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推理與證明教案及說明★

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第一篇:推理與證明教案及說明

第二章推理與證明

人教A版選修2-2 合情推理(第一課時)——歸納推理參評教師:中衛(wèi)市第一中學(xué)俞清華

教案說明

一、授課內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)與教學(xué)目標(biāo)定位

推理是由一個或幾個已知的判斷推出一個新的判斷的思維形式,它不是數(shù)學(xué)所獨有的,它是人們進(jìn)行思維活動時對特定對象進(jìn)行反映的基本方式。思維的基本規(guī)律是指思維形式自身的各個組成部分的相互關(guān)系的規(guī)律,即用概念組成判斷,用判斷組成推理的規(guī)律。它有4條: 即同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。

推理通常分為合情推理和演繹推理,本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的歸納推理便是合情推理的一種。歸納推理是由個別到一般的推理,前提是其結(jié)論的必要條件。首先,歸納推理的前提必須是真實的,否則,歸納就失去了意義。其次,歸納推理的結(jié)論超過了前提所判定的范圍,因此在歸納推理中,前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是然的,而是或然的,重在合乎情理。

本節(jié)課是本章內(nèi)容的第一課時,按照新課標(biāo)的要求,結(jié)合學(xué)生的具體情況,我制定了如下的教學(xué)目標(biāo): 【知識與技能】

結(jié)合生活實例了解推理含義;掌握歸納推理的結(jié)構(gòu)和特點,能夠進(jìn)行簡單的歸納推理;體會歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。【過程與方法】

通過探索、研究、歸納、總結(jié)等方式使歸納推理全方位、立體式的呈現(xiàn)在學(xué)生面前,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)不單是現(xiàn)成結(jié)論的體系,結(jié)論的發(fā)現(xiàn)也是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,從而形成對數(shù)學(xué)較為完整的認(rèn)識;充分培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力,挖掘?qū)W生的創(chuàng)新思維能力。【情感、態(tài)度與價值觀】

通過學(xué)習(xí)本節(jié)課培養(yǎng)學(xué)生實事求是、力戒浮夸的思維習(xí)慣,深化學(xué)生對數(shù)學(xué)意義的理解,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和文化價值;通過探究學(xué)習(xí)培

養(yǎng)學(xué)生互助合作的學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成良好的思維品質(zhì)和鍥而不舍的鉆研精神。

二、本節(jié)課的地位和作用

學(xué)習(xí)形式邏輯知識,可以指導(dǎo)我們正確進(jìn)行思維,準(zhǔn)確、有條理地表達(dá)思想;可以幫助我們運用語言,提高聽、說、讀、寫的能力;可以用來檢查和發(fā)現(xiàn)邏輯錯誤,辨別是非。同時,學(xué)習(xí)形式邏輯還有利于掌握各科知識,有助于將來從事各項工作。

推理與證明的學(xué)習(xí)一直貫穿高中數(shù)學(xué)的過程中,但在舊教材中一直沒有集中系統(tǒng)的闡述,隨著科學(xué)發(fā)展對人才思維水平要求的提高,新課改將這部分內(nèi)容納入教材是具有積極的現(xiàn)實意義的。高中階段所學(xué)習(xí)的推理與證明屬于數(shù)學(xué)思維方法的范疇,即把過去滲透在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中的思維方法,以集中顯性的形式呈現(xiàn)出來,使學(xué)生更加明確這些方法,并能在今后的學(xué)習(xí)中有意識地使用它們,以培養(yǎng)言之有理、言之有據(jù)的習(xí)慣。

推理不是數(shù)學(xué)獨有的,它廣泛地存在于科學(xué)發(fā)展的過程、生產(chǎn)生活的實踐之中,所以在授課時我旁征博引,列舉了許多生活中的、科學(xué)發(fā)展史上的、其他科學(xué)中涉及的推理,力求通過學(xué)習(xí),使學(xué)生架起數(shù)學(xué)與科學(xué)、數(shù)學(xué)與生活的橋梁,形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇运季S和科學(xué)精神。

三、教學(xué)診斷分析

通過大量列舉生活、科學(xué)中的實例,學(xué)生對推理以及歸納推理的含義和結(jié)構(gòu)是很容易理解的,學(xué)習(xí)過程中可能會在下面幾個方面遇到障礙:

1.對歸納推理形式的理解:歸納推理是由個別到一般的推理,那么個別究竟有多少,原則上說能夠發(fā)現(xiàn)共性并能歸納出一般結(jié)論即可,對個體的數(shù)目沒有嚴(yán)格要求,但是參與歸納的個體的數(shù)量越多,歸納得到的結(jié)論就越可靠。

