第一篇：不等式證明方法

不等式證明方法

1.比較法 比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡(jiǎn)稱為求差法)和商值比較法(簡(jiǎn)稱為求商法)。(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個(gè)整體；②變形：把不等式兩邊的差進(jìn)行變形，或變形為一個(gè)常數(shù)，或變形為若干個(gè)因式的積，或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段；③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負(fù)號(hào)，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)一般使用差值比較法。(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡(jiǎn)商式到最簡(jiǎn)形式；③判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時(shí)，一般使用商值比較法。

2.綜合法 利用已知事實(shí)(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч保瑥摹耙阎笨础靶柚保鸩酵瞥觥敖Y(jié)論”。其邏輯關(guān)系為：AB1 B2 B3? BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論B。

3.分析法 分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定那個(gè)條件是否具備，其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。用分析法證明AB的邏輯關(guān)系為：BB1B1 B3 ? BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有?，這只需證明B2為真，從而又有?，??這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。

4.反證法 有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設(shè)A≤B，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語(yǔ)時(shí)，可以考慮用反證法。

5.換元法 換元法是對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個(gè)或多個(gè)變量進(jìn)行代換，以便簡(jiǎn)化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來(lái)新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮三角代換，將兩個(gè)變量都有同一

個(gè)參數(shù)表示。此法如果運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題根據(jù)具體問題，實(shí)施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設(shè)x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對(duì)于含有的不等式，由于|x|≤1，可設(shè)x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設(shè)x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對(duì)稱式(任意交換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，其目的是通過換元達(dá)到減元，使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進(jìn)行換元。

6.放縮法 放縮法是要證明不等式A

(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進(jìn))一些項(xiàng)；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應(yīng)用均值不等式進(jìn)行放縮。[1]

編輯本段重要不等式

柯西不等式

對(duì)于2n個(gè)任意實(shí)數(shù)x1，x2，?，xn和y1，y2，?，yn，恒有

（x1y1＋x2y2＋?＋xnyn)^2≤（x1^2＋x2^2＋?＋xn^2）（y1^2＋y2^2＋?＋yn^2）

柯西不等式的幾種變形形式

1.設(shè)aiÎR,bi>0(i=1,2,?,n)則，當(dāng)且僅當(dāng)bi=lai

(1£i£n)時(shí)取等號(hào)

2.設(shè)ai,bi同號(hào)且不為零(i=1,2,?,n)，則，當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=?=bn時(shí)取等

柯西不等式的一般證法有以下幾種： ①Cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數(shù)分別是ai, bi，則有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai * bi)^2.我們令 f(x)= ∑(ai + x * bi)^2 =(∑bi^2)* x^2 + 2 *(∑ai * bi)* x +(∑ai^2)則我們知道恒有 f(x)≥ 0.用二次函數(shù)無(wú)實(shí)根或只有一個(gè)實(shí)根的條件，就有 Δ = 4 *(∑ai * bi)^2-4 *(∑ai^2)*(∑bi^2)≤ 0.于是移項(xiàng)得到結(jié)論。②用向量來(lái)證.m=(a1,a2......an)n=(b1,b2......bn)

mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以

(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX． 因?yàn)閏osX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以

(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 這就證明了不等式． 柯西不等式還有很多種，這里只取兩種較常用的證法． 【柯西不等式的應(yīng)用】 柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)給予極大的重視。巧拆常數(shù)： 例：設(shè)a、b、c 為正數(shù)且各不相等。求證：(2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)＞(9/a+b+c)分析：∵a、b、c 均為正數(shù) ∴為證結(jié)論正確只需證：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又 9=(1+1+1)(1+1+1)

證明

2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b、c 各不相等，故等號(hào)不能成立 ∴原不等式成立。[2]

排序不等式

對(duì)于兩組有序的實(shí)數(shù)x1≤x2≤?≤xn，y1≤y2≤?≤yn，設(shè)yi1，yi2，?，yin是后一組的任意一個(gè)排列，記S＝x1yn＋x2yn-1＋?＋xny1，M＝x1yi1＋x2yi2＋?＋xnyin，L＝x1y1＋x2y2＋?＋xnyn，那么恒有S≤M≤L。

編輯本段其他重要不等式

琴生不等式

均值不等式絕對(duì)值不等式權(quán)方和不等式赫爾德不等式閔可夫斯基不等式貝努利不等式

第二篇：牛方-不等式的證明方法.doc

不等式的證明方法

牛方

摘要:本文從微分中值定理、泰勒公式、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的凸性、等高等數(shù)學(xué)的層面對(duì)不等式證明方法進(jìn)行歸納并列舉相關(guān)實(shí)例加以說明。關(guān)鍵詞: 微分中值定理 泰勒公式 函數(shù)的單調(diào)性 凸函數(shù)

