第一篇：推理與證明教案及說明

第二章推理與證明

人教A版選修2-2 合情推理（第一課時）——歸納推理參評教師：中衛(wèi)市第一中學(xué)俞清華

教案說明

一、授課內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)與教學(xué)目標(biāo)定位

推理是由一個或幾個已知的判斷推出一個新的判斷的思維形式，它不是數(shù)學(xué)所獨有的，它是人們進(jìn)行思維活動時對特定對象進(jìn)行反映的基本方式。思維的基本規(guī)律是指思維形式自身的各個組成部分的相互關(guān)系的規(guī)律，即用概念組成判斷，用判斷組成推理的規(guī)律。它有4條： 即同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。

推理通常分為合情推理和演繹推理,本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的歸納推理便是合情推理的一種。歸納推理是由個別到一般的推理，前提是其結(jié)論的必要條件。首先，歸納推理的前提必須是真實的，否則，歸納就失去了意義。其次，歸納推理的結(jié)論超過了前提所判定的范圍，因此在歸納推理中，前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是然的，而是或然的，重在合乎情理。

本節(jié)課是本章內(nèi)容的第一課時，按照新課標(biāo)的要求，結(jié)合學(xué)生的具體情況，我制定了如下的教學(xué)目標(biāo)： 【知識與技能】

結(jié)合生活實例了解推理含義；掌握歸納推理的結(jié)構(gòu)和特點，能夠進(jìn)行簡單的歸納推理；體會歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。【過程與方法】

通過探索、研究、歸納、總結(jié)等方式使歸納推理全方位、立體式的呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)不單是現(xiàn)成結(jié)論的體系，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)也是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，從而形成對數(shù)學(xué)較為完整的認(rèn)識；充分培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，挖掘?qū)W生的創(chuàng)新思維能力。【情感、態(tài)度與價值觀】

通過學(xué)習(xí)本節(jié)課培養(yǎng)學(xué)生實事求是、力戒浮夸的思維習(xí)慣，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)意義的理解，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和文化價值；通過探究學(xué)習(xí)培

養(yǎng)學(xué)生互助合作的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成良好的思維品質(zhì)和鍥而不舍的鉆研精神。

二、本節(jié)課的地位和作用

學(xué)習(xí)形式邏輯知識，可以指導(dǎo)我們正確進(jìn)行思維，準(zhǔn)確、有條理地表達(dá)思想；可以幫助我們運用語言，提高聽、說、讀、寫的能力；可以用來檢查和發(fā)現(xiàn)邏輯錯誤，辨別是非。同時，學(xué)習(xí)形式邏輯還有利于掌握各科知識，有助于將來從事各項工作。

推理與證明的學(xué)習(xí)一直貫穿高中數(shù)學(xué)的過程中，但在舊教材中一直沒有集中系統(tǒng)的闡述，隨著科學(xué)發(fā)展對人才思維水平要求的提高，新課改將這部分內(nèi)容納入教材是具有積極的現(xiàn)實意義的。高中階段所學(xué)習(xí)的推理與證明屬于數(shù)學(xué)思維方法的范疇，即把過去滲透在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中的思維方法，以集中顯性的形式呈現(xiàn)出來，使學(xué)生更加明確這些方法，并能在今后的學(xué)習(xí)中有意識地使用它們，以培養(yǎng)言之有理、言之有據(jù)的習(xí)慣。

推理不是數(shù)學(xué)獨有的，它廣泛地存在于科學(xué)發(fā)展的過程、生產(chǎn)生活的實踐之中，所以在授課時我旁征博引，列舉了許多生活中的、科學(xué)發(fā)展史上的、其他科學(xué)中涉及的推理，力求通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生架起數(shù)學(xué)與科學(xué)、數(shù)學(xué)與生活的橋梁，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇运季S和科學(xué)精神。

三、教學(xué)診斷分析

通過大量列舉生活、科學(xué)中的實例，學(xué)生對推理以及歸納推理的含義和結(jié)構(gòu)是很容易理解的，學(xué)習(xí)過程中可能會在下面幾個方面遇到障礙：

