第一篇:第五章 第二節(jié) 等差數列及其前n項和 課下作業(yè)(共)
第五章第二節(jié) 等差數列及其前n項和
1.設命題甲為“a,b,c成等差數列”,命題乙為“2”,那么()bb
A.甲是乙的充分不必要條件
B.甲是乙的必要不充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲是乙的既不充分也不必要條件
aca解析:由+=2,可得a+c=2b,但a、b、c均為零時,a、b、cbbbc2.b
答案:B
2.在數列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.(1)設bn=a,證明:數列{bn}是等差數列; 2(2)求數列{an}的前n項和Sn.解:(1)證明:由已知an+1=2an+2n得
a+2a+2nabn+1==1=bn+1.222
又b1=a1=1,因此{bn}是首項為1,公差為1的等差數列.
(2)由(1)知a-2n1.-n,即an=n·2
-Sn=1+2×21+3×22+?+n×2n1,兩邊乘以2得,2Sn=2+2×22+?+n×2n.兩式相減得
Sn=-1-21-22-?-2n1+n·2n -
=-(2n-1)+n·2n
=(n-1)2n+1.3.(2009·福建高考)nn334,則公差d等于()
5A.1C.2D.3 3
解析:∵S3=?a1+a3?×3=6,而a3=4,∴a1=0,2
a3-a1∴d=2.2
答案:C
4.(2010·徐州模擬)觀察下表:
234
34567
45678910
??
則第__________行的各數之和等于2 0092.解析:設第n行的各數之和等于2 0092.則Sn=(2n-1)·n+?2n-1??2n-2?·1 2
=(2n-1)2=2 0092,∴2n-1=2 009,n=1 005.答案:1 005
5.已知等差數列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,則數列{bn}的前5項和等于________.
?a2=a1+d=6,?a1=3,??解析:由???∴an=3+3(n-1)=3n,bn=a2n=6n,∴??a=a+4d=15,d=3,?5?1
6+30=5=90.2
答案:90
6.已知數列{an}滿足2an+1=an+an+2(n∈N+),它的前n項和為Sn,且a3=5,S6=36.(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=6n+(-1)n1λ·2an(λ為正整數,n∈N+),試確定λ的值,使得對任意n∈N+,-
都有bn+1>bn成立.
解:(1)∵2an+1=an+an+2,∴{an}是等差數列,設{an}的首項為a1,公差為d,?a1+2d=5?由a3=5,S6=36得?,解得a1=1,d=2.?6a+15d=36?1
∴an=2n-1.(2)由(1)知bn=6n+(-1)n1·λ·22n1,要使得對任意n∈N+都有bn+1>bn恒成立,--
∴bn+1-bn=6n1+(-1)n·λ·22n1-6n-(-1)n1·λ·22n1=5·6n-5λ·(-1)n1·22n1>0恒++----
成立,13-λ·(-1)n1<()n.22
當n為奇數時,333即λ<(n,而n的最小值為 222
∴λ<3.3當n為偶數時,λ>-2()n,2
399而-2()n的最大值為-∴λ>-222
9由上式可得-<λ<3,而λ為正整數,2
∴λ=1或λ=2.7.設等差數列{an}的前nn367+a8+a9等于()
A.63B.45
C.36D.27
解析:由{an}是等差數列,則S3,S6-S3,S9-S6成等差數列.
由2(S6-S3)=S3+(S9-S6)得到
S9-S6=2S6-3S3=45,即a7+a8+a9=45.答案:B
8.在等差數列{an}中,已知log2(a5+a9)=3,則等差數列{an}的前13項的和S13=________.解析:∵log2(a5+a9)=3,∴a5+a9=23=8.∴S13=13×?a1+a13?13×?a5+a9?13×8==52.222
答案:52
9.(2009·遼寧高考)等差數列{an}的前n項和為Sn,且6S5-5S3=5,則a4=________.解析:設等差數列{an}的首項為a1,公差為d,則由6S5-5S3=5,得6(a1+3d)=2,1所以a4=.3
1答案:3
10.(2010·合肥模擬)在數列{an}中,a1=,a2=1,且an+2-an=1,(n∈N+),則S20=2
________.解析:∵an+2-an=1,1∴1為公差的等差數列,2
110×9∴a1+a3+?+a19=10×+1=50,22
同理,偶數項構成以1為首項,1為公差的等差數列.