Inequality proof method

Niufang Abstract: This article from the mid-value theorem, Taylor formula, monotonicity of functions, function as the convexity, higher mathematics the facets of inequality proof method summarized.Key words: The mid-value theorems Taylor formula monotonicity of functions convex function

前言

不等式證明的基本方法很多，例如有比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、函數(shù)法、換元法、判別式法等十多種方法，但是有關(guān)不等式證明的高等數(shù)學(xué)的方法的研究一直缺乏系統(tǒng)歸納。本文從微分中值定理、泰勒公式、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的凸性、等高等數(shù)學(xué)的層面對(duì)不等式證明方法進(jìn)行歸納等式證明方法進(jìn)行歸納。利用微分中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理

[1]：在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)；在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)。則在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)??a???b?，使得f?b??f?a??f?????b?a?。

柯西中值定理[1]：在閉區(qū)間

?a,b?上連續(xù)；在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)；在?a,b? 內(nèi)每一點(diǎn)處g??x??0，則在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)??a???b?，使得：

f(a)?f(b)f?(?)?

g(a)?g(b)g?(?)利用微分中值定理證明不等式的基本思想：根據(jù)所要證明的特點(diǎn)，作出相 1

應(yīng)的輔助函數(shù)f(x)，而所作的輔助函數(shù)應(yīng)滿足拉格朗日定理或柯西中值定理?xiàng)l件，就可以得到滿足拉格朗日定理或柯西中值定理?xiàng)l件的一點(diǎn)?，即也得到相應(yīng)f?(?)的表達(dá)式，然后再對(duì)其進(jìn)行放大或放小，這樣就可證明不等式。

例1[2] 設(shè)0?a?b，證明不等式

2alnb?lna1 ??22b?aa?bab分析：構(gòu)造輔助函數(shù)，運(yùn)用拉格朗日中值定理

證明：先證明不等式的左邊，設(shè)f(x)?lnx(b?x?a?0)，因?yàn)閒(x)?lnx，在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，所以根據(jù)拉格朗日中值定理得: lnb?lna1?(lnx)?|x???，a???b

b?a?1??12a?2，（注意到a2?b2?2ab）2ba?b2alnb?lna? 22b?aa?b再證明不等式的右邊.設(shè)?(x)?x?aax?lnx?lna,b?x?a?0,則?(a)?0，11a1(x?a)2(?)???0 且??(x)?xa2x2xax2xax由??(x)?0??(x)單調(diào)遞增?當(dāng)x?a?0時(shí)，?(x)??(a)?0 特別地，令x?b，則有?(b)?0，即lnb?lna?b?a1ab，所以原不等式成立。

例2[2] 設(shè)f(x)、g(x)在閉區(qū)間[a,x]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,x)上可導(dǎo)，且|f?(x)|?g?(x)。

證明：當(dāng)x?a時(shí)，|f(x)?f(a)|?g(x)?g(a)。

分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和柯西中值定理 證明：因?yàn)間?(x)?|f?(x)|?0，故g(x)單調(diào)增加

所以當(dāng)x?a時(shí)，g(x)?g(a)，即g(x)?g(a)?0，由f(x)、g(x)在閉區(qū)間[a,x]

上連續(xù)，在開區(qū)間(a,x)上可導(dǎo)，且對(duì)區(qū)間(a,x)內(nèi)的每一點(diǎn)都有??(x)?0，由柯西中值定理得：

f(x)?f(a)f?(?)，??(a,x)?g(x)?g(a)g?(?)從而得：

|f(x)?f(a)||f?(?)|??1?|f(x)?f(a)|?g(x)?g(a)，??(a,x)

g(x)?g(a)g?(?)故原不等式成立。泰勒公式證明不等式

2.1 泰勒公式的內(nèi)容

泰勒公式[1] 如果函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間(a,b)內(nèi)有直到n?1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一點(diǎn)x0?(a,b)，有：

f??(x0)(x?x0)2f(n)(x0)(x?x0)(n)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)????2!n!(n?1)n?1f(?)(x?x0)?(n?1)!其中?是x0與x之間的某個(gè)數(shù)，上式稱為f(x)按(x?x0)的冪展開的n?1階泰勒公式。

下面就泰勒公式展開點(diǎn)x0?(a,b)的不同情況來(lái)證明不等式。2.2 展開點(diǎn)x0選取區(qū)間的中點(diǎn)情況[3]

證明思想：選區(qū)間中點(diǎn)展開是較常見的一種情況，然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹担ㄟ^兩式相加，并對(duì)某些項(xiàng)進(jìn)行放縮，便可將多余的項(xiàng)去掉而得所要的不等式。

例1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)且f??(x)?0，試證：對(duì)于(a,b)內(nèi)的任意2個(gè)不同點(diǎn)x1和x2有

