第一篇：2013高考數學分類匯總 考點22 數列的概念與簡單表示法

考點22數列的概念與簡單表示法

1.（2013·湖南高考文科·Ｔ15）.對于E={a1，a2,….a100}的子集X={ai,ai,?ai},12k定義X的“特征數列”為x1,x2…,x100,其中xi?xi??xi?1.其余項均為0，例如子12k

集{a2，a3}的 “特征數列”為0，1，1，0，0，…,0

（1）子集{a1,a3,a5}的“特征數列”的前3項和等于________________;

（2）若E的子集P的“特征數列”P1，P2，…,P100 滿足p1?1，P1+Pi+1=1, 1≤i≤99;E 的子集Q的“特征數列” q1，q2，q100 滿足q1=1，q1+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，則P∩Q的元素個數為___________.【解題指南】（1）讀懂“特征數列”的定義是關鍵

（2）利用p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99和q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,列舉出子集P、子集Q的“特征數列”至少10項,以便找出兩者中均是“1”的項,因為該項是兩個集合的公共元素.【解析】(1)子集{a1,a3,a5}的“特征數列”的前三項是1,0,1,故和為2.(2)根據題設條件,子集P的“特征數列”是1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,? 子集Q的“特征數列”是1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,?

發現p1=q1,p7=q7,?p6i-5=q6i-5于是令6n-5=97,得n=17,所以P∩Q的元素個數為17.【答案】（1）2;(2)17

第二篇：2.1數列的概念與簡單表示法教案

2．1數列的概念與簡單表示法

（一）教學目標

1、知識與技能：了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）；了解數列是一種特殊的函數；

2、過程與方法：通過三角形數與正方形數引入數列的概念；通過類比函數的思想了解數列的幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）；

3、情態與價值：體會數列是一種特殊的函數；借助函數的背景和研究方法來研究有關數列的問題，可以進一步讓學生體會數學知識間的聯系，培養用已知去研究未知的能力。

（一）教學重、難點

重點：理解數列的概念，認識數列是反映自然規律的基本數學模型，探索并掌握數列的幾種間單的表示法（列表、圖象、通項公式）；

難點：了解數列是一種特殊的函數；發現數列規律找出可能的通項公式。

（二）學法與教學用具 學法：學生以閱讀與思考的方式了解數列的概念；通過類比函數的思想了解數列的幾種簡單的表示方法；以觀察的形式發現數列可能的通項公式。教學用具：多媒體、投影儀、尺等

（三）教學設想

1、多媒體展示三角形數、正方形數，提問：這些數有什么規律？與它所表示的圖形的序號有什么關系？

2、（1）概括數列的概念：按照一定順序排列著的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項。（2）辯析數列的概念：“1，2，3，4，5”與“5，4，3，2，1”是同一個數列嗎？與“1，3，2，4，5”呢？給出首項與第n 項的定義及數列的記法：{an}（3）數列的分類: 有窮數列與無窮數列；遞增數列與遞減數列，常數列。

3、數列的表示方法

（1）函數y=7x+9 與y=3 x，當依次取1，2，3，…時，其函數值構成的數列各有什么特點？

（2）定義數列{an}的通項公式

（3）數列{an}的通項公式可以看成數列的函數解析式，利用一個數列的通項公式，你能確定這個數列的哪些方面的性質？

（4）用列表和圖象等方法表示數列，數列的圖象是一系列孤立的點。

4、例1 寫出下面數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數：

（1）1，-1/2，1/3，-1/4；

（2）2，0，2，0．

引導學生觀察數列的前4項的特點，尋找規律寫出通項公式。再思考：根據數列的前若干項寫出的數列通項公式的形式唯一嗎？舉例說明。

5、例

2、圖2.1-5中的三角形稱為希爾賓斯基（Sierpinski）三角形，在下圖4個三角形

2．1數列的概念與簡單表示法

海口一中

陸健青

中，著色三角形的個數依次構成一個數列的前4項，請寫出這個數列的一個通項公式，并在直角坐標系中畫出它的圖象。

通過多媒體展示希爾賓斯基（Sierpinski）三角形，引導學生觀察著色三角形的個數的變化，尋找規律寫出數列的一個通項公式，并用圖象表示數列。體會數列的圖象是一系列孤立的點。

1、問題：如果一個數列{an}的首項a1=1，從第二項起每一項等于它的前一想的前一項的2倍再加1，即 an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1），（※）

