第一篇：推理與證明(教本題1(高二小班文))

推理與證明１（高二小班文）

1、已知數(shù)列?an?的第1項(xiàng)a12、已知

?

2，且an?

1?

an1?an

(n?1,2,?)，試歸納出通項(xiàng)公式.f(n)1a1

?1

f(1)?0,af(n)?bf(n?1)?1,ai?0(i?1,2,?,n)

1a1

?1a2

?1a

3n?2,a?0,b?0，推測(cè)

(i)a1?的表達(dá)式.；

(ii)(a1?a2)（1a1

?1a2)?

43、已知，考察下列式子：；

(iii)(a1?a2?a3)（）?9

.我們可以歸納出，對(duì)a1,a2,?,an也成立的類(lèi)似不等式為

1,??

4、猜想數(shù)列

11?

3,?

3?55?7，?

7?9的通項(xiàng)公式是

5、類(lèi)比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.6、在銳角三角形ABC中，AD?BC,BE?AC，D，E是垂足.求證：AB的中點(diǎn)M到D，E的距離相等.7證明函數(shù)

f(x)??x?2x

2在???,?1?上是增函數(shù).1a

1?1a

2?

48、已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，則,”，試請(qǐng)此結(jié)論推廣猜想.1a

1?1a

2?....?

1an

?

（答案：若a1,a2.......an?R?，且a1?a2?....?an?1，則

9、.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：

1a?1b?1c

n2）

?9.10、已知a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.11、已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證

b?c?a

a

?

a?c?b

b

?

a?b?c

c

?

3.12、在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c

成等比數(shù)列.求證：為△ABC等邊三角形.13、A,B

為銳角，且tanA?tanB?AtanB?

14、已知a?b?c, 求證：

1a?b

?

1b?c

?

4a?c

.?

a?c?b

b

?

a?b?c

c

?

3A?B?60?.15、已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證

b?c?a

a16、A,B

為銳角，且tanA?tanB?AtanB?

A?B?60?

17、在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列.求證：為△ABC等邊三角形.18?ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，求證：

1a?b

?

1b?c

?

3a?b?c

.19、設(shè)a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?.21、a不等于0，證明方程ax=b有且只有一個(gè)根

22SA?平面ABC,AB?BC,過(guò)A點(diǎn)作SB的垂線垂足為E,過(guò)E作SC的垂線垂足為F,求證AF?SC23、已知?,??K??

1?tan?

1?tan?22?2(K?z),且sin??cos??2sin?，sin??cos??sin? 22求證：?1?tan?2(1?tan?)

224、設(shè)sin?是sin?,cos?的等差中項(xiàng),sin?是sin?,cos?的等比中項(xiàng), 求證:cos4??4cos4??3

第二篇：高二 數(shù)學(xué) 選修 推理與證明(文)（模版）

高中數(shù)學(xué)（文）推理與證明

知識(shí)要點(diǎn)：

1、合情推理

根據(jù)一類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類(lèi)事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理（簡(jiǎn)稱(chēng)歸納）。歸納是從特殊到一般的過(guò)程，它屬于合情推理；

根據(jù)兩類(lèi)不同事物之間具有某些類(lèi)似（或一致）性，推測(cè)其中一類(lèi)事物具有與另一類(lèi)事物類(lèi)似（或相同）的性質(zhì)的推理，叫做類(lèi)比推理（簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比）。

類(lèi)比推理的一般步驟：

（1）找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性；（2）用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）；（3）一般地，事物之間的各個(gè)性質(zhì)之間并不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩個(gè)事物在某些性質(zhì)上相同或類(lèi)似，那么它們?cè)诹硪恍┬再|(zhì)上也可能相同或類(lèi)似，類(lèi)比的結(jié)論可能是真的；

（4）在一般情況下，如果類(lèi)比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類(lèi)比得出的命題就越可靠。

2、演繹推理

分析上述推理過(guò)程，可以看出，推理的滅每一個(gè)步驟都是根據(jù)一般性命題（如“全等三角形”）推出特殊性命題的過(guò)程，這類(lèi)根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導(dǎo)出特殊性命題為真的推理，叫做演繹推理。演繹推理的特征是：當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真。

3、證明方法

（1）反證法：要證明某一結(jié)論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯(cuò)誤的，從而斷定A是正確的即反證法就是通過(guò)否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來(lái)達(dá)到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法。

反證法的步驟：1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過(guò)推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。

注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設(shè)矛盾；②與反設(shè)矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過(guò)程中，推出自相矛盾的結(jié)論。

（2）分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。

分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因；

分析法的書(shū)寫(xiě)格式： 要證明命題B為真，只需要證明命題為真，從而有??，這只需要證明命題為真，從而又有??

