第一篇：數學文科均值不等式做題方法或思路

均值不等式：

a2?b

2一般公式a?b?當且僅當a=b時，a?b有最大值 2

22這是基本的公式，主要運用的就是我們以前常學的(a?b)2=a?2a?b?b?0，這個式子

a2?b倒一下你可以看出2a?b?a?b?a?b? 2222

還有幾個特殊的不等式ab?a?bba（此時的要求是a、b〉0)還有幾個??2(ab?0)2ab

a?b2a2?b

2ab?()?（此時都是當且僅當a=b時，有最值或者最小值，這都是看是求那22

個了，是點乘還是加。

1）先說求不等式的最大值或最小值，例如證明題

已知：a,b,c,d〉0，求證ad?bcbc?ad??4，在此題里就看是否能出現我們已知的一些bdac

均值不等式的公式，一次來證明，先看不等式左邊，分母為單數沒有加減，分母有加和，那么分母分別除以分子會怎么樣？你可以試試·····

得出的結果應該是等式左邊=abacbd???然后你看看。然后其他兩個，你看有什babdac

么公式能求出個不等式結果來····

另一類就是讓你比較兩個等式的大小，那么你看題型，能均值不等式，你就先均值不等式，然后看另一個等式的大小，你可以通過畫圖、求導、來確定最值，然后比較大小。

還有一種是給你了一個立體幾何圖形等，有兩個未知數，讓你求某個陰影面積的最大或者最小值，在這類題里說到最大最小值，如果只出現了一個未知數，那么不說別的先按求面積方法求出面積來，如果最后是一個未知數的二次不等式，就用二次不等式的求法求值：如果出現的是一個未知數的多次冪，就面積求導，然后根據導數為0，求此時的x，然后根據判斷極值是最大值還是最小值，但此時一定要注意x的定義域：若面積的最后結果是兩個未知數時，就看能否進行均值不等式求法：第一題中是否滿足均值不等式的要求，如果滿足了可以嘗試通過均值不等式求面積的最大值或者最小值；如果不能滿足均值不等式的要求，就看這個式子是在三角函數里還是在等邊三角形等，是否有限制，如果有限制，從限制里入手，根本還是不等式

再有就是一類題型，在含有x的不等式中還有未知系數k，讓你求未知數k的最大值或者最小值或者取值范圍，在這類題里他應該會給你說明他的單調性或者第一問里讓你求他的單調性了，那么在這一問里你就要用到這么東西，根據單調性求出這個含有未知系數的最值，然后在有它＞（＜）0來求，這個一般很繁瑣，看你的邏輯了，還有一種就是求導或者換元法求解。

還有一類證明題就是給出你一個f(n)=·······的式子，讓你求它的最大或者最小值 或者最后大于一個數

在這里的解題方法太多沒辦法全部列出來，就說幾個一般出現的，第一個方法是：看他的等式是否能化簡，例如111111??，即??，有這類情況出現時，你可以2?323n?(n?1)nn?1

寫出f(n-1)或者f(n+1)，然后相加或者相減，最后會出現一個式子整合或者均值不等式求出最后結果。第二種：就是添加后配出一種規律，但是要記得最后要減掉你添加的項，但要記得書寫的格式問題。還有一種疊加類的這是要有很明顯的規律在的情況下，這個要視題目來定。第三種：放縮法，原理就是添加或者減去某個數字什么的，使等式更加的有規律，但是大小的變化你也要隨之寫出來，添加或者減去不等號另一邊的變化不能丟。

還有一種被某數整除的問題，這類題就是要讓你最后寫出被整除的倍數的式子。

運用在小題里的不等式就是比較大小，求值域或者極值還有就是線性規劃問題，這個上次給你說了，就是畫圖，根據你畫出的圖的范圍，然后移動要求的直線，與臨界點相遇時的值，然后判斷那個是要求的最值。

運用在大題里德不等式就是求面積的最值，或者讓你求取值范圍，在這里你就要用到很多，比如求導（求導是個好玩意，用好啊），均值不等式，畫圖·····注意圖形結合，別太懶啊！

還有那些問題，要及時說，我想不到那么多，你問了我能解說的給你解說!現在不是學習，是查漏補缺，補你的漏洞，能補多少補多少····

第二篇：高三數學均值不等式

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3.2 均值不等式 教案

教學目標：

推導并掌握兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數這個重要定理.利用均值定理求極值.了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用

