第一篇：山東省臨朐縣實驗中學2014年高中數學 1.2.2 同角三角函數的基本關系教案 新人教A版必修4

山東省臨朐縣實驗中學2014年高中數學 1.2.2 同角三角函數的基

本關系教案 新人教A版必修

4一，教學目標

1.通過三角函數的定義導出同角三角函數基本關系式,并能運用同角三角函數的基本關系式進行三角函數的化簡與證明.2.同角三角函數的基本關系式主要有三個方面的應用:(1)求值(知一求二);(2)化簡三角函數式;(3)證明三角恒等式.通過本節的學習,學生應明了如何進行三角函數式的化簡與三角恒等式的證明.3.通過同角三角函數關系的應用使學生養成探究、分析的習慣,提高三角恒等變形的能力,樹立轉化與化歸的思想方法.二，重點難點

教學重點:課本的三個公式的推導及應用.教學難點:課本的三個公式的推導及應用.三，教學過程

導入新課

先請學生回憶任意角的三角函數定義,然后引導學生先計算后觀察以下各題的結果,并鼓勵學生大膽進行猜想,教師點撥學生能否用定義給予證明,由此展開新課.計算下列各式的值:

sin60?sin135?

(1)sin90°+cos90°;(2)sin30°+cos30°;(3);(4).cos60?cos135?222

2新知探究提出問題

問題一：

在以下兩個等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角α應受什么影響?

sin2α+cos2α=1(等式1).sina?=tanα(等式2).α≠kπ+,k∈Z cosa2

應用示例

例1 已知sinα=4,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值.5

例2 已知cosα=?8

17,求sinα,tanα的值.變式訓練

已知cosα≠0,用cosα表示sinα、tanα.例3 求證:cosx

1?sinx?1?sinx

cos.例4 化簡-sin2440?.變式訓練

化簡:-2sin40?cos40?

課堂小結

①同角三角函數的基本關系式及成立的條件,②根據一個任意角的正弦、余弦、正切中的一個值求出其余的兩個值(可以簡稱“知一求二”)時要注意這個角的終邊所在的位置,從而出現一組或兩組或四組(以兩組的形式給出).“知一求二”的解題步驟一般為:先確定角的終邊位置,再根據基本關系式求值,若已知正弦或余弦,則先用平方關系,再用其他關系求值;若已知正切或余切,則構造方程組求值.

第二篇：示范教案(1.2.2同角三角函數的基本關系)（模版）

1.2.2 同角三角函數的基本關系

整體設計

教學分析

與三角函數的定義域、符號的確定一樣,同角三角函數的基本關系式的推導,緊扣了定義,是按照一切從定義出發的原則進行的,通過對基本關系的推導,應注意學生重視對基本概念學習的良好習慣的形成,學會通過對基本概念的學習,善于鉆研,從中不斷發掘更深層次的內涵.同角三角函數的基本關系式將“同角”的四種不同的三角函數直接或間接地聯系起來,在使用時一要注意“同角”,至于角的表達形式是至關重要的,如sin24π+cos24π=1等,二要注意這些關系式都是對于使它們有意義的那些角而言的,如tanα中的α是使得tanα有意義的值,即α≠kπ+?,k∈Z.2已知任意角的正弦、余弦、正切中的一個值便可以運用基本關系式求出另外的兩個,這是同角三角函數關系式的一個最基本功能,在求值時,根據已知的三角函數值,確定角的終邊的位置是關鍵和必要的,有時由于角的終邊的位置不確定,因此解的情況不止一種,解題時產生遺漏的主要原因一是沒有確定好或不去確定終邊的位置;二是利用平方關系開方時,漏掉了負的平方根.三維目標

1.通過三角函數的定義導出同角三角函數基本關系式,并能運用同角三角函數的基本關系式進行三角函數的化簡與證明.2.同角三角函數的基本關系式主要有三個方面的應用:(1)求值(知一求二);(2)化簡三角函數式;(3)證明三角恒等式.通過本節的學習,學生應明了如何進行三角函數式的化簡與三角恒等式的證明.3.通過同角三角函數關系的應用使學生養成探究、分析的習慣,提高三角恒等變形的能力,樹立轉化與化歸的思想方法.重點難點