?x?x2?f(x1)?f(x2)。f?1??2?2?證明：將f(x)在x0?x1?x2處展開，得 2f??(?)(x?x0)2 2!f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?其中?是x0與x之間的某個(gè)數(shù)。上式中分別取x?x1及x2，f(x1)?f(x0)?f?(x0)(x1?x0)?f??(?1)(x1?x0)2,?1?(x1,x0)2!f??(?2)(x2?x0)2,?2?(x0,x2)2!f(x2)?f(x0)?f?(x0)(x2?x0)?上面兩式相加，得：

f(x1)?f(x2)?2f(x0)?f??(?1)f??(?2)(x1?x0)2?(x2?x0)2 2!2!因?yàn)閒??(x)?0，所以f(x1)?f(x2)?2f(x0)，即

f(x1?x2f(x1)?f(x2))? 22若把題目中的條件f??(x)?0改為f??(x)?0，而其余的條件不變，則結(jié)論改為

x1?x2f(x1)?f(x2)f()? 22

?a?b?例2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且f???0，證明

?2?|?baM(b?a)3f(x)dx|?，其中M?max|f??(x)|。

a?x?b24a?b處展開，得 2f??(?)(x?x0)2 2!證明： 將f(x)在x0?f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?其中?是x0與x之間的某個(gè)數(shù)。

因?yàn)閒(a?b)?0，所以有 2f(x)?f?(x0)(x?x0)?f??(?)(x?x0)2 2!上式在[a,b]作定積分，然后取絕對(duì)值

|?f(x)dx|?|?[f?(x0)(x?x0)?ab1b?|?2af??(?)(x?x0)2]dx|a2!

bMM2f??(?)(x?x0)2dx|?(x?x)dx?(b?a)30?2a24b即

|?(x?x0)2dx|?abM(b?a)3 242.3 展開點(diǎn)選取區(qū)間端點(diǎn)的情況[4]

證明思想：當(dāng)條件中出現(xiàn)f?(a)?f?(b)?0，而欲證式中出現(xiàn)f(a)，f(b)，f??(?)，展開點(diǎn)常選為區(qū)間兩端點(diǎn)a，b，然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹担ザ嘤嗟捻?xiàng)，可得待證的不等式。

例1 函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上二價(jià)可導(dǎo)，且f?(a)?f?(b)?0，證明：在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?使得

|f??(?)|?4|f(b)?f(a)| 2(b?a)證明：將f(x)分別在a及b處展開，得

f(x)?f(a)?f?(a)(x?a)?f??(?1)(x?a)2，?1?(a,x)，2!f??(?2)(x?b)2，?2?(x,b)，2!f(x)?f(b)?f?(b)(x?b)?上式中取x?a?b，得： 2f(a?bb?af??(?1)b?a2)?f(a)?f?(a)??()，222!2a?bb?af??(?2)b?a2)?f(b)?f?(b)??()，222!25 f（上面兩式相減，并且f?(a)?f?(b)?0，得：

(b?a)2(b?a)2|f(b)?f(a)|?|f??(?2)?f??(?1)|?(|f??(?2)|?|f??(?1)|)

88記|f??(?)|?max{|f??(?2)|,|f??(?1)|}，其中???1或?2。于是有

(b?a)2|f(b)?f(a)|?|f??(?)|，4即|f??(?)|?4|f(b)?f(a)|。2(b?a)2.4 展開點(diǎn)選取函數(shù)的極值點(diǎn)或最值點(diǎn)的情況[5]

證明思想：當(dāng)題中不等式出現(xiàn)函數(shù)的極值或最值項(xiàng), 展開點(diǎn)常選為該函數(shù)的極值點(diǎn)或最值點(diǎn)。

例1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)二價(jià)可導(dǎo)，且存在極值f(c)及點(diǎn)p?(a,b)，使得f(c)f(p)?0，試證明：至少存在一點(diǎn)??(a,b)，使得f(c)f??(?)?0。

證明：將f(x)在x0?c處展開，得

f(x)?f(c)?f?(c)(x?c)?f??(?)(x?c)2，??(a,x)2!上式取x?p，并且f?(c)?0，得：

f(p)?f(c)?f??(?)(p?c)2，??(c,p)。2!兩邊同乘以f(c)，得：

f(c)f(p)?f2(c)?f??(?)f(c)(p?c)2，2!因?yàn)閒(c)f(p)?0，所以有f(c)f??(?)?0。

例2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的二價(jià)導(dǎo)數(shù)，且f(a)?f(b)?0，試證明：

x?[a,b]max|f??(x)|?8max|f(x)| 2x?[a,b](b?a)x?[a,b]證明 設(shè)f(x0)??max|f(x)|，若f(x0)?0，則有

x?[a,b]max|f??(x)|?8|f(x0)|?0?max|f??(x)|?0，結(jié)論成立。2x?[a,b](b?a)下設(shè)f(x0)?0，于是x0?(a,b)，且有f?(x0)?0，將f(x)在x0處展開得：

f??(?)(x?x0)2，??(x0,x)，2!f??(?)(x?x0)2，即 f(x)?f(x0)?2!f??(?)(x?x0)2 于是有 f(x0)?f(x)?2!a?b)時(shí)，上式取x?a，得： ⅰ）x0?(a,2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?|f(x0)|?f??(?)2!(b?a)2(a?x0)?|f??(?)|，??(a,x0)，82即 |f??(?)|?ⅱ)當(dāng)x0?(8|f(x0)|，??(a,x0)。2(b?a)a?b,b)時(shí)，上式取x?b，得： 2f??(?)(b?a)22|f(x0)|?(b?x0)?|f??(?)|，??(x0,b)

