第一篇：大學生數學建模競賽組織方式的探討

關于全國大學生數學建模競賽組織方式的探討

徐艷，張宏禮

（黑龍江八一農墾大學 文理學院，黑龍江 大慶 163319）

摘要：針對全國大學生數學建模競賽是否應將一本院校和二本院校分開進行競賽的問題進行了研究和探討。首先對近年全國大學生數學建模競賽獲獎情況進行了統計分析，結果顯示一本院校特別是重點院校在競賽獲獎中確實占有很大比例，但這并不意味著應該將一本院校和二本院校分開進行競賽。其次，我們分別從數學建模競賽的宗旨與目的、社會對大學生的需求、數學建模競賽質量等八個方面論述了具體原因。

關鍵詞：數學建模競賽；組織方式；一本院校；二本院校

中圖分類號：O242.1文獻標識碼：A

Discussion about the organization of the National Mathematical

Contest in Modeling

Xu Yan，Zhang Hongli

(College of Art and Science，Heilongjiang Bayi Agricultural University，Daqing 163319)

Abstract: The competition problem of the National Mathematical Contest in Modeling whether the an institution and the two institutions shoud be separate racing was studied and discussed.First we conducted a statistical analysis of Mathematical Contest in Modeling Awards In recent years, the results showed that an institution especially the key institution occupies a large proportion awards ,but this dose not means it should be an institution and two institutions to compete separately.Secondly, we discusse the specific reasons from eight aspects of the mathematical modeling contest aims and purposes, the demand for community college students, mathematical modeling contest Etc.Keyword: Mathematical Contest in Modeling;Organization;An institution;Two institutions引言

1985年美國率先創設了一年一度的數學建模競賽，我國于1992年舉行了首屆全國大學生數學建模競賽，至今已成功舉辦了二十屆競賽，參賽規模從1992年的十省市70多所院校300多參賽隊發展到現在幾乎全國所有高校都派隊參加、參賽隊數近兩萬，從2004年開始又增加了研究生組的數學建模競賽。全國大學生數學建模競賽為提高大學生的科研素質，培養大學生應用數學知識解決實際問題的能力發揮了重要作用，因此得到高等院校的日益重視，已成為當前全國最大的大學生課外科技競賽活動。[5]

全國大學生數學建模競賽的參賽分為本科組和專科組進行組織。本科學生參加本科組競賽，不能參加專科組競賽；專科（高職高專）學生參加專科組競賽，也可參加本科組競賽）。本科組和專科組分別有兩道賽題供選擇，參賽隊從兩道賽題中任選一道完成，無論參加哪組競賽，均必須在報________________________________________________

[基金項目] 黑龍江省新世紀高等教育教學改革工程項目。

[作者簡介] 徐艷，女，1981年生，黑龍江八一農墾大學文理學院數學系教師，碩士、講師，研究方向：多元函數逼

近，高校數學教育等。張宏禮，男，1970年生，黑龍江雞西人，黑龍江八一農墾大學文理學院數學系教師，博士、教授，研究方向：高校數學教育，群體遺傳的信息模型，網絡控制系統等。

名時確定，報名截止后不能再更改報名組別。同一參賽隊的學生必須來自同一所學校（同一法人單位），同一法人單位必須以相同的學校名稱報名參賽，不能以院系、校區名稱參賽（具有獨立法人資格者除外）。[2~4]

近兩年，為了提高各高等院校數學建模教學與競賽的水平，加強廣大數學模型的任課教師和數學建模指導教師之間的交流，研討數學建模競賽的發展趨勢，全國大學生數學建模競賽組委會和中國工業與應用數學學會數學模型專業委員會聯合主辦全國大學生數學建模競賽賽題講評與經驗交流會，邀請當年全國數學建模競賽命題和評獎的有關專家做專題報告，對當年全國大學生數學建模競賽賽題進行解析與講評，與參會指導教師進行座談和經驗交流。在這兩次賽題講評與經驗交流會進行座談和經驗交流時，一些二本院校的指導教師常問的一個問題是：一本院校和二本院校在學生素質、師資水平、教學資源等方面有著巨大的差距，完全不在一個起跑線上，共同參加全國大學生數學建模競賽無疑會不公平，建議組委會將一本院校和二本院校分開進行競賽。本文對此問題進行研究、討論。近年全國大學生數學建模競賽獲獎情況

為分析是否應該將一本院校和二本院校分開進行競賽的問題，我們以本科組競賽為對象，將近五年全國大學生數學建模競賽中985工程院校、211工程院校和全部院校近年獲國家獎情況[6]進行了統計分析，見表1。

表1本科組985工程院校、211工程院校和所有參賽院校近年獲國家獎情況

年份

2006年

2007年

2008年

2009年

2010年

總計

由表可得，近五年985工程院校獲本科組一等獎的比例為30.3%，獲本科組二等獎的比例為18.3%；211工程院校獲本科組一等獎的比例為50.9%，獲本科組二等獎的比例為38.2%。通過統計發現，985工程院校以及211工程院校在所有參賽院校中確實占有極大的獲獎比例，特別是本科組一等獎的獲獎比例，211工程院校獲本科組一等獎比例已經超過總獲獎隊數的50%。我國目前有985工程院校39所，211工程院校121所，而2010年參加全國賽的高校總數為1197所，其中本科組占據了絕大多數，985工程院校和211工程院校所占比例較少，但是卻是一本院校的重中之重，獲獎比例也遠遠超出了全國平均水平，這些院校的學生素質、師資水平、教學資源、信息資源等方面的巨大優勢是產生上述事實的主要原因，但是這是否就意味著應該將一本院校和二本院校分開進行競賽呢？我們認為并不見得，分析如下。41 63 55 72 77 308 92 126 147 149 158 672 81 106 105 110 116 518 200 277 286 312 325 1400 193 199 200 216 210 1018 537 685 716 820 907 3665 一等獎隊數 二等獎隊數 一等獎隊數 二等獎隊數 一等獎隊數 二等獎隊數問題探討

3.1 全國大學生數學建模競賽是面向所有大學生的競賽

以“創新意識、團隊精神、重在參與、公平競爭”為宗旨的全國大學生數學建模競賽，其目的是培育學生主動的刻苦鉆研精神，鼓勵學生的創造性思維，引導學生在發掘興趣和潛能的基礎上全面發展，大學生數學建模競賽是培養大學生競爭意識和團隊精神、提高大學生創新能力和綜合素質的一個具體的、重要的載體，是面向所有大學生的競賽，不論一本院校還是二本院校都適用于這一宗旨和目的。

3.2 社會對大學生的需求不按一本二本劃分

隨著我國市場經濟的深入發展、國家招生和就業制度的改革，雙向選擇、自主擇業已成為大學生就業的主流。雖然大學畢業生所在的學校不同、等級不同，但當他們完成學業、走向社會之后，面臨的將是一個容納所有成員的大社會。國家部門、公司企業在招生用人時不會專門為一本院校畢業生、二本院校畢業生預留特定的席位，所有畢業生都將重新洗牌，在社會生活中按著勞資雙方的意愿、要求尋找自己的歸宿，一本院校學生不會僅僅因為學校的品牌好就找到好工作，二本院校學生也不會僅僅因為學校的品牌差就失業，關鍵是要靠每一個大學生自身的實力在社會中找到自己的立足之地。所以全國大學生數學建模競賽也沒有必要將一本院校和二本院校分開進行競賽。