教學重點:課本的三個公式的推導及應用.教學難點:課本的三個公式的推導及應用.課時安排 1課時

教學過程

導入新課

思路1.先請學生回憶任意角的三角函數定義,然后引導學生先計算后觀察以下各題的結果,并鼓勵學生大膽進行猜想,教師點撥學生能否用定義給予證明,由此展開新課.計算下列各式的值:

sin60?sin135?(1)sin90°+cos90°;(2)sin30°+cos30°;(3);(4).cos60?cos135?22

22推進新課

新知探究 提出問題

①在以下兩個等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角α應受什么影響?

圖1 如圖1,以正弦線MP、余弦線OM和半徑OP三者的長構成直角三角形,而且OP=1.由勾股定理有OM2+MP2=1.因此x2+y2=1,即sin2α+cos2α=1(等式1).顯然,當α的終邊與坐標軸重合時,這個公式也成立.根據三角函數的定義,當α≠kπ+

?,k∈Z時,有 2sina=tanα(等式2).cosa這就是說,同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.②對于同一個角的正弦、余弦、正切,至少應知道其中的幾個值才能利用基本關系式求出其他的三角函數的值.活動:問題①先讓學生用自己的語言敘述同角三角函數的基本關系,然后教師點撥學生思考這兩個公式的用處.同時啟發學生注意“同一個角”這個前提條件,及使等式分別有意義的角的取值范圍.問題②可讓學生展開討論,點撥學生從方程的角度進行探究,對思考正確的學生給予鼓勵,對沒有思路的學生教師點撥其思考的方法,最后得出結論“知一求二”.討論結果: ①在上述兩個等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一個等式中,α可以是任意角,在第二個等式中α≠kπ+?,k∈Z.2②在上述兩個等式中,只要知道其中任意一個,就可以求出其余的兩個.知道正弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;進而用第二個等式2求出正切.應用示例

思路1例1 已知sinα=4,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值.5活動:同角三角函數的基本關系學生應熟練掌握,先讓學生接觸比較簡單的應用問題,明確和正確地應用同角三角函數關系.可以引導學生觀察與題設條件最接近的關系式是sin2α+cos2α=1,故cosα的值最容易求得,在求cosα時需要進行開平方運算,因此應根據角α所在的象限確定cosα的符號,在此基礎上教師指導學生獨立地完成此題.解:因為sin2α+cos2α=1,所以 cos2α=1-sin2α=1-(429)=.52539=?，525又因為α是第二象限角,所以cosα<0.于是cosα=?從而tanα=sina454=×(?)=?.cosa533

點評:本題是直接應用關系求解三角函數值的問題,屬于比較簡單和直接的問題,讓學生體會關系式的用法.應使學生清楚tanα=?4中的負號來自α是第二象限角,這也是根據商數關系直接運算后的結3果,它不同于在選用平方關系式的三角函數符號的確定.例2 已知cosα=?8,求sinα,tanα的值.17

活動:教師先引導學生比較例

1、例2題設條件的相異處,根據題設條件得出角的終邊只能在第二或第三象限.啟發學生思考僅有cosα<0是不能確定角α的終邊所在的象限,它可能在x軸的負半軸上(這時cosα=-1).解:因為cosα<0,且cosα≠-1,所以α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角,那么 sinα=1-cos2a=1?(?tanα=

8215)=，1717sina151715=×(?)=?, cosa178854,tanα=?.17

3如果α是第三象限角,那么sinα=?