這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故命題B必為真。

（3）綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法，綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。

典例分析：

例1：例5．（1）觀察圓周上n個(gè)點(diǎn)之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)可以連一條弦，3個(gè)點(diǎn)可以連3條弦，4個(gè)點(diǎn)可以連6條弦，5個(gè)點(diǎn)可以連10條弦，你由此可以歸納出什么規(guī)律？

（2）把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類(lèi)比推廣到空間，并判斷類(lèi)比的結(jié)論是否成立：

1）如果一條直線與兩條平行直線中的一條相交，則必于另一條相交。

2）如果兩條直線同時(shí)垂直與第三條直線，則這兩條直線平行。

例2：（06年天津）如圖，在五面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，面CDE是等邊三角形，棱

1EF//BC。?

2（1）證明FO//平面CDE；

（2）設(shè)BC?，證明EO?平

面CDF。

例3：（1）用反證法證明：如果a>b>0，那么

（2）用綜合法證明：如果a>b>0，那么

； ；

例4：用分析法證明：如果ΔABC的三條邊分別為a，b，c，那么：

a?bc? 1?a?b1?c

鞏固練習(xí)：

1.如果數(shù)列?an?是等差數(shù)列，則

A.a1?a8?a4?a5 B.a1?a8?a4?a5 C.a1?a8?a4?a5 D.a1a8?a4a

52.下面使用類(lèi)比推理正確的是

A.“若a?3?b?3,則a?b”類(lèi)推出“若a?0?b?0,則a?b”

B.“若(a?b)c?ac?bc”類(lèi)推出“(a?b)c?ac?bc”

a?bab??（c≠0）” ccc

nn（ab）?anbn” 類(lèi)推出“（a?b）?an?bn” D.“

3.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”

結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)?/p>

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.非以上錯(cuò)誤C.“若(a?b)c?ac?bc” 類(lèi)推出“

4.設(shè)f0(x)?sinx,f1(x)?f0(x)，f2(x)?f1'(x),?,fn?1(x)?fn'(x)，n∈N，則'

f2007(x)?

A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosx

5.在十進(jìn)制中2004?4?100?0?101?0?102?2?103，那么在5進(jìn)制中數(shù)碼200

4折合成十進(jìn)制為

A.29B.254C.602D.2004

6.函數(shù)y?ax2?1的圖像與直線y?x相切，則a= A.18 B.1 4C.12D.11；③47.下面的四個(gè)不等式：①a2?b2?c2?ab?bc?ca；②a?1?a??

ab??2 ；④a2?b2?c2?d2??ac?bd?2.其中不成立的有ba

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2f(x)（x?N*）,f(1)?1 8.已知f(x?1)?，猜想f(x）的表達(dá)式為f(x)?2

4212A.f(x)?xB.f(x)?C.f(x)?D.f(x)? 2?2x?1x?12x?1

9.類(lèi)比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，????則三角形三邊長(zhǎng)之間滿(mǎn)足關(guān)系：AB2?AC2?BC2。若三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側(cè)面積與底面積之間滿(mǎn)足的關(guān)系為.2?3?4?32，3+4+5+6+7=52中，可得到一般規(guī)律為10.從1?12，(用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示)

11.函數(shù)y＝f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關(guān)系是.12.設(shè)平面內(nèi)有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)．若用f(n)表示這ｎ條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)

當(dāng)ｎ＞４時(shí)，f(n)＝（用含n的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示）

第三篇：推理與證明1

推理與證明姓名___________

1．下列平面圖形中與空間的平行六面體作為類(lèi)比對(duì)象較合適的是()

A．三角形B．梯形C．平行四邊形D．矩形

7598139b＋mb2，>>，?若a>b>0且m>0，則之間大小關(guān)系為()10811102521a＋ma

A．相等B．前者大C．后者大D．不確定

x3．設(shè)a＝lg2＋lg5，b＝e(x<0)，則a與b大小關(guān)系為()

A．a(chǎn)>bB．a(chǎn)