1．對歸納推理形式的理解：歸納推理是由個別到一般的推理，那么個別究竟有多少，原則上說能夠發(fā)現(xiàn)共性并能歸納出一般結(jié)論即可，對個體的數(shù)目沒有嚴(yán)格要求，但是參與歸納的個體的數(shù)量越多，歸納得到的結(jié)論就越可靠。

2．歸納推理所得結(jié)論的或然性可能讓學(xué)生產(chǎn)生思維上的沖突，歸納推理的結(jié)論超出了前提的判定范圍，所以必然會導(dǎo)致結(jié)果的或然性，但這不是歸納推理的弊端，不能因此否定歸納推理的作用，歸納得到的結(jié)論可以有嚴(yán)格的演繹推理來證明。

3．歸納推理的作用：對于歸納推理的作用，不能片面認(rèn)為“萬能”的，也不能由于歸納結(jié)論的或然性而否定其在科學(xué)中的發(fā)現(xiàn)作用，所以通過例題的設(shè)置、同學(xué)的分析和討論、教師的必要講解，要讓學(xué)生對歸納推理有一個全方位的立體的認(rèn)識。

四、教法特點與效果分析

在教學(xué)過程設(shè)計方面根據(jù)教學(xué)內(nèi)容我設(shè)計了四個教學(xué)環(huán)節(jié)，分別是“創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課”、“合作探究，收獲新知”、“課堂回眸，感悟提高”、“布置作業(yè)，學(xué)以至用”，其中“合作探究，收獲新知”是設(shè)計的主體，在這里，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知能力和認(rèn)知水平，我又分成四個學(xué)習(xí)階段，分別是“形成概念”、“典例分析”、“鞏固提高”，“思維拓展”，逐層遞進(jìn)，突出重點，解決難點。

在過程設(shè)計方面我很注重兩個方面的問題，一是課程的緊湊性和完整性，所選的例練習(xí)題具有典型性，環(huán)節(jié)之間注意遞進(jìn)性，使得整節(jié)課能夠環(huán)環(huán)相扣，層層深入；另一個是注重數(shù)學(xué)問題與現(xiàn)實生活的緊密結(jié)合，在每個教學(xué)環(huán)節(jié)、每個教學(xué)過程中，我都設(shè)計了不同的生活實例，讓學(xué)生感覺知識的親切感和實效性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值。

在教學(xué)過程中，我大力倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)，如在處理歐拉公式時，為了讓學(xué)生親身體會歸納推理的全過程，我不惜花費大量的時間讓學(xué)生之間完成討論和研究，并展示他們的研究成果，事實證明學(xué)生確實在討論研究過程中思維得到了拓展和深化。這樣處理的地方還有很多，如概念的形成，思維拓展等等，總之在整個設(shè)計中，我作為教師是情境的創(chuàng)造者，過程的引導(dǎo)者和啟發(fā)者，學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體，是知識的探究者和發(fā)現(xiàn)者，在課堂中，盡量多的體現(xiàn)了“以人為本”的教育理念。

我在《歸納推理》這節(jié)課中讓更多的學(xué)生參與到了課堂中來，使用多種教學(xué)輔助手段，多媒體課件、實物展臺與板書教學(xué)相結(jié)合，對學(xué)生各種感官進(jìn)行全方位、多層次、全面立體的刺激，達(dá)到了較好的教學(xué)效果，完成了既定的教學(xué)目標(biāo)，通過學(xué)生的課堂感悟，反映出學(xué)生對歸納推理的全面的、正確的認(rèn)識。

但是我也清楚地知道，我的這節(jié)課還有許多不成熟的地方，衷心希望借此機(jī)會得到各位專家老師的批評指導(dǎo)!