∴a2+a4+?+a20=10×1+
∴S20=105.答案:105
11.(文)在等差數列{an}中,若a1<0,S9=S12,則當n等于________時,Sn取得最小值.
解析:設數列{an}的公差為d,則由題意得
119a1+9×(9-1)d=12a1+12×(12-1)d,22
即3a1=-30d,∴a1=-10d.∵a1<0,∴d>0.1121∴Sn=na1+(n-1)d=dn2- 222
21d441dn-?2-=2?28
∴Sn有最小值,又n∈N+,∴n=10,或n=11時,Sn取最小值.
答案:10或11
11.(理)若數列{an}是等差數列,數列{bn}滿足bn=an·an+1·an+2(n∈N+),{bn}的前n項和
用Sn表示,若{an}滿足3a5=8a12>0,則當n等于________時,Sn取得最大值. 解析:(先判斷數列{an}中正的項與負的項)
∵3a5=8a12>0,∴3a5=8(a5+7d)>0,解得a5=-5676d>0,∴d<0,∴a1=-d,5510×91=55,2
故{an}是首項為正數的遞減數列.
??an≥0由??an+1≤0? ?-5+?n-1?d≥0???5+nd≤076
11?15≤n≤16,∴n=16.55
答案:16
1112.已知二次函數f(x)=ax2+bx+c(x∈R),滿足f(0)=f()=0,且f(x)的最小值是-28
設數列{an}的前n項和為Sn,對一切n∈N+,點(n,Sn)在函數f(x)的圖象上.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)通過bn=S構造一個新的數列{bn},是否存在非零常數c,使得{bn}為等差數列; n+c
Sn+n(3)令cn=n,設數列{cn·2cn}的前n項和為Tn,求Tn.2解:(1)因為f(0)=f()=0,所以f(x)的對稱軸為x=,又因為f(x)的最小值2240+
111是-,由二次函數圖象的對稱性可設f(x)=a(x-2848
又f(0)=0,所以a=2,11所以f(x)=2(x-2=2x2-x.48
因為點(n,Sn)在函數f(x)的圖象上,所以Sn=2n2-n.當n=1時,a1=S1=1;當n≥2時,an=Sn-Sn-1=4n-3(n=1時也成立),所以an=4n-3(n∈N+).
12n?n-22n-nS1(2)因為bn==令c=-(c≠0),即得bn=2n,此時數列{bn}2n+cn+cn+c2
1為等差數列,所以存在非零常數c,使得{bn}為等差數列. 2
S+n2n2-n+n(3)cnn==2n,n
則cn·2cn=2n×22n=n×22n1.+
所以Tn=1×23+2×25+?+
(n-1)22n1+n×22n1,-+
4Tn=1×25+2×27+?+(n-1)22n1+n×22n3,++
兩式相減得:-3Tn=2+2+?+2
++352n+1-n×22n+323?1-4n?+=n·22n3,1-423?1-4n?n·22n3?3n-1?22n3+8Tn=.939
第二篇:等差數列前n項和作業(yè)
家長簽名:
學之導教育中心作業(yè)
———————————————————————————————學生: 伍家濠 授課時間:________年級: 高三
教師:
廖
1.已知等差數列共有10項,其中奇數項之和15,偶數項之和為30,則其公差是()A.5 B.4 C.3 D.2 2.在等差數列?an?中,若a4?a6?12,Sn是數列?an?的前n項和,則S9的值為()(A)48(B)54(C)60(D)66 3.設Sn是等差數列?an?的前n項和,若(A)
S31S?,則6?()S63S12311(B)
(C)8(D)
39104.已知數列{an}、其首項分別為a1、且a1?b1?5,設b1,a1,b1?N*.{bn}都是公差為1的等差數列,則數列{cn}的前10項和等于()cn?abn(n?N*)A.55
B.70
C.85
D.100 5.設?an?是公差為正數的等差數列,若a1?a2?a3?15,a1a2a3?80,則a11?a12?a13?()
A. 120 B. 105 C. 90 D.75 6.?an?是首項a1=1,公差為d=3的等差數列,如果an=2005,則序號n等于()(A)667(B)668(C)669(D)670 7.若等差數列?an?的前三項和S3?9且a1?1,則a2等于()A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差數列?an?的前n項和為Sn若a2?1,a3?3,則S4=()[來源:學科網] A.12 B.10 C.8 D.6 9.設等差數列{an}的前n項和為Sn,若S3?9,S6?36,則a7?a8?a9?()A.63 B.45 C.36 D.27 10.等差數列?an?的公差是正數,且a3a7??12,a4?a6??4,求它的前20項的和.11.已知數列?an?為等差數列,前30項的和為50,前50項的和為30,求前80項的和。
12.在等差數列?an?中,已知a2?a5?a12?a15?36,求S1613、若a1>0,S15=S20,它的前幾項和最大?