4．“M不是N的子集”的充分必要條件是()

A．若x∈M，則x?NB．若x∈N，則x∈M

C．存在x1∈M?x1∈N，又存在x2∈M?x2?ND．存在x0∈M?x0?N

5．“所有9的倍數(shù)(M)都是3的倍數(shù)(P)，某奇數(shù)(S)是9的倍數(shù)(M)，故此奇數(shù)(S)是3的倍數(shù)(P)”，上述推理是()

A．小前提錯(cuò)B．結(jié)論錯(cuò)C．正確的D．大前提錯(cuò)

6．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，假設(shè)正確的是

A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60度

C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度

7．下列推理是歸納推理的是()

A．A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的軌跡為橢圓

B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式

22xy2222C．由圓x＋y＝r的面積πr，猜想出橢圓2＋2＝1的面積S＝πab abD．科學(xué)家利用魚(yú)的沉浮原理制造潛水艇

8．給出下列三個(gè)類(lèi)比結(jié)論．

①(ab)＝ab與(a＋b)類(lèi)比，則有(a＋b)＝a＋b；

②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類(lèi)比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；

2222222③(a＋b)＝a＋2ab＋b與(a＋b)類(lèi)比，則有(a＋b)＝a＋2a2b＋b.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()

A．0B．1C．2D．

39．觀察圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n≥2)個(gè)圓點(diǎn)，第n個(gè)圖案中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是an，按此規(guī)律推斷出所有圓點(diǎn)總和Sn與n的關(guān)系式為（）nnnnnnn

A．Sn＝2n－2nB．Sn＝2nC．Sn＝4n－3nD．Sn＝2n＋2n

10．對(duì)于非零實(shí)數(shù)a，b，以下四個(gè)命題都成立：

12222b)＝a＋2ab＋b；③若|a|＝|b|，則a＝±b；④若a＝ab，則a＝b.那么，對(duì)于a

非零復(fù)數(shù)a，b，仍然成立的命題的所有序號(hào)是________．

11．如果aa＋bb>ab＋ba，則a、b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是________．

a＋b12．已知a，b是不相等的正數(shù)，x＝，y＝a＋b，則x，y的大小關(guān)系是________． 2

13．已知數(shù)列2008,2009,1，－2008，－2009，?，這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2009項(xiàng)之和S2009等于________．

14．用三段論的形式寫(xiě)出下列演繹推理．

(1)矩形的對(duì)角線相等，正方形是矩形，所以，正方形的對(duì)角線相等．222 2

15.觀察：

(1)tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；

(2)tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫(xiě)出你的推論．，并給出證明．

16．已知等差數(shù)列{an}的公差d＝2，首項(xiàng)a1＝5.(1)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；

(2)設(shè)Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并歸納出Sn與Tn的大小規(guī)律．

17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn滿(mǎn)足Sn＝2an－3n(n∈N*)．

(1)求證{an＋3}為等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列{an}是否存在三項(xiàng)使它們按原順序可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第四篇：高二文科推理與證明練習(xí)題

推理與證明文科練習(xí)

增城市華僑中學(xué)陳敏星

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.有個(gè)小偷 在警察面前作了如下辯解：

是我的錄象機(jī)，我就一定能把它打開(kāi)。

看，我把它大開(kāi)了。

所以它是我的錄象機(jī)。

請(qǐng)問(wèn)這一推理錯(cuò)在哪里？（）

A大前提B小前提C結(jié)論D以上都不是

2.數(shù)列2，5，11，20，x,47,┅中的x等于（）

A28B32C33D27

3.否定“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的反設(shè)為（）

A a,b,c都是奇數(shù)B a,b,c都是偶數(shù)Ca,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)Da,b,c都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù) 4的最小值是（）x?

1A2B3C4D5 4.設(shè)x?1,y?x?

