第一篇：《線性代數》考試大綱

課程名稱：《線性代數》考試對象：09級本科

使用教材：《線性代數教程》，科學出版社，陸建華主編

一、課程要求：

二、課程考試內容及所占比重：

1、掌握行列式的相關概念、性質，熟練運用行列式的性質計算行列式，掌握化三角形法和

降價法這兩種基本的計算行列式的方法，了解范德蒙德行列式，掌握代數余子式的性質，了解克拉默法則。

2、掌握矩陣的加法、數乘、乘法、轉置等運算律，特別是方陣、行列式混合運算律，能熟

練運用；掌握逆矩陣的概念、矩陣可逆的判定及逆矩陣的求法，利用逆矩陣的性質進行矩陣運算和證明；理解初等矩陣的概念及它們與矩陣初等變換的關系。能熟練運用逆矩陣的球閥解矩陣方程，熟練求出矩陣的秩，掌握求線性方程組的通解的方法。

3、理解n維向量的概念；掌握向量組的線性相關性、矩陣的秩等概念，并能熟練運用相關

性質定理判斷和證明向量的相關性；熟練求向量組的極大無關組；掌握齊次線性方程組有非零解的條件及解的結構；掌握非齊次線性方程組有解的條件及解的結構；能熟練地用初等變換方法求線性方程組的解及基礎解系。

4、理解向量內積的定義，掌握線性無關向量組的正交化方法，理解正交矩陣的定義，掌握

其主要性質。

5、理解矩陣的特征值和特征向量的概念，掌握其求法并熟練運用其性質；理解相似矩陣的概念，掌握其基本性質，掌握矩陣可對角化的條件，熟練求得正交變換矩陣將是對稱矩陣對角化。

6、理解二次型的定義，掌握二次型的兩種表示方法并能互相轉化；理解正定二次型和正定

矩陣的概念，能夠判別二次型的正定性，了解有定性判別法。

各部分所占比重：

1、基本理論：70%

2、綜合運用：30%

三、考試方法：閉卷、筆試

四、試題類型：選擇題20%填空題24%計算題30%解答題20%證明題6%

五、成績評定方式：成績評定采取百分制：平時成績占40%，筆試成績占60%

第二篇：2012線性代數考試大綱

2012-2013學年《線性代數》教學及考試大綱

第一章行列式（9學時）

熟練掌握行列式按行（列）展開法則，并利用這一法則并結合行列式的六個性質會計算一般難度的行列式，熟悉范德蒙行列式，會用克拉默法則解含n個未知數n個方程的線性方程組。

注：性質2證明不講,對換中只介紹概念、定理及推論，證明不講。

第二章矩陣及其運算（9學時）

掌握矩陣的定義、線性變換與矩陣的關系及一些特殊的矩陣，熟練掌握矩陣 的運算規律，特別是矩陣的乘法。掌握方陣行列式的定義及運算規律，方陣的伴隨陣的構造及其性質；熟練掌握方陣的逆陣的概念、逆陣存在的充要條件及求法；了解矩陣分塊法及分塊矩陣的運算規則。

第三章 矩陣的初等變換與線性方程組（9學時）

熟練掌握矩陣的秩的定義、性質及求法，掌握矩陣的初等變換及其與初等方陣的關系，會利用初等行變換求行階梯形矩陣、行最簡形矩陣、逆陣以及矩陣 方程；熟練掌握n元齊次線性方程組和n元非齊性線性方程組有解的充要條件，會求方程組的通解。

注：定理2證明不講。

第四章向量組的線性相關性（12學時）

掌握n維向量的定義及向量組的線性運算；熟練掌握向量組的線性組合、線性相關、線性無關、等價的概念、性質及判定定理；熟練掌握矩陣的秩和向量組的秩兩者之間的關系；掌握齊次線性方程組解的性質、基礎解系的定義；熟練掌握齊次線性方程組的求解；掌握非齊次線性方程組解的性質、解的結構；熟練掌握求解非齊次線性方程組。了解向量空間的定義、維數及基的概念和有關性質；注：§5中只介紹向量空間的基本概念，基、r維向量空間、基變換公式、坐標變換公式和過渡矩陣不講。

第五章 相似矩陣及二次型（9學時）

掌握向量的內積、長度、夾角的概念；熟練掌握正交向量組，向量空間的正交規范基的定義、性質及把基化為正交規范基的施密特正交化過程；熟練掌握方陣的特征多項式、特征值、特征向量的定義、性質和求法；掌握矩陣相似的定義及n階方陣A與對角陣相似的充要條件；會用正交陣將n 階實對稱陣對角化。

