第一篇：重要不等式匯總(例題答案)

其他不等式綜合問題

例1：（第26屆美國數(shù)學(xué)奧題之一）設(shè)a、b、c∈R+，求證：

1???.（1）

a3?b3?abcb3?c3?abcc3?a3?abcabc

分析；最初，某刊物給出了一種通分去分母的較為復(fù)雜的證法，這里試從分析不等式的結(jié)構(gòu)出發(fā)，導(dǎo)出該不等式的編擬過程，同時(shí)，揭示證明此類問題的真諦，并探索其推廣命題成功的可能性。思考方向：（1）的左邊較為復(fù)雜，而右邊較為簡(jiǎn)單，所以，證明的思想應(yīng)該從左至右進(jìn)行, 思考方法：（1）從左至右是一個(gè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的逐步放大過程，所以，一個(gè)簡(jiǎn)單的想法就是將各分母設(shè)法縮小，但考慮到各分母結(jié)構(gòu)的相似性，故只要對(duì)其中之一做恰倒好處的變形，并構(gòu)造出右邊之需要即便大功告成.實(shí)施步驟；聯(lián)想到高中課本上熟知的不等式：x3+y3≥x2y+xy2=xy(x+y)(x、y∈R+)（*）

知（1）的左端?

1???.ab(a?b)?abcbc(b?c)?abcca(c?a)?abcabc

這一證明是極其簡(jiǎn)單的，它僅依賴高中數(shù)學(xué)課本上的基礎(chǔ)知識(shí)，由此可見，中學(xué)課本上的知識(shí)也能用來攻克高層次的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，看來，我們要好好守住課本這快陣地。

（1）刻畫了3個(gè)變量的情形，左端的三個(gè)分式分母具有如下特征：三個(gè)字母中取兩個(gè)的三次方與這三個(gè)變量的乘積之和，那么，對(duì)于更多個(gè)變量會(huì)有怎樣的結(jié)論？

以下為行文方便，記（1）的左端為 ?似處理，不再贅述,為了搞清多個(gè)變量時(shí)（1）的演變，首先從4個(gè)變量時(shí)的情形入手,11

。（2）?

a3?b3?c3?abcdabcd

4分析：注意到上面的（*），要證（2），需要證 x+y+z≥xyz(x+y+z)（**），表示對(duì)a、b、c輪換求和，以下其它的類

a?b3?abc

3推廣1：設(shè)a、b、c、d∈R+，求證：?

（**）是（*）的發(fā)展，它的由來得益于證明（1）時(shí)用到的（*），這是一條有用的思維發(fā)展軌道。事實(shí)上，由高中數(shù)學(xué)課本上熟知的不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx易知 x+y+z≥xy+yz+zx≥xy·yz+yz·zx+zx·xy=xyz(x+y+z),這樣（**）得證, 從而（2）便可仿（1）不難證明，略, 推廣2：設(shè)ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求證：?

n

44422222

2i?k

i?

1?a??ai

i?1

ni

n

?

1?ai

i?1n

。（3）

有了前面的推廣1的證明，這里的推廣2的證明容易多了，聯(lián)想（**），只要能證明

nn

a1n?a2?????an?1?a1a1???an?1(a1?a2?????an?1)（這是（**）的發(fā)展）

事實(shí)上，由切比雪夫不等式及算術(shù)——幾何平均值不等式可知

a?a?????a

n

n2

nn?1

n?1n?1

a1n?1?a2?????an?1?(a1?a2?????an?1)?a1a1???an?1(a1?a2?????an?1)

n?1

有了上式，推廣2便不難證明，略.很顯然，對(duì)于推廣2，若按（1）的最初的去分母去證明，當(dāng)然是行不通的，這也表明，解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵一著就是要把握問題的實(shí)質(zhì)，不要被一些較復(fù)雜的表面現(xiàn)象所迷惑，要善于觀察，善于分析，善于總結(jié)，善于概括，善于發(fā)現(xiàn)，善于利用，盡力從表象的東西里抽象概括出本質(zhì)性的實(shí)質(zhì)性的規(guī)律，這才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的要旨。例2：設(shè)x、y、z∈R+，求證：

x2y2z

2?2?2?1.（4）2222

y?z?yzz?x?zxx?y?xy

分析：這是一個(gè)并不復(fù)雜的分式不等式，但是若要通過去分母來證明，肯定會(huì)走彎路，甚至走到死胡同。

思考方向：（4）的左端較為復(fù)雜，而右邊較為簡(jiǎn)單，所以，證明的思想應(yīng)該從從左至右的進(jìn)行。思考方法：（1）從左至右是一個(gè)逐步縮小的過程，所以，對(duì)于本題，一個(gè)簡(jiǎn)單的想法就是將個(gè)分母設(shè)法放大，但考慮到分母結(jié)構(gòu)的相似性，故只要對(duì)其中之一進(jìn)行恰倒好處的變形，并設(shè)法構(gòu)造出（4）的右邊即可大功告成。

實(shí)施步驟；聯(lián)想到高中課本上熟知的的不等式：2xy≤x2+y2(x、y∈R),剛好是（4）中分母里xy的成功放大，即有如下證明：

x3x2x22x

2?證明：∵? 只要證明，（5）???,??22y2?z2212y2?z2?yz3(y?z)222

y?z?(y?z)

給（5）的兩邊同時(shí)加3，得到?

(x2?y2?z2)(?

x2?y2?z2

y2?z2

?

9，這等價(jià)于 2

19122)??(y?z)()?9，??2y2?z2y2?z2

這由Cauchy不等式便知，從而（4）得證。

（4）式刻畫了3個(gè)變量的情形，其特點(diǎn)是；左端每一個(gè)分式的分母是從3個(gè)變量中取兩個(gè)，為

兩個(gè)的二次方與這兩個(gè)變量之積之和，而分子則是剩下一個(gè)變量的二次方。現(xiàn)在，我們?nèi)绻驹谧兞總€(gè)數(shù)方面考慮，即再增加若干個(gè)變量，結(jié)論會(huì)怎樣？證法還靈嗎？經(jīng)過再三考慮，得到 推廣1：設(shè)ai∈R+，(I=1,2,3,…，n)求證：?

n

ain

k?i

n

?ak??ak

k?i

i?