2.歸納推理所得結(jié)論的或然性可能讓學(xué)生產(chǎn)生思維上的沖突,歸納推理的結(jié)論超出了前提的判定范圍,所以必然會導(dǎo)致結(jié)果的或然性,但這不是歸納推理的弊端,不能因此否定歸納推理的作用,歸納得到的結(jié)論可以有嚴(yán)格的演繹推理來證明。

3.歸納推理的作用:對于歸納推理的作用,不能片面認(rèn)為“萬能”的,也不能由于歸納結(jié)論的或然性而否定其在科學(xué)中的發(fā)現(xiàn)作用,所以通過例題的設(shè)置、同學(xué)的分析和討論、教師的必要講解,要讓學(xué)生對歸納推理有一個全方位的立體的認(rèn)識。

四、教法特點與效果分析

在教學(xué)過程設(shè)計方面根據(jù)教學(xué)內(nèi)容我設(shè)計了四個教學(xué)環(huán)節(jié),分別是“創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新課”、“合作探究,收獲新知”、“課堂回眸,感悟提高”、“布置作業(yè),學(xué)以至用”,其中“合作探究,收獲新知”是設(shè)計的主體,在這里,根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知能力和認(rèn)知水平,我又分成四個學(xué)習(xí)階段,分別是“形成概念”、“典例分析”、“鞏固提高”,“思維拓展”,逐層遞進(jìn),突出重點,解決難點。

在過程設(shè)計方面我很注重兩個方面的問題,一是課程的緊湊性和完整性,所選的例練習(xí)題具有典型性,環(huán)節(jié)之間注意遞進(jìn)性,使得整節(jié)課能夠環(huán)環(huán)相扣,層層深入;另一個是注重數(shù)學(xué)問題與現(xiàn)實生活的緊密結(jié)合,在每個教學(xué)環(huán)節(jié)、每個教學(xué)過程中,我都設(shè)計了不同的生活實例,讓學(xué)生感覺知識的親切感和實效性,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值。

在教學(xué)過程中,我大力倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí),如在處理歐拉公式時,為了讓學(xué)生親身體會歸納推理的全過程,我不惜花費大量的時間讓學(xué)生之間完成討論和研究,并展示他們的研究成果,事實證明學(xué)生確實在討論研究過程中思維得到了拓展和深化。這樣處理的地方還有很多,如概念的形成,思維拓展等等,總之在整個設(shè)計中,我作為教師是情境的創(chuàng)造者,過程的引導(dǎo)者和啟發(fā)者,學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體,是知識的探究者和發(fā)現(xiàn)者,在課堂中,盡量多的體現(xiàn)了“以人為本”的教育理念。

我在《歸納推理》這節(jié)課中讓更多的學(xué)生參與到了課堂中來,使用多種教學(xué)輔助手段,多媒體課件、實物展臺與板書教學(xué)相結(jié)合,對學(xué)生各種感官進(jìn)行全方位、多層次、全面立體的刺激,達(dá)到了較好的教學(xué)效果,完成了既定的教學(xué)目標(biāo),通過學(xué)生的課堂感悟,反映出學(xué)生對歸納推理的全面的、正確的認(rèn)識。

但是我也清楚地知道,我的這節(jié)課還有許多不成熟的地方,衷心希望借此機(jī)會得到各位專家老師的批評指導(dǎo)!

第二篇:推理與證明

第3講 推理與證明

【知識要點】

1.歸納推理:由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或由個別事實概括出一般結(jié)論的推理

2.類比推理是從特殊到特殊的推理,是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多,相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān),從而類比得出的結(jié)論就越可靠。3.類比推理的一般步驟:

①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。

②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個明確的命題(猜想)【典型例題】

1、(2011?江西)觀察下列各式:7=49,7=343,7=2401,?,則7

34201

1的末兩位數(shù)字為()

A、01 B、43 C、07 D、49

2、(2011?江西)觀察下列各式:5=3125,5=15625,5=78125,?,則5A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

3、(2010?臨潁縣)平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線平行,由此類比思維,我們可以得到()A、空間中平行于同一平面的兩個平面平行 B、空間中平行于同一條直線的兩條直線平行 C、空間中平行于同一條平面的兩條直線平行 D、空間中平行于同一條直線的兩個平面平行