第三篇:等差數列前n項和教案
等差數列前n項和教案
一、教材分析
1、教材內容:等差數列前n項求和過程以及等差數列前n項和公式。
2.教材所處的地位和作用:本節(jié)課的教學內容是等差數列前n項和,與前面學過
的等差數列的定義、性質等內容有著密切的聯(lián)系,又能為后面等比數列前n
項和以及數列求和做鋪墊。
3、教學目標
(1)知識與技能:掌握等差數列前n項和公式,理解公式的推導方法。同時能
熟練、靈活地應用等差數列前n項和公式解決問題。
(2)過程與方法:經歷公式的推導過程,體驗倒序相加進行求和的過程,學會
觀察、歸納、反思。體驗從特殊到一般的研究方法。
(3)情感、態(tài)度、價值觀:通過具體、生動的現實問題的引入,激發(fā)學生探
究求和方法的興趣,樹立學生求知意識,產生熱愛數學的情感,逐步養(yǎng)
成科學、嚴謹的學習態(tài)度,提高一般公式推理的能力。
4、重點與難點
重點:等差數列前n項和公式的掌握與應用。
難點:等差數列前n項和公式的推導以及其中蘊含的數學思想的掌握。
二、學情分析
學生前幾節(jié)已經學過一些數列的概念及簡單表示法,還學了等差數列的定
義以及性質,對等差數列已經有了一定程度的認識。這些知識也為這節(jié)的等差數列前n項和公式做準備,讓學生能更容易理解等差數列前n項和公式的推導過程。同時也為后面的等比數列前n項和公式做鋪墊。但由于數列形式多樣,因此僅僅掌握等差數列前n項和公式還是不夠的,更應該學會靈活應用。
三、教學方法:啟發(fā)引導,探索發(fā)現
四、教學過程
1.教學環(huán)節(jié):創(chuàng)設情境
教學過程:200多年前,高斯的算術老師提出了下面的問題: 1?2?3???100??。據說,當其他同學忙于把100個數逐項相加時,10歲的高斯迅速得出5050這個答案。讓同學思考并討論高斯是怎么算的。
設計意圖:由著名的德國數學家高斯的例子引發(fā)同學們的思考,為下面引入倒序相加法求和做準備。2.教學環(huán)節(jié):介紹倒序相加法
教學過程:請同學將自己的計算方法在課上發(fā)表,老師接著介紹倒序相加
法。記S?1?2?3???10098???1S?100?99?,從而發(fā)現每一列相加都得101。
則2S?(1?100)?(2?99)?(3?98)???(100?1)?101*100
S?101*1002?5050
類似地,用同樣的方法計算1,2,3,?,n,?的前n項和,可以得到 1?2?3???n?(n?1)n。2 設計意圖:介紹倒序相加法,并用這個方法計算1,2,3,?,n,?的前n 項和,從而為下面推導等差數列前n項和公式做鋪墊。
3.教學環(huán)節(jié):推導公式
教學過程:首先介紹數列?an?的前n項和,用Sn來表示,即
Sn?a1?a2?a3???an。對于公差為d的等差數列,我們用兩種方法表示Sn。Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)???[a1?(n?1)d]Sn?an?(an?d)?(an?2d)???[an?(n?1)d]
則兩式相加得:
2Sn?(a1?an)?(a1?an)?(a1?an)???(a1?an)?n(a1?an)
???????????????????n個n(a1?an),將等差數列的通項公2n(n?1)d。式an?a1?(n?1)d代入,得到公式Sn?na1?2 推導出等差數列前n項和的公式為Sn? 設計意圖:用倒序相加法推導得到等差數列前n項和公式,由于有前面的鋪墊讓學生更容易理解等差數列前n項和公式的推導過程,對后面的應用也有幫助。
4、教學環(huán)節(jié):例題講解
教學過程:例1:用等差數列前n項和的公式計算1+3+5+?+99的值。
例2:a1?1,a8?6,求這個等差數列的前8項和S8以及公
差d。例3:已知數列?an?的前n項和Sn?n2?n,求這個數列 的通項公式。這個數列是等差數列嗎?如果是,它的首項與公差分別是什么?