教學重點：

推導并掌握兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數這個重要定理

利用均值定理求極值

教學過程

一、復習：

1、復習不等式的性質定理及其推論

1：a>b2：3：a>b(1)：a+b>c(2)：

4、若(1)、若(2)、若(3)、若23?a?ⅱ）a2?b2?2ab和a?b

2?ab成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實數，而后者要求a,bⅲ）3以長為a+b的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點C，使C作垂直于直徑

2AB的弦DD′,那么CD?CA?CB，即CD?ab

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這個圓的半徑為a?ba?b?ab，其中當且僅當點C與圓，顯然，它不小于CD，即2

2心重合；即a=b應用例題：

例

1、已知a、b、c∈R，求證：

不等式的左邊是根式，而右邊是整式，應設法通過適當的放縮變換將左邊各根式的被開方式轉化為完全平方式，再利用不等式的性質證得原命題。

例

2、若

a,例3證明：∵222∴a?b?c?ab?bc?ca 例

4、已知a,b,c,d都是正數，求證：(ab?cd)(ac?bd)?4abcd

分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發生聯系，從而正確運用，同時證明：∵a,b,c,d都是正數，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞

得ab?cdac?bd?

?0,??0.2

2由不等式的性質定理4的推論1，得

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?(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd

歸納小結

定理：如果a,b是正數，那么a?b?ab(當且僅當a?b時取“?”號).22、利用均值定理求最值應注意：“正”，“定”，“等”，靈活的配湊是解題的關鍵。鞏固練習

P71 練習A，P72 練習B。

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第三篇：2013高考數學均值不等式專題

均值不等式歸納總結

ab?(a?b

2)?2a?b

222(當且僅當a?b時等號成立）

(1)當兩個正數的積為定值時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定值時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”.(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用.應用一：求最值

例：求下列函數的值域

1（1）y＝3x 2（2）y＝x2xx

211解：(1)y＝3x 2 ≥2x 213x· 2＝6∴值域為6，+∞）2x 2

1(2)當x＞0時，y＝x＋ ≥x1x＝2； x

1x·－2 x11當x＜0時，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2xx

∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞）解題技巧

技巧一：湊項

例:已知x?，求函數y?4x?2?4514x?5的最大值。

4x?5解：因4x?5?0，所以首先要“調整”符號，又(4x?2)對4x?2要進行拆、湊項，?x?

54,?5?4x?0不是常數，所以，?y?4x?2?

11????5?4x?4x?55?4x?1???2?3?1??3? ?1。當且僅當5?4x?5?4x，即x?1時，上式等號成立，故當x?1時，ymax

評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。技巧二：湊系數

例1.當時，求y?x(8?2x)的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個系數即可。

當，即x＝2時取等號當x＝2時，y?x(8?2x)的最大值為8。

評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設0?

x?

32，求函數y?4x(3?2x)的最大值。

2x?3?2x?9

解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2????

222??

當且僅當2x?3?2x,即x?技巧三： 分離常數 例3.求y?

x?7x?10

x?

1?3?

??0,?時等號成立。4?2?

(x??1)的值域。

解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。

當,即

時,y?5?9（當且僅當x＝1

時取“＝”號）。

技巧四：換元法

解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。

y?

(t?1)?7(t?1）+10

t

=

t?5t?

4t

?t?4t?5

5?9（當t=2

當,即t=時,y?即x＝1時取“＝”號）。

Ag(x)

評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為y?mg(x)?或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正

技巧五：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，結合函數f(x)?的單調性。

例：求函數y?因t?0,t?

x?

ax

x?52的值域。

?t(t?

2)，則y?

1t

??t?

1t

(t?2)

?1，但t?1t

1t

解得t??1不在區間?2,???，故等號不成立，考慮單調性。

因為y?t?在區間?1,???單調遞增，所以在其子區間?2,???為單調遞增函數，故

y?

52。

5?所以，所求函數的值域為?,???。?

?2

?

技巧六：整體代換 例：已知x?0,y?0，且解：?x?0,y?0,1?9

x

1x

?

9y

?1，求x?y的最小值。

?16。

?19?y9x

?10?6?10?16?1，?x?y??x?y??????

xyxyy??

當且僅當

yx

?

9xy

時，上式等號成立，又

1x

?