2!8即 |f??(?)|?8|f(x0)|，??(x0,b)。2(b?a)由ⅰ)及ⅱ)得，存在??(a,b)，使得：

|f??(?)|?8max|f(x)|，2x?[a,b](b?a)又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有連續(xù)的二價(jià)導(dǎo)數(shù)，所以二階導(dǎo)函數(shù)f??(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，有連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)得：

max|f??(x)|?8max|f(x)| 2x?[a,b](b?a)x?[a,b]2.5 展開點(diǎn)x0選取區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)的情況[6]

當(dāng)題中結(jié)論考察f(x)，f?(x)，f??(x)的關(guān)系時(shí)，展開點(diǎn)常選為該區(qū)間內(nèi) 任意點(diǎn), 然后在泰勒公式中取x為適當(dāng)?shù)闹担?duì)某些項(xiàng)作放縮處理，得所要的不等式。

例1[7] 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有二價(jià)可導(dǎo)，且|f(x)|?A，|f??(x)|?B，其中A，B為非負(fù)常數(shù)，證明：|f?(?)|?2AB?(b?a)，其中x?(a,b)。b?a2證明:將函數(shù)f(x)在x?(a,b)處展開得：

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(?)(x?x0)2，??(x0,x)2!上式中分別取x?a及b得：

f(a)?f(x0)?f?(x0)(a?x0)?f??(?1)(a?x0)2，?1?(a,x0)。2!f??(?2)(b?x0)2，?2?(x0,b)。2!f(b)?f(x0)?f?(x0)(b?x0)?上面兩式相減，得：

1f(b)?f(a)?f?(x0)(b?a)?[f??(?2)(b?x0)2?f??(?1)(a?x0)2]，2即

f?(x0)?f(b)?f(a)1?[f??(?2)(b?x0)2?f??(?1)(a?x0)2]，(b?a)2(b?a)故|f?(x0)|?11(|f(b)|?|f(a)|)?[|f??(?2)|(b?x0)2?|f??(?1)|(a?x0)2] b?a2(b?a)?2AB?[(b?x0)2?(a?x0)2]，b?a2(b?a)2AB?(b?a)，再由x0的任意性，b?a2即 |f?(x0)|?

故有 |f?(x0)|?例2 [8]2AB?(b?a)，其中x?(a,b)。b?a2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有二價(jià)可導(dǎo)，且f(a)?f(b)?0，M?max|f??(x)|，試證明：|?x?[a,b]baM(b?a)3f(x)dx|?。

12證明:將f(x)在t?[a,b]處展開得：

f(x)?f(t)?f?(t)(x?t)?f??(?)(x?t)2，??(t,x)，2!上式中分別取x?a及b得：

f(a)?f(t)?f?(t)(a?t)?f??(?1)(a?t)2，?1?(a,t)，2!f??(?2)(b?t)2，?2?(t,b)，2!f(b)?f(t)?f?(t)(b?t)?上面兩式相加得：

f(t)??11f?(t)(b?a?2t)?[f??(?1)(a?t)2?f??(?2)(b?t)2 24上式兩端在[a,b]上對(duì)t作積分得：

?ba1b1b?f(x)dx???f(t)(b?a?2t)dt??[f??(?1)(a?t)2?f??(?2)(b?t)2]dt 2a4ab1b???f(t)dt??[f??(?1)(a?t)2?f??(?2)(b?t)2]dt，a4ab于是有

?由上式得： a1bf(x)dx???[f??(?1)(a?t)2?f??(?2)(b?t)2]dt，8abb1b|?f(x)dx|?(|?f??(?1)(a?t)2dt|?|?f??(?2)(b?t)2dt|)aa8abbMM(b?a)322?(|?(a?t)dt|?|?(b?t)dt|)?，aa812即得：

|?baM(b?a)3f(x)dx|?