點評:在已知角的一個三角函數值但是不知道角所在的象限的時候,應先根據題目條件討論角的終邊所在的象限,分類討論所有的情況,得出所有的解.思路2 例1 已知tanα為非零實數,用tanα表示sinα、cosα.活動:引導學生思考討論:角的終邊在什么位置;能否直接利用基本關系式求出sinα或cosα的值.由tanα≠0,只能確定α的終邊不在坐標軸上.關于sinα、cosα、tanα的關系式只有tanα=sina,在這個式子中必須知道其中兩個三角函數值,才能求出第三個,因此像這類問題cosa的求解,不能一步到位,需要公式的綜合應用.其步驟是:先根據條件判斷角的終邊的位置,討論出現的所有情況.然后根據討論的結果,利用基本關系式求解.分情況求出cosα,進而求出sinα.解:因為sin2α+cos2α=1,所以sin2α=1-cos2α.sinasin2a1?cos2a1

2??1.又因為tanα=,所以tanα==222cosacosacosacosa于是1122=1+tanα,cosα=.cos2a1?tan2a由tanα為非零實數,可知角α的終邊不在坐標軸上,從而

1?,當a為第一、第四象限角,?2?1?tanacosα=?

1??,當a為第二,第三象限角,2??1?tana

?tana,當a為第一,第四象限角,?2?1?tanasinα=cosαtanα=?

tan??,當a為第二、第三象限角.2??1?tana

點評:要求學生靈活運用三角函數公式進行變形、化簡、求解.需要學生認真細致分析題目的條件,靈活運用公式,需要較高的思維層次.變式訓練

已知cosα≠0,用cosα表示sinα、tanα.解:本題仿照上題可以比較順利完成.2??1?cosa，當a為第一、第二象限角，sinα=?

2???1?cosa,當a為第三、第四象限角，?1?cos2?,當a為第一、第二象限角，??cos?tanα=?

2?1?cos??，當a為第三、第四象限角.?cos??cosx1?sinx?.例2 求證:1?sinxcos

活動:先讓學生討論探究證明方法,教師引導思考方向.教材中介紹了兩種證明方法:證法一是從算式一邊到另一邊的證法,算式右邊的非零因式1+sinα,在左邊沒有出現,可考慮左邊式子的分子、分母同乘以1+sinx,再化簡;在證法二中可以這樣分析,要讓算式成立,需證cos2x=(1+sinx)(1-sinx),即cos2x=1-sin2x,也就是sin2x+cos2x=1,由平方關系可知這個等式成立,將上述分析過程逆推便可以證得原式成立.證法一:由cosx≠0,知sinx≠1,所以1+sinx≠0,于是 左邊=cosx(1?sinx)cosx(1?sinx)cosx(1?sinx)1?sinx????右邊 22(1?sinx)(1?sinx)cosx1?sinx1?sinxx所以原式成立.證法二:因為(1-sinx)(1+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosxcosx, 且1-sinx≠0,cosx≠0,所以

cosx1?sinx?.教師啟發學生進一步探究:除了證法一和證法

1?sinxcosx二外你可否還有其他的證明方法.教師和學生一起討論,由此可探究出證法三.依據“a-b=0?a=b”來證明恒等式是常用的證明方法,由學生自己獨立完成.證法三:因為

cosx1?sinxcosxcosx?(1?sinx)(1?sinx)cos2x?(1?sin2x)cos2?cos2x?????01?sinxcosx(1?sinx)cosx(1?sinx)cosx(1?sinx)cosx所以cosx1?sinx?.1?sinxcosx

點評:這是一道很有訓練價值的經典例題,教師要充分利用好這個題目.從這個例題可以看出,證明一個三角恒等式的方法有很多.證明一個等式,可以從它的任何一邊開始,證得它等于另一邊;還可以先證得另一個等式成立,從而推出需要證明的等式成立.例3 化簡1-sin2440?.活動:引導學生探究:原式結果為cos440°時是不是最簡形式,還應怎么辦?教師引導學生運用誘導公式一化簡為cos80°,由于cos80°>0,因此cos280?=｜cos80°｜=cos80°,此題不難,讓學生獨立完成.2解:原式=1-sin(360??80?)=1-sin280?=1-sin280?=cos80°.點評:恰當利用平方關系和誘導公式化簡三角函數式.提醒學生注意化簡后的簡單的三角函數式應盡量滿足以下幾點:(1)所含的三角函數種類最少;(2)能求值(指準確值)的盡量求值;(3)不含特殊角的三角函數值.變式訓練

化簡:1-2sin40?cos40?