9y

?1，可得x?4,y?12

時，?x?y?min

變式：（1）若x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,y?R?且a?b

x

y

?1，求x?y的最小值

技巧七：消元法

已知a，b為正實數，2b＋ab＋a＝30，求函數y 的最小值.ab

分析：這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不

等式的途徑進行。

30－2b30－2b－2 b 2＋30b

法一：a，ab ·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t 2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t ≥

ttt

t＝8

t

∴ ab≤18∴ y≥當且僅當t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥ ab

令u則u2＋22 u－30≤0，－2 ≤u≤32

≤2，ab≤18，∴y≥

18點評：①本題考查不等式

a?b2

?

ab（a,b?R）的應用、不等式的解法及運算能力；

?

②如何由已知不等式ab?a?2b?30（a,b?R?）出發求得ab的范圍，關鍵是尋找到

a?b與ab

之間的關系，由此想到不等式

a?b

2?

ab（a,b?R），這樣將已知條件轉

?

換為含ab的不等式，進而解得ab的范圍.技巧八：平方法

已知x，y為正實數，3x＋2y＝10，求函數W3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，很簡單

3x 2y2 3x）22y）2 x＋2y ＝25解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。

W＞0，W2＝3x＋2y＋3x ·y ＝10＋23x y ≤10＋3x)2·y)2

a＋b

a 2＋b 2，本題

＝10＋(3x＋2y)＝20 ∴ W20 ＝5變式:

求函數y?

y?2

?x?

52)的最大值。

解析：注意到2x?1與5?2x的和為定值。

?4??4?(2x?1)?(5?2x)?8

y?2

又y?

0，所以0?32

當且僅當2x?1=5?2x，即x?

時取等號。

故ymax

?

評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創造了條件。

總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用均值不等式。應用二：利用均值不等式證明不等式

1．已知a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：a2

?b?c

?ab?bc?ca

2.正數a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 3.已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。求證：??

??1??1?

?1???1???1??8 ?a??b??c?

1分析：不等式右邊數字8，使我們聯想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“

2”連乘，又1?1?1?a?b?c?a

a

a

a，可由此變形入手。

?b?ca

?a

11?a

a?b?c?1。

解：b、c?R?，?a、??1?

a

a。

同理1?1?

b

b

?1?c

c

上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1?1??1??1?a?b?c?。當且僅當?1?1?1??8??????

3abc?a??b??c?

時取等號。

應用三：均值不等式與恒成立問題 例：已知x?0,y?0且

1x?9y

?1，求使不等式x?y?m恒成立的實數m的取值范圍。

9xky

?1

解：令x?y?k,x?0,y?0,1x

?

9y

?1，?

x?ykx

?

9x?9yky

?1.?

10k

?

ykx

?

?1?

10k

?2?

3k

。?k

?16，m????,16?

應用四：均值定理在比較大小中的應用： 例：若a

?b?1,P?

lga?lgb,Q?

(lga?lgb),R?lg（a?b2)，則P,Q,R的大小關系

是.分析：∵a

Q?

?b?1 ∴lga?0,lgb?0

（lga?lgb)?

a?b2)?lg

lga?lgb?p

lgab?Q

R?lg(ab?

∴R>Q>P。

練習．1.求下列函數的最小值，并求取得最小值時，x 的值.（1）y?

x?3x?1

x,(x?0)（2）y?2x?

1x?3,x?3

(3)y?2sinx?2．已知0?

1sinx,x?(0,?)（4）y?sinx?

2sinx,x?(0,?)

x?

x?

1，求函數y?的最大值.；3．0?，求函數y?的最大值.3.若實數滿足a?b?2，則3a4.若log4x?log4

y?2，求

?3

b

1x

?

1y的最小值.并求x,y的值.5.已知x，y為正實數，且x 2＋ ＝1，求1＋y 2 的最大值.26.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值.7.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值.y 2

第四篇：均值不等式的證明方法

柯西證明均值不等式的方法 by zhangyuong（數學之家）

本文主要介紹柯西對證明均值不等式的一種方法，這種方法極其重要。一般的均值不等式我們通常考慮的是An?Gn: 一些大家都知道的條件我就不寫了

x1?x2?...?xn

n

?

x1x2...xn

我曾經在《幾個重要不等式的證明》中介紹過柯西的這個方法，現在再次提出：

二維已證，四維時：

a?b?c?d?(a?b)?(c?d)?2ab?2cd?4八維時:

(a?b?c?d)?(e?f?g?h)?4abcd?4efgh?8abcdefgh

abcd

?4abcd

這樣的步驟重復n次之后將會得到

x1?x2?...?x2n

n

?

n

x1x2...x2n

令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2?...?x2?

n

x1?x2?...?xn

n

?A

由這個不等式有

A?

nA?(2?n)A

nn

?