利用函數(shù)單調(diào)性證明積分不等式

3.1 利用被積函數(shù)的單調(diào)性

證明方法根據(jù)——定積分性質(zhì)之一：設(shè)f(x)與g(x)為定義在[a,b]上的兩個(gè)

可積函數(shù)，若f(x)?g(x)，x?[a,b]，則?f(x)dx?ab?bag(x)dx。

例1 設(shè)f(x)為[0,1]上的非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù)，證明：對(duì)于0?????1，有

??0?f(x)dx???baf(x)dx

證明:由的單調(diào)遞減性得： 若0?x???1，有f(x)?f(?)所以

?同理得： ?0f(x)dx??f(?)dx??f(?)（1）

0??baf(x)dx??f(?)dx（2）

ab由（1）（2）得：

??1?0f(x)dx?f(?)?1????baf(x)dx（3）

?(???)將（3）式兩邊同乘以，有

?1?(???)??(???)?(???)1b??0f(x)dx??f(?)???????af(x)dx，??整理得：

(???)?因?yàn)????)??0?(???)?f(x)dx?f(?)?????baf(x)dx，?1?1，所以?f(x)dx?0???baf(x)dx

例1 試證明?cosx1?x20dx??1sinx1?x20dx

證明:不等式兩邊的積分是無(wú)界反常積分，在兩邊的積分中分別作變量變換t?arccosx與t?arcsinx，原不等式化為?02cos(sint)dt??02sin(cost)dt，欲證不等

????t?(0,)，而cos(sint)?sin(?sint)，因?yàn)槭剑恍枳C明cos(sint)?sin(cost)，?????t?(0,)時(shí)，0?cost?)，0??sint?，而函數(shù)y?sint在(0,)上嚴(yán)格22222???調(diào)調(diào)遞增，于是只要證明當(dāng)t?(0,)時(shí)，有cost??sint或cost?sint?，當(dāng)

222???t?(0,)時(shí)，cost?sint?2sin(t?)?2?，于是得：

222???22(?sint)?cost?0，再由函數(shù)的單調(diào)性得：

cos(sint)?sin(?2?sint)?sin(cost)

所以得：

???所以推出

20cos(sint)dt??120sin(cost)dt

?原不等式得證。

1cosx1?x20dx??sinx1?x20dx，3.2 利用輔助函數(shù)的單調(diào)性

證明方法根據(jù)———變微積分學(xué)基本定理和可導(dǎo)函數(shù)的 一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性關(guān)系定理：

微積分學(xué)基本定理：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則由變動(dòng) 上限積分?(x)??f(x)dt，x?[a,b]，定義的函數(shù)?(x)在[a,b]上可

?x導(dǎo)，而且??(x)?f(x)，也就是說，函數(shù)?(x)是被積函數(shù)f(x)在[a,b] 上的一個(gè)原函數(shù)。

可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系定理：設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，如果在(a,b)內(nèi)f?(x)?0（或f?(x)?0），那么f(x)在[a,b]上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）。

證明的一般過程：

（1）構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)，取定閉區(qū)間[a,b]。

（2）求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f?(x))，再判別它的符號(hào)，利用可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性。（3）求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值。（4）根據(jù)第2 步和第3 步即可得證。

例1[9] 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且單調(diào)遞增，試證明：

?xbaxf(x)dx?a?bbf(x)dx ?a2分析：可將此積分不等式中的常數(shù)b變?yōu)樽償?shù)x，利用差式構(gòu)造輔助函數(shù)：，a?xxF(x)??tf(t)dt?tf(t)dt，則要證F(b)?F(a)?0。

a2?axa?xxF(x)?tf(t)dt?tf(t)dt，證明：設(shè)則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)?a?a2可導(dǎo)，x11bF(x)?[(x?a)f(x)??f(t)dt]??[f(x)?f(t)]dt，a22a因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù)，且單調(diào)增加，所以g'(x)?0

即g(x)在[a,b]上單調(diào)增加，因?yàn)镕(a)?0，所以F(b)?0 所以

? 所以

baxf(x)dx?a?bbf(x)dx?0 ?a2?4.1 凸函數(shù)的定義

baxf(x)dx?a?bbf(x)dx。?a24 利用凸函數(shù)的定義和性質(zhì)證明不等式

x2和定義[10]:設(shè)f為定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，若對(duì)[a,b]上的任意兩點(diǎn)x1，??(0,1)，函數(shù)總有f[?x1?(1??)x2]??f(x1)?(1??)f(x2)，則稱f為[a,b]的凸 12

函數(shù)。

4.2 定理1:設(shè)f(x)在[a,b]內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)f??(x)，且f??(x)?0，則f(x)在[a,b]為凸函數(shù)。

4.3 凸函數(shù)的性質(zhì)

設(shè)f(x)在為凸函數(shù)，xi?(a,b)，xi?1,2,3?,n,則f(x1)?f(x2)???f(xn)x?x2???xn?f(1)，當(dāng)且僅當(dāng)x1?x2???xn時(shí)等nn號(hào)成立。

例1[2] 已知: x1、x2、?、xn均為正數(shù)，求證: nx1x2?xn?x1?x2??xn。

n1，有定理1得: f(x)?lnx在(0,??)x2證明:設(shè)f(x)?lnx，因?yàn)閒??(x)??為凸函數(shù)，由凸函數(shù)的性質(zhì)得:

lnx1?lnx2???lnxnx1?x2???xn?

nnx1?x2??xn

n所以有 lnnx1x2?xn?ln ?nx1x2?xn?