你能寫出這個數列的前三項嗎？

像上述問題中給出數列的方法叫做遞推法，（※）式稱為遞推公式。遞推公式也是數列的一種表示方法。

2、例3 設數列{an}滿足

寫出這個數列的前五項。

此題與例1的學習是互為相反的關系，也是為了引入下文的等差數列，等差數列是最簡單的遞推數列。

3、課堂練習：P36

1~5，課后作業：P38習題2.1 A組

1，2，4，6。

4、課堂小結：

（1）數列的概念，認識數列是反映自然規律的基本數學模型；

（2）了解用列表、圖象、通項公式、遞推公式等方法表示數列；能發現數列規律找出可能的通項公式。

（3）了解數列是一種特殊的函數。

（四）評價設計

1、重視對學生學習數列的概念及表示法的過程的評價

關注學生在數列概念與表示法的學習中，對所呈現的問題情境是否充滿興趣；在學習過程中，能否發現數列中的項的規律特點，寫出數列的通項公式，或遞推公式。

2、正確評價學生的數學基礎知識和基礎技能

能否類比函數的性質，正確理解數列的概念，正確使用通項公式、列表、圖象等方法表示數列，了解數列是一種特殊的函數。了解遞推公式也是數列的一種表示方法。

第三篇：《數列的概念與簡單表示法》 教案

2.1.1 數列的概念與簡單表示法（第一課時）

一、教學目標

（1）了解數列的概念通過實例，引入數列的概念，并理解數列的順序性，感受數列是刻畫自然規律的數學模型。同時了解數列的幾種分類。

（2）體會數列之間的變量依賴關系，了解數列與函數之間的關系。

二、教學重點與難點

教學重點：了解數列的概念，以及數列是一種特殊函數，體會數列是反映自然規律的數學模型。

教學難點：將數列作為一種特殊函數去認識，了解數列與函數之間的關系。

三、教學過程

一、創設情境，實例引入

1.斐波那契數列，《算盤全書》中兔子繁殖的問題

2.引導學生觀察向日葵圖片，建自然現象中體現出的數的規律。師：觀察向日葵花瓣，你會發現花瓣的排列有怎樣的規律? 2.早在春秋戰國時期，惠施說過：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。

實際上這里面就蘊含著數列的知識和以后要學習的極限思想，因此，我們所研究數列非常重要。今天我們就來學習數列的概念與簡單表示法。板書課題：數列的概念與簡單表示法

二、新課教學

（一）引入

1.古希臘畢達哥拉斯的學派的基本觀點：萬物皆數。他們認為數是萬物的本源，因此他們曾經在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，比如他們曾經過的三角形數。

師：什么叫做三角形數？這些數可以用圖中的三角形點陣來表示。我們看三角形數分別是1，3，6，10??(板書)師：類似的他們還研究了正方形數，他們分別是1，4，9，16，25??（板書）

（二）新課教學

問題一：那么現在就請大家循著古代數學家的足跡，歸納一下這幾列數都有那哪些特點？ 我們剛才說這個學派的最根本觀點是什么？萬物皆數 所以第一個特點是什么？都是一列數

第二個特點呢？我們看他的排列是不是亂排的，也就是說這幾列數都研究的是數，同時有規律，那我們把滿足這兩個性質的一列數叫做數列。按照一定順序排列的一列數成為數列。

師：數列中的每一個數叫做這個數列的項。數列中的每一項都和它的序號有關，排在第一位的數稱為這個數列的第1項（或叫首項），排在第二位的數稱為這個數列的第2項......排在第n位的數稱為這個數列的第n項.板書記法：a1，a2，a3，...，an，...那么這里的角標起到什么作用？

代表著它的項數，也就是它在數列中的具體位置，對于任何數列都可以這樣表示，但如果項數過多，這樣表示又很麻煩，所以我們通常把數列簡記為{an} 例如：三角形構成的數列{an}：1，3，6，10，15??，a1=？a2=，a3=，a5，...活動一：分析下列5個數列，按照適當的標準分類.問題1：可以對數列進行怎樣的分類？

教師引導：從數列的項的數量，或者數列前后各項之間的大小關系等角度,你能體會以上這些數列之間的區別嗎?它們各有什么特點? 師：引導學生根據項數的多少和項數大小進行分類分類，并給出定義。師：提問學生對每個數列進行分類

活動二：分析下列兩個數列的項與序號之間的關系

師：引導學生分析這兩個數列，聯想以前學過的知識，從函數的角度分析數列.生：分析并聯想到函數，并從函數的角度分析數列，并找到相對應的函數，求出其定義域。

數列可以看成以N*(或它的有限子集{1，2，?，n})為定義域的函數an?f(n)當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值想一想：數列2，5，8，11，14與數列2，5，8，11，14??有何不同？ 思考：你能用一個項an與序號n的式子來表示數列2，5，8，11，14??嗎？

師：強調有限子集必須從1開始，并重復說明函數角度下的數列定義.分析an=f(n)可以表示數列中的每一項，引出通項公式的概念，并讓學生總結概念.師：總結并給出通項公式的概念：如果數列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個式

子表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式。

從集合、對應的觀點來看，數列也可以看作是一個定義域為正整數集N+（或它的有限子集?1,2,?,n?的函數，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值，數列的通項公式就是相應函數的解析式。

問題：數列作為一種特殊的函數，也可以用列表法和圖象法表示，你能把上面的這個數列用這兩種方法表示出來嗎？

（三）例題講解

1.（1）數列：1，1，2，2，3，3，4，4，?