1?1.（6）

聯(lián)想（4）的證明過程，知關(guān)鍵是對(duì)分母中的乘積項(xiàng)利用二元均值不等式進(jìn)行放大，然后運(yùn)用Cauchy不等式便大共告成，那么，（6）的證明也只要對(duì)每一個(gè)分式中分母乘積項(xiàng)逆用多元算術(shù)——幾何平均值不等式，再使用Cauchy不等式便知，詳細(xì)的證明略。

y2x2z2

???1.（7）另外，如果一不小心，將（4）錯(cuò)寫為如下形式：2

y?yz?z2z2?zx?x2x2?xy?y2

那么，雖然（7）與（4）相比，實(shí)質(zhì)性的東西并沒有發(fā)生改變，但就其結(jié)構(gòu)而言已經(jīng)發(fā)生了相當(dāng)大的改變，即（7）的每一個(gè)分母中連續(xù)3項(xiàng)依次成等比數(shù)列，而（4）的分母中就不具備這樣的性質(zhì)，繼而，（7）是否從某一方面反映某一普遍意義下的一種特例呢？也就是（7）的一般情形是什么？站在等比數(shù)列的角度去審視（7），就可以探索從改變分母的指數(shù)出發(fā)去聯(lián)想，從而得到一個(gè)很好的結(jié)論，（7）的分母多項(xiàng)式為3項(xiàng)，最高指數(shù)為2，分子與分母指數(shù)相同，左邊為三個(gè)式子之和，右邊為1，試想，當(dāng)分母中的多項(xiàng)式指數(shù)增高時(shí)，（7）應(yīng)該變成什么樣子，準(zhǔn)確點(diǎn)兒，當(dāng)指數(shù)為n+1時(shí)，相應(yīng)的結(jié)論如何？這就是

推廣2：設(shè)xyz∈R+，求證：

xn?1yn?1zn?13（8）?n?1n?n?1n?n?1nn?12n?1n?12n?1n?12n?1

n?2y?yz?yz?????zz?zx?zx????xx?xy?xy?????y

分析：聯(lián)想與類比有時(shí)候是提出問題和解決問題的金鑰匙，相似問題的解決方法在很多場(chǎng)合往往

都是十分相似的，在這一點(diǎn)上請(qǐng)同學(xué)們注意領(lǐng)會(huì)并掌握。

思考方向與思考方法基本同于（4），只是實(shí)施步驟中的不等式：2xy≤x2+y2(x、y∈R)的右邊的指數(shù)2改為n+1時(shí)，結(jié)論會(huì)變成什么相適應(yīng)的樣子？

類似于（*），由高中課本上知識(shí)知（當(dāng)然可從指數(shù)為3，4，5，…,去探索，這里就省去探索的過程了，因?yàn)楦咧姓n本上已有指數(shù)為3、5時(shí)的結(jié)論）： nkknn+kn+k

xy+xy≤x+y,(x、y∈R+，n、k∈N+)

這是一個(gè)有意義的結(jié)論，于是xn+1+xny+xn-1y2+…+yn+1≤

yn?1xn?

1??

yn?1?ynz?yn?1z2?????zn?1zn?1?znx?zn?1x2????xn?1xn?1?xny?xn?1y2?????yn?1

n?2n?1

(x?yn?1),即 2n?1z

2xn?1yn?1zn?1

3?(n?1??)?.(注意到（5）)到此，推廣2獲證。n?1n?1n?1n?1n?1

n?2y?zn?2z?xx?y

實(shí)際上，通過剛才對(duì)（7）的分析知道，（7）還有從變量個(gè)數(shù)方面的推廣，例如變量個(gè)數(shù)為4，5，6，…，12或者小于等于23的奇數(shù)（結(jié)論成立）時(shí)，結(jié)論的證明就比較復(fù)雜了，況且，也不能推廣到任意多個(gè)變量。關(guān)于這點(diǎn)，請(qǐng)讀者參考有關(guān)資料。例3：設(shè)x、y∈（0，1），求證：

2??。（9）1?x21?y21?xy

分析：本題的結(jié)構(gòu)看似簡(jiǎn)單，實(shí)際上，要向前面兩個(gè)不等式那樣去設(shè)法從左至右的證明在這里就不好進(jìn)行，于是，需要進(jìn)行等價(jià)分析變形，這是在當(dāng)前一時(shí)找不到好的證法時(shí)常用的證題方法。

思考方向和思考方法：去分母，整理成恒不等式。

實(shí)施步驟：一般的程序應(yīng)該是配方或者分解因式。

證明：由條件 x、y∈（0，1）知，xy∈（0，1）,所以，原不等式等價(jià)于[

1?]?（10）

21?x21?y21?xy

?2(1?x2)(1?y2)-(1?xy)(2?x2?y2)?0?(x2?y2-2xy)(1-xy)?0（11）

結(jié)合題目條件及二元均值不等式知此式早已成立，于是原命題獲證。

這一證明看起來比較簡(jiǎn)明，但是，真正實(shí)施起來也不是太簡(jiǎn)單，請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)領(lǐng)悟。到這里本題的證明已經(jīng)結(jié)束，但是，如果僅停留在這個(gè)層次上就得到的甚少，應(yīng)該及時(shí)進(jìn)行反思、總結(jié)、提煉，看看本題有無推廣演變的可能？即能否由此產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)命題？

觀察例3的結(jié)構(gòu)可以看出，（10）的左端可以看成是函數(shù)f(x)?

在兩個(gè)變量x、y處的函數(shù)

21?x

值的算術(shù)平均值，右邊是兩個(gè)變量x、y在其幾何平均值處的函數(shù)值f(xy)，聯(lián)想到Jensen不等式，可以很容易的將（10）推廣到多個(gè)變量時(shí)的情形，即

推廣1：xi∈（0，1）(i=1、2、3，…，n),求證：?

1n

?。（12）nn

i?11?xi1??xi

n

i?

1這由數(shù)學(xué)歸納法不難確認(rèn)其正確，詳細(xì)證明留給感興趣的讀者。

繼續(xù)觀察（11），不難看出，當(dāng)x＞1，y＞1時(shí)，不等號(hào)應(yīng)該反向，于是可得原命題的另一種演變的推廣，即

推廣2：xi∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n),求證： ?

1n

?（13）nn

i?11?xi1??xi

n

i?