參考文獻(xiàn)：

x1?x2??xnf??

n[1] 歐陽(yáng)光中、朱學(xué)炎、金福臨、陳傳樟等，數(shù)學(xué)分析，（第三版下冊(cè)），復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等教育出版社，2007.9

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[5] 張?jiān)破G，Taylor公式的應(yīng)用補(bǔ)遺[J].洛陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，26（5）：175—176 [6] 潘紅，儲(chǔ)亞偉，關(guān)于泰勒（Taylor）公式的幾點(diǎn)應(yīng)用[J].科技資訊，2008，6（18）：247 [7] 劉瑜等，在n階行列式計(jì)算中的應(yīng)用[J].內(nèi)江師范學(xué)院，2008，23（8）：222 [8] 韓丹，帶有Lagrange余項(xiàng)的泰勒公式的證明[J].大連教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，（3）：54—57 [9] 鄧新春，潘勁松，大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用基礎(chǔ)（中冊(cè)）[M].長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2006： 161—167 [10] 吳明鑫，楊占民，王社寬，凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)有[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，20003（1）

第三篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>

2.分析法：執(zhí)果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。

6.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來(lái)證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究。

8.幾何法：用數(shù)形結(jié)合來(lái)研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來(lái)完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。

9.函數(shù)法：引入一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數(shù)的判別式的特點(diǎn)來(lái)證明一些不等式的方法。當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當(dāng)a<0時(shí)，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運(yùn)用換元法，能把高次變?yōu)榈痛危质阶優(yōu)檎剑瑹o(wú)理式變?yōu)橛欣硎剑芎?jiǎn)化證明過程。尤其對(duì)含有若干個(gè)變?cè)凝R次輪換式或輪換對(duì)稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當(dāng)放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當(dāng)縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過大或縮得過小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數(shù)形結(jié)合來(lái)研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來(lái)完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。

第四篇：不等式證明

不等式的證明

比較法證明不等式

a2?b2a?b?1.設(shè)a?b?0，求證：2.a?b2a?b

2.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講

（1）已知x、y都是正實(shí)數(shù)，求證：x3?y3?x2y?xy2；

（2?對(duì)滿足x?y?z?1的一切正實(shí)數(shù) x,y,z恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

.??,1?綜合法證明不等式（利用均值不等式）3.已知a?b?c, 求證：??1??? ??114??.a?bb?ca?c

4.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：

1（Ⅰ）ab+bc+ac?3；

a2b2c2

???1ca（Ⅱ）b

5.（1）求不等式x?3?2x???1的解集;

121225（a?)?(b?)??a,b?R,a?b?1ab2.（2）已知，求證：

6.若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：

分析法證明不等式

7.某同學(xué)在證明命題“7??要證明7?3??2”時(shí)作了如下分析，請(qǐng)你補(bǔ)充完整.6?2，只需證明________________,只需證明___________,＋2?9?2，展開得9即?,只需證明14?18,________________,所以原不等式:??6?2成立.22?2?6?3,(7?2)?(6?3)，因?yàn)?4?18成立。

a?b?c8.已知a,b,c?R。?3?

9.(本題滿分10分)已知函數(shù)f(x)?|x?1|。

(Ⅰ)解不等式f(x)?f(x?4)?8；{x|x≤－5，或x≥3}(Ⅱ)若|a|?1,|b|?1，且a?0，求證：f(ab)?|a|f().10.（本小題滿分10分）當(dāng)a,b?M??x|?2?x?2?時(shí),證明:2|a+b|＜|4+ab|.反證法證明不等式

11.已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a=x?2y+2baπππ22，b=y?2z+，c=z?2x+，236

求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0.12.（12分）若x,y?R,x?0,y?0,且x?y?2。求證：1?x和1?y中至少有一個(gè)小于2.yx

放縮法證明不等式

13.證明不等式：?111??11?21?2?3?1

1?2?3??n?2

214.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，滿足4Sn?ann?N?,且

?1?4n?1,a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列．

(1)證明：a2?