（2）數列

1，2，3，4 與數列 4，3，2，1 將以上幾列數用集合如何表示？請寫出相應的集合。觀察集合中的元素和原來數列中數有什么差別。

經過以上問題可得出集合和數列的區別是：

第一，集合的對象可以是任意的東西。如全體中華人民共和國的公民組成一個集合，某農場全部拖拉機組成一個集合，所有的化學元素組成一個集合，等等。而數列的對象都是數，組成數列各項的元素只能是數，而不能是其他的對象。

第二，集合里的元素不能重復，而數列中的數是可以重復的。如數列：

1，1，2，2，3，3，4，4，?

是按照自然數列的規律，連續重復一次排列而成的，但是若把這個數列的各項看成是一個集合的元素，那么這個數列只能寫成

｛1，2，3，4，?｝，而不能寫成｛1，1，2，2，3，3，4，4，?｝。

第三，集合中的元素是不考慮順序的，而數列中各數的順序是十分重要的。例如：數列

1，2，3，4 與數列 4，3，2，1 是兩個不同的數列。可是集合｛1，2，3，4｝與集合｛4，3，2，1｝則被認為是相同的。

教師引導學生討論得出:（1）數列?an?中是一列數，而集合中的元素不一定是數；

（2）數列?an?中的數是有一定次序的，而集合中的元素沒有順序（無序性）；（3）數列?an?中的數可以重復，而集合中的元素不能重復（互異性）。【設計意圖】：加深對數列概念的理解，分清集合和數列的區別。

例3.寫出下面數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數.1111,?，?23

4（2）2，0，2，0（1）

師點評：(1)并不是所有數列都能寫出通項公式

（2）一個數列的通項公式不是唯一的

（3）數列通項公式的作用：求數列中的任意一項；檢驗某書是否是該數列中的一項

（四）課堂小結

我們今天一同認識了一個新的概念：數列，我們知道它是一個與現實生活有密切聯系的數學概念，我們一同來回憶一下數列的概念，是定義在正整數列集（或其有限子集）上的函數。數列的兩種分類。

另外，我們發現數列實質上是一種特殊的函數。

點明本節課的重點是數列及其通項公式，數列是一種特殊的函數。

（五）作業布置（1）閱讀課本P32－P36（3）課外閱讀(選做)

（2）書面作業：課本P38習題2.1 A組 2、3、4

閱讀課本P37-P38----斐波那契數列

第四篇：2012高考專題----數列與不等式放縮法

高考專題——放縮法

一、基本方法

1.“添舍”放縮

通過對不等式的一邊進行添項或減項以達到解題目的，這是常規思路。例1.設a，b為不相等的兩正數，且a3－b3＝a2－b2，求證1＜a＋b＜例2.已知a、b、c不全為零，求證：。a?ab?b?2?bc?c2?c2?ac?a2＞3（a?b?c）

2[變式訓練]已知an?2n?1(n?N*).求證：an1a1a2????...?n(n?N*).23a2a3an?

12.分式放縮

一個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數則分式值變大，利用這些性質，可達到證題目的。例3.已知a、b、c為三角形的三邊，求證：1＜

3.裂項放縮

若欲證不等式含有與自然數n有關的n項和，可采用數列中裂項求和等方法來解題。例4.已知n∈N*，求1?a＋b＋c＜2。a?ca?b

12?1

???1

n＜2n。

n(n?1)(n?1)

2例5.已知n?N且an??2?2?3???n(n?1)，求證：?an?22對所有正整數n都成立。*

4.公式放縮

利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。

n2x?1*例6.已知函數f(x)?x，證明：對于n?N且n?3都有f(n)?。n?12?1

例7.已知f(x)??x2，求證：當a?b時f（a）?f（b）?a?b。

5.換元放縮

對于不等式的某個部分進行換元，可顯露問題的本質，然后隨機進行放縮，可達解題目的。

例8.已知a?b?c，求證

???0。a?bb?cc?a

例9.已知a，b，c為△ABC的三條邊，且有a2?b2?c2，當n?N*且n?3時，求證：

an?bn?cn。

6.單調函數放縮

根據題目特征，通過構造特殊的單調函數，利用其單調性質進行放縮求解。

例10.已知a，b∈R，求證7.放大或縮小“因式”；

a?b1?a?b

?

a1?a

?

b1?b。

n

例

4、已知數列{an}滿足an?1?a,0?a1?,求證：?(ak?ak?1)ak?2?.232k?