3.3 培養學生應用數學方法解決實際問題的能力不需劃分一本二本

眾所周知，數學建模競賽對大學生應用數學方法解決實際問題的能力、創新精神和團隊精神的培養是非常有益的，一些國內外專家、學者一致認為數學建模競賽活動至少可以提高學生以下幾方面的能力：數學應用能力、創新實踐能力、團結合作能力、自學能力和使用文獻資料的能力、意志力、計算機應用能力，而所有這些能力的培養都與學校的類別和層次沒有直接關系，在能力培養方面所有的院校目標都是一致的，只是程度、層次不同而已。我們都希望培養出高素質人才，而大學生數學建模競賽剛好給我們提供了一個平臺，讓學生體驗到數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活和其它學科的聯系，體驗綜合運用知識解決實際問題的過程，從而提高他們運用數學知識解決實際問題的能力，相應地全國大學生數學建模競賽無需按照學校類別和層次分別組織。[1]

3.4 沒有競爭的舞臺，唱獨角戲會使競賽失去活力

我國的大學生數學建模競賽最初是從美國學來的，二十年來我國數學建模的學者一直緊盯美國數學建模競賽的發展狀況，不斷完善我國的大學生數學建模競賽，目前來看中美兩國的大學生數學建模競賽已經差別不大。我國的大學生數學建模競賽容納全部高校進來，全國一盤棋，可以讓二本院校及時了解全國的、高層次的建模競賽的發展狀況，發展中有參照，容易看到自己的不足和差距，容易明確自己的前進方向。否則，只是在二表院校的圈子里參賽，大家固步自封、唱獨角戲，只陶醉于本層的競賽成績，沒有前進的方向就很難獲得不斷的進步或者進步緩慢。

3.5 全國大學生數學建模競賽按照一本二本院校分開組織會有許多新的復雜問題

全國大學生數學建模競賽如果將一本二本院校分開組織，會面臨許多新的問題。比如，有的二本院校有一本專業，有的一本院校有些專業也較差，如何準確界定一本院校和二本院校將是一個難題。假設這一劃分成功，是否還要將211工程院校與非211工程院校分開組織，再進一步是否要將985工程院校分開組織、清華北大是否要單獨組織等等。再比如，分開組織后是否要單獨命題、單獨評獎，所獲得的獎項間如何對比。

在全國競賽的影響和帶動下，很多院校組織了校內競賽或選拔賽，地區性競賽和行業性競賽也定期舉辦而形成了制度，進一步擴大了學生受益面。如東北三省賽區組委會聯合舉辦的東北三省數學建模聯賽，以復旦大學學生為主自發發起和主辦的華東地區大學生數學建模邀請賽，以中國礦業

大學學生為主自發發起和主辦的蘇北大學生數學建模聯賽，中國電機工程學會舉辦的全國大學生電工數學建模競賽（兩年一次），中國統計教育學會舉辦的全國大學生統計建模競賽（今年首次舉辦）等等。這種多形式多角度的建模競賽同時也代表了不同類別以及不同層次院校的競賽水平。綜上所述，全國大學生建模競賽沒有必要將一本二本院校分開組織。

3.6 全國大學生數學建模競賽按照一本二本院校分開組織會影響競賽的質量

全國大學生數學建模競賽之所以受到大學生的熱烈歡迎，不僅因為競賽內容充滿挑戰性，要求參賽者結合實際問題靈活運用數學、計算機技術及其他學科的知識，充分發揮聰明才智和創新能力，而且競賽形式是三名大學生組成一隊，選擇一題在三天時間內完成一篇論文，可以自由地通過圖書館和互聯網查閱資料，培養學生充分發揚團結合作的團隊精神。十幾年的經驗證明大學生數學建模競賽是培養大學生競爭意識和團隊精神、提高大學生創新能力和綜合素質的一個具體的、重要的載體。通過這一載體，使學生在全國的層面上得到了鍛煉，許多參加過競賽的學生反映：“一次參賽，終生受益”，他們在后繼專業課學習和課題研究中的綜合能力明顯提高，畢業后受到用人單位的歡迎和重用，不少人被免試推薦讀研究生。這些都極大提高了學生參加建模競賽的熱情。如果全國大學生數學建模競賽按照一本二本院校分開組織，橫向的比較無法實現，參賽的意義和獎項的價值將大打折扣，從而大大降低競賽的魅力，進而影響學生的參賽熱情。

3.7 全國大學生數學建模競賽有相關措施保障二本院校的利益和發展空間

為了讓更多的高校、更多的大學生參與到數學建模活動中，組委會做了大量的推廣工作，也制定了相關的論文評審準則，防止所獲獎項被少數院校瓜分。比如，以黑龍江省為例，每年向全國組委會推薦國家獎名額時，哈爾濱工業大學和哈爾濱工程大學都不能超過十個。從這一點上來說，全國大學生數學建模競賽不是不利于二本院校，而是限制了一本院校，保障了二本院校的利益和發展空間，沒有必要將一本二本院校分開組織。

3.8 從我校實際看，沒有必要將一本二本院校分開組織

黑龍江八一農墾大學是一所典型的普通高等農林類院校，無論如何也考不到一本院校之列。在過去的幾年里，我校數學系教師培訓、指導我校學生先后參加了全國大學生數學建模競賽、東北地區大學生數學建模聯賽、美國大學生數學建模競賽等賽事。在這一系列活動中，在我校師資相對較弱的情況下，我們獲得多個國家二等獎，盡管校領導期盼我們早日獲得國家一等獎，但是我們認為雖然我們應該向著國家一等獎的方向努力，但是國家二等獎已經是我們師生水平最好的體現了，而且我們最根本的目的“培養學生、鍛煉老師”已經實現了。在這個過程中，我們不斷向優秀的高校學習、不斷地派出教師進行建模活動的學術交流，使我們受益匪淺。如果沒有那些優秀的院校為榜樣、沒有較高層次的學習交流，我們的進步就不會這么大，所以從我們自身實際出發，我們也認為全國大學生數學建模競賽也沒有必要將一本二本院校分開組織。結論

在數學建模活動中，學生是最大的受益者。以全國大學生數學建模競賽為媒介培養有豐富創新意識、競爭能力和團隊精神的高素質人是一種非常好的培養模式。對于一些二本院校的教師提出的將全國大學生數學建模競賽按一本院校和二本院校分開進行競賽的問題，本文從競賽的目的和宗旨、社會需求、數學能力培養、對比發展、面臨的問題、競賽的質量、組委會措施和我校經歷等八個方面加以分析后認為是沒有必要的。

參考文獻

[1] 葉其孝.大學生數學建模競賽輔導材料(二)[M ].長沙: 湖南教育出版社, 1998.[2] 李美麗, 陳冰.淺談數學建模競賽的命題[J ].高等數學研究, 2006(9): 56-58.[3] 何滿喜.談數學建模對培養創新能力的作用[J].內蒙古師范大學學報: 教育科學版,2006(5):86-88.[4] 薛春艷,孫淑香,數學建模在數學教育中的作用[J].沈陽師范大學學報:自然科學版, 2006,24(3):372-374.[5] 教育部高等學校數學與統計學指導委員會課題組.數學學科專業發展戰略研究報告[J].中國大學數學, 2005(3):4-9.[6] 全國大學生數學建模競賽組織委員會.全國大學生數學建模競賽通訊[J].2010(3):1-21.聯系方式：手機***；E-mail:xuyan555@sina.com。