1繼續(xù)觀察（10），容易想到，當(dāng)變量個(gè)數(shù)再增加時(shí)會(huì)有怎樣的結(jié)論？即對(duì)于三個(gè)變量 若x、y、z∈（0，1）,可得[

這三式相加得：

11111111111

1?]??]?，[[ ?]?222

221?x1?xy21?y1?yz21?z21?x21?y1?z1?zx111111

?????（14）1?x21?y21?z21?xy1?yz1?zx

這樣我們又得到了一個(gè)新的命題。如此繼續(xù)，便得

推廣3：xi∈（0，1）,(i=1、2、3，…，n),求證：?

n11?（15）?

2i?11?xi?11?xixi?

1in

n11

（16）?.（xn+1=x1）?2

i?11?xi?11?xixi?1

in

推廣4：xi∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n),求證：?

（15）、（16）的證明可仿照（14）的證明進(jìn)行，在此就略去其詳細(xì)的證明了。

從這幾個(gè)推廣命題的由來我們可以看出，很多數(shù)學(xué)命題都是在認(rèn)真分析已有命題的基礎(chǔ)上，對(duì)原命題進(jìn)行分析、歸納、總結(jié)、提煉，得到描述問題的本質(zhì)，在原有問題及其求解思路的基礎(chǔ)上，運(yùn)用自己所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)通過思維的遷移加工就可得到一系列新的數(shù)學(xué)命題，這也是許多命題專家的研究心得，更是解題者應(yīng)該多多注意的一個(gè)方面，也是我們輔導(dǎo)老師應(yīng)該向?qū)W生介紹的重要一環(huán)——展示知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的全過程。

研究某些不等式的推廣是十分有意義的工作，有事實(shí)表明，近多年來的高層次競(jìng)賽就多次涉及到多個(gè)變量的復(fù)雜不等式證明問題，而且，有些問題本身就是一些固有問題的發(fā)展和演變，故應(yīng)引起參加競(jìng)賽的同學(xué)的重視。

例4已知a,b,c,m為正數(shù)．求證：證明：不妨設(shè)a?c,b?c，則

abc???3bcaab?bca????2?????1?ba?cab?

abca?mb?mc?m

． ?????

bcab?mc?ma?m

b??a?b?

ab

?a?c??b?c??

ac

故

abca?mb?mc?m

?????． bcab?mc?ma?m

?a?b??a?c??b?c???

a?mb?ma?mc?m

2a?m?b?m???????????a?m???c?m??????b?m???c?m?????

a?mb?ma?mc?ma?mb?m?b?mc?mb?m???2?????1?b?ma?m?c?ma?ma?m?a?mb?mc?m????3.b?mc?ma?m?

x2y2z2

例5設(shè)正數(shù)x,y,z,a,b,c滿足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函數(shù)f(x,y,z)=的最小值.??

1?x1?y1?z

222

c2?a2?b2a2?b2?c2b?c?a解:由cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c容易解得:x?,y?,z?,且

2ca2ab2bc

a+b>c,b+c>a,c+a>b.22222

[?(b2?c2?a2)]2x1(b?c?a)1由對(duì)稱性不妨設(shè)a≥b≥c,從而f(x,y,z)=? ???1?x2(a?b?c)bc(b?c?a)2(a?b?c)bc(b?c?a)

1(a2?b2?c2)2

1???2(a?b?c)bc(b?c?a)2

?a4+b4+c4+2

?bc

≥2

?bc

+

?bc??bc

?3?a2bc?a4+b4+c4+

3?abc??bc??bc

?

a(a-c)(a-b)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)≥0?a(a-b)+a(b-c)(a-b)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)=a2(a-b)2+(a2-b2)(b-c)(a-b)+c2(c-a)(c-b)≥0,最后的不等式顯然成立,22222222

11x21

?,其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c且x=y=z=,故函數(shù)f(x,y,z)的最小值為.所以?221?x2

例6設(shè)n是給定的正整數(shù)，且n≥3,對(duì)于n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn，記|xi-xj|(1≤i

x12+x22+…+xn2=1,試求m的最大值。

解:不妨設(shè)x1≤x2≤…≤xn,則x2-x1≥m,x3-x2≥m,x4-x3≥m,…,xn-xn-1≥m.xj-xi≥(j-i)m(1≤i

k(k?1)(2k?1)m∴有?(xi?xj)?m?(j?i)?m??

661?i?j?n1?i?j?nk?1

2n?1

?[2k(k?1)(k?2)?3k(k?1)]

k?1

n?1

m2

?6

∵

?(12C

k?1

n?1

3k?2

?6C

2k?1)?m(2?C

k?1

n?1

3k?2

??Ck2?1)?m2(2Cn?2?Cn?1)=k?1

n?1

1222

mn(n?1).12

1?i?j?n

?(x

i

?xj)?n?1?2

1?i?j?n

?xx

i

j

?n?(?xk)2≤n.∴m2n2(n2-1)≤12n,m≤

k?1

n

12.僅當(dāng)x1,x2,…,xn成等差數(shù)列,且xk2

n(n?1)k?1

?

n

?0時(shí)等號(hào)成立∴mmax=

.n(n2?1)

例7設(shè)n是一個(gè)固定的整數(shù)，n≥2.(Ⅰ)確定最小的常數(shù)c，使得不等式對(duì)所有的非負(fù)實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn都成立；

(Ⅱ)對(duì)于(Ⅰ)中的常數(shù)c，確定等號(hào)成立的充要條件。解：將和式

1?i?j?n

1?i?j?n

?xx(x

ij

2i

?xj)?c(?xi)

4i?1

n

?f(x,x)簡(jiǎn)記為?f(x,x).(Ⅰ)當(dāng)x，x，…，x不全為0時(shí)，記

i

j

jj

12n

xx?x?

(?x)

ini?1

i

j2

xxx(x?x?,y?

(?x)

i

jk

in

i?1

i

n

j

?xk).∵

?xx(x

i

j

2i

?xj)??xixj[(?xk)?2?xixj?

k?1

k?1(k?i,j)

?x

i

j

n

2k

]?(?xk)2?xixj?

k?1

n

2(?xixj)2??xixjxk(xi?xj?xk)∴?2x2?x?y∵?2x2?x?y?