n

x1x2..xnA

2?n

n

?(x1x2..xn)2A

n

1?

n2

n

即得到

x1?x2?...?xn

n

?

n

x1x2...xn

這個歸納法的證明是柯西首次使用的，而且極其重要，下面給出幾個競賽題的例子：

例1：

n

若0?ai?1(i?1,2,...,n)證明?

i?1

11?ai

?

n

1?(a1a2...an)n

例2：

n

若ri?1(i?1,2,...,n)證明?

i?1

1ri?1

?

n

1?(r1r2...rn)n

這2個例子是在量在不同范圍時候得到的結果，方法正是運用柯西的歸納法：

給出例1的證明：

當n?2時11?a1

?

11?a2

?

?(1?

?a1?a2)?2(1?a1)(1?a2)

設p?a1?a2,q?

?(1?q)(2?p)?2(1?p?q)

?p?2q?pq?2q?p(1?q)?2q(q?1)?p?2q，而這是2元均值不等式因此11?a1?

?

11?a22

n

?

11?a3

?

11?a4

??

此過程進行下去

n

?

因此?

i?1

1?ai

1?(a1a2...a2n)2

n

令an?1?an?2?...?a2n?(a1a2...an)n?G

n

有?

i?1n

11?ai

11?ai

?(2?n)

n

11?G

?

n

n2?n

n

?

n

1?(GG

?

n1?G

n)

n

1?G

即?

i?1

例3：

已知5n個實數ri,si,ti,ui,vi都?1(1?i?n),記R?T?

n

1n

n

?r,S

ii

?

1n

n

?s

i

i

1n

n

?t,U

ii

?

1n

n

?u

i

i,V?

1n

n

?v，求證下述不等式成立：

ii

?

i?1

（risitiuivi?1risitiuivi?1)?（RSTUV?1RSTUV?1)

n

要證明這題，其實看樣子很像上面柯西的歸納使用的形式

其實由均值不等式，以及函數f(x)?ln因此

e?1e?1

x

x

是在R上單調遞減

RSTUV?

?

（RSTUV?1RSTUV?1)?

n

我們要證明：

n

?(rstuv

i?1

iii

i

risitiuivi?1

i

?1)?

證明以下引理：

n

?(x

i?1

xi?1

i

x2?1x2?1

n

?1)?

n?2時，?(令A?

x1?1x1?1)（）?2

?A(x1x2?1?x1?x2)?(x1?x2?1?x1x2)

?2A(x1x2?x1?x2?1)?A(x1x2?1?x1?x2)?(1?x1x2?x1?x2)?2A(x1x2?1?x1?x2)

?(A?1)(x1x2?1)?2A(x1x2?1)顯然成立

2?n

n

n

因

此?（i?1

xi?1xi?1

n)?（G?1G?1)

2?n

n

?（GGGG

n

n

n

n

?1?1

2?n2

n)，G?

n

?（G?1G?1

n)

因此?（i?1

xi?1xi?1

n)?

所以原題目也證畢了

這種歸納法威力十分強大，用同樣方法可以證明Jensen:

f(x1)?f(x2)

?f（x1?x2)，則四維：

f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)?2f（x1?x2)?2f（x3?x4)?4f（x1?x2?x3?x4)

一直進行n次有

f(x1)?f(x2)?...?f(x2n)

n

?f（x1?x2?...?x2n

n),令x1?x1,...,xn?xn;xn?1?xn?2?...?x2?

n

x1?x2?...?xn

n

n

?A

有

f(x1)?...?f(xn)?(2?n)f(A)

n

n

?f（nA?(2?n)A

n)?f(A)

所以得到

f(x1)?f(x2)?...?f(xn)

n

?f（x1?x2?...?xn

n)

所以基本上用Jensen證明的題目都可以用柯西的這個方法來證明

而且有些時候這種歸納法比Jensen的限制更少

其實從上面的看到，對于形式相同的不等式，都可以運用歸納法證明

這也是一般來說能夠運用歸納法的最基本條件

第五篇：2012屆高三文科數學不等式專題

2012屆高三文科數學不等式專題練習

一、選擇題

1．設a,b?R，若a?b?0，則下列不等式中正確的是（）

A．b?a?0B．b?a?0C．a3?b3?0D．a2?b2?0

２．設ａ，ｂ是非零實數，若ａ＜ｂ，則下列不等式成立的是（）

Ａ．a2?b2Ｂ．ab2?a2bＣ．

1ab2?1ab2Ｄ．ba?a

b

3．下列函數中，ｙ的最大值為４的是（）Ａ．y?x?