第二篇：數學建模及大學生數學建模競賽

數學建模及大學生數學建模競賽

近幾十年來，隨著科學技術的進步，特別是電子計算機的誕生和不斷完善，數學的應用已不再局限于物理學等傳統領域，生態學、環境科學、醫學、經濟學、信息科學、社會科學及一些交叉學科都提出大量有待解決的實際研究課題。要用定量分析的方法解決這些實際問題，十分關鍵而又十分困難的一步就是要建立恰當的數學模型。建立數學模型的過程需要把錯綜復雜的實際問題抽象為簡單合理的數學結構，要做到這一點，既需要豐富的想象力，又需要去尋找較合適的數學工具，從某種意義上講，它是能力與知識的綜合運用。

一、什么是數學建模

數學建模（Mathematical Modeling）簡單地說就是建立數學模型的過程。

二、數學建模的起源

數學建模并不是新東西（盡管過去很長時間這一術語用得很少），可以說有了數學并要用數學去解決實際問題就一定要用數學的語言、方法去近似地刻劃實際問題，而這種刻劃的數學表述就是一個數學模型，其過程就數學建模過程。

三、數學建模的教學與數學素質的培養

眾所周知人才培養是關鍵，數學模型方法已成為科學技術中常用的非常重要的方法，它是數學和其他科學技術之間的媒介和橋梁。同時數學建模的研究有了長足的進步，又有得心應手、強有力的計算機作為工具，因而必然會有人考慮到數學教育中一個不可缺少的內容應該是數學建模等數學的應用的內容。數學建模教學要求對學生以下幾個方面的能力進行培養。

四、大學生數學建模競賽

我國在高校中開設數學建模課程始于1982年，但當時只有少數重點院校作為選修課程來開設，可以說是自發的、民間，因而數學建模課程并未受到人們的重視。數學建模課程真正被許多高校融入主干課程，被國家教委、國家教育部重視，卻是得益于大學生數學建模競賽。可以說數學建模競賽是目前我國設立的最成功的一項競賽，它促進了各高校數學建模教學和數學建模活動的逢勃發展。

第三篇：2014全國大學生數學建模競賽

嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略

摘要

隨著月球探測任務的發展,未來月球探測考察目標將主要是 復雜地形特性的高科學價值區域。為了能夠安全地在這些遍布巖石、的區域內完成高精度軟著陸，這就要求導航和控制系統具有較強的自主性和實時性。本文針對最終著陸段安全、精確的需求，對月球軟著陸導航與控制方法進行較深入研究，主要內容包括：

首先，提出一種基于單幀圖像信息的障礙檢測方法。該方法根據著陸區內障礙成像的特點，通過匹配相應的陰影區與光照區完成對巖石、彈坑的檢測，利用圖像灰度方差對粗糙區域進行提取：在檢測出故障信息的基礎上，選取安全著陸點以保證軟著陸任務的成功。

其次，給出一種基于矢量觀測信息的自主光學導航方法。該方法利用光學相機和激光測距儀測量值構建著陸點相對著陸器的矢量信息，結合著陸器的姿態信息確定著陸器的位置。為了消除測量噪聲帶來的干擾，利用擴展Kalman濾波理論設計了導航濾波器。

再次，提出一種李雅普諾夫函數障礙規避制導方法。該方法通過對狀態函數、危險地形勢函數的設計，以滿足平移過程中減低障礙威脅與精確定點著陸器，設計PWPF（調頻調寬）調節器實現定推理等效變推力控制效果。

最后，針對采用變推力主發動機的月球著陸器，提出一種垂直軟著陸控制方法。該方法采用標稱控制與閉環控制相結合的方式，規劃標稱軌跡以保證著陸器到達著陸點時其下降速度、加速度亦為零，設計閉環控制器產生附加控制量消除初始偏差、著陸器質量變化的干擾，以保證著陸器沿標稱軌跡到達著陸點。

本文分別對所提出的最終著陸段導航與控制方法進行數學仿真以驗證個方法的可行性。仿真結果表明，本文多給出導航方法能夠達到較高的性能指標，滿足在危險區域實現高精度軟著陸的需要。

關鍵詞： 月球軟著陸；自主導航與控制；障礙檢測；規避制導；適量測量

一、問題重述

嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發射，12月6日抵達月球軌道。根據計劃，嫦娥三號將在北京時間12月14號在月球表面實施軟著陸。嫦娥三號如何實現軟著陸以及能否成功成為外界關注焦點。嫦娥三號在著陸準備軌道上的運行質量為2.4t，其安裝在下部的主減速發動機是目前中國航天器上最大推力的發動機，能夠產生1500N到7500N的可調節推力，進而對嫦娥三號實現精準控制。其比沖（即單位質量的推進劑產生的推力）為2940m/s，可以滿足調整速度的控制要求。在四周安裝有姿態調整發動機，在給定主減速發動機的推力方向后，能夠自動通過多個發動機的脈沖組合實現各種姿態的調整控制。嫦娥三號的預定著陸點為19.51W，44.12N，海拔為-2641m。嫦娥三號將在近月點15公里處以拋物線下降，相對速度從每秒1.7公里逐漸降為零。整個過程大概需要十幾分鐘的時間。在距月面100米處時，嫦娥三號要進行短暫的懸停，掃描月面地形，避開障礙物，尋找著陸點。之后，嫦娥三號在反推火箭的作用下繼續慢慢下降，直到離月面4米高時再度懸停。此時，關掉反沖發動機，探測器自由下落。

嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準確地在月球預定區域內實現軟著陸，關鍵問題是著陸軌道與控制策略的設計。其著陸軌道設計的基本要求：著陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其軟著陸過程共分為6個階段，分別為著陸準備軌道、主減速段、快速調整段、粗避障段、精避障段、緩速下降階段，要求滿足每個階段在關鍵點所處的狀態；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。

根據上述的基本要求，請你們建立數學模型解決下面的問題：

（1）確定著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應速度的大小與方向。（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優控制策略。

（3）對于你們設計的著陸軌道和控制策略做相應的誤差分析和敏感性分析。

二、問題分析

對于問題一：

嫦娥三號從15公里左右的高度下降到月球表面，在這一過程中不考慮月球表面太陽風的影響，忽略月球的自轉速度引起的科氏力的影響，由于下降時間比較短也不考慮太陽、地球對嫦娥三號的攝動影響，嫦娥三號水平速度要從1.692km/s降為0m/s由于3000m處時嫦娥三號已經基本位于著陸點上方，所以此時假設在3000m處的速度只存在豎直向下的速度而不存在水平分速度，因為降落減速時間比較短只有垂直于月面的方向運動才能實現，所以在確定著陸點位置和著陸軌跡時應當考慮燃料最優情況下推力最大，方向自由的方法即取F?7500N建立主減速段動力學模型。

