

仔細看一下每一道解答題的答案，其實都是一篇小文章，有因有果，有頭有尾，嚴謹縝密。因為高考評卷分步給分，所以解題步驟一定要齊全，簡明扼要，不丟三落四，不拖泥帶水。平常要多看參考答案，訓練時要緊扣得分點書寫，盡量少失分，也就多得了分。

總之，在高三第一輪復習中，既要注意構建鞏固每個知識板塊及它們的聯系，同時也應注意處理好“源”與“本”的聯系，例、習題的安排源于課本并高于課本，有點串線，由線組面，形成知識網絡結構。另一方面，在復習中緊密和把握基礎知識和生活背景、社會現實，特別是將理論知識和生活實際結合起來加以運用，常用常新，提高復習效率和知識運用能力。