1?i?j?n

?xx(x

2i

?x)?c(?xi)4?c?

i?1

2j

n

111,其中等號(hào)成立僅當(dāng)x?,y?0∴cmin?.848

n

11(Ⅱ)c?中等號(hào)成立?x?,y?0?(xi)2?4

4i?1

??xx,?xxx

ij

ij

k

(xi?xj?xk)

?0??xixjxk?0且?xi?2?xixj?x1，x2，…，xn中任意三項(xiàng)之積為0，最多有兩項(xiàng)xi、i?

1n

xj不為0，滿足xi+xj=2xixj即xi=xj∴c?余全為0

2中等號(hào)成立?x1，x2，…，xn中有兩項(xiàng)相等(可以為0)，其8

2n?2006

例

8、（2007年CMO試題5）設(shè)有界數(shù)列{an}(n?1)滿足a?

n

?

k?n

ak1

?,n?1,2,3?求證：k?12n?2007

an?,n?1,2,3,? n

2n?20061

則 bn??bknk?nk?1

證明：設(shè)bn?an?

n?1

(1)

下證bn?an?，因?yàn)閍n有界，故存在常數(shù)M。使得bn?M，n?100000時(shí)，我們有 n

2n?2006

2n?2006

(3s)2

2n?2006

bk111

bn???M??M??M? k?nk?1k?nk?1k?nk?1k?nk?1

n

?2006

16?M??M2?M

27?12

由此可以看出，對(duì)任意的正整數(shù)m有bn?()M于是有bn?0,n?100000 將其代入（1），得bn?0,n?10000 0

再次利用（1），可以得：如果當(dāng)n?N?1時(shí)bn?0，則bN?0，這就推出bn?0,n?1,2,3,?，即an?

m,n?1,2,3,? n

第二篇：杭電金融企業(yè)會(huì)計(jì)重要例題及答案

一、銀行

1、儲(chǔ)戶李月2012年9月10日存入整存整取定期儲(chǔ)蓄存款60 000元，定期1年，年利率為

2.52%，該儲(chǔ)戶2013年9月10日到期支取，計(jì)算該儲(chǔ)戶利息，并寫出商業(yè)銀行會(huì)計(jì)分錄。借：應(yīng)付利息／利息支出1 51

2貸：吸收存款——定期儲(chǔ)蓄存款——李月1 512

借：吸收存款——定期儲(chǔ)蓄存款——李月1 512

貸：庫存現(xiàn)金1 5122、儲(chǔ)戶王一于2012年8月18日來銀行辦理零存整取定期儲(chǔ)蓄存款，月存500元，存期1年，月利率為1.5‰，于次年8月18日支取，計(jì)算該儲(chǔ)戶利息，并寫出商業(yè)銀行會(huì)計(jì)分錄。每月存款利息基數(shù)=（1+12）÷2 X 1.5‰=0.0097

5應(yīng)付利息=6 000 X 0.00975=58.5

借：應(yīng)付利息／利息支出58.5

貸：吸收存款——定期儲(chǔ)蓄存款——王一58.5

借：吸收存款——定期儲(chǔ)蓄存款——王一6 058.5

貸：庫存現(xiàn)金6 058.53、存本取息。儲(chǔ)戶劉建于2012年8月20日存入本金10 000元，存期1年，月利率為1.5‰，每三個(gè)月支取利息一次，計(jì)算該儲(chǔ)戶利息，并寫出商業(yè)銀行會(huì)計(jì)分錄。

每次支取利息數(shù)=（10 000 X 12 X 1.5‰）÷4=4

5借：應(yīng)付利息／利息支出45

貸：吸收存款——定期儲(chǔ)蓄存款——?jiǎng)⒔?5

借：吸收存款——定期儲(chǔ)蓄存款——?jiǎng)⒔?5

貸：庫存現(xiàn)金454、整存零取。儲(chǔ)戶李倩一次存入本金60 000元，1年期，每月支取一次3 000元，月利率為1.5‰，最后一次支取日為到期日，連同利息一并支取，計(jì)算該儲(chǔ)戶利息，并寫出商業(yè)銀行會(huì)計(jì)分錄。

到期應(yīng)付利息=（60 000+3 000）÷2 X 12 X 1.5‰=567

借：應(yīng)付利息／利息支出567

貸：吸收存款——定期儲(chǔ)蓄存款——李倩567

借：吸收存款——定期儲(chǔ)蓄存款——李倩3 567

貸：庫存現(xiàn)金3 5675、單位定期存款。B單位于2012年9月1日存入銀行定期存款1 000 000元，存期1年，年利

率為2.52%，2013年9月1日到期，該單位于9月7日來行支取，支取日活期存款年利率為0.72%，計(jì)算B單位利息，并寫出商業(yè)銀行會(huì)計(jì)分錄。

到期利息=1 000 000 X 1 X 2.52% = 25 200

逾期利息=1 000 000 X 6 X(0.72%÷360)=120

借：應(yīng)付利息／利息支出25 320

貸：吸收存款／定期存款——B單位25 320

借：吸收存款／定期存款——B單位25 320

貸：吸收存款／活期存款——B單位25 320

二、保險(xiǎn)

1、原保險(xiǎn)合同收入。A非壽險(xiǎn)原保險(xiǎn)合同（eg。家庭財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)合同）（1）1月1日收到保

費(fèi)2000元。借：銀行存款2000 貸：預(yù)收保費(fèi)2000

（2）2月1日確認(rèn)原保費(fèi)收入2000元。借：預(yù)收保費(fèi)2000 貸：保費(fèi)收入

（1）2009年1月1日收到保費(fèi)4000元，確認(rèn)原保費(fèi)收入8000元。

借：銀行存款 4000、應(yīng)收保費(fèi)4000 貸：保費(fèi)收入8000

（2）2010年1月1日收取保費(fèi)4000元.。借：銀行存款 4000 貸：應(yīng)收保費(fèi)4000B壽險(xiǎn)原保險(xiǎn)<1>公司收到保費(fèi)。借：銀行存款 貸：保費(fèi)收入

2、（原保險(xiǎn)）未到期責(zé)任準(zhǔn)備金。(1)11月1日確認(rèn)原保費(fèi)收入96000元。

借：銀行存款96000 貸：保費(fèi)收入96000（2）11月30日確認(rèn)未到期責(zé)任準(zhǔn)備金88000元。借：提取未到期責(zé)任準(zhǔn)備金88000 貸：未到期責(zé)任準(zhǔn)備金