5.下列命題：①a,b,c?R,a?b,則ac2?bc2；②a,b?R,ab?0,則ba??2；③aba,b?R,a?b，則

aban?bn；④a?b,c?d,則?.cd

A0B1C2D

36.在十進(jìn)制中2004?4?10?0?10?0?10?2?10，那么在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成十進(jìn)制為（）

A29B254C602D2004 0123

b5?2，7.已知{bn}為等比數(shù)列，則b1?b2???b9?29。若?an?為等差數(shù)列，a5?2，則?an?的類(lèi)似結(jié)論為（）

A a1?a2???a9?29 B a1?a2???a9?29C a1?a2???a9?2?9 D a1?a2???a9?2?9

8.已知函a,b,c均大于1，且logac?logbc?4，則下列等式一定正確的是（）

Aac?bBab?cCbc?aDab?c

9.設(shè)正數(shù)a,b,c,d滿(mǎn)足a?d?b?c，且|a?d|?|b?c|,則（）

Aad?bcBad?bcCad?bcDad?bc

?x(x?y)31,例如3?4?4,則(?)?(cos2??sin??)的最大值是（）10.定義運(yùn)算x?y?? y(x?y)24?

A4B3C2D1

二、填空題（每小題4分，共16分）

11.對(duì)于“求證函數(shù)f(x)??x在R上是減函數(shù)”，用“三段論”可表示為：大前提是___________________,小前提是_______________,結(jié)論是12.命題“△ABC中，若∠A>∠B，則a>b”的結(jié)論的否定是

13.已知數(shù)列

?an?的通項(xiàng)公式

an?

(n?N?)

2(n?1)，記

f(n)?(1?a1)(1?a2)???(1?an)，試通過(guò)計(jì)算f(1),f(2),f(3)的值，推測(cè)出

f(n)?_______________._

14.設(shè)f(x)?

12?2

x，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得

f(?5)?f(?4)?????f(0)?????f(5)?f(6)的值是________________.）

三、解答題：

15（8分）若兩平行直線a,b之一與平面M相交，則另一條也與平面M相交。16（8分）設(shè)a,b都是正數(shù)，且a?b，求證：ab?ab。

17（8分）若x?

18（10分）已知x?R，試比較x與2x?2x的大小。

19（10分）設(shè){an}是集合{2?2|0?s?t,且s,t?Z}中的所有的數(shù)從小到大排成的數(shù)列，即a1?3,a2?5,a3?6,a4?9,a5?10,a6?12,?，將數(shù)列{an}各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則寫(xiě)成如下三角形數(shù)表：

t

s

abba

51,求證：1?4x??-2。45?4x56

9101

2__________________

⑴寫(xiě)出這個(gè)三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)；

⑵求a100.exa

20（10分）設(shè)a?0,f(x)??是R上的偶函數(shù)。

aex

⑴求a的值；

⑵證明f(x)在(0,??)上是增函數(shù)。

參考答案：

11、減函數(shù)的定義 ；函數(shù)f(x)??x在R上滿(mǎn)足減函數(shù)的定義

12、a≤b13、f(n)?

三、解答題：

15、證明：不妨設(shè)直線a與平面M相交，b與a平行，今證b與平面M相交，否則，n?214、322(n?1)

設(shè)b不與平面M相交，則必有下面兩種情況： ⑴b在平面M內(nèi)，由a//b,則a//平面M，與題設(shè)矛盾。

16、設(shè)a,b都是正數(shù)，且a?b，求證：ab?ab。

ab

ba

aabba?ba?aa?b?bb?a?()a?b,abb

aa

若a?b,?1,a?b?0,則()a?b?1,得aabb?abba;

bbaa

若a?b,?1,a?b?0,則()a?b?1,得aabb?abba.bb17、略

18、?log23?log827?log927?log916?log34,?log23?log34.19、第四行：17182024第五行：3334364048

a100?214?29?1?1664020、⑴a?1;⑵略

第五篇：高二期末復(fù)習(xí)推理與證明

推理與證明

（一）．推理：

⑴合情推理：歸納推理和類(lèi)比推理都是根據(jù)已有事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，在進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出猜想的推理，我們把它們稱(chēng)為合情推理。

①歸納推理：由某類(lèi)食物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者有個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱(chēng)為歸納推理，簡(jiǎn)稱(chēng)歸納。注：歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理。

②類(lèi)比推理：由兩類(lèi)對(duì)象具有類(lèi)似和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理，稱(chēng)為類(lèi)比推理，簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比。

注：類(lèi)比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演繹推理：從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理叫演繹推理。注：演繹推理是由一般到特殊的推理。

“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般結(jié)論；⑵小前提---------所研究的特殊情況；⑶結(jié)論---------根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況得出的判斷。

（二）證明

⒈直接證明

⑴綜合法

一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因?qū)Чā＂品治龇?/p>

一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等），這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。