(2)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；an?2n?1

(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有11??a1a2a2a3?11?． anan?12

15.設(shè)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1?1,2Sn12?an?1?n2?n?,n?N*.n33

(Ⅰ)求a2的值；a2?4(Ⅱ)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；an?n2(Ⅲ)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

16.(本小題滿分12分)若不等式11??

n?1n?2?1a對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正?3n?12411??a1a2?17?.an4

整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論．25

17.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：

．

第五篇：不等式證明經(jīng)典

金牌師資，笑傲高考

2013年數(shù)學(xué)VIP講義

【例1】 設(shè)a，b∈R，求證：a2+b2≥ab+a+b-1。

【例2】 已知0

【例3】 設(shè)A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，試比較A與B的大小。

因A、B的表達(dá)形式比較簡(jiǎn)單，故作差后如何對(duì)因式進(jìn)行變形是本題難點(diǎn)之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一個(gè)字母。關(guān)鍵是消去哪個(gè)字母，因條件中已知a的不等關(guān)系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一個(gè)均可。

由ad=bc得：d?bca1?ab?bc?caa?b?c?abc≥1。

bca??b?c?a?b?(a?b)(a?c)a?0bc?acaA-B=a+d-(b+c)=a? =a?b? c(a?b)a

【例4】 a，b，c∈R，求證：a4+b4+c4≥(a+b+c)。

不等號(hào)兩邊均是和的形式，利用一次基本不等式顯然不行。不等號(hào)右邊為三項(xiàng)和，根據(jù)不等號(hào)方向，應(yīng)自左向右運(yùn)用基本不等式后再同向相加。因不等式左邊只有三項(xiàng)，故把三項(xiàng)變化六項(xiàng)后再利用二元基本不等式，這就是“化奇為偶”的技巧。

左=12(2a4?2b224?2c)?22412[(a24?b)?(b22244?c)?(c2244?a)]24

≥12(2ab?2bc?2ca)?ab?bc?ca

2發(fā)現(xiàn)縮小后沒有達(dá)到題目要求，此時(shí)應(yīng)再利用不等式傳遞性繼續(xù)縮小，處理的方法與剛才類似。

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ab?1212

2013年數(shù)學(xué)VIP講義

22?bc2222?ca2222?212(2ab2222?2bc2222?2ca)22

?ca)?(ca2[(ab?bc)?(bc22?ab)]22≥(2abc?2abc2?2abc)?ab(a?b?c)1a

?1c?【例5】（1）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：?（2）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：

a21bb2≥

c21ab?1bc?1ac；

b?c?a?ca?b≥

a?b?c2。

（1）不等式的結(jié)構(gòu)與例4完全相同，處理方法也完全一樣。

（2）同學(xué)們可試一試，再用剛才的方法處理該題是行不通的。注意到從左向右，分式變成了整式，可考慮在左邊每一個(gè)分式后配上該分式的分母，利用二元基本不等式后約去分母，再利用不等式可加性即可達(dá)到目的。試一試行嗎？

a2b?cb2?(b?c)≥2a2b?cb2?(b?c)?2a

a?cc2?(a?c)≥2a?c?(a?c)?2ba?b?(a?b)≥2c2a?b?(a?b)?2c

相加后發(fā)現(xiàn)不行，a，b，c的整式項(xiàng)全消去了。為了達(dá)到目的，應(yīng)在系數(shù)上作調(diào)整。

a2b?c?b?c4≥a，b2a?c?a?c4≥b，c2a?b?a?b4≥a 相向相加后即可。

【例6】 x，y為正實(shí)數(shù)，x+y=a，求證：x+y≥

2a22。

思路一；根據(jù)x+y和x2+y2的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，聯(lián)想到算術(shù)平均數(shù)與平方平均數(shù)之間的不等關(guān)系。∵ x?y22≤2x2?y22

2∴ x?y≥(x?y)2?a22

思路二：因所求不等式右邊為常數(shù)，故可從求函數(shù)最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，這里采用消元思想轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再用單調(diào)性求解。換元有下列三種途徑：

途徑1：用均值換元法消元： 令 x?2a2?m，y?aa22?m

22則 x?y?(?m)?(?m)?2m?222aa22≥

a22

途徑2：代入消元法： y=a-x，0

a2)2?a22≥

a22

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途徑3：三角換元法消元：

令 x=acos2θ，y=asin2θ，θ∈(0，]

2?2013年數(shù)學(xué)VIP講義

則 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ]

=a[1-2(sin2θ)]=a(1-22122

12sin2θ)≥

a22

注：為了達(dá)到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當(dāng)?shù)膮?shù)，也就是找到一個(gè)中間變量表示x，y。這種引參的思想是高中數(shù)學(xué)常用的重要方法。【例7】 已知a>b>0，求證：(a?b)8a2?a?b2?ab?(a?b)8b2。

12所證不等式的形式較復(fù)雜（如從次數(shù)看，有二次，一次，次等），難以從某個(gè)角度著手。故考慮用分析法證明，即執(zhí)果索因，尋找使不等式成立的必要條件。實(shí)際上就是對(duì)所證不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)、變形，實(shí)際上這種變形在相當(dāng)多的題目里都是充要的。

a?b2?ab?a?b?2ab2b)(a?(a??(a?2b)2

a?b?(a?b)b)(a?8a2所證不等式可化為∵ a>b>0 ∴ a?b ∴ a?b?0

b)2?(a?2b)2?(a?b)(a?8b2b)2

∴ 不等式可化為：(a?4ab)2?1?(a?4bb)2

2??(a?b)?4a即要證?