第二篇：推理與證明

第3講 推理與證明

【知識要點】

1.歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實概括出一般結(jié)論的推理

2．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。3．類比推理的一般步驟：

①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。

②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）【典型例題】

1、（2011?江西）觀察下列各式：7=49，7=343，7=2401，?，則7

34201

1的末兩位數(shù)字為（）

A、01 B、43 C、07 D、49

2、（2011?江西）觀察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，?，則5A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

3、（2010?臨潁縣）平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線平行，由此類比思維，我們可以得到（）A、空間中平行于同一平面的兩個平面平行 B、空間中平行于同一條直線的兩條直線平行 C、空間中平行于同一條平面的兩條直線平行 D、空間中平行于同一條直線的兩個平面平行

4、（2007?廣東）設(shè)S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”（即對任意的a，b∈S，對于有序元素對（a，b），在S中有唯一確定的元素與之對應(yīng)）有a*（b*a）=b，則對任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）

A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b

5、（2007?廣東）如圖是某汽車維修公司的維修點環(huán)形分布圖．公司在年初分配給A，B，C，D四個維修點某種配件各50件．在使用前發(fā)現(xiàn)需將A，B，C，D四個維修點的這批配件分別調(diào)整為40，45，54，61件，但調(diào)整只能在相鄰維修點之間進(jìn)行，那么要完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動件次（n件配件從一個維修點調(diào)整到相鄰維修點的調(diào)動件次為n）為（）

A、15 B、16 C、17 D、18

6、（2006?陜西）為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，d對應(yīng)密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4對應(yīng)密文5，7，18，16．當(dāng)接收方收到密文14，9，23，28時，則解密得到的明文為（）A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7

7、（2006?山東）定義集合運算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，設(shè)集合A={0，1}，B={2，3}，則集合A⊙B的所有元素之和為（）

A、0 B、6 C、12 D、18

7201

1的末四位數(shù)字為（）

8、（2006?遼寧）設(shè)⊕是R上的一個運算，A是V的非空子集，若對任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對運算⊕封閉．下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運算都封閉的是（）A、自然數(shù)集 B、整數(shù)集 C、有理數(shù)集 D、無理數(shù)集

9、（2006?廣東）對于任意的兩個實數(shù)對（a，b）和（c，d），規(guī)定：（a，b）=（c，d），當(dāng)且僅當(dāng)a=c，b=d；運算“?”為：（a，b）?（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；運算“⊕”為：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），設(shè)p，q∈R，若（1，2）?（p，q）=（5，0），則（1，2）⊕（p，q）=（）A、（4，0）B、（2，0）C、（0，2）D、（0，-4）

10、（2005?湖南）設(shè)f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），?，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，則f2005（x）=（）

A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx

11、（2004?安徽）已知數(shù)列{an}滿足a0=1，an=a0+a1+?+an-1，n≥

1、，則當(dāng)n≥1時，an=（）A、2 B、n

C、2 D、2-

1n-1n

12、若數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N*），則a17=（）

A、1 B、2 C、D、2-987

13、如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，有，則運用歸納推理得到第11 行第2個數(shù)（從左往右數(shù)）為（）A、B、C、D、14、根據(jù)給出的數(shù)塔猜測1 234 567×9+8=（）

1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111．

A、11111110 B、11111111 C、11111112 D、11111113

15、將n個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成右表，根據(jù)規(guī)律，從2008到2010，箭頭方向依次是（）

A、B、C、D、16、下列推理過程利用的推理方法分別是（）（1）通過大量試驗得出拋硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5；（2）函數(shù)f（x）=x2-|x|為偶函數(shù)；

（3）科學(xué)家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼． A、演繹推理，歸納推理，類比推理 B、類比推理，演繹推理，類比推理 C、歸納推理，合情推理，類比推理 D、歸納推理，演繹推理，類比推理

17、下列表述正確的是（）①歸納推理是由部分到整體的推理； ②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理； ④類比推理是由特殊到一般的推理； ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理． A、①②③ B、②③④ C、②④⑤ D、①③⑤

18、在古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，21，28，?這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因為這些數(shù)對應(yīng)的點可以排成一個正三角形，則第n個三角形數(shù)為（）A、n B、1、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規(guī)律，第五個等式應(yīng)為 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．

2、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?