注：舉一用正交變化化二次型為標準型的例題

考題題型：填空題、選擇題、計算題、證明題。

期中考試成績占總成績的20%，期未成績占總成績的70%，平時成績占10%。

第三篇：線性代數考試要點

線性代數考試要點：

1、行列式（要求只要是4階的行列式會求）

（1）會利用行列式的定義來計算行列式（包括逆序數的求法）；

（2）會利用行列式的性質來計算行列式；

（3）利用按行、列展開公式來求解行列式，包括按行、列展開公式的應用。

（4）會利用克拉默法則的推論討論齊次線性方程組解的情況。

2、向量

（1）向量的基本運算；

（2）會判別向量組的線性相關性，掌握向量組線性相關性的性質；（證明題與選擇題）

（3）會求出給定的一組向量組的極大線性無關組及其秩，并會應用相應的性質；（計算題）

（4）利用施密特正交化把一組線性無關的向量組化成標準正交組；

（5）會判別一個集合是否會向量空間。

3、矩陣

（1）會矩陣的基本運算，掌握矩陣運算中的性質；

（2）會求給定矩陣（3階）的逆矩陣；

（3）給定一個等式，會用逆矩陣的定義來判別一個矩陣是否可逆，并會求出其逆矩陣；

（4）掌握逆矩陣的性質；

（5）掌握矩陣的初等變換，初等矩陣及其應用；

（6）會利用逆矩陣或矩陣的初等變換方法求解矩陣方程。

4、線性方程組

（1）會求解齊次線性方程組的基礎解系和非齊次線性方程組（不帶末知參數的）的一般解。

（2）定理4.1、4.2、4.5的應用。（選擇題或判斷題）

（3）齊次線性方程組和非齊次線性方程組解的結構的性質（主要是選擇題與判斷題）。

5、相似矩陣及二次型

（1）給定一個3階矩陣，會求出它的特征值與特征向量；

（2）給定一個3階矩陣，會求出它的相似矩陣P，使得PAP?B(對角陣)；

（3）掌握特征值的性質；

（4）掌握相似矩陣的性質；

（5）掌握正交矩陣的性質；

（6）掌握矩陣可以對角化的幾個性質；

（7）給定一個二次型，會寫出它所對應的對稱矩陣；或者給定一個二次型，會寫出它所對應的二次型；（填空題）

（8）會用配方法化二次型為標準型。

以上給的要點是A、B兩份卷子的。此次題型分為判斷題（10分）、選擇題（15分）、填空題（15分）、簡答題（60分），其中簡答題中包括證明題。

此次的試卷出的題目很多來自書上和練習冊，建議大定讓學生要多做一下練習題（包括例題）。?1

第四篇：線性代數考試要求09年

線性代數考試要求

第一章行列式

本章考查重點：行列式的定義、行列式的性質，解線性方程組的克萊姆法則，掌握行列式的常用計算方法。

本章試題類型：

（1）n階行列式的定義、性質的運用；

（2）二階、三階、四階行列式的計算或證明。

第二章矩陣及運算

本章考查重點：矩陣的線性運算、乘法、轉置、冪和方陣的行列式等運算及其規律，逆

矩陣的概念與性質，矩陣可逆的充分必要條件。

本章試題類型：

（1）利用矩陣的運算規律進行相應的運算；

（2）利用逆矩陣解矩陣方程。

（3）會證明矩陣可逆。

第三章矩陣的初等變換與線性方程組

本章考查重點：矩陣的初等變換，矩陣的秩，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件，非齊次線性方程組有解的充分必要條件，用初等變換解線性方程組。

本章試題類型：

（1）利用矩陣的初等行變換求矩陣的秩；

（2）利用矩陣的初等行變換求逆矩陣；

（3）利用矩陣的初等行變換解線性方程組。

（4）線性方程組解的判定。

第四章向量組的線性相關性

本章考查重點：向量的線性組合和線性表示，向量組的線性相關與線性無關及有關的性質，向量組的最大線性無關組與向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩的關系，等價向量