(3)12月31日調(diào)減未到期責(zé)任準(zhǔn)備金8000元。借：未到期責(zé)任準(zhǔn)備金8000 貸：提取未到期責(zé)任準(zhǔn)備金

3、未決賠款準(zhǔn)備金<1>計(jì)算確定某類財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)合同未決賠款準(zhǔn)備金or壽險(xiǎn)合同壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金。借：提取保險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金貸：保險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金

4、賠付成本。

a、非壽險(xiǎn)原保險(xiǎn)合同（eg家庭財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)）

（1）確定支付賠付款。例1：B公司確定應(yīng)賠償張某投保的家庭財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)款160000，尚未支付。2009年4月30日B公司確認(rèn)金額為160000

借：賠付支出1600000貸：應(yīng)付賠付款160000

借：保險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金 160000 貸：提取保險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金160000

例2：B公司某被保險(xiǎn)人死亡，B公司確定應(yīng)賠償該該保險(xiǎn)受益人240000并于當(dāng)日支付。借：賠付支出 240000 貸：銀行存款240000

（2）發(fā)生理賠費(fèi)用。例：C公司分配相關(guān)理賠人員薪酬86000元，其中與壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金有關(guān)的有關(guān)的金額46000元，與長期健康保險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金有關(guān)的40000.借：賠付支出 86000貸：應(yīng)付職工薪酬86000

借：保險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金——壽險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金46000

——長期健康險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金40000

貸：提取保險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金86000

b、壽險(xiǎn)原保險(xiǎn)合同

C公司確定應(yīng)付給李某投保的團(tuán)體終身壽險(xiǎn)款項(xiàng)1200000，尚未支付。

借：賠付支出 1200000 貸：應(yīng)付賠付款1200000

借：保險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金 1200000 貸：提取保險(xiǎn)責(zé)任貯備金 12000005、損余物資

張某投保小轎車被盜，B公司已結(jié)案并支付寶金。2009年4月12日，B公司找回轎車，確定入賬價(jià)值160000.借：損余物資160000 貸：賠付支出1600006、代位追償款

李某轎車發(fā)生事故，B公司賠償保險(xiǎn)責(zé)任后，取得代位追償款權(quán)，估計(jì)能收回60000.6月23日，B收到58000。

（1）5月15日確認(rèn)應(yīng)收代位追償款60000。借：應(yīng)收代位追償款 貸：賠付支出

（2）6月30日收到應(yīng)收代位追償款58000。借：銀行存款58000賠付支出2000 貸：應(yīng)收代位追償款60000

一、證券

3、某證券公司與即將上市D公司簽訂合同采取全額包銷方式發(fā)行企業(yè)股票3 000萬股，承購價(jià)為每股2.5元，發(fā)行價(jià)為每股3元，發(fā)行期結(jié)束時(shí)有100萬股尚未賣出，作自營處理。要求：編制如下有關(guān)會(huì)計(jì)分錄：

（1）公司按承購價(jià)格全部購進(jìn)，并向發(fā)行者支付全部證券款，會(huì)計(jì)分錄：

（2）公司按發(fā)行價(jià)格向社會(huì)轉(zhuǎn)售給投資者，會(huì)計(jì)分錄：

（3）公司按承購價(jià)格結(jié)轉(zhuǎn)售出證券的實(shí)際成本，會(huì)計(jì)分錄：

（4）在發(fā)行期結(jié)束時(shí)，按承購價(jià)格將沒有售出的證券轉(zhuǎn)為公司的自營證券，會(huì)計(jì)分錄。

答：（1）公司按承購價(jià)格全部購進(jìn)，并向發(fā)行者支付全部證券款項(xiàng)：

借：代理承銷證券款——D公司股票75 000 000

貸：銀行存款75 000 000

（2）公司按發(fā)行價(jià)格向社會(huì)轉(zhuǎn)售給投資者：

借：銀行存款87 000 000

貸：代理承銷證券款75 000 000

手續(xù)費(fèi)及傭金收入12 000 000

（3）公司按承購價(jià)格結(jié)轉(zhuǎn)售出證券的實(shí)際成本：

借：證券發(fā)行72 500 000

貸：代理承銷證券——D公司股票72 500 000

（4）在發(fā)行期結(jié)束后，按承購價(jià)格將沒有售出的證券轉(zhuǎn)為公司的自營證券：

借：自營證券——D公司股票2 500 000

貸：代理承銷證券——D公司股票2 500 0004、某證券公司與即將上市的C公司簽訂合同，采用代銷的方式承銷公司上

市股票2 000萬股，確定價(jià)格為每股3元，手續(xù)費(fèi)按出售股票金額4‰計(jì)算，發(fā)行期結(jié)束時(shí)還有80萬股尚未賣出退還公司。

要求：編制如下有關(guān)會(huì)計(jì)分錄：

（1）公司收到委托單位轉(zhuǎn)來要發(fā)行的證券按約定的發(fā)行價(jià)格核算，會(huì)計(jì)分錄：

（2）公司在約定的期限內(nèi)按發(fā)行價(jià)格售給投資者，會(huì)計(jì)分錄：

（3）期末對(duì)未售出的證券由公司退還給委托單位，會(huì)計(jì)分錄：

（4）發(fā)行期結(jié)束時(shí)，將籌集的證券款項(xiàng)支付給委托單位，并向委托單位收取手續(xù)費(fèi)，會(huì)計(jì)

分錄。

答：（1）公司收到委托單位轉(zhuǎn)來要發(fā)行的證券按約定的發(fā)行價(jià)格核算：

借：代理承銷證券——C公司股票60 000 000

貸：代理承銷證券款——C公司股票款60 000 000

（2）公司在約定的期限內(nèi)按發(fā)行的價(jià)格售給投資者：

借：銀行存款57 600 000

貸：代理承銷證券款——C公司股票57 600 000

（3）期末對(duì)未售出的證券由公司退還給委托單位：

借：代理承銷證券款——C公司股票2 400 000

貸：代理承銷證券——C公司股票2 400 000

（4）發(fā)行期結(jié)束時(shí)，將籌集的證券款項(xiàng)支付給委托單位，并向委托單位收取手續(xù)費(fèi)：借：代理發(fā)行證券款——C公司股票款57 600 000