設計意圖:鞏固等差數列前n項和公式,加深學生對該公式的印象。6.教學環(huán)節(jié):回顧總結
教學過程:
1、倒序相加法進行求和的思想
2、復習等差數列前n項和公式Sn? Sn?na1?n(a1?an)和 2n(n?1)強調要根據條件選用適當的公式進 d,行求解。以及公式的適用范圍。7.教學環(huán)節(jié):布置作業(yè)
七、板書設計
1、問題的提出
2、倒序相加法
3、等差數列前n項和公式
4、例題
5、回顧總結
6、布置作業(yè)
第四篇:等差數列前n項和教案
等差數列前n項和(第一課時)教案
【課題】
等差數列前n項和第一課時
【教學內容】
等差數列前n項和的公式推導和練習
【教學目的】
(1)探索等差數列的前項和公式的推導方法;
(2)掌握等差數列的前項和公式;
(3)能運用公式解決一些簡單問題
【教學方法】 啟發(fā)引導法,結合所學知識,引導學生在解決實際問題的過程中發(fā)現新知識,從而理解并掌握.【重點】
等差數列前項和公式及其應用。
【難點】
等差數列前項和公式的推導思路的獲得 【教具】
實物投影儀,多媒體軟件,電腦 【教學過程】
1.復習回顧 a1 + a2 + a3 +......+ an=sn
a1 + an=a2 + an-1 =a3 + an-2 2.情景自學
問題一: 一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1 支鉛筆,往上每一層都比它下面一層 多放一支,最上面一層放 100支,這個V 形架上共放著多少支鉛筆?
思考:(1)問題轉化求什么 能用最短時間算出來嗎?
(2)閱讀課本后回答,高斯是如何快速求和的?
他抓住了問題的什么特征?
(3)如果換成1+2+3+…+200=?我們能否快速求和?,(4)根據高斯的啟示,如何計算 18+21+24+27+…+624=?
3..合作互學(小組討論,總結方法)
問題二: Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = ?
倒序相加法
探究:能把以上問題的解法推廣到求一般等差數列的前n 項和嗎?
問題三: 已知等差數列{an }中,首項a1,公差為d,第n項為an , 如何求前n項和Sn ?
等差數列前項和公式: n(a1 + an)=2Sn
問題四: 比較以上兩個公式的結構特征,類比于問題一,你能給出它們的幾何解釋嗎?
n(a1 + a n)=2Sn
公式記憶 —— 類比梯形面積公式記憶
n(a1 + a n)=2S 問題五: 兩個求和公式有何異同點?能夠解決什么問題?
展示激學
應用公式
例1.等差數列-10,-6,-2,2的前多少項的和為-16 例2.已知一個等差數列的前10項和是310,前20項的和是1220,由這些條件能確定這個等差數列的前n項和的公式嗎?