三、符號說明

四、模型假設

對于問題一：

忽略月球的自傳和太陽、地球對嫦娥三號衛星的引力攝動 月球近似為一個質量均勻的標準球體 將嫦娥三號是為一個質點

主減速忽略動作調整所產生的燃料消耗段不考慮太陽風的影響

五、模型建立與求解

5.1問題一的建模與求解 解法一： 假設嫦娥三號在t時刻在遠月點開始緩慢下降，在n時刻到達近月點，整個過程遵循開普勒第三定律，即

v0?0

在t時刻有：v1?2??R1????? ??R0?R0?R1?r0 R0?r1?r2 其中v1：遠月點速度

v2：近月點速度

R0：遠月點月心距

R1：近月點月心距（已知月球的半徑為1738千米）

R0?1738?100?1838km

R1?1738?15?1753km 在t1時刻處v2? k?2??R1??? ?R0?R0?R1??R0?0.512k?0.488 R0?R1利用能量平衡式求得近地點速度為

2?0.512?49012（）?1.692km/s（沿切線方向）v2?，比當地的環境速度17531.672km/s大?vk?0.0196km/s，徑向速度vk?0。

1同理解得v1?1.6139km/s（沿切線方向）

vri?0

解得主減速段動力學模型的建立：

根據題意，在橫向飛行的水平距離遠遠小于月球半徑的平均值，所以可以將整個減速段過程簡化為水平和豎直方向運動方程，根據牛頓第二定律、速度計算公式有：

ax?Tx may?tTymTxt?a

?1.692km/s ?m?0?Qdt0??Ty???a?dt?57m/s t?0??m??Qdt?0??t?T22x?Ty2??7500N

v2?2at?S

運用matlab編程解得S?451810.4m； 其中 ax：水平方向加速度

ay：豎直方面加速度

a：月球表面重力加速度a? Tx：推力的水平方向分力

Ty：推力的豎直方向分力

t:主減速段時間

S:嫦娥三號主減速段水平位移

Q:嫦娥三號發動機燃料秒消耗率

根據已知資料得到嫦娥三號著陸過程中緯度改變，經度基本不變，月球赤緯和地球緯度一樣也分為南北各90個分度,又因為月球極區半徑為1735.843km，所以每一個緯度的豎直高度差為19.2871

4g 6千米。即近月點位置坐標為?19.0464W,28.9989N?海拔15km,遠月點位置坐標為?160.9536E,28.9989S?海拔100km。

解法2:軌跡方程法。

眾所周知,太陽系中的八大行星都在按照各自的橢圓軌道繞太陽進行公轉,太陽位于橢圓的一個焦點上,行星的運動遵循開普勒三定律,筆者發現,在各類物理競賽中,常會涉及到天體運動速度的計算,本文擬從能量和行星運動的軌跡方程兩個不同的角度來探索行星在近日點和遠日點的速度。

該解法的指導思想是對橢圓的軌跡方程求導,并結合一般曲線的曲率半徑通式求出近日點和遠日點的曲率半徑表達式,然后利用萬有引力提供向心力列方程求解。如圖1所示,橢圓的軌跡方程為

x2y2?2?1 ?5? 2ba將?5?式變形為

a2x2?b2y2?a2b2 ?6?

根據隱函數的求導法則將?6?式對x求導有

2a2x?2b2yy??0 ?7? 即

a2xy???2 ?8?

by將?7?式再次對x求導得

2a2?2b2(y?y??yy??)?0 ?9? 將?8?、?9?兩式聯立得

a2b2y2?a4x2 ?10? y???-43by根據曲率半徑公式有 r?(1?y?)?11? ??y122 將?8?、?10?、?11?式聯立并將A點坐標A(0，a)代入可得A點的曲率半徑為

b2RA? ?12?

a根據橢圓的對稱性,遠日點B的曲率半徑為

b2RB?RA? ?13?

a 由于在A、B兩點行星運行速度方向與萬有引力方向垂直,萬有引力只改變速度方向,并不改變速度大小,故分別根據萬有引力提供向心力得

GMmmvA ?14? ?(a?c)2RAGMmmvB ?15? ?2(a?c)RB將?13?至?15?式聯立可得 22vA?bGMbGM，vB? ??a?caa?ca

5.2問題二的建模與求解 模型一：動力學模型

典型的月球軟著陸任務中,探測器一般首先發射到100km的環月停泊軌道,然后根據所選定的著陸位置,在合適的時間給著陸器一個有限脈沖,使得著陸器轉入近月點(在著落位置附近)為15km,遠月點為100km的月球橢圓軌道,這一階段稱為霍曼轉移段。當著陸器運行到近月點時,制動發動機開始工作,其主要任務是抵消著陸器的初始動能和勢能,使著陸器接觸地面時,相對月面速度為零,即實現所謂的軟著陸,這一階段稱為動力下降段。著陸器的大部分燃料都是消耗在此階段,所以月球軟著陸軌跡優化主要是針對動力下降段這一階段。由于月球表面附近沒有大氣,所以在飛行器的動力學模型中沒有大氣阻力項。而且從15km左右的軌道高度軟著陸到月球表面的時間比較短,一般在幾百秒的范圍內,所以諸如月球引力非球項、日月引力攝動等影響因素均可忽略不計,所以這一過程可以在二體模型下描述。其示意圖如圖1所示,其中o為月球質心,x軸方向為由月心指向著陸器的初始位置,y軸方向為初始位置著陸器速度方向。

圖 1 月球軟著陸極坐標系

其動力學方程如下: r??v ????

v??(F/m)sin???/r?r

2?2 ????((F/m)cos??2v?)/r

m???F/ISP

在上式中r為著陸器與月心距離,v為著陸器徑向速度,?為著陸器極角,?為著陸器極角角速度,?為月球引力常數,F著陸器制動發動機推力,m為著陸器質量,?為制動發動機推力方向角,其定義為F與當地水平方向夾角,ISP為制動發動機比沖。根據動力下降段的起點位置可以確定動力學方程初始條件,由于起點處于霍曼轉移軌道的近地點,故其初始條件為: r0?rp

?0?0

v0?0 ?0?1rp?rp(2ra)ra?rp其中rp和ra分別為霍曼轉移段的近地點半徑和遠地點半徑。

終端條件為實現軟著陸, 即

rf?R

vf?0

?f?0

其中R為月球半徑,終端條件中對終端極角?f及終端時間tf無約束。

優化變量為制動發動機推力方向角?(t)。

優化的性能指標為在滿足上述初始條件和終端條件的前提下, 使著陸過程中燃料消耗最少,即

J??m(t)dt

t0f設計主減速段制導控制律 2動力下降段燃料最優精確著陸問題描述 2.1 燃料最優精確著陸問題

著陸器運動方程：考慮采用變推力發動機情況，有

r?v

.v?g?a

(1)

a?Tmm??aT..其中r?[rhrxry]T，v?[vhvxvy]T分別表示著陸器相對期望著陸點的位置和速度矢量；T為推力器提供的推力矢量，幅值為 T，對應控制加速度矢量 a；g為火星的重力加速度矢量，此處認為是常值；m為著陸器質量，對應推力器質量排除系數?。指標函數：考慮燃料消耗

min(m0?mf)???min?0fTdt

(2)邊界條件：即初始條件和終端條件

r(0)?r0,v(0)?v0,m(0)?m0,r(tf)?v(tf)?[000]