組，線性方程組解的性質和解的結構，齊次線性方程組的基礎解系和通解，非齊次

線性方程組的通解。

本章試題類型：

（1）向量組的線性相關與線性無關的判定或證明；

（2）求向量組的最大線性無關組與向量組的秩；

（3）求齊次線性方程組的基礎解系和通解；

（4）求非齊次線性方程組的通解（參數不同取值與解的各種情況）。

第五章相似矩陣

本章考查重點：向量的內積和性質，線性無關向量組的正交規范化方法，規范正交基，正

交矩陣及其性質，方陣的特征值和特征向量的概念、性質和求法，相似矩陣的概念及

性質，矩陣可對角化的充分必要條件及相似對角矩陣，實對稱矩陣的特征值、特征

向量及相似對角矩陣。了解二次型的概念并掌握其矩陣表示及正定性的概念與性質。

本章試題類型：

（1）會求向量的內積、長度，判別正交向量、正交矩陣；

（2）求方陣的特征值和特征向量；

（3）能將對稱矩陣對角化。

（4）會判定二次型及實對稱矩陣的正定性。

第五篇：線性代數歷年考試試題

東 北 大 學 考 試 試 卷（A卷）2006-2007學年第2學期課程名稱：線性代數

一單項選擇題（本題共5小題，每小題4分，共20分）

1.設?1,?2,?3,?1,?2都是四維列向量，且四階行列式|?1,?2,?3,?1|?m，|?1,?2,?2,?3|?n，則四階行列式|?3,?2,?1，(?1??2)|等于 [ ].(A)m?n(B)?(m?n)(C)n?m(D)m?n

2.設n階矩陣A，B，C滿足ABC?E，則下列一定正確的是 [ ].(A)ACB?E(B)BAC?E(C)CBA?E(D)CAB?E

3.向量組?1,?2,?,?r線性相關的充分必要條件是 [ ].(A)向量組中至少有一個向量可由其它向量線性表示；(B)向量組中任一向量都可由其它向量線性表示；(C)向量組中任一向量都不能由其它向量線性表示；(D)向量組中至少有一個向量不能由其它向量線性表示；

4.設?1,?2是非齊次線性方程組Ax?b的兩個不同的解，?1,?2是其導出組Ax?0的一個基礎解系，則線性方程組Ax?b的通解可表示為 [ ].11(?1??2)?k1?1?k2(?1?2?2)(?1??2)?k1?1?k2(?1??2)22(A)(B)

(C)(?1??2)?k1?1?k2?2(D)(?1??2)?k1?1?k2?2

5.設n階矩陣A與B相似，則下列不正確的是 [ ].22(A)A?B(B)A??E?B??E(C)A?E?B?E(D)A與B相似

二填空題（本題共5小題，每小題4分，共20分；將正確答案填在題中括號內。）

2AB1.設A,B都是n階矩陣，且|A|=2,|B|??3，則

?1=()。

10??1?a??A??11?a0??002???的秩R(A)?2,則a?()。2.設矩陣?1???1???0???2????1???2???1???2??2??????的過渡矩陣 ??R3.從向量空間的基，到基，?1??1??1??1?為()。

4.設R(A)?2，且線性方程組Ax?b無解，則R(A?b)?()。

222f(x,x,x)?x?2x?3x123?2tx1x2是正定的，則t滿足條件()。5.設二次型1231

2三、計算行列式（10分）D?342341341241 23?230????

1四、設A??120?，且ABA?6A?BA，求矩陣B（10分）.?003???TTTT??(1,0,?1,1)??(1,1,1,1)??(1,2,3,1)??(1,3,5,1)312

4五、討論向量組，,的線性相關性，并求其秩和一個極大線性無關組(10分)。六?為何值時線性方程組：

?x1?x2?x3?x4?1?2x?x?3x?2x?2?1234??x1?4x2?5x4????3x1?3x2?5x3?5x4?3

有解？在有解時求該方程組的通解（10分）。設V是RV2?2上所有對稱矩陣組成的線性空間，試求出V的一組基，并求

?12??12???A??21??在此組基下的矩陣(10分)。21????22f(x1,x2,x3)?2x12?x2?x3?2x2x3化成標準形，并說明上線性變換?(A)???

八、求一正交變換，將二次型f(x1,x2,x3)?1表示何種二次曲面(10分)。

線性代數試題 2008.5

一、計算下列各題(每小題5分, 共30分)

1、設?1,?2,?,?都是3維列向量，且行列式|A|?|?1,2?2,?|?a，|B|?|?2,?1,?|?b，求行列式C?|?1,2?2,???|.?100???*?1A2、設的逆矩陣A??220?, 求A的伴隨矩陣A.?333???TTTT??(1,?1,3,2)??(1,1,1,1)??(1,2,?1,1)??(1,0,1,2)31243、設，，求向量組?1,?2,?3,?4的秩和一個極大線性無關向量組。

?11?1??x1??1???????

4、已知線性方程組?211??x2???2?有解，但解不唯一，求a,b的值。

?1a1??x??b????3???T?10??01?2?2?(A)?AR??