2．間接證明------反證法

一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。

3.數(shù)學(xué)歸納法

一般的證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的一個(gè)命題，可按以下步驟進(jìn)行：

⑴證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0是命題成立；

⑵假設(shè)當(dāng)n?k(k?n0,k?N?)命題成立，證明當(dāng)n?k?1時(shí)命題也成立。

那么由⑴⑵就可以判定命題對(duì)從n0開(kāi)始所有的正整數(shù)都成立。

注：①數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行； ②n0的取值視題目而定，可能是1，也可能是2等。

注：①證明時(shí)，兩個(gè)步驟，一個(gè)都不能少。其中，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步則是證明了遞推關(guān)系成立。，②用歸納法證明命題，格式很重要，通常可以簡(jiǎn)記為“兩步三結(jié)論”。兩步是指證明的兩步(1)(奠定遞推基礎(chǔ))和(2)(證明遞推關(guān)系)；三結(jié)論分別是指：步驟(1)中最后要指出當(dāng)n=n0時(shí)命題成立，步驟(2)最后要指出當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立，證明的最后要

*給出一個(gè)結(jié)論“根據(jù)(1)(2)可知，命題對(duì)任意n∈N(n≥n0)都成立”。

易錯(cuò)點(diǎn)分析：①初始值取值是多少；②第二步證明n=k+1時(shí)命題成立需要使用歸納假設(shè)；

1111????n 2

321111

?k?k???k?1共2k項(xiàng)從n=k到n=k+1時(shí)，實(shí)際增加的項(xiàng)是k

2?12?22?32

③由n=k到n=k+1時(shí)，命題的變化(增減項(xiàng))，如：f?n??1?例1.1.當(dāng)a?0,b?0時(shí),有

a?b

?ab成立,并且還知道此結(jié)論對(duì)三個(gè)正數(shù)、四個(gè)正數(shù)均成立2a?b?c當(dāng)a,b,c?0時(shí),有?abc成立

a?b?c?d當(dāng)a,b,c,d?0時(shí),有?成立。猜想，當(dāng)a1,a2,?,an?0時(shí)，有怎樣的不等式成立？

2..觀察以下各等式：

①tan10?tan20?tan20?tan60?tan60?tan10?1 ②tan5?tan10?tan10?tan75?tan75?tan5?

1分析上述各式的共同特點(diǎn)，寫(xiě)出能反映一般規(guī)律的等式，并對(duì)你的結(jié)論進(jìn)行證 3．、將下列三段論形式的演繹推理補(bǔ)充完整： 純虛數(shù)的平方是負(fù)實(shí)數(shù)，_______________________，3i的平方是負(fù)實(shí)數(shù)。.例2.設(shè)在R上定義的函數(shù)f(x)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都)有f(x?2)?f(x?1)?f(x),且f(1)?lg3?lg2,f(2)?lg3?lg5，試求歸納出f(200

1的值。

例3.1.設(shè)?SAB的兩邊SA、SB互相垂直，則SA?SB?BC。類(lèi)比到空間中，寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論

2.設(shè)A1、B1分別是?PAB的兩邊PA、PB上的點(diǎn)，則

S?PA1B1S?PAB

?

PA1?PB

1PA?PB

四面體猜想：設(shè)A1、B1、C1分別是四面體P?ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC上的點(diǎn)，則有什么結(jié)論？

?，則3.已知命題：平面上一矩形ABCD的對(duì)角線AC與邊AB和AD所成角分別為?、cos2??cos2??1。若把它推廣到空間長(zhǎng)方體中，試寫(xiě)出相應(yīng)的命題形式

例4.1.設(shè)k?0,且k是奇數(shù)，求證:方程x?2x?2k?0沒(méi)有有理根

2.設(shè)a,b都是整數(shù)，且a?b能被3整除，試用反證法證明a,b都能被3整除

例5.1.已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，且a1?1,Sn?n2an(n?N)，（1）試計(jì)算S1,S2,S3,S4，并猜想Sn的表達(dá)式;(2)證明你的猜想，并求出an的表達(dá)式。

2.設(shè)n?N,f?n??5?2?

3?

n

n?

1（2）你對(duì)f?n?的值2，3，4時(shí)，計(jì)算f?n?；?1，?1?當(dāng)N?1，有何猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想

推理與證明

1.從1?12,2?3?4?32,3?4?5?6?7?52中，得出一般性結(jié)論是2.已知函數(shù)f(x)?

x?x，則f?f?....f(x)?????????

n個(gè)f

3.f(n)?1?