照此規(guī)律，第n個等式為 n+（n+1）+（n+2）+?+（3n-2）=（2n-1）2 ．

C、n-1 D、2

第三篇：推理與證明

推理與證明

學(xué)生推理與證明的建立，是一個漫長的過程，這個過程的開始可以追溯到小孩牙牙學(xué)語時候起，小孩在爸爸媽媽跟前不停的問為什么，可以看做推理的雛形。接著到幼兒園、小學(xué)，教材里也有簡單的說理，小學(xué)教材里有簡單地說理題，意在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。

初中新教材對推理與證明的滲透，也是從說理開始的，但內(nèi)容比較少，也就是教材中的直觀幾何內(nèi)容。很快便轉(zhuǎn)向推理，也就是證明。剛開始推理的步驟，是簡單的兩三步，接著到四五步，后面還一定要求學(xué)生寫清楚為什么。在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容的時候，好多學(xué)生在后面的括號里不寫為什么，我便給他們舉例小孩子學(xué)走路的過程，一個小孩剛開始學(xué)走路的時候，需要大人或其他可依附的東西，漸漸地，她會脫離工具自己走。學(xué)習(xí)證明的過程亦如此，起先在括號里寫清為什么，并且只是簡單的幾步，然后證明比較難一點的，步驟比較多的。

隨著社會的進(jìn)步，中學(xué)教材加強(qiáng)了解析幾何、向量幾何，傳統(tǒng)的歐式幾何受到?jīng)_擊，并且教材對這一部分的編排分散在初中各個年級，直觀幾何分量多了還加入了變換如平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換，投影等內(nèi)容。老師們對內(nèi)容的編排不太理解，看了專家的講座，漸漸明白了：這樣編排不是降低了推理能力，而是加強(qiáng)了推理能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了逐步發(fā)展的過程，把變換放到中學(xué)，加強(qiáng)了中學(xué)和大學(xué)教材的統(tǒng)一，但一個不爭的事實是，對演繹推理確實弱了。

關(guān)于開展課題學(xué)習(xí)的實踐與認(rèn)識

新課程教材編排了課題學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，對授課的老師，還是學(xué)生的學(xué)習(xí)都是一個全新的內(nèi)容，怎樣上好這部分內(nèi)容，對老師、對學(xué)生而言，都是一個創(chuàng)新的機(jī)會。至于課題學(xué)習(xí)的評價方式，到現(xiàn)在為止，大多數(shù)省份還是一個空白，考不考?怎樣考?學(xué)習(xí)它吧，學(xué)習(xí)的東西不能在試卷上體現(xiàn)出來，于是，好多老師對這部分采取漠視的處理方法;不學(xué)習(xí)吧，課本上安排了這部分內(nèi)容。還有一部分老師覺得，課題學(xué)習(xí)是對某一個問題專門研究，很深!老師不知講到什么程度才合理，學(xué)生不知掌握到什么程度。

經(jīng)過幾年的實踐與這次培訓(xùn)的認(rèn)識，我覺得課題學(xué)習(xí)是“實踐與綜合應(yīng)用”在新課課程中的主要呈現(xiàn)形式，是一種區(qū)別于傳統(tǒng)的、全新的，具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)，課本的編寫者安排的主要目的是：

1.希望為學(xué)生提供更多的實踐與探索的機(jī)會。

2.讓學(xué)生通過對有挑戰(zhàn)性和綜合性問題的解決，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。

3.讓學(xué)生獲得研究問題地方法和經(jīng)驗，使學(xué)生的思維能力、自主探索與合作交流的意識和能力得到發(fā)展。

4.讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，以及解決問題的成功喜悅，增進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

5.使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動成為生動活潑的、主動的和富有個性的過程。

課題學(xué)習(xí)首先提出一個主問題(問題是一個載體)，然后給出資料，利用資料挖掘知識。在這個過程中，多關(guān)注知識的價值，淡化數(shù)學(xué)術(shù)語，讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，激發(fā)學(xué)生參與的熱情，使其體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，始終以學(xué)生為主體，明白課題學(xué)習(xí)是為學(xué)習(xí)服務(wù)的。

第四篇：推理與證明

推理與證明

1． 蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個

圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)

表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f(4)=___37

__;f(n)=_3n2?3n?

1__________.2．下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖：

設(shè)第n個圖有an個樹枝，則an?1與an(n≥2)之間的關(guān)系是．

答案：an?1?2an?