(3)控制約束：考慮發動機一旦啟動不能關閉，存在最大和最小推力約束

0?T1?T?T

2(4)狀態約束：為避免在著陸前撞擊到火星地表，需確保整個下降段位于火星地平面以上，即

rh?0

（5）進一步地，若著陸區域附近表面崎嶇不平，僅僅確保地表約束不能滿足需求時，可以考慮下降傾角約束，即將著陸器下降軌線約束到以著陸點為頂點的圓錐體內

2.2 等效后燃料最優精確著陸問題 定義等效變換變量

Ttrx2?ry2rh?tan?alt

（6）

u?a?T

?m

（7）

??Tmz?lnm??等效著陸器運動方程： ?.??r??0I3.?.??

y??v??00??.??00?z????其中p?[u?T0??r??0?v???I0?????30??z????0?7*7?0??u?g??0????Acy?Bc(p?g4)

（8）????????],g4?[gTT?0]T

t指標函數：

min?0f?(t)dt

（9）

邊界條件：同式(3)。

控制約束：由文獻[10]可知，控制約束(4)可等效表示為

u??1T1e?z0[1?(z?z0)?(z?z0)2]???T2e?z0[1?(z?z0)]

（10）（11）

2狀態約束：地表約束同式(5)，傾角約束(6)可等效表示為

T

Sy?cy?0

（12）

其中

?0100000?S???

0010000??c???tan?alt

T000000?

3.燃料最優精確著陸問題的離散化及變換 3.1 等效燃料最優精確著陸問題的離散化

首先將整個飛行時間均分成 n 段（對應 n +1 個點），每段步長為?t，離散化后的著陸器運動方程為：yk?1?Ayk?B(pk?g4)

其中A?R7?7,B?R7?4分別為離散系統的系統矩陣和輸入矩陣

12A?e?tAc?I3??tAc??tAc??

2?t?t112B??e??t?s?AcBcds??esAcds?Bc??tBc??tBc??t2Bc??

0026其中I3為三階單位陣。

有系統性質可知，整個控制時域內系統狀態滿足 y3?Ay2?B?p2?g4??A3y0?A2B?p0?g4??AB?p1?g4??B?p2?g4??yn?Ayn?1?B?pn?1?g4??Any0?An?1B?p0?g4????AB?pn?2?g4??B?pn?1?g4?y1?Ay0?B?p0?g4?y2?Ay1?B?p1?g4??A2y0?AB?p0?g4??B?pn?2?g4??B?p1?g4?

為表達方便，令

?y0??p0???0??A0??y??p?????1??1??1??1??A? ,p??p2?，????2???A2? Y??y2?????????????????????n?????yn??7?n?1??1?pn??4?n?1??1??n????A?7?n?1??7??0??0????B?1??????AB???2???2??3??AB????????n?1?A??n????則(15)可等價于

0???0??0?????B?0?1???????2??AB?B?B000???????2? ?ABB00???3??A?AB?B??????????0????n?1???A???AB?B?A2BABB????n????7?n?1??4?n?1???000000Y??y0??p??g4

分別定義如下常值矩陣：

最終可得離散化后的燃料最優化問題如下： 指標函數：式(9)可表示為

邊界條件：式(3)可表示為

控制約束：式(10)和式(11)分別可表示為

狀態約束：式(5)和式(12)分別可表示為

含有 p個線性約束和 q個二階錐約束的最優化問題的標準形式為 指標函數

min(?Tx)滿足約束

DTx?f?0Ax?ci?b?dinTiTi

（k=1,?，n）

n*pp其中x?R為待優化向量，??R，線性約束參數D?R,f?R，二階錐約束參數維數n(Ai,bi,ci,di)由相應約束確定

則式(17)～式(23)可最終轉換為如下最優化問題： 指標函數：min(vpp)滿足：

初值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4?r0末值約束:MxΨ0p?Mx(Ψ0y0)?A0g4控制約束:Murkp?v?rkp 控制上限:?(vzΨk?TT?TTv0?T?0

?0

T1vr)p?1?vTz(Φky0?Akg4)?z0,z?0 ?z0?kT2e 控制下限：

4數值仿真結果與分析本節以某火星著陸器為例，計算了典型初始條件下滿足各種約束的燃料最優精確著陸軌跡。其中探測器各參數分別取為：m0?2000kg,g?[?3.711400]ms2,c?2kms,T1?1.3kN,T2?13kN.。著陸器初始位置矢量r0= [1500,-600, 800] m，初始速度矢量v0= [-30, 10, 40]m/s，傾角?alt=86°。二階錐優化問題可以通過大量免費的優化工具求解，如 CSDP、DSDP、OpenOpt、SeDuMi、SDPA、SDPLR等。本文選用 SDPT3 進行計算，通過執行線性搜索確定燃料最優下降時間tf為 43s，圖 1 給出了相應的最優著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測器質量變化曲線。

由優化結果可以看出，探測器在給定時間飛行并軟著陸到指定位置，且在整個下降過程始終與火星地表保持一定的安全距離，驗證了下降傾角約束的有效性。其推力幅值曲線呈現“最大-最小-最大”的最優控制形式，不過為了保持發動機始終處于點火狀態，在中間段對應最小推力約束，這與文獻中的分析結論一致。此外，通過利用如 TOMLAB 等商業最優控制軟件進行復核計算，也驗證了此計算結果的燃料最優性能。

*

圖 1 給定初始條件下火星著陸器動力下降段燃料最優計算結果

需要注意到，此燃料最優軌跡的獲取對著陸器的實時在線計算性能提出了較高的要求，經測試，無論使用何種優化工具，計算給定飛行任務時間的最優軌跡均需數秒，而全局最優則需要數十秒甚至更長，這在實際任務中是不允許的。因此，可行的方案是通過在地面計算大量的燃料最優軌跡，并尋找規律，選取關鍵路徑點狀態存儲到著陸器計算機中，通過在線查表或者在利用對計算量要求較小的反饋制導律完成安全著陸任務。

因此，為了研究探測器燃料最優軌跡特性，選取相同的探測器參數，暫不考慮推力器最小幅值約束和傾斜角約束（但考慮地表約束），固定初始高度為 1500m，初始位置水平方向從-8000m 到 8000m 內取值，分別選取各種不同的初始速度，可得燃料最優精確著陸軌跡簇如圖 2 所示。

圖 2 各種不同初始速度對應的火星著陸器動力下降段燃料最優軌跡簇

1)對任意探測器初始位置，特定初始速度對應的燃料最優著陸軌跡在末端必然收斂到一個固定的近似圓錐體內。

2)取決于探測器初始位置和速度的關系，燃料最優軌跡有兩種形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要對應于期望著陸點位置水平距離較大情況。3)當探測器初始水平速度為零時，圓錐體軸線垂直于火星地表，所有最優軌線關于該軸線中心對稱。4)初始速度的大小也直接影響到任務的可靠性，因此需要在超聲速進入段和降落傘減速段將著陸器速度下降到合理范圍內。

上述結論對上注探測器關鍵點的選取有著較強的指導意義，比如基于最優軌線的斜率對路徑點合并、基于最優軌線簇的對稱性對上注軌線進行等效延伸、或者嘗試僅將 S 型和 C 型的轉折點作為路徑點等，這樣可以大大降低探測器自主存儲與計算需求，進而有效提升任務的可靠性。重力轉彎軟著陸過程