貸：銀行存款57369600

手續(xù)費(fèi)及傭金收入230400

第三篇：不等式的證明方法經(jīng)典例題

不等式的證明方法

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，證明方法多種多樣，近幾年高考出現(xiàn)較為形式較為活躍，證明中經(jīng)常需與函數(shù)、數(shù)列的知識(shí)綜合應(yīng)用，靈活的掌握運(yùn)用各種方法是學(xué)好這部分知識(shí)的一個(gè)前提，下面我們將證明中常見的幾種方法作一列舉。

a2?b2a?b注意a?b?2ab的變式應(yīng)用。常用(其中a,b?R?)來解決有?2222關(guān)根式不等式的問題。

一、比較法

比較法是證明不等式最基本的方法，有做差比較和作商比較兩種基本途徑。

1、已知a,b,c均為正數(shù)，求證：

111111????? 2a2b2ca?bb?cc?a

二、綜合法

綜合法是依據(jù)題設(shè)條件與基本不等式的性質(zhì)等，運(yùn)用不等式的變換，從已知條件推出所要證明的結(jié)論。

2、a、b、c?(0,??)，a?b?c?1，求證：

4a2?b2?c2?4413

3、設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，求證：a?b?c?abc(a?b?c)

4、知a,b,c?R，求證:

a2?b?2b2?c?2c2?a?2(a?b?c)

211(1?)(1?)?9xy5、x、y?(0,??)且x?y?1，證：。

6、已知a,b?R,a?b?1求證：?1????1??1?1??1???.a??b?9

三、分析法

分析法的思路是“執(zhí)果索因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式。

7、已知a、b、c為正數(shù)，求證：

2(a?ba?b?c3?ab)?3(?abc)23

8、a、b、c?(0,??)且a?b?c?1，求證a?b?c?3。

四、換元法

換元法實(shí)質(zhì)上就是變量代換法，即對(duì)所證不等式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作適當(dāng)?shù)淖儞Q，以達(dá)到化難為易的目的。

9、b?1，求證：ab?(1?a2)(1?b2)?1。

22x?y?1，求證：?2?x?y?210、114??.a?bb?ca?c1222212、已知1≤x＋y≤2，求證：≤x－xy＋y≤3．

211、已知a>b>c,求證：

13、已知x－2xy＋y≤2，求證：| x＋y |≤10．

14、解不等式5?x?221x?1＞

2215、－1≤1?x－x≤2．

五、增量代換法

在對(duì)稱式(任意互換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量進(jìn)行代換，代換的目的是減少變量的個(gè)數(shù)，使要證的結(jié)論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)．

16、已知a，b?R，且a＋b = 1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥

六、利用“1”的代換型

2225． 2111已知a,b,c?R?,且 a?b?c?1,求證： ???9.abc17、七、反證法

反證法的思路是“假設(shè)?矛盾?肯定”，采用反證法時(shí)，應(yīng)從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過程中，每一步推理必須是正確的。

18、若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求證：p＋q≤2．證明：反證法 33119、已知a、b、c?（0，1），求證：(1?a)b，(1?b)c，(1?c)a，不能均大于4。

20、已知a,b,c∈（0，1），求證：（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a 不能同時(shí)大于

1。

421、a、b、c?R，a?b?c?0，ab?bc?ca?0，a?b?c?0，求證：a、b、c均為正數(shù)。

八、放縮法

放縮時(shí)常用的方法有：1去或加上一些項(xiàng)2分子或分母放大（或縮小）3用函數(shù)單調(diào)性放縮4用已知不等式放縮

22、已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：1＜＜2．

bdac＋＋＋

a?b?cb?c?dc?d?ad?a?b23、n?N，求證：*2(n?1?1)?1?12?13???1n?2n?1。

24、A、B、C為?ABC的內(nèi)角，x、y、z為任意實(shí)數(shù)，求證：x2?y2?z2?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC。

證

九、構(gòu)造函數(shù)法

構(gòu)造函數(shù)法證明不等式24 設(shè)0≤a、b、c≤2，求證：4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．

25、設(shè)a、b∈R，且a＋b =1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥?222225． 226、設(shè)a＞0，b＞0，a＋b = 1，求證：2a?1＋2b?1≤22． 1．實(shí)數(shù)絕對(duì)值的定義:

|a|=

這是去掉絕對(duì)值符號(hào)的依據(jù)，是解含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的基礎(chǔ)。

2．最簡(jiǎn)單的含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的解。

若a>0時(shí)，則

|x|

|x|>a x<-a或x>a。

注:這里利用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義是很容易理解上式的，即|x|可看作是數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)P(x)到原點(diǎn)的距離。

3．常用的同解變形

|f(x)|

|f(x)|>g(x)f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)；

|f(x)|<|g(x)| f2(x)

4．三角形不等式:

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

第四篇：數(shù)學(xué)重要例題(6班)

《微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)》復(fù)習(xí)題

第一章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的定義 P3

2、微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的主題：權(quán)衡取舍 價(jià)格 市場(chǎng)的核心作用 P4-5

3、實(shí)證分析、規(guī)范分析 P7

4、市場(chǎng)的范圍 P9

5、名義價(jià)格與實(shí)際價(jià)格的轉(zhuǎn)換 P13

6、小結(jié) P17-18

復(fù)習(xí)題

第2、6題

P18

練習(xí)題

第1、2題

P18-19

第二章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、供給曲線的定義

P21

2、供給的變動(dòng)、供給量的變動(dòng)

P22

3、需求曲線的定義

P22

4、需求曲線的移動(dòng)

P23

5、替代品、互補(bǔ)品

P23

6、均衡、市場(chǎng)機(jī)制

P24

7、需求的價(jià)格彈性公式、富于彈性、無彈性

8、需求的收入彈性、需求的交叉彈性

P34

9、供給彈性

P34

10、需求的弧彈性公式

P35

11、需求的短期彈性和長期彈性

P37-38

12、供給的短期彈性和長期彈性

P41-42

13、小結(jié) P55

復(fù)習(xí)題

第2、5、11題

P56

練習(xí)題

第1、2、4題

P57

P32 第三章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、有關(guān)偏好的三個(gè)假設(shè)

P66

2、無差異曲線的定義

P66

3、邊際替代率的定義、公式、邊際替代率遞減

P70-71

4、完全替代品、完全互補(bǔ)品

P72

5、效用、效用函數(shù)

P74

6、序數(shù)效用函數(shù)、基數(shù)效用函數(shù)