2若平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,且任何三條不共點(即不相交于一點),則這n條直線將平面分成了幾部分。

3．類比平面向量基本定理:“如果e1,e2是平面?內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)?1,?2，使得a??1e1??2e2”，寫出空間向量基本定理是．

如果e1,e2,e3是空間三個不共面的向量，那么對于空間內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)

????????

?1,?2,?3，使得a??1e1??2e2??3e

34．寫出用三段論證明f(x)?x3?sinx(x?R)為奇函數(shù)的步驟是： 大前提． 小前提結(jié)論

滿足f(?x)??f(x)的函數(shù)是奇函數(shù)，大前提

f(?x)?(?x)?sin(?x)??x?sinx??(x?sinx)??f(x)，小前提

所以f(x)?x3?sinx是奇函數(shù)．結(jié)論5． 已知f(n)?1? 答案：

12?

1k

?

???

1n

(n?N)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2)?

?

n

n2

時，f(2k?1)?f(2k)

等于．

?

12?2

k

???

k?1

6lg1

.5?3a?

b?clg12?1?a?2b

7．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+?

+n2=

n

?

n2，則當(dāng)n=k+1時左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加

上.(k+1)+(k+2)+(k+3)+?+(k+1)

8?

?m，n成立的條件不

等式．

當(dāng)m?n?20

9．在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1?

答案：an?10．

26n?

5an3an?1

(n?N)，可以猜測數(shù)列通項an的表達(dá)式為?

．

若三角形內(nèi)切圓的半徑為r，三邊長為a，b，c，則三角形的面積等于S?

r(a?b?c)，根據(jù)類比推理的方法，若一個四面體的內(nèi)切球的半徑為R，四個面的面積分別是

V?． S1，S2，S，S，則四面體的體積3

4答案：R(S1?S2?S3?S4)

11．已知f(x)?ax?

x?2x?1

(a?1)，證明方程f(x)?0沒有負(fù)數(shù)根.假設(shè)x0是f(x)?0的負(fù)數(shù)根，則x0?0且x0??1且ax??

?0?a

x0

x0?2x0?1，?1?0??

x0?2x0?1

解得?1，12

這與x0?0矛盾，故方程f(x)?0?x0?2，沒有負(fù)數(shù)根.12．已知命題：“若數(shù)列?an?是等比數(shù)列，且an?

0，則數(shù)列bn?

n?N)

?

也是等

比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．

解：類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是：若數(shù)列?an?是等差數(shù)列，則數(shù)列bn?

a1?a2???an

n

也是等差數(shù)列．

n(n?1)d

2n

?a1?

d2(n?1)

證明如下：

設(shè)等差數(shù)列?an?的公差為d，則bn?所以數(shù)列?bn?是以a1為首項，13．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1(n2?12)?2(n2?22)???n(n2?n2)?都成立．

（1）當(dāng)n?1時，由以上可知等式成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n?k時，等式成立，即1(k2?12)?2(k2?22)???k(k2?k2)?則當(dāng)n?k?1時，1[(k?1)?1]?2[(k?1)?2]???k[(k?1)?k]?(k?1)[(k?1)?(k?1)] ?1(k?1)?2(k?2)???k(k?k)?(2k?1)?2(2k?1)???k(2k?1)?14k?

a1?a2???an

n

na1??，d2

為公差的等差數(shù)列．

n?

n

對一切正整數(shù)n

k?

k，22222222

222222

k?(2k?1)·

k(k?1)

?

(k?1)?

(k?1)

．

由（1）（2）知，等式結(jié)一切正整數(shù) 都成立．

14．用數(shù)學(xué)歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.2×1+11+2

(1)當(dāng)n=1時，4+3=91能被13整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2).∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除, ∴當(dāng)n=k+1時也成立.由（1）（2）知，當(dāng)n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.15．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式（1+

2n?12

13）（1+）?（1+

112n?1）＞

均成立.43

（1）當(dāng)n=2時，左邊=1+=；右邊=

.∵左邊＞右邊，∴不等式成立.（2）假設(shè)n=k(k≥2,且k∈N*)時不等式成立，即（1+）（1+）?（1+

12k?1）＞

2k?12

12k?1

.12(k?1)?1

]

則當(dāng)n=k+1時，（1+）（1+）?（1+＞

2k?12）＞[1?