1n

8.固定一部分項，放縮另外的項； 例

6、求證：

11117?????? 122232n2

49.利用基本不等式放縮

例

7、已知an?5n?

41對任何正整數m，n都成立.10.先適當組合, 排序, 再逐項比較或放縮

例

8、.已知i，m、n是正整數，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)

i

i

n

＞(1+n)

m

二、放縮法綜合問題

（一）、先求和后放縮

例1．正數數列?an?的前n項的和Sn，滿足2Sn?an?1，試求：（1）數列?an?的通項公式；（2）設bn?

1，數列?bn?的前n項的和為Bn，求證：Bn?。

2anan?1

（二）、先放縮再求和（或先求和再放縮）例、函數f（x）=

4x1?4x，求證：f（1）+f（2）+?+f（n）>n+

12n?

1?(n?N*).21．放縮后成等差數列，再求和

例2．已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn,且an?an?2Sn.an2?an?12(1)求證：Sn?；

(2)

????2．放縮后成等比數列，再求和

例3．（1）設a，n∈N*，a≥2，證明：a2n?(?a)n?(a?1)?an；

（2）等比數列{an}中，a1??，前n項的和為An，且A7，A9，A8成等差數列．設

a1bn?n，數列{bn}前n項的和為Bn，證明：Bn＜．

31?an

3．放縮后為差比數列，再求和

例4．已知數列{an}滿足：a1?1，an?1?(1?

n)an(n?1,2,3?)．求證： n2

an?1?an?3?

n?1

2n?1

n

4．放縮后為裂項相消，再求和

例

5、已知an=n，求證：∑

k=1ak

k

＜3．

第五篇：數學：2.1《數列的概念與簡單表示法》教案(1課時)(新人教A版必修5)

課題: §2.1數列的概念與簡單表示法

授課類型：新授課

（第1課時）

●三維目標

知識與技能：理解數列及其有關概念，了解數列和函數之間的關系；了解數列的通項公式，并會用通項公式寫出數列的任意一項；對于比較簡單的數列，會根據其前幾項寫出它的個通項公式。

過程與方法：通過對一列數的觀察、歸納，寫出符合條件的一個通項公式，培養學生的觀察能力和抽象概括能力．

情感態度與價值觀：通過本節課的學習，體會數學來源于生活，提高數學學習的興趣。●教學重點

數列及其有關概念，通項公式及其應用 ●教學難點

根據一些數列的前幾項抽象、歸納數列的通項公式 ●教學過程 Ⅰ.課題導入

三角形數：1，3，6，10，? 正方形數：1，4，9，16，25，? Ⅱ.講授新課

⒈ 數列的定義：按一定次序排列的一列數叫做數列.注意：⑴數列的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數列；

⑵定義中并沒有規定數列中的數必須不同，因此，同一個數在數列中可以重復出現.⒉ 數列的項：數列中的每一個數都叫做這個數列的項.各項依次叫做這個數列的第1項（或首項），第2項，?，第n 項，?.例如，上述例子均是數列，其中①中，“4”是這個數列的第1項（或首項），“9”是這個數列中的第6項.⒊數列的一般形式：a1,a2,a3,?,an,?，或簡記為?an?，其中an是數列的第n項 結合上述例子，幫助學生理解數列及項的定義.②中，這是一個數列，它的首項是“1”，“

1”3是這個數列的第“3”項，等等

下面我們再來看這些數列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應關系？這一關系可否用一個公式表示？（引導學生進一步理解數列與項的定義，從而發現數列的通項公式）對于上面的數列②，第一項與這一項的序號有這樣的對應關系：

1111項

12345↓ ↓ ↓ ↓ ↓

序號 1 2 3 4 5

這個數的第一項與這一項的序號可用一個公式：an?1來表示其對應關系 n即：只要依次用1，2，3?代替公式中的n，就可以求出該數列相應的各項 結合上述其他例子，練習找其對應關系

(5)將數列變形為1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,??，∴ an＝(－1)n?1n(n＋1)Ⅳ.課時小結

本節課學習了以下內容：數列及有關定義，會根據通項公式求其任意一項，并會根據數列的前n項求一些簡單數列的通項公式。Ⅴ.課后作業 ●板書設計 ●授后記