4、(2007?廣東)設(shè)S是至少含有兩個元素的集合,在S上定義了一個二元運算“*”(即對任意的a,b∈S,對于有序元素對(a,b),在S中有唯一確定的元素與之對應(yīng))有a*(b*a)=b,則對任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是()

A、(a*b)*a=a B、[a*(b*a)]*(a*b)=a C、b*(b*b)=b D、(a*b)*[b*(a*b)]=b

5、(2007?廣東)如圖是某汽車維修公司的維修點環(huán)形分布圖.公司在年初分配給A,B,C,D四個維修點某種配件各50件.在使用前發(fā)現(xiàn)需將A,B,C,D四個維修點的這批配件分別調(diào)整為40,45,54,61件,但調(diào)整只能在相鄰維修點之間進(jìn)行,那么要完成上述調(diào)整,最少的調(diào)動件次(n件配件從一個維修點調(diào)整到相鄰維修點的調(diào)動件次為n)為()

A、15 B、16 C、17 D、18

6、(2006?陜西)為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文a,b,c,d對應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時,則解密得到的明文為()A、4,6,1,7 B、7,6,1,4 C、6,4,1,7 D、1,6,4,7

7、(2006?山東)定義集合運算:A⊙B={z︳z=xy(x+y),x∈A,y∈B},設(shè)集合A={0,1},B={2,3},則集合A⊙B的所有元素之和為()

A、0 B、6 C、12 D、18

7201

1的末四位數(shù)字為()

8、(2006?遼寧)設(shè)⊕是R上的一個運算,A是V的非空子集,若對任意a,b∈A,有a⊕b∈A,則稱A對運算⊕封閉.下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運算都封閉的是()A、自然數(shù)集 B、整數(shù)集 C、有理數(shù)集 D、無理數(shù)集

9、(2006?廣東)對于任意的兩個實數(shù)對(a,b)和(c,d),規(guī)定:(a,b)=(c,d),當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d;運算“?”為:(a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad);運算“⊕”為:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),設(shè)p,q∈R,若(1,2)?(p,q)=(5,0),則(1,2)⊕(p,q)=()A、(4,0)B、(2,0)C、(0,2)D、(0,-4)

10、(2005?湖南)設(shè)f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),?,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,則f2005(x)=()

A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx

11、(2004?安徽)已知數(shù)列{an}滿足a0=1,an=a0+a1+?+an-1,n≥

1、,則當(dāng)n≥1時,an=()A、2 B、n

C、2 D、2-

1n-1n

12、若數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an=(n≥3且n∈N*),則a17=()

A、1 B、2 C、D、2-987

13、如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”,有,則運用歸納推理得到第11 行第2個數(shù)(從左往右數(shù))為()A、B、C、D、14、根據(jù)給出的數(shù)塔猜測1 234 567×9+8=()

1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111.

A、11111110 B、11111111 C、11111112 D、11111113

15、將n個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成右表,根據(jù)規(guī)律,從2008到2010,箭頭方向依次是()

A、B、C、D、16、下列推理過程利用的推理方法分別是()(1)通過大量試驗得出拋硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5;(2)函數(shù)f(x)=x2-|x|為偶函數(shù);

(3)科學(xué)家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼. A、演繹推理,歸納推理,類比推理 B、類比推理,演繹推理,類比推理 C、歸納推理,合情推理,類比推理 D、歸納推理,演繹推理,類比推理

17、下列表述正確的是()①歸納推理是由部分到整體的推理; ②歸納推理是由一般到一般的推理; ③演繹推理是由一般到特殊的推理; ④類比推理是由特殊到一般的推理; ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理. A、①②③ B、②③④ C、②④⑤ D、①③⑤

18、在古希臘,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10,15,21,28,?這些數(shù)叫做三角形數(shù),因為這些數(shù)對應(yīng)的點可以排成一個正三角形,則第n個三角形數(shù)為()A、n B、1、(2011?陜西)觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規(guī)律,第五個等式應(yīng)為 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.

2、(2011?陜西)觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?

照此規(guī)律,第n個等式為 n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 .