4k

2k?1

·

2k?22k?1

=

2k?222k?1

=

4k

?8k?4

＞

?8k?3

=

2k?3

=

2(k?1)?1

.22k?122k?122k?1

∴當(dāng)n=k+1時，不等式也成立.由（1）（2）知，對于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.16。試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相

等時，均有：an+cn＞2bn.設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=∴a+c=

n

n

bq,c=bq(q＞0且q≠1),bq

nn

+bnqn=bn（1q

n

+qn)＞2bn.a

n

(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=2時，由2(a+c)＞(a+c)，∴②設(shè)n=k時成立，即則當(dāng)n=k+1時，＞

?c

2n

＞（a?c2)n(n≥2且n∈N*)

a

?c2

?（a?c2)

a

k

?c2

k?

1k

?(?1

4a?c2),k

a

k?1

?c2

(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)

a?c2

(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=

(ak+ck)(a+c)＞()k·（a?c2)=（a?c2)k+1

17．平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證這n個圓把平面分成n?n?2個部分。

證明：（1）當(dāng)n?1時，一個圓把平面分成兩個區(qū)域，而12?1?2?2，命題成立．

（2）假設(shè)n=k（k≥1）時，命題成立，即k個圓把平面分成k?k?2個區(qū)域．

當(dāng)n=k+1時，第k+1個圓與原有的k個圓有2k個交點，這些交點把第k+1個圓分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的區(qū)域分成了兩部分，因此增加了2k個區(qū)域，共有k2?k?2?2k?(k?1)2?(k?1)?2個區(qū)域． ∴n=k+1時，命題也成立．

由（1）、（2）知，對任意的n∈N*，命題都成立．

18．如圖（1），在三角形ABC中，AB?AC，若AD?BC，則AB2?BD·BC；若類比該命題，如圖（2），三棱錐A?BCD中，AD?面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有什么結(jié)論？命題是否是真命題．

解：命題是：三棱錐A?BCD中，AD?面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影

為M，則有S△?S△BCM·S△BCD是一個真命題． ABC證明如下：

在圖（2）中，連結(jié)DM，并延長交BC于E，連結(jié)AE，則有DE?BC． 因為AD?面ABC，所以AD?AE． 又AM?DE，所以AE2?EM·ED． 于是S

△ABC

?1??1??1???BC·AE???BC·EM?·?BC·ED??S△BCM·S△BCD． ?2??2??2?

19． 已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，?），a1=1.（1）設(shè)bn=an+1-2an(n=1,2,?)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）設(shè)cn=

an2

n

(n=1,2,?),求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.（1）∵ Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2.兩式相減，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,?), 即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an).∵ bn=an+1-2an(n=1,2,?), ∴ bn+1=2bn.由此可知，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.（2）由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n-1.∵ cn=

an2

n

(n=1,2,?),∴ cn+1-cn=

an?12

n?1

an2

n

=

an?1?2an

n?1

=

bn2

n?1

.34

將bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=(n=1,2,?),由此可知，數(shù)列{cn}是公差為的等差數(shù)列，它的首項c1=

a12

=，故cn=n-(n=1,2,?).131

第五篇：推理與證明

“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理?！巴评砼c證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。推理與證明貫穿于數(shù)學(xué)的整個體系，它的學(xué)習(xí)是新課標(biāo)教材的一個亮點，是對以前所學(xué)知識與方法的總結(jié)、歸納，并對后繼學(xué)習(xí)起到引領(lǐng)的作用。

學(xué)生將通過對已學(xué)知識的回顧，進(jìn)一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異；體會數(shù)學(xué)證明的特點，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法，包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。

《新標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例。”也就是要求學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論時要經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過程。合情推理的實質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)---猜想---證明”，因而關(guān)注合情推理能力的培養(yǎng)實際上就是希望教師能夠重視數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，發(fā)展學(xué)生的探究和創(chuàng)新精神。