對于最終著陸點，假設探測器的下降軌跡在一平面內，且月球引力場為垂直于月面XY的均勻引力場，引力加速度g沿-Z，如圖1所示，制動推力方向沿探測器的本體軸z。重力轉彎軟著陸過程中探測器質心動力學方程可表示為

上式中各變量的物理意義如圖1中所示，其中m>0為探測器質量；k>0為制動發動機比沖；u表示制動發動機的秒耗量

可通過一定的機構加以調節，故作為軟著陸問題的控制變量。假定制動發動機的最大推力與初始質量比大于月面引力加速度，并且制動推進系統能夠在一定的初始條件下將探測器停止月面上。

重力轉彎過程中，探測器的高度、速度和姿態角度可由雷達高度表、多普勒雷達及慣性儀表測得。令軟著陸初始條件探測器到達月面時速度減小到給定的值，故終端條件自由。軟著陸燃耗最優問題的描述 對于最終著陸段，可假設

為一小角度。由此可將系統方程（1）化簡為

要設計制導律實現軟著陸，就是使

著陸時間

對于月球軟著陸的燃耗最優控制問題，其性能指標可表示為

對于系統（2）的軟著陸過程，燃耗最優問題等價于著陸時間最優問題，性能指標為

在月球重力轉彎軟著陸過程中，如果存在一個推力控制程序將探測器從初始條件轉移到終端條件，并使性能指標（3）或（4）式最大，則稱這個推力程序為軟著陸燃耗最優或時間最優制導律。根據pontryagin極大值原理，系統的哈密頓函數及其對u的偏導數為

使哈密頓函數（5）式達到極大地控制輸入u就是最優控制，科表示為。

如果存在一個有限區間

則最優控制u（t）取值不能由哈密頓函數確定。此時如果最優解存在，則稱為奇異解，（8）式稱為奇異條件。

最優制導問題的性質：1）對于自治系統（2）的時間最優控制問題，沿最優軌跡其哈密頓函數滿足

將其對時間求導并將（2c）和（6c）式代入，得

另外，由于自由，根據橫截條件有3）根據（6a）式。又由（9）式可得T（t）=0，4）根據極大值原理，系統的狀態變量和共軛變量都是時間的連續可微函數，將切換函數對時間求導，利用（2），（6）式和性質2）得 軟著陸最優控制中奇異條件的分析

對于月球重力轉彎軟著陸問題，最優制導律具有兩個很好的性質。

定理一。月球重力轉彎軟著陸系統（2）的燃耗最優制導或時間最優制導問題不存在奇異條件。證明。用反證法，假設存在奇異條件，則在某個閉區間設，并由（5）式得

。根據反正假將（10）式兩邊對時間求導，并將（2）和（6）式代入化簡得性質2），并考慮到或者情形1.得

下面證明這兩種情形均與反證假設矛盾。根據式

及性質2）可知，由性質3）必有

根據

是時間t的斜率非零的線性函數，m和情形2.1）若定，根據橫截條件有在區間內為常數。這與反證假設矛盾。

。下面再分三種情況進行分析。

又因為

不與此時由（6b）式有反證假設矛盾。2）若盾。3），與反證假設矛又

因

為

因此有成立，這與

此時（10）式在上根據定理一，重力轉彎軟著陸的最優制導律是一種開關（Bang-Bang）控制，只須控制發動機開關，不需要調節推力的大小。

定理2.對于月球重力轉彎軟著陸過程，其開關控制器的最優推力程序（7）最多進行一次切換。

證明。只要證明最多只在一個時間點成立即可。軟著陸系統（2）在最優推力控制程序（7）的作用下，按最后軌跡降落。由性質3）知，為常數。根據性質4），若嚴格單調，因而在上至多有一個零點，即至多進行一次切換；若，則上為常數。由定理1，5 軟著陸最優開關制導律

不可能在任何區間上成立，故必有既沒有切換點。

對于最優推力控制程序（7），其切換函數中含有共軛變量，它是一個關于狀態變量的穩式表達式。為實現實時制導，需求出關于狀態變量的切換函數來。

根據定理一和定理二，重力轉彎軟著陸最優控制程序沒有奇異值狀態，并且在著陸過程中最多切換一次，其工作方式有4種：1）全開；2）全關；3）先開有關；4）先關后開。對于方式1）軟著陸起始點即是開機點；方式2），3）不能實現軟著陸；最后一種是通常情況下的最優著陸方式，即探測器先做無制動下降，然后打開發動機軟著陸到月面。設開機時刻為到發動機工作時間為

式，在區間

內積分，并考慮

將（11）式中的對數按泰勒展開，忽略

并令

消掉T得到切換函數為

由切換函數（12）式可以看出，速度、位置的誤差和制動發動機推動的將直接影響著陸的效果。一種方法是將終端高度從到達月面時實現軟著陸設置為離月面還有幾米時實現軟著陸。另一種方法是考慮制動過程由一個主發動機和一組小推力發動機共同完成，通過調整開啟的小發動機的數量，來實現變推力降落。具體地，令切換函數為

式中各符號的含義如圖2所示

關機點可取為2m,可取為20m，可取為1m/s。為實現著陸的最優性，減速度

取為

其中T如（12）式中所示，m0為探測器的初始質量。

圖三為最優著陸過程與其改進方法按圖2降落的次優著陸過程的對比圖。由此圖中可看出，改進方法提高了著陸的安全性，當探測器的初始質量mo=350kg，發動機著陸過程多消耗燃料2.2kg。

時，改進方法比最優

（a）

（b）

問題三 協方差分析方法的基本原理 對于如下非線性函數關系

y?f?x1,x2??xn?（1）

可以使用一階泰勒級數展開對其進行線性化，有

y??y?f??f?f?x1????xn???x1?xn?（2）?x1?xn其中，??x1??xn?為x1??xn的高階項。從而得到線性化方程

?y???f?xi（3）i?1?xin或表示為

?Y?P?X(4)

這里 P 是偏導數矩陣: Pi??f（5）?xi若自變量?x1???xn是隨機變量，則線性化方程的函數?y的協方差矩陣為：

E?Y??YT?EP?X?XTPT?PE?X?XTPT(6)即 ??????Cy?PCXPT(7)式中Cx是自變量的協方差矩陣；Cy是函數?Y的協方差矩陣。

協方差矩陣中對角線元素是方差，非對角線元素為協方差。顯然，只要求出傳遞矩陣 P ,便可確定源誤差與欲求量誤差之間的關系。若給定各種源誤差，如發動機安裝誤差、敏感器測量誤差或發動機推力和點火時間等誤差時，便可以分析其對目標軌道誤差的影響以及對控制系統精度的影響，進一步對各系統及元部件提出適當的精度要求。計算向月飛行軌道誤差的協方差迭代方程

考慮到軌道參數的誤差之相對于軌道參數的標稱值是小量，因此可以將軌道運動方程進行線性化，從而得到能夠反映軌道參數偏差量的傳播關系的誤差方程。在應用雙二體模型且在地球影響球范圍內時，對軌道運動產生攝動影響的各項，如月球引力攝動、太陽引力攝動、大氣阻力攝動和太陽光壓攝動等對誤差方程的影響很小，因此在誤差方程中將它們忽略掉。反映軌道位置和速度誤差的線性化方程如下：