C、n-1 D、2

第三篇:推理與證明

推理與證明

學(xué)生推理與證明的建立,是一個漫長的過程,這個過程的開始可以追溯到小孩牙牙學(xué)語時候起,小孩在爸爸媽媽跟前不停的問為什么,可以看做推理的雛形。接著到幼兒園、小學(xué),教材里也有簡單的說理,小學(xué)教材里有簡單地說理題,意在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。

初中新教材對推理與證明的滲透,也是從說理開始的,但內(nèi)容比較少,也就是教材中的直觀幾何內(nèi)容。很快便轉(zhuǎn)向推理,也就是證明。剛開始推理的步驟,是簡單的兩三步,接著到四五步,后面還一定要求學(xué)生寫清楚為什么。在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容的時候,好多學(xué)生在后面的括號里不寫為什么,我便給他們舉例小孩子學(xué)走路的過程,一個小孩剛開始學(xué)走路的時候,需要大人或其他可依附的東西,漸漸地,她會脫離工具自己走。學(xué)習(xí)證明的過程亦如此,起先在括號里寫清為什么,并且只是簡單的幾步,然后證明比較難一點的,步驟比較多的。

隨著社會的進(jìn)步,中學(xué)教材加強(qiáng)了解析幾何、向量幾何,傳統(tǒng)的歐式幾何受到?jīng)_擊,并且教材對這一部分的編排分散在初中各個年級,直觀幾何分量多了還加入了變換如平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換,投影等內(nèi)容。老師們對內(nèi)容的編排不太理解,看了專家的講座,漸漸明白了:這樣編排不是降低了推理能力,而是加強(qiáng)了推理能力的培養(yǎng),體現(xiàn)了逐步發(fā)展的過程,把變換放到中學(xué),加強(qiáng)了中學(xué)和大學(xué)教材的統(tǒng)一,但一個不爭的事實是,對演繹推理確實弱了。

關(guān)于開展課題學(xué)習(xí)的實踐與認(rèn)識

新課程教材編排了課題學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容,對授課的老師,還是學(xué)生的學(xué)習(xí)都是一個全新的內(nèi)容,怎樣上好這部分內(nèi)容,對老師、對學(xué)生而言,都是一個創(chuàng)新的機(jī)會。至于課題學(xué)習(xí)的評價方式,到現(xiàn)在為止,大多數(shù)省份還是一個空白,考不考?怎樣考?學(xué)習(xí)它吧,學(xué)習(xí)的東西不能在試卷上體現(xiàn)出來,于是,好多老師對這部分采取漠視的處理方法;不學(xué)習(xí)吧,課本上安排了這部分內(nèi)容。還有一部分老師覺得,課題學(xué)習(xí)是對某一個問題專門研究,很深!老師不知講到什么程度才合理,學(xué)生不知掌握到什么程度。

經(jīng)過幾年的實踐與這次培訓(xùn)的認(rèn)識,我覺得課題學(xué)習(xí)是“實踐與綜合應(yīng)用”在新課課程中的主要呈現(xiàn)形式,是一種區(qū)別于傳統(tǒng)的、全新的,具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí),課本的編寫者安排的主要目的是:

1.希望為學(xué)生提供更多的實踐與探索的機(jī)會。

2.讓學(xué)生通過對有挑戰(zhàn)性和綜合性問題的解決,經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。

3.讓學(xué)生獲得研究問題地方法和經(jīng)驗,使學(xué)生的思維能力、自主探索與合作交流的意識和能力得到發(fā)展。

4.讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系,以及解決問題的成功喜悅,增進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

5.使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動成為生動活潑的、主動的和富有個性的過程。

課題學(xué)習(xí)首先提出一個主問題(問題是一個載體),然后給出資料,利用資料挖掘知識。在這個過程中,多關(guān)注知識的價值,淡化數(shù)學(xué)術(shù)語,讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程,激發(fā)學(xué)生參與的熱情,使其體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣,始終以學(xué)生為主體,明白課題學(xué)習(xí)是為學(xué)習(xí)服務(wù)的。

第四篇:推理與證明

推理與證明

1. 蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師,單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形,如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢,第二個

圖有7個蜂巢,第三個圖有19個蜂巢,按此規(guī)律,以f(n)

表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f(4)=___37

__;f(n)=_3n2?3n?

1__________.2.下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖:

設(shè)第n個圖有an個樹枝,則an?1與an(n≥2)之間的關(guān)系是.

答案:an?1?2an?

2若平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,且任何三條不共點(即不相交于一點),則這n條直線將平面分成了幾部分。

3.類比平面向量基本定理:“如果e1,e2是平面?內(nèi)兩個不共線的向量,那么對于平面內(nèi)任一向量a,有且只有一對實數(shù)?1,?2,使得a??1e1??2e2”,寫出空間向量基本定理是.

如果e1,e2,e3是空間三個不共面的向量,那么對于空間內(nèi)任一向量a,有且只有一對實數(shù)

????????