111357

??????(n?N?)，f(2)?,f(4)?2,f(8)?,f(16)?3,f(32)?，23n22

2推測(cè)當(dāng)n?2時(shí)，有

4.平面上有k?k?2?條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不交于同一點(diǎn)，則這k?k?2?條直線將平面分成的區(qū)域個(gè)數(shù)是

5.在Rt?ABC中，若?C?900,AC?b,BC?a,則三角形ABC的外接圓半徑

r?

a2?b2，把此結(jié)論類(lèi)比到空間，寫(xiě)出類(lèi)似的結(jié)論 2

?，則6.已知命題：平面上一矩形ABCD的對(duì)角線AC與邊AB和AD所成角分別為?、cos2??cos2??1。若把它推廣到空間長(zhǎng)方體中，試寫(xiě)出相應(yīng)的命題形式：7.將側(cè)棱相互垂直的三棱錐稱(chēng)為“直角三棱錐”，三棱錐的側(cè)面和底面分別叫為直角三棱錐的“直角面和斜面”；過(guò)三棱錐頂點(diǎn)及斜面任兩邊中點(diǎn)的截面均稱(chēng)為斜面的“中面”．請(qǐng)仿照直角三角形以下性質(zhì)：（1）斜邊的中線長(zhǎng)等于斜邊邊長(zhǎng)的一半；（2）兩條直角邊邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊邊長(zhǎng)的平方；（3）斜邊與兩條直角邊所成角的余弦平方和等于1．寫(xiě)出直角三棱錐相應(yīng)性質(zhì)（至少一條）：

8.類(lèi)比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列的一些性質(zhì)，①各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的兩條棱的夾角相等；②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任何兩條棱的夾角相等．你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖牵?/p>

9.下面說(shuō)法中是合情推理的是?1?由圓的性質(zhì)類(lèi)比出球的性質(zhì)；（2）某次考試小明的成績(jī)是100分，由此推出全班同學(xué)的成績(jī)是100分；（3）三角形有內(nèi)角和是180，四邊形的內(nèi)角和是360五邊形的內(nèi)角和是540，由此得凸多邊形的內(nèi)角和是?n?2??180；（4）我?

?

?

?

國(guó)古代工匠魯班根據(jù)帶齒的草葉發(fā)明了鋸子

10.下面說(shuō)法中是演繹推理的是（1）由三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)；（2）高三有10個(gè)班，一班有51人，二班有53人，三班有52人，由此推測(cè)各班都超過(guò)50人；（3）在數(shù)列?an?中，a1?1,an?

1?1???a?n?1??n?2?，由此可求a2,a3,?，即可歸納2?an?1??

出?an?的通項(xiàng)公式 ；（4）兩條直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，如果?A,?B是兩條平行直線的同旁?xún)?nèi)角，則?A??B?180

?

11.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b∥平面?，直線a?平面?，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)殄e(cuò)誤？

12.用反證法證明“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60”時(shí)，正確的反設(shè)是 13.用反證法證明“若x2??a?b?x?ab?0，則x?a且x?b”, 正確的反設(shè)是14.下列敘述“（1）a?2的反面是a?2；（2）m?n的反面是m?n；（3）三角形中最多有一個(gè)直角的反面是沒(méi)有直角；（4）a,b,c不都為0的反面是a2?b2?c2?0?a,b,c?R? 15.用數(shù)學(xué)歸納法證明1?

?

11111111

????????????n?N??，2342n?12nn?1n?22n

n3n?1?的第二步中，n?k?1時(shí)的則從n?k?n?k?1，左邊所要添加的項(xiàng)是16.用數(shù)學(xué)歸納法證明?n?1???n?2?????n?n??

等式的左邊與n?k時(shí)的等式的左邊的差是

17.用數(shù)學(xué)歸納法證明“5?2能被3整除”的第二步中，當(dāng)n?k?1時(shí)，為了使用假設(shè)的結(jié)論，應(yīng)將5

k?1

n

n

?2k?1變形為

18.平面內(nèi)有n?n?2?條直線，其中任何兩條不平行，任何3條不過(guò)同一點(diǎn)，（1）請(qǐng)歸納它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f?n?的表達(dá)式；（2）（理）請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論