P75-76

7、預(yù)算線的定義、公式

P78-79

8、效用最大化的條件、公式

P82

9、邊際效用、邊際效用遞減

P89

10、邊際相等原則、公式

P90

11、拉氏指數(shù)、帕氏指數(shù)公式

P96

12、小結(jié) P98

復(fù)習(xí)題

第6、8題

P100

練習(xí)題

第7、10、15題

P101-102

第四章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、消費(fèi)--價(jià)格曲線

P105

2、收入—消費(fèi)曲線

P107

3、正常商品、劣等商品

P108-109

4、恩格爾曲線

P109

5、收入效應(yīng)和替代效應(yīng)

P112

6、需求彈性與總支出的關(guān)系

P119

7、消費(fèi)者剩余

P122

8、攀比效應(yīng) 虛榮效應(yīng) P126-128

9、小結(jié) P134-135

復(fù)習(xí)題

第5、11題

P135－136

練習(xí)題

第7、13題

P135－139

第五章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、期望值公式

P150

2、標(biāo)準(zhǔn)差

P151

3、期望效用

P154

4、風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)

P156

5、降低風(fēng)險(xiǎn)的方法

P159

6、大數(shù)定律

P161

7、小數(shù)定律

P175

8、小結(jié) P177-178

復(fù)習(xí)題

第7題

P178

練習(xí)題

第1、7題

P178－180

第六章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、生產(chǎn)要素

P183

2、短期和長期

P184

3、平均產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量及其關(guān)系

P186-187

4、邊際報(bào)酬遞減規(guī)律

P188

5、等產(chǎn)量線

P193

6、邊際技術(shù)替代率遞減

P195-195

7、規(guī)模報(bào)酬遞增 不變 遞減

P199-200

8、小結(jié) P202

復(fù)習(xí)題

第9題

P203

練習(xí)題

第2、7題

P203－204

第七章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、會(huì)計(jì)成本、經(jīng)濟(jì)成本、機(jī)會(huì)成本

P206

2、固定成本和可變成本

P208

3、邊際成本平均總成本

P210-211

4、邊際成本與平均成本的關(guān)系

P214

5、資本的使用者成本

P193

6、等成本線

P195-195

7、生產(chǎn)給定產(chǎn)出的最低成本 圖7-3 P219

8、成本最小化的條件

P221

9、規(guī)模經(jīng)濟(jì)與規(guī)模不經(jīng)濟(jì)

P227-228

10、范圍經(jīng)濟(jì)和范圍不經(jīng)濟(jì)、范圍經(jīng)濟(jì)程度 P231

11、小結(jié) P240-241

復(fù)習(xí)題

第3題

P241

練習(xí)題

第1、3、9題

P242－243

第八章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)三個(gè)假定

P252

2、利潤最大化法則

P256

3、競(jìng)爭(zhēng)性廠商的利潤最大化

P258

4、產(chǎn)出法則

P260

5、關(guān)閉法則

P261

6、生產(chǎn)者剩余

P268-269

7、會(huì)計(jì)利潤與經(jīng)濟(jì)利潤、零經(jīng)濟(jì)利潤

P271-272

8、長期競(jìng)爭(zhēng)均衡的的條件

P273

9、經(jīng)濟(jì)租

P274

10、行業(yè)的長期供給曲線 P276-278

11、小結(jié) P2481-282

復(fù)習(xí)題

第1、3題

P282

練習(xí)題

第4、11、13題

P283－285

第九章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余 圖9-1 P287

2、無謂損失

P289

3、征稅后市場(chǎng)出清的四個(gè)條件 P311

4、轉(zhuǎn)嫁因子公式

P311-312

5、補(bǔ)貼的效應(yīng)

P312

6、小結(jié) P315

復(fù)習(xí)題

第3題

P315

練習(xí)題

第1、2題

P316

第十章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、壟斷、買方壟斷

P323

2、定價(jià)的一個(gè)經(jīng)驗(yàn)法則

P329

3、壟斷勢(shì)力的測(cè)定 勒納指數(shù)

P335

4、壟斷勢(shì)力的來源

P339-340

5、價(jià)格管制

P342

6、買方寡占

P345

7、邊際價(jià)值 邊際支出

P345

8、買方壟斷勢(shì)力的來源

P49

9、小結(jié) P356

復(fù)習(xí)題

第1、6題

P357

練習(xí)題

第3、6（1）（2）、7題

P358

第十二章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、壟斷競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的兩個(gè)重要特征

P412

2、壟斷競(jìng)爭(zhēng)短期和長期的均衡

P413

3、壟斷競(jìng)爭(zhēng)的非效率是否使之受管制？

P415

4、納什均衡

P417

5、古諾均衡

P420

6、斯塔克博格模型

P422

7、伯特蘭德模型

P423

8、囚徒的困境

P429

9、價(jià)格剛性

P431

10、卡特爾

P435

11、小結(jié) P440

復(fù)習(xí)題

第1、4題

P441

練習(xí)題 第6（1）（2）（3）、11題

P442-444

第十四章

復(fù)習(xí)重點(diǎn)

1、勞動(dòng)的邊際收益產(chǎn)出定義、公式

P487

2、利潤最大化條件

P488

3、對(duì)廠商的投入要素供給

P494

4、投入要素的市場(chǎng)供給

P495

5、競(jìng)爭(zhēng)性要素市場(chǎng)的均衡

P498

6、經(jīng)濟(jì)租

P422

7、有買方壟斷勢(shì)力的購買決策

P503

8、工資率的壟斷勢(shì)力

P506

9、工會(huì)化與非工會(huì)化

P507

10、小結(jié) P510

復(fù)習(xí)題

第2、7題

P511

練習(xí)題

第6、8題

P512-513

第五篇：均值不等式的正確使用及例題

均值不等式的正確使用及例題

利用不等式求最值，要注意不等式成立的條件、等號(hào)成立的條件以及定值的條件，初學(xué)不等式時(shí)容易用錯(cuò)，現(xiàn)通過比較來說明均值不等式的正確使用。

（一）均值不等式有許多變形式子，使用哪一個(gè)不等式要選準(zhǔn) a2?b2a?ba?b2?均值不等式是指，?ab(a,b?R)，它的變形式子有ab?()，ab?22

2(a?b)2?