答案:cos40°-sin40°.點評:提醒學生注意:1±2sinαcosα=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2,這是一個很重要的結論.知能訓練

課本本節練習.解答:1.sinα=?33,tanα=.5413,cosφ=?

2213,cosφ=.222.當φ為第二象限角時,sinφ=當φ為第四象限角時,sinφ=?3.當θ為第一象限角時,cosθ≈0.94,tanθ≈0.37.當θ為第二象限角時,cosθ≈-0.94,tanθ≈-0.37.4.(1)cosθtanθ=cosθsin?=sinθ;cos?2cos2a?12cos2a?(sin2a?cos2a)cos2a?sin2a(2)???1 1?2sin2a(sin2a?cos2a)?2sin2acos2a?sin2a5.(1)左=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α=右;(2)左=sin2α(sin2α+cos2α)+cos2α=sin2α+cos2α=1=右.課堂小結

由學生回顧本節所學的方法知識:①同角三角函數的基本關系式及成立的條件,②根據一個任意角的正弦、余弦、正切中的一個值求出其余的兩個值(可以簡稱“知一求二”)時要注意這個角的終邊所在的位置,從而出現一組或兩組或四組(以兩組的形式給出).“知一求二”的解題步驟一般為:先確定角的終邊位置,再根據基本關系式求值,若已知正弦或余弦,則先用平方關系,再用其他關系求值;若已知正切或余切,則構造方程組求值.教師和學生一起歸納三角函數式化簡與三角恒等式的證明的一般方法及應注意的問題,并讓學生總結本節用到的思想方法.作業

1.化簡(1+tan2α)cos2α;2.已知tanα=2,求答案:1.1;2.3.設計感想

公式的推導和應用是本節課的重點,也是本節課的難點.公式的應用實際上是求可化為完全平方的三角函數式的“算術平方根”的化簡題和證明題,這類問題可按下列情形分別處理:

(1)如果這個三角函數式的值的符號可以確定,則可以根據算術平方根的定義直接得到結果;

(2)如果這個三角函數式的值的符號不可以確定,則可根據題設條件,經過合理的分類討論得到結果.三角函數式的化簡,體現了由繁到簡的最基本的數學解題原則,它不僅需要學生能熟悉和靈活運用所學的三角公式,還需要熟悉和靈活運用這些公式的等價形式,同時,這類問題還具有較強的綜合性,對其他非三角知識的靈活運用也具有較高的要求,在教學時要注意進行相關知識的復習.證明恒等式的過程實質上就是分析轉化和消去等式兩邊差異來促成統一的過程,證明時常用的方法一般有以下三種:

(1)依據相等關系的傳遞性,從等式一邊開始,證明它等于另一邊,證明時一般遵循由繁到簡的原則.(2)依據“等于同量的兩個量相等”證明左、右兩邊等于同一個式子.(3)依據等價轉化思想,證明與原式等價的另一個式子成立,從而推出原式成立.教材上在運用這一方法時使用的是綜合法,初學恒等式的證明時,運用等價轉化的方法可以使證明的思路更清楚一些,實際上,使用綜合法時不一定要求進行等價轉化,只需證明等式成立的充分條件即可(教師知道即可),證明方法中分別運用到了分式的基本性質和算式的基本性質.使學生明白,如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函數,為了便于將算式兩邊溝通,可通過“切化弦”使兩邊的三角函數相同.sina?cosa的值.sina?cosa

第三篇：1.2.2高中數學人教A版必修四第一章第二節《同角三角函數基本關系》教學設計(王衛)