?????v??r???g??（8）??v????r??rT?u???r，其中u?為地球引力常數。式中 g?r????3rr?rx2?ry2?rz2（9）

寫成狀態方程形式：

?????0I???r??r???????????(10)??v??G0???v??????????g式中 G??T

?r??0I???r?令F?????G0??,X????v?（11）

????則式（9）變為

??F?X(12)X下面推導矩陣 F 的表達式：

??g??u??G??T??T??3r??r?r?r?????u???u???r?r?T?3????3??T?r?r??r??r????u????u????u????u???r???3???3???3????3I3??rr?rr?r?y??z?r?????x???r（13）

式中 r x，r y 和 r z 是探測器在地心慣性坐標系里的軌道位置坐標。則G??u?3??T(I?rr)(14)332rr?rx2rxry?rx????T??2rr??ry??rxryrz???ryrxry??r??rzrxrzry?z??rxrz??ryrz?（15）2?rz??

將式（15）、（14）代入（10），得： ?0?0??02?-u?rx(1?32)F??r3r??3u?rxry?r5v??3u?rxrz?r5?

積分式（11），得到： 0003u?rxryr520003u?rxrzr53u?rzryr5210000ry-u?(1?3)32rr3u?rzryr5-u?rz(1?3)0r3r200?10??01??00?（16）

??00??00???

X??t??eF?tX?0?

（17）式中

(F?t)2(F?t)3(F?t)4(F?t)ne?I?F?t??????2!3!4!n!

（18）iN?t??Fi.()i!i?0F?t取前 6 階截斷，即：

eF?t??ti???F??i!??

（19）i?0??6i

得到計算誤差方程的迭代方程：

X?ti??t??eF?tX?ti?

（20）

eF?t相當于式（4）中的 P 陣，由于誤差方程是時變方程，因此每一步迭代都需要重新計算 P 陣，計算 P 陣需要利用標稱軌道參數數據。

進一步根據式（7），得到協方差矩陣的迭代方程：

T

Ci?1?PCPiii

（21）向月飛行軌道誤差的協方差分析

引起軌道誤差的誤差源主要是導航誤差，包括位 置 誤 差 和 速 度 誤 差。其 中 ： 位 置 誤 差 ：?r??rx,?ry,?rz,?rx,?ry,?rz分別為在地心慣性坐標系中 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。速度誤差：?v??vx,?vy,?vz,?vx,?vy,?vz分別是在地心慣性坐標系 X 軸、Y 軸、Z 軸的分量。向月飛行軌道的初始軌道位置和速度誤差由運載火箭的發射入軌精度決定，若探測器在飛行途中進行軌道修正，則經過軌道修正以后的軌道位置誤差將由導航誤差決定，速度誤差將由姿態誤差和制導誤差決定。

上述誤差決定了軌道誤差協方差分析的計算初始條件，表 1 給出了在不進行中途軌道修正情況????下，在地心慣性坐標系里，初始軌道位置誤差和初始速度誤差對軌道終點的位置和速度誤差的影響。圖 1 和圖 2 給出了在算例三中探測器從近地軌道入軌點開始至進入月球軌道為止軌道位置的相應的軌道位置和速度總誤差（3σ）的時間歷程。

表 1 初始軌道位置和速度誤差

對軌道終點誤差的影響

圖 1 軌道位置總誤差時間歷程（3σ）

圖 2 速度總誤差時間歷程（3σ）基于敏感系數矩陣的制導誤差分析

在月球軟著陸主制動段，影響制導精度的誤差源主要有偏離標準飛行軌跡的初始條件誤差和導航與控制傳感器誤差。初始條件誤差由主制動段以前的任務決定，傳感器誤差則由導航系統和傳感器本身決定。此外，影響制導精度的因素還包括月球自轉、月球不規則攝動等誤差，對它們的研究可單獨進行，這里暫不做介紹。2.1 誤差模型建立

2.1.1 初始狀態誤差模型

記著陸器的實際初始狀態為Xi，標準初始狀態為Xn,則定義初始狀態偏差xi為

xi?Xi?Xn

(7)對于主制動段這一特定的飛行過程，這些偏差都是確定的；而針對整個月球探測任務，這些偏差就變得具有隨機性。在本文中，假定xi 的所有元素均服從零均值高斯分布，相互不獨立，其相關性取決于前一階段任務的特性。2.1.2 傳感器誤差模型

由于只研究誤差對制導律的影響，所以這里假設需要測量的量均可由導航系統直接測得，誤差大小

???????均考慮為典型誤差值。由上一目設計的制導律可以看出，需要由導航與控制傳感器測量的量主要為著陸器相對于著陸場坐標系的位置、速度和加速度。定義待測量量Q為

?Q??X其估計值記為Q，則傳感器誤差定義為 ???YZUVWA?

T

q?Q?Q

(8)那么，單個測量量的估計誤差模型可用誤差向量 q的第j(j =1，2?7)個元素qj 來表示。由參考文獻[5]可知，第 j個觀測量的總估計誤差qj 由以下四部分組成

~?~???-?~qjbsqjn?st???????qt?q?Qt?qt?Qj?t?

(9)jjbcjnc

j100100~~~~~針對主制動這一特定操作階段，上述四部分誤差具有如下特性：

qjbc—第 j 個觀測量的測量誤差，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjbs—第 j 個觀測量的刻度因素誤差系數，恒為常值，其分布服從零均值高斯分布； qjnc—第 j 個觀測量的隨機誤差，其為一高斯白噪聲；

qjns

—第 j 個觀測量的刻度因素隨機誤差系數，其為一高斯白噪聲。

2.2 制導誤差分析

由于采用閉環制導，制導控制系統對隨機誤差具有一定魯棒性，所以本文將著重對初始偏差和類似于qjbc和qjbs這樣的傳感器常值誤差進行仿真研究，分析它們對制導精度的影響。2.2.1 誤差分析系統建立

誤差分析系統框圖如圖 1 所示，下面將對其結構進行分析。~~~~~~

圖 1 誤差分析系統結構圖

圖中所示初始狀態偏差實際上是加在相應積分器中。

由前面的分析可知，觀測量的實際輸出值受到初始狀態偏差、傳感器測量誤差以及傳感器刻度因素誤差的影響，故誤差分析系統模擬程序的實際輸入應包含以下幾部分(以 X通道為例)：

X?X?xi?xbc???~xbsX

(10)100~~

其中，X為觀測量的實際輸出值，X 為標準值，xi 為初始狀態偏差(只在初始時刻存在)，xbc 為傳感器測量偏差，xbs為傳感器刻度因素誤差系數。由圖 1 可以看出，為了更準確地表示傳感器誤差模型，這里考慮了傳感器的動態性能，其傳遞函數設為一階慣性環節1?1?Ts?，其中，T 為傳感器時間常數，因傳感器的不同而取不同值。

由誤差分析系統結構框圖可以看出，其輸入量主要包括：標準初始狀態向量、初始狀態偏差、傳感器測量誤差、傳感器刻度因素誤差系數、傳感器時間常數、期望終端狀態；輸出量為加入誤差前后的仿真終端狀態向量。2.2.2 誤差敏感系數矩陣求取