【思考問題】如果一個數列{an }的前n項和Sn = pn2 + qn + r,(其中p,q,r為常數,且p ≠ 0),那么這個數列 一定是等差數列嗎?若是,說明理由,若不是,說明Sn必須滿足的條件。
【教學后記】新數學課程標準中明確提出“數學是人類的一種文化,它的內容、思想、方法和語言 是現代文明的重要組成部分” “要體現數學的文化價值”等,將數學史有機地融入到課堂教學中,不僅不會影響學生的學習,相反卻會激發(fā)學生熱愛數學的熱情,起到正面推動作用,提升數學教育成效.這也是貫徹德育、提倡人文精神的重要組成部分.由具體的問題情境激發(fā)學生的學習興趣.等差數列前 n 項和公式的推導由教師引導學生自主探索, 由于數學的嚴謹性和學生認知的不完備性是一個矛盾,因此公式的發(fā)現過程是一個不斷修改、不斷完善、逐步發(fā)現的過程.引導學生積極參與結論的探索、發(fā)現、推導的過程, 并弄清楚每個結論的因果關系,要適當延遲判斷,多讓學生想一想、議一議、說一說,重視思路分析的訓練.須知教師講課的最精彩之處,不是自己分析的頭頭是道,而是引導學生探求解題思路最后再引導學生歸納引出結論.通過例題的講解和練習的訓幫助學生掌握 和記憶公式,例題的變式訓練加大課堂教學的研究性、開放性和自主性,在開展探究活 動中培養(yǎng)學生的基本技能.
第五篇:等差數列前n項和教案
等差數列的前n項和教案
一、教學目標:
知識與技能目標:
掌握等差數列前n項和公式,能熟練應用等差數列前n項和公式。過程與方法目標:
經歷公式的推導過程,體驗從特殊到一般的研究方法,了解倒序相加求和法的原理。
情感、態(tài)度與價值觀目標:
獲得發(fā)現的成就感,逐步養(yǎng)成科學嚴謹的學習態(tài)度,提高代數推理的能力。
二、教學重難點:
教學重點: 探索并掌握等差數列前n項和公式,學會運用公式。教學難點:等差數列前n項和公式推導思路的獲得。
三、教學過程:
(一)、創(chuàng)設情景,提出問題
印度著名景點--泰姬陵,傳說陵寢中有一個三角形圖案,以相同大小的圓寶石鑲飾而成,共有100層。你知道這個圖案一共花了多少顆寶石嗎?從而提出問題怎樣快速地計算1+2+3+…+100=?(學生思考),著名的數學家高斯十歲時就用簡便的方法計算出1+2+3+…+100=5050,介紹高斯的算法。
(二)、教授新課:
數學的方法并不是單一的,還有其他的方法計算1+2+3+…+100嗎?(學生思考)
①老師介紹倒序相加求和法,記S=1+2+3+…+100 S=100+99+98+…+1 可發(fā)現上、下這兩個等式對應項的和均是101,所以 2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+ … +(100+1)2S=101?100=10100 S=10100=5050 2②如果要計算1,2,3,…,(n-1),n這n個數的和呢?(學生獨立思考),老師引導,類似上面的算法,可得S=
?1?n??n2
③1,2,3,…,(n-1),n這是一個以1為公差的等差數列,它的和等于S=?1?n??n2,對于公差為d的等差數列,它們的和也是如此嗎?
首先,一般地,我們稱a1?a2?a3???an 為數列?an?的前n 項和,用Sn表示,即Sn?a1?a2?a3???an
類似地:
Sn?a1?a2?a3???an①
··?a1② Sn?an?an?1?an?2?· ①+②: 2Sn??a1?an???a2?an?1???a3?an?2?????an?a1?
∵?a1?an???a2?an?1???a3?an?2?????an?a1?
∴2Sn?n(a1?an)由此得:Sn?n(a1?an)公式1 2由等差數列的通項公式an?a1??n?1?d有,Sn?na1?
(三)、例題講解:
n?n?1?2d 公式2(1)、利用上述公式求1+2+3+…+100=?(學生獨立完成)
(2)、例:等差數列?an?中,已知: a1??4,a8??18,n?8,求前n項和Sn及公差d.(教師引導,師生共同完成)
選用公式:根據已知條件選用適當的公式 Sn?變用公式:要求公差d,需將公式2Sn?na1?n(a1?an)求出 Sn 2n?n?1?2d變形運用,求d 知三求二 等差數列的五個基本量知三可求另外兩個
(四)、課堂小結:
1、公式的推導方法:倒序求和
2、等差數列的前n項和公式
Sn?n(a1?an)2Sn?na1?n?n?1?2d
3、公式的應用。
(五)、作業(yè)
課本45頁 練習第1題 46頁A組第2題