昆明世博中學 高一數學必修4第一章第二節 同角三函數的基本關系 主備人：王衛 輔備人：數學組

2.2.1 同角三函數的基本關系

【內容與解析】

本節課是高中數學人教A版必修四1.2.2<<同角三角函數基本關系>>的內容.本節內容是學習了任意角的三角函數相關知識后，繼續深入學習的內容，是求三角函數值、化簡三角函數式、證明三角恒等式等的最基本的工具，是整個三角函數的基礎，在教材中起承上啟下的作用，因此學生學好本節內容尤為重要。教學的重點：(1)公式sinα+cosα=1,22sin?=tan?的推導及其應用；解決問題的關鍵是通過單位圓cos?及三角函數的定義推導同角三角函數的基本關系。計劃2節正課，1節練習課，共計3個課時。

【教學目標與解析】 1．教學目標

1．理解并掌握同角三角函數的基本關系 2．會運用公式求值、化簡、證明。

2．目標解析

1.目標一是指通過實例使學生理解同角三角函數的基本關系，體會引入同角三角函數基本關系的必要性；通過師生觀察分析得出同角三角函數的基本關系。

2.目標二是指通過實例講解運用公式求值、化簡、證明。【問題診斷分析】

本節課的教學中，學生可能出現如下幾個問題：

（1）怎么理解同角的概念？

（2）同角三角函數的基本關系是什么？

在本節課的教學中,學生可能遇到的問題是對同角理解有困難,產生這一問題的原因是同角三角函數基本關系數學能力要求較高.要解決這一問題,就是要依據三角函數定義引入,其中關鍵是師生的互動要到位.【教學條件支持】

本節課的教學中需要用到智能黑板，粉筆。【教學過程】

1、自學（大約8分鐘）問題1：單位圓是什么？ 問題2：三角函數的定義是什么？ 問題3：同角怎樣去理解？

2、互學導學（大約32分鐘）

問題1： 同角三角函數基本關系有哪些？

昆明世博中學 高一數學必修4第一章第二節 同角三函數的基本關系 主備人：王衛 輔備人：數學組

設計意圖：學生是教學的主體，本節課要給學生提供各種參與機會．為了調動學生學習的積極性，使學生化被動為主動，本節課可利用多媒體輔助教學，引導學生從實例中認識同角三角函數基本關，體會引入同角三角函數基本關必要性．在教學重難點上，步步設問、啟發學生的思維，通過課堂練習、探究活動、學生討論的方式來加深理解，更好地突破難點和提高教學效率．讓學生在教師的引導下，充分地動手、動口、動腦，掌握學習的主動權．

師生活動：

小問題1：你能用三角函數的定義證明嗎？

小問題:2： 對于同角你是怎樣理解的？此公式可解決哪些問題？

例題1：搶答判斷對錯

sin227?+cos263??

1sin4??cos4??1 22sin2(???)?cos2(???)?1

變式1： sin22014?cos22014?問題2：如何運用同角三角函數基本關系求值、化簡、證明？

設計意圖：通過以上問題，讓學生掌握同角三角函數基本關系的形成過程，掌握以上知識并形成技能．通過分析，讓學生學會具體問題具體應用是關鍵。

師生活動：

小問題1：對于平方關系可作哪些變形？ 小問題2：對于商數關系可作哪些變形？ 例題2：（1）已知sinα＝－3，并且它是第三象限的角，求cosα，tanα的值.53（2）已知cosα＝－，并且它是第二象限的角，求sinα，tanα的值.5（3）已知tana=2,求sina,cosa 的值。（4）化簡：cos?tan?

變式2：（1）已知sinα＝－3，求cosα，tanα的值.5

已知（2）tan??2求sin??cos?sin??cos? 昆明世博中學 高一數學必修4第一章第二節 同角三函數的基本關系 主備人：王衛 輔備人：數學組

2cos2??1（3）化簡：1?2sin2?

【課堂目標檢測】

教材20頁練習1、2、4.【課堂小結】

1、同角三角函數的基本關系；

2、求值、化簡、證明； 【配餐作業】

1.書面作業：課本P20習題2、3題（A組）2.書面作業：課本P21習題4、7、8、10題（B組）3.書面作業：課本P21習題11、12題（C組）

第四篇：高中數學 1.2第07課時 任意角的三角函數教案 理 新人教A版必修4

任意角的三角函數（3）

課時：07 課型：新授課 教學目標：

1.理解三角函數定義.三角函數的定義域，三角函數線.2.理解握各種三角函數在各象限內的符號.