在有形如(7)式誤差輸入的情況下，首先根據圖 1 生成一個模擬整個閉環制導控制系統的數字仿真程序，然后運行該程序，對比程序輸出即可得到誤差敏感系數矩陣。具體運行過程如下：

第一步：將傳感器誤差設置為零，初始狀態設置為標準值，運行模擬程序。這一步稱為標準運行。第二步： 將其中一個傳感器誤差設置為非零輸入或者設置一個非標準初始狀態，然后進行一系列運行。

第三步： 將第二步運行的系統輸出和標準運行的系統輸出進行比較即可確定各誤差源的影響。如X 通道標準初始偏差為xi，輸入該誤差前后，X 通道終端狀態分別為X0 和X1，則 X 通道對標準初始偏差xi的敏感性可用(X1?X0)/xi來反映。

通過這種方法，可得到一組反映月球軟著陸主制動段終端總誤差向量pf和兩個傳感器誤差向量~??~~qbc、qbs以及初始狀態偏差向量pi之間關系的誤差敏感系數矩陣。由參考文獻[6]可知，其相互關系可表示為

??~~pf?S1pi?S2qbc?S3qbs（11）

其中，S1、S2和S3分別表示相對于pi、qbc和qbs的誤差敏感系數矩陣。

終端誤差向量能用這種形式表示的假設條件是動力學的線性化必須在標準軌跡區域內。驗證該假設條件的方法有兩種： 擴大輸入誤差仿真法和復合仿真法，這里略去其驗證過程。2.2.3 誤差分析

假設導航系統采用常規慣性測量單元，表 1 列出了其典型誤差值，其中，位置誤差能保持在10數量級，速度在10數量級，加速度為 10g 數量級。1-52?~~

運用上述方法得到的敏感系數矩陣給出如下：

?5.502?10-3?-4-3.850?10??1.692?10-3S1??-3?8.362?10?-5.860?10-4?-3?-2.575?10?-2.080?10-4-1.050?10-31.418?10-11.401?10-57.301?10-5-1.001?10-26.411?10-53.240?10-4-4.407?10-2-2.570?10-4-1.862?10-3-5.580?10-11.410?10-57.902?10-51.312?10-55.710?10-4-1.157?10-38.100?10-53.936?10-21.732?10-2-2.743?1017.746?10-1-4.024?10-2-8.939?10-2??3.210?10-34.030?10-3?1.239?10-21.833?10-2?-2-1?8.742?101.414?10?-1.196?10-2-9.901?10-3??-2-2-2.690?10-4.577?10??-6.812?10-1-8.695?10-2-5.203?1002.110?10-14.235?10-16.170?10-3-3.281?1008.202?10-2-5.760?10-35.633?10-1-3.489?102??2.443?101?4.401?102??-9.833?102?6.864?101??23.020?10???-9.859?10-1-1.154?10-3?-40?-3.130?10-1.000?10?-1.379?10-33.560?10-4S2??-2-3?-5.402?101.540?10?1.045?10-31.864?10-3?-34.770?10-4??4.598?109.999?10-13.408?100-7.210?10-43.504?1005.000?10-55.643?10-3-1.527?10-19.368?10-1-6.721?10-1-1.306?10-1?-5.6314?100?-28.479?10??3.730?10-1S3??0?-8.924?10?4.619?10-1?0??2.033?10-5.494?10-1-3.533?10-1-2.810?1001.600?10-31.692?10-16.755?10-18.996?10-1-2095?10-12.473?10-21.664?10-1-1.027?1007.165?10-23.344?100-1.112?1008.613?10-17.852?1003.246?100-1.618?1003.540?10-14.982?10-17.670?10-1-1.122?100-2.397?100-2.380?10-1-3.650?100-2.563?100??2.556?10-1-4.291?10-2?3.401?100-1.888?10-1??-5.103?100-3.230?10-1?3.566?10-12.256?10-1??0-1-7.005?109.930?10??A1、A3:?1??2.759?2,3?0.1297?j2.1329 A2:?1?1.552?2,3??0.6761?j1.8978

由于數值仿真的起始點選為(1，0，-1)，靠近平衡點(1.5，0，-1.05)，仿真實驗中混沌系統的基頻w0=2.1329，基周期為為T0?2??0?2.9443S。由前面的數值仿真實驗知要使 Chua’s混沌系統保持其類隨機性，仿真步長選在(0.0001，0.7)較為合適，用基周期來表達即為?129940T015T0? ,15T0?內，綜觀三個連續混沌系統仿真步長的理論計算，我們可以統一選取?15000T0這樣即可以提高仿真運算速度，又可以使混沌吸引子的形狀和類隨機性不發生變化，這個選擇范圍也與通常連續混沌系統數值仿真步長的經驗取值相吻合六、模型結果及分析

七、結果分析

八、模型評價與改進方向

九、參考文獻

第四篇：大學生數學建模競賽承諾書

西北民族大學研究生數學建模競賽承諾書

我們仔細閱讀了西北民族大學研究生數學建模競賽的競賽規則。

我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。

我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。

我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規則的行為，我們將受到嚴肅處理。

我們參賽選擇的題號是（從A/B/C中選擇一項填寫）：

我們的參賽論文題目是：

參賽隊員（打印）：

隊員1姓名：；聯系電話：；郵箱：；

學院：；專業年級：；

隊員2姓名：；聯系電話：；郵箱：；

學院：；專業年級：；

隊員3姓名：；聯系電話：；郵箱：；

學院：；專業年級：；

參賽隊員簽名：1； 2；3。

日期：年月日

編號：（由競賽委員會填寫）

第五篇：大學生數學建模競賽試題A

2014桂電大學生數學建模競賽試題

A題 計劃生育新政對我國人口數量、結構

及其經濟的影響研究

李克強總理代表國務院在2014年政府工作報告中指出：“堅持計劃生育基本國策不動搖，落實一方是獨生子女的夫婦可生育兩個孩子政策。”

人口的數量和結構是影響經濟社會發展的重要因素。從20世紀70年代后期以來，我國鼓勵晚婚晚育，提倡一對夫妻生育一個孩子。該政策實施30多年來，有效地控制了我國人口的過快增長，對經濟發展和人民生活的改善做出了積極的貢獻。但另一方面，其負面影響也開始顯現。如小學招生人數（1995年以來）、高校報名人數（2009年以來）逐年下降，勞動人口絕對數量開始步入下降通道，人口撫養比的“拐點”時刻即將到來。這些問題都會對我國的經濟和社會健康、可持續發展等產生一系列影響。

為此，根據要求回答下列問題：

1.請你們就我國（或廣西區）上世紀50年代至今人口和經濟的變化做出簡要分析。

2.建立關于生育率、死亡率和性別比等多個因素的人口數學模型，分析計劃生育新政策（單獨二孩政策）對我國（或廣西區）未來人口數量，結構及經濟的影響（注：可到網上收集一些相關的文獻和數據，建立數學模型）；并對模型的結論發表自己的獨立見解。

參考文獻及數據來源：

1.2014年政府工作報告。

2.姜啟源，謝金星.數學模型.北京：高等教育出版社.2003.162-166.3.第六次全國人口普查數據（2010年）4.國家數據