?1,?2,?3,使得a??1e1??2e2??3e

34.寫出用三段論證明f(x)?x3?sinx(x?R)為奇函數(shù)的步驟是: 大前提. 小前提結(jié)論

滿足f(?x)??f(x)的函數(shù)是奇函數(shù),大前提

f(?x)?(?x)?sin(?x)??x?sinx??(x?sinx)??f(x),小前提

所以f(x)?x3?sinx是奇函數(shù).結(jié)論5. 已知f(n)?1? 答案:

12?

1k

?

???

1n

(n?N),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2)?

?

n

n2

時,f(2k?1)?f(2k)

等于.

?

12?2

k

???

k?1

6lg1

.5?3a?

b?clg12?1?a?2b

7.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+?

+n2=

n

?

n2,則當(dāng)n=k+1時左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加

上.(k+1)+(k+2)+(k+3)+?+(k+1)

8?

?m,n成立的條件不

等式.

當(dāng)m?n?20

9.在數(shù)列?an?中,a1?2,an?1?

答案:an?10.

26n?

5an3an?1

(n?N),可以猜測數(shù)列通項an的表達(dá)式為?

若三角形內(nèi)切圓的半徑為r,三邊長為a,b,c,則三角形的面積等于S?

r(a?b?c),根據(jù)類比推理的方法,若一個四面體的內(nèi)切球的半徑為R,四個面的面積分別是

V?. S1,S2,S,S,則四面體的體積3

4答案:R(S1?S2?S3?S4)

11.已知f(x)?ax?

x?2x?1

(a?1),證明方程f(x)?0沒有負(fù)數(shù)根.假設(shè)x0是f(x)?0的負(fù)數(shù)根,則x0?0且x0??1且ax??

?0?a

x0

x0?2x0?1,?1?0??

x0?2x0?1

解得?1,12

這與x0?0矛盾,故方程f(x)?0?x0?2,沒有負(fù)數(shù)根.12.已知命題:“若數(shù)列?an?是等比數(shù)列,且an?

0,則數(shù)列bn?

n?N)

?

也是等

比數(shù)列”.類比這一性質(zhì),你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)?并證明你的結(jié)論.

解:類比等比數(shù)列的性質(zhì),可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是:若數(shù)列?an?是等差數(shù)列,則數(shù)列bn?

a1?a2???an

n

也是等差數(shù)列.

n(n?1)d

2n

?a1?

d2(n?1)

證明如下:

設(shè)等差數(shù)列?an?的公差為d,則bn?所以數(shù)列?bn?是以a1為首項,13.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1(n2?12)?2(n2?22)???n(n2?n2)?都成立.

(1)當(dāng)n?1時,由以上可知等式成立;

(2)假設(shè)當(dāng)n?k時,等式成立,即1(k2?12)?2(k2?22)???k(k2?k2)?則當(dāng)n?k?1時,1[(k?1)?1]?2[(k?1)?2]???k[(k?1)?k]?(k?1)[(k?1)?(k?1)] ?1(k?1)?2(k?2)???k(k?k)?(2k?1)?2(2k?1)???k(2k?1)?14k?

a1?a2???an

n

na1??,d2

為公差的等差數(shù)列.

n?

n

對一切正整數(shù)n

k?

k,22222222

222222

k?(2k?1)·

k(k?1)

?

(k?1)?

(k?1)

由(1)(2)知,等式結(jié)一切正整數(shù) 都成立.

14.用數(shù)學(xué)歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除,其中n∈N*.2×1+11+2

(1)當(dāng)n=1時,4+3=91能被13整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時,42k+1+3k+2能被13整除,則當(dāng)n=k+1時,42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2).∵42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除, ∴當(dāng)n=k+1時也成立.由(1)(2)知,當(dāng)n∈N*時,42n+1+3n+2能被13整除.15.用數(shù)學(xué)歸納法證明:對一切大于1的自然數(shù),不等式(1+

2n?12

13)(1+)?(1+

112n?1)>

均成立.43

(1)當(dāng)n=2時,左邊=1+=;右邊=

.∵左邊>右邊,∴不等式成立.(2)假設(shè)n=k(k≥2,且k∈N*)時不等式成立,即(1+)(1+)?(1+

12k?1)>

2k?12

12k?1

.12(k?1)?1

]

則當(dāng)n=k+1時,(1+)(1+)?(1+>

2k?12)>[1?