2(a2?b2)等。由此可知，在求ab的最大值時(shí)至少有兩個(gè)不等式可供選擇，那么選擇哪一個(gè)更好呢？

通過比較發(fā)現(xiàn)，若已知a?b是定值，求ab的最大值可使用第一個(gè)不等式；若已知a2?b2是定值，求ab的最大值可用第二個(gè)不等式，若求a?b的最大值可用第三個(gè)不等式。

（二）使用均值不等式求最值，定值是前提

例1.已知正數(shù)a、b滿足2a2?b2?3，求ab2?1的最大值。

（三）連續(xù)使用不等式（連續(xù)放縮）求最值，等號(hào)必須同時(shí)成立

2例2.已知a?b?0，求a?4的最小值。b(a?b)

二.均值不等式的應(yīng)用

（一）用于比較大小

例1.若a?b?1，P?lga?lgb，Q?A．R?P?Q

例2.若p?a? B.P?Q?R 1a?b，則（）?(lga?lgb)，R?lg22 C.Q?P?RD.P?R?Q 1?2(a?0)，q?arccost(?1?t?1)則下列不等式恒成立的是（）a

A.p???qB.p?q?0C.4?p?qD.p?q?0

（二）用于求取值范圍

例3.若正數(shù)a、b滿足ab?a?b?3，則ab的取值范圍是。

（三）用于證明不等式

例4.已知i、m、n是正整數(shù)，且1?i?m?n，求證：(1?m)n?(1?n)m.三.均值不等式中等號(hào)不成立時(shí)最值的求法

利用均值不等式求最值是高中數(shù)學(xué)中常用方法之一，應(yīng)注意“一正二定三相等”。在解題的過

程中，有時(shí)往往出現(xiàn)“湊出了‘常數(shù)’卻取不到‘等號(hào)’”的失效現(xiàn)象，下面淺析此時(shí)的應(yīng)付對(duì)策。

（一）平衡系數(shù)，實(shí)施均拆

這是最常用的一種技巧，常有均拆整式、均拆分式、均拆冪指數(shù)等。

例1.求函數(shù)y?3x?1(x?0)的最小值。x

2（二）引入?yún)?shù)，巧渡難關(guān)

例2.用總長14.8m的鋼條制作一個(gè)長方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積。

（三）依函數(shù)單調(diào)性處理，簡(jiǎn)捷迅速

例3.求函數(shù)y?x2?

5x?

42x2?12

x?422(x?R)的最小值。的最小值。例4.求函數(shù)y?

（四）分項(xiàng)拆項(xiàng)，觀察等號(hào) 對(duì)于函數(shù)f(x)?px?q(p、q?R?，x?(0，c])x的最值，當(dāng)直接使用均值不等式失效時(shí)，除用單調(diào)性外，還可用“分項(xiàng)拆項(xiàng)法”，再用均值不等式，同時(shí)要注意等號(hào)。

例5.已知x?[0)，求函數(shù)y?1?sinx??

22的最小值。1?sinx

（五）利用化歸思想解決兩次均值不等式等號(hào)不成立時(shí)的問題

22例6.設(shè)實(shí)數(shù)m，n，x，y滿足m?n?4，x2?y2?9，求mx?ny的最大值。

四.解決最值問題的不等式模型

最值問題一直是高考試題中的一個(gè)熱點(diǎn)，幾乎年年都有所涉及。同時(shí)在解題的過程中，不難發(fā)現(xiàn)求最大（小）值問題，絕大多數(shù)都可轉(zhuǎn)化為不等式問題。下面就總結(jié)一下解決最值問題的六個(gè)常用不等式模型。

2（一）運(yùn)用“x?0”模型

22對(duì)任意的x?R，有x?0恒成立，運(yùn)用x?0等號(hào)成立的條件，可解決二次函數(shù)型的最值，同時(shí)要區(qū)分在閉區(qū)間的最值問題。

例1.已知x、y?R，且x?y?1，求x2?y2的最小值。

例2.函數(shù)y?cos2x?3cosx?2的最小值為（）

A.2B.0C.?

（二）運(yùn)用“??0”模型 1D.6

4將函數(shù)看作關(guān)于自變量的方程，常可化為一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，運(yùn)用“x?R,??b2?4ac?0”求函數(shù)的最值。

例3.如果實(shí)數(shù)x,y滿足(x?2)2?y2?3，那么

A.y的最大值是（）x331B.C.D.3 32

2，|cosx|?1”模型

（三）運(yùn)用“|sinx|?

1此法主要用于求三角函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，解法是先化為關(guān)于正余弦函數(shù)的，|cosx|?1來完成。一次式，再利用有界性即|sinx|?1

例4.定義在R上的函數(shù)f(x)?sinx?cosx的最大值是____。

例5.函數(shù)f(x)?3sinxcosx?4cos2x的最大值是_______。

（四）運(yùn)用“a,b?R?，a?b?2ab”模型

利用二元均值不等式求最值，應(yīng)注意遵循條件“一正二定三相等”。

例6.若實(shí)數(shù)a、b滿足a?b?2，則3a?3b的最小值是（）

A.18B.6C.23D.2 ?

（五）運(yùn)用“a、b、c?R，a?b?c?abc”模型

在高考中，對(duì)于均值不等式應(yīng)用已限制在二項(xiàng)或三項(xiàng)，在中學(xué)知識(shí)范圍內(nèi)，對(duì)三次函數(shù)求最值，運(yùn)用均值不等式是行之有效的方法，但必須要符合“一正二定三相等”三條件。

例7.已知sin2??sin2??sin2??1(?、?、?均為銳角），那么cos?cos?cos?的最大值等于

（六）運(yùn)用“f(x)?f(a)或f(x)?f(b)”的模型

對(duì)于較困難用以上五種常用不等式模式解決的最值問題，可通過數(shù)形結(jié)合或單調(diào)性等法，得到“f(x)?f(a)或f(x)?f(b)”的通用模型，用等號(hào)成立條件而獲解。

x2?2x?a1，x?[1，??)，當(dāng)a?時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值。例8.已知函數(shù)f(x)?x2

?2x?3，x?0，?0?x?1的最大值是_____。例9.f(x)??x?3，??x?5，x?1?

例10.四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O，如果?AOB的面積為4，?COD的面積為16，求四邊形ABCD的面積S的最小值，并指出S最小時(shí)四邊形ABCD的形狀。