3.理解終邊相同的角的同一三角函數值相等.能力目標：

1.掌握三角函數定義.三角函數的定義域，三角函數線.2.掌握各種三角函數在各象限內的符號. 3.掌握終邊相同的角的同一三角函數值相等.教學過程：

一、復習引入：

1、三角函數定義.三角函數的定義域，三角函數線，各種三角函數在各象限內的符號.誘導公式第一組.2.確定下列各式的符號

(1)sin100°·cos240°(2)sin5+tan5 3..x取什么值時,sinx?cosx有意義? tanx4．若三角形的兩內角?，?滿足sin?cos??0，則此三角形必為（）A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D以上三種情況都可能 5．若是第三象限角，則下列各式中不成立的是（）A：sin?+cos??0 B：tan??sin??0 C：cos??cot??0 D：cot?csc??0 6．已知?是第三象限角且cos?2?0，問

?2是第幾象限角？

二、講解新課：

1、（1）若θ在第四象限，試判斷sin(cosθ)cos(sinθ)的符號；（2）若tan(cosθ)cot(sinθ)>0,試指出θ所在的象限，并用圖形表示出

?的取值范圍.22、求證角θ為第三象限角的充分必要條件是?證明：必要性：∵θ是第三象限角，

?sin??0

?tan??0?sin??0∴?

tan??0?充分性：∵sinθ＜0，∴θ是第三或第四象限角或終邊在ｙ軸的非正半軸上 ∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角. ∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立. ∴θ為第三象限角.

3.求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°．

三、鞏固與練習1 求函數y=的值域 設?是第二象限的角，且|cos?2|??cos?2,求?2的范圍.四、小結：

五、課后作業：

1、利用單位圓中的三角函數線，確定下列各角的取值范圍：

(1)sinx

第五篇：11-12學年高中數學 1.2.2 集合的運算教案 新人教B版必修1

1.2.2集合的運算

（一）教學目標：

理解兩個集合的交集的含義，會求兩個集合的交集 教學重、難點：

會求兩個集合的交集 教學過程：

（一）復習集合的概念、子集的概念、集合相等的概念。

（二）講述新課

一、1、觀察下面兩個圖的陰影部分，它們同集合A、集合B有什么關系？

A B

2、考察集合A={1，2，3},B={2,3,4}與集合C={2,3}之間的關系.二、一般地，由所有屬于A又屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集． 記作A∩B（讀作＂A交B＂），即A∩B=｛x|x∈A，且x∈B｝． 如：｛1,2,3,6｝∩｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．

又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e｝,B={c,d,e,f}.則A∩B={c,d,e}

三、基本性質

A∩B= B∩A;A∩A=A;A∩Ф=Ф;A∩B=A?A?B 注：是否給出證明應根據學生的基礎而定.四、補充例子

例1．設A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A∩B.解：A∩B=｛x|x>-2｝∩｛x|x<3｝=｛x|-2

3、已知集合M＝｛(x,y)|x+y=2｝,N={(x,y)|x－y=4},那么集合M∩N為() A.x=3,y=－1

B.(3，－1) C.｛3，－1｝

D.｛(3，－1)｝

分析： 由已知得M∩N＝｛(x,y)|x+y=2,且x－y=4｝={(3,－1)}.

也可采用篩選法.首先，易知A、B不正確，因為它們都不是集合符號.又集合M，N的元素都是數組(x,y)，所以C也不正確.

注： 求兩集合的交集即求同時滿足兩集合中元素性質的元素組成的集合.本題中就是?x?y?2求方程組?的解組成的集合.另外要弄清集合中元素的一般形式.?x?y?4課堂練習：第18頁練習A、B

小結：本節課我們學習了交集的概念、和基本性質 課后作業：（略）