2??4b?(a?b)??a?b?2a只需證?

?2b?a?b?在a>b>0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx?3?8，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，恒有f(a)

112.不等號(hào)兩邊字母不統(tǒng)一，采用常規(guī)方法難以著手。根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)，借助于函數(shù)思想，可分別求f(a)及g(b)=b2-4b+f(a)?112的最值，看能否通過最值之間的大小關(guān)系進(jìn)行比較。

?8?2(2)a2a24aa?3?8?8?2a8?82a≤

2?82?a?82a842?2

令 g(b)=b2-4b+11232 ≥32 g(b)=(b-2)2+

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∵ 32?22013年數(shù)學(xué)VIP講義

∴ g(b)>f(a)注：本題實(shí)際上利用了不等式的傳遞性，只不過中間量為常數(shù)而已，這種思路在兩數(shù)大小比較時(shí)曾講過。由此也說明，實(shí)數(shù)大小理論是不等式大小理論的基礎(chǔ)。

【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，當(dāng)|x|≤1時(shí)，有|f(x)|≤1，求證：

（1）|c|≤1，|b|≤1；

（2）當(dāng)|x|≤1時(shí)，|ax+b|≤2。

這是一個(gè)與絕對(duì)值有關(guān)的不等式證明題，除運(yùn)用前面已介紹的不等式性質(zhì)和基本不等式以外，還涉及到與絕對(duì)值有關(guān)的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?±an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。就本題來(lái)說，還有一個(gè)如何充分利用條件“當(dāng)|x|≤1時(shí)，|f(x)|≤1”的解題意識(shí)。

從特殊化的思想出發(fā)得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當(dāng)x=1時(shí)，|f(1)|≤1；當(dāng)x=-1時(shí)，|f(-1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個(gè)不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量。∵ f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c ∴ b?12[f(1)?f(?1)] 12|f(1)?f(?1)|≤12[|f(1)|?|f(?1)|]≤

12(1?1)≤1 ∴ |b|?（2）思路一：利用函數(shù)思想，借助于單調(diào)性求g(x)=ax+b的值域。

當(dāng)a>0時(shí)，g(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)]

≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 當(dāng)a<0時(shí)，同理可證。

思路二：直接利用絕對(duì)值不等式

為了能將|ax+b|中的絕對(duì)值符號(hào)分配到a，b，可考慮a，b的符號(hào)進(jìn)行討論。當(dāng)a>0時(shí)

|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面對(duì)b討論

① b≥0時(shí)，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0時(shí)，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2。∴ |ax+b|≤2 當(dāng)a<0時(shí)，同理可證。

評(píng)注：本題證明過程中，還應(yīng)根據(jù)不等號(hào)的方向，合理選擇不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不適當(dāng)選擇，則不能滿足題目要求。

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1、設(shè)a，b為正數(shù)，且a+b≤4，則下列各式一定成立的是 A、C、1a12?1b1a≤?141b B、≤1 D、141a≤

?1a?1b≤

≤

1b≥1

2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，則下列各式中一定正確的是 A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c

5、已知a，b，c>0，且a+b>c，設(shè)M=

a4?a?bb?cc4?c，N=，則MN的大小關(guān)系是

A、M>N B、M=N C、M

6、已知函數(shù)f(x)=-x-x3，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正負(fù)都有可能

7、若a>0，b>0，x?111(?)2ab1a?b1ab，y?，z?，則

A、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x

8、設(shè)a，b∈R，下面的不等式成立的是 A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空題

9、設(shè)a>0，b>0，a≠b，則aabb與abba的大小關(guān)系是__________。

10、若a，b，c是不全相等的正數(shù)，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號(hào)填空）。

12、當(dāng)00且t≠1時(shí)，logat與log21t?1a2

2ab?a?1b?1 D、a+b≥2(a-b-1)

22的大小關(guān)系是__________。

n13、若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，則an+bn與c（其中n∈N，n>2）的大小關(guān)系是________________。

（三）解答題

14、已知a>0，b>0，a≠b，求證：a?

15、已知a，b，c是三角形三邊的長(zhǎng)，求 證：1?

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ab?c?ba?c?ca?b?2。

b?ab?ba。金牌師資，笑傲高考

16、已知a≥0，b≥0，求證：

18、若a，b，c為正數(shù)，求證：

19、設(shè)a>0，b>0，且a+b=1，求證：(a?

20、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a，b，c全為正數(shù)。

1a)(b?1b)2541a?1b?1ca82013年數(shù)學(xué)VIP講義

12(a?b)2?14(a?b)≥aa?ba。

≤

?b383?c38。

abc≥。

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