4x Ｂ．y?2(x?3)

x?222Ｃ．y?sinx?4sinx(0?x??)Ｄ．y?e?4ex?x

4．不等式x?1

x?2的解集為()

A．[?1,0)B．[?1,??)C．(??,?1]D．(??,?1]?(0,??)

5．設f(x)為奇函數, 且在(-∞, 0)內是減函數, f(-2)= 0, 則x f(x)<0的解集為()

A(-1, 0)∪(2, +∞)B(-∞,-2)∪(0, 2)C(-∞,-2)∪(2, +∞)D(-2, 0)∪(0, 2)

二、填空題

?2x?y

??x?2y6．若變量x,y滿足?x??

?y???40?5000，則z?3x?2y的最大值是＿＿＿＿．

7．已知函數f(x)???x?2,x?0

??x?2,x?0，則不等式f(x)?x2的解集為＿＿＿＿．

8．x,y,z?R,x?2y?3z?0,*y

2xz的最小值為＿＿＿＿＿．若y?1，則xz的最小值為——————．

29．已知A??x/x?a?4?,B??x/x?6x?5?0?,且對任意m?R,m?A?B恒成立,則a的取值范圍

是_________．

10．若二次函數y?f(x)的圖象過原點，且1?f(?1)?2,3?f(1)?4,則f(?2)的取值范圍是．

三、解答題

11．某收購站分兩個等級收購小麥，一等每千克ａ元，二等每千克ｂ元（ａ＞ｂ），現有一等小麥ｘ千克，二等小麥ｙ千克，若以兩種價格的平均價收購合理嗎？請說明理由．

2212．已知命題p：方程ax?ax?2?0在??1,1?上有解；命題q：只有一個實數x滿足不等式

2x?2ax?2a?0,若命題“p或q”是假命題，求a的取值范圍．

13． 某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房．經

1測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560+48x（單位：元）．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？

（注：平均綜合費用＝平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用＝購地總費用．）

建筑總面積

14．已知不等式ax2?3x?b?0的解集為?x/x?1或x?b?．

(1)求a,b;

(2)解不等式ax2?(ac?b)x?bc?0．

15．函數f(x)對任意m、n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且當x>0時，f(x)>1．

(1)求證f(x)是R上的增函數；

(2)設f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2．

16．已知函數f(x)=ax+x?

2x?1(a>1)．

(1)證明：函數f(x)在(－1，+∞)上為增函數；

(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負數根．

參考答案

一、BＣD A C

二、6．707．??1,1?8．３；

三、11．ax?by?(x?y)(a?b)

2?1329．?1,5?10．?6,10?，因此(a?b)(x?y)

（１）若ｘ＞ｙ，則收購站受益；

（２）若ｘ＝ｙ，則兩種方式的付款額相等；

（３）若ｘ＜ｙ，則收購站吃虧．

12．-1

13．設樓房每平方米的平均綜合費為f（x）元，則

f?x???560?4x8??216?01000010800??5?60x?4x?10,x?Z 2000xx???f(x)?560?248x?

當且僅當48x?10800

x10800x?2000,，即 x?15時f(x)min?2000；

答：為了樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應建為15層．

14．(1)．a?1,b?2;(2)c?2時,解集為?c,2?；c?2時, 解集為?2,c?；c?2時, 解集為?．

15．(2)-3

16．證明：(1）設－1＜x1＜x2＜+∞,則x2－x1>0, ax

∴ax?ax?ax(ax21122?x1>1且ax>0, 1?x1?1)>0,又x1+1>0,x2+1>0 ∴x2?2

x2?1?x1?2

x1?1?(x2?2)(x1?1)?(x1?2)(x2?1)

(x1?1)(x2?1)

x2?2

x2?1x1?2x1?1?3(x2?x1)(x1?1)(x2?1)>0, 于是f(x2)－f(x1)=ax?ax+21? >0．

∴f(x)在(－1，+∞）上為遞增函數．

(2）證法一：設存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)=0,則ax0??x0?2

x0?1，且由0＜ax＜1得 0

0＜－x0?2

x0?1＜1，即1

2＜x0＜2與x0＜0矛盾，故f(x)=0沒有負數根．

證法二：設存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,則x0?2

x0?1＜－2,ax＜1,∴f(x0)＜－1與0

f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,則x0?2

x0?1>0, ax>0，∴f(x0)>0與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負數根． 0