4k

2k?1

·

2k?22k?1

=

2k?222k?1

=

4k

?8k?4

?8k?3

=

2k?3

=

2(k?1)?1

.22k?122k?122k?1

∴當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.由(1)(2)知,對于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.16。試證明:不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,當(dāng)n>1,n∈N*且a、b、c互不相

等時,均有:an+cn>2bn.設(shè)a、b、c為等比數(shù)列,a=∴a+c=

n

n

bq,c=bq(q>0且q≠1),bq

nn

+bnqn=bn(1q

n

+qn)>2bn.a

n

(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列,則2b=a+c猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng)n=2時,由2(a+c)>(a+c),∴②設(shè)n=k時成立,即則當(dāng)n=k+1時,>

?c

2n

>(a?c2)n(n≥2且n∈N*)

a

?c2

?(a?c2)

a

k

?c2

k?

1k

?(?1

4a?c2),k

a

k?1

?c2

(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)

a?c2

(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=

(ak+ck)(a+c)>()k·(a?c2)=(a?c2)k+1

17.平面內(nèi)有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,且每三個圓都不相交于同一點,求證這n個圓把平面分成n?n?2個部分。

證明:(1)當(dāng)n?1時,一個圓把平面分成兩個區(qū)域,而12?1?2?2,命題成立.

(2)假設(shè)n=k(k≥1)時,命題成立,即k個圓把平面分成k?k?2個區(qū)域.

當(dāng)n=k+1時,第k+1個圓與原有的k個圓有2k個交點,這些交點把第k+1個圓分成了2k段弧,而其中的每一段弧都把它所在的區(qū)域分成了兩部分,因此增加了2k個區(qū)域,共有k2?k?2?2k?(k?1)2?(k?1)?2個區(qū)域. ∴n=k+1時,命題也成立.

由(1)、(2)知,對任意的n∈N*,命題都成立.

18.如圖(1),在三角形ABC中,AB?AC,若AD?BC,則AB2?BD·BC;若類比該命題,如圖(2),三棱錐A?BCD中,AD?面ABC,若A點在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M,則有什么結(jié)論?命題是否是真命題.

解:命題是:三棱錐A?BCD中,AD?面ABC,若A點在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影

為M,則有S△?S△BCM·S△BCD是一個真命題. ABC證明如下:

在圖(2)中,連結(jié)DM,并延長交BC于E,連結(jié)AE,則有DE?BC. 因為AD?面ABC,所以AD?AE. 又AM?DE,所以AE2?EM·ED. 于是S

△ABC

?1??1??1???BC·AE???BC·EM?·?BC·ED??S△BCM·S△BCD. ?2??2??2?

19. 已知數(shù)列{an}中,Sn是它的前n項和,并且Sn+1=4an+2(n=1,2,?),a1=1.(1)設(shè)bn=an+1-2an(n=1,2,?),求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(2)設(shè)cn=

an2

n

(n=1,2,?),求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.(1)∵ Sn+1=4an+2,∴Sn+2=4an+1+2.兩式相減,得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,?), 即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an).∵ bn=an+1-2an(n=1,2,?), ∴ bn+1=2bn.由此可知,數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.(2)由S2=a1+a2=4a1+2,a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n-1.∵ cn=

an2

n

(n=1,2,?),∴ cn+1-cn=

an?12

n?1

an2

n

=

an?1?2an

n?1

=

bn2

n?1

.34

將bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=(n=1,2,?),由此可知,數(shù)列{cn}是公差為的等差數(shù)列,它的首項c1=

a12

=,故cn=n-(n=1,2,?).131

第五篇:推理與證明

“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程,也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理?!巴评砼c證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程,也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。推理與證明貫穿于數(shù)學(xué)的整個體系,它的學(xué)習(xí)是新課標(biāo)教材的一個亮點,是對以前所學(xué)知識與方法的總結(jié)、歸納,并對后繼學(xué)習(xí)起到引領(lǐng)的作用。

學(xué)生將通過對已學(xué)知識的回顧,進(jìn)一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異;體會數(shù)學(xué)證明的特點,了解數(shù)學(xué)證明的基本方法,包括直接證明的方法(如分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法)和間接證明的方法(如反證法);感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用,養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。

《新標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想,并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例。”也就是要求學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論時要經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過程。合情推理的實質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)---猜想---證明”,因而關(guān)注合情推理能力的培養(yǎng)實際上就是希望教師能夠重視數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程,發(fā)展學(xué)生的探究和創(chuàng)新精神。

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