5、求線性空間的線性變換在基E11??,E?12?00??00??，?????00??00?TA???,下的矩陣，其中是A的轉置矩陣。E21??E?22?10??01?????222f?x?x?5x?2tx1x2?2x1x3?4x2x3是正定二次型。123t6、問為何值時，二次型1?a23412?a34123?a4234?a

二、(10分)計算行列式

1三、(10分)求解下面矩陣方程中的矩陣X

?010??100??12?1????????100?X?011???102??001??001??134???????

?x1?x3?x4?2?x?x?2x?x?1?3

4四、(10分)求線性方程組?12的通解，并用對應齊次線性方程組基礎?2x1?x2?x3?2x4?3??3x1?x2?3x4?5解系表示通解。

?1a1??300?????

五、(10分)已知矩陣A??ab0?與B??030?相似，求a,b的值.?411??00?1?????222f(x,x,x)?2x?x?x?2x2x3為標準形 x?Qy12312

3六、12分)求出正交變換，使化二次型

七、(8分)記R是R上所有2?3矩陣，按矩陣加法、數與矩陣乘法構成的R上的線???0V??????x3性空間，集合2?32?3x10x2???x?x?x?0,x,x,x,x?R??1241234x4???，證明：V是R的線性子空間，并求V的一組基和維數。

八、（10分）證明題：

（1）設向量組?1,?2,?,?s線性無關，向量組?1,?2,?,?s,?線性相關，證明向量?可由向量組?1,?2,?,?s線性表示且表示式唯一。（2）設A?(aij)Ta?1b?(1,0,0)3?311是實正交矩陣，且，向量，證明線性方程組Ax?b有唯一解x?b。

東 北 大 學 期 末 考 試 試 卷2008-2009學年第1學期：線性代數

一、單項選擇題（本題4小題，每小題3分，共12分；在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題中括號內）

1、設A,B都是n階非零矩陣，且AB?O，則必有（）.(A)A?O或B?O；(B)A?B?O；(C)A?0或B?0 ；(D)A?B?0.2、設A是n階矩陣，A?0An?1，A是A的伴隨矩陣，則

An*

A*=（）

(A)1；(B)；(C)

；(D)A.3、n階矩陣A具有n個不同的特征值，是A與對角矩陣相似的（）

A 充分必要條件B充分但非必要條件C 必要但非充分條件D既非充分也非必要條件.4、設A是m?n階矩陣，B是n?m階矩陣，則齊次線性方程組(AB)x?0（）A當n?m時僅有零解B當n?m時必有非零解C當m?n時僅有零解D當m?n時必有非零解

二、填空（本題6個小題，每小題3分，共18分；將正確的答案填在題中括號內）

1、設4階矩陣A?(?,?2,?3,?4)，B?(?,?2,?3,?4)，其中?,?,?2,?3,?4,均為 4維列向量，已知A?4，B?1，則A?B?（）.??111?1????1?1?11??A??A5????1?1?11?????111?1??，則 ?

2、設

??????

3、設P[i?j(k)]表示把n階單位矩陣的第j行的k倍加到第i行的得到的初等矩陣，則(P[i?j(k)])?1=（）..222f(x,x,x)?3x?3x?9x?10x1x2?12x1x3?12x2x3的秩是（）.1231234、已知二次型?0?0B???0??05、設矩陣00300?1020??0?2??2?，矩陣A與B相似，則R(A?E)?R(A?3E)?（）

1(A2)?

16、設??2是可逆矩陣A的一個特征值，則矩陣3有一個特征值等于（）.?423???A??110???123???，求矩陣B n

三、（10）設階矩陣A與B滿足條件AB?A?2B，已知矩陣

1333?33233?3Dn?3333?33334?3?????3333?n?x1?x2?kx3?4,?2??x1?kx2?x3?k,?x?x?2x??43?1

2四、（10分）計算行列式

五、（12分）已知線性方程組

問k為何值時，方程組有唯一解，無解，有無窮多解？ 并求出有無窮多解時的通解.???1??2??3，六、（12分）（1）設向量組?1,?2,?3線性無關，證明向量組???1,???2,???3TTTT??(1,2,1,3),??(4,?1,?5,?6),??(1,?3,?4,?7),?,?1,0)，234?(2,1也線性無關.（2）設1試判斷該向量組的線性相關性，并給出其一個極大線性無關組。

七、（10分）設A?R，記(1)S(A)是Rn×nn×nS(A)??B:B?Rn×n，AB?0?，證明： 的一個子空間；(2)設秩(A)?r，求S(A)的一組基和維數.222f?3x?3x?6x?8x1x2?4x1x3?4x2x3 12

3八、（16分）用正交變換化二次型

為標準形，給出所用的正交變換，并判斷該二次型的正定性，給出判別的理由.